Vibrações em Sistemas Mecânicos

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1 Notas de aulas Vibrações e Sisteas Mecâicos Deslocaeto () Node() E C /E F Node() E C /E F 0.05 Node() E C /E F 0.5 Freq (Hz) Deslocaeto [] Tepo [s] Prof. Dr. Airto Nabarrete Cetro Uiversitário da FEI 4 ª Edição 005

2 . INTRODUÇÃO Atualete, uitos estudos são feitos co objetivo de otivar as aplicações das vibrações e egeharia, coo o projeto de áquias, fudações, estruturas, otores, turbias, sisteas de cotrole etc. Probleas co vibração pode ocorrer devido ao desbalaceaeto e otores alterativos ou eso e qualquer sistea rotativo, poré o desbalaceaeto ecessivo idica erros de projeto ou u processo de fabricação pobre. E otores diesel, o desbalaceaeto pode provocar uito ruído e áreas urbaas. Nos otores a gasolia a grade preocupação atual é a redução das vibrações para o aueto do coforto do codutor. Na istalação de ovas áquias operatrizes a idústria etalúrgica, coo eeplo, cetros de usiage, toros CNC, retificadoras de precisão, etc., há grade preocupação co a isolação das vibrações de odo a ão piorar a precisão das esas durate a sua utilização posterior. E uitas idústrias estas áquias são istaladas a proiidade de áquias geradoras de vibração, coo: presas ecêtricas, tesouras guilhotias, etc. Quado teos a freqüêcia atural do sistea ecâico coicidido co a freqüêcia de vibração devida a operação, teos o aparecieto da ressoâcia, que leva o sistea a deslocaetos ecessivos e até à ruptura de alguas partes. Por causa do efeito desastroso que as vibrações pode causar às estruturas e às áquias, testes de vibrações fora icluídos as oras e procedietos de projeto e de verificação eperietal os diversos raos da egeharia.. Defiição de vibração Qualquer ovieto que se repete depois de u itervalo de tepo é chaado de vibração ou oscilação. A teoria das vibrações trata do estudo dos ovietos oscilatórios dos corpos e das forças associadas aos esos. U sistea vibratório iclui u eio de arazear eergia potecial (ola ou elasticidade dos ateriais), u eio de arazear eergia ciética ( assa ou iércia ) e u eio pelo qual a eergia é dissipada (aortecedor ou atrito). Prof. Airto Nabarrete Pag.

3 Sistea Massa-Mola E E total total Eci + E! + pot t 0 A vibração de u sistea ocorre pela trasforação da eergia potecial e eergia ciética e de eergia ciética e potecial alteradaete. Se o sistea for aortecido, algua eergia é dissipada e cada ciclo de vibração e precisa ser reposta por ua fote etera se o estado da vibração é para ser atido.. Modelo Massa-Mola e Vibração Livre Neste caso de vibração, o sistea é cosiderado coo coservativo e, após ser forecido ua quatidade de eergia iicial, o eso se ovieta eteraete, pois ão há dissipação de eergia. No odelo siplificado da figura abaio, represeta a assa e a rigidez da ola. Neste odelo percebeos a possibilidade do sistea oscilar a direção e fução da elasticidade da ola ligada à assa. A direita teos o esquea de corpo livre co as forças que atua sobre o eso g N Na vertical, as forças que age sobre o corpo estão e equilíbrio. Na horizotal, se o corpo de assa for deslocado para a direita, a força resultate proove a aceleração do corpo para a esquerda. Prof. Airto Nabarrete Pag.

4 A equação diâica do sistea é : f!!! () t () t A equação obtida é ua equação diferecial de ª orde. Reposicioado os teros, teos:! () t + () t 0 Podeos utilizar o eso procedieto para a aálise de u sistea torcioal. Na figura abaio, t represeta a rigidez torcioal do eio vertical e J o oeto de iércia da roda iferior. t θ J Efetuado a aálise para o corpo livre da roda, tereos: M J θ!! J θ! + t t θ 0 A aálise de vibrações te por objetivo prever a resposta de ovieto para o sistea vibratório, portato é desejável cohecer a resposta para estas equações difereciais. Felizete, a solução da equação diferecial acia é be cohecida dos cursos itrodutórios de cálculo e física. Assi, a solução para a variável (t) é : () t A cos( ω t φ) A é a aplitude e represeta o áio valor da fução (t), ω é a freqüêcia circular (epressa e rad/s), e φ represeta o âgulo de fase ou siplesete fase. A escolha da fução coseo pode ter coo alterativa a fução seo, pois abas são fuções que descreve ovietos periódicos de oscilação. A solução da equação diferecial idicada por (t) é chaada de resposta livre, pois ão eiste forças diâicas que provoque a vibração do odelo assa-ola. Prof. Airto Nabarrete Pag. 3

