Equações Recorrentes

Transcrição

1 Filipe Rodrigues de S oreira Graduado e Egeharia ecâica Istituto Tecológico de Aeroáutica (ITA) Julho 6 Equações Recorretes Itrodução Dada ua seqüêcia uérica, uitas vezes quereos deteriar ua lei ateática, que relacioa u tero qualquer co a sua posição a seqüêcia Por exeplo, ua seqüêcia ( a, a, a3,, a ), a i represeta i-ésio tero e é atural que se queira relacioá-lo co o valor de i Etede-se por tero geral da seqüêcia, a expressão que relacioa o valor do -ésio tero, co a sua respectiva posição a seqüêcia Segue algus exeplos de seqüêcia e os seus respectivos teros gerais : (,,3,4,, ) a = (,,4,8,) a = E certas situações ão se cohece de fora explícita, a lei de foração (ou tero geral) da seqüêcia apresetada, poré pode ser razoável relacioar u tero qualquer co algus teros ateriores Veja algus exeplos: (,,,,3,5,8, ) a = a a, ou seja, u deteriado tero é a soa dos dois teros ateriores (,4,7,,3,) a = a 3, ou seja, u deteriado tero é o aterior ais 3 Essas equações que evolve teros da seqüêcia são chaadas de equações recorretes, pois para se deteriar certo tero, se recorre a teros ateriores, previaete deteriados Esse artigo te por ojetivo ostrar técicas para a aipulação de alguas equações recorretes particulares Classificação de equações recorretes Há ifiitas foras de equações recorretes Veja aaixo ua equação recorrete que deota u caso ais geral de represetação de equações recorretes λ a λ a λa λ a = g( ) (I) Na equação λ pode ser costates, teros depedetes de ou aida teros depedetes de outros teros da seqüêcia, ou seja, pode-se dizer que λ = f ( a,, a,, a, a) g ( ) é ua fução, discreta, depedete da variável e a ( ) são teros da seqüêcia e questão As equações recorretes serão classificadas de acordo co a fora de λ e g ( ) º) λ = f( ) Trata-se de ua equação liear de coeficietes variáveis º) λ = cte coplexa Trata-se de ua equação liear de coeficietes costates 3º) λ = f(, a, a,, a, a) Trata-se de ua equação ão liear Sedo dessa aeira, haverá teos que serão potêcias de a, ou aida teros cruzados (coo exeplo a a ) Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

2 4º) g ( ) Equação recorrete ão hoogêea 5º) g ( ) = Equação recorrete hoogêea Nesse artigo serão ostradas técicas para aipulação de equações lieares e de coeficietes costates Alguas propriedades de soluções de equações recorretes Coo dito o ite acia, as equações de estudo serão aquelas que são de coeficietes costates e lieares Seja a equação λa λ a λa λa = (II) e que λ Vaos euciar alguas propriedades relacioadas à esse tipo especial de equação recorrete P) Se a e são soluções de ua dada equação recorrete coo a equação (II) etão o tero geral da seqüêcia dada por v = a ± taé é solução: Prova: λ v λ v λv λ v = λ ( a ± ) λ ( a ± ) λ ( a ± ) λ ( a ± ) = λ a ± λ λ a ± λ λa ± λ λ a ± λ = =, pois a e soluçao =, pois e soluçao ( λ a λ a λa λ a ) ( λ λ λ λ ) ± = ogo a expressão proposta v = a ± é solução de (I) P) Se a é solução de ua dada equação recorrete coo a equação (II) etão a expressão recorrete dada por v = ataé é solução, e que é u escalar: Prova: λ v λ v λv λ v = λ ( a ) λ ( a ) λ ( a ) λ ( a ) = =, pois a e soluçao ( λ λ λ λ ) a a a a = ogo a seqüêcia proposta v = a é solução de (I) P3) Se a e são soluções de ua dada equação recorrete coo a equação (I) etão a seqüêcia dada por v = a ± taé é solução, e que e são escalares Prova(exercício) Resolução de equações de recorrêcia Para se resolver equações de recorrêcias são desevolvidas diversas técicas, pois cada tipo de equação requer aeiras diferetes de sere solucioadas Aqui o grade ojetivo é deteriar qual a lei, ou expressão geral da seqüêcia que satisfaz à equação dada Esse traalho vai ostrar a técica para a resolução de u tipo particular de equação recorrete Seja a equação (II) Propoos ua solução para essa equação Cojectureos ua solução do tipo: a = q, (III) Vaos sustituir essa Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

