Danuza Cristina Santana

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1 UNIVERSIDADE FEDERA DE UBERÂNDIA FACUDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA CONTROE ATIVO DE RUÍDO EMPREGANDO PACAS RETANGUARES COM ATUADORES PIEZOEÉTRICOS DISTRIBUÍDOS Dauza Cristia Sataa Uberlâdia, agosto de 00

2 UNIVERSIDADE FEDERA DE UBERÂNDIA FACUDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA CONTROE ATIVO DE RUÍDO EMPREGANDO PACAS RETANGUARES COM ATUADORES PIEZEÉTRICOS DISTRIBUÍDOS Dissertação apresetada à Uiversidade Federal de Uberlâdia por: DANUZA CRISTINA SANTANA Coo parte dos requisitos para a obteção do título de estre e Egeharia Mecâica Aprovada por: Prof. Dr. Marcus Atôio Viaa Duarte (UFU) - Orietador Prof. Dr. Doigos Alves Rade (UFU) - Co-orietador Prof. Dr. Valder Steffe Jr (UFU) Prof. Dr. Eduardo Bauzer Medeiros (UFMG) Eg. Aatólio Assis (ISOBRASI) Uberlâdia, 6 de agosto de 00.

3 Dados Iteracioais de Catalogação a Publicação (CIP) S3c Sataa, Dauza Cristia, 976- Cotrole ativo de ruído epregado placas retagulares co atuadores piezoelétricos distribuídos / Dauza Cristia Sataa f. : il. Orietador: Marcus Atôio Viaa Duarte. Co-orietador: Doigos Alves Rade. Dissertação (Mestrado) Uiversidade Federal de Uberlâdia, Prograa de Pós-Graduação e Egeharia Mecâica. Iclui bibliografia.. Vibração - Teses.. Placas (Egeharia) - Teses. I. Duarte, Marcus Atôio Viaa. II. Rade, Doigos Alves. III. Uiversidade Federal de Uberlâdia. Prograa de Pós-Graduação e Egeharia Mecâica. IV. Título. CDU: 6:534 Elaborada pelo Sistea de Bibliotecas da UFU / Setor de Catalogação e Classificação

4 A Deus, por e iluiar e todos os istates de iha vida, aos eus pais, Beedito e Josefa Sataa, por tudo que fizera e faze por i, aos eus irãos Débora e Aleadre e aos eus sobrihos Bruo e Rafaela.

5 Agradecietos A Deus, por estar sepre presete e iha vida, e iluiado, fortalecedo e dado a paz que ecessito. À iha Faília, por todo apoio e cariho a i dedicado. Aos aigos laboratório, pelas cotribuições dadas ao trabalho, pela aizade e pelo bo abiete de trabalho. Aos deais aigos da pós-graduação, pela aizade e apoio. Ao prograa de Pós-Graduação e Egeharia Mecâica da Uiversidade Federal de Uberlâdia, por e proporcioar esta oportuidade de desevolvieto pessoal e profissioal. Ao Professor Marcus Atôio Viaa Duarte, pela orietação, que te sido realizada desde iha iiciação cietífica, pela capacidade, pelo apoio dado para a realização deste trabalho e pela aizade. Ao Professor Doigos Alves Rade, pela orietação, pelo eeplo de profissioal, por todo o apoio dado para a realização deste trabalho. Aos ebros da baca eaiadora, pelas cotribuições dadas ao trabalho. fiaceiro. Ao CNPq Coselho Nacioal de Desevolvieto Cietífico e Tecológico pelo apoio

6 iv Sataa, D.C.,00, Cotrole Ativo de Ruído Epregado Placas Retagulares co Atuadores Piezoelétricos Distribuídos, Dissertação de Mestrado, Uiversidade Federal de Uberlâdia - MG. Resuo O presete trabalho te por objetivo a realização de u estudo abragete sobre a utilização de placas fias retagulares istruetadas co pastilhas piezoelétricas, coo fotes de cotrole ativo de ruído. Para tato é desevolvida a odelage aalítica do coportaeto vibratório de placas fias, retagulares e uifores, co base a teoria de Kirchhoff. É desevolvida a forulação aalítica que descreve a iteração placa-atuadores piezoelétricos. Cosiderado coo fote priária ua oda plaa harôica oblíqua icidete sobre a placa, é desevolvida a odelage do coportaeto vibratório de placas ecitadas por fotes sooras. Após estes desevolvietos, realiza-se o estudo da radiação soora eitida por placas retagulares e capo distate baseada a itegral de Raleigh. Utiliza-se etão u sistea de cotrole ótio ão adaptativo do tipo feedforard a fi de otiizar a tesão elétrica de ativação dos atuadores piezoelétricos de aeira que a potêcia soora radiada e capo distate seja iiizada. É aida proposto u procedieto de otiização do posicioaeto dos atuadores piezoelétricos utilizado Algoritos Geéticos. Co base os desevolvietos teóricos, são realizadas uerosas siulações coputacioais tedo e vista a avaliação da teoria desevolvida. Nestas siulações é avaliada a ifluêcia de diferetes parâetros, tais coo o úero, taaho e posicioaeto dos atuadores a eficiêcia do sistea de cotrole. Palavras chave: Acústica,Placas,, Atuadores Piezoelétricos, Otiização, Vibroacústica.

7 v Sataa, D.C., 00, Active Noise Cotrol usig Rectagular Plates ith Distributed Piezoelectric Actuators, M. Sc. Dissertatio, Federal Uiversit of Uberlâdia, MG. Abstract The preset ork proposes a coprehesive stud regardig the use of rectagular thi plates ith boded piezoelectric patches as active oise cotrol sources. With this ai, it is developed a aaltical odel for the vibrator behavior of thi, uifor rectagular plates based o Kirchhoff theor. Also, the forulatio accoutig for the iteractio betee plates ad piezoelectric actuators attached to their surface is developed. Cosiderig as the priar source a haroic plae oblique icidet ave, it is developed a odel for the vibratio otio of sipl supported plates ecited b soud sources. The, a stud is carried out, based o Raleigh s itegral, hich provides a odel for the soud radiated i the far field fro vibratig rectagular plates. A o adaptive optial cotrol sste of feedforard tpe is used to obtai the optial iput voltage for the activatio of piezoelectric actuators so that the acoustic poer radiated i far field is iiized. It is still proposed a optiizatio procedure for to choice of the best positio of the piezoelectric actuators usig Geetic Algoriths. Based o the theoretical developets, a uber of coputer siulatios are carried out aiig at evaluatig the ai features of the theor studied. I these siulatios, it is evaluated the ifluece of differet paraeters, such as the uber, size ad positio of the actuators o the effectiveess of the cotrol sste. Keords: Acoustics, Plates, Piezoelectric Actuator, Optiizatio, Vibroacoustics.

8 ISTA DE TABEAS E FIGURAS Tabelas Tabela 6.- Especificações da placa 03 Tabela 6.- Freqüêcias aturais da placa [Hz] 03 Tabela Propriedades da cerâica piezoelétrica G Tabela Cofiguração I, aplitudes odais da placa (db), =87,5Hz. 05 Tabela Cofiguração I, aplitudes odais da placa (db), =87,8 Hz. 07 Tabela Cofiguração I, aplitudes odais da placa (db), =39,7Hz. 08 Tabela Cofiguração II, aplitudes odais da placa (db), =87,5Hz. 0 Tabela Cofiguração II, aplitudes odais da placa (db), =87,8 Hz. Tabela Cofiguração II, aplitudes odais da placa (db), =39,7Hz. Tabela Cofiguração III, aplitudes odais da placa (db), =87,5Hz. 4 Tabela 6. - Cofiguração III, aplitudes odais da placa (db), =87,8 Hz. 6 Tabela 6. - Cofiguração III, aplitudes odais da placa (db), =39,7Hz. 7 Tabela Aplitudes odais da placa se cotrole [db], =85Hz. 9 Tabela Aplitudes odais da placa se cotrole [db], =90Hz. 0 Tabela Aplitudes odais da placa se cotrole [db], =40Hz. Tabela Eficiêcia odal de radiação da placa ecitada e =85Hz. Tabela Eficiêcia odal de radiação da placa ecitada e =90Hz. 3 Tabela Ifluêcia do taaho dos atuadores, = 85Hz. 4 Tabela Ifluêcia do taaho dos atuadores, = 90Hz. 5 Tabela Efeito do taaho dos atuadores, = 85Hz. 6 Tabela 6. - Aplitudes odais, [db], da placa cotrolada por u par de atuadores =85Hz. 8

9 iv Tabela 6. - Aplitudes odais, [db], da placa cotrolada por u par de atuadores 34 =40Hz. Tabela Aplitudes odais [db], da placa cotrolada por u par de atuadores 36 =90Hz. Tabela Aplitudes odais, [db], da placa cotrolada por dois pares de 39 atuadores =85Hz. Tabela Aplitudes odais, [db], da placa cotrolada por dois pares de 4 atuadores =40Hz. Tabela Aplitudes odais [db], da placa cotrolada por dois pares de 43 atuadores =90Hz. Tabela Aplitudes odais, [db], da placa cotrolada por três pares de 45 atuadores =85Hz. Tabela Aplitudes odais da placa, [db] cotrolada por três pares de atuadores 47 =40Hz. Tabela Aplitudes odais da placa,[db] cotrolada por três pares de atuadores 49 =90Hz. Tabela Aplitudes odais da placa, [db] cotrolada quatro pares de atuadores 53 =85Hz. Tabela Aplitudes odais da placa, [db] cotrolada quatro pares de atuadores 54 =40Hz. Tabela Aplitudes odais da placa, [db] cotrolada quatro pares de atuadores 56 =90Hz. Tabela Aplitudes odais da placa, [db] cotrolada quatro pares de atuadores 54 =85Hz. Tabela Aplitudes odais da placa, [db] cotrolada quatro pares de atuadores 58 =40Hz. Tabela Aplitudes odais da placa, [db] cotrolada por quatro pares de 60 atuadores =90Hz. Tabela Aálise coparativa dos resultados obtidos utilizado-se as diferetes 6 cofigurações já estudadas. Tabela Aálise coparativa dos resultados obtidos utilizado-se as diferetes 64 cofigurações já estudadas. Tabela Aálise coparativa dos resultados obtidos utilizado-se as diferetes 66 cofigurações já estudadas. Tabela Aplitudes odais da placa, [db] cotrolada por dois pares de atuadores 68

10 v que obedece ao eso sial de cotrole. =85Hz. Tabela Aplitudes odais da placa, [db] cotrolada por dois pares de atuadores que obedece ao eso sial de cotrole. =40Hz. Tabela 6.4- Aplitudes odais da placa, [db] cotrolada por dois pares de atuadores que obedece ao eso sial de cotrole. =90Hz. Tabela 7. - Aálise coparativa dos resultados obtidos para o sistea cotrolado por u par de atuadores, posicioado de fora arbitrária e ótia. Tabela 7. - Aálise coparativa dos resultados obtidos para o sistea cotrolado por dois pares de atuadores, posicioados de fora arbitrária e ótia. Tabela Aálise coparativa dos resultados obtidos para o sistea cotrolado por três pares de atuadores, posicioados de fora arbitrária e ótia Figuras Figura.- Diesões da placa e posicioaeto do sistea de referêcia. 5 Figura.- Represetação das copoetes de tesão e u eleeto da placa. 6 Figura.3- Represetação dos deslocaetos da placa. 7 Figura.4- Moetos que atua a placa. Figura.5- Moetos o cotoro da placa. 3 Figura.6- Coordeadas curvilíeas ao logo do cotoro. Figura.7- Esforços atuates sobre u eleeto de placa. 5 Figura.8- Modo (,) de vibração da placa. 9 Figura.9- Modo (,) de vibração da placa. 9 Figura.0- Modo (,) de vibração da placa. 30 Figura.- Modo (,) de vibração da placa. 30 Figura 3.- Tesões atuates e u eleeto piezelétrico. 3 Figura 3.- Ilustração dos eios de polarização do eleeto piezoelétrico acoplado à placa. 35

11 vi Figura 3.3- Acoplaeto placa piezoelétricos. 36 Figura 3.4- Distribuição de tesão os plaos - e -z, devidas a ativação do 37 piezoelétrico. Figura 3.5- Distribuição de tesão e u eleeto de placa. 4 Figura 3.6- Ilustração do sistea placa-eleetos piezoelétricos. 44 Figura 3.7 Sistea placa piezoelétrico, represetação da sietria do eleeto pizoelétrico e relação a. Figura 3.8 Sistea placa piezoelétrico, represetação da sietria do eleeto pizoelétrico e relação a. Figura 3.9 Sistea placa piezoelétrico, represetação da sietria do eleeto pizoelétrico e relação a e Figura 4.- Deforação de oda logitudial e tesão oral. 56 Figura 4.- Eleeto de placa, deforação decorrete da propagação de ua oda 56 trasversal pura. Figura 4.3 Fora cieática da oda trasversal pura. (Figura etraída do livro 57 Foudatios of Egieerig Acoustics, Fah 00). Figura 4.4- Fora cieática da oda quase logitudial. (Figura etraída do livro 57 Foudatios of Egieerig Acoustics, Fah 00). Figura 4.5- Fora cieática da oda de fleão. (Figura etraída do livro Foudatios 58 of Egieerig Acoustics, Fah 00). Figura 4.6 Propagação de oda e ua iterface plaa. 63 Figura Radiação de ua placa fiita. 66 Figura 4.8 Feôeo de cacelaeto e placas radiado e freqüêcias 67 subcríticas. Modo siétrico. Figura 4.9 Feôeo de Cacelaeto e placas radiado e freqüêcias 67 subcríticas.modo ati-siétrico. Figura 4.0 Feôeo de cacelaeto e placas se cotoro radiado e 68 freqüêcias subcríticas. Figura 4.- Sistea oda icidete placa e sistea de coordeadas. 68 Figura 4. Sistea de Coordeadas de ua placa radiado pressão soora. 77 Figura 4.3 Feôeo de cacelaeto e placas radiado e freqüêcias 88 subcríticas - Modo de Cato. Figura 4.4 Feôeo de Cacelaeto e placas radiado e freqüêcias 88

12 vii subcríticas- Modo de Borda. Figura 5.- Patete de ueg. 93 Figura 5.- Absorvedor eletrôico de Olso. 94 Figura Cotrole Ativo de Ruído Básico, Sistea Feedback. 96 Figura 5.4- Cotrole Ativo de Ruído Básico, Sistea Feedforard. 97 Figura 6.- Sistea placa-pzts, Cofiguração I. 05 Figura 6. Deslocaetos forçados da placa ecitada e 87,5Hz, Cofiguração I. 06 Figura 6.3 Deslocaetos forçados da placa ecitada e 87,8Hz, Cofiguração I. 07 Figura 6.4 Deslocaetos Forçados da placa ecitada e 39,7Hz, cofiguração I. 09 Figura 6.5- Sistea placa-pzts, Cofiguração II. 09 Figura 6.6 Deslocaetos forçados da placa ecitada e 87,5Hz, Cofiguração II. Figura 6.7 Deslocaetos forçados da placa ecitada e 87,8Hz, Cofiguração II. Figura 6.8 Deslocaetos forçados da placa ecitada e 39,7Hz. Cofiguração II. 3 Figura 6.9- Sistea placa-pzts, Cofiguração III. 4 Figura 6.0 Deslocaetos forçados da placa ecitada e 87,5Hz, Cofiguração III. 5 Figura 6. Deslocaetos forçados da placa ecitada e 87,8Hz, Cofiguração 7 III. Figura 6. Deslocaetos forçados da placa ecitada e 39,7Hz, Cofiguração 8 III. Figura 6.3 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda 0 oblíqua icidete co freqüêcia de 85 Hz. Figura 6.4 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete co freqüêcia de 90 Hz. Figura 6.5 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete co freqüêcia de40 Hz. Figura 6.6 Esquea ilustrativo da posição do par de atuadores o cetro da placa. 4 Figura 6.7 Esquea ilustrativo da posição do par de atuadores a placa. 5 Figura 6.8 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 85 Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. 8

13 viii Figura 6.9- Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de 9 freqüêcia 85Hz. ( ) : se cotrole; (_._): co cotrole. Figura Modo(,) 9 Figura 6. - Modo(,) 9 Figura 6. - Modo(,3) 9 Figura Modo(,4) 9 Figura Modo(,5) 9 Figura Modo(,6) 9 Figura Modo (,) 30 Figura Modo (,) 30 Figura Modo (,3) 30 Figura Modo (,4) 30 Figura Modo (,5) 30 Figura Modo (,6) 30 Figura Modo (3,) 30 Figura Modo (3,) 30 Figura Modo (3,3) 30 Figura Modo (3,4) 3 Figura Modo (3,5) 3 Figura Modo (3,6) 3 Figura Modo (4,) 3 Figura Modo (4,) 3 Figura Modo (4,3) 3 Figura Modo (4,4) 3 Figura Modo (4,5) 3 Figura Modo (4,6) 3 Figura Modo (5,) 3 Figura Modo (5,) 3

14 i Figura Modo (5,3) 3 Figura Modo (5,4) 3 Figura Modo (5,5) 3 Figura Modo (5,6) 3 Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 85Hz, se cotrole 33 e co cotrole. Figura 6.5 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda 34 oblíqua icidete de freqüêcia 40 Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. Figura 6.5- Diretividade.de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de 35 freqüêcia 40Hz. ( ):se cotrole; (_._) : co cotrole. Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 40Hz, se cotrole 35 e co cotrole. Figura 6.54 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda 36 oblíqua icidete de freqüêcia 90 Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de 37 freqüêcia 90Hz. ( ):se cotrole; (_._): co cotrole. Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 90Hz, se cotrole 37 e co cotrole. Figura Seguda cofiguração do sistea placa e atuadores piezoelétricos. 38 Figura 6.58 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85Hz. ( ):se cotrole; (_._): co cotrole. Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 85Hz, se cotrole e co cotrole. Figura 6.6 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. Figura 6.6- Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 40Hz. ( ) :se cotrole; (_._): co cotrole

15 Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 40Hz, se cotrole 4 e co cotrole. Figura 6.64 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda 43 oblíqua icidete de freqüêcia 90Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de 44 freqüêcia 90Hz. ( ):se cotrole; (_._): co cotrole. Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 90Hz, se cotrole 44 e co cotrole. Figura Terceira cofiguração do sistea placa e atuadores piezoelétricos. 45 Figura 6.68 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda 46 oblíqua icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de 46 freqüêcia 85Hz. ( ):se cotrole; (_._): co cotrole. Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 85Hz, se cotrole e 47 co cotrole. Figura 6.7 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda 48 oblíqua icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. Figura 6.7- Diretividade de radiação da placa ecitada por ua oda icidete de 48 freqüêcia 40Hz.( ):se cotrole; (_._): co cotrole. Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 40Hz, se cotrole 49 e co cotrole. Figura 6.74 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda 50 oblíqua icidete de freqüêcia 90Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete 5 de freqüêcia 90Hz. ( ):se cotrole; (_._): co cotrole. Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 90Hz, se cotrole 5 e co cotrole. Figura Quarta cofiguração do sistea placa e atuadores piezoelétricos. 5 Figura 6.78 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolada por de atuadores piezoelétricos. 53

16 i Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de 54 freqüêcia 85Hz. ( ):se cotrole; (_._):co cotrole. Figura 6.80 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda 55 oblíqua icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de 55 freqüêcia 40Hz. ( ):se cotrole; (_._): cotrolada. Figura Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda 56 oblíqua icidete de freqüêcia 90Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de 57 freqüêcia 90Hz. ( ):se cotrole; (_._): co cotrole. Figura Cofiguração V, placa co quatro pares de atuadores. 58 Figura Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda 59 oblíqua icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolados por atuadores piezoelétricos. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de 59 freqüêcia 85Hz. ( ):se cotrole; (_._):co cotrole. Figura Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda 60 oblíqua icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada por quatro pares de atuadores piezoelétricos. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de 6 freqüêcia 40Hz. ( ):se cotrole; (_._):co cotrole. Figura Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda 6 oblíqua icidete de freqüêcia 90Hz e cotrolados por atuadores piezoelétricos. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de 6 freqüêcia 40Hz. ( ):se cotrole; (_._):co cotrole. Figura 6.9 Coparação dos padrões de deslocaetos obtidos utilizado 63 diferetes cofigurações de cotrole, freqüêcia de ecitação 85Hz. Figura 6.9 Coparação dos padrões diretividade de radiação obtidos utilizado 63 diferetes cofigurações de cotrole, freqüêcia de ecitação 85Hz. Figura 6.93 Coparação dos padrões de deslocaeto obtidos utilizado diferetes 65 cofigurações de cotrole, para freqüêcia de ecitação 40Hz. Figura 6.94 Coparação dos padrões de diretividade de radiação da placa obtidos 65

