GRÁFICOS DE CONTROLE PARA X e S

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1 Setor de Tecologia Departaeto de Egeharia de Produção Prof. Dr. Marcos Augusto Medes Marques GRÁFICOS DE CONTROLE PARA X e S E duas situações os gráficos de cotrole X e S são preferíveis e relação aos gráficos de cotrole X e R: (1) Quado o taaho da aostra é > 10; () Quado o taaho das aostras é variável. CONSTRUÇÃO E OPERAÇÃO DOS GRÁFICOS X e S A aeira de se otar os gráficos de cotrole X e S é seelhate a otage dos gráficos de cotrole de X e R, co a difereça que para cada aostra se deve estiar a édia x e o desvio padrão s. O estiador S = (x i x ) 1 é u estiador viesado de σ e, sabe-se que S a verdade estia c 4 σ, ode c 4 é ua costate que depede do taaho da aostra. Alé disso, o desvio padrão de S é σ 1 c 4. Cosiderado o caso ode é dado u valor de referêcia para σ, e coo, E(S) = c 4 σ, te-se: LSC = c 4 σ + 3σ 1 c 4 LC = c 4 σ LIC = c 4 σ 3σ 1 c 4 É de praxe defiir que: B 5 = c c 4 B 6 = c c 4 Assi, LSC = B 6 σ LC = c 4 σ LIC = B 5 σ OBS.: B 5 e B 6 são valores tabelados que uda de acordo co o taaho da aostra. Se ehu valor de referêcia é dado para σ, etão deve-se estiar o eso por eio dos dados históricos. Supoha que aostras preliiares esteja dispoíveis, cada ua de taaho, e seja S i o desvio padrão da i-ésia aostra. A édia dos desvios padrões é dada por 1

2 Setor de Tecologia Departaeto de Egeharia de Produção Prof. Dr. Marcos Augusto Medes Marques S = 1 S i i=1 Sabe-se que σ = S c 4 é u estiador ão-viesado, portato pode-se reescrever os liites de cotrole do gráfico S coo LSC = S + 3 S LC = S LIC = S 3 S c 4 1 c 4 c 4 1 c 4 Colocado S e evidêcia, pode-se defiir as costates B 3 = 1 3 c 4 1 c 4 e B 4 = c 4 1 c 4 LSC = B 4 S LC = S LIC = B 3 S Assi, os liites de cotrole pode ser reescritos coo OBS.: B 3 e B 4 são valores tabelados que uda de acordo co o taaho da aostra. Quado se usa σ = S para o gráfico de X coo c 4 para estiação de σ, pode-se defiir os liites de cotrole LSC = x + 3S c 4 LC = x LIC = x 3S c 4

3 Setor de Tecologia Departaeto de Egeharia de Produção Prof. Dr. Marcos Augusto Medes Marques Fazedo 3 c 4 = A 3, pode-se reescrever os liites de cotrole coo LSC = x + A 3 S LC = x LSC = x A 3 S EXERCÍCIO: Calcular os liites de cotrole de u gráfico X e S para os dados das edidas dos diâetros iteros () de aéis de pistão. Aostra Dados do Diâetro Itero do Ael do Pistão Observações 1 74,030 74,00 74,019 73,99 74,008 73,995 73,99 74,001 74,011 74, ,988 74,04 74,01 74,005 74, ,00 73,996 73,993 74,015 74, ,99 74,007 74,015 73,989 74, ,009 73,994 73,997 73,985 73, ,995 74,006 73,994 74,000 74, ,985 74,003 73,993 74,015 73, ,008 73,995 74,009 74,005 74, ,998 74,000 73,990 74,007 73, ,994 73,998 73,994 73,995 73, ,004 74,000 74,007 74,000 73, ,983 74,00 73,998 73,997 74, ,006 73,967 73,994 74,000 73, ,01 74,014 73,998 73,999 74, ,000 73,984 74,005 73,998 73, ,994 74,01 73,986 74,005 74, ,006 74,010 74,018 74,003 74, ,984 74,00 74,003 74,005 73, ,000 74,010 74,013 74,00 74, ,988 74,001 74,009 74,005 73,996 74,004 73,999 73,990 74,006 74, ,010 73,989 73,990 74,009 74, ,015 74,008 73,993 74,000 74, ,98 73,984 73,995 74,017 74,013 GRÁFICOS DE CONTROLE PARA ATRIBUTOS Muitas vezes, a característica de qualidade ão pode ser represetada ua fora uérica, ou seja, os ites produzidos são ispecioados e classificados coo cofores (atede às especificações) ou ão-cofores (ão atede às especificações). É cou usar-se a classificação de ão-defeituosos e defeituosos 3

