8. INFERÊNCIA PARA DUAS POPULAÇÕES

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1 8. INFERÊNCIA PARA DUAS POPULAÇÕES

2 8.. Poulações ideedetes co distribuição oral Poulação Poulação X,, X Y,,Y X ~ N, Y ~ N, X Y ~ N, Obs. Se a distribuição de X e/ou Y ão for oral, os resultados são válidos aroxiadaete.

3 Testes de hióteses sobre X,,X é ua aostra aleatória de taaho de ua oulação co distribuição oral co édia e variâcia. Y,,Y é ua aostra aleatória de taaho de ua oulação co distribuição oral co édia e variâcia. As duas oulações são ideedetes. (i) Forulação das hióteses: : : À esquerda : : À direita : :, Bilateral sedo que é ua costate cohecida (valor de teste). = corresode à igualdade das duas édias. 3

4 4 (ii) Estatística de teste (a) e cohecidas: ). (, ~ sob N Y X Z (b) descohecida:, ~ sob t S Y X T ) ( ) ( e que S S S é a variâcia cobiada (ooled variace), i i i i Y Y S X X S. ) ( e ) ( Testes de hióteses sobre (c), abas descohecidas: ete, aroxiada, ~ sob t g S S Y X T. ) / ( ) / ( que e S S S S g (distribuição t de Studet co + g.l.)

5 5 (iii) Região crítica ara u ível de sigificâcia escolhido: c Z R Z c ) ( c T R T c ) ( c Z R Z c ) ( c T R T c ) ( c Z R Z c ) ( c T R T c ) ( (iv) Se Z R C ou T R C, rejeita-se o ; caso cotrário, ão se rejeita. : < : > : Testes de hióteses sobre Obs. Nas regiões críticas co Z e T o valor de c ão é o eso.

6 IC ara Estiador otual ara : X Y. De fora aáloga ao Ca. 7, u itervalo de cofiaça (IC) de ( )% ara é dado or IC [ L; U] [ X Y E; X Y E], sedo que E é o erro áxio do IC. (a) e cohecidas: E z. / (b) (c) descohecida: E t /, S. S S, abas descohecidas: E t g. /, Cálculo de g a lâia 4. 6

7 IC ara e testes de hióteses O teste da hiótese : = cotra : a u ível de sigificâcia ode ser efetuado utilizado u IC co coeficiete de cofiaça igual a. Costruíos o IC de (-)% ara, dado or [ L; U] [ X Y E; X Y E], sedo que o cálculo do erro áxio (E) utilizaos a lâia 6. Se IC, rejeitaos ; caso cotrário, ão rejeitaos. 7

8 8 ).,,( ),, ),(, ( : Pares X Y Y X Y X., ~ N D D D Poulação Poulação 8.. Poulações deedetes co distribuição oral Obs. Se a distribuição de D ão for oral, o resultado é válido aroxiadaete. Difereça: D = X Y co D = E(X Y) = E(X) E(Y) = e var(d) = D. Calculaos D = X Y,..., D = X Y,. ) ( e D D s Y X D D i i D i i Distribuição:

9 Testes de hióteses sobre D,,D é ua aostra aleatória de taaho de ua oulação co distribuição oral co édia D e variâcia D. (i) Forulação das hióteses: : D : D À esquerda : D : D À direita : D : D, Bilateral sedo que é ua costate cohecida (valor de teste). = corresode à igualdade das duas édias ( D = ). (ii) Estatística de teste: T ( D s D ) ~ sob t. (distribuição t de Studet co g.l.) 9

10 Testes de hióteses sobre (iii) Região crítica ara u ível de sigificâcia escolhido: : D < : D > : D R c T c T c R c T c R c (iv) Se T R C, rejeita-se o ; caso cotrário, ão se rejeita. Obs. Cohecido coo teste t areado ou earelhado (aired t test).

11 IC ara Estiador otual ara D = : D X Y. De fora aáloga ao Ca. 7, u itervalo de cofiaça (IC) de ( )% ara é dado or IC [ L; U] [ D E; D E], sedo que E é o erro áxio do IC: E t /, s D.