17 ii utilizado diferetes cofigurações de cotrole, freqüêcia de ecitação 40Hz. Figura 6.95 Coparação dos padrões de deslocaeto obtidos utilizado diferetes cofigurações de cotrole, freqüêcia de ecitação 90Hz. Figura 6.96 Coparação dos padrões de diretividade de radiação da placa obtidos utilizado diferetes cofigurações de cotrole, freqüêcia de ecitação 90Hz. Figura 6.97-Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 85Hz, se cotrole e cotrolada por dois piezoelétricos guiados pelo eso sial. Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 40Hz, se cotrole e cotrolada por dois pares de atuadores piezoelétricos guiados pelo eso sial. Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 90Hz, se cotrole E cotrolada por dois pares de atuadores piezoelétricos guiados pelo eso sial. Figura 7. Esquea represetativo do posicioaeto ótio do atuador, co a placa ecitada e 85Hz. Figura 7. Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações.placa ecitada e 85 Hz. Figura 7.3 Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 40Hz. Figura 7.4 Esquea represetativo do posicioaeto ótio do atuador, co a placa ecitada e 90Hz. Figura 7.5 Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 90Hz. Figura 7.6 Aptidão da édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 85Hz. Figura 7.7 Esquea represetativo do posicioaeto ótio dos atuadores para a placa ecitada e 85Hz. Figura 7.8 Aptidão da édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações.placa ecitada e 40Hz. Figura 7.9 Esquea represetativo do posicioaeto ótio dos atuadores para a placa ecitada e 40Hz. Figura 7.0 Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações.placa ecitada e 90Hz

18 iii Figura 7. Esquea represetativo do posicioaeto ótio dos atuadores para a placa ecitada e 90Hz. Figura 7. Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 85Hz. Figura 7.3 Esquea represetativo do posicioaeto ótio dos atuadores para a placa ecitada e 85Hz. Figura 7.4 Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações.placa ecitada e 40Hz. Figura 7.5 Esquea represetativo do posicioaeto ótio dos atuadores para a placa ecitada e 40Hz. Figura 7.6 Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 85Hz. Figura 7.7 Esquea represetativo do posicioaeto ótio dos atuadores para a placa ecitada e 90Hz

19 ista de Síbolos e Abreviaturas etras atias A l B j ~ ~ A, B, BA : Fução de distribuição de pressão soora resultate da ecitação da placa pelos eleetos piezoelétricos. : Fução de distribuição de pressão soora resultate da ecitação da placa pela oda plaa icidete. ~ : Matrizes de cotrole. p A ~, B ~ A,B : Vetor de tesões ótias. : Aplitudes copleas de pressão soora. : Vetores de cotrole. a, b : Diesões da placa as direções e, respectivaete. c l : Velocidade de propagação da oda quase logitudial. C 0 c f c l c s D D DI d ijk ds dv E E i E p E pe f f c : Costate do aterial piezoelétrico. : Velocidade de propagação de oda de fleão livre. : Velocidade de propagação da oda logitudial. : Velocidade de propagação da oda trasversal. : Módulo de rigidez da placa. : Fator de Diretividade. : Ídice de Diretividade. : Copoetes do tesor das costates dielétricas do aterial piezoelétrico. : Diferecial de superfície. : Diferecial de volue. : Módulo de elasticidade : Copoetes do vetor capo elétrico. : Módulo de elasticidade da placa. : Módulo de elasticidade do eleeto piezoelétrico. : Freqüêcia de ecitação (Hz). : Freqüêcia crítica (Hz).

20 viii G h h H I r,, I, I I ' ', I I ref K : Módulo de cisalhaeto. : Fução degrau uitário. : Espessura da placa. : Matriz de coeficietes elásticos. : Itesidade acústica o capo distate. : Fuções derivadas da Itegral de Raleigh. : Fuções da força odal para oda plaa icidete. : Itesidade soora de preferêcia. : Força de cisalhaeto de Kirchhoff de cotoro. K k K k f k p k : Parâetro adiesioal. : Núero de oda acústica. : Fução derivada da Itegral de Raleigh. : Núero de oda de fleão livre. : Núero de oda da placa. : Núero de oda acústica a direção.. k z : Núero de oda acústica a direção z. l,,0 : Coordeadas de u poto arbitrário do cotoro da placa. : Diesão da placa a direção. : Diesão da placa a direção. M, M M s M s s M M M N s N c : Vetor de oetos. : Ídices odais. : Moeto fletor atuate o plao Oz. : Moeto torçor atuate e toro da direção oral. : Moeto fletor atuate a direção perpedicular ao cotoro. : Massa por uidade de superfície. : Moeto fletor e relação ao eio : Moeto toçor : Moeto fletor e relação ao eio : Núero de fotes sooras. : Núero de atuadores piezoelétricos. : Direção oral ao cotoro.

21 i P i p~ : Pressão soora. p(,,t) P i p p c p t p ref P o PZT r,, r,, r,, : Copoetes do vetor de polarização elétrica. : Carregaeto etero distribuído. : Aplitude da pressão soora. : Pressão soora radiada pela fote priária. : Pressão soora radiada por ecitação cotrolada. : Pressão soora radiada total. :Pressão soora de referêcia. : Poto sobre o plao édio da placa : Zircoato Titaato de Chubo. Q : Esforço cortate a direção. Q : Esforço cortate a direção. R R S T t T : Distâcia do poto de observação à fote eleetar. : Raio de giração da seção. : Superfície. : Eergia Ciética. : Espessura do eleeto piezoelétrico. : Perda de Trasissão. u : Capo de deslocaetos a direção. u : Copoete de velocidade de u poto geérico da placa a direção. u o : Deslocaeto iicial da placa a direção. v : Capo de deslocaetos a direção. v : Copoete de velocidade de u poto geérico da placa a direção. V V et V it : Tesão elétrica aplicada. : Eergia de deforação etera da placa. : Eergia de deforação itera da placa. v o : Deslocaeto iicial da placa a direção. : Capo de deslocaetos a direção z. : Copoete de velocidade de u poto geérico da placa a direção z. r s : Copoete da velocidade oral à superfície S. W, : Deslocaetos da placa. W : Aplitudes odais de vibração da placa.

22 pi W c W,,,, : Aplitudes odais de vibração da placa causada pela icidêcia de ua oda plaa. : Aplitudes odais de vibração da placa causada pela atuação dos atuadores piezoelétricos. : Coordeadas do eleeto piezoelétrico. p, p z : Coordeadas retagulares do poto de observação da pressão radiada. p s, s z(k) :Coordeadas retagulares da fote eleetar a placa. : Ipedâcia acústica específica.

23 ista de Síbolos e Abreviaturas etras Gregas {} ijk,, z, i i : Vetor de curvaturas. : Operador Variacioal. : Fução Delta de Dirac. : Operador aplaciao. : Copoetes do tesor de deforações. : Deforações orais as direções,, z respectivaete. : Deforações orais a iterface as direções e, respectivaete.,) : Auto fuções. : Fução Objetivo. : Razão do úero de oda., :Núeros odais da placa., z, z : Deforações cisalhates os plaos, z,z respectivaete. (,) : Cotoro da placa. : Deslocaeto trasversal a direção. : Coprieto da oda acústica. : Coeficiete de Poisso. : Potêcia Acústica. i t i, i 0 ijk : Potêcia acústica icidete. : Potêcia acústica radiada. : Âgulos de icidêcia da fote acústica priária. : Desidade do aterial da placa. : Desidade do eio acústico. : Copoetes do tesor de tesões. : Eficiêcia de radiação.,, z, i i : Tesões orais as direções,, z respectivaete. : Tesões orais a iterface as direções e respectivaete.

24 ii, z, z r,, : Tesões cisalhates os plaos, z,z respectivaete. : Freqüêcia de ecitação (rad/s). : Freqüêcia atural. : Coordeadas esféricas da oda soora radiada.

25 SUMÁRIO ista de Síbolos... ista de Tabelas... ista de Figuras... Resuo... VII XIII XV XXIV Capítulo I Itrodução... Capítulo II Teoria de Kirchhoff para Vibrações de Placas Fias Relações Cieáticas Relações Deslocaetos Deforações Relações de Tesão Deforação Relações Moetos Curvaturas....5 Eergia de Deforação Eergia Ciética Trabalho do Carregaeto Trasversal Etero Obteção da Equação do Movieto à Partir do Pricípio de Hailto Vibrações ivres de Placas Retagulares Modos Naturais de Vibração de Placas Retagulares... 9 Capítulo III Kirchoff... Atuadores Piezoelétricos e sua Iteração co Placas de Fudaetos da Piezoeletricidade Efeito Piezoelétrico Direto Efeito Piezoelétrico Iverso Modelage da Iteração Mecâica decorrete do Acoplaeto Placa- Eleetos Piezoelétricos Ecitação por Atuadores Piezelétricos de ua Placa Retagular Siplesete

26 Capítulo IV Propagação de Odas Sooras e Radiação e Placas de Kirchhoff Coceitos Básicos de Propagação Soora e Estruturas Odas ogitudiais, Trasversais e de Fleão Odas Quase-ogitudiais e Placas Uifores Odas de Fleão e Placas de Kirchhoff Odas Plaas Trasversais e Placas de Kirchhoff Freqüêcia Crítica Ipedâcia de Oda e Fluidos Radiação de Ruído de ua Placa Fiita ua Ecitação de ua Placa Retagular Siplesete Apoiada por Ação de 68 Fote Moopolo Radiação Soora de Placas Vibrates Eficiêcia de Radiação Soora e Placas Vibrates Diretividade de Fote Perda de Trasissão e Placas Capítulo V Cotrole Ativo de Ruído Revisão Histórica Mecaisos Físicos Técicas de Cotrole Cotrole Feedback Cotrole Feedforard Cotrole Ótio Capítulo VI Siulações Nuéricas e Resultados Características da Placa Adotada Ecitação de ua Placa Utilizado Atuadores Piezoelétricos Cofiguração II... 04

27 6.. Cofiguração II Cofiguração III Ecitação de ua Placa por ua Oda Soora Plaa Oblíqua Icidete Cotrole Ativo de Ruído Epregado ua Placa Istruetada co 3 Atuadores piezoelétricos Ifluêcia do Taaho dos Atuadores o Cotrole Ifluêcia do Núero e Posicioaeto de Atuadores o Cotrole Cotrole Ativo Utilizado a Prieira Cofiguração Cotrole Ativo Utilizado a Seguda Cofiguração Cotrole Ativo Utilizado a Terceira Cofiguração Cotrole Ativo Utilizado a Quarta Cofiguração Cotrole Ativo Utilizado a Quita Cofiguração Aálise Coparativa dos Resultados Obtidos para as Diferetes 63 Cofigurações Utilização de dois atuadores cotrolados pela esa tesão 68 elétrica... Capítulo VII Otiização do Posicioaeto dos Atuadores Piezoelétricos Algoritos Geéticos Posicioaeto Ótio dos Atuadores Piezoelétricos Otiização do Cotrole Utilizado U Par de Atuadores 75 Piezoelétricos Otiização do Cotrole Utilizado Dois Pares de Atuadores 78 Piezoelétricos Otiização do Cotrole Utilizado Três Pares de Atuadores 83 Piezoelétricos a Placa Aálise Coparativa dos Resultados Obtidos co o Posicioaeto 87 Arbitrário e co o Posicioaeto Ótio dos Atuadores Piezoelétricos... Capítulo VIII Coclusões Gerais e Perspectivas de Trabalhos Futuros Referêcias Bibliográficas 95

28 Capítulo I Itrodução É fato cohecido que o ruído acústico é ua fote de poluição soora resposável por uitos probleas da vida cotidiaa, ua vez que iterfere de várias foras o dia a dia das pessoas, podedo até eso causar daos irreversíveis à sua saúde física e psíquica. Coseqüeteete, vários países já possue legislações que regulaeta os íveis adissíveis de ruído. Paralelaete, uerosos trabalhos de pesquisa fora e cotiua sedo realizados, buscado foras eficietes e ecoôicas de cotrole de ruído. As técicas de cotrole de ruído pode ser classificadas e dois grades grupos: i) técicas de cotrole passivo, que costitue, essecialete, o eprego de ateriais absorvedores colocados próios e a fote de ruído. Estas técicas revela-se eficietes o doíio de altas freqüêcias (acia de 500 Hz). Cotudo, para baias freqüêcias, há ecessidade de grade volue de aterial absorvedor, o que coduz a ua elevação sigificativa de custos; ii) técicas de cotrole ativo, que são baseadas o uso de fotes de ruído secudárias. Estas são coadadas por siais elétricos calculados a partir do sial de ruído priário que se deseja ateuar, captado através de sesores e trasferidos através de u cotrolador eletrôico, geralete e alha fechada. Ebora ão seja ua técica recete, ua vez que o pricípio utilizado é baseado a teoria de Huges, desevolvida e 690 e pateteada e 938 por Paul ueg (938), só receteete o cotrole ativo de ruído te sido itesaete estudado, toradose ua iportate área de pesquisa. Isto só foi possível devido ao desevolvieto do cotrole digital de rápido processaeto a baio custo, fato que torou possível a aplicação do cotrole ativo e probleas práticos. É apresetado, a seguir, u breve levataeto de alguas cotribuições recetes dedicadas ao cotrole ativo de ruído.

29 E 987, Fuller e Joes (987) estudara a redução de trasissão de ruído o iterior de ua cavidade, utilizado u atuador eletrodiâico para reduzir o ível de ruído detro de u eclausuraeto cilídrico ecitado por ua fote oopolo. Co este procedieto, obteve-se ua redução o ível de pressão soora da orde de 0-0dB. Fuller et al. (989), estudara a redução da trasissão soora através de ua placa circular elástica utilizado atuadores eletrodiâicos associados co u cotrolador feedforard adaptativo. Utilizara acelerôetros e icrofoes coo sesores de erro. Co esta técica obtivera reduções de até 8dB. Pa e Hase (99) e Sder e Hase (99) estudara ecaisos físicos para redução de trasissão soora através de ua placa retagular e ua câara reverberate. Este estudo revelou que quado a resposta do sistea é doiada pelos odos da placa, o ruído é reduzido através do cotrole destes odos. Poré, quado a resposta do sistea é doiada pelos odos acústicos da câara, a redução do ível de ruído é coseguida alterado-se a distribuição de velocidades da placa. Fuller et al. (99a) ostrara aalítica e eperietalete que a aplicação de forças eteras à estrutura através de atuadores eletroagéticos apreseta bos resultados a ateuação global do ruído. Poré, e estruturas leves, esta técica ão é adequada, ua vez que tais atuadores são geralete voluosos e pesados, o que dificulta sua otage a estrutura e iterfere sigificativaete e seu coportaeto diâico. Diate desta dificuldade, te sido largaete eplorada a idéia de utilizar outros tipos de atuadores de baio peso e pouca iterferêcia a estrutura, capazes de assegurar cotrole de ruído eficiete. A utilização de ateriais piezoelétricos foi etão itroduzida coo ua alterativa aos atuadores eletrodiâicos. Diversos estudos tê deostrado que tais ateriais ostra-se bastate adequados e eficietes, oferecedo a possibilidade de ser utilizados e sisteas co geoetrias copleas, ua vez que pode ser colados diretaete à superfície da estrutura, ou etão iseridos o volue do aterial que costitui a estrutura, torado-se parte do sistea. Apreseta tabé diversidade de atuação, podedo ser utilizados tato coo sesores quato coo atuadores. Outra característica iteressate destes ateriais é sua relativa isesibilidade à teperatura, o que os habilita a trabalhar eso e codições abietais ais severas. Detre os ateriais piezoelétricos, os ais epregados são as cerâicas piezoelétricas PZT (zircoato titaato de chubo) e o políero PVDF (fluorido de poliviilideo). Os pioeiros a utilização de PZTs para cotrole ativo e sisteas diâicos cotíuos fora Baile e Hubbard (985). Após este estudo, Crale e De uis (987) desevolvera u odelo detalhado que caracteriza a iteração etre pastilhas de PZT e ua viga elástica.

30 3 Diitriadis et al.(989) epadira este odelo para o caso de atuadores PZT co a fução de reduzir a pressão soora radiada por placas fias. Estes trabalhos ostrara a grade eficiêcia dos ateriais piezoelétricos o cotrole de vibração e da radiação soora. Fuller et al. (99b) realizara u eperieto utilizado ua pastilha de PZT coo atuador colada a ua placa retagular ecitada por u ecitador eletrodiâico e freqüêcias próias às freqüêcias aturais da placa. O resultado obtido foi ua redução global de 45 db as duas prieiras freqüêcias aturais. Clark e Fuller (99a) utilizara atuadores piezoelétricos e desevolvera u cotrolador feedforard adaptativo para o cotrole de ruído radiado por ua placa retagular ecitada por u ecitador eletrodiâico. Eles cocluíra que quado a freqüêcia de ecitação é próia a ua das freqüêcias aturais da placa, o aueto do úero de atuadores ão cotribuiu sigificativaete para a redução de ruído. Poré, o caso ão ressoate, o aueto do úero de atuadores pôde proporcioar redução adicioal de ruído. Neste eso eperieto utilizara sesores de deforação de PVDF o lugar dos icrofoes. Os resultados ostrara que e algus casos, a redução de ruído obtida co icrofoes coo sesores é siilar à obtida quado se utiliza sesores PVDF; e outros casos, obteve-se ua redução aior utilizado icrofoes. Wag et al. (99) desevolvera u odelo aalítico de trasissão soora através de ua placa retagular utilizado últiplos PZTs e atuadores eletrodiâicos. Verificou-se que os atuadores eletrodiâicos são ais eficietes o cotrole de ruído. Os esos autores relata aplicações do cotrole ativo de ruído utilizado ateriais piezoelétricos e diversas situações idustriais práticas, tais coo a redução de ruído o iterior de aviões, barreiras ativas, etre outros. No coteto das técicas de cotrole ativo de ruído, o presete trabalho efoca diversos aspectos referetes ao uso de placas retagulares plaas às quais são fiados atuadores piezoelétricos, coo fotes de cotrole de ruído. Te, por objetivos, o desevolvieto, a ipleetação coputacioal e a avaliação uérica de u procedieto copleto de cotrole ativo de ruído. O trabalho está orgaizado da seguite fora: No Capítulo é feita ua revisão da teoria de vibrações e placas de Kirchhoff, sedo apresetadas as hipóteses básicas e o desevolvieto aalítico da teoria coduzido à equação do ovieto de placas fias hoogêeas e uifores e às codições de cotoro. No Capítulo 3 são apresetados os coceitos básicos pertietes ao fucioaeto dos ateriais piezoelétricos coo sesores e atuadores (efeito piezoelétrico direto e iverso, respectivaete), sedo desevolvidas as relações que descreve o acoplaeto placa piezoelétrico e regie estático e diâico.

31 4 No Capítulo 4 é realizada ua revisão de coceitos básicos sobre vibro-acústica, sedo defiidos parâetros iportates a aálise do feôeo de radiação soora por estruturas vibrates, tais coo ipedâcia e freqüêcia crítica. Tabé são descritos o coportaeto vibratório da placa devido à ação de ua fote oopolo, o feôeo da radiação e placas vibrates e a eficiêcia de radiação de cada odo de vibração da placa. No Capítulo 5 apreseta-se ua revisão histórica das técicas de cotrole ativo de ruído e seus ecaisos físicos. Tabé é realizada ua ivestigação das técicas de cotrole ais usuais coo cotrole feedback e feedforard. Fialete, é desevolvida a teoria de cotrole ótio utilizado. No Capítulo 6 são apresetadas uerosas siulações uéricas e os resultados obtidos para diferetes cofigurações, e teros do úero e posição de atuadores piezoelétricos. No Capítulo 7 propõe-se u procedieto de posicioaeto ótio dos eleetos piezoelétricos baseado o uso de Algoritos Geéticos. São apresetados os resultados de diversos testes uéricos de otiização. Fialete, o Capítulo 8 coté as coclusões gerais do trabalho e sugestões para desevolvietos futuros.

