UNIDADE I A ESTATÍSTICA E SEUS MÉTODOS

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1 UNIDADE I A ESTATÍSTICA E SEUS MÉTODOS. - Itrodução Histórica Os homes desde a atiguidade faziam registros de dados que cosideravam iformações importates, como o úmero de habitates, de ascimetos e de óbitos, faziam estimativas do estoque de alimetos ecessários a sua sobrevivêcia durate o ivero. Além da fialidade social e ecoômica, existe também, por exemplo, a bélica. Em guerras, era extremamete importate avaliar o armameto e o úmero de guerreiros dispoíveis para a luta, tato da própria tribo, quato da tribo adversária. A partir do século XVI, surgiram as primeiras tábuas e registros orgaizados de fatos sociais do tipo: batizados, casametos, ascimetos, etc. No século XVIII, Godofredo Achewall deomiou Estatística o estudo matemático de catalogação de dados uméricos coletivos. As tabelas toraramse mais completas, surgiram às represetações gráficas de probabilidades. Com base o desevolvimeto da teoria das probabilidades, verificou-se que a estatística poderia ser utilizada para tirar coclusões e tomar decisões baseadas a aálise de dados. A Estatística é a ciêcia que estuda os métodos de coleta, aálise, iterpretação e apresetação de dados experimetais. A Estatística deomiada Estatística Descritiva cuida da orgaização e descrição dos dados e a iferêcia estatística se refere à aálise e iterpretação dos mesmos. As técicas de iferêcia estatística usam coceitos de probabilidade e distribuições de probabilidade. Etão as técicas estatísticas são usadas em pesquisa de todas as áreas do cohecimeto (exatas, humaas e biológicas) que evolvam coleta e aálise de dados.. Estatística e Métodos Estatísticos A estatística forece métodos para a coleta, orgaização, descrição, aálise e iterpretação de dados. Os resultados podem ser utilizados para plaejametos, tomadas de decisões ou formulações de soluções. Por exemplo: Queremos obter iformações sobre a preferêcia de meios extra-hoteleiros (como campig), ivestigar a importâcia da acessibilidade, da qualidade das istalações ou das facilidades de meios de pagameto ou a preferêcia dos eleitores para a votação para presidete as eleições de 00. O estudo estatístico iicia-se com o plaejameto da pesquisa, que represeta a orgaização do plao geral do trabalho que estabelece os objetivos e a utilização dos meios estatísticos. Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

2 A coleta de dados vai obter iformações sobre a realidade a ser estudada. Na educação, os istrumetos mais utilizados para a coleta de dados são os questioários e as etrevistas. Após a coleta dos dados, é ecessário classificá-los, isso sigifica estabelecer categorias que permitem a reuião das iformações coletadas. O simples levatameto da iformação e sua apresetação em tabelas estatísticas, limitado-se a apresetar os dados e gráficos de dado feômeo, levam o Nome de estatística descritiva. É ecessária que a iformação seja orgaizada para sua posterior aálise e iterpretação. A aálise dos dados permite caracterizar como os elemetos se distribuem, quais os valores de tedêcia cetral, qual a variabilidade, qual a relação etre as variáveis e a verificação das semelhaças e difereças etre os elemetos. A iterpretação dos dados cosiste as comparações, ligações lógicas, estabelecimeto de pricípios e geeralizações que idiquem as desvatages dos resultados obtidos. Estatística Descritiva: coleta, orgaização e descrição dos dados. Estatística Idutiva (ou Iferecial): aálise e iterpretação dos dados.. População ou Uiverso Estatístico É o cojuto da totalidade de idivíduos que apresetam uma característica comum, cujo comportameto se quer aalisar (iferir). Ou aida, podemos dizer que a população é caracterizada por ser o cojuto dos elemetos que formam o uiverso de osso estudo. Quato ao úmero de elemetos, a população pode ser fita ou ifiita. Por exemplo, a população costituída por todos os aluos da UFPA - Cametá que estavam presetes em um determiado eveto, durate um certo dia, é uma população fiita, equato que a população costituída de todos os resultados (cara ou coroa) em sucessivos laces de uma moeda é uma população ifiita. Em grades populações, tora-se iteressate a realização da chamada amostragem, que ocorre a impossibilidade de colher iformações sobre a população total... Amostra É um subcojuto fiito de uma população. A amostra é uma parte da população, ecessária quado se tratar de uma população com uma quatidade muito grade de elemetos. A amostra permite que se trabalhe com uma parte dos elemetos de uma população, quado existe dificuldade de fazer a pesquisa com todos os elemetos da população. Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

3 Exemplo: Queremos obter iformações sobre a audiêcia do programa Globo Ciêcia. A população correspode ao úmero total de domicílios que possuem TV. A amostra é o cojuto dos domicílios que serão visitados... Variáveis São as características que podem se observadas (ou medidas) em cada elemeto da população, ou aida, é um cojuto de resultados possíveis de um feômeo. A variável pode ser: a) Qualitativa: quado os valores são expressos por uma qualidade ou atributo. Ex.: sexo, cor da pele, estado civil. b) Quatitativa: quado os valores são expressos por úmeros. Ex.: idade, salários, otas da avaliação, etc. A variável quatitativa pode ser cotíua ou discreta: Variável Cotíua: assume iúmeros valores etre dois limites. Ex.: Peso das malas um aeroporto. Variável Discreta: assume apeas os valores de um cojuto eumerável. Ex.: Número de aluos que freqüetam diariamete o campus da UFPA de Cametá.. Números aproximados e arredodameto de dados A orma NBR 89 da Associação Brasileira de Normas Técicas (ABNT) estabelece as regras fixas de arredodameto a umeração decimal, em uso a atualidade. Estas regras estão de acordo com a resolução 88/ do IBGE. a) Quado o primeiro algarismo a ser abadoado o arredodameto é 0,,, ou, fica ialterado o último algarismo a permaecer. Exemplos: ),, ) 09,0 09,0 ),0,0 b) Quado o primeiro algarismo a ser abadoado o arredodameto é, 7, 8 ou 9, aumeta-se uma uidade ao último algarismo a permaecer. Exemplos: ) 9, 7 9, ),09, ),99,0 c) Quado o primeiro algarismo a ser abadoado o arredodameto é, há dois procedimetos: Se após o algarismo seguir em qualquer casa um úmero diferete de 0, aumeta-se em uma uidade o algarismo que o atecede o ; Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