12 IC ara e testes de hióteses O teste da hiótese : D = cotra : D a u ível de sigificâcia ode ser efetuado utilizado u IC co coeficiete de cofiaça igual a. Costruíos o IC de (-)% ara D =, dado or [ L; U] [ D E; D E], sedo que o cálculo do erro áxio (E) utilizaos a lâia. Se IC, rejeitaos ; caso cotrário, ão rejeitaos.

13 8.3. Poulações ideedetes co distribuição Beroulli X,, X Y,,Y ( ) ~ N,, aroxiadaete. ( ) ~ N,, aroxiadaete. ( ) ( ) ~ N,, aroxiadaete, e que X i e Yi são as roorçõesaostrais de sucesso. i i 3

14 4. : : : : : : Bilateral À direita À esquerda (ii) Estatística de teste: aroxiadaete, (,), ) ( sob ~ N Z Testes de hióteses sobre X,,X é ua aostra aleatória de taaho de ua oulação co distribuição Beroulli co robabilidade de sucesso. Y,,Y é ua aostra aleatória de taaho de ua oulação co distribuição Beroulli co robabilidade de sucesso. As duas oulações são ideedetes. (i) Forulação das hióteses:. que e Y X i i i i

15 Exelo A região crítica ara =,5 é obtida cosultado a tabela da distribuição t de Studet co g = 6 g.l.: R c = { T >,}. Calculaos X Y 3,8 3,63 T, 97. S S,4,9 Coo T =,97 R c, rejeitaos. Coclusão. De acordo co os dados coletados e co u ível de sigificâcia de 5%, verificaos que há difereça etre os volues édios evasados elas duas áquias. 5

16 Testes de hióteses sobre (iii) Região crítica ara u ível de sigificâcia escolhido: : < : > : R c Z c Z c R c Z c R c (iv) Se Z R C, rejeita-se o ; caso cotrário, ão se rejeita. 6

17 IC ara Estiador otual ara :. De fora aáloga ao Ca. 7, u itervalo de cofiaça (IC) aroxiado de ( )% ara é dado or IC [ L; U] [ E; sedo que E é o erro áxio do IC: E z / E ( ) ( ). ], 7

18 IC ara e testes de hióteses O teste da hiótese : = cotra : a u ível de sigificâcia ode ser efetuado utilizado u IC co coeficiete de cofiaça igual a. Costruíos o IC de (-)% ara, dado or [ L; U] [ X Y E; X Y E], sedo que o cálculo do erro áxio (E) utilizaos a lâia 6. Se IC, rejeitaos ; caso cotrário, ão rejeitaos. 8

19 Exelo Duas áquias são utilizadas ara evasar u líquido e frascos de lástico. Co o objetivo de verificar se há difereça etre os volues édios evasados, duas aostras de e frascos fora selecioadas. Os volues (e l) fora edidos resultado os seguites valores : Máquia :3,9, 3,9, 3,8, 3,7, 3,9, 3,6, 3,8, 3,9, 3,7, 3,9, 3,7 e 3,; Máquia : 3,8, 3,9, 3,7, 3,5, 3,5, 3,6, 3,7, 3,3, 3,6 e 3,7. Utilizado os dados coletados, qual o resultado da verificação. Adote = 5%. Solução: 9

20 Exelo Aálise exloratória:

21 Exelo Dois tios de solução de olieto estão sedo avaliados ara ossível uso a fabricação de letes itra-oculares. Trezetas letes fora olidas usado a rieira solução de olieto e, desse úero 7 ão aresetara defeitos causados elo olieto. Outras 5 letes fora olidas usado a seguda solução de olieto, sedo que 6 letes fora cosideradas satisfatórias. á otivo ara acreditar que as duas soluções difere quato aos defeitos causados quado usadas e olietos? Adote =,. Solução:

