- Processamento digital de sinais Capítulo 4 Transformada discreta de Fourier

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1 - Processaeto digital de siais Capítulo Trasforada discreta de Fourier

2 O que vereos 1 Itrodução Etededo a equação da DFT 3 Sietria da DFT Liearidade e agitude da DFT 5 Eio da frequêcia 6 Iversa da DFT 7 Leakage/ vazaeto 8 Jaelaeto de siais 9 Resolução e preechieto co zeros 10Represetações o doíio da frequêcia 11A FFT

3 1 Itrodução A iportâcia da DFT o PDS Orige f t e jft dt tepo frequêcia Correspodete discreta: 1 0 e j / 3

4 Etededo a equação da DFT Reescrevedo: 1 0 e j / cos j. se 1 0 -ode úero de aostras a sere processadas úero de potos o eio da frequêcia - varia de 0 até -1

5 Eeplo 1: cosidere quado e Fs500 5 se j. cos 1 0. cos 3 0 se j cos 0 se j cos se j cos se j cos se j cos 1 se j cos se j cos se j cos se j

6 Vale destacar que: Assi: f. Fs Hz Hz Hz Hz prieiro tero de frequêcia DC segudo tero de frequêcia terceiro tero de frequêcia quarto tero de frequêcia 6

7 A agitude é: O âgulo é A potêcia do espectro é: 7 o âgulo de j ag iag real φ + iag real ag + ta 1 real iag φ iag real ag PS +

8 Eeplo : calcule as oito prieiras copoetes de frequêcia da DFT do sial cosiderado F s 8000 a/s 1000t + 0.5se / t se t Solução: Discretizado: 1000t + 0.5se 000t + 3 / se s s As copoetes de frequêcia serão: 0Hz, 1kHz, khz,... 7kHz e o sial será: 8

9 O forato do sial é: A prieira copoete é: cos /8 j se /8 9

10 10

11 11

12 1

13 13

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15 15

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18 A fase é relativa ao cosseo! E.: -90 equivale a cosα-90 siα 18

19 3 Sietria Fora geral: Sietria par da agitude * Sietria ípar da fase copleo cojugado Coclusão: iforação relevate só até / -1 19

20 Prova ateática sietria: Sedo que / / 1 0 / j j j e e e 1 0 / j j e e 1 0 / j e 1 si cos j e j * 1 0 / e j Lebrado de cojugado copleo: a + jb * a jb e jα * e -jα

21 Liearidade e agitude da DFT Liearidade: soa 1 + Magitude: E.: soa t + 0.5se / t se t Solução : e j / 1

22 5 Eio da frequêcia Resolução frequêcia: f resol.. Lebretes iportates: Fs A cada saída da DFT é a soa tero a tero do produto de ua sequêcia de etrada o doíio co ua sequêcia represetado odas seo e cosseo ; B para etradas de úeros reais, ua DFT de potos provê ua saída co /+1 teros idepedetes; C a agitude dos resultados da DFT são proporcioais a ; D a resolução de frequêcia da DFT é dada pela fora acia

23 6 DFT iversa Fórula: e j / Aplicado ao eeplo teos: 3

24 7 Leakage\vazaeto Descrição problea: Eeplo: 1000t + 0.5se / t se t Cosiderado Fs8000 e 8. E se Fs5000?

25 O leakageacotece quado a frequêcia de u sial de etrada ão te correspodêcia eata co o eio de frequêcia 5

26 Forato de u espectro puro: A0 si[ k ]. k Kú aostras por ciclo ou úde ciclos da aostra 6

27 Eeplo: Fs3.000 e 3 7

28 Replicação espectral: 8

29 8 Jaelaeto w 1 0 w e j / 9

30 30

31 Eeplo 3: 31

32 Eeplo : 3

33 9 Resolução e preechieto co zeros Trasforada cotíua de Fourier: O que fazer para elhorar a resolução do espectro? Preecher a etrada co zeros?! zero paddig 33

34 Coo cosertar o eio das frequêcias co preechieto co zeros? Melhoraeto da resolução as ão elhora etedieto das frequêcia de etrada Obs.: SR 3

35 10 Represetação o doíio da frequêcia Eio da frequêcia e: Hz f 7.f s / Hz; oralizado por f s f/f s 7/ ciclos/aostra; Âgulo oralizado wf/f s radiaos/aostra; 35

36 Resuido: Represetação alterativa: w e jw 36

37 Eeplo: calcule a trasforada de 0,75 u usado a variável w. Resolução: Aplicado a série geoétrica: Coclusão: 37 jw e w jw jw e e w 0,75 0, jw e w 0, j w e w / 1 0 /

38 Resuido a: trasforada cotíua, a trasforada discreta e a série de Fourier: 38

39 Obs.: efeito de Gibbs e sisteas digitais 39

40 Custo coputacioal 11 FFT versus.log Para : DFT: 3 seaas; FFT: 10 segudos! Potêcia de preechieto co zeros 0

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