32 Capítulo II Teoria de Kirchhoff para Vibrações de Placas Fias Neste capítulo é desevolvido u procedieto de odelage do coportaeto diâico de placas fias utilizado a teoria de Kirchhoff. Após a apresetação das relações cieáticas que caracteriza as deforações sofridas pela placa, são desevolvidas as relações de tesão deforação e oeto curvatura. E seguida, epregado o Pricípio Variacioal de Hailto são obtidas a equação diferecial do ovieto e as codições de cotoro. O estudo aqui apresetado é baseado o trabalho de Géradi & Rie (997)..- Relações Cieáticas Cosidere-se ua placa retagular ilustrada a Figura, para a qual adota-se o sistea de eios Oz de tal fora que O e O seja eios pricipais de iércia. Desiga-se por e as diesões ao logo das direções e, respectivaete, e por h a espessura da placa. O h z Figura.- Diesões da placa e posicioaeto do sistea de referêcia. evado e cota o sistea de referêcia adotado e objetivado facilitar o etedieto das hipóteses que serão adotadas, apreseta-se, a Figura., o eleeto de

33 6 volue da placa sobre cujas faces são represetadas as tesões orais e cisalhates. Coo será visto ais adiate, e coforidade co as hipóteses a sere adotadas, alguas destas copoetes de tesão resultarão ulas. z z z z z Figura.- Represetação das copoetes de tesão e u eleeto da placa. z Desigado por u(,,z), v(,,z) e (,,z) os capos de deslocaetos dos potos da placa as direções, e z, respectivaete, as deforações orais e cisalhates, copoetes do tesor de deforação de Gree para grades deslocaetos, são dadas pelas epressões: Deforações Norais u (.) v (.) z (.3) z Deforações Cisalhates

34 7 = z = z = u v u z z v z z (.4) (.5) (.6) Os deslocaetos dos potos da placa e as rotações das seções trasversais o plao -z são ilustradas a Figura.3, ode P o idica u poto sobre o plao édio da placa e P desiga u poto geérico posicioado sobre a esa seção trasversal, a ua distâcia z do plao édio. Nesta esa figura, (,) represeta o capo de deslocaetos trasversais (a direção z) do poto P e u(,) represeta o capo de deslocaetos o plao da placa, segudo a direção. Da fora aáloga, desigar-se-á por v(,) o deslocaeto de P, o plao da placa, segudo a direção, deslocaeto este que ão está represetado a figura. z P o P,u,v z, d d P o ' P ' u o Figura.3- Represetação dos deslocaetos da placa. De acordo co a teoria de Kirchhoff, adota-se as seguites hipóteses:

35 8 - A placa é fia e seu plao édio é o plao eutro. - São egligeciadas as tesões e deforações a direção trasversal da placa: z z z 0, z z 0 z. 3- Após a deforação, as seções trasversais peraece plaas e orais à liha eutra. 4- Os deslocaetos u e v o plao O são resultates de dois efeitos: U capo de deslocaetos iiciais, uifore ao logo da espessura da placa, resultate de u carregaeto o plao da placa. U capo de deslocaetos devidos à rotação das seções trasversais. cieáticas: Cosiderado a Figura.3, estas hipóteses coduze às seguites relações u v,, u 0, z (.7) v 0, z (.8), (.9) ode:, e u 0, eutro da placa. v 0 são deslocaetos iiciais resultates de ua pré-carga o plao.- Relações Deslocaetos-Deforações. Itroduzido as equações (.7) a (.9) e (.) a (.6), cosiderado-se as hipóteses adotadas, obtê-se as seguites relações etre as copoetes de deslocaeto e as deforações: = u 0 z (.0) = v 0 z (.) z = 0 (.)

36 9 = z v u 0 0 (.3) z = 0 (.4) z = 0 (.5) Defie-se etão o seguite vetor cotedo as deforações ão ulas: (.6) Co base as relações (.0), (.) e (.3), o vetor de deforações pode ser decoposto da seguite fora: 0 (.7) ode 0, e represeta, respectivaete, os teros de grau 0,,e as derivadas de e relação as coordeadas e, sedo dados por: v u v u z z z (.8).3- Relações de Tesão-Deforação.

37 0 Aditido que a placa seja costituída de aterial isotrópico de coportaeto liear, as copoetes de tesão e deforação relacioa-se através das seguites epressões: E (.9) E (.0) G (.) ode é o coeficiete de Poisso, E é o ódulo de elasticidade e G é o ódulo de cisalhaeto. Estes três coeficietes guarda etre si a seguite relação de depedêcia: E G (.) O cojuto de equações (.9) (.) pode ser agrupado a seguite relação tesãodeforação a fora atricial: H (.3) ode o vetor das tesões ão ulas é dado por: (.4) e 0 E H 0 (.5) 0 0

38 é a atriz de coeficietes elásticos..4- Relações Moetos-Curvaturas. O vetor das curvaturas é defiido por: T (.6) cujos dois prieiros copoetes represeta a curvatura pricipal da placa as direções e e o terceiro copoete represeta a curvatura do plao eutro decorrete da torção a placa. evado e cota as defiições estabelecidas e (.8), observa-se que o teros de prieira orde das deforações são associados às curvaturas ediate a relação: z (.7) Cofore ilustra a Figura.4, as tesões atuates a placa gera oetos e relação aos eios coordeados. M,, M M M z Figura.4- Moetos que atua e u eleeto da placa.

39 Os oetos são agrupados o seguite vetor: M M M (.8) M cujas copoetes são obtidas ediate itegração dos oetos eleetares ao logo da espessura da placa; de acordo co: h h M z dz = H h z h dz (.9) Devido à ati-sietria e relação a z 0 dos teros e, defiidos e (.8), apeas os teros de prieira orde,, cotribue a geração de oetos. Assi, a equação (.9) pode ser desevolvida da seguite fora: h h M z dz = H h z h dz (.30) Substituido as equações (.5) e (.6) e (.30) te-se: M h h z E 0 0 dz 0 0 (.3) Desevolvedo a equação (.3) obté-se: co: * H M (.3)

40 3 H * D (.33) ode D é o ódulo de rigidez da placa, defiido segudo: 3 Eh D (.34) Desevolvedo (.3) epressa-se eplicitaete os oetos da seguite fora: M D (.35) M D (.36) M D (.37) Cosidere-se u cotoro arbitrário da placa, represetado por ua curva (,), cofore ilustrado a Figura.5. Para u poto arbitrário do cotoro, desiga-se por (l,,0) os cosseos diretores da oral eterior. Os oetos o cotoro da placa são: M : oeto fletor atuate o plao Oz, orietado ao logo da tagete ao cotoro. M s : oeto fletor atuate a direção perpedicular ao cotoro. M s : oeto torçor atuate e toro da direção oral.

41 4 s s M M Ms P (,) M M M Figura.5- Moetos o cotoro da placa. As copoetes M, M e M relacioa-se co as copoetes M s, M s e M através das seguites equações: M M M l M lm s M s (.38) l M s lm s M (.39) l M M M l s s (.40).5- Eergia de Deforação. A eergia de deforação da placa, que pode ser associada ao trabalho das forças iteras, é calculada através da itegral da desidade de eergia sobre o volue: V it T H v dv (.4) evado e cota as três copoetes de deforação, defiidas e (.7) e (.8), a eergia de deforação, dada e (.4), pode ser decoposta e teros de diferetes graus e e suas derivadas:

42 5 V it V it 0 3 V V 0 it it (.4) ode: V it 0 v 0 T 0 H dv (.43) V V it it v T 0 H dv v T H dv v T 0 H dv (.44) (.45) O últio tero de (.4) represeta os teros de orde superior, que ão são cosiderados a teoria aqui desevolvida. A eergia de deforação resultate de ua etesão iicial da placa é dada pela equação (.43). Quado o capo de deslocaetos iicial é iposto coo sedo (u 0,v 0 ), esta equação tora-se: 0 V it cte (.46) Neste caso, esta copoete ão cotribui para a equação do ovieto. coduz a: O desevolvieto do tero de prieira orde da eergia de deforação, (.44) h h T 0 V zdz H ds (.47) it S 0 A itegração do tero quadrático da eergia de deforação (.45) ao logo da espessura coduz à epressão: V it T * T H ds N0 S S ds (.48)

43 6 Na equação (.48) o prieiro tero represeta a eergia associada à fleão e o segudo tero represeta o efeito de pré-tesão, ou seja, das tesões iiciais de ebraa, que são dadas por: N h N H 0 0 dz (.49) h N N.6- Eergia Ciética. A eergia ciética é calculada através da seguite itegração: T V u v dv (.50) du dv ode é a desidade voluétrica (assa por uidade de volue) e u, v, dt dt d são as copoetes do vetor velocidade de u poto geérico da placa as direções dt, e z respectivaete. Derivado as relações (.7) e (.8) e relação ao tepo te-se: u z (.5) v z (.5) Substituido as equações (.5) e (.5) e (.50), escreve-se: T V z z dv (.53)

44 7 ou: T h h dsdz dsdz h h (.54) S S Defie-se a desidade de assa por uidade de superfície coo: h s h dz (.55) Co esta defiição, o oeto de iércia de assa e relação ao eio édio, por uidade de área, é epresso da seguite fora e teros do raio de giração da seção, desigado por r: fora: h h z dz r s (.56) Substituido a eq. (.56) e (.54), a eergia ciética pode ser epressa da seguite T ds r ds S s S (.57) O prieiro tero da equação (.57) represeta a parcela da eergia ciética devida ao ovieto trasversal da placa a direção trasversal z, equato e os outros dois teros represeta o efeito de rotação da seção trasversal e toro dos eios e. A teoria de Kirchhoff utiliza a epressão aproiada da eergia ciética egligeciado o efeito de rotação das seções. Desta fora, te-se: T S s ds (.58)

45 8.7- Trabalho do Carregaeto Trasversal Etero. Aditido que a placa ão seja solicitada por oetos distribuídos ou por forças de cotoro, eergia potecial associada ao carregaeto etero distribuído p(,,t), suposto coservativo, é dada por: V et pds (.59) S.8-Obteção da Equação do Movieto a Partir do Pricípio de Hailto. A sisteas sobre os quais atua apeas forças coservativas aplica-se o Pricípio Variacioal de Hailto, epresso por (Géradi & Rie,997). t t T Vdt 0 (.60) ode T é a eergia ciética e V é a eergia potecial total do sistea e t e t são dois valores arbitrários do tepo. Cosiderado as duas foras de eergia potecial, itera e etera, a equação (.60) pode ser escrita coo: t t T Vit Vet dt 0 (.6) Aditido que a placa ão seja subetida a tesões iiciais de ebraa (N 0 =0), co base os desevolvietos apresetados a seção., teos: V it V it T * H ds S (.6) Substituido (.6) e (.33) e (.6), escreve-se:

46 9 ds D V it S (.63) A prieira variação de pode ser epressa, após alguas aipulações, sob a fora: V it S it D V ds (.64) Na seqüêcia, procede-se à dupla itegração por partes de cada tero da equação (.64), utilizado o Teorea de Gree. Tal procedieto coduz às seguites trasforações: Prieiro tero: S ds D = d Dl d Dl ds D S (.65) Segudo tero: ds D S d D d D

47 0 ds D S (.66) ode (,) idica a curva represetado o cotoro que deliita o doíio das itegrações e l e são os cosseos diretores da oral eterior a este cotoro. (ver Figura.5). Terceiro tero: ds D S d D D d Dl d D d ld ds D S ds D S (.67) Para facilitar o desevolvieto que segue, os teros figurado e (.67) serão agrupados segudo a itegração esteja sedo efetuada e S ou e, de odo que: (.68) I I V S it Agrupado os itegrados e S: ds D I S S 4 = ds D S (.69) Agrupado os itegrados e : dd Dl d Dl I

48 d D d D d D d Dl d Dl d D 3 3 (.70) Substituido as equações (.35), (.36) e (.37) e (.70) obté-se: d lm M M lm I d M M M M l (.7) Deve-se agora epressar a itegração sobre o cotoro e teros das coordeadas e s, as direções oral e tagecial, respectivaete, ilustradas a Figura.6. Para tato, utiliza-se as relações: s l (.7) s l (.73) R s l Figura.6- Coordeadas curvilíeas ao logo do cotoro.

49 Substituido as equações (.7) e (.73) e (.7) escreve-se: d M lm M l I + d s M l M M l d M M M M l (.74) Para o desevolvieto subseqüete de (.74) faz-se uso das equações (.38) a (.40), (.7) e (.73) e das seguites relações: 0 l R s l 0 R l s ode R é o raio de curvatura do cotoro. Após aipulação algébrica relativaete etesa, chega-se à epressão: d M M R s M M d s M M I s s s (.75) Efetuado ua ova itegração por partes a prieira parcela do lado direito de (.75) chega-se a: d s M M I s M d M M R s M M s s s (.76) Substituido (.69) e (.76) e (.68), obté-se a epressão para a prieira variação da eergia de deforação:

50 3 ds D V S it M d M M R s M M M s s s (.77) A prieira variação da eergia ciética, dada por (.6) é epressa segudo: S s S s ds ds T (.78) A variação da eergia potecial associada à força etera é coputada a partir de (.59): S S et ds p pds V (.79) Itroduzido as equações (.77), (.78) e (.79) e (.6), obté-se a seguite epressão variacioal: dt V V T t t et it d M M R s M M M ds t t S s s s dt ds p ds D M S S s (.80) Na equação (.80) o tero, presete o tero de cotoro, chaado de força de cisalhaeto de Kirchhoff de cotoro, represeta a o esforço cortate o cotoro da placa, e é dado por: K s s M M R s M M K (.8) Tora-se ecessário realizar ais ua itegração por partes o prieiro itegrado do lado direito de (.80), e relação ao tepo:

51 4 t t s t t s t t s dt dt (.8) evado e cota que a variação deve satisfazer 0 t t, a equação acia coduz a: t t s t t s dt dt (.83) Itroduzido etão (.83) e (.80), escreve-se: t t s s s D d K M M 0 dt ds p s (.84) Coo (.84) deve ser satisfeita para toda e qualquer variação, deve-se ter: para u poto qualquer a superfície da placa: p D s (e S) (.85) para u poto a parte regular do cotoro : Cotoro ivre:codição e que ou a força de cisalhaeto ou o deslocaeto vertical são ulos. K =0 ou =0 (e) (.86) Cotoro Egastado: codição e que o oeto fletor e relação à oral, ou a icliação e relação à oral são ulos. M =0 ou 0 (e ) (.87)

52 5 Para u poto agular do cotoro, quado o cisalhaeto de Kirchhoff, gerado pela descotiuidade do oeto de curvatura ou o deslocaeto vertical fore ulos: s s z M M 0 ou =0 (.88) Fazedo ua aalogia co a teoria de vigas, pode-se defiir os esforços cortates por uidade de coprieto da seguite fora: Q M M (.89) Q M M (.90) Cosiderado u eleeto de placa, os esforços atuates sobre ele estão represetados a Figura.7. Q Q M M M z, M p M+dM M+dM d M+dM Q+dQ d Q+dQ Figura.7- Esforços atuates sobre u eleeto de placa. Aplicado a Seguda ei de Neto para as copoetes de força e aceleração a direção vertical, obté-se a equação do ovieto, dada por (.85) e repetida abaio.

53 6 4 4 D p 0 (.9) s A equação (.9) pode ser escrita e teros do operador aplaciao: D p 0 s (.9) ode: (.93).9- Vibrações ivres de Placas Retagulares. Para o problea de vibrações livres (se carga etera), se pré-tesão e co propriedades uifores, adite-se ua solução da equação do ovieto (.9) do tipo: it,,t W,e (.94) Itroduzido (.94) e (.9), obté-se: 4 W 0 W (.95) co: 4 s (.96) D Pode-se ostrar que a solução geral de (.96), e teros de fuções hiperbólicas e trigooétricas, toa a seguite fora: W(, ) se A cos se A se cos A se 3 cos A seh seh A cosh seh A4 cos 5 6

54 7 cosh A cosh cosh A7 seh 8 (.97) cotoro. Os valores das costates A i e dos parâetros e depede das codições de Cosiderar-se-á, a seguir, o caso da placa siplesete apoiada as quatro bordas, cujas diesões ao logo dos eios e são desigadas por e, respectivaete. A placa siplesete apoiada costitui o úico caso para o qual é possível obter ua solução eata. As codições de cotoro são: W=0 e M =0 para =0 e = (.98) W=0 e M =0 para =0 e = (.99) as foras: Utilizado-se as equações (.35) e (.36) as codições de cotoro são epressas sob W=0 e W =0 para =0 e = (.00) W=0 e W =0 para =0 e = (.0) Itroduzido estas codições de cotoro a solução geral (.95) obté-se a solução para o caso de placa siplesete apoiada: W, se Ase (.0) ode A é ua costate que peraece ideteriada. Deve tabé ser satisfeitas as codições: 0 se e 0 se (.03) cujas soluções são: e co,=,,.. (.04)

55 8 As freqüêcias aturais da placa pode ser calculadas através de (.96): D D s (.05) s e os odos aturais correspodetes são dados por: W, se se (.06) Os valores (-) e (-) deteria o úero de lihas odais, ou o úero de eias odas dos odos aturais ao logo dos eios e respectivaete..0- Modos Naturais Para ua aior copreesão do sigificado físico de e, apresetar-se-ão graficaete quatro prieiros odos aturais (,) de vibração de ua placa retagular. Na Figura.8 é apresetado o odo (,) de vibração da placa, ou seja, = e =. Não se verifica a preseça de lihas odais ou eias odas para este odo.

56 9 Figura.8- Modo (,) de vibração da placa. Verifica-se a Figura.9 a curva característica do odo (,) de vibração da placa. Neste odo tê-se = e =, havedo ua liha odal perpedicular ao eio ocasioado duas eia oda a direção deste eio. Figura.9- Modo (,) de vibração da placa. Observa-se a Figura.0 a curva característica do odo (,) de vibração da placa. Neste odo tê-se = e =, portato há o aparecieto de ua liha odal perpedicular ao eio ocasioado duas eias odas a direção deste eio. Figura.0- Modo (,) de vibração da placa.

57 30 A Figura. apreseta a curva característica do odo (,) de vibração da placa. Neste odo tê-se = e =, portato há o aparecieto de ua liha odal perpedicular ao eio ocasioado duas eia oda a direção deste eio e de ua liha odal perpedicular ao eio ocasioado duas eias odas a direção deste eio. Figura.- Modo (,) de vibração da placa.

58 Capítulo III Atuadores Piezoelétricos e sua Iteração co Placas de Kirchoff Neste capítulo é apresetado u estudo sobre o efeito piezoelétrico e as relações decorretes da iteração ecâica etre placas fias e eleetos piezoelétricos colados à sua superfície. Iicialete são apresetadas as relações etre a tesão elétrica aplicada e as deforações apresetadas pelos ateriais piezoelétricos, sedo itroduzidas as costates que defie as propriedades piezoelétricas. E seguida, co base a teoria apresetada o Capítulo é desevolvida a equação do ovieto para placas retagulares dotadas de eleetos piezoelétricos acoplados à sua superfície. 3.- Fudaetos da Piezoeletricidade O efeito piezoelétrico foi descoberto pelos irãos Curie e 880, sedo ua propriedade eistete e diversos ateriais tato aturais (quartzo, pele e osso huaos) quato sitéticos (cerâicas e políeros). Tais ateriais, quado solicitados eteraete, de odo a sofrere deforação ecâica, produze polarização elétrica (distribuição de cargas elétricas) proporcioal à deforação sofrida. Este efeito é o chaado efeito piezoelétrico direto. Iversaete, quado estes ateriais são subetidos a u capo elétrico ao logo de sua direção de polarização, são produzidas deforações ecâicas e resposta. É o efeito piezoelétrico iverso. Estes dois efeitos são eplorados a cofecção de sesores de deforação e atuadores. Os sesores trabalha segudo o efeito piezoelétrico direto, e os atuadores trabalha segudo o efeito piezoelétrico iverso Efeito Piezoelétrico Direto Cosidere-se u eleeto de u aterial piezelétrico esteja subetido ao estado ais geral de tesões ecâicas, cofore apreseta a Figura 3.. Visado possibilitar o uso da

59 3 otação idicial, que siplifica cosideravelete a apresetação da forulação, os eios (,, z) são substituídos, o que segue, pelos eios (,,3) Figura 3.- Tesões atuates e u eleeto piezelétrico. A relação etre os copoetes do vetor de polarização elétrica P i e as copoetes do tesor das tesões ecâicas jk é estabelecida através da epressão (Clark et al.,998). P i d ijk jk i, j,k =,,3 (3.) Utilizado a usual cotração de ídices, cofore detalhado abaio: (3.) a equação (3.) pode ser escrita da seguite fora:

60 33 P d P d P3 d 3 d d d 3 d d d d d d d d d d d d (3.3) As costates d ij, deoiadas ódulo piezelétricos, são características de cada aterial, sedo defiidas pela relação: desidade de carga a direção i C / d ij (3.4) tesão ecâica aplicada a direção j N / 3..- Efeito Piezoelétrico Iverso Quado u capo elétrico é aplicado a u aterial piezelétrico, o aterial apreseta alterações de fora (alogaetos e distorções) que são proporcioais ao capo elétrico aplicado. É a seguite a relação etre as copoetes do vetor capo elétrico copoetes do tesor de deforações jk : E i e as jk dijk Ei (3.5) Itroduzido a cotração de ídices: (3.6) A equação (3.5) pode ser escrita coo:

61 d d d d d d d d d d d d d d d d d d E E E 3 (3.7) 3.- Modelage da iteração ecâica decorrete do acoplaeto placa-eleeto piezoelétrico. Nos casos cosiderados este trabalho, cosiderar-se-á que os eios e esteja e u plao paralelo ao plao eutro da placa, havedo ua úica copoete de capo elétrico aplicada segudo a direção 3, cofore ilustrado a Figura 3.. Desta fora o vetor capo elétrico fica: 0 E 0 (3.8) E3 co: V E3 (3.9) t ode V é a tesão elétrica aplicada e t é a espessura do eleeto piezelétrico.