22 8.4. Probabilidade de sigificâcia (valor-) No exelo (lâia 8) a região crítica é da fora R c = { T > c}, sedo que, se for verdadeira, T te distribuição t de Studet co 6 g.l. Co os dados coletados calculaos X Y Se adotaros c = T =,97 obteos R c = { T >,97} e a robabilidade do erro tio I é P( T >,97; verdadeira) = P( T >,97; = ) =,9 =,9%. E Excel: =DISTT(,97; 6; ).,9 é chaado de robabilidade de sigificâcia, ível descritivo, valor- (value) ou. T, 97. S S

23 8.4. Probabilidade de sigificâcia (valor-) Coo o ível de sigificâcia é a robabilidade de u erro tio I (rejeição de verdadeira), quato eor for valor-, ais forteete rejeitaos. Quato eor for valor-, ais evidêcia cotra (e vice-versa). No exelo (lâia ) a região crítica é da fora R c = { Z > c}, sedo que Z te distribuição N(,), se for verdadeira. Co os dados coletados calculaos Z =,9. Neste caso, valor- = P( Z >,9) = P(Z <,9) =,87 =,574. Escolheos o ível de sigificâcia (). Calculaos o valor-. Se valor- <, rejeitaos ; se valor-, ão rejeitaos. No exelo, se = 5% o resultado do teste seria icoclusivo. 3

24 Exelo 3 E u teste de dureza ua esfera de aço é ressioada cotra a suerfície de u bloco de aterial a ua carga adrão. Mede-se o diâetro (e ) da cavidade roduzida, que está relacioado à dureza do aterial da suerfície. Na realização do teste duas esferas (A e B) estão disoíveis. Suseita-que a esfera A gera cavidades co diâetro édio co difereça suerior a, e relação à esfera B. As duas esferas fora utilizadas e blocos ( = ) obtedo-se os dados abaixo: Diâetro das cavidades () Bloco Esfera A 7,5 4,6 5,7 4,3 5,8 3, 6, 5,6 3,4 6,5 B 5, 4, 4,3 4,7 3, 4,9 5, 4,4 5,7 6, Difereça,3,5,4 -,4,6 -,7,9, -,3,5 O que os dados erite cocluir sobre a suseita forulada? Adote = 5%. 4

25 Exelo 3 Solução: 5

26 Exelo 3 Obs. R c = { T > c}, sedo que, se for verdadeira, T te distribuição t de Studet co 9 g.l.. 6

27 Exelo 4 Estudos ateriores idica que a vida (e horas) de u teroar roduzido e ua idústria é ua variável aleatória co distribuição aroxiadaete oral. U grade corador suseita que o teo de vida édio é iferior a 56 h. E ua aostra aleatória de 5 teroares adquiridos fora edidos os teos de vida (e h) 553, 55, 567, 579, 55, 54, 537, 553, 55, 546, 538, 553, 58, 539 e 59. O que os dados erite cocluir sobre a suseita do corador? Adote = 5%. Solução: 7

28 Exelo 4 Obs. R c = { T < c }, sedo que T te distribuição t de Studet co 4 g.l., se for verdadeira. Neste caso, valor- = P(T <,66) =,99. Rejeitaos, ois valor- <. E Excel: =DISTT(,66; 4; ). 8

29 Exelo 5 ei & Peg (), The iact of iforatio techology use o lat structure, ractices, ad erforace: A exloratory study, Joural of Oeratios Maageet 6, This study exaies the iact of iforatio techology (IT) use o the structure, ractices, ad erforace of aufacturig lats. O iacto de ua variável sobre outra é quatificado or u coeficiete (b). É de iteresse verificar a sigificâcia do coeficiete ( : b = versus : b ). E u rieiro oeto ão é ecessário saber que teste foi utilizado. Resultados. SPC has a argially ositive associatio with the total uber of lat eloyees (b =.6, =.8) ad with lat sales... (b =.6, =.74). The SPC variable is ot sigificatly related to ay of the roductivity easures at the. level. Ou seja, = % (estudo exloratório). Se o roblea evolvesse a coaração de dois étodos de edição e que se retede substituir u dos étodos or outro elhor, o ível de sigificâcia seria eor. SPC is egatively related to willigess to itroduce ew roducts (b =.393, =.). Itegratio itelligece oly exhibits a weak ositive relatioshi with develoig uique ractices (b =., =.77). 9