5 Cosequeteete, a vibração livre acotece sepre co a esa freqüêcia de vibração, a qual é deoiada de freqüêcia atural e recebe o ídice, ou seja, ω. Para verificar que (t) é a solução procurada, deve-se derivar a esa e substituir a equação diferecial.!! Substituido a equação diferecial, teos:! () t A se ( ω t φ ) ω () t A cos ( ω t φ) ω ω () t { ω () t } + () t 0 () t ( ω + ) 0 Coo (t) ão pode ser zero, ou seja, é o deslocaeto edido a vibração, etão: ω + 0 ω Pela epressão acia, etedeos que a freqüêcia atural do odelo assa-ola é fução apeas da assa e da rigidez da ola. Aalogaete, a freqüêcia atural do sistea torcioal é dada por : ω t J Na fução (t) aida resta duas icógitas, ou seja, A e φ. Para deteriá-las é ecessário iforar as codições de cotoro que rege o problea diferecial. No caso da resposta livre de vibração, codições de cotoro estão represetadas pelas codições iiciais do problea. Coo são duas icógitas, ecessitaos de cohecer duas codições iiciais. Portato, fica estabelecido que deveos cohecer o deslocaeto iicial 0 e a velocidade iicial v 0 da vibração livre. Para resolver estas equações, te-se: v () 0 Acos( ω 0 φ) ( φ) cos 0 A () 0 ω Ase( ω 0 φ) ω ( φ)! se 0 A cos se ( φ) cos( φ) ( φ) se( φ) Prof. Airto Nabarrete Pag. 4

6 Utilizado relações trigooétricas, te-se: 0 Acos () φ cos() φ A 0 v v0 Ase () φ se() φ ω ω 0 [ cos() φ ] + [ se() φ ] A 0 v0 + ω A A A 0 v0 + ω () φ se v0 v () 0 φ arctg cos φ ω 0 ω 0 O quadro abaio resue o ovieto vibratório do odelo assa-ola. Movieto Harôico Siples Suário Deslocaeto, (t) + θ v 0 tg(θ) Aplitude, A 0 tepo, t - π ω Período, T v () 0 v 0 t 0 + cos ω t arctg ω ω 0 0 deslocaeto iicial v 0 velocidade iicial Prof. Airto Nabarrete Pag. 5

7 .3 Movieto Harôico Se depois de u itervalo de tepo o ovieto é repetido, o eso é chaado de ovieto periódico. O tipo ais siples de ovieto periódico é o ovieto harôico. O ovieto do ecaiso ostrado a figura acia é u eeplo de u ovieto harôico siples. Quado a roda gira co ua velocidade agular ω, a etreidade S do eleeto Q é deslocada de sua posição cetral de ua quatidade dada por : Ase () θ Ase( ωt) A velocidade o poto S é dada por :! () t ω Acos ( ωt) E a aceleração por :!! () t ω Ase( ωt) ω ( t) d dt d dt Pode ser visto que a aceleração é proporcioal ao deslocaeto. Prof. Airto Nabarrete Pag. 6

8 O ovieto harôico pode ser represetado coveieteete por eio de u vetor posição OP de agitude A girado a ua velocidade agular ω. y y ω A P θωt y A se(ω t) P A θ O O π π 3π T Na figura acia, as projeções do vetor posição " X são dadas por : y Ase( ω t) e Acos( ω t). OP o eio vertical e o eio horizotal O vetor X " pode ser represetado o espaço cartesiao e tabé o espaço copleo: Iag b A " X a + ib ode, i φ O a Re a e b são as copoetes real e iagiária do vetor X ". A represeta o ódulo do vetor e φ o argueto ou âgulo etre o vetor e o eio real (eio horizotal). Utilizado as relações trigooétricas, escreve-se: a A cos () φ, Ase() φ b, a b e φ arctg A + Portato, X A cos () φ + i Ase() φ " Das relações dos úeros copleos, obté-se: Prof. Airto Nabarrete Pag. 7 b a

9 A iφ iω t [ cos () φ + i se() φ ] Ae Ae Utilizado λ coo ua costate diferete de zero, escreve-se: " iω t iω λ X Ae Ae A difereciação do vetor posição X " o tepo gera : λ t!" X d " λ t λ t! d ( A e ) λ A e λ X X " " λ t λ t ( λ A e ) λ A e λ X dt dt Estas quatidades são ostradas a figura abaio coo vetores rotativos. Observa-se que o vetor aceleração está defasado de 90 o e relação ao vetor velocidade e este últio está defasado de 90 o e relação ao vetor deslocaeto. Na figura, observa-se que o deslocaeto é obtido pela fução: () t A se( ω t) Assi, pode-se dizer que soete a parte iagiária do vetor X " foi utilizado. Pode-se utilizar a otação coplea a fora abaio para represetar o deslocaeto, velocidade e aceleração. λ t () t I ( A e ) A se( ω t) λ t λ t! () t I ( λa e ) ω A se ω t +!! () t I ( λ A e ) ω A se( ω t + π ) π Prof. Airto Nabarrete Pag. 8