62 35 V 3 z Figura 3.- Ilustração dos eios de polarização do eleeto piezoelétrico acoplado à placa. Alé disso, cosiderar-se-á, coo aterial piezoelétrico, as cerâicas PZT (Zircoato Titaato de Chubo), para as quais a atriz dos ódulos piezoelétricos te a fora particular (Clark et al.,998): 0 0 d3 0 0 d d (3.0) Nestas codições, as copoetes ão ulas de deforação, que são as deforações orais o plao da placa, resultates da ativação do eleeto piezoelétrico se escreve: V d 3 t (3.) V d 3 t (3.) Através das relações acia verifica-se a igualdade das tesões orais as direções e e. No que segue, estas deforações serão desigadas da seguite fora: d t 3 V pe pe pe (3.3) ode o ídice pe estará associado ao aterial piezoelétrico.

63 36 Nas aplicações a sere desevolvidas, cosiderar-se-ão situações e que são coladas, de fora siétrica, duas pastilhas piezelétricas sobre cada ua das faces da placa, cofore ilustra a Figura 3.3. Estas pastilhas são ativadas através da aplicação de tesões elétricas de esa aplitude e siais opostos e cada ua delas. Piezoelétrico Placa Piezoelétrico Figura 3.3- Acoplaeto placa piezoelétricos. Através da Figura 3.3 verifica-se as duas regiões de iterface, o efeito resultate da ativação elétrica do eleeto piezoelétrico será a geração de esforços de tração e ua das iterfaces e de copressão a outra. Devido à sietria física e geoétrica, a ativação dos eleetos piezoelétricos resulta e fleão pura da placa. Cofore será deostrado ais adiate, o efeito dos eleetos piezoelétricos será represetado por ua distribuição de oetos fletores ao logo das bordas destes eleetos. Cosidera-se que a adesão etre a placa e as pastilhas piezelétricas é perfeita. Isto iplica que a região de iterface a deforação é cotíua, ou seja, a placa e os eleetos piezoelétricos apreseta a esa deforação. Cotudo, por sere os dois copoetes do sistea costituídos de ateriais diferetes (co ódulos de elasticidade diferetes), verificase que as tesões a iterface ão pode ser cotíuas. Poré Crale e de uis (987) verificara que o caso de o adesivo apresetar espessura sigificativa, esta situação a iterface pode ser sigificativaete alterada. A odelage da ifluêcia ecâica dos eleetos piezoelétricos sobre a placa será desevolvida a seguir, cosiderado que a direção de polarização seja z e que as deforações ocorra de fora idêtica as direções e. Será levado e cota o fato que a distribuição de tesões a placa deve ser siétrica e relação à liha eutra e que a fleão da placa produz ua distribuição liear de tesões orais, cofore ilustrado a Figura 3.4.

64 37 z pe pe p pe p pe h Figura 3.4- Distribuição das tesões orais os plaos - e -z, devidas à ativação do piezoelétrico. Os oetos por uidade de coprieto, e, resultates das distribuições de tesões orais são dados pelas epressões: h h zddz d (3.4) h h zddz d (3.5) ode h é a sei-espessura da placa. As variações das deforações orais através da espessura são lieares, dadas por: z r z (3.6) r ode e represeta as curvaturas da superfície eutra da placa, os plaos -z e -z r r respectivaete. Cosiderado que as tesões que atua a placa seja apeas e, utilizado as equações (.9) e (.0) escreve-se a relação tesão-deforação a seguite fora atricial:

65 38 E (3.7) Substituido a equação (3.6) e (3.7) obté-se: r r r r Ez (3.8) Substituido (3.8) e (3.4), efetuado a itegração e levado e cota (.34), escreve-se: zddz r r Ez d h h r r D (3.9) Da esa fora, da cobiação de (3.8) e (3.5) resulta: r r D (3.0) Aditido que o eleeto piezoelétrico seja retagular e que as deforações as direções e seja iguais, as equações acia idica que e são iguais e uiforeete distribuídos sobre o sistea placa-atuador. Esta codição pode ser verificada fazedo: (3.) Substituido (3.6) e (3.) obté-se a codição:

66 39 r r (3.) Substituido (3.) e (3.9) e (3.0) te-se: D (3.3) r D (3.4) r Coclui-se, portato, que: (3.6) co D (3.7) r Da equação (3.7) obté-se: r r D (3.8) A equação (3.8) represeta a curvatura da placa decorrete da fleão. A codição de que r e r seja iguais e todos os potos da região coberta pela pastilha piezelétrica defie a codição de fleão pura da placa. As relações tesões-deforações para a região da iterface placa-piezoelétrico são obtidas a partir de (.9) e (.0): E p i i p i p p E p i i p i p p (3.9) (3.30)

67 40 ode o ídice i idica a região de iterface e o ídice p desiga a placa. As tesões o atuador piezoelétrico a iterface resulta da cobiação da deforação trasferida pela placa a iterface e da deforação decorrete da ativação elétrica. Assi, escreve-se: E pe i pe pe pe pe (3.3) i i pe E pe i pe pe pe pe (3.3) i i pe co pe dado por (3.3). As tesões orais de fleão a placa varia liearete co z e pode ser escritas e teros de seus valores a iterface coo: i p p z (3.33) h i h p z p (3.34) Estas distribuições de tesão são ostradas a Figura 3.5.

68 4 i p h z Figura 3.5- Distribuição de tesão e u eleeto de placa. escreve-se: Da esa fora, cosiderado as distribuições de tesões o eleeto piezoelétrico, pe i pe i z pe i pe i p p z (3.35) h (3.36) h A deforação a iterface e a tesão a placa pode ser epressas e teros das propriedades costitutivas do aterial e da deforação da pastilha piezoelétrica causada por sua ativação elétrica. Para tato, a partir de (3.33) estabelece-se o equilíbrio de oetos a direção e relação ao plao eutro da placa: h 0 z h zdz zdz 0 p ht h i pe i p (3.37) Desevolvedo a equação (3.37) obté-se: 3th h t i p 3 3 h t 3 ht i pe (3.38) A equação (3.38) pode ser escrita sob a fora:

69 4 i pe K (3.39) i p ode K é u parâetro adiesioal defiido segudo: K 3th h t (3.40) 3 3 h t 3ht De fora siilar, estabelecedo o equilíbrio de oetos a direção a partir de (3.36) escreve-se: i pe K (3.4) i p Substituido (3.9) e (3.39) obté-se: K E p i i p i pe p (3.4) Substituido (3.3) e (3.4), te-se: E K E pe p p i pe i pe pe pe i p i pe (3.43) ou: P P P i i p pe pe pe (3.44) ode: P E pe p K (3.45) E p pe

70 43 Assi, a deforação a região de iterface pode ser escrita segudo: i i pe P p pe pep (3.46) A equação (3.46) forece a relação etre a deforação a região da iterface e a deforação causada pela ativação do piezoelétrico, evolvedo as propriedades costitutivas. De posse da deforação a região da iterface é possível deteriar a tesão i p e, coseqüeteete, os oetos distribuídos utilizado a equação (.9), cofore o desevolvieto a seguir: h h z p dz i p h z h h dz Realizado a itegração idicada obté-se: h (3.47) i 3 p Substituido a equação (3.9) e (3.47) obté-se: p p E h i p (3.48) i 3 Substituido (3.46) e (3.48), te-se: E p pe P h pe P 3 p p pe (3.49) Fazedo uso de (3.3), a equação (3.49) pode ser escrita sob a fora: d3 Co pe Co V (3.50) t

71 44 ode C o é ua costate deteriada pelas propriedades físicas e espessura da placa, dada por: C o pe P E p h (3.5) p p pe P 3 De acordo co (3.50), quado a tesão elétrica de etrada o atuador é oscilate, os oetos e oscila a esa freqüêcia de voltage. Observa-se tabé que as aplitudes dos oetos fletores idepede das diesões do eleeto piezoelétrico. 3.3-Ecitação por atuadores piezelétricos de ua placa retagular siplesete apoiada Cosidere-se a placa retagular siplesete apoiada as quatro bordas, à qual são colados dois eleetos piezoelétricos, sietricaete, e abas as faces da placa, de fora que as bordas do eleeto piezoelétrico cujas posições são idicadas pelas coordeadas (,,,) fique paralelas às bordas da placa, cofore ilustrado a Figura 3.6. Placa Eleeto Piezelétrico Figura 3.6- Ilustração do sistea placa-eleeto piezoelétrico.

72 45 Cofore visto as seções ateriores, a ativação do eleeto piezoelétrico, co tesões elétricas de siais opostos, iduz o surgieto de distribuições de oetos fletores as direções e. Tais oetos pode ser epressos da seguite fora: 3 h h h h V t d C o (3.5) ode é a fução degrau uitário. h Negligeciado o acréscio de assa e de rigidez da placa devido à colage dos atuadores (tal hipótese te sido epregada por diversos autores (Fuller et al.,99), é possível escrever a equação do ovieto da placa utilizado a teoria desevolvida o Capítulo. Para tato, a equação do ovieto (.85) é re-escrita e teros dos oetos fletores M, M, M e dos oetos iduzidos pelos atuadores piezoelétricos: 0 M M M s (3.53) O desevolvieto de (3.53) utilizado as relações oetos-curvaturas, coduz à seguite equação do ovieto: 4 D s (3.54) Pode-se otar que os oetos iduzidos pela ação piezoelétrica aparece a equação coo esforços eteros. O carregaeto etero da equação (3.54) pode ser calculado através da difereciação da equação (3.5): 3 h h V t d C ' ' o (3.55)

73 46 C o d t 3 V ' ' h h (3.56) ode. idica a fução Delta de Dirac. Substituido as equações (3.55) e (3.56) e (3.54) obté-se: ' ' h h 4 d3 D s Co V t C o d t 3 V ' ' h h (3.57) A solução da equação (3.57) pode ser ecotrada utilizado a epasão odal da resposta (, ). De acordo co o desevolvieto apresetado a Seção.9, para ua placa retagular siplesete apoiada, as autofuções são dadas por: se (, ) se (3.58) ode e são dados por: e co,=,,.. Utilizado o Teorea da Epasão (Meirovitch,975) a resposta da placa pode ser escrita coo ua cobiação liear das autofuções: ( t,, ) W t, (3.59) ode W desiga as aplitudes das respostas odais da placa. A partir de (3.59) coputa-se as derivadas e relação ao tepo t e às coordeadas espaciais e :

74 47 se (, ) W ( t )se (3.60) W ( t )se se (3.6) W ( t )se se (3.6) 4 W ( t )se se (3.63) Substituido as equações (3.60), (3.6), (3.6) e (3.63) e (3.57), escreve-se: W ( t )se se s W ( t )se se D (3.64) escreve-se: Para fazer uso da propriedade de ortooralidade das autofuções, a partir de (3.64) W 0 0 ( t )se se ' ' se se s dd D 0 0 W ' ' ( t )se se se se dddd 0 0 ' ' se se dd (3.65)

75 48 São as seguites as relações de ortogoalidade das autofuções: 0 ' se se d = 0 ' ' (3.66) ' 0 se se d = 0 ' ' (3.67) Substituido as equações (3.66) e (3.67) e (3.65), obté-se: W s DW se se dd (3.68) No que segue, aditir-se-á a codição de ovieto harôico e regie peraete, co freqüêcia. Nesta situação, te-se: V W t Ve t t it W e it it We (3.69) W relação: Substituido (3.69) e (3.68), após alguas aipulações algébricas chega-se à W se se s dd (3.70)

76 49 ode desiga as freqüêcias aturais da placa, dadas por: D s (3.7) Substituido as equações (3.55) e (3.56) e (3.7) e escrevedo área da placa, escreve-se: A, ode A é a W 4CoVd 3 ta s ' h h ' 0 0 se se dd ' ' h h (3.7) Após desevolvieto algébrico relativaete logo da dupla itegração idicada a equação (3.76), evolvedo itegrações por partes, chega-se à seguite epressão para as aplitudes odais: W (3.73) 4C0Vd 3 tas cos cos cos cos Itroduzido as aplitudes odais forecidas por (3.73) e (3.59), obté-se a resposta vibratória da placa e regie harôico peraete, o doíio do tepo. A aálise da equação (3.73) revela que eiste dois fatores que deteria a aior ou eor participação de u dado odo a resposta da placa. O prieiro fator está relacioado co a proiidade da freqüêcia de ecitação co a freqüêcia atural do odo. Co efeito, se o tero 0 participação prepoderate a resposta., W, o que iplica que o odo (,) terá O segudo fator está relacioado co a posição do PZT, através dos arguetos das fuções cosseo da equação (3.73). Cosiderar-se-ão esta aálise os casos e que o

77 50 eleeto piezoelétrico está sietricaete posicioado e relação a cada u dos eios édios da placa, ou e relação a estes dois eios siultaeaete. o Caso: Sietria e relação ao eio, (Figura 3.7). Figura 3.7 Sistea placa-piezoelétrico. Represetação da sietria do eleeto pizoelétrico e relação a. Neste caso, vale a relação: (3.74) Substituido as equações (.04) e (3.74) os teros de argueto da equação (3.73) escreve-se: cos cos (3.75) Desevolvedo a equação (3.75) obté-se: cos cos cos (3.76) Desta fora, quado é par, a epressão (3.76) assue a fora:

78 5 cos cos 0 (3.77) Por outro lado, quado é ipar a epressão (3.76) assue a seguite fora: cos cos cos (3.78) Assi, verifica-se que para o caso do eleeto piezelétrico estar posicioado sietricaete e relação a, os odos co par ão participa da resposta da placa, que fica etão eclusivaete deteriada pela cotribuição dos odos co ípar. o Caso:Sietria e relação ao eio, (Figura 3.8). Figura 3.8 Sistea placa-piezoelétrico. Represetação da sietria do eleeto pizoelétrico e relação a. Quado o eleeto piezoelétrico está sietricaete posicioado e relação ao eio, vale a seguite relação: (3.79)

79 5 Substituido as equações (.04) e (3.79) os teros de argueto da equação (3.73) escreve-se: cos cos (3.80) Desevolvedo a equação (3.80) obté-se: cos cos cos (3.8) Desta fora, quado é par, a epressão (3.8) assue a fora: cos cos 0 (3.8) Por outro lado, quado é ipar a (3.80) fica: cos cos cos (3.83) Assi, verifica-se que quado o eleeto piezelétrico está posicioado sietricaete e relação, os odos co par ão participa da resposta da placa, que fica etão deteriada pela cotribuição dos odos co ípar.

80 53 3 o Caso: Sietria e relação a e, (Figura 3.9). Figura 3.9 Sistea placa-piezoelétrico. Represetação da sietria do eleeto pizoelétrico e relação a e. No caso e que eiste dupla sietria e relação a e siultaeaete, aalisase os arguetos das fuções cosseo da equação (3.73). Neste caso, vale as equações (3.74) e (3.79) que, substituídas, jutaete co a equação (.04) os arguetos das fuções cosseo da equação (3.73) coduze a: cos cos cos cos (3.84) Desevolvedo a epressão (3.84) escreve-se: cos cos cos cos cos cos (3.85) Assi, quado e são pares, (3.85) pode ser escrita coo:

81 54 0 cos cos cos cos (3.86) Se é ípar e é par, (3.85) resulta e: 0 cos cos cos cos (3.87) Quado é par e é ípar: 0 cos cos cos cos (3.88) Quado e são ípares, te-se: cos cos cos cos cos cos (3.89) Verifica-se, portato, que para o caso de sietria dupla, apeas os odos co e ípares cotribue a resposta da placa.

82 Capítulo IV Propagação de Odas Sooras e Radiação e Placas de Kirchhoff E uerosas situações o ruído é gerado pela vibração de copoetes estruturais. Coseqüeteete, há grade iteresse o estudo da acústica estrutural, que é ua área de pesquisa que egloba duas outras: a vibro-acústica, que estuda os processos evolvedo iteração acústica etre estruturas sólidas e fluidos, e ua outra liha de pesquisa que trata eclusivaete da propagação soora e estruturas, estuda todas as foras de vibrações de estruturas sólidas ocorridas e freqüêcias audíveis e que são ievitavelete acopahadas pela geração de so e fluidos cotíuos. Neste capítulo apresetar-se-ão os coceitos fudaetais relativos à propagação soora e estruturas e os fatores que govera a radiação soora e placas de Kirchhoff. 4.- Coceitos Básicos de Propagação Soora e Estruturas 4..- Odas ogitudiais, Trasversais e de Fleão Estruturas sólidas suporta tesões orais e de cisalhaeto. Devido a isso perite a propagação de dois tipos de odas vibratórias: logitudiais e trasversais. As odas logitudiais apreseta velocidade de deslocaeto da partícula coicidete co a direção de propagação da frete de oda. A Figura 4. apreseta as deforações logitudiais de u eleeto de placa.

83 56 u u u d d d Figura 4.- Deforação de oda logitudial e tesão oral. As odas trasversais apreseta deslocaeto de partícula perpedicular à direção de propagação da frete de oda. A Figura 4. apreseta a deforação de u eleeto de placa causado por ua oda trasversal, equato a fora cieática da oda trasversal ecotrase represetada a Figura 4.3. d d d Figura 4.-Eleeto de placa, deforação decorrete da propagação de ua oda trasversal pura.

84 57 ão deforada deforada Figura 4.3 Fora cieática da oda trasversal pura. Figura etraída de Fah, (00). A preseça de superfícies livres de tesão e placas iersas e gases te u efeito sigificativo as foras de oda que a placa é capaz de suportar. A ecessidade de restrição o deslocaeto oral às superfícies livres de tesões perite que ua deforação lateral sigificativa seja produzida por forças iteras atuado paralelaete a estas superfícies. Isto é chaado efeito de Poisso. Desta fora, ão eiste odas puraete logitudiais e placas, as si odas quase-logitudiais, que pode ser visualizadas através da Figura 4.4. ão deforada deforada Figura 4.4- Fora cieática da oda quase logitudial. Figura etraída de Fah, (00). Odas trasversais que atua o plao da placa produze deslocaetos paralelos ao plao édio da placa, ão sedo assi afetadas pela codição livre de tesões as superfícies paralelas. Quado ua oda logitudial icide de fora oblíqua sobre a superfície livre de tesões, esta gera a estrutura ua oda logitudial refletida e ua oda trasversal. Este processo produz a placa as odas de fleão. Neste caso, os deslocaetos das partículas tê copoetes orais e paralelas à direção de propagação da oda, cofore pode ser visto a Figura 4.5.

85 58 ão deforada deforada Figura 4.5- Fora cieática da oda de fleão. Figura etraída de Fah, (00). As odas de fleão apreseta ua característica que afeta sigificativaete a iteração acústica co os fluidos: elas são odas dispersivas, ou seja, propaga-se co velocidade depedete da freqüêcia, otado-se que a velocidade de propagação do so e fluidos ão depede da freqüêcia. A iteração fluido-estrutura tede a ser doiada por odas de fleão devido a dois fatores: a região de freqüêcias audíveis, as odas de fleão e placas e cascas apreseta a eor ipedâcia ecâica e relação a deais odas que se propaga e sólidos. Odas de fleão tabé ipõe as aiores aplitudes de deslocaeto, por uidade de desidade de eergia, a fluidos cotíuos Odas Quase-ogitudiais e Placas Uifores E ua deforação puraete logitudial de u sólido ifiito uifore e hoogêeo, cofore apresetado a Figura 4., a relação tesão-deforação logitudial é obtida através da teoria da elasticidade e pode ser escrita coo: u B (4.) ode B é dado por (Fah,00): E B (4.)

