A SOLUÇÃO PARTICULAR DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
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1 A SOLUÇÃO PARTICULAR DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HÉLIO BERNARDO LOPES O tea das equações difereciais está resete a esagadora aioria dos laos de estudos dos cursos de liceciatura ode se estuda teas ateáticos. E o eso acotece o âbito de uitos cursos de estrado e até de doutoraeto. De resto, o tea cotiua e fraco desevolvieto, uito e articular o subdoíio das equações difereciais às derivadas arciais, e orete ao ível das alicações a casos cocretos. U caso uito articular de equações difereciais é o das equações difereciais ordiárias, lieares, que são suscetíveis de se reduzir à fora: ( ) ( ) a ( x) + a ( x) + + a ( x) + a ( x) + a ( x) = f ( x) 0 2 ode a ( j x ), j,...,, são fuções reais de variável real, tal coo f ( x ), e ode é a (fução) icógita da equação, deedete de x D R e co valores e R, sedo ( j), j =,...,, as suas derivadas até à orde.
2 Ua tal equação diz-se de coeficietes variáveis (co x D R), que são os a j ( x), e coleta, se f ( x) ão for aí ideticaete ula. Se os coeficietes a j ( x) fore costates reais, a equação aterior diz-se de coeficietes costates, escrevedo-se referecialete a fora a fora: ( ) ( ) a + a + + a + a + a = f ( x) 0 2 dizedo-se hoogéea se f ( x) for ideticaete ula, f ( x) 0 : a ( ) a ( + ) + + a + a + a = A solução geral da equação hoogéea é facilete obteível or étodos eleetares, coortado, aturalete, costates reais arbitrárias. No caso ais siles, a solução geral da equação hoogéea será do tio: co C j R, j variável real. = C + + C h =,...,, costates arbitrárias, e j, j =,...,, fuções reais de Para se coseguir a solução geral da equação coleta, há que ecotrar ua sua solução articular,, sedo a solução geral da esa dada or: = + = C + + C + h. E certas situações da fução f ( x) o recurso ao étodo dos coeficietes ideteriados erite ecotrar ua solução articular da equação coleta. É o que se assa co a equação de seguda orde: = x ode ua solução articular oderá ser do tio: 2.
3 2 = A0 x + A x + A2 ecotrado-se os coeficietes A 0, A, A 2 R através do étodo dos coeficietes ideteriados. De u odo assaz frequete, esta etodologia ão oferece qualquer dificuldade a sua alicação, e orde a ecotrar a solução geral de ua equação coleta de coeficietes costates. O eso ão se dá se a fução f ( x) ão ertecer a u cojuto de fuções tíicas, que são as que surge, de u odo uito geral, as alicações ao ível escolar. Seja, or exelo, a ova equação: + = cos ec( x) que é coleta e de terceira orde, as e que ua sua solução articular ão ode obter-se através do étodo dos coeficietes ideteriados. A solução geral da corresodete equação hoogéea obté-se facilete e é: = C + C x + h 2 cos( ) C3se( x) ode C, C 2 e C 3 são costates reais arbitrárias. Ora, a obteção de ua solução articular da equação coleta ode aqui fazer-se or recurso, recisaete, ao étodo de variação das costates. Dado que a solução geral da equação hoogéea é: = C + C x + h 2 cos( ) C3se( x) o étodo de variação das costates cosiste e suor que ua solução articular da equação coleta é: = C ( x) + C2 ( x) cos( x) + C3( x) se( x)
4 ode as costates C j, j =, 2, 3, já ão são costates, as si fuções reais da variável ideedete, x. Para se deteriare C ( j x ), j =, 2, 3, e or aí se chegar à solução articular rocurada, há que resolver o sistea de equações lieares e C ostra de seguida: C ( x) + C2 ( x) cos( x) + C3( x) se( x) C2 ( x) se( x) + C3( x) cos( x) C2 ( x) cos( x) C3( x) se( x) = cos ec( x) obtedo-se, de u odo siles: C ( x) = cos ec( x) C ( x) = cot g( x) C ( x) = 2 3 exressões que, riitivadas, forece: [ ] [ ] j ( x), j =, 2, 3, que se C ( x) = l cos ec( x) + cot g( x) C ( x) = l se( x) C ( x) = x. 2 3 Assi, ua solução articular da equação coleta cosiderada é: [ ] [ ] = l cos ec( x) + cot g( x) l se( x) cos( x) x. se( x) elo que a solução geral da equação coleta é: [ ] [ ] = h + = C + C2 cos( x) + C3se( x) l cos ec( x) + cot g( x) l se( x) cos( x) x. se( x) h ode C j R, j =, 2, 3, são costates arbitrárias.