4 Exemplos: ) 7,800 7,9 ),, Se após o algarismo ão seguir (em qualquer casa) um úmero diferete de 0, ao algarismo que atecede o será acrescetada uma uidade, se for ímpar, e permaecerá como está, se for par. Exemplos: ),, ),8,8 ),0, Observação: Nos softwares de computadores (como o Excel) e calculadoras cietíficas, porém, ão é aplicado o critério idicado o item c. Nesses casos, se o primeiro algarismo a ser abadoado for o algarismo, o arredodameto será feito com o aumeto de uma uidade ao algarismo que atecede o. Exemplos: ),, ),8,9 ),0,. Cálculo de Porcetagem Porcetages são razões em que um valor total está associado a uma quatidade de 00% e, por meio de uma regra de três, podemos estabelecer a correspodêcia etre uma parcela do valor total e seu valor percetual. Total 00% Parcela X% Exercícios Nos exercícios ao, respoda os ites i, ii e iii abaixo: i) Estabeleça a variável em cada caso; ii) Classifique as variáveis em qualitativas ou quatitativas; iii) Diga quais das variáveis são cotíuas e quais são discretas. ) A cor dos olhos dos aluos da turma de Pedagogia 008 da UFPA- Cametá. ) Os salários dos fucioários da UFPA-Cametá. ) A quatidade de alimeto, em gramas, igerida por estudate em um determiado colégio. ) O sexo dos filhos de casais residetes em Mocajuba-Pa. ) O úmero de pessoas da terceira idade, durate um ao, o turismo de Fortaleza. ) Escreva cada úmero com arredodameto para décimos. a) 8,7 b) 7, c),897 d) 0,0 Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

5 7) Escreva cada úmero com arredodameto para cetésimos. a) 9,09 b) 0, c),000 d) 0,098 8) Escreva cada úmero com arredodameto para a uidade. a) 0,0 b) 0, c) 7,00 d) 0,08 9) Calcule % de R$ 00,00. 0) R$,00 correspodem a % de uma quatidade. Qual o valor da quatidade total? ) Qual a porcetagem que R$,00 represetam um total de R$0,00. ) Calcule a porcetagem que 9,0 represeta em 8,0.. Amostragem Existem métodos ou técicas adequadas para recolher amostras, de forma a garatir (tato quato possível) o sucesso da pesquisa e dos resultados. Devemos estabelecer um úmero míimo de elemetos para compor a amostra. Essa quatidade ão deve ser meor que 0% do total de elemetos da população. Por exemplo, uma população de 00 elemetos, devemos, por um critério de seleção, selecioar um míimo de 0 elemetos (0% de 00) para compor a amostra. Mas que método devemos utilizar para realizar a escolha? Podemos recorrer a diferetes formas de amostragem: amostragem aleatória simples, amostragem sistemática e amostragem estratificada proporcioal... Amostragem Aleatória Simples Nesse tipo de amostragem, a primeira providêcia a ser tomada é a elaboração de uma lista com os 00 omes dos elemetos da população, umerados de a 00 para serem submetidos a um sorteio. Bolas ou cartões, também umerados de a 00, são etão colocados em uma ura, a qual os úmeros devem ser bem misturados. Em cada etapa do sorteio, todo úmero aida ão escolhido tem a mesma probabilidade de ser sorteado. Esse processo ão é muito prático para grades populações. Nesse caso, podemos trabalhar com uma umeração de 0 a 9, sorteado os úmeros por meio de blocos de três algarismos e tomado cuidado de repor a ura todo algarismo dela retirado. Como temos dez algarismos, cada um deles tem 0 de Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

6 probabilidade de aparecer em determiada posição. Sempre que um bloco que ão exista a população, ele será descartado. Supohamos que, ao efetuar o sorteio, obtehamos os algarismos: Agrupado-se em blocos de três algarismos, teremos os úmeros: Desses úmeros sorteados devemos descartar 8, 89 e 89, porque ão são elemetos da população, e porque já foi selecioado. E assim, sucessivamete, vamos procededo ao sorteio, até coseguirmos selecioar os 0 elemetos da amostra... Amostragem Sistemática Cotiuemos a cosiderar a população de 00 elemetos de ossa lista umerada. Para orgaizar uma amostragem sistemática, sorteamos um úmero de a 0, ao acaso. Supohamos que teha sido obtido o úmero. Ele será o primeiro elemeto da amostra, e os demais serão determiados em itervalos de dez uidades. Assim, ossa amostra será: A amostragem sistemática é simples de ser realizada e, o caso de amostras muito grades, acarreta ecoomia de tempo e diheiro. Exemplo: Na escola Professor Sebastião Torres, deseja-se fazer um estudo sobre o peso dos aluos de 7 aos de idade. Sabedo-se que há 0 criaças a faixa dos 7 aos, selecioe uma amostra por: a) amostragem aleatória simples; b) amostragem sistemática. (Devemos cosiderar todas as criaças etre e meio e 7 aos e meio porque, em geral, ão ecotramos muitas que teham exatamete 7 aos o dia da pesquisa) Solução: a) Para proceder a uma amostragem aleatória simples, devemos: Elaborar uma lista com os 0 omes das criaças a faixa dos 7 aos, umerados de a 0; Sortear úmeros ( 0% de 0). Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

7 Logo as criaças cujos omes correspodem aos úmeros sorteados costituem a amostra procurada. b) Para coseguirmos uma mostra, por meio de amostragem sistemática, devemos proceder da seguite forma: Elaborar uma lista dos omes, umerado-os de a 0; Sortear um úmero de a 0. Se o úmero sorteado for, por exemplo, ossa amostragem sistemática procurada será: Amostragem Estratificada Proporcioal A amostragem estratificada proporcioal é recomedada quado existe uma divisão atural da população em grupos com úmeros de elemetos diversos. Vejamos o exemplo abaixo: Exemplo: Supohamos que a mesma escola do exemplo aterior as 0 criaças a faixa de 7 aos de idade estejam distribuídas em cico classes, com quatidades diferetes de aluos. A primeira série A tem 0 aluos com 7 aos, a primeira B tem, a C tem, a D, 0 e a E tem 0. Como faríamos a mesma seleção do primeiro exemplo? Solução: Podemos, esse caso, sortear os omes em quatidades proporcioais ao úmero de criaças com 7 aos de cada classe, cosiderado as porcetages em relação ao cojuto total (0 elemetos). As criaças sorteadas de cada classe costituem um estrato da amostra, que é uma amostra estratificada proporcioal. Neste problema, a população é de 0 pessoas distribuídas em cico classes. Sabemos que a amostra deve ter, o míimo, (0% de 0) elemetos. Em primeiro lugar, precisamos calcular a porcetagem de criaças com 7 aos em cada classe. Orgaizado os dados uma tabela, temos: Classe População % A B C D E 0 0 0,7, 9,,0,7 Total 0 00 Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 7

