Prof. MSc. Fabrício Maciel Gomes. Lorena

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1 ] Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes Lorea - 010

2 ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO OBJETIVOS DO CONTROLE DE PROCESSO CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO VARIAÇÕES NUM PROCESSO Gráfico seqüecial Iterpretação da variação: CAUSAS DE VARIAÇÕES NUM PROCESSO Liites de Cotrole Gráficos de Cotrole e Aperfeiçoaeto do Processo Itrodução Uso Básico dos Gráficos de Cotrole Tipos de Gráficos de Cotrole Iterpretação dos Gráficos de Cotrole Gráfico de Cotrole por Variáveis Fialidade das Cartas de Cotrole por Variáveis Fudaetos Estatístico dos Gráficos de Cotrole Gráfico R Gráfico s Gráfico da Aplitude Móvel (R) Gráfico de Cotrole por Atributos Gráfico de Cotrole da Fração Defeituosas (Gráfico p) Gráfico do Núero de Uidades Defeituosas (Gráfico p) Gráfico do Núero de Defeitos (Gráfico c) Gráfico do Núero de Não Coforidades por Uidade (Gráfico u) Capacidade do processo Ídice de Capacidade Cp e Cpk: Ídice de Capacidade Pp e Ppk: Cálculo de Probabilidade da Distribuição Noral Referêcias Bibliográfica...4 ANEO A...44 ANEO B...45 ANEO C...46 Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes

3 1. INTRODUÇÃO Cotrole da qualidade é u cojuto de ações ou edidas desevolvidas co o objetivo de assegurar que os serviços ou produtos gerados ateda aos requisitos segudo os quais fora especificados. Segudo a ISO 840, Cotrole da Qualidade é defiido coo sedo o cojuto de técicas e atividades operacioais usadas para ateder os requisitos para a qualidade. Avaliar os resultados das ações, co o objetivo de verificar se os esos estão e coforidade co as expectativas, faz parte da atureza do hoe. Assi, o setido Lato, pode-se dizer que o cotrole da qualidade reota aos priórdios da civilização huaa. Não se pode precisar, o tepo, quado foi que o cotrole da qualidade coeçou a ser utilizado, de fora sisteática, de odo a assegurar que os resultados das ações epreedidas viesse a ateder aos requisitos dos projetos, a fora coo fora cocebidos. Etretato, a perfeição das obras reaescetes das civilizações grega, roaa, egípcia, chiesa, e outras, sob a fora de teplos, teras, pirâides, uralhas, etc., os perite assegurar que algua fora de cotrole devia ser por eles epregada. Os registros históricos os ostra que até o fial do século VIII, ates do iício da era idustrial, os epreedietos era, a sua aioria, de atureza idividual ou failiar e cada u defiia e cotrolava a qualidade dos produtos ou serviços que gerava. Curiosaete, esta é ua postura uito atual. No que se refere a garatia da qualidade, cada u é resposável pela qualidade do que faz. A difereça etre u profissioal do fial do século VIII e o seu colega dos dias atuais está a fora segudo a qual aquele etedia e este etede a fução qualidade. Para o profissioal do século VIII a qualidade estava relacioada ao atedieto as especificações do produto, especificações estas quase sepre ditadas por ele eso. Ele defiia o que deveria ser qualidade, produzia e, evetualete, quase sepre se ua prograação específica defiida, ispecioava o produto para verificar se estava cofore as suas especificações. Hoje, a qualidade é defiida pelo cliete. Cabe, tabé, ao profissioal dos dias atuais produzir e cotrolar a qualidade do que ele produz. Etretato, o cotrole da qualidade por ele exercido é feito de fora sisteatizada; é plaejado de fora a cobrir todas as fases do processo e te por objetivo assegurar que as ecessidades do seu cliete vão ser atedidas. Não se trata ais apeas de ua ispeção fial para verificar se o produto te ou ão defeitos de fabricação. Etretato, ão se pode dizer que a sociedade, até o iício do século I, ecotrava-se totalete se estruturas orgaizacioais orietadas para o cotrole da qualidade. Registra-se, o decorrer da idade édia, itesas atividades de associações de artesões, estabelecedo padrões que visava proteger gahos ecoôicos e sociais de seus associados e regular a ecooia. Para alcaçar esses objetivos essas associações desevolvera itesos e iportates trabalhos estabelecedo salários, codições de trabalho e especificações para atérias-prias e produtos acabados. Etre 1900 e 1930, co o adveto da era idustrial, pressioados pela crescete cocorrêcia e pela coplexidade dos processos, iiciou-se ua ova fase para o cotrole da qualidade. Essa foi à era da ispeção. No iício, as ispeções era feitas o produto acabado e tiha por objetivo evitar que ites defeituosos chegasse ao cosuidor. Nehua técica estatística era usada. No fial dos aos 0, coo decorrêcia da crescete coplexidade dos processos e da aior cocorrêcia do ercado, iiciou-se a utilização de técicas estatísticas para o cotrole dos produtos. E 194, foi criado o Ispectio Egieerig Departaet of Wester Electric s Bell Telephoe Laboratories, do qual fora ebros persoalidades coo R. B. Miller, G. D. Peterso, H. F. Dodge, G. D. Edwards, P. S. Olstead, M. N. Torrey e outros, aos quais deveos iportates trabalhos pioeiros de desevolvieto de teorias e étodos de cotrole da qualidade, icluido critérios para seleção e aostrage. A prieira carta de cotrole da qual se te registro foi Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 3

4 desevolvida por Shewhart e 194 e ficou cohecida coo Carta de Cotrole de Shewhart. Etre 1930 e 1940, o uso da estatística coo ferraeta para o cotrole da qualidade se cosolidou coo técica. Destaca-se esse período os trabalhos do Joit Coittee for the Developet of Statistical Aplicatios i Egieerig ad Maufacturig, presidido por Shewhart e apoiado pela Aerica Society for Testig Materials (ASTM), Aerica Society of Mechaical Egieers (ASME), Aerica Matheatical Society (AMS), Aerica Statistical Associatio (ASA), Istitute of Matheatical Statistics (IMS) e o Aerica Istitute of Electrical Egieers (AIEE). Na década de 40, o uso da estatística coo ferraeta para o cotrole da qualidade se cosolidou coo prática idispesável, pricipalete devido às codições ipostas pela ecooia de guerra. A ecessidade de assificar a produção levou a ua ievitável deterioração da qualidade dos produtos. Esse fato obrigou o sistea produtivo a utilizar, e escala se precedetes, as técicas estatísticas que já havia sido desevolvidas para o cotrole de produtos. Nesse período, itesivos prograas de treiaeto, orietados para a utilização destas técicas, fora ipleetados, co os objetivos de: iiizar perdas, reduzir o custo de produção e, pricipalete, assegurar a qualidade dos produtos. Nesse período, as forças aradas dos Estados Uidos e dos países aliados desepehara u papel iportatíssio o desevolvieto de ovas técicas estatísticas, a pesquisa de ovas teorias de cotrole, a ipleetação de prograas de cotrole da qualidade e, pricipalete, o estabelecieto de padrões. De 1950 a 1960, as forças aradas dos países aliados, pricipalete devido a guerra fria, que deadava cotíuos e itesos prograas de desevolvietos a área da idústria bélica, cotiuara sedo os pricipais ipulsioadores do desevolvieto da área de cotrole da qualidade. Os pricipais esforços dos aos 50 fora orietados para os estabelecietos de ovos padrões. Nessa década, o cotrole da qualidade deixou de efocar o produto e passou a orietar-se para o processo, o que, do poto de vista estratégico, represetou u passo iportatíssio. Na verdade o resposável pelos ites defeituosos é o processo. Se o processo é capaz e se está sedo devidaete cotrolado deve, portato, gerar produtos se defeitos. Na década de 50, o Japão iiciou sua jorada ruo a idustrialização. Deig, que havia participado ativaete, a década de 40, dos prograas de obilização para a qualidade, os Estados Uidos, foi para o Japão e, jutaete co Jura e Ishikawa, torou-se o pricipal resposável pela disseiação dos coceitos de cotrole da qualidade aquele país. Nos aos 60, o uso prático da estatística coo ferraeta para o cotrole de processo se cosolidou e fora laçadas as bases para a iplatação dos coceitos de Total Quality Cotrol - TQC, desevolvidos por Feigebau. O parque idustrial japoês, aida ifate, serviu de palco para a ipleetação destes coceitos, a década seguite. A década de 70 se caracterizou pela disseiação dos coceitos de TQC, pricipalete o Japão e fora laçadas as bases para a iplatação dos coceito de Total Quality Maageet - TQM. No fial desta década, a Iteratioal Orgaizatio for Stadardizatio - ISO criou o Tecical Coittee 176 (TC - 176) cujos trabalhos levara a criação das Noras ISO série 9000, aprovadas e Os aos 80 se caracterizara pela ipleetação, e larga escala, dos coceitos de TQM. O Japão, atedo a sua posição de vaguarda, liderou os países idustrializados a ipleetação destes coceitos. A aprovação das Noras ISO série 9000, e 1987, represetou ua udaça de paradiga e a Europa, berço dessas Noras, ocupou a posição de destaque este ovo ceário. A partir da década de 60, os probleas relacioados co a preservação da qualidade do eio abiete passou, cada vez ais, a ocupar o cetro das ateções da ossa sociedade. O resultado desse ovieto, pricipalete os países ais desevolvidos, foi o iício de pressões social para que os sisteas produtivos utilizasse tecologias ão poluidoras. Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 4