5 No caso ais geral de ua equação coleta de orde N 2 : ( ) ( ) + a + + a + a + a = f ( x) 2 a obteção de ua sua solução articular, usado o étodo de variação das costates, faz-se através da resolução do sistea de equações lieares os C ( x), j =,..., : C ( x) + + C ( x) C ( x) + + C ( x) ( 2) ( 2) C ( x) + + C ( x) ( ) ( ) C ( x) + + C ( x) = f ( x) ecotrado-se as exressões de C corresodetes de C hoogéea corresodete à dada: j j ( x), or cuja riitivação se obtê as ( x). Substituido estas exressões a solução geral da equação = C + + C h obté-se ua solução articular da coleta: sedo a corresodete solução geral: = C ( x) + + C ( x) = +. h j
6 Note-se que a alicação deste étodo se aditiu a 0 =. Se assi ão for, bastará dividir abos os ebros da equação (coleta) dada or a 0 0. Este étodo, ebora de odo ouco frequete, é or vezes tratado ao ível dos cursos de liceciatura. De todo o odo, e elo que acaba de ostrar-se, ão coorta qualquer dificuldade diga de registo. Muitíssio ais raro é o seu trataeto o âbito do estudo das equações às difereças ordiárias, orete ao ível dos cursos de liceciatura. Desiga-se or equação às difereças ordiária, liear, de orde N, toda a exressão que ossa reduzir-se à fora: a, a, a, + + a, = f ode a, j, j,...,, são teros gerais de sucessões de N 0 e R e f é ua fução real de variável atural. À seelhaça do que se viu co as equações difereciais, a icógita da equação é, que é, claro está, o tero geral de ua sucessão de teros reais. No caso de f ser ideticaete ula, a equação às difereças diz-se hoogéea, tedo-se, aqui tabé, que a solução geral da equação coleta - f 0 - se obté ela adição da solução geral da equação hoogéea corresodete co ua solução articular da equação coleta: = +, h,. No caso ais siles de ua equação hoogéea, a sua solução geral é do tio: = C + + C, h,, ode, j, N 0, j =,...,, são sucessões de teros e R, e e que C j R, são costates arbitrárias.
7 À seelhaça do que se viu co as equações difereciais, ua solução articular da equação coleta ode coseguir-se facilete or recurso ao étodo dos coeficietes ideteriados, desde que f aresete certo tio de estrutura. Este tio de situações é tratado co grade frequêcia ao ível dos cursos de liceciatura, as o eso se ão dá co o étodo de variação das costates, de grade utilidade a geeralidade dos casos de f. Neste étodo adite-se que ua solução articular da equação coleta é do tio: = C + + C,,, que se obté da solução geral da equação hoogéea corresodete à dada, as e que se adite que C ( j ), j =,...,, já ão são costates reais arbitrárias, as fuções da variável atural,. Ora, o recurso ao étodo de variação das costates coduz, o caso de ua equação às difereças coleta de orde, ao seguite sistea de quações lieares: C +, C +, C + 2, C + 2, C +, C +, C +, C +, = f ou, escrito a fora atricial:
8 +, +, , C 0 + 2, + 2, , C =... +, +, , C + + +,, 2..., C f ode as icógitas são C ( j ), j =,...,, ou seja, as rieiras difereças de C ( j ). Dado que a aterior atriz é a atriz de Casorati, K( + ), -, j, j =,...,, costitui u cojuto fudaetal de soluções -, o seu deteriate, K( + ), - deteriate casoratiao - ão é ulo. ode K A solução do aterior sistea, aida a fora atricial, é, ois: C 0 C = K ( + )... C 0 C f ( + ) é a iversa da atriz de Casorati. Desigado or M ( q + ) o eleeto da liha e da colua q da atriz adjuta de K( + ), virá etão: C = M q ( + ) f K( + ) co, q {,..., }.