4 Setor de Tecologia Departaeto de Egeharia de Produção Prof. Dr. Marcos Augusto Medes Marques quado as exigêcias de projeto são atedidas ou ão. Essas características são chaadas de atributos. Existe dois tipos de Gráficos de Cotrole para atributos. O prieiro cosidera coo edida de qualidade a fração de defeituosos produzidos pelo processo e é cohecido coo Gráfico de Cotrole p. Já o segudo é usado quado é ais coveiete acopahar-se o úero de defeitos observados por uidade de produto, este caso a Gráfico é deoiada Gráfico de Cotrole c. Etede-se por fração de artigos defeituosos coo a razão etre o úero de ites defeituosos e o total de ites. É claro que os ites pode apresetar várias características distitas que são ispecioadas ao eso tepo. Se qualquer dessas características estiver fora das especificações de projeto o ite é classificado de defeituoso. GRÁFICO DE CONTROLE PARA A FRAÇÃO DE DEFEITUOSOS OU GRÁFICO p A costrução do Gráfico de Cotrole para a proporção de defeituosos é feita co base a distribuição Bioial. Supoha que o processo produtivo esteja operado sob cotrole, ou seja, o processo é estável, ou elhor, todas as causas particulares de variação fora eliiadas. Etão, a probabilidade de que u ite qualquer seja classificado coo defeituoso é = p. Esta probabilidade é costate e os ites produzidos são v.a's i.i.d., ou seja, idepedetes, ideticaete distribuídas, co distribuição Beroulli Xi ~ b(1, p). O parâetro da Beroulli é p. Quado se toa ua aostra de uidades do processo e elas são ispecioadas e u dado istate e fixado-se Y = X i coo sedo o úero de defeituosos existete a aostra, etão Y te ua distribuição Bioial, Y ~ b(, p), co parâetros e p. Estas distribuições já fora estudadas ateriorete. A fração de defeituosos xi ˆ i1 y pˆ é ua estatística aostral uito iportate. Possui édia e desvio p(1 p) padrão iguais a: pˆ p e pˆ A Gráfico de Cotrole para a proporção de defeituosos pode ser costruída das seguites foras: 1ª) Se a fração de defeituosos é cohecida (ou estiada co base e dados ateriores), p, a liha cetral é fixada e p e os liites de cotrole são: i1 LIC p 3. p( 1 p) e LSC p 3. p( 1 p) Toado-se sucessivas aostras de uidades e calculado-se a fração aostral de defeituosos para cada aostra, se obté os potos da Gráfico. Se as frações aostrais p fica detro dos liites e se ão aparece ehu coportaeto sisteático, ão aleatório, dos potos o Gráfico pode-se cocluir, afirar, que o processo está sob cotrole. 4

5 Setor de Tecologia Departaeto de Egeharia de Produção Prof. Dr. Marcos Augusto Medes Marques ª) Se a fração de defeituosos ão for cohecida, ela será avaliada (estiada) a partir de dados observados os períodos iiciais do processo. Neste caso, se deve selecioar aostras de taaho. O valor de, e geral, é de 0 a 5. Assi, o úero de defeituosos e cada aostra é Yi i = 1,.., e a fração aostral de defeituosos é Yi p i e os estiadores da édia e do desvio padrão dessa estatística são: 1 pˆ(1 pˆ) pˆ pˆ i... e... ˆ pˆ i1 Portato, pode-se costruir a Gráfico de p usado-se a liha cetral fixada e p e os liites: LIC p 3 p( 1 p) e LSC p 3 p( 1 p) E, os liites de cotrole da Gráfico Np são dados por: LIC pˆ 3 pˆ(1 pˆ), LSC pˆ 3 pˆ(1 pˆ ) e LC = EXERCÍCIO (Do livro de D. C. Motgoery pg ref. [1]) Suco cocetrado de laraja cogelado é arazeado e caixas de papelão. Estas caixas são fabricadas por ua áquia que olda o papelão e a seguir ua película de etal é colocada iteraete a caixa. A ispeção da caixa deteria se ela quado cheia pode vazar, a costura dos lados ou o fudo. Deseja-se estabelecer a Gráfico de Cotrole para cotrolar a fração de caixas ão-cofores produzidas pela áquia. Para costruir essa Gráfico toou-se = 30 aostras de taaho = 50 caixas. Os dados são os seguites: p Aostr a º def. Aostr a º def. aostra º def EXERCÍCIO: Deterie os liites de cotrole para o úero de defeituosos Np, ou seja, os liites da Gráfico Np. 5

6 Setor de Tecologia Departaeto de Egeharia de Produção Prof. Dr. Marcos Augusto Medes Marques GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O NÚMERO DE DEFEITOS: C e U GRÁFICO DE CONTROLE DE NÃO CONFORMIDADES OU GRÁFICO C Coo se sabe, u artigo é cosiderado defeituoso quado ão satisfaz ua ou várias especificações. E cosequêcia, u artigo defeituoso irá coter pelo eos u defeito. E várias situações é perfeitaete possível que ua uidade do artigo coteha vários potos ode as especificações ão fora atedidas. Nas idústrias de produção cotíua, coo papel, tecidos, etc., é ais razoável a cosideração do úero de defeitos por uidade do artigo do que a siples classificação e perfeito/defeituoso. Assi, a costrução de Gráficos de cotrole para o úero de defeitos segue a distribuição de Poisso. O odelo de Poisso co parâetro = c para o úero de defeitos X observado por uidade do produto é: k c c e P( X k), k 0, 1,,... k! A édia da v.a. X é o parâetro c e a variâcia tabé é c, logo o desvio padrão é e os liites de cotrole a 3 desvios padrão serão: LIC c 3 c LSC c 3 c e a liha cetral é fixada e c. Quado resultar c 3 c < 0 o liite iferior é colocado e zero. Coo e geral o parâetro c é descohecido, deve-se estiá-lo por c. Assi, LSC = c + 3 c LC = c LIC = c 3 c c = 1 c i i=1 c 6