8 A primeira série A, com 0 aluos, tem,7% dos elemetos da população, logo,7% dos elemetos da amostra sairão dessa classe. A primeira B tem,% dos elemetos da população, logo,% dos aluos da amostra serão sorteados etre os aluos dessa classe. O cálculo para as demais classes segue o mesmo raciocíio. Como ecessitamos de uma mostra de elemetos, devemos calcular: A:,7% de 0,7.,00 = B:,% de 0,., = C: 9,% de 0,9.,9 = D: % de 0,. = E:,7% de 0,7.,00 = Observação: Note que os dados foram arredodados para o iteiro mais próximo, já que esses úmeros idicam a quatidade de criaças. Colocado os dados em uma tabela, temos: Classe População % Amostra A B C D E 0 0 0,7, 9,,0,7 Total 0 00 Na última colua está represetada a quatidade de elemetos de cada estrato e total da amostra. Exercícios ) Na escola São Leopoldo, para estudar a preferêcia em relação a refrigerates, sortearam-se 0 estudates, ete os 000 matriculados. Respoda: a) Qual é a população evolvida a pesquisa? b) Qual tipo de amostragem foi utilizado e qual é a amostra cosiderada? ) Na escola São Miguel, deseja-se fazer um estudo sobre a altura dos aluos de 0 aos de idade. Sabedo-se que há 00 criaças a faixa de 0 aos de idade, selecioe uma amostra por amostragem sistemática. ) Em uma certa cidade, quer-se estudar o iteresse despertado por um programa de TV etre os aluos de 7 aos de idade das escolas de esio fudametal. Para isso, pretede-se levatar uma amostra de 00 criaças. A partir dos dados abaixo, estratifique a amostra: Escola A B C D E População Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 8

9 UNIDADE II - DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA. Defiições Básicas Freqüêcia: É a quatidade de vezes que um mesmo valor de um dado é repetido. Dados brutos: São os dados origiais aida ão umericamete orgaizados após a coleta. Rol: É a ordeação dos valores obtidos (dados brutos) em ordem crescete ou decrescete de gradeza umérica ou qualitativa. Exemplo: A distribuição de idade das 0 criaças de um acampameto, promovido por um determiado colégio, compõe os dados brutos. Em forma de tabela, temos: Faixa etária das criaças do acampameto X Nessa tabela fica difícil estabelecer em toro de qual valor tedem a se cocetrar as idades das criaças, ou aida avaliar quatos aluos estão acima ou abaixo de determiada idade. Em fução disso, é coveiete a orgaização das idades a tabela por meio de ordem crescete (ou decrescete). Essa tabela orgaizada é chamada de rol. Em rol a tabela acima fica da seguite forma: Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 9

10 . Distribuição de Freqüêcia A orgaização das idades a tabela (rol) facilita a visualização das repetições ocorridas para uma mesma idade. Dessa forma, podemos verificar a cocetração de criaças em cada faixa etária e, assim, costruir uma tabela ode costa para cada idade a respectiva freqüêcia (úmero de vezes em que a idade é repetida). Essa tabela recebe o ome de distribuição de freqüêcia. Distribuição de idade das 0 criaças de um acampameto Idade Freqüêcia Elemetos de uma Distribuição de Freqüêcia.. Classe Caso as coluas da tabela de distribuição de freqüêcia coteham muitos valores elecados, podemos reduzir a quatidade desses valores elecados agrupado-os em itervalos. Os valores da última tabela feita podem ser agrupados dispodo-se as faixas etárias em itervalos que abrajam difereças, por exemplo, de dois aos de idade. Em vez de agrupar as idades de dois em dois aos, a escolha feita poderia ser de agrupar as idades de três em três aos, de quatro me quatro aos ou aida um outro itervalo qualquer. Esses agrupametos de valores um itervalo de abragêcia são chamados de classes. E a tabela passa a se chamar distribuição de freqüêcia com itervalos de classe. Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 0

11 Esse última tabela mostra a distribuição de freqüêcia simples. Caso os elemetos sejam agrupados em classes, a tabela passa a ser uma distribuição de freqüêcia com itervalos de classe. A tabela seguite represeta uma tabela de distribuição de freqüêcia com itervalos de classe. Observamos que a primeira classe (ou o primeiro grupo) reúe as criaças com a idade de a aos, a seguda classe reúe as criaças com idade de e 7 aos, a terceira classe reúe as criaças com idade de 8 e 9 aos, e assim por diate. Distribuição da freqüêcia em faixas etárias (das 0 criaças de um acampameto) Idades Freqüêcias 0 9 Algumas dúvidas podem surgir em relação a algus valores. Uma criaça com sete aos, oze meses e vite e ove dias e uma criaça com oito aos exatos devem permaecer ao mesmo grupo? Nesse osso exemplo, ão (veja as a seguir)... Limite Iferior e Superior Limite Iferior l i : O meor úmero que aparece em um determiado itervalo é o limite iferior da classe. No caso se cosiderarmos, temos que l = é o limite iferior da classe. Limite Superior L i : O maior úmero que aparece em um determiado itervalo é o limite iferior da classe. No caso se cosiderarmos, temos que L = é o limite superior da classe. Logo podemos represetar: l i L i Este símbolo utilizado ( ) estabelece iclusão e exclusão para os valores limites o itervalo de classe. O itervalo idica iclusão do limite iferior quatro (ou seja, a partir da idade de quatro aos exatos a criaça está icluída essa classe) e idica Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

12 exclusão do limite superior (sigifica que a partir da idade de seis aos exatos a criaça está excluída dessa classe). Segudo a resolução 88/ do IBGE, os itervalos de classe devem empregar o símbolo de iclusão e exclusão etre os valores extremos de um itervalo... Amplitude de um Itervalo de Classe (h i ) A amplitude de um itervalo de classe (h i ) é a difereça etre o limite superior e iferior de uma classe: Na última tabela temos que: h = = aos h = 8 = aos h = 0 8 = aos h = 0 = aos h = = aos h = = aos h i = L i l i Nesse caso, as amplitudes são iguais, porém, ão é obrigatório que elas sejam; podemos evetualmete amplitudes diferetes h h h Embora as amplitudes possam ser diferetes, é mais coveiete que as classes mateham amplitudes iguais, pois facilita a visualização do fato estudado e agiliza os cálculos realizados... Amplitude Total da Distribuição ( T) Amplitude total de distribuição ( T) é a difereça etre o limite superior (máximo) da última classe e o limite iferior (míimo) da primeira classe, logo: T = L máx. l (mí.) Ode: L máx. = limite superior da última classe; l (mí.) = limite iferior da primeira classe. Na última tabela, temos que a amplitude total da distribuição é: T = = aos... Amplitude Amostral (AA) Amplitude amostral é a difereça etre o valor máximo e o valor míimo dos dados a amostra: AA = X máx. X (mí.) Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