10 .4 Aortecieto Viscoso E observações reais, percebeos que as oscilações livres e sisteas ecâicos se reduze ao logo do tepo até que seja totalete etitas, poré a resposta e deslocaeto obtida ateriorete pelo odelo assa-ola ostra que a oscilação ocorre eteraete co a esa aplitude. Portato, o odelo assa-ola resolve apeas o problea do cálculo de freqüêcias aturais. Para icluir o efeito do decaieto da aplitude deve-se icluir, o odelo aterior, a eergia dissipada pelo sistea durate as oscilações. O aortecieto viscoso é a fora ais cou de icluir a dissipação de eergia os sisteas ecâicos. A figura abaio deostra os copoetes de u aortecedor de autoóvel. Neste caso, quado o êbolo se desloca e relação à carcaça, o aortecieto viscoso é resultate da passage do óleo de ua câara para a outra através de orifícios estreitos. O escoaeto de óleo pelos orifícios do êbolo a figura acia causa ua força de aortecieto que é proporcioal à velocidade do pistão, poré e direção oposta ao eso. O ovo odelo ateático te a fora: c - c ẋ g N Prof. Airto Nabarrete Pag. 9

11 A força de aortecieto é dada por: () t c () t F aort! ode: c costate de aortecieto A equação diâica do odelo da figura aterior é, portato : () t c! () t!! Reposicioado os teros da equação acia, teos: () t + c () t + () t 0!!! Esta equação diferecial te solução hoogêea que correspode fisicaete a ua resposta trasiete de ovieto, ou seja, ão duradoura. A solução para a equação é: A e λ t Substituido a equação diferecial, teos: Coo a costate A ão pode ser ula, etão: λ t ( λ + c λ + ) Ae 0 λ + c λ + 0 As soluções possíveis para a epressão acia são descritas coo: λ, c ± c λ e λ pode ser reais ou copleos depededo do resultado itero do radical a equação. Para a solução geral da equação diferecial adite-se a epressão: λ t t () t a e λ + b e Pela solução apresetada, pode-se cocluir que se λ for real etão o resultado para (t) se apreseta coo ua fução epoecial e ão deostra o coportaeto de oscilações, poré se λ for u úero copleo, etão o resultado de (t) represeta u ovieto harôico coo deostrado ateriorete o ite.3. Prof. Airto Nabarrete Pag. 0

12 Prof. Airto Nabarrete Pag..4. Fator de aortecieto Para deostrar a idéia utilizada para defiir o fator de aortecieto, busca-se iicialete o resultado para o λ que descreva u ovieto harôico. O ovieto harôico ocorre se o resultado itero da raiz for: 0 < c Para obter ua solução, escreve-se o tero do radical da epressão de λ a fora: ( ) c i c c Por este procedieto, percebe-se que ua fora de verificar se a solução é harôica, isto é coplea, pode ser a coparação dos valores de / e (c/). Se (c/) for aior ou igual a / ão eiste ovieto harôico. U aortecieto crítico é defiido coo a costate de aortecieto que resulta o radical ulo. Assi, c c c c 0 O fator de aortecieto é etão defiido coo a relação etre o valor real da costate de aortecieto e o valor do aortecieto crítico. c c c ζ Quado, ζ <, te-se u ovieto harôico ou oscilatório coo resultado. Na prática, costua-se orietar as faias de valores para o fator de aortecieto que elhor atede esta ou aquela aplicação, idepedete do porte do sistea..4. Sub-aortecieto ( ζ < ) Utilizado do fator de aortecieto, pode-se calcular : c ω ζ ζ

13 Aplicado este resultado, te-se que : λ ( ζ ), ζ ω ± i ω ω O radical se deoia freqüêcia atural aortecida, ou seja, ω a. λ, ζω ± iωa ωa ω ζ A solução para o caso de sub-aortecieto é, etão: e i ω t i t ( a ω a e + b e a ) ζ ω t Aplicado as relações trigooétricas descritas o ite.3 e cojuto co costates copleas A e B, a fora apresetada abaio, te-se a solução do problea: e e iω t iω t cos cos ( ω t) + i se( ω t) a c + i d ( ω t) i se( ω t) a c i d iω ( a e a t iω t + b e a ) c cos( ω t) d se( ω t) [ ] Os teros (-c) e (-d) são costates reais. Coo já deostrado o ite.3 a solução fial pode ser escrita a fora : ζω () t e t[ A cos( ω t φ) ] As costates A e f são calculadas e fução das codições iiciais que proove a oscilação aortecida, assi coo o caso da vibração se aortecieto ateriorete descrita o ite.. Assi, cohecedo-se o deslocaeto iicial 0 e a velocidade iicial v 0 da vibração livre te-se: a a a A v ζω ωa e v + 0 ζω φ arctg ωa 0 0 As equações acia pode ser elhor copreedidas se observaros o gráfico de (t). Este tipo de gráfico é chaado de resposta teporal ou resposta o tepo. Na figura seguite, observa-se o gráfico de (t) co u decaieto as aplitudes da curva que represeta a vibração do sistea sub-aortecido, pois cosidera os valores: N/, 0. g e c0.08 Ns/. Prof. Airto Nabarrete Pag.