86 59 sedo E o ódulo de elasticidade, e o coeficiete de Poisso A velocidade de propagação da oda logitudial é dada por: c B l (4.3) ode é a desidade do aterial. Para placas uifores, e que apeas duas superfícies de ua faia de seção retagular estão livres de tesão e apeas a deforação oral à superfície da placa é possível, B pode ser escrito coo: E B (4.4) e a velocidade de propagação da oda quase logitudial é dada por: E c l ' (4.5) E geral velocidades de odas quase logitudiais ecede a velocidade do so o ar, sedo portato, eficietes radiadores sooros Odas de Fleão e Placas de Kirchhoff De acordo co o desevolvieto apresetado a Seção.8, a equação diferecial do ovieto de fleão e regie livre de ua placa fia, hoogêea e uifore é dada pela equação (.85). Particularizado esta equação para o caso de propagação uidirecioal e regie livre escreve-se:

87 60 4 D 0 4 s (4.6) t Busca-se as soluções de (4.6) sob a fora:,t itk f 0 e (4.7) ode k f é o úero de oda de fleão livre. Itroduzido (4.7) e (4.6) após calcular as derivadas de e relação a e a t obtése: 4 Dk f s (4.8) ode k f 4 s (4.9) D A velocidade de propagação de oda de fleão livre é dada por: c f (4.0) k f Substituido (4.9) e (4.0) é possível escrever: c f D 4 (4.) s A equação (4.) pode ser escrita coo: c, fc h (4.) f 8 l

88 6 Assi, através da equação (4.) costata-se que as odas de fleão são dispersivas, pois apreseta velocidade de propagação depedete da freqüêcia de ecitação Odas Plaas Trasversais e Placas de Kirchhoff Odas trasversais propagado-se e sólidos são resultates de tesões de cisalhaeto associadas a deforações de cisalhaeto. A relação tesão deforação é dada por: G (4.3) ode G é o ódulo de cisalhaeto de u sólido elástico, defiido a equação (.). A equação do ovieto trasversal, a direção z, de u eleeto de espessura uitária, é dada por: t (4.4) ode é o deslocaeto trasversal a direção. Derivado a equação (4.3) e relação a e substituido a equação resultate e equação (4.4) obté-se a equação da oda trasversal, que é dada por: G 0 t (4.5) Quado a oda trasversal é harôica, a equação (4.5) assue a seguite fora: G ~ 0 (4.6)

89 6 A velocidade de propagação da oda trasversal é dada por: c G s (4.7) Através da equação (4.7) verifica-se que a oda trasversal é ão dispersiva, ua vez que sua velocidade de propagação idepede da freqüêcia. E sólidos elásticos e isotrópicos, c s é aproiadaete 60% da velocidade de propagação de odas quase-logitudiais Freqüêcia Crítica E vibroacústica eiste u feôeo chaado coicidêcia etre odas de fleão e placas e odas acústicas e fluidos. Este feôeo é caracterizado pela eistêcia de ua freqüêcia chaada de freqüêcia crítica para a qual a velocidade da oda de fleão é igual a velocidade do so o fluido circudate. Assi, podeos escrever: c f cc c f (4.8) Substituido (4.) e (4.8) obteos: c c D 4 (4.9) s Desta fora teos que a freqüêcia crítica é dada por: f c c s D (4.0)

90 Ipedâcia de Oda e Fluidos A trasissão de eergia de oda sobre iterfaces etre diferetes copoetes estruturais ou etre fluidos e estruturas depede crucialete da ipedâcia relativa de oda e da coeão co o eio sedo estes fatores fuções do úero de oda. Defie-se ipedâcia de oda coo sedo ua reação de u sistea distribuído a ua ecitação harôica dada por ua distribuição espacial de força, ou de velocidade, que possui apeas u úero de oda. Cosiderar-se-á a ipedâcia de oda apresetada por u fluido que se propaga devido a ua perturbação causada por ua superfície plaa. A Figura 4.6 apreseta a propagação do fluido ao logo da superfície plaa. z cf k A ~ k Figura 4.6 Propagação de oda e ua iterface plaa. O síbolo presete a Figura 4.6 represeta o coprieto de oda e é dado por: c (4.) f A ipedâcia apresetada pelo fluido coo ua reação ao distúrbio causado por esta oda deteria: a pressão do fluido o cotoro. a eficiêcia co que a oda irradia eergia soora. A velocidade oral de ua oda trasversal harôica plaa pode ser epressa a fora coplea epoecial coo sedo:

91 64 ~ i tk u,t Ae (4.) ode k é u úero de oda arbitrário e A ~ é a aplitude coplea de pressão soora. O capo de pressão soora do fluido deverá satisfazer a fora bi-diesioal da equação de Helholtz, que é dada por (Fah, 00): p~ p~ z k p~ 0 (4.3) A solução geral da equação (4.3) é dada por:,z ik ikzz B ~ e e (4.4) p~ ode: k k z k (4.5) B ~ é aplitude coplea de pressão soora. k é a copoete e do úero de oda acústica k. k z é a copoete e z do úero de oda acústica k. Quado o fluido te ovieto oral à direção z=0, escreve-se: k k f (4.6) Substituido (4.6) e (4.5) obté-se: k z k k f (4.7) Obté-se a aplitude do capo de pressão soora aplicado a equação de oetos a direção z, a superfície:

92 65,z p~ z z0 ik z B ~ e ik f i u ~ ik f i A ~ 0 0 e (4.8) A solução do capo de pressão toa a fora: p~ A ~ 0 f (4.9) ik i k k f z,z k k e e A ipedâcia da oda de fluido presete o cotoro é dada por: z k 0, 0 ~ u ~ p, (4.30) Substituido as equações (4.) e (4.9), co z=0 e t=0, e (4.30) obté-se a ipedâcia acústica específica de oda: z k k 0 k f 0 c k f k (4.3) A equação (4.3) é de grade iportâcia prática, pois represeta a ipedâcia de radiação específica, que pode ser utilizada para deteriar a eficiêcia da radiação soora para qualquer fora de capo vibracioal o cotoro da placa. Aalisado a equação (4.3) verifica-se que: Se o úero de oda de fleão k f é eor que o úero de oda acústica k, ou seja, c f > c, as odas de fleão são supersôicas (acusticaete rápidas). A placa vibra co freqüêcia superior à freqüêcia de coicidêcia. A ipedâcia apresetada pelo cotoro do fluido é real (resistiva). Portato, eiste eergia soora radiada para z k k f c quado 0 ou. k Se o úero de oda de fleão k f é aior que o úero de oda acústica k, ou seja, c f < c, as odas de fleão são subsôicas (acusticaete letas). A placa vibra

93 66 co freqüêcia iferior à freqüêcia crítica. A ipedâcia apresetada pelo cotoro do fluido é iagiária (puraete reativa) positiva e proporcioal à freqüêcia, idicado que o fluido apreseta ua reação iercial. Neste caso, a equação (4.9) idica que o capo de pressão cai epoecialete co o aueto da distâcia à superfície. Não há potêcia soora radiada, as apeas ua perturbação do fluido a região próia à superfície. Quado o úero de oda de fleão é igual ao úero de oda acústica, a placa vibra a freqüêcia crítica, as odas de fleão propaga-se co a esa velocidade das odas acústicas. Devido a isso são deoiadas odas de fleão sôica. Neste caso a ipedâcia é ifiita. 4.-Radiação de ruído de ua placa fiita. Na seção aterior verificou-se que placas vibrado abaio da freqüêcia crítica ão gera potêcia soora. Poré esta coclusão é válida apeas teoricaete, ua vez que a prática verifica-se que placas fiitas são capazes de radiar quado vibra abaio da freqüêcia crítica. Isto decorre do fato que durate a vibração da placa o fluido ove-se de ua região de deslocaetos positivos para ua região de deslocaetos egativos, cofore ostra a Figura 4.7, que ilustra a radiação de ua placa de cotoros rígidos. Figura 4.7- Radiação de ua placa fiita Através da Figura 4.7 verifica-se que apeas as etreidades ão ocorre o cacelaeto dos efeitos de células vizihas, o que sigifica que soete o cotoro da placa o fluido é sigificativaete copriido. Depededo do tipo de odo predoiate de vibração da placa, siétrico ou atisiétrico, ocorre a iteração costrutiva ou destrutiva do capo sooro, cofore ostra as Figuras 4.8 e 4.9.

94 67 Placa Defletora Residual Figura 4.8 Placas radiado e freqüêcias subcríticas. Modo siétrico; iteração costrutiva. Placa Defletora Residual Figura 4.9 Placas radiado e freqüêcias subcríticas. Modo ati-siétrico; iteração destrutiva. Verifica-se que ua placa co cotoros livres apreseta baia eficiêcia de radiação porque as zoas liites ão pode copriir o fluido. Isto pode ser ais claraete visualizado a Figura 4.0. Figura 4.0 Feôeo de cacelaeto e placas co cotoro livre radiado e freqüêcias subcríticas

95 Ecitação de Ua Placa Retagular Siplesete Apoiada por ua Fote Soora Moopolo. Cosidere-se ua placa retagular siplesete apoiada as quatro etreidades cujo aortecieto estrutural é desprezível. Sobre esta placa icide obliquaete ua oda acústica plaa. A Figura 4. ilustra o sistea placa-oda icidete be coo o sistea de coordeadas adotado. Oda Plaa Icidete p i z i i Figura 4.- Sistea oda icidete placa e sistea de coordeadas. A oda plaa de pressão soora que icide sobre a placa pode ser descrita através da seguite equação: p i i tk sei cosik sei se,,t P e i i (4.3) ode P i é a aplitude da pressão soora, é a freqüêcia da oda de pressão soora k é o úero de oda acústica i e i são os âgulos de icidêcia da oda plaa a placa,, sistea de referêcia de coordeadas da placa.

96 69 De acordo co o desevolvieto apresetado a Seção.8, a equação do ovieto da placa é dada pela equação (.85); repetida abaio p D s (4.33) Para o cálculo do capo acústico radiado é ecessário cohecer o capo de deslocaetos da placa. De acordo co o desevolvieto apresetado a Seção 3.3, este pode ser descrito através da seguite equação: se se t W, (4.34) Itroduzido a solução (4.34) e (4.33), após avaliação das derivadas idicadas, obté-se: se se t W D + t i p e P h se se W (4.35) ode: i i i i se k se cos k se i P i e P (4.36) Utilizado a propriedade de ortogoalidade das autofuções (vide desevolvieto de equações (3.58) a (3.60)), da equação (4.35) obté-se: P DW h W

97 70 e it 0 0 P se se dd (4.37) Cosiderado ovieto harôico, escreve-se: W it We (4.38) Assi, it We (4.39) W Substituido (4.39) e (4.37), após aipulações algébricas chega-se a: W 0 0 P se se dd Ph Ph 4 (4.40) co as freqüêcias aturais dadas por: r a b D (4.4) Substituido a equação (4.36) e (4.40) escreve-se: W 0 0 P e i i k sei cosik sei sei 4 P h se se dd (4.4) fora: Para facilitar o desevolvieto o uerador da equação (4.4) é epresso sob a

98 7 I Pi k sei cos i i k se se d e i i se d i se e 0 0 (4.43) ou: I P I i I Desevolvedo prieiraete I : I 0 e i k sei cosi se d (4.44) O resultado da itegração idicada depede de ua das seguites situações: a Situação: k (4.45) sei cosi Neste caso, te-se: I se i cos se i (4.46) Coo é sepre u úero iteiro, a equação (4.46) fica: I i (4.47) a Situação: k (4.48) sei cosi

99 7 Neste caso (4.44) te a seguite solução geral: I e ik sei cosi cos ik se cos e k sei cosi i i ik sei cosi se (4.49) Sedo u úero iteiro, a equação (4.49) assue a fora: I i k se cos e i k se cos i i i (4.50) Desevolve-se agora I, dado por: I 0 e i k sei sei se d (4.5) Cosiderado ovaete as duas situações, te-se: a Situação: k se i se i (4.5) I se i cos se i i (4.53) a Situação:

100 73 k se i se i (4.54) I e ik sei cosi cos ik se cos e k se cos i i i i ik sei cosi se (4.55) I k se se e ik sei sei i i (4.56) Desta fora, a equação (4.4) pode ser epressa da seguite fora e fução de I e I : i W (4.57) Ph 4 P I I Itroduzido as relações: I ' I ' I I (4.58) a equação (4.57) é reescrita sob a fora: ' ' pi 4Pi I I W (4.59) Ph A equação (4.59) represeta as aplitudes odais de vibração da placa causada pela icidêcia de ua oda plaa.

101 74 A aálise da equação (4.59) revela que eiste dois fatores que deteria a aior ou eor participação de u dado odo a resposta da placa. O prieiro fator está relacioado co a proiidade da freqüêcia de ecitação co a freqüêcia atural do odo. Co efeito, 0 se o tero participação prepoderate a resposta. dos teros pi, W, o que iplica que o odo (,) terá O segudo fator está relacioado co a posição de icidêcia da oda plaa, através ' I e (4.53), ou (4.50) e (4.56). (4.56). ' I presetes a equação (4.59) e calculados através das equações (4.47) e Cosiderar-se-ão esta aálise os casos e que são válidas as equações (4.53) e Quado 3 5 i,,..., a equação (4.53) fica: I ' (4.60) Assi quado é par, a equação (4.60) te-se: ' I 0 (4.6) Quado é ípar, a equação (4.60) toa a seguite fora: I ' (4.6) 3 5 Assi, verifica-se que para o caso e que a oda plaa icide co i,,...; os odos co par ão participa da resposta da placa, que fica etão eclusivaete deteriada pela cotribuição dos odos co ípar. Quado i 0,, 3..., a equação (4.56) reduz-se a : I ' (4.63)

102 75 Para par, te-se: ' I 0 (4.64) Quado é ípar: I ' (4.65) 3 5 Assi, verifica-se que para o caso e que a oda plaa icide co i,,...; os odos co par ão participa da resposta da placa, que fica etão eclusivaete deteriada pela cotribuição dos odos co ípar. Quado i =0,,, 3..., o produto dos teos pode ser escrito coo: ' I e ' I da equação (4.59) I ' I ' (4.66) A partir de (4.66) chega-se a : Para e são pares: ' ' I I 0 (4.67) Se é ípar e é par, a equação (4.66) te-se: ' ' I I 0 (4.68) Quado é par e é ípar:

103 76 ' ' I I 0 (4.69) Quado e são ípares, te-se: I 4 ' ' I (4.70) Verifica-se, portato, que para ípares cotribue a resposta da placa. i =0,,, 3..., apeas os odos co e 4.4-Radiação Soora de Placas Vibrates. Ua vez que o ovieto da placa devido a ua oda icidete foi copletaete deteriado a seção aterior realizar-se-á, esta seção, o procedieto de cálculo da pressão acústica radiada pela placa, devida ao seu ovieto vibratório. Para tato, será utilizada a aproiação da seguda itegral de Raleigh. O sistea de coordeadas da placa radiado pressão soora é ilustrado a Figura 4.. p(r) r R z i + i r s Fote Eleetar Figura 4. Sistea de Coordeadas de ua placa radiado pressão soora. A avaliação da itegral de Raleigh é provavelete a aproiação coceitual ais siples para o cálculo do capo sooro radiado por ua área de superfície vibrate.

104 77 A itegral de Raleigh forece a pressão coplea e u dado poto p(r) do capo sooro, e teros das velocidades copleas poto r s da superfície S de acordo co a epressão (Fuller,997): r s associadas co ua fote eleetar o p r S ikr i0 rs e ds (4.7) R ode: R é a distâcia do poto de observação à fote eleetar. r é vetor que forece a posição do poto de observação e relação à orige do sistea de coordeadas. r s é vetor que forece a posição da fote eleetar e relação à orige do sistea de coordeadas. r s é a copoete da velocidade oral à superfície S. o é a desidade do eio acústico. O vetor r pode ser epresso da seguite fora: r i j z k (4.7) p p p ode p, p, z p são as coordeadas retagulares que relacioa-se co as coordeadas esféricas do poto de aálise da seguite fora: p r secos (4.73) p r se se (4.74) z p r cos (4.75) O vetor r s pode ser epresso da seguite fora: r s i j (4.76) s s ode s, s são as coordeadas retagulares da fote eleetar a placa.

105 78 De acordo co a Figura 4., o vetor R é dado por: R r r s (4.77) Substituido as equações (4.7) e (4.76) e (4.77) obté-se: R i j z k i j (4.78) p p p s s Substituido as equações (4.73) a (4.75) e (4.78), o vetor R fica: R (4.79) r secos i r se se jr cosk s s Os ódulos dos vetores r, r s e R são dados pelas epressões: r s r r r r s se s cos s r cos r se se (4.80) (4.8) R R r se cos r secos r se se s s r se ses s r cos (4.8) Substituido as equações (4.80) e (4.8) e (4.8) obté-se: R s r r r secos r se se s s (4.83) No capo distate, ode R>>, pode-se fazer as seguites cosiderações: rs pode ser descosiderado, pois rs <<r. R r Utilizado estas cosiderações, a equação (4.83) pode ser escrita sob a fora:

106 79 R r s secos s se se (4.84) Deoiado s e s, substituido e (4.7) a equação (4.84) e a prieira derivada teporal da equação (4.34), a pressão soora radiada é epressa a seguite fora coplea : p r,, 0 0 i W 0 se se e r ik r secos sese dd (4.85) Para prosseguir o desevolvieto, escreve-se (4.85) sob a fora: p i W e ikr 0 ik se cos ik se se r,, se e d se e d r 0 0 (4.86) Adotado procedieto siilar àquele apresetado a Seção 4.4, defie-se: I 0 i e k secos se d (4.87) a Situação: k secos (4.88) Para I i (4.89) a Situação: k secos (4.90) Para

107 80 I k e ik secos secos (4.9) Calculado o segudo tero de (4.86): I 0 se e ik sese d (4.9) a Situação: k (4.93) Para se se I i (4.94) a Situação: k (4.95) Para se se I e ik sese k se se (4.96) Escrevedo a equação (4.86) e teros de I e I, te-se: p i ikr W 0 e (4.97) r,, I I r Cosiderado o ovieto harôico da placa, escreve-se: W i W e (4.98) it

108 8 Substituido a equação (4.98) e (4.97) chega-se a: r i t c 0e p r,, WI I (4.99) r Cosiderado R=r e substituido a equação (4.84) e (4.99) escreve-se : r se cos se se i t c 0e p r,, W I I (4.00) r Para capo distate pode-se fazer a seguite aproiação: (4.0) Substituido a equação (4.0) e (4.00) obté-se: 0e p r,, r se i t cos se c c r W I I (4.0) Desta fora, a pressão soora radiada pode ser epressa sob a fora: p r,, K WII (4.03) ode K é ua costate dada por: K i t e 0 r c R se cos se c (4.04)

109 8 Epregado o Pricípio da Superposição pode-se obter a epressão que forece a pressão soora total radiada siultaeaete por várias fotes resultates de ecitação harôica. No estudo e questão deseja-se cohecer os capos de pressão radiados pela fote priária descrita a seção 4.3, e pela placa istruetada co atuadores piezoelétricos, descrito a seção 3.3. Para tato, calcular-se-á a pressão radiada e cada u destes casos. A pressão radiada pela fote priária pode ser calculada da seguite fora: p e r i t c 0 r,, r W pi I I (4.05) pi ode W é a aplitude odal da ecitação causada por ua fote priária, que é dada pela equação (4.59). A pressão soora radiada por ecitação cotrolada, atuadores piezelétricos, é dada por: r i t c 0e c p c r,, W I I (4.06) r c ode W é a aplitude odal da ecitação causada por atuadores piezelétricos e dada pela equação (3.73). Quado a fote priária e os atuadores piezelétricos atua siultaeaete, ou seja, quado são utilizados atuadores piezelétricos o cotrole, o capo de pressão soora resultate pode ser visualizado coo ua superposição das pressões sooras calculadas através das equações (4.05) e (4.06), para u dado valor da freqüêcia de ecitação harôica. Desta fora escreve-se a pressão total coo sedo: p t p p c (4.07) 4.5-Eficiêcia de Radiação soora e Placas Vibrates.

110 83 A resistêcia à radiação correspodete aos odos aturais de ua placa retagular fiita é deteriada a partir da eergia total radiada o capo distate. A itesidade acústica o capo distate é dada por (Gerges,000): I r,, p r,, c (4.08) Utilizado a equação (4.86) que forece a pressão soora e capo distate a partir da Itegral de Raleigh, a itesidade acústica é epressa sob a fora: I r,, c coscos k se se W (4.09) 3 r ode: k secos (4.0) k se se (4.) Na equação (4.09) utiliza-se: cos quado é ípar. se quado é par. cos quado é ípar. se quado é par.