13 Na tabela de Faixa etária das criaças do acampameto X já orgaizada em rol (exemplo aterior), observamos que o valor da amplitude amostral é: AA = = aos.. Poto Médio de uma Classe (x i ) Poto médio de uma classe (x i ) é poto que, por situar-se uma posição média da distribuição de valores do itervalo de classe, divide o itervalo em duas partes iguais. x i = l i + L i Já a última tabela, temos que o poto médio da primeira classe é: x = + = O poto médio da seguda classe é: x = + 8 = 7 O poto médio da sexta classe é: + x = =..7 Freqüêcia Simples ou Absoluta (f i ) Freqüêcia simples ou absoluta é o umero de observações de um valor idividual (ou de uma classe). A tabela a seguir represeta a distribuição de freqüêcia simples com itervalos de classe de fato observado. Distribuição da freqüêcia em faixas etárias (das 0 criaças de um Idade acampameto) Quatidade de criaças por faixa etária (freqüêcia simples) 0 9 Total = 0 A soma de todas as freqüêcias é = f + f + f + f + f + f, logo: = = 0 (esse caso, = 0) Observamos que é o úmero total de dados da amostra. Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

14 Podemos represetar a soma de freqüêcias pelo símbolo de somatória, ou seja: No exemplo: = f + f + f + = = i= f i = 0 A tabela pode ser reescrita de forma mais adequada ao coceito de freqüêcia: Distribuição em faixas etárias (das 0 criaças de um acampameto) I Idade f i f = f =0 f = f = f =9 f = k i= f i = f i = 0. Determiação do Número de Classes É importate a escolha do úmero de classes e amplitude. Se o úmero de observações é pequeo, devemos restrigir a amplitude; por outro lado, se o úmero de observações é grade, as amplitudes também serão maiores. Uma sugestão para estabelecer o úmero de classes é utilizar a fórmula desevolvida pelo matemático Sturges, também cohecida como regra de Sturges. i = +, log Sedo: i = úmero de classes. = úmero total de dados. Com base a regra de Sturges, Vaugh desevolveu uma tabela ode resumiu as sugestões para estabelecer o úmero de classes a partir do úmero total de dados: Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

15 Sugestão para estabelecer o úmero de classes em fução do úmero de dados (regra de Sturges) = casos observados i = úmero de classes a usar (pela regra de Sturges) Além da regra de Sturges, existem outras fórmulas, mas também são apeas sugestões; a decisão fial depede do bom-seso pessoal de cada um para estabelecer o úmero de classes.. Determiação da Amplitude do Itervalo de Classe (h) Pode-se obter a amplitude do itervalo de classe (h) por meio da divisão da amplitude amostral (AA) pelo úmero de classes (i): h = AA = X Máx. X (Mí.) i i Caso o resultado da divisão ão seja um resultado exato, sugerimos que seja feito o arredodameto para um valor acima. Supodo que o resultado teha sido h =, devemos arredodar para h =. Devemos procurar os valores adequados para os limites dos itervalos, valores que foreçam úmeros aturais o cálculo dos potos médios (detro das possibilidades). Exercício Numa equipe de recreação juveil, foram coletadas as alturas de 0 adolescetes, ode os dados brutos ecotram-se a tabela abaixo: Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

16 Estatística Aplicada à Educação Estatura de 0 adolescetes (em cm) a) Orgaize os valores obtidos essa tabela em Rol, em ordem crescete. b) Qual é a meor altura? c) Qual é a maior altura? d) Qual é a amplitude amostral da distribuição? e) Cosiderado que o úmero total de dados é = 0, e pela tabela (última) aterior a esse exercício a sugestão é estabelecer sete itervalos de classes (i = 7). Qual é a amplitude do itervalo de classe? f) Complete a tabela de distribuição a seguir: Distribuição da estatura de 0 adolescetes (em cm) I Estaturas (cm) Freqüêcia (f i ) = f i = 0 Cosiderado essa ova tabela de distribuição de freqüêcia, respoda aos próximos ites: g) Qual o limite iferior da terceira classe? h) Qual o limite superior da sexta classe? i) Qual o limite iferior d sétima classe? j) Qual o limite superior da seguda classe? k) Qual a amplitude total da distribuição ( T)? l) Foram obtidos valores diferetes para a amplitude amostral da distribuição (AA) e amplitude total da distribuição ( T)? Explique por quê.. Tipos de Freqüêcias.. Freqüêcia Simples ou Absoluta f i É o úmero de repetições de um valor idividual ou de uma classe. A soma das freqüêcias simples resulta o úmero total de observações (), ou seja: Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

17 f i =.. Freqüêcia Relativa fr i É a razão etre a freqüêcia simples e a freqüêcia total. A freqüêcia relativa represeta a proporção de observações de um valor (ou de uma classe) em relação ao úmero total de observações, o que facilita as comparações. fr i = f i f i Na tabela dada ateriormete de distribuição da freqüêcia em faixas etárias (das 0 criaças de um acampameto), cosideramos a freqüêcia absoluta da quarta classe f = e o úmero de observações = 0. Ao calcular a freqüêcia relativa da quarta classe, obtemos: fr = f = = 0, (esta classe represeta % do úmero total de f i 0 observações)... Freqüêcia Acumulada F i A freqüêcia acumulada F i é a soma de todas as freqüêcias abaixo do limite superior de uma classe cosiderada. F K = f + f + + f K + f K F K = i= Também a tabela mecioada ateriormete, cosideramos a freqüêcia da quarta classe f = e úmero de observações = 0. Ao calcular a freqüêcia acumulada da quarta classe, obtemos: F = f + f + f + f = = F = Isto sigifica que existem criaças com idade abaixo de aos o acampameto ( aos é o limite superior da quarta classe)... Freqüêcia Acumulada Relativa (Fr i ) A freqüêcia acumulada relativa (Fr i ) é a razão etre a freqüêcia acumulada da classe e a freqüêcia total. A freqüêcia acumulada relativa represeta a proporção de observações da freqüêcia acumulada da classe em relação ao úmero total de observações, o que facilita as comparações. Fr i = F i f i Novamete a tabela de distribuição da freqüêcia em faixas etárias (das 0 criaças de um acampameto), cosideramos a freqüêcia absoluta da quarta classe f = e úmero de observações = 0 e a freqüêcia Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 7 K f i

