O MÉTODO DE VARIAÇÃO DAS CONSTANTES

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1 O MÉTODO DE VARIAÇÃO DAS CONSTANTES HÉLIO BERNARDO LOPES O tea das equações difereciais está resete a esagadora aioria dos laos de estudos dos cursos de liceciatura ode se estuda teas ateáticos. E o eso acotece o âbito de uitos cursos de estrado e até de doutoraeto. De resto o tea cotiua e fraco desevolvieto uito e articular o subdoíio das equações difereciais às derivadas arciais e orete ao ível das alicações a casos cocretos. U caso uito articular de equações difereciais é o das equações difereciais ordiárias lieares que são suscetíveis de se reduzir à fora: ( ) ( ) a ( x) y a ( x) y a ( x) y a ( x) y a ( x) y f ( x) 2 ode a ( j x ) j... são fuções reais de variável real tal coo f ( x ) e ode y é a (fução) icógita da equação deedete de x D R e co valores e R sedo y ( j) j... as suas derivadas até à orde. Ua tal equação diz-se de coeficietes variáveis (co x D R) que são os a j ( x) e coleta se f ( x) ão for aí ideticaete ula. Se os coeficietes a j ( x) fore costates reais a equação aterior diz-se de coeficietes costates escrevedo-se referecialete a fora a fora: ( ) ( ) ay ay a y a yay f( x) 2 dizedo-se hoogéea se f ( x) for ideticaete ula f ( x) : ay ( ) ay ( ) a y a y a y 2 A solução geral da equação hoogéea é facilete obteível or étodos eleetares coortado aturalete costates reais arbitrárias. No caso ais siles a solução geral da equação hoogéea será do tio: y C y C y h co C j R j... costates arbitrárias e y j j... real.. fuções reais de variável Para se coseguir a solução geral da equação coleta há que ecotrar ua sua solução articular y sedo a solução geral da esa dada or: Atigo Professor e Mebro do Coselho Cietífico da Escola Suerior de Polícia.

2 y y y C y C y y h. E certas situações da fução f ( x) o recurso ao étodo dos coeficietes ideteriados erite ecotrar ua solução articular da equação coleta. É o que se assa co a equação de seguda orde: y 5y 6y x ode ua solução articular oderá ser do tio: y 2 A x A x A 2 2 ecotrado-se os coeficietes ideteriados. A A A 2 R através do étodo dos coeficietes De u odo assaz frequete esta etodologia ão oferece qualquer dificuldade a sua alicação e orde a ecotrar a solução geral de ua equação coleta de coeficietes costates. O eso ão se dá se a fução f ( x) ão ertecer a u cojuto de fuções tíicas que são as que surge de u odo uito geral as alicações ao ível escolar. Seja or exelo a ova equação: y y cos ec( x) que é coleta e de terceira orde as e que ua sua solução articular ão ode obter-se através do étodo dos coeficietes ideteriados. A solução geral da corresodete equação hoogéea obté-se facilete e é: yh C C2 cos( x) C3se( x) ode C C 2 e C 3 são costates reais arbitrárias. Ora a obteção de ua solução articular da equação coleta ode aqui fazer-se or recurso recisaete ao étodo de variação das costates. Dado que a solução geral da equação hoogéea é: y C C x h 2 cos( ) C3se( x) o étodo de variação das costates cosiste e suor que ua solução articular da equação coleta é: y C( x) C2( x)cos( x) C3( x) se( x) ode as costates C j j 23 já ão são costates as si fuções reais da variável ideedete x. Para se deteriare Cj ( x) j 23 e or aí se chegar à solução articular rocurada há que resolver o sistea de equações lieares e Cj ( x) j 23 que se ostra de seguida:

3 C( x) C2( x)cos( x) C3( x) se( x) C2( x) se( x) C3( x)cos( x) C2( x)cos( x) C3( xsex ) ( ) cos ecx ( ) obtedo-se de u odo siles: C ( x) cos ec( x) C ( x) cot g( x) C ( x) 2 3 exressões que riitivadas forece: C ( x) l cos ec( x) cot g( x) C ( x) l se( x) C ( x) x. 2 3 Assi ua solução articular da equação coleta cosiderada é: y l cos ec( x) cot g( x) l se( x) cos( x) x. se( x) elo que a solução geral da equação coleta é: y yh y C C2 cos( x) C3se( x) l cos ec( x) cot g( x) l se( x) cos( x) x. se( x) yh y ode C j R j 23 são costates arbitrárias. No caso ais geral de ua equação coleta de orde N 2 : ( ) ( ) y a y a y a y a y f ( x) 2 a obteção de ua sua solução articular usado o étodo de variação das costates fazse através da resolução do sistea de equações lieares os C x... : j ( ) j C( x) y C( x) y C( x) y C( x) y ( 2) ( 2) C( x) y C( x) y ( ) ( ) C( x) y C( x) y f ( x)

4 ecotrado-se as exressões de Cj ( x) or cuja riitivação se obtê as corresodetes de Cj ( x). Substituido estas exressões a solução geral da equação hoogéea corresodete à dada: obté-se ua solução articular da coleta: sedo a corresodete solução geral: y C y C y h y C ( x) y C ( x) y y y y. Note-se que a alicação deste étodo se aditiu a dividir abos os ebros da equação (coleta) dada or a h. Se assi ão for bastará. Este étodo ebora de odo ouco frequete é or vezes tratado ao ível dos cursos de liceciatura. De todo o odo e elo que acaba de ostrar-se ão coorta qualquer dificuldade diga de registo. Muitíssio ais raro é o seu trataeto o âbito do estudo das equações às difereças ordiárias orete ao ível dos cursos de liceciatura. Desiga-se or equação às difereças ordiária liear de orde N toda a exressão que ossa reduzir-se à fora: ode a j... real de variável atural. j a y a y a y a y f ( ) são teros gerais de sucessões de N e R e f ( )é ua fução À seelhaça do que se viu co as equações difereciais a icógita da equação é y que é claro está o tero geral de ua sucessão de teros reais. No caso de f ( )ser ideticaete ula a equação às difereças diz-se hoogéea tedo-se aqui tabé que a solução geral da equação coleta - f ( ) - se obté ela adição da solução geral da equação hoogéea corresodete co ua solução articular da equação coleta: y y y h. No caso ais siles de ua equação hoogéea a sua solução geral é do tio: N j... ode y j costates arbitrárias. y C y C y h são sucessões de teros e R e e que C j R são À seelhaça do que se viu co as equações difereciais ua solução articular da equação coleta ode coseguir-se facilete or recurso ao étodo dos coeficietes ideteriados desde que f ( )aresete certo tio de estrutura.

5 Este tio de situações é tratado co grade frequêcia ao ível dos cursos de liceciatura as o eso se ão dá co o étodo de variação das costates de grade utilidade a geeralidade dos casos de f ( ). Neste étodo adite-se que ua solução articular da equação coleta é do tio: y C ( ) y C ( ) y que se obté da solução geral da equação hoogéea corresodete à dada as e que se adite que Cj ( ) j... já ão são costates reais arbitrárias as fuções da variável atural. Ora o recurso ao étodo de variação das costates coduz o caso de ua equação às difereças coleta de orde ao seguite sistea de quações lieares: C( ) y... C( ) y C( ) y2... C( ) y C( ) y... C( ) y C( ) y... C( ) y f ( ) ou escrito a fora atricial: y y 2... y C ( ) y y y C2 ( ) y y 2... y C ( ) y y y 2... C ( ) f ( ) ode as icógitas são Cj ( ) j... ou seja as rieiras difereças de Cj ( ). Dado que a aterior atriz é a atriz de Casorati K( ) - y j j... costitui u cojuto fudaetal de soluções - o seu deteriate K ( ) - deteriate casoratiao - ão é ulo. A solução do aterior sistea aida a fora atricial é ois:

6 ode K C ( ) C2 ( )... K C( ) C ( ) ( )é a iversa da atriz de Casorati. ( )... f ( ) Desigado or M q ( ) o eleeto da liha e da colua q da atriz adjuta de K( ) virá etão: C ( ) M q ( ) f ( ) K ( ) co q.... As relações assi ecotradas são coo é evidete as rieiras difereças de C ( )... sedo que são os C ( ) que se retede deteriar. Tal desiderato ode coseguir-se ao eos or duas etodologias: a rieira através da utilização do oerador atidifereça ; a seguda à custa de relegar o roblea e causa ara o forato de ovas equações de difereças de rieira orde. Exõe-se aqui aeas a rieira etodologia sedo essecial que se coheça o coceito de atidifereça. Assi se for: y x a atidifereça de x é y C ode C é ua costate real arbitrária ou seja: x y C C R. Note-se que à seelhaça do oerador difereça tabé a atidifereça é u oerador liear tedo-se I ebora e geral I. E Luís (26) ode ecotrar-se u quadro co ua diversidade uito útil de exressões de f ( ) co as corresodetes (rieira) difereça e atidifereça. Nestes teros o recurso ao oerador atidifereça forece: C M q ( ) ( ) f ( ) A K ( ) co... A R costates arbitrárias e sedo C( ) C. U exelo siles ilustra o étodo acabado de exor. Seja etão a equação às difereças de seguda orde: y 8y 7 y e 2

7 que é ua equação coleta co f ( ) e. A solução geral da corresodete equação hoogéea: deteria-se de odo eleetar e vale: y 8y 7y 2 yh C( ) C2( 7 ) co C C2costates reais arbitrárias. Assi ua solução articular da equação coleta obter-se-á or: y C( )( ) C2( )( 7 ) ode C ( ) e C 2 ( )são agora fuções da variável atural que tê de ser deteriadas. Tal objetivo coo se viu atrás cosegue-se resolvedo o sistea de equações lieares: e orde às difereças C ( )e C2 C ( )( ) C2 ( )( 7) 2 2 C ( )( ) C2 ( )( 7) e ( ) e vale: ( e) e C( ) C2( ) Alicado agora a estas exressões o oerador atidifereça virão as exressões de C( ) e C2 ( ) : ( e) e C ( ) A C ( ) 6( e ) 6( e 7) 7 A 2 2 co A A 2 R costates arbitrárias. Itroduzido fialete C( ) e C2 ( )a solução geral da equação hoogéea obterse-á ua solução articular da equação coleta iicial: y e ( ) ( ) 7 ( e)( e7) 6( e ) 6( e 7) Assi a solução geral da equação coleta iicialete colocada é: e y y h y C C ( ) ( 7) ( ) 2( 7) ( e )( e7) 6 ( e ) 6( e 7 ) yh y

8 Fialete iorta chaar a ateção ara o facto do étodo de variação das costates se alicar tabé ao caso de equações co coeficietes variáveis be coo ao de sisteas de equações seja difereciais ou às difereças. BIBLIOGRAFIA COSTA Mário Rui Nues da 995 Equações de Difereças Fiitas FEUP. FERREIRA Mauel Alberto e Rui Meezes 992 EQUAÇÕES COM DIFERENÇAS. Alicações e robleas de Fiaças Ecooia Sociologia e Atroologia Edições Sílabo Lda. LUÍS Rafael Doigos Garaito 26 Equações de difereças e alicações Uiversidade da Madeira Deartaeto de Mateática e Egeharias. SARAIVA Maria dos Ajos 982 EQUAÇÕES ÀS DIFERENÇAS FINITAS. Alicações à Ecooia Couicações 4 Uiversidade de Coibra Faculdade de Ecooia. VELASCO Valeti 998 EQUAÇÕES FUNCIONAIS DISCRETAS SPB Editores Lda. VILLATE Jaie E. 29 Equações Difereciais e Equações de Difereças FEUP.