14 Na figura, pode-se iterpretar a redução de aplitude coo sedo decorrete da eergia dissipada pelo aortecedor a cada ciclo..4.3 Super-aortecieto ( ζ > ) Neste caso, adite-se que o resultado da raiz seja u úero real, ou seja: c > 0 E fução do fator de aortecieto, te-se: A solução para este caso é: ( ζ ) ω > 0 A e ζ + ζ ω t + B e ζ ζ ω t.4.4 Aortecieto Crítico ( ζ ) O resultado da raiz é ulo, etão a solução para este caso é: ζ ω t ( A + B) e A figura abaio apreseta u gráfico coparativo do deslocaeto de u sistea ecâico co aortecieto crítico e co super-aortecieto. Cosiderou-se os valores: N/, Prof. Airto Nabarrete Pag. 3

15 0. g e c.5 Ns/. A costate de aortecieto crítico vale c c 0.63 Ns/. E abos os casos foi aplicado u golpe iicial de esa itesidade. Pode-se otar que estas soluções ão represeta oscilações harôicas..4.5 Variação a Equação Diferecial A equação diferecial que represeta o coportaeto do sistea assa-ola-aortecedor, pode ser escrita usado os valores de freqüêcia atural e fator de aortecieto. Para obter esta ova epressão, basta dividir toda a equação pela assa do sistea. c!! +! + 0 Assi, cocluíos que:!! () t + ζω! () t + ω () t 0.5 Teriologia da Oscilação Harôica A teriologia utilizada a discussão de probleas de vibrações evolve alguas outras quatidades que ão fora discutidas. Freqüêcia de oscilação : É o úero de ciclos por uidade de tepo. f T ω π rad / s rad / ciclo ciclos s s Hz Prof. Airto Nabarrete Pag. 4

16 Na epressão acia, o período de oscilação T é o tepo toado para copletar u ciclo copleto de ovieto harôico. T π ω rad / ciclo rad / s s ciclo O Valor de pico e ua oscilação harôica é o valor de áio deslocaeto da vibração e está represetado pela própria aplitude A. O deslocaeto total da assa (Deslocaeto pico-a-pico) durate a vibração equivale a duas vezes a aplitude. Outra quatidade útil para descrever as vibrações é o Valor Médio da oscilação. Este é defiido por : li T T Coo a eergia potecial é calculada co base o quadrado do deslocaeto, o Quadrado do Valor Médio do deslocaeto é útil e algus probleas de vibração. li T T A raiz quadrada deste valor é utilizada e uitos casos e é ais cohecida co o respectivo oe o idioa iglês, ou seja, Root Mea Square (rs). Na aálise de vibrações é cou, tabé, ecotrar valores de deslocaeto elevado e deteriadas freqüêcias e valores uito baios e outras. Desta fora para represetar os deslocaetos coo fução da freqüêcia é ecessário se utilizar de escalas logaríticas. Ua uidade uito utilizada tato para valores de aplitudes coo para valores rs é o decibel (db) que é defiido por : db T 0 T 0 () t dt () t 0 log Na epressão acia, é o valor calculado ou edido e é o valor de referêcia. dt Prof. Airto Nabarrete Pag. 5

17 Grau de Liberdade é o úero íio de coordeadas idepedetes (agulares ou lieares) requeridas para deteriar copletaete as posições de todos os copoetes de u sistea diâico e qualquer istate de tepo. Na tabela abaio, estão deostrados algus odelos de sisteas ecâicos co as respectivas idicações dos graus de liberdade. Sisteas de grau de liberdade θ t J Sisteas de graus de liberdade J J t θ θ.6 Eercícios ) Ecotre ζ e ω para o sistea aortecido. Respoda se o sistea é sub-aortecido, super-aortecido ou aortecido criticaete. ( g; c g/s; 0 N/ ).! t + 4! t + t para 0 e ) Ecotre a solução para a equação diferecial () () () 0 v 0 0 /s. Desevolva a solução utilizado o prograa MathCAD ou MATLAB e ipria o gráfico da solução e fução do tepo. 3) Trace o gráfico do deslocaeto de u sistea aortecido cuja freqüêcia atural é igual a Hz e as codições de cotoro são 0 e v 0 0 /s. Cosidere u gráfico cotedo várias curvas, sedo: ζ 0.0, ζ 0. e ζ 0.6. Utilize prograas coo o MathCAD ou MATLAB. Prof. Airto Nabarrete Pag. 6