18 acumulada da quarta classe F =. Calculado a freqüêcia acumulada relativa da quarta classe, obtemos: Fr = F = F f i = 0 = 0,77 Fr = 0,77 Como base essa mesma tabela, podemos escrever uma ova tabela e icluir ela os cálculos do poto médio de cada classe (x i ), da freqüêcia relativa (fr i ), da freqüêcia acumulada (F i ) e da freqüêcia relativa (Fr i ). Distribuição em faixas etárias (das 0 criaças de um acampameto) I Idades Freqüêcia (f i ) Poto médio (x i ) 7 9 Freqüêcia relativa (fr i ) 0,0 0,7 0, 0, 0, 0,08 = 0 =,00 Freqüêcia acumulada (F i ) 0 Freqüê cia acumula da relativa (Fr i ) 0,0 0,7 0, 0,77 0,9,00 Exercício Em um colégio X, foi feita uma pesquisa sobre o salário recebido pelos seus fucioários, sedo cosultados 0 fucioários e obtidos os resultados a tabela a seguir: Número de salários míimos Trabalhadores (f i ) = 0 Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 8

19 Complete a tabela a seguir, icluido essa ova tabela os cálculos do poto médio de cada classe (x i ), da freqüêcia relativa (fr i ), da freqüêcia acumulada (F i ) e da freqüêcia acumulada relativa (Fr i ). Distribuição de salários recebidos (0 fucioários de um determiado colégio X). I Nº de salários míimos Trabalhadores (f i ) 8 9 Poto médio (x i ) = 0 =,00 fr i F i Fr i.7 Distribuição de Freqüêcia sem Itervalos de Classe Numa coleta de dados, em sempre os dados com repetição são agrupados em itervalos de classe. Pode ocorrer que cada cojuto de repetições de um mesmo dado correspoda a um itervalo de classe. Exemplo: Na tabela a seguir, os dados represetam o úmero de filhos por família de 0 famílias etrevistadas em determiado bairro X Número de filhos por família (de 0 famílias do bairro X) 0 De acordo com as repetições, podemos escrever a seguite tabela de freqüêcias: Distribuição do úmero de filhos por família (de 0 famílias do bairro X). Nº de filhos por família (X i ) Famílias do bairro X (f i ) Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 9

20 Essa tabela pode ser completa com os cálculos da freqüêcia relativa (fr i ), da freqüêcia acumulada (F i ) e da freqüêcia acumulada relativa (Fr i ). Distribuição do úmero de filhos por família (de 0 famílias do bairro X). I X i f i fr i F i Fr i , 0,7 0, 0,0 0,07 = f i = 0 =, , 0,0 0,7 0,9,00 Exercício Uma empresa de pesquisa colheu a opiião de 00 pessoas e elaborou um relatório especificado a preferêcia sobre qual Estado brasileiro essas pessoas gostariam de cohecer. Os valores costam a tabela a seguir: Distribuição dos estados brasileiros que as pessoas gostariam de cohecer Estados brasileiros Rio Grade do Sul Mias Gerais Rio de Jaeiro São Paulo Bahia Paraá Preferêcia de pessoas (freqüêcia) = f i = 00 Iclua a tabela a seguir os cálculos da freqüêcia relativa (fr i ), da freqüêcia acumulada (F i ) e da freqüêcia acumulada relativa (Fr i ). Distribuição dos estados brasileiros que as pessoas gostariam de cohecer I X i f i fr i F i Fr i Rio Grade do Sul 80 Mias Gerais 70 Rio de 80 Jaeiro São Paulo 0 Bahia 90 Paraá 0 = = 00 f i =,00 Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 0

21 UNIDADE III - GRÁFICOS ESTATÍSTICOS. Represetação Gráfica Dados estatísticos podem ser represetados tato por tabelas e quadros de distribuição por freqüêcia quato por gráficos. Observe o seguite exemplo: Exemplo: Uma pesquisa do Istituto Gallup, realizada em vite Estados do Brasil, registra uma alta o otimismo do povo brasileiro (publicação da revista veja, ). A taxa de otimismo foi estabelecida pela difereça etre o percetual de etrevistados que esperavam um ao seguite melhor, em relação ao ao aterior, e o percetual daqueles que tiham opiião cotrária a essa. % 0% Abertura política Mudaça para o govero civil % 0% Eleições diretas para goverador % 0% % 0% Pelo gráfico deduzimos que em 978, ao em que o geeral Figueiredo foi escolhido presidete, a taxa era de 9%, caido para % em 980. Em 98, quado foram realizadas eleições diretas para goverador, o otimismo dos brasileiros chegou a 8%, caido para zero em 98, quado o Brasil recorreu ao FMI (Fudo Moetário Iteracioal). Nessa ocasião 0% dos etrevistados cosideravam que o ao seguite seria melhor, e os outros 0 que seria pior. Em 98, o último ao do regime militar istalado em 9, a taxa de otimismo volta a subir, atigido 7%. Além de revelar o feômeo estatístico, o gráfico tem a fução de facilitar sua compreesão, por meio do efeito visual imediato que lhe é próprio. Essa característica é uma vatagem que os gráficos têm sobre as tabelas, já que a impressão que eles produzem é mais rápida e viva. A Estatística pode recorrer a vários tipos de gráfico. Os pricipais são os gráficos de liha ou de curva e os diagramas de área (que icluem os gráficos Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

22 de coluas, de barras e de setores, etre outros). Estudaremos quatro tipos de represetações gráficas: o gráfico de setores (ou pizza ), o gráfico de barras (verticais ou horizotais), o histograma e o gráfico de lihas (poligoal). ) Gráfico de Setores A represetação por setores cosiste em dividir um círculo em partes (setores circulares), com os âgulos de medida proporcioal à porcetagem da variável tabelada. Exemplo: ÁREA DAS REGIÕES DO BRASIL % % 7% % Cetro-oeste Sul Sudeste Nordeste Norte 8% Fote: IBGE Exercício Com o objetivo de traçar um perfil dos aluos freqüetadores da biblioteca de certa uiversidade foram etrevistados 0 aluos, obtedo: Tabela de Freqüêcia do Estado Civil Estado Civil Freqüêcia absoluta Freqüêcia Relativa Porcetagem % Separado 0 = 0,0 Solteiro 0 = 0, 0 Casado 0 = 0, 0 Viúvo 0 = 0,0 Total = 0 00 Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

23 Número de aluos Estatística Aplicada à Educação Costrua a partir dessa tabela o gráfico dos setores represetado o estado civil dos etrevistados. ) Gráfico de Barras Para costruir esse tipo de gráfico, basta estabelecer uma escala coveiete para defiir o tamaho da barra e usar a freqüêcia de cada ocorrêcia da variável em estudo a represetação. Exemplo: Número de aluos que freqüetam uma biblioteca A Ao Número de aluos que usaram a biblioteca Logo temos o gráfico de barras abaixo, ilustrado a freqüêcia dos aluos a biblioteca por ao Aos Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