5 Na década de 70, a sociedade, preocupada co os ossos recursos aturais, evoluiu, icorporado coceitos de racioalização de isuos os processos produtivos. O vertigioso crescieto das atividades idustriais, ocorrido esse últio quarto do século, despertou, pricipalete as couidades ais esclarecidas, ua forte coscietização de que a atureza ão é ifiita e sua capacidade de absorver os resultados de todas as atividades huaas, o rito e que estas vê ocorredo, se que seja alteradas as codições abietais globais. Coo resultado, seis aos após a realização da ECO-9, foi assiado, o iício de 1998, o protocolo de Kyoto que estabelece critérios sobre eissão de CO e outros gases que exerce efeito estufa e prioriza o desevolvieto e a utilização de tecologias aigáveis co relação a udaças cliáticas. Coo ão poderia deixar de ser, os ovietos coservacioistas iflueciara forteete os coceitos relativos a qualidade e otivara a aprovação das Noras ISO Série 14000, e Essas Noras especifica os requisitos relativos a u sistea de gestão abietal e rege as relações cotratuais para o coércio itero e etre países, operacioalizado grade parte dos acordos firados a ECO-9. Assi, a preservação da qualidade do eio abiete passou a ter u caráter ecoôico urgete e coo coseqüêcia, o sistea produtivo deverá privilegiar, os próxios aos, e escala crescete, a utilização de tecologias orietadas para o desevolvieto sustetável, co efoque a preservação dos ecossisteas e da biodiversidade. A fução qualidade pode, tabé, ser aalisada pelo objeto do seu foco. Até a década de 40 o produto era o poto de aglutiação de todos os esforços orietados o setido de lhe agregar qualidade. Essa foi a era da ispeção, do cotrole da qualidade e a estatística foi a pricipal ferraeta utilizada. Nas décadas de 50, 60 e 70, o processo passou a ser o poto pricipal das ateções, se que, cotudo, o produto teha saído de cea. Cotrolar o processo para que os produtos por ele gerados ateda as especificações, certaete é ua fora ais ecoôica de assegurar qualidade. Nesse período, as ispeções cotiuara sedo atividades iportates as apeas para registrar a qualidade da produção e a estatística cosolidou sua posição coo ferraeta idispesável para os processos de cotrole. Nas décadas de 80 e 90 cresceu o eio epresarial a cosciêcia de que tão ou ais iportate do que produzir co qualidade, é oferecer ao cliete o que ele deseja, é ateder as suas ecessidades. Assi, o cliete, coo o parceiro ais iportate do egócio, passa a ser o foco das ateções. Ateder às expectativas do cliete e, se possível, superar essas expectativas, passa a ser a política dos egócios de sucesso. As características de ua epresa orietada para o atedieto ao cliete são: seus processos são cosistetes e adequadaete cotrolados (eficiêcia), seus produtos são especificados de acordo co as ecessidades do seu cliete (eficácia), coo as ecessidades do cliete estão sepre udado, elas são flexíveis, adapta-se co rapidez e tê visão do futuro (efetividade). Para essa epresa, o cliete o setido lato (a sociedade) aparece o ceário co iportâcia crescete e vai se torado tão iportate quato o cliete que adquire seus produtos ou serviços (cliete o setido strito). O cotrole de processo, para estar de acordo co o efoque filosófico da era e que estaos vivedo, deve ser diâico, deve estar orietado para as ecessidades dos clietes (itero e extero, strito e lato seso) e ser capaz de acopahar as udaças das suas ecessidades. Detro deste cotexto, a estatística é apeas ua ferraeta, iportatíssia se dúvidas, as apeas ua ferraeta. Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 5

6 . OBJETIVOS DO CONTROLE DE PROCESSO Cofore já foi efatizado, o cotrole de processo deve fazer parte do esforço cooperativo de todos os setores da epresa, o setido de assegurar a sua coforidade e a qualidade da produção, para que seja possível ateder às ecessidades dos clietes iteros e exteros. Atuado e todas as fases do processo produtivo e pricipalete os potos críticos, seus objetivos são: Gerar as iforações ecessárias ao desevolvieto dos ovos produtos; Forecer os subsídios ecessários às toadas de decisões os processos de copra e recepção de atérias-prias; Assegurar, ao setor de produção, as iforações requeridas para o efetivo cotrole dos processos de fabricação; Ispecioar os produtos acabados; Acopahar o perfil da qualidade dos produtos cocorretes. 3. CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO A estatística é, se dúvidas, ua ferraeta de trabalho poderosíssia para que trabalha e cotrole da qualidade e cotrole de processo. Para os ossos propósitos, a aplicação de técicas estatísticas ao cotrole da qualidade pode ser resuida e dois tipos de ações: aplicação de técicas ateáticas a aálise dos dados de cotrole e sisteatização desses dados de odo a facilitar a aálise dos esos, auxiliado os resposáveis a toar decisões. A aplicação de técicas estatísticas te por pricipal objetivo oferecer aos resposáveis pela toada de decisões, referêcias relativas ao grau de cofiabilidade dos resultados gerados pelos cotroles e aos riscos evolvidos as decisões toadas. A sisteatização dos dados de cotrole que oralete é feita sob a fora de gráficos de cotrole te por objetivo facilitar a visualização dos resultados. São três os pricipais tipos de gráficos usados e cotrole da qualidade a saber: Gráficos de cotrole por édia; Gráficos de cotrole por aplitude; Gráficos de cotrole para frações defeituosas. Os cotroles por édia e aplitude são feitos co base a teoria estatística da distribuição oral. Já o cotrole de frações defeituosas é, ais freqüeteete, fudaetado a distribuição de Poisso. Para algus casos de cotrole de frações defeituosas, a aplicação de teoria estatística da distribuição bioial pode ser vatajosa. A defiição de cotrole estatístico de processo pode ser realizada através da jução dos sigificados de cada ua das palavras. Cotrole ater algo detro dos liites (padrões) ou fazer algo se coportar de fora adequada. Estatística obter coclusões co base e dados e úeros que traze iforações. Cotrole Estatístico fazer co que os resultados se ateha cofore o previsto pelos padrões co a ajuda de dados uéricos. Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 6

7 Processo é a cobiação ecessária etre o hoe, os ateriais, as áquias, os equipaetos e o eio abiete para fabricar u produto qualquer. Mais especificaete, u processo é qualquer cojuto de codições ou cojuto de causas (sistea de causas) que trabalha siultaeaete para produzir u deteriado resultado. Portato, Cotrole Estatístico de Processo (CEP) é u étodo prevetivo de se coparar, cotiuaete, os resultados de u processo co os padrões, idetificado a partir de dados estatísticos as tedêcias para variações sigificativas, a fi de eliiar/cotrolar essas variações. O objetivo pricipal o CEP é reduzir cada vez ais a variabilidade de u processo. 4. VARIAÇÕES NUM PROCESSO E geral as características de u produto aufaturado apreseta variabilidade. Isto se deve a flutuações a qualidade dos ateriais usados e de variações as codições de operação do processo de produção. Aditido esta situação, pode afirar que: As características de qualidade de u produto são afetadas por causas acidetais que provoca variação; Existe, associado a qualquer processo de produção, u sistea de causas que provoca variação atural e u produto; Se fore só as causas que atua o processo, diz-se que as variações do processo são aceitáveis e ievitáveis e a eliiação destas causas é ievitável; Variações aorais deve ser corrigidas, ou seja, eliiadas; As causas de variações aceitáveis são chaadas causas aleatórias ou acidetais, as outras são causas especiais. Logo tê-se: Processo sob cotrole: É o processo cujas causas de variação são devidas soete pelas causas aleatórias. Se o processo esta sob cotrole: A variabilidade das características de qualidade do produto é devida, apeas, ao acaso; As causas de variações ão afeta de fora sigificativa o processo; Pode ser até ipossível, as é quase sepre atiecoôica, a eliiação estas causas; Existe ua distribuição estatística estável associada ao processo. Processo fora de cotrole: É o processo e que se faze setir causas especiais. Se o processo ão esta sob cotrole: A variabilidade das características de qualidade do produto é devida a causas especiais, possíveis de sere corrigidas; A variabilidade do processo é aoral, co grades alterações as características de qualidade; Trata-se de ua situação que requer iediata iterveção; Há difereças otáveis etre a édia do processo e os valores observados. Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 7