111 84 Itegrado a itesidade acústica sobre ua heisfera de raio r, obté-se a potêcia radiada total, que é dada por: 0 0 I r,, r sedd (4.) A eficiêcia de radiação do odo (,) é defiida por: (4.3) ode o tero represeta a édia espacial e teporal do quadrado da velocidade da superfície, que é dada por: W dd 0 (4.4) 0 Neste caso: 8 W (4.5) Wallace (97) defie a eficiêcia odal de radiação coo sedo: 8 (4.6) c W escrita coo: Cosiderado a sietria da itesidade acústica, a eficiêcia de radiação pode ser

112 85 d d se se cos se cos k (4.7) Cosiderado que o coprieto de oda acústica é uito aior que o coprieto da oda de fleão a placa,, epadido a itegral (4.7) e séries de potêcias e itegrado-a obté-se: f c f Quado e são ípares: k k ,, k k (4.8) Quado é ípar e é par: k k ,, k k (4.9) Quado e são pares: k k ,, k k (4.0) Quado o úero de oda acústico é oralizado pelo úero de oda da placa:

113 86 p k (4.) Defie-se a razão do úero de oda por: k p k (4.) Desta fora a eficiêcia de radiação assue a fora: Quado e são ípares: 8 8 3, (4.3) Quado é ípar e é par: , (4.4) Quado e são pares: , (4.5)

114 87 coo sedo: k / Para / e k >>, a eficiêcia de radiação é dada para todos os odos (4.6) A eficiêcia de radiação e u doíio de freqüêcias iterediárias pode ser obtida itegrado-se a equação (4.98). Através das equações (4.3) a (4.5), verifica-se que a eficiêcia de radiação depede dos seguites fatores:. Razão etre os úeros de oda. Núero do odo de vibração 3. Razão de aspecto, dada por: (4.7) A razão de aspecto é íia quado a área itraodal, ou área adjacete etre lihas odais, é quadrada. Quado, a placa pode vibrar segudo odos tipo cato ou odos tipo borda (ezi). Estas foras de vibração baseia-se a oção do cacelaeto da ifluêcia de células vizihas, restado células ão caceladas os catos ou as bordas, cofore pode ser verificado a figuras abaio.

115 88 Figura 4.3 Feôeo de cacelaeto e placas radiado e freqüêcias subcríticas - odo de cato. Figura 4.4 Feôeo de Cacelaeto e placas radiado e freqüêcias subcríticas - odo de borda. Através das figuras acia verifica-se que os odos tipo borda tê ua aior eficiêcia de radiação, eso quado as freqüêcias destes odos fore, e édia, eores que as

116 89 dos odos tipo cato, isto porque os odos tipo bordas tê áreas radiates aiores, sedo assi, resposáveis por ua aior potêcia radiada. 4.6-Diretividade de Fote. A fote priária, represetada pela oda soora plaa harôica e a placa istruetada co os eleetos piezoelétricos atua coo fotes sooras reais. Coo tais, elas ão apreseta u padrão uifore de radiação e todas as direções, pois eiste alguas restrições físicas, coo, por eeplo, o chão. Fotes reais radia segudo u Ídice de Diretividade, que é defiido por Gerges (000) segudo: DI 0 log D (4.8) ode D é o fator de diretividade que pode ser epresso da seguite fora: D I (4.9) I ref ode I é a itesidade soora a direção e à distâcia R da fote, descrita por: I p c (4.30) I ref é a itesidade soora de preferêcia, dada por: I ref pref c (4.3) Na equação (4.3), p ref 5 0 N/, é o valor de pressão soora de referêcia, correspodete ao liiar da audição e 000Hz.

117 90 Desta fora, o cálculo da itesidade soora a direção à distâcia R da fote priária, para o caso e aálise, pode ser realizado itroduzido a equação (4.05) e (4.30): I p c (4.3) Realizado a substituição das equações (4.3) e (4.3) e (4.9), o ídice de diretividade da fote priária, represetada pela oda plaa harôica pode ser calculado de acordo co: p (4.33) pref DI 0log De aeira siilar, a itesidade soora total do sistea, a direção à distâcia R pode ser calculada substituido-se a equação (4.07) e (4.30): I p t c (4.34) Substituido as equações (4.34) e (4.3) e (4.9), calcula-se o ídice de diretividade da placa istruetada co atuadores piezoelétricos e ecitada por ua oda plaa harôica oblíqua icidete. p t (4.35) pref DI 0log 4.7-Perda de Trasissão e Placas. Após o cotrole de vibração da placa há o iteresse e avaliar a perda de trasissão soora. Para tato, calcula-se prieiraete a potêcia acústica da oda plaa icidete, que é dada por:

118 9 c cos P i i i (4.36) A potêcia acústica radiada pela placa é dada por: c R t 4 (4.37) ode é potêcia acústica radiada, que pode ser calculada através da seguite equação: d d se p R ds p R t s t 0 0 (4.38) ode p t é calculado através da equação (4.07). A perda de trasissão pode etão ser calculada através da seguite relação: t i log T 0 0 (4.39)

119 Capítulo V Cotrole Ativo de Ruído As técicas de cotrole de ruído pode ser classificadas e dois grupos: técicas passivas e técicas ativas. As técicas passivas utiliza ateriais absorvetes, otados próios à fote, ou aderidos a ela. Estas técicas ostra-se ais eficietes para altas freqüêcias (acia de 500Hz), ua vez que para baias freqüêcias o volue de aterial absorvete ecessário para ua redução satisfatória do ível de ruído é cosideravelete auetado e co isso os custos tora-se uito elevados. Por outro lado, as técicas ativas utiliza o pricípio da superposição, criado ua iterferêcia destrutiva de odo que o ruído idesejado seja eliiado. Neste capítulo serão revistos os fudaetos do cotrole ativo de ruído (ANC), be coo as técicas de cotrole epregadas a sua ipleetação, tais coo cotrole feedback e feedforard. 5. Revisão Histórica O cotrole ativo de ruído teve iício a década de 30 co Paul ueg, que pateteou u sistea de cotrole de ruído o ao de 938. Nesta patete são utilizados dois pricípios básicos das técicas ativas: Iterferêcia e absorção (Tokhi,99). A iterferêcia baseia-se o pricípio da superposição de odas sooras. Por eio da superposição pode-se obter ua diiuição do ruído, podedo-se chegar até à sua copleta supressão. Co base este pricípio, ueg utilizou u trasdutor (fote de cotrole) para itroduzir ua perturbação secudária o sistea a fi de cacelar a perturbação priária e desta fora ateuar o ruído origial. Este sistea está ilustrado a Figura 5..

120 93 Figura 5.- Patete de ueg. Figura etraída de (Hase). Paul ueg utilizou o pricípio da absorção para sicroizar os ovietos do diafraga de u alto falate e oposição de fase co o ruído idesejado, de tal fora que a eergia acústica do ruído fosse absorvida pelo alto falate. Na década de 50, Olso desevolveu u absorvedor sooro eletrôico que era coposto por icrofoe, aplificador e alto-falate, cofore ilustrado a Figura 5..

121 94 Figura 5.- Absorvedor eletrôico de Olso. Figura etraída de (Hase). A idéia do cotrole ativo é relativaete siples. Poré o passado e sepre sua ipleetação pôde ser realizada co sucesso, devido ao fato de que havia liitações a ipleetação do cotrole. Atualete, co o desevolvieto do cotrole digital de rápido processaeto, o cotrole ativo de ruído torou-se viável e aplicações práticas. 5. Mecaisos Físicos Cofore visto o capítulo aterior, a itesidade soora e capo distate é proporcioal à pressão édia quadrática e a potêcia soora radiada total é igual à itesidade soora itegrada sobre ua superfície esférica. Desta fora, fica evidete que a potêcia soora radiada por ua fote eleetar pode ser iflueciada pela preseça de outra fote correlacioada. Cosiderado-se a eergia soora produzida por u pequeo eleeto de área de ua superfície vibrado haroicaete, a razão édia teporal e que o eleeto realiza trabalho e u fluido cotíuo circudate é dada pelo produto édio o tepo da velocidade de volue pela copoete da força de reação do fluido que está e fase co a velocidade. A preseça de outro eleeto de superfície vibrado a esa freqüêcia iduz ua pressão

122 95 adicioal o eleeto origial. Coseqüeteete, a potêcia soora radiada é alterada se esta pressão origial te ua copoete e fase co a velocidade do eleeto. A potêcia pode ser auetada ou diiuída depededo da defasage eistete etre os siais relativos às duas copoetes de pressão. O cotrole ativo de ruído baseado o ecaiso de cacelaeto utiliza siais gerados eletroicaete e que são itroduzidos o sistea através de trasdutores que coverte os siais eletrôicos e so. Esta perturbação secudária pode atuar o sistea causado o cacelaeto de ruído proveiete da fote priária. Neste caso, verifica-se que a ateuação do ível de ruído ocorre apeas localete, podedo até ser auetado e outras regiões. Isto ocorre devido ao fato que a eergia total dos ruídos gerados pela fote priária e pela fote secudária peraece ialteradas. De outra fora, verifica-se que quado a itrodução da fote secudária proove alterações a ipedâcia de radiação da fote priária, a ateuação obtida é global, ou seja, a potêcia soora radiada pela fote priária é total ou parcialete supriida e todos os potos do capo sooro. Este processo pode ser elhor eplicado através das seguites cosiderações: Fazedo co que todo capo sooro gerado pela fote secudária, ou quase todo ele, seja defasado de 80 0 e relação ao capo sooro origial, etão o so radiado pela fote priária poderia ser efetivaete cacelado. Poré verifica-se que este caso, o ecaiso de cotrole ão é propriaete o cacelaeto, ua vez que o capo sooro gerado pela fote de cotrole descarregou a fote priária, alterado sua ipedâcia de radiação fazedo co que ela irradiasse uito eos so. Para obter ua supressão efetiva da potêcia soora radiada pela fote priária, é ecessário que sua ipedâcia de radiação seja alterada de fora a torar-se puraete reativa. Isto pode ser coseguido utilizado ua fote de cotrole suficieteete grade e posicioada de aeira a ser capaz de apresetar a ipedâcia requerida pela fote priária. E três diesões é ecessário que a fote de cotrole esteja próia à fote priária e tabé teha taaho e velocidade de volue de saída siilares, a fi de alterar sigificativaete a ipedâcia de radiação. Quado o ruído idesejado é de atureza aleatória ou trasiete, o ecaiso de cotrole ão cosiste a udaça de ipedâcia de radiação da fote priária pois o ruído a ser cotrolado ão é periódico. Neste caso, a fote de cotrole absorve ou reflete a eergia da fote priária.

123 Técicas de Cotrole O cotrole ativo de ruído ecessita de cotroladores eletrôicos para o cotrole dos siais que alieta os atuadores. Estes cotroladores são costruídos utilizado diversas técicas, detre as quais as ais utilizadas são as técicas de cotrole Feedback (retroalietação) e Feedforard (alietação avaçada) Cotrole Feedback U sistea feedback de cotrole ativo de ruído é costituído de ua fote de cotrole, u sesor de erro e u algorito de cotrole. cofore ilustra Figura 5.3, que apreseta o cotrole ativo feedback de ua oda plaa propagado-se e u duto. Microfoe de erro Sial de Cotrole Cotrolador Eletrôico Sial de Erro Figura Cotrole ativo de ruído. Sistea feedback básico. Através da observação da Figura 5.3, verifica-se que os sisteas feedback u sesor de erro adquire o sial proveiete da fote priária, tabé chaado sial de erro, e o evia até o cotrolador eletrôico que o processa afi de produzir adequadaete u sial que será eitido pela fote de cotrole. Este processo é realizado de aeira que o sial de erro seja iiizado. As características do sistea de cotrole feedback são escolhidas de fora que a perturbação do sistea seja supriida o ais rapidaete possível. Adite-se que a ecitação e alha fechada do sistea ocorra devido à difereça etre as ecitações priária e secudária.

124 97 Este tipo de cotrole é ais eficiete a redução da resposta trasiete dos sisteas que a resposta, e regie peraete. É ideal para casos ode ão é possível aostrar a perturbação de etrada, ou para ruído aleatório. A desvatage dos cotroladores feedback está relacioada à sua ierete istabilidade e altas freqüêcias, quado a fase da resposta ão é facilete cotrolada. Esta característica dos cotroladores feedback pode causar sérios probleas a preseça de ruídos de alta freqüêcia, ou para casos de cotroladores feedback ão adaptativos, se o sistea físico sob cotrole sofre odificações e relação às codições oiais de projeto. Os probleas de estabilidade destes cotroladores pode ser iiizados posicioado-se o sesor de erro o ais próio possível da fote de cotrole, de fora a iiizar o atraso do sistea e aiizar a autocorrelação do ruído e itervalos de tepo superiores ao atraso do sistea. Eeplos da utilização prática do cotrolador feedback iclue protetores auriculares ativos, sisteas de suspesão veicular ativa e cotrole ativo de vibração estrutural. Poré eiste alguas aplicações para as quais a utilização do cotrolador feedback ão é adequada, etre as quais estão o cotrole de odas acústicas propagado-se e dutos, ode a refleão é egligeciável e o cotrole de odas de fleão e estruturas ode ão ocorre refleão Cotrole Feedforard U sistea feedforard de cotrole ativo de ruído é costituído de ua fote de cotrole, u sesor de referêcia, u sesor de erro e u algorito de cotrole, cofore ilustra Figura 5.4, que apreseta o cotrole ativo feedforard de ua oda plaa propagadose e u duto. Microfoe de Referêcia Microfoe de erro Cotrolador Eletrôico Sial de Cotrole Sial de Erro Figura 5.4- Cotrole Ativo de Ruído Básico, Sistea Feedforard.

125 98 No sistea de cotrole feedforard, o sial da fote priária é obtido pelo sesor de referêcia e trasitido ao cotrolador através da fote de cotrole. A efetividade do cotrolador é edida pelo sesor de erro que forece u sial para o algorito de cotrole utilizar o ajuste a saída de aeira a iiizar o erro. O tepo de processaeto do cotrolador deverá ser uito eor que o tepo ecessário para o sial acústico propagar-se do sesor de referêcia à fote de cotrole, para ruído de bada larga. O cotrole feedforard ostra-se ais eficiete a redução da resposta e regie peraete que a resposta trasiete. Ele tabé perite que a otiização do sistea físico e do cotrolador seja feita separadaete. Devido à sua estabilidade ierete, cotroladores feedforard tê sido ais freqüeteete epregados que os do tipo feedback, quado se dispõe do sial de referêcia correlacioado co o sial de erro. A técica de cotrole utilizada este trabalho equadra-se detre os cotroladores feedforard ão adaptativos, ua vez que o sial de cotrole é processado co o cohecieto prévio do sial eitido pela fote priária Cotrole Ótio E coforidade co a teoria apresetada o Capítulo 4, cosidera-se que a fote priária eita odas sooras plaas que icide obliquaete sobre ua placa siplesete apoiada. Co o objetivo de reduzir o so radiado e capo distate, a placa é utilizada coo fote secudária, sedo seu ovieto ecitado por atuadores piezoelétricos a ela acoplados. É descrita a seguir ua teoria de cotrole, desevolvida por Fuller et al. (99), que pode ser cosiderada do tipo feedforard, destiada a otiizar a voltage coplea a ser aplicada aos atuadores piezelétricos, co vistas à iiização da potêcia acústica total radiada (pela fote priária e pela placa) o capo distate. Quado as fotes priárias e os atuadores piezelétricos atua siultaeaete, o capo de pressão soora resultate pode ser cosiderado coo resultate da superposição das pressões sooras parciais, dadas pelas equações (4.05) e (4.06), para ecitação harôica e regie peraete. Assi, te-se:

126 99 p t p p c N s N c P B i j j j l C o d3v Al t l (5.) ode: N s é o úero de fotes sooras, N c é o úero de atuadores piezoelétricos, P i é a aplitude da pressão icidete, B j e Al são as fuções de distribuição de pressão soora resultates da oda plaa icidete e da ecitação da placa pelos eleetos piezoelétricos, respectivaete. De acordo co os desevolvietos apresetados as Seções 4.3 e 4.4, tais fuções são dadas por: B j K Q Pi j I I (5.) A l K Q c l I I (5.3) Nas equações (5.) e (5.3) K, I e I são dados pelas equações (4.04), (4.9) e (4.96) Pi c respectivaete. Q j e Q l são dados por: Pi Pi Wj Qj (5.4) Pi j Q c l W Cod c l 3 V t l (5.5) O cotrole do capo sooro pode ser coseguido através de ua escolha apropriada da voltage V, e teros de sua aplitude e fase. Para tato, a fução objetivo a ser iiizada é defiida coo sedo a itegral da pressão soora édia quadrática sobre ua

127 00 heisfera de raio R e capo distate. Esta fução objetivo é proporcioal à potêcia acústica radiada dada por (4.38), repetida abaio: d d se p ds p R S t t 0 0 (5.6) Substituido a equação (5.) e (5.6) verifica-se que a fução objetivo é quadrática, possuido portato u úico íio. Escrevedo a equação (5.) a fora atricial: A Ns Ns A A A B Ns Ns B B B N s Ns i i i P P P q N s Ns o o o t V d C t V d C t V d C p (5.7) e substituido a equação (5.7) e (5.), a epressão da pressão total pode ser calculada através da seguite epressão: p A q B p T T t (5.8) Desta fora, escreve-se a pressão édia quadrática coo: * * * * p A q B p A q B p T T T T T t (5.9) ode os superscrito * idica a cojugação coplea e T deota a trasposição atricial. Desevolvedo a equação (5.9) obté-se: * * * * * * Re q B B q p A B q p A A p T T T T T T (5.0)

128 0 Substituido a equação (5.0) e (5.6), a fução objetivo pode ser escrita sob a fora: ~ T p A p T ~ * T q BA p q B q * * ~ Re (5.) ode T ~ * A A A se dd N c N c 0 0 (5.) ~ BA N c N c 0 0 B A T * sedd (5.3) ~ B B B N sedd (5.4) s N s 0 0 T * Pode-se verificar que as foras gerais dos eleetos típicos dos vetores defiidos acia são as seguites: ~ Ars 0 0 * s k l c klr * c s c klr K K Q Q I I sedd (5.5) r * c s ~ BArs 0 0 * s k l Pi klr * c s Pi klr K K Q Q I I sedd (5.6) r * c s ~ Brs 0 0 * s k l Pi klr * Pi s Pi klr K K Q Q I I sedd (5.7) r * Pi s Sedo o tero * ~ q B q costate, a fução objetivo (5.) pode ser redefiida coo: ~ ~ (5.8) q T B q *

129 0 Defiido-se : T ~ F, (5.9) T q B A A fução objetivo odificada pode ser escrita coo: ~ ~ T p A p p * T * Re F (5.0) Derivado a fução objetivo e relação estacioariedade: a p,ipõe-se a seguite codição de ~ p ~ * A p F 0 Assi, o cotrole ótio que iiiza a fução objetivo, é dado por: (5.) A ~ F p opt (5.) ode p opt é o vetor dos siais de cotrole ótio.

130 Capítulo VI Siulações Nuéricas e Resultados Neste capítulo apreseta-se os testes realizados a fi de validar a teoria apresetada os capítulos ateriores. São verificadas as ifluêcias de diferetes fatores o cotrole, tais coo taaho, úero e posicioaeto dos atuadores piezoelétricos. 6. Características da placa adotada. A placa escolhida é de aço, retagular, siplesete apoiada e suas quatro bordas. Suas propriedades físicas e geoétricas ecotra-se a Tabela 6.. Tabela 6.- Especificações da placa Módulo de Elasticidade E [N/ ] Desidade [kg/ 3 ] 7870 Coeficiete de Poisso 0,9 Espessura da Placa [] h 0,00 Diesão da Placa e, [] 0,38 Diesão da Placa e, [] 0,30 As freqüêcias aturais da placa, calculadas utilizado a teoria desevolvida o Capítulo, são forecidas a Tabela 6.. Tabela 6.- Freqüêcias aturais da placa [Hz] ,7 49,8 50,0 898, 384,5 978,9 88,7 350,8 6,0 999,3 485,6 079, , 59, 789,4 67,6 653,9 48,3 4 59,9 755,0 05, 403,4 889,7 484, 5 896,0 058, 3,8 706,5 9,8 787,

131 Ecitação de ua placa utilizado atuadores piezoelétricos. Os eperietos uéricos descritos esta seção fora realizados co o objetivo de caracterizar as vibrações trasversais da placa, iduzidas pela ativação de u par de atuadores piezoelétricos colados sietricaete sobre suas faces. Tais atuadores são coadados por siais harôicos defasados de 80 o de odo a solicitar a placa e fleão pura e regie vibratório. São eaiadas as ifluêcias da posição e das diesões dos atuadores sobre o coportaeto diâico da placa. Os parâetros característicos dos eleetos piezoelétricos adotados são dados a Tabela 6.3, correspodedo a ua cerâica do tipo PZT (Zircoato Titaato de Chubo) G- 95 (Crale & de uis, 987) Tabela 6.3 Propriedades da cerâica piezoelétrica G-95 Módulo de Elasticidade E [N/ ] Coeficiete de Poisso 0,3 Espessura do PZT t [] 0,000 Módulo Piezoelétrico d 3[ C/N] A fi de verificar a ifluêcia do posicioaeto do atuador a resposta da placa são cosideradas três cofigurações descritas a seguir. 6.. Cofiguração I. Na Cofiguração I u eleeto piezoelétrico é colado à placa a posição: =0,3, =0,36, =0,04 e =0,6, cofore represeta a Figura 6..