24 ) Histograma Cosiste em um cojuto de retâgulos que apresetam: i) As bases sobre um eixo horizotal (eixo dos X) com cetro os potos médios e as larguras iguais às amplitudes dos itervalos das classes; ii) As áreas dos retâgulos são proporcioais às freqüêcias das classes; Se todos os itervalos tiverem a mesma amplitude, as alturas dos retâgulos serão proporcioais às freqüêcias das classes. Exemplo: Supohamos válida a tabela abaixo: Tabela de freqüêcia do tempo de permaêcia do aluo a biblioteca, ode a amplitude das classes cosiderada é Tempo de permaêcia (em miutos) Freqüêcia Absoluta Freqüêcia Relativa Porcetagem % = 0, = 0, = 0, = 0, Total 0 00 Logo o Histograma ilustrado o tempo de permaêcia dos aluos a biblioteca é dado por: % 0% % 0% % 0% % 0% % 0% Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

25 Número de aluos Estatística Aplicada à Educação ) Gráfico de Lihas Neste tipo de gráfico determiamos diversos potos, que são, uido-os por segmetos de reta, costruido desta forma, uma curva poligoal. É importate lembrar que esse tipo de gráfico represeta a fução etre as variáveis evolvidas. Exemplo: Cosidere a tabela abaixo: Dados do úmero de aluos que freqüetam a biblioteca por ao Ao Número de aluos que usaram a biblioteca Logo o gráfico de lihas ilustrado a freqüêcia dos aluos a biblioteca é dado por: Aos Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

26 UNIDADE IV - MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL.. Itrodução O estudo que fizemos sobre distribuições de freqüêcias, até agora, permite-os descrever, de modo geral, os grupos de valores que uma variável pode assumir. Dessa forma, podemos localizar a maior cocetração de valores de uma dada distribuição, isto é, se ela se localiza o iício, o meio ou o fial, ou aida, se há uma distribuição por igual. Porém, para ressaltar as tedêcias características de cada distribuição, isoladamete, ou em cofroto com outras, ecessitamos itroduzir coceitos que se expressem através de úmeros, que os permitam traduzir essas tedêcias. Esses coceitos são deomiados elemetos típicos da distribuição e são as: a) Medidas de posição; b) Medidas de variabilidade ou dispersão; c) Medidas de assimetria; d) Medidas de curtose. Detre os elemetos típicos, estudaremos essa uidade, as medidas de posição, que são estatísticas que represetam uma série de dados, orietadoos quato à posição da distribuição em relação ao eixo horizotal. Também estudaremos a medidas de variabilidade ou dispersão. De um modo geral, qualquer cojuto de dados estatísticos agrupados ou ão depededo do estudo a que se propõe, ocupam uma posição específica detro de uma distribuição. Através de tabelas e gráficos costruídos ateriormete, vimos como resumir e apresetar um cojuto de dados. Cotudo, podemos resumir aida mais este cojuto, apresetado um ou algus valores que represetam todo o cojuto. Esses valores são chamados de medidas de posição. As medidas de posição mais importates são as medidas de tedêcia cetral, que recebem tal deomiação pelo fato de os dados observados tederem, em geral, a se agrupar em toro dos valores cetrais. As pricipais medidas de tedêcia cetral são: a) Média (aritmética, geométrica, harmôica, quadrática) b) Moda c) Mediaa d) Separatrizes Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

27 .. Medidas de Posição para Dados Não Agrupados em Classes... Média Aritmética A média aritmética de um cojuto de úmeros pode ser de dois tipos: simples ou poderada.... Média Aritmética Simples (x) A média aritmética simples de um cojuto de úmeros é igual ao quociete etre a soma dos valores do cojuto e o úmero total de valores. ode: x x x x x i i.. x - média aritmética simples; x i - valores da variável; - úmero de observações. Exemplo: Sejam os valores abaixo correspodete aos salários de fucioários de uma empresa. Calcular a média aritmética simples. x 800,00; x 780,00; x 80,00; x 80,00; x 790, x 800,00 x 800, 00 A média aritmética simples será calculada sempre que os valores vierem represetados idividualmete. Exercício Calcule a média aritmética dos úmeros 8,,, e Média Aritmética Poderada A média aritmética é cosiderada poderada quado os valores do cojuto tiverem pesos diferetes. No caso da média aritmética simples, todos os valores possuem o mesmo peso. A média aritmética poderada é o quociete etre o produto dos valores da variável pelos respectivos pesos e a soma dos pesos. Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 7

28 ode: x p k xp x p x p... x p x p x p... x p i i i k k k k k pi p p.. pk i x p - média aritmética poderada; x i - valores da variável; p i - pesos dos valores da variável (º de vezes que cada valor ocorre); k pi - úmero de observações; i k - úmero de classes ou de valores idividuais diferetes da variável. Os pesos dos valores da variável correspodem ao úmero de vezes que cada valor ocorre. Exemplo: Sejam os valores abaixo correspodetes aos salários de 0 fucioários de uma empresa: x x 800,00; x 70,00; x 7 770,00; x 70,00; x 8 790,00; x 780,00; x 9 800,00; x 800,00; x 0 70,00; 770,00 (70,00 ) (70,00 ) (770,00 ) (780,00 ) (790,00 ) (800,00 ) x p x p 778,00 Exercício Para igressar em uma determiada Istituição de Esio um cadidato deve fazer três provas, uma de matemática, uma de português e outra de cohecimetos gerais e deve obter o míimo média,0 para ser classificado, disputado a vaga com os demais cadidatos segudo a ordem de classificação. O que podemos afirmar sobre um cadidato que obteve as otas mostradas a tabela a seguir? Provas Pesos das Provas Notas do Cadidato A Matemática 7 8,0 Português,0 Cohecimetos Gerais,0 Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 8

29 ... Média Geométrica ( x g ) Estatística Aplicada à Educação A média geométrica de valores é defiida, geericamete, como a raiz -ésima do produto de todos eles. Dados valores x, x,, x, a média geométrica desses valores será: x x x... ou x g g x Ode: letra grega (pi) que idica o produto dos valores da variável. i x i Exemplo: Calcular a média geométrica simples do cojuto x = {,,, }. x g xi x x x x i x 8 8 g Ou log 09,0 log x g log 09 0,90090 ati log 0, x g Exercício Determie a média geométrica dos úmeros, e 8. x g... Média Harmôica ( x h ) A média harmôica de um cojuto de valores x i é o iverso da média aritmética dos iversos dos valores. xh ou xh... x x x i xi Exemplo: Calcular a média harmôica simples do seguite cojuto de úmeros: x = {0, 0, 0} 0 x h, x x h i i, Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 9