18 . MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS A descrição do ovieto de deteriado sistea físico por eio de u sistea de equações é chaado de odelage ateática do sistea. Ao descrever o sistea assa-ola ecioado o ite., procurou-se utilizar a equação diâica e relacioar o ovieto da assa co a força eercida pela ola. Neste caso, foi possível se utilizar da ª lei de Newto para descrever o ovieto do sistea. Etretato, e casos que evolva a cobiação de assas, iércias de rotação, olas torcioais, por eeplo, é cou se utilizar de étodos de eergia para obter as equações diâicas do sistea. Neste capítulo, procurou-se relacioar e revisar as equações dos copoetes básicos eistetes e sisteas vibratórios. No próio capítulo, serão apresetados os étodos de eergia que são aplicados para obter as equações diâicas destes sisteas.. Molas Ua ola é ua ligação fleível etre dois potos de u sistea ecâico. Coo a assa das olas é usualete pequea, a força edida diaicaete as suas etreidades é oralete igual. Desta aeira, a força da ola é proporcioal a deforação da esa, F ode : F F é a força que age a ola e é a sua deforação. Alguas olas ão se coporta co a equação acia e adite-se etão ua fução polioial para represetação geral da força e relação a deforação das olas, 3 F Neste curso, será cosiderado que soete olas de coportaeto liear ou quase-liear seja equacioadas os diversos probleas. Cosidera-se, tabé, que as olas te # Prof. Airto Nabarrete Pag. 7

19 deforação ula quado a força é ula, etão, 0 0. As costates que ultiplica os teros polioiais de orde ou superior serão cosideradas de pequeo valor, etão: F O coeficiete represeta a costate elástica ou costate de ola liear e idica a rigidez que a ola possui. A eergia potecial para olas lieares é dada por: V ode,.. Eleetos Estruturais coo Molas A vibração e alguas estruturas pode evolver a tração ou copressão aial de barras ou vigas, coo é ostrado a figura abaio. A,E L F(t) F(t) (a) Estrutura co barra e bloco (b) Sistea equivalete co ola Sabe-se que a deforação de ua barra sujeita a ua força aial, se coporta coo a lei de Hooe. Utiliza-se a epressão de Hooe para obter a relação etre força e deslocaeto: F σ E ε E F A L Na epressão acia, E é o ódulo de elasticidade do aterial, A é a área da seção trasversal da barra e L é o coprieto aterior à deforação. Coparado a equação obtida co a equação da ola helicoidal, te-se que : AE L AE L Se a assa da barra for pequea e relação a assa do bloco, o sistea aial acia é odelado coo u sistea assa-ola equivalete. Prof. Airto Nabarrete Pag. 8

20 Material Módulo de Elasticidade Desidade Módulo de Cisalhaeto E [N/ ] ρ [g/ 3 ] G [N/ ] Aço.05E+ 7.80E E+0 Aluíio 7.0E+0.70E+03.67E+0 Cobre 6.00E+0.40E+03.E+0 Cocreto 3.80E+09.30E+03 - Borracha.30E+09.0E+03 8.E+08 Madeira Laiada 5.40E E+0 - A tabela acia idica as costates físicas de algus ateriais cous. Outro eeplo de eleeto estrutural fucioado coo ola é o caso das vigas sujeitas a carregaetos trasversais. y y L/ L/ Na viga bi-apoiada da figura acia, o deslocaeto devido ao carregaeto proporcioado pela assa apoiada sobre u poto qualquer da esa, é : 3 PL y 48EI 48EI P 3 L y Se a assa da viga é uito pequea e relação a, o sistea pode ser odelado coo u sistea assa-ola, ode a ola equivalete terá costate elástica igual a 48EI 3 L O sistea coposto de eio e disco da figura ao lado, está sujeito a u oeto oscilatório rotativo. Portato, o disco oscila e toro da posição agular de equilíbrio J P,G J M estático e o eio (barra cilídrica) te o coportaeto siilar a ua ola torcioal. L θ Prof. Airto Nabarrete Pag. 9

21 Este efeito ocorre, por eeplo, os eios das caias de câbio, pois fucioa coo olas de torção, equato que as egreages fucioa coo discos de iércia. Quado o disco de iércia gira de u âgulo θ a partir da posição de equilíbrio, o oeto de torção que o disco ipõe ao eio, é escrito por : M J P G θ L Na epressão, G é o ódulo de elasticidade trasversal, J P é o oeto polar de iércia de área da seção do eio e L é o coprieto do eio. Ua ola torcioal é cosiderada liear quado há ua relação proporcioal etre o oeto aplicado e o deslocaeto agular. Chaa-se de t, a costate elástica torcioal. M t θ Coparado as epressões ateriores, a costate elástica torcioal do eio é obtida coo: t J P G L A tabela abaio resue alguas costates de ola obtidas a partir de eleetos estruturais: Mola helicoidal sob carga aial (d diâetro do arae, D diâetro da espira e úero de espiras) 4 G d eq 8D 3 Viga bi-egastada co carga 9EI trasversal o cetro da viga eq 3 L Viga siplesete egastada co carga trasversal a etreidade 3 EI eq 3 L Eio tubular sob torção (D diâetro etero, d diâetro itero) t G π 3L 4 4 ( D d ) Prof. Airto Nabarrete Pag. 0