3 solução a equação (II) e deteriar que valores de e q vão forar a solução dessa equação Sustituido (III) e (II) ve: λ q λ q λq λ = ( λ q λ q λq λ ) =, coo é diferete de zero, teos que = Veja que se trata de u λq λ q λq λ poliôio e q A essa equação polioial e q chaaos de equação característica A solução geral da equação recorrete será etão ua coiação liear de potêcias -ésias de todas as raízes do poliôio característico Veja!! a = A( q) A ( q ) A( q) A( q), e que q i é a i-ésia raiz da equação característica e A i são costates a sere deteriadas pelas codições iiciais do prolea Veja algus exeplos: Exeplo (I) Resolver a equação: a 5a 6a = co a = e a = Solução: A equação característica associada a essa equação de recorrêcia é: q 5q 6q =, coo q, teos: q 5q 6= e que as raízes são q = e q = 3 ogo a solução dessa equação de recorrêcia é: a = A(3) B() Coo a = e a =, otaos u sistea: a = A(3) B() = A B= A=B a = A(3) B() = 3A B= A= B= Assi, 3 a = Exeplo (II) Ecotrar o Tero Geral da seqüêcia de Fioacci e que F = e F = e F = F F Solução: A equação característica associada a essa equação de recorrêcia é: ± 5 q q q = Coo q, teos: q q = que possui q = coo 5 5 raízes ogo a solução dessa equação de recorrêcia é: F A B = Aplicado as codições iiciais F = e F =, teos o sistea: 5 5 F = A B A B A B = = = 5 5 F = A B A B A B = = = = Assi, F = 5 Exeplo (III) Resolver a equação: a 4a 4a = co a = e a = 3 Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

4 Solução: Essa equação recorrete está viculada, coo vios, a ua equação característica, as coo podeos ver aaixo, trata-se de ua equação que possui raiz dupla Quado isso ocorre, procedeos da seguite aeira: A equação característica associada a essa equação de recorrêcia é q 4q 4q = Coo q, teos: q 4q 4= que possui q = coo raiz dupla Esse é u tipo especial de equação e a solução proposta esse caso é: a = A() B () Coo a = e a =, otaos u sistea: a = A() B() = A= A= Assi, a = a = A() B() = 3 B= B= Progressões Aritéticas (PA) Ua progressão aritética é u tipo especial de seqüêcia recorrete, e que a relação etre dois teros cosecutivos é dada por: a = a r, o seja, qualquer tero de ua PA é calculado coo sedo o valor do tero aterior soado de ua costate r chaada de razão Sedo a o prieiro tero de ua PA e r o valor da razão, te-se que a = a r Vaos, usado as técicas de resolução de seqüêcias recorretes, ecotrar a expressão geral para o -ésio tero dessa PA a = a r a a = r Coo essa difereça é costate, ou seja, ão depede da posição, pode-se escrever que: a a = r a a = a a a a a = A equação característica associada é: q q = q = ( dupla) Assi sedo, a solução geral para o prolea é: a = A() B() a = A B Aplicado as codições iiciais, chega-se ao sistea: a = A B= a A= a r, B= r ogo, chega-se que: a = a ( ) r a = A B= a r Cálculo da soa dos Teros de ua PA uitos proleas, pricipalete e ateática fiaceira, estão relacioados co a soa de teos de ua seqüêcia (por exeplo o otate pago e u crediário que teha coo ase de cálculo a forulação por juros siples) Assi, sedo, cové que se deterie ua expressão para a soa de todos os teros de ua PA (desde o prieiro até o -ésio) Seja ua PA, de prieiro tero a e razão r Veja o raciocíio: 4 Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