30 Exercício A potuação de um aluo em uma seqüêcia de prova foi: 8,; 9,; 7,;,8; 8,7 e 7,8. Determie a média harmôica.... Média Quadrática ( x q ) A média quadrática de um cojuto de valores x i é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados. ode: x q xi i x x... x x i - valores da variável; - úmero de observações. Exemplo: Calcular a média quadrática do cojuto: x = {,,, } x q,7 x q, 7 Exercício O valor da hora-aula de professores de um determiado colégio está mostrado a tabela abaixo. Determie a média quadrática do valor da hora-aula. Professores Valor da hora-aula (R$) A 7,0 B,0 C 7,00 D,00 E,00... Moda (Mo) A moda é outra medida de tedêcia cetral, defiida como o valor mais freqüete, quado comparado sua freqüêcia com a dos valores cotíguos de um cojuto ordeado. Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 0

31 Cosiderado um cojuto ordeado de valores, a moda será o valor predomiate, o valor mais freqüete desse cojuto. Esse cojuto de valores pode ser: - Amodal: ão apreseta uma moda, isto é, todos os valores da variável em estudo ocorreram com a mesma itesidade (freqüêcia). - Plurimodal: quado houver mais de um valor predomiate. Exemplo: Calcular a moda dos seguites cojutos de valores: x = {,,,,,, 7, 7, 8, 8} Mo = y = {,,,,, } Amodal, pois seus três valores apareceram vezes cada um. z = {,,,,,,,,,,, } Mo = e Mo =, cojuto bimodal, pois tato o valor como o valor apresetaram o maior úmero de ocorrêcias. w = {,,,, } Amodal... Mediaa (Me) Mediaa é um valor cetral de um rol, ou seja, a mediaa de um cojuto de valores ordeados (crescete ou decrescete) é à medida que divide este cojuto em duas partes iguais, cujo valor está sucedido de 0% e atecedido de 0% desse cojuto de observações. A mediaa também é cosiderada uma medida separatriz, pois divide a distribuição (a série) ou cojuto de dados em partes iguais. É uma medida muito utilizada a aálise de dados estatísticos, especialmete quado se atribui pouca importâcia aos valores extremos da variável. A mediaa é um valor que ocupa uma determiada ordem ou posição a série ordeada. Estado ordeados os valores de uma série e sedo o úmero de elemetos da série, o valor mediao será: - Se for ímpar: a mediaa será o termo de ordem: ode: P Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

32 P elemeto mediao (Posição); úmero de elemetos do cojuto. - Se for par: a mediaa será a média aritmética dos termos de ordem / e / + : P Exemplos: P P P Me ) Para a série {,,, 9, 0,,,, 8} = 9 A mediaa será o termo de ordem Assim, Me = 0. 9 P ) Para a série {,, 7, 0,,, 8, } = 8 A mediaa será o termo de ordem: 8 8 P P 0 Me Observação: A mediaa depede da posição e ão dos valores dos elemetos a série ordeada. Essa é uma das difereças marcates etre a mediaa e a média (que se deixa iflueciar, e muito, pelos valores extremos). Exercícios ) O quadro abaixo apreseta os salários recebidos por fucioários de uma empresa segudo o cargo que ocupam. Determie a mediaa dos salários que a empresa paga para seus fucioários. Cargos Salários (R$) Diretor.00,00 Chefe de Departameto.700,00 Agete Admiistrativo 800,00 Serviços Gerais 00,00 Seguraça 0,00 Apoio Técico 00,00 Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

33 ) Uma istituição de pesquisa fez um levatameto de vários produtos adquiridos ormalmete em uma feira popular. O resultado está a tabela a seguir. Determie a média, mediaa e a moda do preço dos produtos pesquisados. Produtos Tomate Cebola Batata Ceoura Repolho Pimetão Abobora Preço (R$),0,00,0,70,00,90,70.. Medidas de Posição para Dados Agrupados em Classes... Média Aritmética Poderada O valor de x i passa a ser o poto médio do itervalo. x p = k i= P m i.f i = P m.f +P m.f + +P m k.f k f +f + +f k ode: P mi é o poto médio do itervalo de classe i; f i é a freqüêcia absoluta do itervalo classe i. Exemplo: Classes f i P mi P mi. f i = i= f i = P mi.f i = 7 i= x p = i= P m i.f i = 7 x p =. Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

34 Propriedades da Média ª) A soma algébrica dos afastametos (ou desvios, ou resíduos) de um cojuto de úmeros tomados em relação à média aritmética é zero. Simbolicamete: di ( xi x) 0 i k ou d p ( x x) p 0 i i i i i ª) Se multiplicarmos ou dividirmos todas as iformações por uma costate, a média aritmética também ficará multiplicada ou dividida por essa costate. ª) Somado-se ou subtraido-se uma costate a todos os valores de um cojuto de iformações, a média aritmética ficará somada ou subtraída dessa costate. ª) A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação à média aritmética é um míimo. Uso da Média: É a mais utilizada dos valores médios, pela simplicidade e rapidez de seu cálculo. a) Quado se deseja obter um valor médio estável e sigificativo que iclui o seu cálculo todos os valores; b) É usada a determiação de ídices de grade importâcia estatística; c) Quado se deseja maior precisão a determiação de uma medida, realiza-se várias iduções e toma-se como resultado a média aritmética. Exercício A tabela a seguir cotém iformações da reda familiar mesal de um grupo de estudates. Determie a reda média desse grupo. Reda familiar mesal (em salário míimo) Freqüêcia Relativa fr i = f i f i,7 0,,7 8, 0, 8, 0 0, 0, 0, Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

35 ... Média Geométrica Poderada A média geométrica poderada de um cojuto de úmeros dispostos em uma tabela de freqüêcias é calculada por itermédio da seguite expressão: k x x x... x ou x x g k p i i ode: p p p k g k p i i i Exemplo: Calcular a média geométrica poderada dos valores costates da seguite tabela: x i 9 7 p i k p i 9 i Temos que k = e = 9, logo: 9 x g 9 7, 89 x g, 8 Exercício A tabela a seguir cotém iformações da reda familiar mesal de fucioários de uma determiada empresa. Determie a média geométrica da reda desses fucioários. Reda Familiar mesal Número de Fucioários Propriedades da Média Geométrica ª) O produto dos quocietes de cada valor de um cojuto de úmeros pela média geométrica do cojuto é igual a um. x x x x g g x... x g Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

36 ª) Séries que apresetam o mesmo úmero de elemetos com a mesma soma total têm a mesma média aritmética, equato séries que apresetam o mesmo úmero de elemetos com o mesmo produto têm a mesma média geométrica. ª) A média geométrica é meor ou igual à média aritmética. A desigualdade xg x sempre se verifica, quado os valores da série forem positivos e em todos iguais. Se etre eles houver um ou mais zeros, a média geométrica será ula. iguais. A igualdade x g x só ocorrerá quado todos os valores da série forem ª) Quato maior for a difereça etre os valores origiais maior será a difereça etre as médias aritmética e geométrica. Uso da Média Geométrica a) Quado um dos valores é ulo ão se aplica a média geométrica; b) Para o cálculo do ídice do custo de vida; c) Crescimeto demográfico. Exemplo: Cojuto x = {, } y = {, } w = {8, } z = {, 0} Média Aritmética ( x ) 0 Média Geométrica ( x g ),97 9, Média Harmôica Poderada ( x h ) A média harmôica poderada de um cojuto de úmeros, dispostos em uma tabela de freqüêcias, é dada pela seguite expressão: Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