22 .. Molas Equivaletes Quado as olas estão posicioadas e paralelo, e a deforação de cada ua é a esa, a força total é a soa direta das forças desevolvidas e cada ola que depede das respectivas costates elásticas. A substituição das olas e paralelo por ua úica de costate elástica eq é feita pelo procedieto abaio: F i # + F eq eq i i i Quado as olas estão posicioadas e série, a esa força é desevolvida e todas as olas quado deforadas. Etretato, a deforação sofrida por cada ola é diferete e depede das costates elásticas idividuais. O deslocaeto a etreidade do cojuto, a partir da posição de equilíbrio, é obtido pela soa das deforações de cada ola, # + 3 i i F i i i F i Portato, a costate elástica equivalete é obtida coo : eq i i Prof. Airto Nabarrete Pag.

23 No eeplo abaio, deve-se deteriar a costate elástica equivalete do sistea. 3 Efetuado associações e paralelo e e série, te-se : 3/5 3/5..3 Posição de Equilíbrio Estático A posição de equilíbrio estático de u sistea ecâico é a posição a qual o sistea peraecerá e equilíbrio a ausêcia de oscilações. Coo já observado as disciplias de física, oscilações ocorre e toro da posição de equilíbrio estático e são causadas pela preseça de eergia ciética ou potecial ou por ua força etera. Os sisteas da figura abaio tê olas deforadas a posição de equilíbrio estático e é iportate saber quatificar esta deforação estática. À esquerda a ola está deforada co δ est g/. Na direita, a assa da barra está dividida igualete etre os dois apoios, portato a deforação estática da ola é δ est g/(). l 0 g/ δ est g Abaio, abos os sisteas ão estão deforados, pois ão sofre da força gravitacioal. 3 Prof. Airto Nabarrete Pag.

24 . Massas ou Iércias As propriedades de assa ou de oeto de iércia os corpos rígidos são utilizadas a deteriação da força de iércia ou do oeto iercial respectivaete. Pode-se deteriar este tipo de força ou oeto utilizado a ª Lei de Newto. F! M J θ! As eergias ciéticas de traslação e de rotação destes corpos são calculadas por : E c! E c J θ!.. Efeitos de Iércia e Molas Quado ua força é aplicada para deslocar u bloco de assa da sua posição de equilíbrio, o trabalho efetuado pela força é covertido e eergia de deforação arazeada a ola. Se a assa é deiada esta posição e depois solta, a eergia potecial da ola se coverte e eergia ciética para os dois copoetes, o bloco e a ola. Se a assa da ola ão é uito eor que a assa do bloco, sua eergia ciética é ão pode ser cosiderada desprezível. Para a ola, as velocidades as diversas posições do seu coprieto varia. Se o suporte da ola ão se ovieta, a velocidade da ola juto ao suporte é zero e a etreidade presa ao bloco de assa a velocidade é a própria velocidade do bloco coo se pode observar o diagraa de velocidades da figura abaio.! L dz z u! z u!( z)! l A relação etre a velocidade do coprieto ifiitesial e a velocidade do bloco de assa está descrita pela epressão ao lado da figura. Prof. Airto Nabarrete Pag. 3

25 Coo a eergia ciética é o produto da assa pela velocidade ao quadrado, deveos itegrar ao logo da ola as eergias ciéticas de cada coprieto ifiitesial da ola para obter a eergia ciética total da ola. A eergia ciética ifiitesial é :! l ( ) [ ] ola de d u( z) dz [ u( z) ] c! ola A eergia total ciética da ola é obtida etão, por : l z! l l ( ) ( ) ola ola ola E de dz! c ola c ola 0 l 3! z 3 l Para o sistea assa-ola teos que a assa equivalete da ola que deve ser adicioada a assa do sistea, é : [ ] eq ola 3 ola.3 Aortecieto Viscoso O aortecieto viscoso represeta a dissipação da eergia de ovieto os sisteas ecâicos e ocorre quado as superfícies de cotato dos dois copoetes estão separadas por u file de fluído viscoso. Cofore já coetado ateriorete, o fluído provoca ua força de restrição ao ovieto que é proporcioal a velocidade relativa dos corpos. Se for u aortecedor hidráulico covecioal, teos que o êbolo e o cilidro tê velocidades v e v, respectivaete. F c v ode : v v v E cada ciclo de oscilação ua parcela da eergia eistete o sistea é perdida. A potêcia dissipada pelo aortecedor é etão calculada por: P dissip F v c ( v) Prof. Airto Nabarrete Pag. 4