5 a a a a } a ( a r) ( a ( ) r) ( a ( ) r) ( a ( ) r) ( a ( ) r) ( a ( ) r) ( a ( ) r) ( a r) a ( a a) ( a a) ( a a) ( a a) ( a a) ( a a) ( a ( ) r) Veja que S = ( a a ) S = ou aida S = Propriedade Aritética Seja a p, a, a pteros de ua PA, de ordes (-p)-ésia, -ésia e (p)- ésia, respectivaete ogo podeos escrever a p = a pr e a p = a pr a p a p Soado os dois resultados, te-se que a p a p= a a=, ou seja, u tero qualquer a, de ua PA é igual à édia aritética de dois teros quaisquer, eqüidistates do eso Progressões Geoétricas (PG) Ua progressão geoétrica é u tipo especial de seqüêcia recorrete, e que a relação etre dois teros cosecutivos é dada por: a = qa, o seja, qualquer tero de ua PA é calculado coo sedo o valor do tero aterior ultiplicado por ua costate q chaada de razão Sedo a o prieiro tero de ua PG e q o valor da razão, te-se que a = aq Vaos, usado as técicas de resolução de seqüêcias recorretes, ecotrar a expressão geral para o -ésio tero dessa PA a = qa a qa = A equação característica associada é dada por: R q=, logo chega-se que R = q, assi, o teo geral da solução dessa equação a recorrete é: a = Aq Visto que a = Aq, A = Chega-se etão à expressão do q tero geral de ua PG que é dada por: = aq a Cálculo da soa dos Teros de ua PG E geral, a oteção de expressões fechadas, que deote a soa dos prieiros teros de ua seqüêcia traz facilidades o que tage a resolução de proleas até do dia a dia Vaos deteriar ua expressão para o cálculo da soa dos prieiros teros de ua PG de prieiro tero a e razão q Veja: Vaos os utilizar de u resultado iportate, gerado a teoria dos produtos otáveis, e que se te a seguite fatoração: x = ( x )( x x x ) Os: Esse resultado acia explicitado pode ser provado usado a técica da idução fiita Esse exercício fica proposto para você leitor Quereos calcular a soa: 5 S= a aq aq aq = a( q q q ) = Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

6 ( a ) q = ; Assi, te-se que a ( q ) S = q q Seja o caso particular e que < q < Quado isso acotece, o tero geral da PG tede a diiuir uito, quado o valor de cresce Vaos defiir u tipo de PG e que < q < e, coo sedo ua PG ifiita O desafio agora é deteriar o valor da soa de todos esses ifiitos teros Veja!! } ( ) a q a a li S = li = = q q q ogo a S = q Outro resultado que pode ser uito útil a resolução de alguas questões é o valor do produto de todos os teros de ua PG Seja P= a a a Veja!! = PA, r= ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) P= a = a aq aq aq = a q = a q ogo chega-se que: ( ) P= ( a ) q Propriedade Geoétrica Seja a p, a, a pteros de ua PG, de ordes (-p)-ésia, -ésia e (p)- p ésia, respectivaete ogo podeos escrever a p aq p = e a p = aq ultiplicado os dois resultados, te-se que a ( ) pa p= a a= a p a p, ou seja, u tero qualquer a, de ua PG é igual à édia geoétrica de dois teros quaisquer, eqüidistates do eso Exeplo (IV) Resolver a equação a 4a = 3, co a = Solução Veja que a hipótese siplificadora (c) foi violada, ou seja, essa equação ão é hoogêea, pois ão é do tipo f( a ) = e si do tipo f( a ) = 3 Quado isso acotece ão se pode dizer que ua solução possível é algua do tipo a = q Vaos verificar isso: q 4q = 3 Veja que teos ua situação ideteriada, pois existe uitos pares ( q, ) que satisfaze a equação ecotrada, para cada ogo u jeito de escapar desse prolea é torado a equação ua equação hoogêea a 4a = 3, as a 4a = 3, logo a 4a = a 4a e arruado, teos: a 5a 4a = Essa equação si é hoogêea e pode-se aplicar a solução do tipo = q A equação característica associada é: q 5q 4q = a q 5q 4= Raízes a A() B(4) q = e q = 4 ogo a solução geral é do tipo: = ou a = A B(4) Coo a =, podeos calcular a = 3 4a = 3 = 3, assi agora pode-se otar o sistea: 6 Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