132 05 0 Figura 6.- Sistea placa-pzt, Cofiguração I. O sistea é ecitado co valores de freqüêcia =87,5 Hz e =87,8 Hz., próios às freqüêcias aturais dos odos (,) e (,), respectivaete, e e ua freqüêcia co valor iterediário etre estas ( =39,7 Hz). E cada caso, a resposta do sistea foi calculada utilizado a equação (3.73), que forece as aplitudes odais da placa, as quais fora oralizadas e db pela aior aplitude. Freqüêcia de ecitação 87,5 Hz As aplitudes odais obtidas para =87,5 Hz são apresetadas a Tabela 6.4 e as aplitudes dos deslocaetos trasversais da placa e regie harôico são apresetados graficaete a Figura 6.. Tabela 6.4- Cofiguração I. Aplitudes odais da placa ecitada pelas pastilhas piezoelétricas, =87,5Hz. [db] , -8, -386,9-9, -40,8-47,0-378,3-78,3-38,4-86,3-397,8 3-5,7-379,5-77,9-38,3-84,7-396,0 4-55,4-38,9-79,3-38,9-84,9-395,9 5-59, -385,0-8,7-383,7-86,3-397,0

133 06 Através da Tabela 6.4 verifica-se que o odo ao qual correspode a aior aplitude é o odo (,) sedo, portato o odo predoiate a resposta. Tal predoiâcia é cofirada pela cofrotação da Figura 6. co a Figura.8, que revela a seelhaça eistete etre o capo de deslocaetos forçados e aquele correspodete ao odo (,). Os pequeos valores presetes as coluas ( =, 4 e 6) idica que estes odos ão são ecitados, tedo pequea participação a resposta. Este resultado está de acordo co a aálise realizada a Seção 3.3, sobre os fatores que ifluecia a participação dos odos a reposta da placa. Coo esclarece a equação (3.77), para o caso e que o eleeto piezoelétrico está sietricaete posicioado e relação a, os odos co par ão participa da resposta da placa. Figura 6. Deslocaetos forçados da placa ecitada e 87,5Hz. Cofiguração I. Freqüêcia de ecitação 87,8 Hz As aplitudes odais obtidas para =87,8 Hz são apresetadas a Tabela 6.5 e as aplitudes dos deslocaetos trasversais da placa e regie harôico são apresetados graficaete a Figura 6.3.

134 07 Tabela 6.5- Cofiguração I. Aplitudes odais da placa ecitada pelas pastilhas piezoelétricas, =87,8Hz. [db] , 9-364,9-7,0-377,5-8,8-393, ,8-68,5-373, -77,0-388,7 3-40,3-369,4-68,4-37,0-75,5-386,8 4-45,6-37,4-69,9-37,7-75,7-386,7 5-49,8-375,7-7,40-374,6-77, -387,8 Verifica-se através da Tabela 6.5 que quado o sistea é ecitado a freqüêcia de 87,8Hz, o odo que ais cotribui a resposta é o odo (,). A Figura 6.3 ilustra o capo de deslocaetos trasversais da placa para o caso e aálise, observado-se a seelhaça deste capo co aquele correspodete ao odo (,), ilustrado a Figura.0. Figura 6.3 Deslocaetos forçados da placa ecitada e 87,8Hz. Cofiguração I.

135 08 Freqüêcia de ecitação 39,7 Hz As aplitudes odais obtidas para =39,7 Hz são apresetadas a Tabela 6.6 e as aplitudes dos deslocaetos trasversais da placa e regie harôico são apresetados graficaete a Figura 6.4. Tabela Cofiguração I. Aplitudes odais da placa ecitada pelas pastilhas piezoelétricas, =39,7Hz. [db] ,4-335,8-39,4-344,5-48,7-360, , -35,7-340, -43,9-355,5 3-8,5-336,9-35,5-338,9-4,4-353,7 4 -,8-339,5-36,9-339,6-4,6-353,6 5-6,8-34,7-39,3-34,5-44,0-354,7 A freqüêcia de 39,7Hz ecotra-se etre as freqüêcias aturais dos odos (,) e (,). Co isso, quado o sistea é ecitado esta freqüêcia a resposta obtida é ulti odal. Este coportaeto é facilete verificado a Tabela 6.6, que ostra que o odo (,) apreseta a aior cotribuição a resposta, e que os odos (,) e (,) tê, tabé, participações sigificativas. A Figura 6.4 represeta a distribuição de aplitudes da reposta forçada do sistea, podedo-se otar que esta distribuição ão se asseelha a ehu dos odos de vibração idividualete.

136 09 Figura 6.4 Deslocaetos Forçados da placa ecitada e 39,7Hz. Cofiguração I. 6.. Cofiguração II. Na cofiguração II os eleetos piezoelétricos fora colados à placa a seguite posição: =0,04, =0,34, =0,3 e =0,7, cofore represeta a Figura 6.5. Figura 6.5- Sistea placa-pzts, Cofiguração II.

137 0 Freqüêcia de ecitação 87,5 Hz As aplitudes odais obtidas para =87,5 Hz são apresetadas a Tabela 6.7 e as aplitudes dos deslocaetos trasversais da placa e regie harôico são apresetados graficaete a Figura 6.4. Tabela Cofiguração II. Aplitudes odais da placa ecitada pelas pastilhas piezoelétricas, =87,5Hz. [db] ,7-56,0-6,7-7,8-373,9-37,0-374,3-378,8-384,7-393,6-695,5 3-7,3-7,3-74, -79,3-87,7-389, , -377,7-379,5-383,9-39,9-693,3 5-0,6-98,5-99,6-03,5 -,0-4, A aálise da Tabela 6.7 perite verificar que o odo (,) é o predoiate a resposta, pois apreseta aior aplitude de vibração. Observa-se tabé que os odos co ípar tê participação a resposta, equato os odos co par ão tê participações sigificativas. Tal resultado cofira a aálise realizada a Seção 3.3 para o caso e que o eleeto piezoelétrico está posicioado sietricaete e relação a, quado apeas os odos co ípar participa da resposta. A Figura 6.6 apreseta a distribuição dos deslocaetos forçados, observado-se a seelhaça deste padrão co o capo de deslocaetos correspodetes ao odo (,), apresetado a Figura.8.

138 Figura 6.6 Deslocaetos forçados da placa ecitada e 87,5Hz. Cofiguração II. Freqüêcia de ecitação 87,8 Hz As aplitudes odais obtidas para =87,8 Hz são apresetadas a Tabela 6.8 e as aplitudes dos deslocaetos trasversais da placa e regie harôico são apresetados graficaete a Figura 6.7. Tabela Cofiguração II. Aplitudes odais da placa ecitada pelas pastilhas piezoelétricas, =87,8Hz. [db] ,8 0 -,5-8,7-8, -330,3-90,5-38,3-334,5-340,8-349,8-65,8 3-6,4-6,7-30, -35,5-44,0-345, ,7-333,6-335,6-340, -348, -649,6 5-57,7-54,6-55,8-59,8-67,4-368,5 Coo pode ser observado a Tabela 6.8, a placa ecitada e 87,8Hz vibra co cotribuição prepoderate do odo (,), que apreseta o aior valor de aplitude odal. Verifica-se que eiste participação eos sigificativa dos deais odos co =. Este coportaeto é cofirado pela da Figura 6.7, que revela que o padrão de deslocaetos

139 forçados asseelha-se ao capo de deslocaetos correspodetes ao odo (,), represetado a Figura.9. Figura 6.7 Deslocaetos forçados da placa ecitada e 87,8Hz. Cofiguração II. Freqüêcia de ecitação 39,7 Hz As aplitudes odais obtidas para =39,7 Hz são apresetadas a Tabela 6.9 e as aplitudes dos deslocaetos trasversais da placa e regie harôico são apresetados graficaete a Figura 6.8. Tabela Cofiguração II. Aplitudes odais da placa ecitada pelas pastilhas piezoelétricas, =39,7Hz. [db] ,5 0-8,0-4,9-4, -36,3-39,6-35,8-330,9-337,0-345,9-647,9 3-3,8-3, -6,3-3,6-40, -34,7 4-33, -39,9-33,8-336,3-344,3-645,7 5-53,9-50,8-5,9-55,8-63,4-364,5 Assi coo a cofiguração I, tabé o sistea de cofiguração II ecitado e 39,7Hz apreseta u coportaeto ulti odal. No etato, os odos predoiates este caso são os odos (,), (,) havedo aida cotribuição eor dos deais odos

140 3 co =. Na Figura 6.8 verifica-se que a distribuição de aplitudes da resposta forçada do sistea ão se asseelha a ehu dos odos de vibração idividualete. Figura 6.8 Deslocaetos forçados da placa ecitada e 39,7Hz. Cofiguração II Cofiguração III. Na cofiguração III os eleetos piezoelétricos fora colados à placa a seguite posição: =0,6, =0,, =0,3 e =0,7, coo ilustra a Figura 6.9.

141 4 0 Figura 6.9- Sistea placa-pzts, Cofiguração III. Freqüêcia de ecitação 87,5 Hz As aplitudes odais obtidas para =87,5 Hz são apresetadas a Tabela 6.0 e as aplitudes dos deslocaetos trasversais da placa e regie harôico são apresetados graficaete a Figura 6.0. Tabela Cofiguração III. Aplitudes odais da placa ecitada pelas pastilhas piezoelétricas, =87,5Hz. [db] ,8-6, -37,9-7,8-384, -369,8-688, -38,6-69,8-39,4-703,5 3-58,7-373,7-66,6-374,9-74, -386, ,7-689,3-38, -688,7-387,5-699,0 5-68,7-38,6-7,7-379,8-78, -389,4 De acordo co os resultados da Tabela 6.0, o eleeto piezoelétrico disposto a cofiguração III ão é eficiete a ecitação dos odos co e pares, fato que cofira a aálise desevolvida a seção 3.3 para o caso de atuador posicioado co dupla sietria.

142 5 O odo predoiate a reposta é o odo (,), que apreseta aior aplitude odal. Verifica-se que os odos co deais valores de e ípares tabé participa a reposta da placa. A Figura 6.0 ilustra os deslocaetos forçados do sistea, observado-se a seelhaça etre o capo de deslocaetos forçados ecotrado este caso e aquele correspodete ao odo (,), represetado a Figura.8. Figura 6.0 Deslocaetos forçados da placa ecitada e 87,5Hz. Cofiguração III. Freqüêcia de ecitação 87,8 Hz As aplitudes odais obtidas para =87,8 Hz são apresetadas a Tabela 6. e as aplitudes dos deslocaetos trasversais da placa e regie harôico são ostradas a Figura 6..

143 6 Tabela 6. - Cofiguração III. Aplitudes odais da placa ecitada pelas pastilhas piezoelétricas, =87,8Hz. [db] ,9-303, -4,6-35, -5,3-37,6-75,5-69,4-35,5-635, -334,8-647, ,3-9,7-38,3-7,6-39,5 4-38,5-63,4-34,4-63, -33,0-64,6 5 -,9-34,9-6, -33,3 -,6-33,9 Ebora a freqüêcia de ecitação 87,8Hz seja uito próia à do odo (,), verificase a Tabela 6. que este odo ão é ecitado e a resposta do sistea te participação prepoderate dos odos (,) e (3,). A eplicação para tal fato é feita a seção 3.3, que ostra que o posicioaeto do atuador ão perite a ecitação de odos co par. O presete caso é útil para itroduzir ua outra abordage utilizada para aalisar o grau de participação dos odos a resposta da placa, e fução da posição do eleeto piezoelétrico co respeito às lihas odais. Nota-se que quado u odo é tal que as arestas paralelas do atuador estão sietricaete posicioadas e relação a ua de suas lihas odais (que separa as regiões que se desloca co difereça de fase de 80 0 ), ão é possível ecitar este odo. No caso e questão, isto ocorre para os odos co e pares. Na Figura 6. é possível observar claraete o coportaeto ulti odal do sistea, otado-se que o capo de deslocaetos obtido ão é característico de ehu odo idividualete.

144 7 Figura 6. Deslocaetos forçados da placa ecitada e 87,8Hz. Cofiguração III. Freqüêcia de ecitação 39,7 Hz As aplitudes odais obtidas para =39,7 Hz são apresetadas a Tabela 6. e as aplitudes dos deslocaetos trasversais da placa e regie harôico são apresetados a Figura 6.. Tabela 6. - Cofiguração III. Aplitudes odais da placa ecitada pelas pastilhas piezoelétricas, =39,7Hz. [db] ,67 -,6-3,7 -,7-334, -35,0-637, -33,3-64,6-34,3-653,4 3-7,7-33,3-6,3-34,8-4,0-335,9 4-35,3-639,0-330,9-638,6-337,4-649,0 5-8,5-33,5 -,5-39,7-8,0-339,3 Através da Tabela 6. verifica-se que os odos co cobiações ípares de e apreseta as aiores participações a resposta. Isto cofere ao sistea u coportaeto ulti odal, que pode ser visualizado a Figura 6.. Observa-se que o padrão obtido ão é siilar ao de ehu odo idividual.

145 8 Figura 6. Deslocaetos forçados da placa ecitada e 39,7Hz. Cofiguração III Ecitação da placa por ua oda soora plaa oblíqua icidete. Nesta seção é estudado o coportaeto vibratório da placa quado ecitada por ua oda soora plaa harôica de icidêcia oblíqua que apreseta os seguites parâetros: âgulos de icidêcia i = 0 o e i =45 o ; aplitude da oda P i =0 N/ ; ( P i =4dB); São cosideradas três freqüêcias de ecitação distitas: 85Hz, 90 Hz e 40Hz. Os dois prieiros valores de freqüêcia são próios aos valores das freqüêcias aturais dos odos (,) e (,) e o terceiro é u valor iterediário etre estas. Para cada ua destas freqüêcias é calculada a resposta do sistea através da equação (4.59), que forece as aplitudes odais da placa, as quais fora oralizadas e db pela aior aplitude.

146 9 Freqüêcia de ecitação 85 Hz Na Tabela 6.3 apreseta-se as aplitudes odais obtidas para =85 Hz. Tabela 6.3- Aplitudes odais da placa ecitada por ua oda plaa, =87,5Hz. [db] * -64,5 * -86, * -55, * -87,3 * -07,0 * 3-57,9 * -8,6 * -98,9 * 4-8,9 * -0, * -7, * 5-78,7 * -95, * -08,3 * Na Tabela 6.3 utiliza-se o síbolo * as posições correspodetes às aplitudes dos odos =, =4 e =6 que, por sere ulas, resulta, após a oralização, a epressão ideteriada 0log 0 (0). Verifica-se que o odo predoiate a resposta é o odo (,), que apreseta aior valor de aplitude. Este resultado está de acordo co o esperado ua vez que a freqüêcia de ecitação é uito próia da freqüêcia atural deste odo. Cofore idica a equação (4.59), para ua dada posição da fote ecitadora e que seja possível a ecitação de u odo, a participação deste odo a resposta será tato aior quato ais próia for a freqüêcia de ecitação de sua freqüêcia atural. A Figura 6.3 represeta os deslocaetos forçados da placa (oralizados pela áia aplitude), observado-se que este padrão vibratório é característico do odo (,), ua vez que ão se verifica a preseça de lihas odais.

147 0 Figura 6.3 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete co freqüêcia de 85 Hz. Freqüêcia de ecitação 90 Hz Na Tabela 6.4 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa ecitada pela oda plaa oblíqua icidete de freqüêcia 90Hz. Observa-se que o odo correspodete à aior aplitude odal é o odo (,). Este resultado está de acordo co o previsto pela equação (4.59), já que a freqüêcia de ecitação é uito próia da freqüêcia atural deste odo. A Figura 6.4 ilustra o perfil de deslocaetos forçados da placa, observado-se a seelhaça deste co a distribuição característica do odo (,), que apreseta ua liha odal a direção, dividido sietricaete a placa a direção. Tabela 6.4- Aplitudes odais da placa ecitada por ua oda plaa, =90Hz. [db] ,9 * -50,8 * -73,3 * 0 * -66,9 * -87, * * -69, * -86,7 * 4-6,6 * -8,3 * -97,6 * 5-66,3 * -8,9 * -96, *

148 Figura 6.4 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete co freqüêcia de 90 Hz. Freqüêcia de ecitação 40 Hz Na Tabela 6.5 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete co freqüêcia de 40Hz. Nota-se que quado a oda icidete ecita a placa esta codição ão ressoate, a resposta do sistea coté a cotribuição prepoderate do odo (,), que apreseta aior aplitude a resposta. A Figura 6.5 evidecia este coportaeto, pois capo de deslocaetos forçados obtido asseelha-se à distribuição de deslocaetos característica do odo (,), ão havedo lihas odais e ehua direção. Tabela 6.5- Aplitudes odais da placa ecitada por ua oda plaa, =40Hz. [db] * * * -7.8 * * * 3-9. * * -7. * * * * * -67. * *

149 Figura 6.5 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete co freqüêcia de40 Hz. De acordo co a teoria apresetada a Seção 4.3, quado ecitada e ua dada freqüêcia, a placa passa a radiar pressão soora, sedo possível avaliar a cotribuição de cada odo de vibração a pressão soora radiada. Tal cotribuição é quatificada por u ídice de eficiêcia de radiação. Assi, para as freqüêcias de 85Hz e 90Hz fora calculadas as eficiêcias de radiação de cada odo, utilizado as equações (4.3), (4.4) e (4.5). Os valores obtidos são forecidos as Tabelas 6.6 e 6.7 e serão refereciados posteriorete quado da aálise dos resultados das siulações de cotrole ativo. Tabela 6.6 Eficiêcia odal de radiação da placa ecitada e =85Hz ,60-3 0,50-9 0, ,980-0, ,900-0, ,60-4 0,90-0,70-6 0,570-0, , ,30-0 0,00-5 0,640-0, ,0-0 0, ,840-0,50-7 0, , , ,0-0, ,00-0,00-7 0,80-3

150 3 Tabela 6.7 Eficiêcia odal de radiação da placa ecitada e =90Hz ,80-3 0,30-7 0,50-4 0,50-9 0,00-5 0,0-0 0,0-7 0,90-0,0-9 0,0-4 0,40-0 0, ,0-4 0,30-9 0,0-5 0,60-0 0,90-6 0,90-4 0, , ,0-0 0,90-5 0,0-0, ,30-5 0,80-0 0,30-6 0,70-0,50-7 0, Cotrole ativo do ruído epregado ua placa istruetada co atuadores piezoelétricos. A partir deste poto cosiderar-se-ão casos e que a placa é ecitada por ua oda plaa icidete e passa a atuar coo fote trasissora de ruído. Deseja-se cotrolar o ruído trasitido através do cotrole da vibração da placa. Para tato, são utilizados atuadores piezoelétricos colados sietricaete sobre as duas faces da placa. Cosidera-se a adesão perfeita. Os atuadores são ativados co defasage de fase de Este sistea é represetado a Figura 4.. A oda plaa icidete é descrita pela equação (4.3) Ifluêcia do taaho dos atuadores o cotrole. A fi de verificar a ifluêcia do taaho dos atuadores a redução da potêcia acústica total radiada (pela fote priária e pela placa istruetada) o capo distate, cosidera-se a situação e que a oda harôica plaa apreseta os seguites parâetros: âgulos de icidêcia i = 0 o e i =45 o ; aplitude da oda P i =,5 N/ ; ( P i =97,5dB); freqüêcias de ecitação: 85Hz e 90 Hz. O cetro do par de atuadores é posicioado e =0,9 e =0,5, que correspode ao cetro geoétrico da placa, cofore ilustrado a Figura 6.6.

151 4 Figura 6.6 Esquea ilustrativo da posição do par de atuadores o cetro da placa. A partir de diferetes diesões do atuador fora calculadas a tesão elétrica ótia, utilizado a equação (5.), e a perda de trasissão e capo distate, co R=0, utilizado a equação (4.39). Os resultados obtidos para os dois valores cosiderados da freqüêcia de ecitação ecotra-se as Tabelas 6.8 e 6.9 apresetadas a seguir. Tabela Ifluêcia do taaho dos atuadores. Freqüêcia de ecitação = 85Hz. Taaho do Atuador Redução Total da Potêcia Caso Voltage do atuador [V] [c c] Radiada [db] 55,8-54,3i 76, 64, -3,6i 76, ,6-6,i 76, , - 3,4i 76, ,3 -,5i 76, 6 0 0,7-0,6i 76, 7,9-0,4i 76, 8 5 5,3-0,3i 76, ,8-0,i 76, ,5-0,i 75,

152 5 Tabela Ifluêcia do taaho dos atuadores. Freqüêcia de ecitação da placa = 90Hz. Taaho do Atuador Redução Total da Potêcia Caso Voltage do atuador [V] [c] [c] Radiada [db] 45,9-73,7i 0,5 36,6-8,5i 0, ,4-8,3i 0, ,3-4,7i 0, , -,i 0, ,6-0,8i 0,5 7, - 0,6i 0, ,8-0,4i 0, ,6-0,3i 0, ,6-0,3i 0,5 Alterado a posição do cetro dos atuadores para as seguites coordeadas da placa: =0,7 e =0,5, cofore ilustra a Figura 6.7, e realizado o eso procedieto descrito para o caso aterior, cosiderado a freqüêcia de ecitação de 85 Hz, fora obtidos os resultados da Tabela 6.0. Figura 6.7 Esquea ilustrativo da posição do par de atuadores a placa.