26 .4 Resuo dos copoetes Sisteas Lieares ou de Traslação: c Força Costate e Uidade Eergia ou Potêcia Mola F [ N / ] eq eq EP V eq Massa F eq! [g] eq EC T eq! Aortecedor F ceq! [ Ns / ] c eq P dissip ceq! Sisteas Agulares ou de Rotação: t J Moeto Costate e Uidade Eergia ou Potêcia M θ c t Mola Torcioal M θ [ N ] t eq eq t E P V t θ eq Iércia M θ! [ g ] J eq E C T J J eq eq θ! Aortecedor Agular M c θ! t c [ N s ] eq t eq P dissip c teq θ! Prof. Airto Nabarrete Pag. 5

27 .5 Leitura Recoedada Rao, S.S., 995, Mechaical Vibratios, Addiso Wesley, 3 a ed., Cap.I, pág.-55, Nova Yor..6 Eercícios Propostos Aditido que 5 N/, 0 N/, t 5 N e t 0 N, deterie a costate equivalete de ola dos sisteas abaio: t α θ J a) t c) t 0,3 t 0, b) θ J 0,5 d) a) Rotores acoplados por egreages: z 60 t t e) z 0 t J Prof. Airto Nabarrete Pag. 6

28 3. MÉTODOS DE ENERGIA 3. Soa de Eergias Ciéticas Muitas vezes é ecessário aalisar o ovieto copleto de sisteas vibratórios que são copostos de alavacas, egreages e outras ligações e coplica apareteete a aálise, pois cada copoete te ovieto diferete. Estado estes copoetes rígidos ligados de fora tal que a ovietação de u seja viculada a ovietação dos outros, é vatajoso, e geral, a redução do sistea para u equivalete ais siples. Assi, a associação de assas é obtida por eio da soa das eergias ciéticas. Para elhor copreesão, utilizou-se o eeplo do sistea de acioaeto da válvula do otor, idicado a figura ao lado. As velocidades dos potos A e B pode ser escritas e fução da velocidade agular da alavaca, ou seja:! a θ! y! bθ! A eergia ciética total dos copoetes oscilates do sistea é calculada coo: E! 3 ( ) y! ola + ( )! + y c Jθ + valv haste! Substituido as velocidades e rearrajado algus teros, obté-se o J eq de ua alavaca aior que substitui todos os copoetes o cálculo. E c J valv haste + 3 ( ) ( ) ola b + a + b θ! J θ! Substituido a velocidade do poto A a epressão, obté-se a assa equivalete e A: E ola J + valv b + haste a + b 3 c! A! a Prof. Airto Nabarrete Pag. 7 eq ( )

29 3. Método da Eergia Coservativa Alé de aplicar a ª lei de Newto para obter a equação diâica (equação diferecial do odelo), podeos utilizar tabé o étodo da coservação da eergia. Neste étodo ressaltaos o seguite postulado: A soa das eergias ciética e potecial para u sistea coservativo é igual a ua costate desde que a eergia total do sistea seja represetada soete e fução destes dois tipos de eergia. Sedo a eergia total costate, teos que a variação da eergia é zero. E TOTAL EC + EP cte ( EC + EP ) 0 t A vatage deste étodo é que a difereciação da eergia total o tepo os dá a equação diâica do sistea, poré soete podeos aplicá-lo quado descosideraros qualquer fora de aortecieto e forças eteras ao sistea vibratório. Para efeito de coparação, o eeplo da assa, polia e ola, a equação diâica será obtida pelo étodo de forças diâicas ( ª lei de Newto) e tabé pelo étodo de eergia. Método das forças diâicas: a figura abaio descreve a aálise de corpo livre para o bloco de assa e para a polia. A assa do cabo foi desprezada este eeplo. r O M Aálise Estática O θ est Aálise Diâica O θ est + θ g T g δ est T (δ est +) g g Do equilíbrio estático a polia, podeos dizer que : M O 0 ( g) r ( δ )r est O cabo que susteta a assa é o eso que está ligado à ola, portato qualquer deslocaeto da assa se reflete e deforação para a ola. Prof. Airto Nabarrete Pag. 8