7 a = A B(4) = A=4B Assi a = A B(4) = A 6B= 3 B= 4 a 4 4 = = 4 4 Outra solução, se usar recorrêcia: Vaos escrever a equação para todos os valores de, eores que ( a 4a ) = 3 4( a 4a ) = 43 4( a 4a 3 ) = ( a 4 a ) = 4 3 a a PG, razao a 4 4 = = 3( ) = 3 4 } = a 4 = 4, logo: a = 4 Veja que equações desse tipo vão, de fato, exigir ais criatividade do que técicas específicas` Exeplo (V) Resolver a equação a 4 3 a =, co a = Solução Para resolveros esse tipo de equação, teos que ecotrar ua aeira de fazer co que a parte 3, ão cotiue a equação e que a esa se tore ua equação hoogêea Veja!!! a 4a = 3 = 33 a 4 a 3( a 4 a ) =, assi: a 7a a = a 4a = 3 Equação característica associada é: q 7q =, co raízes q = 3 e q = 4 A expressão geral fica da fora: ( 3) a = A B( 4), co a = e a = 3 = 9 Aplicado as codições iiciais te-se que: 4B a = A( 3) B( 4) = A= 3 4B 9 a = A( 3) B( 4) = 9 9 6B= 9 B= A=3 3 4 ogo, = 94 3 ou aida = 9(4 3 ) a a Outra solução, se usar recorrêcia: Vaos escrever a equação para todos os valores de, eores que 7 Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

8 4( ( a 4a = a 4a 4( a 4 ( a 4a 3 ) 3 ) = 43 ) = a ) 4 3 = 4 } = 4 3 a 4 a = = = = = = = = 3 = 3 = 9(4 3 ), logo, a = 9(4 3 ) 3 3 Outras seqüêcias Seja a equação recorrete expressa por: a qa rq = Vaos resolver essa equação utilizado o raciocíio igual ao utilizado o exeplo (V) a qa = rq a qa = rq a qa = q( a qa) a qa q a = O poliôio (e t) característico para essa recorrêcia é dado por t qt q = que te ua raiz dupla t = q ogo a solução geral par essa recorrêcia é a = A( q) B ( q) Vaos defiir codição iicial do tipo: a = a Da relação de recorrêcia, ecotra-se o valor de a = ( a r) q Aplicado as codições iiciais a expressão geral de a, chega-se que: a ( ( ) ) = a r q Veja que quado aueta, a prieira parte do tero geral se coporta coo ua PA e a seguda parte defie ua PG, a essa seqüêcia especial dá-se o oe de Progressão Aritético-Geoétrica (PAG) Talvez seja u desafio aior calcular a soa dos prieiros teros de ua PAG Vaos aceitar esse desafio? Veja!! = = = Soa de PG aq rq rq ( a r) q r q = = = = = Y a r q r q q = Calculado S = a = ( a ( ) r) q = ( aq rq rq ) = = = = ( )( ) = 8 Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