8 4.1. Gráfico seqüecial É recoedado para quado é preciso apresetar a tedêcia dos potos observados sobre u especificado período de tepo. Gráficos seqüeciais são epregados para represetar visualete u cojuto de dados. São utilizados para oitorar u processo verificado se ao logo do tepo se a édia está udado. Os gráficos seqüeciais são ferraetas siples para sere costruídas e utilizadas. Potos são arcados o gráfico para sere avaliados. O gráfico a seguir ostra a quiloetrage rodada, por litro de cobustível, atigida etre u echieto e outro do taque de certo veículo. A quiloetrage por litro é dada abaixo para 1 itervalos sucessivos etre os echietos do taque de cobustível. Cosuo (k/l). 5,7 6,3 4,8,1,3 8, 5,1 4,8 6,3 4,5 4,9,,8 3,0 4,8 3,1 4,7 4, 3,1 5,3 4,8 6, Cosuo (k/l) , Aostras Figura 1 Variação de u processo. 4.. Iterpretação da variação: Do gráfico de dispersão ota-se que de iício a quiloetrage por litro estava e toro de 5 k/l, sedo que ela pode variar para cia ou para baixo. Mas observa-se o gráfico que a partir do 10º echieto (a data é ua referêcia iportate) os registros situa-se abaixo da édia sucessivaete vezes. Isto é ua coisa difícil de ocorrer supodo que o processo seja estacioário e toro da édia. Assi, ua causa especial de variação deve ser procurada. A resposta pode ser qualquer cobiação de ua lista de possibilidades, tais coo: tepo frio, cobustível diferete, troca de otorista, trasporte de carga ais pesada ou velas de igição defeituosas (velhas). Exaiado-se estas opções de causa, cada ua delas foi descartada, sobrado as velas de igição coo úica explicação. A troca foi feita e o gráfico foi apliado para ais 3 potos, os três últios. Nota-se claraete que a édia voltou ao ível histórico. U registro histórico da quiloetrage por litro de cobustível, datas de troca de peças, etc., é iportate para Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 8

9 epresas que tê veículos. O próprio otorista pode estar ecarregado de fazer os registros. 5. CAUSAS DE VARIAÇÕES NUM PROCESSO Diversos fatores pode cotribuir para a variação o ível de defeitos ecotrados u processo. Pode ser, por exeplo, irregularidade o aterial utilizado a produção (ão é perfeitaete uifore), teperatura, auteção do equipaeto, estado físico dos operadores, etc.. Estes fatores, que pode ser idetificados, chaa-se fatores particulares ou causas especiais de variação. Meso eliiado-se todos esses fatores particulares, o processo aida irá produzir artigos defeituosos. Isto ocorre devido a existêcia dos fatores ieretes ao processo, os quais ão são idetificáveis. Quado se eliia u a u os fatores particulares de variação, o gráfico de cotrole ostrará soete a variação aleatória causada pelos fatores de variação ieretes ao processo. Neste caso, o processo será estável, ou, de acordo co a teriologia criada por Shewhart, o processo estará sob cotrole. O gráfico ostrará etão u processo aleatório estacioário. Quado se cosegue atigir a estabilidade, eliiado-se as causas especiais, pode-se costruir os liites de cotrole, que deliita ua região ode co ua grade probabilidade o processo irá operar. Estes liites deteria a chaada capacidade do processo Liites de Cotrole Seja u processo ode deteriada característica do produto te édia fixada e µ 74 e desvio-padrão σ 0,01. A estatística represetada o gráfico será a édia aostral x (por exeplo), etão trabalhado co a distribuição de probabilidade te-se: E ( x) µ, V( x) σ e σ x σ Se o processo está sob cotrole, variado apeas por força dos fatores ieretes ao processo (ão idetificáveis), espera-se que: P ( LIC x LSC) 1 α ode α é u úero arbitrário, as fixo e pequeo, da orde de 1%. Os liites LIC (liite iferior de cotrole) e LSC (liite superior de cotrole) são chaados de liites probabilísticos e a probabilidade de ua observação da variação aleatória x situar-se fora desses liites é uito pequea, dado o valor de α. Sedo assi quado ocorrer de ua observação situar-se fora dos liites de cotrole, isto terá coo causa u fator particular (idetificável) de variação. É claro que a observação poderá ficar fora dos liites por obra do acaso, as isto é pouco provável dado α.ua alterativa para se costruir os liites de cotrole é defii-los e teros de últiplos do desvio-padrão da v.a. plotada o gráfico (o caso está-se cosiderado x ). LIC x kσ e x LSC x+ kσ x ode k é ua costate positiva. U valor uito usado para k é 3 e te-se etão os liites a 3 desvios padrões. Estes liites pode ser costruídos eso as situações ode a Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 9

10 distribuição de probabilidade da variação aleatória ão seja cohecida. Que garate este fato é a chaada Desigualdade de Tchebychev: P σ ( µ ε) ε > 0 ε Veja que se fizeros ε kσ te-se a desigualdade P σ 1 ( µ kσ) e P( µ kσ) Quado se quer liites de 3 desvios padrões te-se: P P k σ 1 ( µ 3σ) 3 ( µ 3σ) 0, Cosiderado a situação ode µ 74,0 é a édia da v.a. que está associada co o diâetro do ael do pistão e σ 0,01 é o seu desvio padrão, te-se para x de aostras aleatórias co taaho 5 aéis toadas de hora e hora do processo, as estatísticas seguites: k σ x σ 0,01 0, LIC 74,0 3. 0, ,9865 LSC 74, , ,0135 Que são os liites de cotrole a 3 desvios padrões. Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 10

11 Figura Exeplo de u gráfico co liites de cotrole. 6. Gráficos de Cotrole e Aperfeiçoaeto do Processo 6.1. Itrodução Pode-se obter o aperfeiçoaeto de u processo de produção de duas aeiras: 1) Eliiação de u fator particular (causa especial) de variação. ) Alteração a estrutura do processo. Os fatores particulares de variação são detectados por potos fora dos liites de cotrole ou pela preseça de u coportaeto sisteático, ão aleatório, o gráfico de cotrole. U dos pricipais objetivos o Cotrole de Qualidade é a redução da variabilidade o produto. Os fatores particulares são o otivo pricipal da falta de uiforidade dos ites produzidos. Só existe u odo seguro e co base cietífica de se descobrir as causas da variabilidade, ou seja, de idetificar fatores particulares de variação, é a aplicação de Técicas Estatísticas. É iportate levar e cota que alterações o processo co o objetivo de elhorar a perforace do produto só deve ser executadas quado ele se ecotra sob cotrole. Caso cotrário, os efeitos das odificações poderão ficar caufladas pela preseça de causas especiais de variação. 6.. Uso Básico dos Gráficos de Cotrole As aplicações fudaetais dos Gráficos de Cotrole são: 1) Verificar se e deteriado período u processo estava sob cotrole. Isto é feito exaiado-se o gráfico correspodete ao período de iteresse. ) Orietar a Adiistração a auteção do processo sob cotrole. Se o processo está sob cotrole é possível igorar a flutuação caótica das observações, exceto o Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 11

12 caso de ser otado algua observação fora dos liites de cotrole. É claro que se deve olhar co ateção a ocorrêcia de ua tedêcia (u padrão) e algua direção. Isto é idicação de que algua coisa alé do acaso está iflueciado o valor das observações. O objetivo pricipal dos gráficos de cotrole é coo se viu do exposto ateriorete forecer iforações úteis o aperfeiçoaeto do processo. Quado se atige o cotrole estatístico do processo te-se várias vatages, tais coo: fração de defeituosos peraece costate (a édia); custos e ídices de qualidade serão previsíveis; produtividade será áxia co o sistea correte. Existe várias razões para o uso dos gráficos de cotrole, tais coo: 1) O gráfico de cotrole é ua técica para elhorar a produtividade, pois: reduz desperdício de isuos, de retrabalho e coseqüeteete aueta a produtividade, diiui os custos e fialete a capacidade de produção aueta (edida e úeros de artigos bos por hora). ) O gráfico de cotrole é eficaz a preveção de defeituosos, pois ajuda a ater o processo sob cotrole e portato coerete co a filosofia faça certo a 1 a vez. Se a epresa ão te u processo eficiete, você está pagado algué para produzir artigos iadequados. 3) O gráfico de cotrole ipede ajustaetos desecessários o processo, pois distigue etre ruído aleatório e variação aoral. Nehu outro eio, iclusive o operador huao, é eficiete esta distição. Se o processo é ajustado se base o Gráfico de Cotrole, freqüeteete, o que ocorre é u aueto da variâcia do ruído aleatório e isto pode resultar a deterioração da perforace do processo. Assi, o gráfico de cotrole é coerete co a filosofia se ele ão está quebrado, ão o coserte. 4) O gráfico de cotrole forece iforações para que o operador faça u diagostico sobre o processo, podedo coduzir a ipleetação de ua udaça que elhore o desepeho do processo. 5) O gráfico de cotrole forece iforação sobre a capacidade do processo, pois traz iforações sobre o valor de iportates parâetros do processo e sua estabilidade o tepo e, assi ua estiativa da capacidade do processo pode ser feita. Esta iforação é uito útil para que projeta o produto e o processo. Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 1