9 As relações assi ecotradas são, coo é evidete, as rieiras difereças de C ( ), =,...,, sedo que são os C que se retede deteriar. Tal desiderato ode coseguir-se, ao eos, or duas etodologias: a rieira, através da utilização do oerador atidifereça, ; a seguda, à custa de relegar o roblea e causa ara o forato de ovas equações de difereças de rieira orde. Exõe-se aqui aeas a rieira etodologia, sedo essecial que se coheça o coceito de atidifereça. Assi, se for: = x a atidifereça de x é + C, ode C é ua costate real arbitrária, ou seja: x = + C C R. Note-se que, à seelhaça do oerador difereça,, tabé a atidifereça,, é u oerador liear, tedo-se = I, ebora, e geral, I. E Luís (2006), ode ecotrar-se u quadro co ua diversidade uito útil de exressões de f, co as corresodetes (rieira) difereça e atidifereça. Nestes teros, o recurso ao oerador atidifereça forece: C M q ( + ) = f K( + ) + A co =,...,, A R costates arbitrárias, e sedo C ( 0 ) = C. U exelo siles ilustra o étodo acabado de exor. Seja, etão, a equação às difereças de seguda orde: = e que é ua equação coleta, co f = e.
10 A solução geral da corresodete equação hoogéea: deteria-se de odo eleetar e vale: , h = C ( ) + C2 ( 7 ) co C, C2 costates reais arbitrárias. Assi, ua solução articular da equação coleta obter-se-á or:, = C ( ) + C2 ( 7 ) ode C ( ) e C 2 ( ) são agora fuções da variável atural,, que tê de ser deteriadas. Tal objetivo, coo se viu atrás, cosegue-se resolvedo o sistea de equações lieares: + + C ( ) + C2 ( 7) C ( ) + C2 ( 7) = e e orde às difereças, C ( ) e C 2 ( ), e vale: ( e) e C = C2 = Alicado agora a estas exressões o oerador atidifereça, virão as exressões de C ( ) e C : 2 ( e) e C = + A C = A 6( e + ) 6( e + 7)
11 co A, A 2 R costates arbitrárias. Itroduzido, fialete, C ( ) e C 2 ( ) a solução geral da equação hoogéea, obter-se-á ua solução articular da equação coleta iicial:, = e ( ) ( ) ( e + )( e + 7) 6( e + ) 6( e + 7) Assi, a solução geral da equação coleta iicialete colocada é: e = h + = C + C ( ) ( + 7),, ( ) 2 ( 7) ( e )( e + 7) 6 2 ( e ) 6( e ), h Fialete, iorta chaar a ateção ara o facto do étodo de variação das costates se alicar tabé ao caso de equações co coeficietes variáveis, be coo ao de sisteas de equações, seja difereciais ou às difereças., BIBLIOGRAFIA COSTA, Mário Rui Nues da, 995, Equações de Difereças Fiitas, FEUP. FERREIRA, Mauel Alberto e Rui Meezes, 992, EQUAÇÕES COM DIFERENÇAS. Alicações e robleas de Fiaças, Ecooia, Sociologia e Atroologia, Edições Sílabo, Lda. LUÍS, Rafael Doigos Garaito, 2006, Equações de difereças e alicações, Uiversidade da Madeira, Deartaeto de Mateática e Egeharias. SARAIVA, Maria dos Ajos, 982, EQUAÇÕES ÀS DIFERENÇAS FINITAS. Alicações à Ecooia, Couicações 4, Uiversidade de Coibra, Faculdade de Ecooia.
12 VELASCO, Valeti, 998, EQUAÇÕES FUNCIONAIS DISCRETAS, SPB Editores, Lda. VILLATE, Jaie E., 2009, Equações Difereciais e Equações de Difereças, FEUP.
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