9 Agora precisaos deteriar ua fórula fechada para Y Siga o raciocíio: Y = q 3 q ( ) q q ( I) Calculado ( I) ( II ) chega-se à 3 qy = q q 3 q ( ) q q ( II ) PG, razão q q Y qy = q q q q = q ogo o valor de Y é dado por: q q q Y = Co isso calculaos o valor de S, origial coo sedo: q ( q) ( )( ) a r q rq r( q ) ( a ( ) r) q ( a r) q ( a r) q a S = = q q ( q) ( q) Exeplo (VI) Seja P ( x) = x x ( x) x ( x) x( x) ( x) 5 o coeficiete do tero e x de P (x) 7 Deterie Solução: Veja que ua parcela qualquer dessa soa te u fator x a eos que a parcela aterior e coo u fator ( x) a ais ogo se trata de soa de ua PG de 7 x prieiro tero x e razão q = Aplicado a fórula da soa da PG chegase à: x 8 7 x x a( q ) x 8 8 S = = = (( x) x ) q x x 8 Veja que o desevolvieto de ( x), a parcela e x 8 se cacela e 5 8 cosequeteete o coeficiete do tero e x é dado por 5 Exeplo (VII) Cosidere u tauleiro retagular de diesões Dispoos de doiós co as seguites cofigurações: Peça : Peça : De quatas aeiras se pode corir o tauleiro dispodo apeas das peças e Os: Duas peças distitas ( de qualquer tipo) ão pode se superpor Solução: Vaos deotar por C ( ) o úero de coiações procurado Vaos estudar alguas das as possíveis cofigurações para o prolea e questão 9 Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

10 Veja que etre as cofigurações possíveis, há ua delas e que, depois de preechidas as casas do tauleiro se retora ao eso prolea, agora co u tauleiro ( ), logo o úero de coiações, agora procurado é C ( ) O eso acotece para a cofiguração e que se retora a situação de u tauleiro ( ), sedo que há quatro cofigurações possíveis e para o caso de se ter retorado a u tauleiro ( 3) há duas possíveis cofigurações, logo se pode propor a seguite equacioaeto: C ( ) = C ( ) 4 C ( ) C ( 3) Quais seria as codições iiciais desse prolea? Para o caso e que = : Há ua possiilidade ( a ) Para o caso e que = : Há cico possiilidades ( aa, );( );( c);( d);( e ) Para o caso e que = 3: Há oze possiilidades( aaa,, );( a, );( ac, );( ad, );( ae, ); ( a, );( ca, );( da, );( ea, );( f);( g ) ogo: C() =, C() = 5 e C(3) = Resolvedo a equação de recorrêcia: C ( ) C ( ) 4 C ( ) C ( 3) = O Poliôio característico associado: q 3 q 4q = Por ispeção, q = é raiz ogo utilizado o dispositivo prático de Briot-Ruffii, chega-se que as outras raízes são q = ± 3 O tero geral de C ( ) = A( ) B( 3) C( 3) Aplicado as codições iiciais chega-se que A=, B=, C = e assi te-se que: 3 3 C ( ) = ( ) ( 3) ( 3) 3 A trasforada Z Vaos defiir u operador Ζ { x( )} = X( z), que traslada ua seqüêcia, depedete da variável iteira, e ua equação totalete algérica, a variável coplexa z O trasforador Z é defiido coo sedo: Ζ {()} x = x() z Veja que esse operador resulta a covergêcia de ua série (soa ifiita), ou seja, o resultado da trasforação do doíio para o doíio z é o valor para o qual a série coverge Quado essa cota for feita, se terá ua expressão, a variável z e é de taaha iportâcia que se estude ode, ou e que região do plao coplexo, essa covergêcia pode ocorrer Vaos calcular alguas trasforadas de alguas seqüêcias cohecidas! = Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