13 6.3. Tipos de Gráficos de Cotrole U gráfico de cotrole varia cofore os dados que ele coteha. Cofore a característica ivestigada seja ua v.a. cotíua ou discreta te-se u tipo de gráfico. De fora que, se os dados são cotíuos ele deverá ser costruído co a édia aostral,, e co a aplitude aostral, R. Já co dados discretos deve-se trabalhar co as estatísticas aostrais úero de defeituosos (p) e co a fração de defeituosos p. Desta fora podeos classificar os Gráficos de Cotrole as categorias: Existe dois tipos de gráficos de cotrole, u para valor discreto e outro para valor cotíuo, que estão descritos o Tabela 1. Gráficos de Cotrole por Atributos (discreto) Gráficos de Cotrole por Variáveis (cotíuo) Tabela 1 - Tipos de gráficos de cotrole co alguas adaptações Valor Característico Tipos de Gráficos Valor cotiuo Gráfico - R (édia e aplitude) Gráfico - s (édia e desvio padrão) Gráfico R (aplitude óvel) Gráfico p (úero de ites defeituosos) Valor discreto Gráfico p (fração defeituosa) Gráfico c (úero de defeitos) Gráfico u (úero de defeitos por uidade) 6.4. Iterpretação dos Gráficos de Cotrole Se o processo estiver sob cotrole estatístico, adota-se o gráfico de cotrole para oitorar as observações atuais e futuras; caso cotrário, coduze-se ações de elhoria até que seja atigido o ível de qualidade desejado ao processo, e que os liites de cotrole são recalculados, e os potos que ultrapassare tais liites, descartados. A aálise dos gráficos de cotrole possibilita a idetificação se o processo está ou ão sob cotrole, o que sigifica a ausêcia de causas especiais de variação. Quado u processo está cotrolado ocorre u padrão oral de variação, pois os potos distribuese aleatoriaete e toro da édia, idicado a ausêcia de tedêcias crescetes ou decrescetes, ciclos, estratificações ou isturas e potos que ultrapassara os liites de cotrole. Há ua regra básica para verificar se o processo se ecotra estável: basta dividir o itervalo etre os liites superior e iferior de cotrole e seis faixas, ou seja, cerca de 34% dos potos deve estar e cada faixa C, 13,5% dos potos e cada faixa B e,5% dos potos e cada faixa A, cofore ostra a Figura 3, co alguas adaptações. Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 13

14 Zoa A,5% Zoa B 13,5% Zoa C 34% Zoa C 34% Zoa B 13,5% LSC Liha Cetral Zoa A,5% LIC Figura 3 - Zoas de distribuição dos potos u padrão oral de variação U processo tabé pode ser cosiderado fora de cotrole, quado todos os potos estivere detro dos liites de cotrole. Isto ocorre quado há u padrão de variação aoral o processo. Na Tabela, apreseta-se algus casos de gráficos, os quais o processo está fora de cotrole. Tabela Casos de padrões aorais de u processo 1º Caso: U ou ais potos alé da Zoa A, acia do liite superior de cotrole ou abaixo do liite iferior de cotrole. º Caso: Quize potos cosecutivos a Zoa C, acia ou abaixo da Liha Cetral. 3º Caso: Sete potos cosecutivos, todos acia ou abaixo da Liha Cetral. 4º Caso: Sete potos cosecutivos crescetes ou decrescetes. Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 14

15 5º Caso: Dois e Três potos cosecutivos a esa zoa A. 6º Caso: quatro e cico potos cosecutivos situados as Zoas A e B. 7º Caso: Oito potos cosecutivos de abos os lados da liha cetral fora da Zoa C Gráfico de Cotrole por Variáveis No acopahaeto de u aspecto quatitativo da qualidade, e geral, se cotrola tato o valor édio daquele coo sua variabilidade, através de gráficos separados. O cotrole do valor édio do desepeho do processo é feito através do gráfico de. A variabilidade do processo é cotrolada pelo gráfico do desvio-padrão (gráfico s) ou, o que é ais cou pelo gráfico da aplitude (gráfico R). Deve-se ater sob cotrole tato o desepeho édio coo a variabilidade do processo. Os gráficos de cotrole por variáveis são usados para oitorar o processo quado a característica de iteresse é esurada e ua escala de itervalo ou de razão. Estes gráficos são geralete utilizados e pares. Os gráficos R e s oitora a variação de u processo, equato os gráficos oitora a édia do processo. O gráfico que oitora a variabilidade deve ser exaiado sepre e prieiro lugar, pois, se ele idicar a ua codição fora do cotrole, a iterpretação do gráfico para a édia será egaosa. Os gráficos de cotrole por variáveis perite o cotrole de ua úica característica quatitativa a cada vez. Se houver ais de ua característica a ser cotrolada, será ecessário aplicar u gráfico de cotrole para cada ua delas. Para fis de cotrole, deve ser escolhidas as variáveis que causa rejeição ou retificação do produto, evolvedo custos substaciais. Os gráficos de cotrole para atributo ão usa toda a iforação dispoível sobre a distribuição dos valores assuidos pelas variáveis, portato tede a sere ieficazes o cotrole de aspectos quatitativos da qualidade. Desta aeira, percebe-se que procedietos ais eficietes são ecessários para o trataeto dessas situações. Já os gráficos de cotrole para variáveis forece u aior úero de iforações a respeito do desepeho do processo do que os gráficos para atributos. Quado se quer aalisar u aspecto quatitativo da qualidade, e geral, cotrola-se o valor édio e a variabilidade por eio de gráficos separados. Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 15

16 O gráfico da édia ( ) é utilizado para o cotrole do valor édio do desepeho do processo. O gráfico do desvio padrão (s) e o ais cou, que é deoiado de aplitude (gráfico R), são utilizados para o cotrole da variabilidade do processo. Durate o processo de fabricação de u produto ou serviço, a qualidade do eso pode estar sujeito a variações, que pode ser classificadas e dois tipos, cofore ostra as Figuras 4 e 5. Figura 4 Gráfico de Cotrole fora de cotrole Figura 5 Gráfico de Cotrole sob cotrole O forato dos gráficos de cotrole uda de acordo co a atureza dos dados avaliados. Co isso teos os gráficos de variáveis para registrar as características esuráveis do produto ou serviço e os gráficos de atributos, que registra as características ão esuráveis Fialidade das Cartas de Cotrole por Variáveis O uso da carta de cotrole por variáveis te a fialidade de forecer iforações: 1) Para a elhoria da qualidade. Utilizar carta de cotrole uicaete para coprovar a existêcia de u prograa de cotrole de qualidade é perda de tepo. A carta de cotrole por variáveis é a ais efetiva técica para alcaçar a elhoria da qualidade. ) Sobre a capacidade do processo. A verdadeira capacidade do processo só pode ser alcaçada depois que ua sigificativa elhoria da qualidade foi obtida. Durate o ciclo de elhoria da qualidade, a carta de cotrole idicará quado ão é ais Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 16

17 possível obter elhoria da qualidade se ivestieto sigificativo. Nesse oeto, a verdadeira capacidade do processo pode ser obtida. 3) Para toada de decisões relativas à especificação do produto. Ua vez que a verdadeira capacidade do processo foi obtida, as especificações pode ser defiidas, Se a capacidade do processo é ± 0,003, etão ua especificação de ± 0,004 pode ser, realisticaete, obtida pelo processo. 4) Para toada de decisões sobre o processo de produção. A carta de cotrole é usada para decidir se u padrão oral de variação está ocorredo e, portato, o processo está sob cotrole, ou se u padrão istável de variação está ocorredo, e há ecessidade de eliiação das causas especiais de variação. 5) Para toada de decisões sobre peças recé-produzidas. A carta de cotrole tabé pode ser usada para decidir se u ou ais ites pode ser liberados para o processo seguite, ou se é ecessária algua ação do tipo ispeção ou reparo Fudaetos Estatístico dos Gráficos de Cotrole Para eteder a fudaetação dos gráficos de cotrole, iagie que a característica de qualidade de ua peça seja o seu diâetro, e que a esa teha ua distribuição Noral co édia µ e desvio-padrão σ, abos cohecidos. Na prática ão se cohece os parâetros µ e σ. Deve-se estiá-los a partir de ua aostra e u período aterior quado o processo está sob cotrole. O taaho de ua aostra para este tipo de estiativa deve ser de 0 a 5 observações. E, coo a estatística pivô Z, abaixo, te distribuição Noral Padrão N(0,1). Z µ σ (6.1) Te-se que: P µ P Zα Zα α σ 1 σ σ Zα µ + Zα 1 α (6.) (6.3) que é o itervalo de cofiaça de ível 1 - α para o parâetro µ a édia do processo. Portato, pode-se usar os liites do itervalo de cofiaça coo liites de cotrole para a édia: LIC Z α σ (6.4) LSC + Z α σ (6.5) Supoha, agora que aostras aleatórias de taaho são dispoíveis ou seja te-se aostras co observações cada ua. A agitude de é da orde de 4, 5 ou 6 observações. Das aostras obté-se as édias aostrais: Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 17