37 x h k x i i k p i p i i Estatística Aplicada à Educação i k i k x i p i p ode: - úmero de observações; x i - valores da variável; p i - pesos dos valores da variável. i k i p x i i Exemplo: Calcular a média harmôica dos dados costates da tabela abaixo: Classes p i x i xi p p i 0 i 8 0 / / / /8 /0 i x i,00,00, 0,0 0,0 pi i xi 0 x h, 9, 0 x h, 9 Exercício A tabela a seguir mostra a distribuição, em toeladas, das cargas máximas suportadas por certos cabos fabricados por uma compahia. Determie a média harmôica. Carga Máxima (toeladas) 9, 9,7 9,8 0, 0, 0,7 0,8,,,7,8,,,7,8, Número de cabos 7 = 0, 0 Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 7

38 Propriedades da Média Harmôica A média harmôica é meor ou igual à média geométrica para valores da variável diferetes de zero. xh xg Por extesão de raciocíio e de acordo com a terceira propriedade da média geométrica, podemos escrever: xh xg x Uso da Média Harmôica a) Muito utilizada em fatores de ordem física (aceleração, velocidade); b) Custo médio de artigos comprados com uma quatia fixa.... Média Quadrática Poderada Quado os valores da variável estiverem dispostos em uma tabela de freqüêcias, a média quadrática será determiada pela seguite expressão: ode: x q k xi pi i x. p x. p... xk. pk x i - valores da variável; p i - pesos dos valores da variável; - úmero de observações. Exemplo: Calcular a média quadrática dos valores da tabela abaixo: Classes p i x i x i x p x i. p i i i = 98 9 Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 8

39 k xi pi i 98 xq 7,0 x q 7, 0 Exercício A tabela a seguir cotém a altura de 00 estudates do sexo masculio de uma determiada uiversidade. A partir das iformações cotidas a tabela determie as médias aritmética, geométrica, harmôica e quadrática altura dos estudates. Altura (cm) Número de Estudates,,8,9, 8,7,7,7,8 7,8,90 8 Propriedades da Média Quadrática ª) A média quadrática de uma costate é igual a costate. ª) Multiplicado ou dividido todos os valores de um cojuto de úmeros por um valor costate arbitrário, a média quadrática fica multiplicada ou dividida por essa costate. ª) Sempre que os valores de x forem positivos é válida a relação: xq x xg xh A igualdade se verifica quado os valores da variável forem iguais (costates). xq x xg xh para x x... x 0 A média quadrática é largamete utilizada em Estatística, pricipalmete quado se pretede calcular a média de desvios ( x x ) em vez de a média dos valores origiais. Neste caso, a média quadrática é deomiada desvio-padrão, que é uma importate medida de dispersão, que será estudada mais adiate.... Moda para Dados Agrupados Os valores da variável dispostos em uma tabela de freqüêcias podem apresetar-se idividualmete ou agrupados em classes. No primeiro caso, a determiação da moda é imediata, bastado, para isso, cosultar a tabela, localizado o valor que apreseta a maior freqüêcia. Esse valor será a moda do Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 9

40 cojuto. Assim, a moda do cojuto apresetado a tabela abaixo é Mo =, idicado que a rejeição de peças defeituosas por mês foi o resultado mais observado. Exemplo: Número de Peças de Precisão Defeituosas devolvidas mesalmete pelo Cotrole de Qualidade. N de Peças com Defeito x i 0 N de meses p i 8 7 p i 7 i Tratado-se de uma tabela de freqüêcias com valores tabulados e agrupados em classes, o procedimeto ão é imediato, sedo dispoíveis algus métodos de cálculo distitos. Qualquer que seja o método adotado, o primeiro passo para determiar a moda é localizar a classe que apreseta a maior freqüêcia, comumete chamada de classe modal. Um dos métodos para o cálculo da Moda é o Método de Czuber. Método de Czuber O método de Czuber, para o cálculo da moda elaborada, leva em cosideração ão apeas as freqüêcias das classes adjacetes, mas também a freqüêcia da classe modal. O poto que correspode à moda divide o itervalo da classe modal em duas partes, as quais são proporcioais às difereças etre a freqüêcia da classe modal e as das respectivas classes adjacetes. Assim: ode: FMo Fat Mo Li h F ( Fat Fpost ) Mo Prof. Msc. Atoio Gomes Págia 0

41 L i - limite iferior da classe modal; h - amplitude do itervalo de classe; Estatística Aplicada à Educação F Mo - freqüêcia simples da classe modal; Fat - freqüêcia simples da classe aterior à classe modal; Fpost - freqüêcia simples da classe posterior à classe modal. Exemplo: Determiar a moda pelo método de Czuber para os dados apresetados abaixo: Classes p i ou f i 0 9 = 8 Classe Modal: Li = 0 Mo 0 0 8, 7 0 ( 9) h = 0 F Mo = 0 Mo = 8,7 Fat. = Fpost. = 9 Exercício Determie a moda pelo método de Czuber para os dados apresetados abaixo: Distribuição de Estaturas de um acampameto ifatil i Estaturas (cm) Freqüêcia 7 = f i = Prof. Msc. Atoio Gomes Págia

42 ... Mediaa Para o caso de uma distribuição, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, é dada por: f i passo: Determia-se as freqüêcias acumuladas; passo: Calcula-se a posição da mediaa; passo: Marca-se a classe correspodete à freqüêcia acumulada imediatamete superior a posição calculada e, em seguida, emprega-se a fórmula: M e = l Me + f i F at f Me. h Me ode: l Me é o limite iferior da classe mediaa; F at - freqüêcia acumulada até a classe aterior à classe mediaa; f Me freqüêcia simples da classe mediaa; h Me amplitude do itervalo da classe mediaa. Exemplo: Classe mediaa i Estaturas (cm) Fi 9 8 f i = 0 Fa 7 0 f i = 0 = 0 Classe mediaa de ordem (i = ) Como há valores icluídos as três primeiras classes da distribuição e como pretedemos determiar o valor que ocupa o 0 lugar, a partir do iício da série, vemos que esse deve estar localizado a terceira classe (i = ), supodo que as freqüêcias dessas classes estejam uiformemete distribuídas. Prof. Msc. Atoio Gomes Págia