11 Propriedade : A trasforada Z de ua coiação liear de fuções é a coiação liear das respectivas trasforadas Z dessas fuções Seja a, ( ) { ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) Ζ ax ± y = ax ± y z = a xz ± yz ( ) = ax( z) ± Y( z) Alguas trasforadas esseciais = = = º) Seja a seqüêcia x( ) dada por: x ( ) = a, Soa de PG ifiita } z Ζ {()} x = X() z = a z = ( az) = = Claro que esse = = z a az resultado só faz setido se az <, para que a soatória seja u caso particular de PG ifiita º) Seja a seqüêcia x( ) dada por: x ( ) = c, Soa de PG ifiita } cz Ζ {()} x = X() z = cz = c () z = = = = z z faz setido se z <, para que a soatória seja u caso particular de PG ifiita Claro que esse resultado só 3º) Tero de avaço Calcular a trasforada Z de x( ) e fução de x( ) } t ( t) t t Ζ { x( )} = x ( z ) = xtz () = xtz () z = z xtz () = = t= t= t= ( ) t ( ( ) () () () ( ) ( ) ) t= = z x t z = z X z x x z x z x z = z X( z) x() z x() z = x() z x( ) z x( ) z Assi, { x( )} z X( z) x() z x() z Ζ = x() z x( ) z x( ) z 4º) Tero de atraso: Calcular a trasforada Z de x( ) e fução de x( ) } t ( t ) t t Ζ{ x( )} = x( ) z = x() t z = x() t z z = z x() t z = = t= t= t= t ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) = z x t z = z X z z x x z x z x z = t= ( ) ( ) = X z z x( ) x( ) z x( ) z x( ) z ( ) Assi, Ζ{ x ( )} = X( zz ) x( ) x( ) z x( ) z x( ) z Veja que para as seqüêcias e que para <, iplicare que x ( ) =, o resultado acia fica resuido e: Ζ{ x( )} = X( z) z 5º) Calcular a trasforada Z de, x ( ) =, < Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

12 Y Exeplo ( V) } Ζ {()} x = z = z ( ) = Esse soatório foi resolvido o exeplo (V) = = = } } z z Ζ {()} x = li z li = = ( ) z ( z ) {()} x z z ( z ) ( z) Ζ = = 6º) ultiplicação por a z Ζ { ax ( )} = az = ( a z) = X = = a 7º) Calcular a trasforada Z de x( ) = ( ) a z Vaos defiir y ( ) = Aplicado a 6º trasforada, ve que Ζ { a y( )} = Y a ogo teos que Ζ { a y( )} = z z z z ( ) a a a a = z z z a a a Resolvedo equações recorretes usado a trasforada Z Assi coo podeos passar do doíio para o doíio z, o cotrário taé pode ser feito Vaos agora eteder o porquê de que quado resolveos ua equação liear, co coeficietes costates e hoogêea, ua solução é do tipo x( ) = Aq Acopahe o exeplo aaixo: Exeplo (VIII) Resolva a equação recorrete a ( ) 3 a ( ) 4 a ( ) =, dados a() = e a() = 3 Solução: Aplicado a trasforada Z e toda a equação ve: Za { ( ) 3 a ( ) 4 a ( )} = Za { ( )} 3 Za { ( )} 4 Za { ( )} = = zaz ( ) x() z x() z3( zaz ( ) zx()) 4 Az ( ) = Az ( )( z 3z 4) 3z = Az ( ) 3 3 R S ( R Sz ) (7R 6 S) logo = = = = z z 3z 4 ( z6)( z7) z6 z7 ( z6)( z7) Podeos otar u sistea co as seguites equações: Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