18 ,,,..., (6.6) 1 3 e tabé a édia aostral global, cosiderado todas as observações (6.7) Deste odo x é o elhor estiador da édia do processo µ. O valor do escore padroizado, e geral, é fixado e 3 para se ter os liites a 3 σ (três desvios padrão), Z 3 α. Agora, para costruir os liites de cotrole está faltado apeas a estiativa do desvio-padrão σ. E cotrole de qualidade é tradicioal estiar-se o desvio-padrão usado-se a aplitude aostral R, ao ivés da expressão baseada e s. É claro que o estiador s tabé pode ser usado. No caso da estiativa co base a aplitude aostral, se 1,,..., é a aostra de taaho, etão a aplitude da aostra, R, é dada pela difereça etre o valor áxio e o valor íio da aostra, isto é: R aior eor (6.8) A aplitude da aostra de ua distribuição Noral, R, e o desvio-padrão da distribuição, σ, tê u relacioaeto cohecido: R W σ (6.9) Esta variável aleatória W é chaada aplitude relativa e a édia da distribuição de W é represetada por d. Assi, u estiador do desvio-padrão σ é dado por: ˆ σ R d (6.10) o valor de d é fução do taaho da aostra. Agora, toado-se as aostras de taaho, dispoíveis, obté-se a aplitude aostral édia R. R R 1 + R + R R (6.11) e ua boa estiativa de σ é: ˆ σ R d (6.1) Mas, por qual razão se usa o estiador de σ, dado acia quado se dispõe de estatística ais eficiete (s)? A resposta é a siplicidade de cálculo e tabé porque a eficiêcia de ˆ σ R d é praticaete a esa de s quado o taaho da aostra é baixo ( < 10). Fialete, co as estiativas de todos os parâetros te-se os liites de cotrole: Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 18

19 LIC R 3 d (6.13) LSC R + 3 d (6.14) A quatidade A 3 d é ua costate que depede apeas do taaho da aostra, logo pode tabé ser tabelado coo d resultado para os liites a fora: LIC LSC A + A R R (6.15) (6.16) Os valores de A, d, e outros que vereos a seguir, por sere costates que vão depeder do taaho da aostra (), ecotra-se tabelados os Aexos A e B; Gráfico R Este tipo gráfico é usado para cotrolar e aalisar u processo co valores cotíuos de qualidade do produto, coo o coprieto, o peso ou a cocetração. Tais valores forece aior quatidade de iforações sobre o processo. O uso dos gráficos de cotrole e R, deve ocorrer sepre que ua característica da qualidade observada é expressa e uidades reais coo peso e quilograas, coprieto e cetíetros, teperatura e graus Celsius. São descritos a seguir os passos para a costrução dos gráficos de cotrole da édia ( ) e da aplitude (R). 1. Deteriar a característica da qualidade a ser cotrolada. A variável escolhida deve ser ua característica esurável da qualidade, ou elhor, deve ter a possibilidade de ser expressa e úeros. Deve-se priorizar aquelas características da qualidade que afeta o desepeho do produto.. Defiir o étodo de aostrage e o taaho da aostra através de u dos étodos especificados a seqüêcia: a. Método Istatâeo: retira-se a aostra correspodete ao subgrupo da produção, de fora siultâea ou cosecutiva; b. Método Periódico: retira-se aleatoriaete a aostra que correspode ao subgrupo da produção, realizada durate u deteriado período, de aeira que ela seja represetativa de toda a produção este período. Aida co relação à aostrage os subgrupos deve ser retirados de lotes hoogêeos, copostos por ites produzidos pela esa áquia, operador e atriz. A escolha do subgrupo depede da fialidade do gráfico de cotrole. Cofore Shewhart o objetivo pricipal é ão soete detectar o problea, as tabé descobri-lo. E tal descoberta aturalete evolve classificação. O profissioal que obtiver sucesso a divisão iicial desses dados e subgrupos racioais, baseados e hipóteses racioais, estará dessa fora e elhor situação o trabalho do que aquele que ão tiver obtido esse sucesso. Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 19

20 Não há ua regra defiida quato ao taaho do subgrupo, o qual depederá do volue de produção, do custo da ispeção e da iportâcia da iforação obtida. Noralete, prefere-se aostras co taaho etre quatro e cico ites e subgrupos que varia de 0 a 5, pois forece ua boa estiativa sobre a dispersão do processo. 3. Coletar os dados, utilizado para isso u forulário, o qual os dados são geralete registrados e coluas. 4. Estabelecer o valor cetral e os liites de cotrole, que são obtidos usado-se as fórulas. i i 1 e R i 1 R i (6.17) Ode: édia das édias dos subgrupos; i édia do i-ésio subgrupo; úero de subgrupos R édia dos rages dos subgrupos; R i rage do i-ésio subgrupo. Os liites de cotrole para os gráficos e R são estabelecidos de acordo co os desvios padrões desejados, através das fórulas abaixo. (6.18) LSC + 3 σ LC (6.19) LIC 3 σ (6.0) LSC R R+ 3 σ (6.1) R LC R R (6.) LIC R R 3 σ (6.3) R Ode: LSC liite superior de cotrole; LIC liite iferior de cotrole; LC liite cetral; Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 0

21 σ desvio padrão das édias dos subgrupos; σ R desvio padrão das aplitudes dos subgrupos. Na prática, os cálculos dos liites são siplificados pela utilização dos fatores A, D 3 e D 4, para ecotrar os liites de cotrole. Estes fatores varia de acordo co o taaho do subgrupo e são ecotrados a tabela do Aexo A. LSC + A R (6.4) LC (6.5) LIC A R (6.6) LSC R D 4 R (6.7) LC R R (6.8) LIC R D 3 R (6.9) 5. Iterpretar os gráficos Se o processo estiver sob cotrole estatístico, adota-se o gráfico de cotrole para oitorar as observações atuais e futuras; caso cotrário, coduze-se ações de elhoria até que seja atigido o ível de qualidade desejado ao processo, e que os liites de cotrole são recalculados, e os potos que ultrapassare tais liites, descartados. Exeplo: Utilize os gráficos - R para aalisar o coportaeto da teperatura do foro do atoizador. Fora coletadas 10 aostras, sedo que destas resultara 30 subgrupos co 4 observações. Núero do Observações Média Aplitude Subgrupo R Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 1

22 Total Cálculos: i 1 i ,48 30 R i 1 R i 74 4,13 30 A 0,79, D 3 0 e D 0 4, (Aexo A) LSC ( 0,79 4,13) 955, 07 + A R 937,48+ LC 937,48 LIC LSC R ( 0,79 4,13) 919, 90 A R 937,48 D4 R,8 4,13 55,074 LC R R4,13 LIC R D R 0 4, Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes

23 Gráfico s Ebora os gráficos de cotrole - R seja os ais utilizados, alguas epresas prefere usar o gráfico do desvio padrão gráfico (s) para cotrolar a dispersão do processo de produção. Coparado-se os gráficos R e s, verifica-se que o gráfico R é ais fácil de ser costruído e aplicado, equato que o gráfico s é ais preciso, visto que o cálculo do desvio padrão, são usados todos os dados dos subgrupos, e ão apeas o aior e o eor valor, os quais são usados o cálculo da aplitude. No caso de o taaho do subgrupo ser eor ou igual a 10, as cartas R e s apreseta o eso aspecto gráfico, cotudo, a edida que o taaho do subgrupo aueta, o gráfico s tora-se ais preciso que o R, e por isso, deve ser utilizado. A costrução dos gráficos de cotrole e s é seelhate à costrução dos gráficos e R, cofore visto ateriorete, difereciado-se apeas as fórulas utilizadas para calcular o valor cetral e os liites de cotrole. As etapas para a costrução dos gráficos de cotrole e s são: 1. Escolher a característica de qualidade a ser cotrolada;. Defiir o taaho da aostra e o étodo de aostrage; 3. Coletar os dados; 4. Calcular o desvio padrão de cada subgrupo, usado a fórula: s i 1 ( ) i 1 (6.30) Ode: taaho do subgrupo 5. Calcular o valor cetral através das fórulas: Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 3

24 i i 1 e s i 1 s i (6.31) 6. Calcular os liites de cotrole usado as fórulas LSC + A3 s (6.3) LC (6.33) LIC A3 s (6.34) LSC s B 4 s (6.35) LC s s (6.36) LIC s B 3 s (6.37) Ode: s i desvio padrão do i-ésio subgrupo s édia dos desvios padrões dos subgrupos; A 3, B 3, B 4 fatores retirados da Tabela do Aexo A, para cálculo dos liites de cotrole. 7. Costruir liites de cotrole e grafar os valores dos subgrupos. Exeplo: Utilize os gráficos s para aalisar o coportaeto da teperatura do atoizador. Fora coletadas 10 aostras, sedo que destas resultara 30 subgrupos co 4 observações. Núero do Observações Média Desvio Padrão Subgrupo s , , , , , , , , ,88 Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 4

25 - Cálculos: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,583 Total ,681 i 1 i ,96 30 s i 1 s i 349,681 11,66 30 A 1,68, B 0 e B 4, (Aexo A) LSC + A s 574,96+ ( 1,68 11,66) 593, 94 3 LC 574,96 LIC LSC s A s 574,96 ( 1,68 11,66) 555, 97 3 B s,66 11,66 4 6,413 LC s s 11,66 LIC s B s 0 11, Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 5

26 6.5.5 Gráfico da Aplitude Móvel (R) O gráfico de cotrole para aplitude óvel pode ser iterpretado coo u gráfico de cotrole cou. O gráfico de cotrole para aplitude óvel é bastate isesível a pequeas udaças a édia do processo e deve ser aplicado e situações o qual o taaho usado para cotrole de processo é 1, ou elhor, os casos e que a ispeção autoática e a tecologia de edida são usadas, sedo cada uidade fabricada aalisada, quado a taxa de produção é uito leta, ão sedo coveiete acuular aostras de taaho aior que u ates de sere aalisadas, ou quado a variabilidade do processo é uito pequea. E situações coo essas, é que o gráfico de cotrole para edidas idividuais tora-se útil. Na costrução do gráfico de cotrole para aplitude óvel, são efetuados os cálculos: i 1 e R 1 1 i R 1 (6.38) LSC + E (6.39) R LC (6.40) LIC E (6.41) R Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 6