30 A equação de copatibilidade etre os deslocaetos da assa e da polia é escrita coo : r θ! r! θ Coo a deforação da ola é equivalete ao deslocaeto da assa, etão : δ est r θ est Aplica-se a ª lei de Newto para escrever a equação diâica para o bloco de assa, F! g T!!, etão T g! A equação diâica para a polia, é : M [ ( δ + ) ] r! θ J θ! T r J! O est Relacioado as equações acia, pode-se escrever : T g r! θ J!! θ ( g r θ! ) r [ r ( θest + θ )] r Aplicado a codição de equilíbrio estático, obté-se a equação diâica: ( J + r ) θ! + r θ 0 Método da Eergia Coservativa: Coo prieiro passo, efetua-se a soa das eergias ciéticas e poteciais evolvidas o eeplo :! J θ ET EC assa + EC polia + EP ola ET +! ( ) ( ) ( ) + cte No segudo passo, escreve-se as equações de copatibilidade etre as diversas variáveis de deslocaeto e substitui-se a equação da eergia total coservativa : r θ! r θ! ( ) rθ! + J θ ( rθ ) E T! + Prof. Airto Nabarrete Pag. 9

31 O terceiro passo é a difereciação da eergia total sabedo que seu valor é costate : E T θ! θ!! θ! θ!! 0 r + J r θ θ! t + Coo θ! ão pode ser ulo sepre, etão : ( r! θ + J θ!! + r θ ) θ! 0 ( r + J ) θ! + r θ 0 Por fi, pode-se calcular a freqüêcia atural ão-aortecida do sistea assa-polia-ola : ω r ( J + r ) Nu segudo eeplo, represetado a figura abaio, ua barra rígida de assa, coprieto l e seção trasversal uifore, é articulada o poto O e suportada por ua ola. Neste eeplo, o aortecedor será descosiderado para poder aplicar o étodo da eergia coservativa. a) Epressão da eergia total: JO θ ET EC barra + EP ola ET! ( ) ( ) + cte b) Equação de copatibilidade etre os deslocaetos: a θ E! T JO θ + ( aθ ) Prof. Airto Nabarrete Pag. 30

32 c) Difereciação da equação de eergia: E T θ!!! 0 J θ a θ θ! O t + (! θ + a θ ) θ! 0 Portato, J θ! O + a θ 0 Para a barra de seção uifore, te-se que: J O l J CG Aplica-se o teorea dos eios paralelos para obter o oeto de iércia o poto O, etão, J Fialete, te-se: O JCG l l l + d JO + 3 l θ!! + a a θ ω l U terceiro eeplo será utilizado para deteriar a equação diâica do pêdulo siples co assa a etreidade da haste de coprieto l. Coo procedieto de odelage, adite-se que a assa te diesões reduzidas e relação ao coprieto da haste. Alé disto, a assa da haste é desprezível quado coparado à assa. a) Epressão da eergia total: E E E + E T C P ( gravitacioal) JO θ + gl( cosθ ) cte! T 3 O θ l y g l - l cos(θ ) Prof. Airto Nabarrete Pag. 3

33 b) A equação de copatibilidade ão é ecessária, pois o sistea está todo escrito e fução de θ. c) Difereciação da equação de eergia: E T 0 J θ! θ!! gl ( seθ )θ! O t + ( se ) 0 J θ! O + gl θ O oeto de iércia do pêdulo é escrito a fora: Portato, Ou aida, l! θ J O l ( se ) 0 + gl θ θ!! g + θ l ( se ) 0 A equação obtida é ua equação diferecial ão-liear. Etretato, aplicaos ua siplificação, aditido que o pêdulo oscile co pequeos âgulos. Para codições iiciais que faça o pêdulo oscilar co pequeos âgulos, te-se : se θ θ!! g θ + θ 0 l ω g l 3.3 Aortecieto equivalete Nos sisteas e que é ecessário deteriar o aortecedor equivalete, deveos fazer uso da técica usada o ite 3.. Se houver vários aortecedores, a potêcia dissipada é obtida pela epressão: P dissip ( v) c i i i Prof. Airto Nabarrete Pag. 3

34 No eeplo da figura abaio, vários aortecedores são otados e ua alavaca de coprieto l que oscila e toro do poto O. O a b c c c 3 y z Para o cálculo da equação diâica a rotação da alavaca é ecessário deteriar o aortecieto agular equivalete. Etão, utiliza-se a epressão de potêcia dissipada : [ P ] c θ! c y! + c z! + c dissip Total t eq 3! As equações de copatibilidade para este caso são : y a θ, z b θ, l θ Portato, a costate equivalete de aortecieto é escrita coo : c ( aθ! ) + c ( bθ! ) + c ( l ) c c a + c b c l θ!! t eq c 3 θ t eq + A costate de ola tabé pode ser obtida por procedieto seelhate ao apotado o ite 3.. Assi, te-se : 3 E P t eq θ Aplicado-se a copatibilidade dos deslocaetos, ( l ) l t eq θ θ t eq Portato, utilizado do oeto de iércia ecotrado o eeplo do ite 3., faz-se : ( c a + c b + c l ) θ + ( l ) θ 0 l θ!! +! 3 3 Prof. Airto Nabarrete Pag. 33