7 Setor de Tecologia Departaeto de Egeharia de Produção Prof. Dr. Marcos Augusto Medes Marques EXERCÍCIO: Defeitos e placas de circuito ipresso (D.C. Motgoery pg. 174) Os dados adiate se refere ao úero de defeitos observados e 6 aostras sucessivas de 100 placas de circuito ipresso. A uidade do produto (por coveiêcia) é 100 placas de circuito ipresso. Seja costruir ua Gráfico de cotrole para o úero de defeitos por uidade do produto (100 placas de circuito ipresso). º aostra Defeitos º aostra defeitos º aostra defeitos GRÁFICO PARA O NÚMERO MÉDIO DE NÃO-CONFORMIDADES POR UNIDADE DE INSPEÇÃO OU GRÁFICO U Ua outra abordage evolve o estabelecieto de u gráfico de cotrole co base o úero édio de ão-coforidade por uidade de ispeção. Se ecotraros u total de x ão-coforidades e ua aostra de uidades de ispeção, etão o úero édio de ão-coforidades por uidade de ispeção é u i = x i para i = 1,, Os liites de cotrole para o gráfico U são: LIC u 3 u e LSC u 3 e a liha de cetro é fixada e u. u O estiador do parâetro é u 1 u i i1 7

8 Setor de Tecologia Departaeto de Egeharia de Produção Prof. Dr. Marcos Augusto Medes Marques EXERCÍCIO Coputadores (D.C. Motgoery pg. 181) U fabricate de coputadores deseja estabelecer ua Gráfico de Cotrole para o úero de defeitos por uidade o fial de ua liha de otage. O taaho da aostra é estabelecido e =5 coputadores. Dados do úero de defeitos são obtidos para = 0 aostras de 5 coputadores. º aostra ta. Aostra º defeitos º aostra ta. aostra º defeitos GRÁFICOS DE CONTROLE PARA MEDIDAS INDIVIDUAIS E diversas situações de produção a Gráfico de cotrole para edidas idividuais é ecessária. Neste caso o taaho da aostra é = 1. Assi, a aostra é costituída por ua úica uidade. U exeplo da utilização de u gráfico de cotrole para edidas idividuais é: Quado a produção é uito leta e é icoveiete acuular taahos de aostras > 1. E uitas aplicações das Gráficos de Cotrole para Medidas Idividuais utiliza-se a aplitude óvel etre duas observações cosecutivas, ou seja: MR i x x i i1 Pode-se, tabé, costruir a Gráfico de Cotrole da Aplitude Móvel. Os seus liites são: LIC = D3 MR, LSC = D4 MR e LC = MR ode MR é a édia das aplitudes óveis etre duas observações cosecutivas e D3 e D4 são obtidos de tabela co = (geralete). 8

9 Setor de Tecologia Departaeto de Egeharia de Produção Prof. Dr. Marcos Augusto Medes Marques Dessa fora o estiador do desvio padrão é de Cotrole das Medidas Idividuais são: MR d e os liites de cotrole da Gráfico MR MR LSC x 3 e LIC x 3 co liha cetral e LC = x d d fora que D3 e D4, d é obtido da tabela. e da esa EXERCÍCIO: A uidade de processaeto de epréstios hipotecários de u baco oitora custos de processaeto de dos pedidos de epréstio. A quatidade rastreada são os custos édios de processaeto seaal, obtidos pela divisão dos custos seaais pelo úero de epréstios processados durate a seaa. Os custos de processaeto para as 0 últias seaas são dados abaixo. Calcula os liites de cotrole dos gráficos de cotrole idividuais e de aplitude óvel. Seaas Custo x

10 Setor de Tecologia Departaeto de Egeharia de Produção Prof. Dr. Marcos Augusto Medes Marques EXERCÍCIOS: 1) Cosidere os dados da viscosidade da tita de base para aviões adiate. Costrua ua Gráfico de cotrole para edidas idividuais. As observações cosecutivas são: 33,75 33,05 34,00 33,81 33,46 34,0 33,68 33,7 33,49 33,0 33, ,54 33,1 e 33,84. ) Cosidere os dados da viscosidade da tita de base para aviões adiate. Costrua ua Gráfico de cotrole para edidas idividuais. Outras 15 observações cosecutivas fora obtidas. As 15 ovas observações são: 33,50 33,5 33,40 33,7 34,65 34,80 34, ,75 34,50 34,70 34,9 34,61 34,39 e 35,03. Plote essas ovas observações as Gráficos de cotrole: da edida idividual e da aplitude óvel. Faça a aálise dos gráficos. 10