27 - Exeplo :Para verificar a estabilidade e a variabilidade da uidade de u deteriado produto usou-se o gráfico de cotrole R, devido à aostra desta variável ser uitária, ou seja, 1. Nº de Subgrupos Uidade (%) Aplitude Móvel (R) Nº de Subgrupos Uidade (%) 1 6,1-61 6,1 0,4 6,0 0,1 6 6,4 0,3 3 6, , 0, 4 6,5 0,5 64 6,3 0,1 5 6,3 0, 65 6,0 0,3 6 6,4 0,1 66 6, 0, 7 5,8 0,6 67 6,4 0, 8 6,1 0,3 68 6, 0, 9 6,0 0,1 69 6,3 0,1 10 6,3 0,3 70 6,4 0,1 11 5,9 0,4 71 6,0 0,4 1 6, 0,3 7 6,3 0,3 13 6,4 0, 73 6,4 0,1 14 6,5 0,1 74 6,3 0,1 15 6,0 0,5 75 6,5 0, 16 6,6 0,6 76 6,0 0,5 17 6, 0,4 77 6,6 0,6 18 6,4 0, 78 6,1 0,5 19 6,3 0,1 79 6,0 0,1 0 5,9 0,4 80 6,4 0,4 1 6,3 0,4 81 6,5 0,1 6,4 0, 8 6,3 0, 3 6,5 0,1 83 6,0 0,3 4 6,1 0,4 84 6,5 0,5 5 6,3 0, 85 6,1 0,4 6 6, 0,1 86 6,4 0,3 7 5,8 0,4 87 6, 0, 8 6,0 0, 88 6,1 0,1 9 6,5 0,5 89 6,5 0,4 30 6,3 0, 90 6, 0,3 31 6,6 0,3 91 6,4 0, 3 6,4 0, 9 6, 0, 33 6,1 0,3 93 6,3 0,1 34 6,3 0, 94 6,4 0,1 35 6,5 0, 95 6,5 0,1 36 6, 0,3 96 6, 0,3 37 6,4 0, 97 6,5 0,3 38 6,1 0,3 98 6,4 0,1 39 6,3 0, 99 6, 0, 40 6,0 0, ,4 0, 41 6, 0, 101 6,3 0,1 4 6,5 0,3 10 6,0 0,3 43 6,3 0, 103 6, 0, 44 6,4 0, ,4 0, 45 6, 0, 105 5,8 0,6 46 6,5 0, ,5 0,7 47 6,3 0, 107 6,1 0,4 48 6,4 0, ,3 0, 49 6,1 0, ,4 0,1 Aplitude Móvel (R) Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 7

28 50 6,0 0, ,3 0,1 51 6,4 0, ,5 0, 5 6,6 0, 11 6,7 0, 53 6,0 0, ,4 0,3 54 6,4 0, ,3 0,1 55 6,4 0, ,5 0, 56 6,5 0, ,1 0,4 57 6, 0, ,5 0,4 58 6,6 0, ,1 0,4 59 6,4 0, 119 5,9 0, 60 6,5 0,1 10 6,5 0,6 Total 753,3 31,0 - Cálculos: i 1 753,3 6,8 10 R 1 1 i R , E,660 (Aexo B) LSC (,660 0,6) 6, E R 6,8+ LC 6,8 LIC (,660 0,6) 5, 5849 E R 6, Gráfico de Cotrole por Atributos O tero atributo, utilizado e cotrole de qualidade, refere-se àquela característica da qualidade que pode estar, ou ão, cofore as especificações. Para elhor etedieto, é cou utilizar-se os teros bo e defeituoso o lugar de cofore e ão cofore. Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 8

29 No gráfico de cotrole por atributos u produto é classificado coo possuido ou ão u atributo ou qualidade. Assi, o produto atede ou ão a ua especificação. Os ites que ão satisfaze a especificação são deoiados defeituosos. Muitas vezes o iteresse da Adiistração está a fração de uidades defeituosas e produção. Por outro lado, freqüeteete está-se iteressado a evolução de ua característica quatitativa (diâetro de u pio, por exeplo). Existe duas situações e que se utiliza atributos: 1. Quado as edidas ão são possíveis, tais coo as características ispecioadas visualete (cor, brilho, arrahões e daos).. Quado as edidas são passíveis, as ão são toadas por questões ecoôicas, te tepo, ou de ecessidades. E outras palavras, quado o diâetro de u furo pode ser edido co u icrôetro itero, as utiliza-se u calibre passa-ãopassa para deteriar a sua coforidade co as especificações Gráfico de Cotrole da Fração Defeituosas (Gráfico p) O gráfico de cotrole p é uito versátil, podedo ser usado para cotrolar ua característica de qualidade, u grupo de características de qualidade de eso tipo ou o produto todo. Esse gráfico possui ua grade faixa de utilização e as vatages de poder ser usado para ua grade diversidade de probleas, dispoibilizar a iforação oralete se custo adicioal da coleta, e de fora a ser rapidaete correlacioada co os custos, proporcioar aior facilidade de etedieto por parte de pessoas ão failiarizadas co outros gráficos, alé de ser ais facilete iplatado que os deais. A fração defeituosa cosiste a razão etre o úero de peças defeituosas e ua aostra e o úero total de peças dessa esa aostra. Ode: p p (6.4) p fração defeituosa; úero de peças a aostra ou subgrupo; p úero de peças defeituosas a aostra ou subgrupo. Detre os objetivos do gráfico p, ecotra-se: deteriar o ível de qualidade de u produto, ficar alerta para qualquer udaça o ível de qualidade, avaliar o desepeho relativo à qualidade do pessoal evolvido coo operador e geretes, idicar o uso de gráficos de cotrole por variável, alé de defiir critérios de aceitação de produtos, ates do ebarque, para o cliete. São descritos a seguir os passos para a costrução de u gráfico de cotrole p: 1. Defiir o objetivo: deteriar qual a fialidade do gráfico de cotrole, o que se quer cotrolar (objetos, produtos, operários, características de qualidade).. Deteriar o taaho do subgrupo: o taaho do subgrupo é ua fução da fração defeituosa. Para deteriar o taaho do subgrupo, é preciso ter ua prieira estiativa da fração defeituosa do processo e do úero édio de defeitos para cada subgrupo afi de que se possa costruir o gráfico de fora adequada. 3. Coletar os dados: é ecessário coletar dados suficietes, pelo eos 0 subgrupos, para costruir o gráfico. Para cada subgrupo a fração defeituosa é calculada pela fórula p p Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 9

30 4. Deteriar o valor cetral e os liites de cotrole: as fórulas para calcular os liites de cotrole são dadas por: LSC p p i p 1 p 1 p p+ 3 ( ) (6.43) (6.44) LC p p (6.45) LIC p p 3 p ( 1 p) (6.46) Ode: p fração defeituosa édia para todos os subgrupos; úero de aostras ou de subgrupos. O gráfico p pode ser iediataete itroduzido, calculado-se soete os liites de cotrole. Sedo o gráfico p baseado a distribuição bioial, a probabilidade de selecioar u produto defeituoso deve ser costate, caso cotrário, o eso ão deve ser usado. - Exeplo : De ua aostra de produção de ua fábrica de pequeos recipietes, fora retiradas 5 aostras co 50 observações, sedo retiradas 4 aostras por dia. Núero do Subgrupo Núero de Recipietes Núero de Ites Defeituosos , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,04 Proporção de Defeituoso Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 30

31 - Cálculos; , , , ,08 Total p i 1 p ,07 LSC p ( 1 p) 0,07 ( 1 0,07) p p+ 3 0, , LC p p 0,07 LIC p ( 1 p) 0,07 ( 1 0,07) p p 3 0,07 3 0, Gráfico do Núero de Uidades Defeituosas (Gráfico p) Tabé cohecido coo Gráfico do Núero de Defeitos, pode ser usado coo alterativa ao gráfico da fração defeituosa, apresetado as esas vatages já ecioadas. Neste caso as aostras deve ter o eso taaho, ao cotrário do gráfico aterior, que perite a observação de aostras de diferetes taahos. As etapas para costrução do gráfico p são dadas a seguir. O gráfico é chaado de p quado a aostra é acopahada do úero de artigos defeituosos e vez da fração de ites defeituosos. Quado as aostras que vão ser ostradas e u deteriado gráfico são do eso taaho, tora-se ais siples Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 31

32 copreedê-lo se for arcado o úero de ão-coforidades ecotradas e cada aostra e vez de calcular a percetage. São descritos a seguir os passos para a costrução de u gráfico de cotrole p 1. Coletar as aostras de dados.. Calcular o valor de p. p i 1 di (6.47) Ode: di úero de defeitos de cada aostra total de aostras 3. Calcular o valor de p : p p (6.48) Ode: taaho de cada aostra (fixo) 4. Calcular os liites de cotrole LSC p p+ 3 p 1 ( p) (6.49) LC p p (6.50) LIC p p 3 p 1 ( p) (6.51) - Exeplo: A aostra a seguir é de ua loja de departaetos ode se pretede verificar se existe variabilidade ou ão, relativa ao grau de isatisfação dos clietes. Para isso, fora coletados 0 subgrupos, ode cada u deles possui 300 observações. Núero do Subgrupo Observações Núero de Clietes isatisfeitos Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 3