13 R S = z z R=3 S = 3 Assi teos: Az ( ) = 3 3 7R 6S =3 z6 z 7 Proto, teos ua expressão algérica a variável coplexa z e quereos trasforála e ua seqüêcia a variável Para isso é ecessário que se aplique a trasforada Z iversa a expressão ecotrada Foi deostrado que para x ( ) = a,, Ζ z {()} x = z a, logo podeos dizer que z a = Z z a, e que Z { f( z)} é o tero geral da seqüêcia a qual se for aplicada a trasforada Z otê-se f ( z ) Aplicado essa trasforada Z iversa a expressão de A(z) e fazedo as devidas coparações etre a e os úeros 6 e 7 que aparece a expressão, teos que a ( ) = 3(6) 3(7), ou aida a ( ) = 3(7 6 ) O exeplo aaixo ostra o porquê de que quado se te ua equação recorrete de poliôio característico co raiz dupla a solução para a equação é da fora x = Aq ( ) Bq ( ) Veja!! Exeplo (IX) Resolva a equação recorrete a ( ) 4 a ( ) 4 a ( ) =, dados os valores de a() = e a() = 4 Solução: Aplicado a trasforada Z e toda a equação ve: Za {( ) 4( a ) 4()} a = Za {( )} 4{( Za )} 4 Za {()} = = zaz ( ) x() z x() z4( zaz ( ) zx()) 4 Az ( ) = Az ( )( z 4z 4) 4z = logo z Az ( ) 4 4 z = = = assi Az ( ) = X = Perceedo z z 4z 4 ( z) z z z que se trata de ua fução do tipo X, a trasforada iversa é dada por a z }( x ) y ( ) = ax ( ) = Z X a Aplicado esse resultado teos que a ( ) = ( ), logo x ( ) = Exeplo (X) Resolva a equação recorrete a ( ) 6 a ( ) 9 a ( ) =, dados os valores de a() = e a() = 6 Solução: Aplicado a trasforada Z e toda a equação ve: Za { ( ) 6 a ( ) 9 a ( )} = Za { ( )} 6 Za { ( )} 9 Za { ( )} = = zaz ( ) x() z x() z6( zaz ( ) zx()) 9 Az ( ) = Az ( )( z 6z 9) z = logo Az ( ) z z z = = assi Az ( ) = Veja o resultado da 7º z z 6z 9 ( z3) ( z 3) trasforada e faça = e a = 3 ogo a trasforada iversa de A(z) vai ser algo do tipo a ( ) = ( )3 3 Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

14 Exercícios propostos ) Ecotre o tero geral a das seqüêcias expressas por: a) a 3a =, a =, ) a 3a =, a = c) a a =,, a = e a = d) a 4a 5=,, a = e a = e) a = a, a =, f) a = a, a =, g) a = a, a =, h) a = a, a =, i) a = 4a, a =, j) a = 4 a ( 3), a =, ) De quatas aeiras podeos forar palavras co letras utilizado o alfaeto {,,, acd} se as letras a e ão deve aparecer jutas? 3) (Itália/996) Dado o alfaeto co três letras a,, c, ecotre o úero de palavras co letras cotedo u úero par de a s Cosidere 4) Seja ƒ() o úero de palavras co letras, se zeros vizihos, foradas a partir do alfaeto {,, } Ecotre ua recorrêcia e ua fórula para ƒ() 5) Cosidere todas as palavras co caracteres foradas a partir do alfaeto {,,,3} Quatas delas tê u úero par de (a) zeros, () zeros e us? 6) Dadas três varetas e discos de distitos taahos colocados a prieira vareta e orde de taaho (do eor ao aior), over estes discos desde a vareta iicial até a terceira usado a seguda coo auxiliar, se colocar u disco de taaho aior sore u de taaho eor É peritido o ovieto de u disco por vez Deteriar o úero íio de ovietos para ovietar toda a colua de discos da prieira pra a terceira vareta OBS: ere que o disco aior só será ovietado quado todos os outros discos já tivere sido ovietados 7) (Eurea) Seja a seguite equação de recorrêcia, que cosidera logaritos e ase : f ( ) = f ( ) log log, 3 f ( ) = Neste caso aplicaos ua troca de variável para ir desta equação a ua equação liear, e poder resolvê-la, o qual sigifica que haverá solução só para os valores de que satisfaça este câio Deterie a expressão geral de f(), e fução de 8) Resolva as equações propostas o prieiro exercício utilizado a trasforada Z 9) (IE) Seja a seqüêcia cuja lei recorrete é dada por v = 6v 9v sedo dados os valores iiciais v e v Defiios v = 3 u Deterie: a) ua expressão para as seqüêcias { v } e { u } e fução de, u e u ) Idetificar as seqüêcias { v } e { u } para o caso particular de v = e 3 v = 4 Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira

15 Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza oreira 5 ) (IE) Deteriar o valor do deteriate da atriz x, e fução de O Sugestão: Use regra de aplace ) (IE) Deteriar o valor do deteriate da atriz x, e fução de e x x x x x x O Sugestão: Use regra de aplace ) (IE) Deteriar o valor do deteriate da atriz x, e fução de O