33 Total Cálculos: p i 1 di , p p 9, 300 0,031 LSC p ( 1 ) 9,+ 3 9, ( 1 0,031) 18, 16 p+ 3 p p LC p p 9, ( 1 ) 9, 3 9, ( 1 0,031) 0, 41 LIC p p 3 p p Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 33

34 Gráfico do Núero de Defeitos (Gráfico c) Este gráfico é utilizado para avaliar o úero de ão coforidades, ou defeitos, e ua aostra. A utilização deste gráfico requer taaho costate para as aostras observadas. Alguas aplicações são, por exeplo, cotrole de bolhas e garrafas e riscos e peças estapadas. A pricipal difereça co relação ao gráfico p, é que este últio se utiliza da cotage de uidades defeituosas, ão se preocupado co a quatidade de defeitos. Ua idéia desta difereça é dada pela Figura 13. Cosiderado cada quadro coo ua uidade, e cada poto e destaque coo u defeito, ota-se que há a aostra da esquerda quatro uidades defeituosas, e u total de sete defeitos. Na aostra da direita há duas uidades defeituosas, e o eso úero de defeitos da prieira. Figura 13 Exeplo de apresetação de defeitos Os gráficos de cotrole c cotrola o úero de defeitos produzidos. Este gráfico se baseia a distribuição de Poisso, por isso duas codições deve ser atedidas: A probabilidade de ocorrêcia de defeitos deve ser pequea, equato a oportuidade de ocorrêcia de defeitos deve ser grade; As ocorrêcias precisa ser idepedetes. Os liites de cotrole deste gráfico são baseados e ais ou eos 3 desvios padrões, a partir do valor cetral. Assi, 99,73% dos valores dos subgrupos cae detro destes liites. Detre os objetivos do gráfico de cotrole c, estão o de deteriar o ível édio da qualidade, alertar geretes para algua possível udaça o ível da qualidade dos produtos, avaliar o desepeho do pessoal da operação e supervisão, idicar áreas as quais seria iteressate a aplicação de gráficos de cotrole para variáveis, dar iforações para a aceitação de lotes. Os passos para a costrução do gráfico de cotrole c são os esos utilizados a costrução do gráfico de cotrole p. Caso o úero de defeitos c for descohecido, é ecessário coletar dados suficietes para estiá-los. Para isso, deveos seguir os procedietos que segue: 1. Coletar os dados;. Deteriar o úero édio de ão-coforidades c ; para tal usa-se a seguite fórula: c i 1 c i (6.5) 3. Deteriar os liites Iferior e Superior de cotrole c, usado as fórulas: Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 34

35 LSC c c+ 3 c (6.53) LC c c (6.54) LIC c c 3 c (6.55) 4. Gerar o úero de ão-coforidades e aostras idividuais; 5. Assuir o valor zero se o liite Iferior de cotrole for egativo; - Exeplo: Neste estudo de caso, serão aalisados 6 subgrupos de ua aostra de 100 placas de circuito ipresso. Núero de Subgrupos Observações Núero de Não-cofores Total Cálculos: c i 1 c i ,85 6 LSC c c+ 3 c 19, ,85 33, Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 35

36 LC c LIC c c 19,85 c 3 c 19, ,85 6, Gráfico do Núero de Não Coforidades por Uidade (Gráfico u) Este gráfico ede o úero de ão coforidades, ou defeitos, por uidade. Pode ser ua alterativa ao gráfico c, quado as aostras ão tê o eso taaho. Tabé pode ser usado quado a aostra é costituída de apeas ua uidade, as que possue uitos copoetes que deve ser ispecioados, coo u otor, por exeplo. As etapas para costrução do gráfico u são dadas a seguir. 1. Selecioar aostras, que pode ter taahos diferetes, e registrar o úero de defeitos (c) ecotrados e cada ua.. Para cada ua das aostras, deteriar o úero de defeitos por uidade. u i c i i (6.56) Calcular o úero édio de defeitos por uidade: u i 1 u i (6.57) Calcular o taaho édio das aostras: Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 36

37 i 1 i (6.58) Calcular os liites de cotrole: LSC u u+ 3 u (6.59) LC u u (6.60) LIC u u 3 u (6.61) - Exeplo: Este exeplo te por fialidade detectar os defeitos por uidade a liha de produção de coputadores pessoais. Núero de Subgrupos - Cálculos: Observações Total de Nãocofores Média de Nãocofores por uidade ,0 5 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0 Total ,6 u i c i i ,6 Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 37

38 u i 1 u i 38,6 1,93 0 LSC u u 1,93 u+ 3 1, ,79 5 LC u u 1,93 LIC u u 1,93 u 3 1,93 3 0, Capacidade do processo A verdadeira capacidade do processo só deve ser deteriada após o eso ter sido otiizado e estabilizado. A capacidade do processo é a sua própria variabilidade, depois que este foi otiizado e esta sob cotrole. Os liites µ ± 3 σ são cohecidos coo liites aturais de tolerâcia. LNST µ + 3 σ (liite atural superior de tolerâcia) LNIS µ - 3 σ (liite atural iferior de tolerâcia) O liite de 6 σ sobre a distribuição de ua característica de qualidade do produto ve a ser a capacidade do produto, ode σ é o desvio padrão do processo otiizado e estável (sob cotrole). Capacidade do produto 6 σ Coo o valor de σ é, e geral, descohecido, para obter a capacidade do processo usa-se u estiador. Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 38

39 ˆ σ R d (7.1) ode d é u valor que depede do taaho da aostra ( 10) e e decorrêcia, ecotra-se tabela (Aexo B). Se > 10 e foi feito o gráfico de cotrole - s, o estiador de σ é: ( ) ˆ σ 1 (7.) Não existe ua relação ateática ou estatística etre liite de cotrole e liite de especificação. Os liites de cotrole são defiidos e fução da variabilidade do processo e edido pelo desvio padrão. Os liites de especificação são estabelecidos o projeto pelos egeheiros, pela adiistração ou pelo cliete Ídice de Capacidade Cp e Cpk: A elhor fora de se verificar a adequação de u processo às ecessidade da egeharia de produto é através do estudo de capacidade do processo ou da relação etre a capacidade do processo e a difereça etre os liites de especificação (tolerâcia do produto). Esta relação é cohecida coo ídice de capacidade (Cp). C p LSE LIE 6σ (7.3) Ode: LSE liite superior de especificação; LIS liite iferior de especificação; 6 σ capacidade do processo. A aálise do ídice de capacidade é uito útil a toada de decisões sobre a adequação do processo às especificações. Ua regra prática para esta aálise é descrita a seguir: Processo Icapaz: (Cp < 1), a capacidade do processo é iadequada à tolerâcia exigida. Nesta situação,o ideal é realizar o trabalho co outro processo ais adequado às especificações. Não sedo possível udar o processo, deve-se tetar diiuir a sua variabilidade. Por últio, resta a possibilidade de se alterar as especificações do produto. Processo Margialete Capaz: (1 Cp 1,33), a capacidade do processo está e toro da difereça etre as especificações. O trataeto deve ser seelhate àquele dado ao processo verelho. Neste caso, cartas de cotrole são uito úteis para ater o processo sob cotrole e evitar a produção de ites fora das especificações. Processo Capaz: (Cp > 1,33), a capacidade do processo é adequada à tolerâcia exigida. Se a capacidade do processo está etre ¾ e ⅔ da tolerâcia, é acoselhável coletar aostras periódicas para acopahaeto do processo. Se a capacidade do processo é Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 39

40 eor que etade da tolerâcia, ão é preciso toais aiores cuidados coo o processo, pode-se dizer que o eso é excelete ou altaete cofiável. Na prática, e sepre o processo esta cetrado a édia, ou seja, pode-se chegar a coclusões erradas quato a capacidade do processo. Se o processo ão se ecotrar cetrado a édia, Kae (1986) propôs a utilização do Ídice de Perforace (Cpk): C pks LSE 3σ (7.4) C pki LIE 3σ (7.5) Equato que o ídice Cp soete copara a variação total peritida pela especificação co a variação utilizada pelo processo, se fazer ehua cosideração quato à édia, o ídice Cpk avalia a distâcia da édia do processo aos liites da especificação, toado aquela que é a eor, e portato ais crítica e teros de chaces de sere produzidos ites fora da especificação. Na Tabela 8 há u resuo para iterpretação do ídice Cpk. Tabela 8 Iterpretação dos Resultados do Ídice Cpk Resultados de Cpk Iterpretação Cpki > 1,33 e Cpks > 1,33 Processo Capaz 1 Cpki 1,33 e 1 Cpks 1,33 Processo Margialete Capaz Cpki < 1 e Cpks < 1 Processo Icapaz Cpki Cpks Processo Cetrado Cpki < Cpks e Cpks > 1,33 Produto fora do Liite Iferior de Especificação Cpks < Cpki e Cpki > 1,33 Produto fora do Liite Superior de Especificação Cpki < Cpks Produto fora do Liite Iferior de Especificação e aior quatidade. Cpks < Cpki Produto fora do Liite Superior de Especificação e aior quatidade. 7.. Ídice de Capacidade Pp e Ppk: Estes ídices são siilares a Cp e Cpk, poré apreseta o seu deoiador s (o desvio padrão da aostra) ao ivés de σ. Mateaticaete: P p LSE LIE 6 s (7.6) co: P pks LSE 3 s (7.4) Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 40

41 P pki LIE 3 s (7.5) Regra geral, deve ser epregados e avaliações preliiares (estudos de iicapacidade ou capacidade de curto prazo) oralete as etapas de obteção de aostras ou fabricação de lote-piloto, quado há poucos dados dispoíveis e ão há u critério racioal para a foração de subgrupos. Ebora algus autores recoede a adoção deste ídice quado o processo for istável, tal procedieto é totalete icorreto, ua vez que, esta situação, ão existe previsibilidade algua para o coportaeto do processo. A iterpretação dos ídices Pp e Ppk é idêtica à dos ídices Cp e Cpk Cálculo de Probabilidade da Distribuição Noral Ua distribuição de probabilidade uito útil e Cotrole Estatístico de Processos, é a distribuição oral. Para trabalhar co essa distribuição (tabé cohecida coo de Gauss) é ecessário cohecer sua édias µ e seu desvio padrão σ, ou estiativas cofiáveis destas. Por se tratar de ua distribuição cotíua de probabilidade, ou seja, e que a variável pode assuir quaisquer valores, deve-se sepre trabalhar co área de distribuição oral. Para tato é preciso calcular Z, defiido coo; Z µ σ (7.6) Ode: Z valor para deteriação dá área de distribuição oral valor de referêcia µ valor da édia σ valor do desvio padrão E fução do valor obtido de Z e da tabela apresetada o Aexo C, pode-se descobrir qual é a área, ou seja, a probabilidade procurada. Na prática, a utilização do cálculo de probabilidade se dá para descobrir a probabilidade da porcetage de produtos fora dos liites de especificação. Para tato utiliza-se as seguites equações: Z s LSE σ (7.7) Z I LIE σ (7.8) A área correspodete a Z s e Z i são as porcetages de produtos detro do liites de especificação, soado-se as duas áreas te-se a porcetage total dos produtos detro dos liites. Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 41

42 8. Referêcias Bibliográfica - JURAN, J. M.; GRYNA, F. M., Cotrole de Qualidade: Volue VI, São Paulo, Ed. Makro Books, RAMOS, A. W., CEP para Processos Cotíuos e e Bateladas, São Paulo, Ed. Edgard Blücher, ISHIKAWA, K., Guide to Quality Cotrol, º ed., Tóquio, Asia Productivity Orgaizatio, VIEIRA, S., Estatística para a qualidade, Rio e Jaeiro, Capus Elsevier LOURENÇO FILHO, R. C. B., Cotrole Estatístico da Qualidade, Rio de Jaeiro, Ed. Livros Técicos e Cietíficos, Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 4

43 Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 43

44 ANEO A Fatores para o cálculo dos liites de cotrole (3σ)para os gráficos:, R e s Gráfico para Média Gráfico para Desvio Padrão Gráfico para Aplitude Fatores para Liite de Fatores para Fatores para Fatores para Liite de Cotrole Fatores para Liite de Cotrole Cotrole Liha Cetral Liha Cetral A A A 3 c 4 1/c 4 B 3 B 4 B 5 B 6 d 1/d d 3 D 1 D D 3 D 4,11 1,880,659 0,798 1,53 0,000 3,67 0,000,606 1,18 0,887 0,953 0,000 3,686 0,000 3,67 3 1,73 1,03 1,954 0,886 1,18 0,000,568 0,000,76 1,693 0,591 0,888 0,000 4,358 0,000, ,500 0,79 1,68 0,91 1,085 0,000,66 0,000,088,059 0,486 0,880 0,000 4,698 0,000,8 5 1,34 0,577 1,47 0,940 1,064 0,000,089 0,000 1,964,36 0,430 0,864 0,000 4,918 0,000, ,5 0,483 1,87 0,95 1,051 0,030 1,970 0,09 1,874,534 0,395 0,848 0,000 5,078 0,000, ,134 0,419 1,18 0,959 1,04 0,118 1,88 0,113 1,806,704 0,370 0,833 0,04 5,04 0,076 1,94 8 1,061 0,373 1,099 0,965 1,036 0,185 1,815 0,179 1,751,847 0,351 0,80 0,388 5,306 0,136 1, ,000 0,337 1,03 0,969 1,03 0,39 1,761 0,3 1,707,970 0,337 0,808 0,547 5,393 0,184 1, ,949 0,308 0,975 0,973 1,08 0,84 1,716 0,76 1,669 3,078 0,35 0,797 0,687 5,469 0,3 1, ,905 0,85 0,97 0,975 1,05 0,31 1,679 0,313 1,637 3,173 0,315 0,787 0,811 5,535 0,56 1, ,866 0,66 0,886 0,978 1,03 0,354 1,646 0,346 1,610 3,58 0,307 0,778 0,9 5,594 0,83 1, ,83 0,49 0,850 0,979 1,01 0,38 1,618 0,374 1,585 3,336 0,300 0,770 1,05 5,647 0,307 1, ,80 0,35 0,817 0,981 1,019 0,406 1,594 0,399 1,563 3,407 0,94 0,763 1,118 5,696 0,38 1, ,775 0,3 0,789 0,98 1,018 0,48 1,57 0,41 1,544 3,47 0,88 0,756 1,03 5,741 0,347 1, ,750 0,1 0,763 0,984 1,017 0,448 1,55 0,440 1,56 3,53 0,83 0,750 1,8 5,78 0,363 1, ,78 0,03 0,739 0,985 1,016 0,466 1,534 0,458 1,511 3,588 0,79 0,744 1,356 5,80 0,378 1,6 18 0,707 0,194 0,718 0,985 1,015 0,48 1,518 0,475 1,496 3,640 0,75 0,739 1,44 5,856 0,391 1, ,688 0,187 0,698 0,986 1,014 0,497 1,503 0,490 1,483 3,689 0,71 0,734 1,487 5,891 0,403 1, ,671 0,180 0,680 0,987 1,013 0,510 1,490 0,504 1,470 3,735 0,68 0,79 1,549 5,91 0,415 1, ,655 0,173 0,663 0,988 1,013 0,53 1,477 0,516 1,459 3,778 0,65 0,74 1,605 5,951 0,45 1,575 0,640 0,167 0,647 0,988 1,01 0,534 1,466 0,58 1,448 3,819 0,6 0,70 1,659 5,979 0,434 1, ,66 0,16 0,633 0,989 1,011 0,545 1,455 0,539 1,438 3,858 0,59 0,716 1,710 6,006 0,443 1, ,61 0,157 0,619 0,989 1,011 0,555 1,445 0,549 1,49 3,895 0,57 0,71 1,759 6,031 0,451 1, ,600 0,153 0,606 0,990 1,011 0,565 1, ,000 1,40 3,931 0,54 0,708 1,806 6,056 0,459 1,541 Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 44

45 ANEO B Valores das costates para o cálculo dos liites de cotrole Fator Taaho da Aostra A 1,880 1,03 0,79 0,577 0,483 0,419 0,373 0,337 0,308 d 1,18 1,693,059,36,534,704,847,970 3,078 d 3 0,853 0,888 0,880 0,864 0,848 0,833 0,80 0,808 0,797 E,660 1,77 1,457 1,90 1,184 1,109 1,054 1,010 0,975 D 3 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,076 0,136 0,184 0,3 D 4 3,67,575,8,115,004 1,94 1,864 1,816 1,777 Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 45

46 ANEO C Tabela de Distribuição Noral Valores de P(0 < Z < z 0 ) z ,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,010 0,0160 0,0199 0,039 0,079 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0, 0,0793 0,083 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,106 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,117 0,155 0,193 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,168 0,1664 0,1700 0,1736 0,177 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,019 0,054 0,088 0,13 0,157 0,190 0,4 0,6 0,57 0,91 0,34 0,357 0,389 0,44 0,454 0,486 0,517 0,549 0,7 0,580 0,611 0,64 0,673 0,703 0,734 0,764 0,794 0,83 0,85 0,8 0,881 0,910 0,939 0,967 0,995 0,303 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,31 0,338 0,364 0,389 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,361 1,1 0,3643 0,3665 0,3685 0,3708 0,379 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,416 0,4177 1,4 0,419 0,407 0,4 0,436 0,451 0,465 0,479 0,49 0,4306 0,4319 1,5 0,433 0,4345 0,4357 0,4370 0,438 0,4394 0,4406 0,4418 0,449 0,4441 1,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,455 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,458 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,465 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,476 0,473 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767,0 0,477 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,481 0,4817,1 0,481 0,486 0,4830 0,4834 0,4838 0,484 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857, 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916,4 0,4918 0,490 0,49 0,495 0,497 0,499 0,4931 0,493 0,4934 0,4936,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,495,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,496 0,4963 0,4964,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,497 0,4973 0,4974,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981,9 0,4981 0,498 0,498 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,499 0,499 0,499 0,499 0,4993 0,4993 3, 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 Cotrole Estatístico de Processos Prof. MSc. Fabrício Maciel Goes 46