153 6 Tabela Efeito do taaho dos atuadores, = 85Hz. Taaho do Atuador Redução Total da Potêcia Caso Voltage do atuador [V] [c] [c] Radiada [db] 59,3 55,0i 6,5 64,9 3,8i 6, ,0 6,i 6, ,4 3,5i 6, ,4,6i 6, ,8 0,6i 6, ,5 0,3i 6,5 Através da aálise das Tabelas 6.8, 6.9 e 6.0 verifica-se que o taaho do atuador piezoelétrico ão eerce ehua ifluêcia sobre a áia redução da potêcia soora total radiada. Observa-se tabé que a agitude da tesão ótia é iversaete proporcioal à área dos atuadores piezoelétricos. Este resultado, que já havia sido observados por Wag et al. (99), é uito sigificativo, pois os ateriais piezoelétricos apreseta liitações relacioadas aos liites de tesão elétrica que pode suportar, de odo a garatir a itegridade física do aterial e seu perfeito fucioaeto. Desta fora, é ecessário que a escolha do taaho das pastilhas seja copatível co os liites de tesão elétrica suportados pelo aterial Ifluêcia do úero e posicioaeto de atuadores o cotrole. O estudo da ifluêcia do úero de atuadores piezoelétricos o cotrole da potêcia acústica radiada é feito avaliado a perda de trasissão para diferetes úeros e posições dos atuadores. Cosidera-se que a oda oblíqua icidete plaa harôica que ecita a placa istruetada co atuadores piezoelétricos apresete os seguites parâetros: 40Hz. âgulos de icidêcia i = 0 o, i =45 o ; aplitude da oda P i =0 N/ ; ( P i =97,5dB); São cosiderados três valores distitos da freqüêcia de ecitação: 85Hz, 90 Hz e A resposta da placa é obtida cosiderado a superposição dos efeitos da oda icidete e dos atuadores piezoelétricos. A participação da oda icidete a resposta da placa, e teros das aplitudes odais, é calculada através da equação (4.59). Siilarete,

154 7 a participação dos atuadores piezoelétricos a reposta da placa é calculada através da equação (3.73), utilizado os valores ótios de tesão elétrica que iiiza a potêcia acústica total radiada o capo distate. Estes valores fora obtidos ediate a resolução da equação (5.). O padrão de diretividade de radiação soora é obtido para os casos e que a placa é ecitada apeas pela oda icidete e quado são superpostos os efeitos da oda icidete e dos atuadores piezoelétricos a placa. Para estes dois casos os ídices de diretividade fora calculados utilizado as equações (4.33) e (4.35), respectivaete. Nas sub-seções seguites são apresetados e aalisados os resultados obtidos de siulações de cotrole ativo cosiderado diferetes cofigurações Cotrole ativo utilizado a prieira cofiguração. Nesta cofiguração utiliza-se u par de atuadores fiado ao cetro da placa, as seguites coordeadas: = 0,7, = 0,, = 0, e = 0,8, coo ilustrado a Figura 6.6. Freqüêcia de ecitação 85 Hz Na Tabela 6. são apresetadas as aplitudes odais oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85 Hz e cotrolada pela ativação dos atuadores piezoelétricos. Assi coo as seções ateriores, a oralização é feita pelo aior valor de aplitude odal. Coparado os valores aqui obtidos co os da Tabela 6.3 verifica-se que os atuadores fora eficazes o cotrole do odo (,) ua vez que houve ua redução da orde de 40 db a aplitude deste odo. As pequeas aplitudes das coluas correspodetes a =, 4 e 6 são justificadas por dois fatores: a oda icidete ão ecita a placa os odos co par cofore ostra a equação (4.59) para =0 0, e o posicioaeto dos atuadores ão perite a ecitação dos odos co e par, cofore evideciado a seção 3.3 para o caso de sietria dupla. Observa-se tabé u aueto a participação dos odos (3,) e (,3). O perfil de deslocaetos forçados do sistea após o cotrole está apresetado a Figura 6.8, que evidecia o coportaeto ulti odal da resposta do sistea.

155 8 Tabela 6. - Aplitudes odais, [db], da placa cotrolada por u par de atuadores =85Hz , -353, -40, -358,3-5, -365,5-55, * -87,3 * -07,0 * 3-35,6-360,7-44,9-360,9-53,8-366,9 4-8,9-679, -0, -677,6-7, -683,0 5-45,5-367,7-49,9-364,8-57,0-369,4 Figura 6.8 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 85 Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. A Figura 6.9 represeta os padrões de diretividade de radiação para a placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85 Hz, se cotrole e cotrolada pelos atuadores piezoelétricos. Nas Figuras 6.0 a 6.49 ecotra-se represetadas as cotribuições de cada odo a diretividade de radiação da placa cotrolada. Nestas figuras verifica-se que o padrão dos ídices de diretividade de pressão soora radiada pela placa se cotrole é característico do odo (,). Para a placa cotrolada por u par de atuadores piezoelétricos, observa-se que eiste ateuação dos íveis de pressão

156 9 soora radiada. O padrão residual do ídice de diretividade obtido asseelha-se ao do odo (,), que é o ais represetativo da resposta do sistea. Verifica-se tabé a redução global do ível de pressão soora radiada. Figura 6.9- Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85Hz. ( ) : se cotrole; (_._): co cotrole. Figura Modo(,) Figura 6. - Modo(,) Figura 6. - Modo(,3) Figura Modo(,4) Figura Modo(,5) Figura Modo(,6)

157 30 Figura Modo (,) Figura Modo (,) Figura Modo (,3) Figura Modo (,4) Figura Modo (,5) Figura Modo (,6) Figura Modo (3,) Figura Modo (3,) Figura Modo (3,3)

158 3 Figura Modo (3,4) Figura Modo (3,5) Figura Modo (3,6) Figura Modo (4,) Figura Modo (4,) Figura Modo (4,3) Figura Modo (4,4) Figura Modo (4,5) Figura Modo (4,6)

159 3 Figura Modo (5,) Figura Modo (5,) Figura Modo (5,3) Figura Modo (5,4) Figura Modo (5,5) Figura Modo (5,6) A redução da potêcia soora total radiada foi de 76, db aplicado-se ao piezoelétrico i t a voltage ótia de V=(7,5-5,4i) e volts. O valor copleo da tesão elétrica idica a aplitude e a fase e que os atuadores deve atuar e relação à oda icidete, que são calculados segudo. co: i V=(7,5-5,4i) t it e Ve V 7, 5 5, 4 tg 5, 4 7, 5 A ateuação obtida pode ser eplicada através da aálise de algus fatores. Cofore ostra a Tabela 6.7, o odo (,), predoiate a vibração da placa ates do cotrole te eficiêcia de radiação da orde de 0-3. Após o cotrole, a placa passa a vibrar predoiateete o odo (3,) e este te eficiêcia de radiação da orde de 0-5. Desta

160 33 fora, verifica-se que esta cofiguração, após o cotrole, a placa perde eficiêcia de radiação e a potêcia soora radiada total é reduzida. Outro fator que ifluecia a redução da potêcia soora radiada total é a redução global das aplitudes de vibração da placa, coo ostra a Figura 6.50 que apreseta ua coparação das distribuições de deslocaeto da placa se e co cotrole. As curvas fora costruídas ao logo do plao édio horizotal. Redução Total da Potêcia Soora Radiada: 76, db V = 74,volts :-,99 o Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 85Hz, se cotrole e co cotrole. Freqüêcia de ecitação de 40 Hz Na Tabela 6. são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada por u par de atuadores. Através da observação das Tabelas 6.5 e 6. verifica-se que o odo (,) foi cotrolado e que os odos (3,) e (,3) tivera suas participações a resposta auetadas. Na Figura 6.5 estão represetados os deslocaetos forçados da placa cotrolada, observado-se o seu coportaeto ulti odal.

161 34 Tabela 6. Aplitudes odais da placa cotrolada por u par de atuadores =40Hz, [db] ,8-34,5-3, -33,6-5,6-338,9-7,8 * -54,5 * -74,5 * 3-8,0-333,8-8, -334,3-7, -340,4 4-50, -65,5-69,6-65, -84,8-656,4 5-8,9-34, -3,3-338,3-30,4-34,9 Figura 6.5 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 40 Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. A Figura 6.5 represeta os padrões de diretividade de radiação as codições se cotrole e co cotrole. Verifica-se ua redução total da potêcia soora radiada total de 34,5 db, aplicado-se aos piezoelétricos a voltage coplea ótia V= (57,6-0,7i) volts. A Figura 6.53 perite coparar as distribuições de deslocaeto da placa ao logo de seu plao édio horizotal, se e co cotrole, observado-se ua pequea redução global das aplitudes.

162 35 Figura 6.5- Diretividade.de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 40Hz. ( ):se cotrole; (_._) : co cotrole. Redução Total da Potêcia Soora Radiada: 34,5 db V : 6, volts : -9,77 o Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 40Hz, se cotrole e co cotrole. Freqüêcia de ecitação de 90 Hz Na Tabela 6.3 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 90Hz e cotrolada por u par de atuadores. Cofore ecioado ateriorete a Seção 3.3, este posicioaeto dos atuadores ão perite o cotrole do odo (,). Tal fato é evideciado a Tabela 6.3, que

163 36 ostra que ão houve ateuação ehua da participação do odo (,), que cotiua a ser doiate a resposta do sistea. Na Figura 6.54, observa-se que o padrão de respostas forçadas da placa obtido asseelha-se à distribuição de deslocaetos característica do odo (,), co ua liha odal perpedicular ao eio, passado pelo plao édio da placa. Tabela 6.3 Aplitudes odais [db], da placa cotrolada por u par de atuadores =90Hz ,3-335,6-7,8-346,8-40,8-354,3 0,0 * -66,9 * -87, * 3 -,9-348,5-33,3-349,5-4,5-355,7 4-6,6-667,6-8,3-666,3-97,6-67,7 5-34,0-356,3-38,6-353,6-45,7-358, Figura 6.54 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 90 Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. A Figura 6.55 represeta os padrões de diretividade de radiação as codições se cotrole e co cotrole. Após o cotrole ão se verifica redução o ível de pressão soora radiada devido ao fato, evideciado ateriorete, que o posicioaeto do atuador esta cofiguração ão é eficiete o cotrole dos odos co e pares.

164 37 Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 90Hz. ( ):se cotrole; (_._): co cotrole. A redução total da potêcia soora radiada total foi de apeas 0,5dB. Coo ão houve ateuação o odo predoiate da resposta, esta pequea redução pode ser justificada por ua ligeira redução da participação do odo (,) após o cotrole. De acordo co a Tabela 6.9, este odo apreseta aior eficiêcia de radiação. A tesão elétrica ótia aplicada foi V=(4,9 -,i) Volts. A Figura 6.56 perite coparar as distribuições de deslocaeto da placa ao logo de seu plao édio horizotal, se e co cotrole, observado-se que ão houve redução global das aplitudes de vibração. Redução Total da Potêcia Soora Radiada: 0,5 db V : 46,9 volts : -6,84 o Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 90Hz, se cotrole e co cotrole.

165 Cotrole ativo utilizado a seguda cofiguração. Nesta cofiguração são utilizados dois pares de atuadores piezoelétricos o cotrole, fiados a placa as seguites coordeadas: prieiro par de atuadores: = 0,075, = 0,5, = 0, e = 0,8. segudo par de atuadores: = 0,65, = 0,305, = 0, e = 0,8. Os parâetros acústicos utilizados são os esos da seção aterior. O sistea placaatuadores ecotra-se represetado a Figura Figura Seguda cofiguração do sistea placa e atuadores piezoelétricos. Freqüêcia de ecitação de 85 Hz Na Tabela 6.4 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolada por dois pares de atuadores. Da esa fora que as seções ateriores, a oralização é feita pelo aior valor de aplitude odal. Fazedo ua coparação etre as Tabelas 6.3 e 6.4 observa-se a ateuação das aplitudes do odo (,). A participação do odo (,) tabé foi reduzida. Etretato os odos (3,) e (,3) tivera suas aplitudes odais auetadas e relação ao sistea se cotrole. A Figura 6.58 apreseta o perfil de deslocaetos forçados, sedo possível verificar que a resposta do sistea é de atureza ulti odal.

166 39 Tabela Aplitudes odais da placa cotrolada por dois pares de atuadores =85Hz, [db] ,5-353,3-40, -358,3-5, -365,6-75,8-38, -66,9-384,7-78,4-39,5 3-37, -360,8-44,7-360,9-53,9-367, 4-8,9-676,3-0, -674,7-7, -679,9 5-45, -367,8-50, -364,9-56,9-369,5 Figura 6.58 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. A Figura 6.59 represeta os ídices de diretividade de radiação obtidos as codições se cotrole e co cotrole. Observa-se que o cotrole leva a ua ateuação global dos íveis de pressão soora. Para a cofiguração e estudo, a redução da potêcia soora total radiada foi de 87,5 db. A tesão elétrica ótia aplicada aos atuadores piezoelétricos é V =(5,3-8,9i) volts o prieiro par de atuadores e de V =(50,5 -,7i) volts o segudo par. A Figura 6.60 apreseta ua coparação das distribuições de deslocaeto da placa ao logo do plao édio horizotal, se e co cotrole, observado-se ua sigificativa redução global das aplitudes de vibração forçada.

167 40 Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85Hz. ( ):se cotrole; (_._): co cotrole. Redução Total da Potêcia Soora Radiada: 87,5dB Prieiro par de atuadores: V :5, volts :-9,84 o Segudo par de atuadores: V :5, volts :-4, o Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 85Hz, se cotrole e co cotrole. Freqüêcia de ecitação de 40 Hz Na Tabela 6.5 são apresetadas as aplitudes odais oralizadas de vibração da placa ecitada e 40Hz. Coparado os dados desta co aqueles forecidos a Tabela 6.5 ota-se que após o cotrole a participação dos odos (,) e (,) é reduzida, ocorredo u aueto sigificativo das aplitudes de vibração os odos (3,) e (,3) que passa a ser os ais sigificativos.

168 4 A Figura 6.6 represeta o padrão dos deslocaetos forçados da placa após o cotrole, sedo possível observar o coportaeto ultiodal. Tabela 6. - Aplitudes odais da placa cotrolada por dois pares de atuadores =40Hz, [db] , -3,8 -,5-39,9-3,9-337,3-43,3-349, -34,5-35,5-46,3-359,3 3-7,8-33, -6, -33,6-5,6-338,7 4-50, -647,7-69,6-646,3-84,8-65,6 5-6,8-339,4 -,7-336,6-8,7-34, Figura 6.6 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. A Figura 6.6 represeta os padrões de diretividade de radiação do sistea se cotrole e co cotrole. Mais ua vez, observa-se ua epressiva redução dos íveis de pressão soora radiada e capo distate. A redução total da potêcia soora radiada após o cotrole, utilizado dois pares de atuadores, foi de 49,4 db, e as tesões ótias aplicadas ao prieiro e segudo pares de atuadores fora V = (50,7-4,8i) volts e V =(48,5-0,7i) volts, respectivaete. A figura 6.63 apreseta ua coparação das aplitudes de vibração forçada da placa se e co o cotrole ativo. Observa-se ua pequea redução global das aplitudes de vibração forçada.

169 4 Figura 6.6- Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 40Hz. ( ) :se cotrole; (_._): co cotrole. Redução Total da Potêcia Soora Radiada: 49, db Prieiro par de atuadores: V :5,8 volts :-6,7 o Segudo par de atuadores: V :5,7 volts :-3, o Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 40Hz, se cotrole e co cotrole. Freqüêcia de ecitação de 90 Hz Na Tabela 6.6 são apresetadas as aplitudes odais oralizadas de vibração da placa. Coparado esta tabela co a Tabela 6.4, verifica-se que o odo (,) pôde ser cotrolado. O odo (,) tabé teve sua aplitude reduzida. Cotudo, houve u acréscio da participação dos odos (3,) e (,3) que se torara predoiates a resposta.

170 43 O perfil de deslocaetos forçados do sistea após o cotrole está apresetado a Figura 6.64, que evidecia o coportaeto ulti odal da resposta do sistea. Tabela Aplitudes odais da placa cotrolada por dois pares de atuadores =90Hz, [db] ,5-333,3-5,7-344,5-38,6-35,0-56,0-360,8-47, -365,5-59,4-37,5 3 -, -346,3-30,8-347,3-40,4-353,5 4-6,6-66, -8,3-66,0-97,6-666,4 5-3,4-354, -36,5-35,4-43,7-356,0 Figura 6.64 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 90Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. A Figura 6.65 represeta os padrões de diretividade de radiação obtidos para o sistea se cotrole e co cotrole. A redução total da potêcia soora radiada após o cotrole utilizado dois pares de atuadores foi de 43,5 db, para tesões ótias V = (5,8 -,7i) volts e V =(48, -8,8i) volts. A Figura 6.66 apreseta ua coparação das distribuições de deslocaeto da placa, ao logo do plao édio horizotal, se e co cotrole.

171 44 Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 90Hz. ( ):se cotrole; (_._): co cotrole. Redução Total da Potêcia Soora Radiada: 43,5 db Prieiro par de atuadores: V :56, volts :-,73 o Segudo par de atuadores: V :56, volts :-30,86 o Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 90Hz, se cotrole e co cotrole Cotrole ativo utilizado a terceira cofiguração. Nesta cofiguração são utilizados três pares de atuadores piezoelétricos o cotrole, fiados a placa as seguites coordeadas: prieiro par de atuadores: = 0,075, = 0,5, = 0, e = 0,8. segudo par de atuadores: = 0,7, = 0,, = 0, e = 0,8. terceiro par de atuadores: = 0,65, = 0,305, = 0, e = 0,8..

172 45 Os parâetros acústicos utilizados são os esos da seção aterior. O sistea placaatuadores ecotra-se represetado a Figura Figura Terceira cofiguração do sistea placa e atuadores piezoelétricos. Freqüêcia de ecitação de 85 Hz Na Tabela 6.7 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolada pelos três pares de atuadores. Da esa fora que as seções ateriores, a oralização é feita pelo aior valor de aplitude odal. Através da coparação das Tabelas 6.3 e 6.7, costata-se que os odos (,) e (,) fora cotrolados. No etato, houve u aueto das aplitudes dos odos (3,) e (,3), sedo este últio predoiate a resposta. Tal coportaeto é coprovado pela Figura 6.68 que ilustra o perfil de deslocaetos forçados da placa. Tabela Aplitudes odais da placa cotrolada por três pares de atuadores =85Hz, [db] ,7-353, -40, -358,3-5, -365,5-75,8-38, -66,9-384,7-78,4-39,5 3-49,9-378,8-63,9-378,9-7,5-385,0 4-8,9-697,6-0, -696,0-7, -70,3 5-65,0-385,8-67,7-38,9-75, -387,5

173 46 Figura 6.68 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. A Figura 6.69 represeta o padrões de diretividade de radiação e capo distate para as codições se cotrole e co cotrole. Verifica-se que eiste ua sigificativa redução do ível de pressão soora radiada. A redução total da potêcia soora radiada do sistea co cotrole é de 95,7 db, e a tesão aplicada ao prieiro par de atuadores é V = (,8-,8i volts, ao segudo par é V = (40,6-8,6i) volts e ao terceiro par é V 3 = (,9-6,7i) volts. A Figura 6.70 perite coparar as distribuições de deslocaeto da placa ao logo de seu plao édio horizotal, se e co cotrole, observado-se ua sigificativa redução global das aplitudes. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85Hz. ( ):se cotrole; (_._): co cotrole.

174 47 Redução Total da Potêcia Soora Radiada: 97,5 db Prieiro par de atuadores: V :,9 volts :-7,0 o Segudo par de atuadores: V :4,5 volts :-,96 o Terceiro par de atuadores: V :,9 volts :-7,0 o Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 85Hz, se cotrole e co cotrole. Freqüêcia de ecitação de 40 Hz Na Tabela 6.8 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada por três pares de atuadores. Coparado esta tabela co a Tabela 6.5, verifica-se que o sistea te os odos (,) e (,) cotrolados ua vez que houve redução das aplitudes destes odos. Poré, o odo (,3) tora-se predoiate a resposta, coo ilustra a Figura 6.7, que ostra o capo de deslocaetos forçados do sistea cotrolado. Tabela Aplitudes odais da placa cotrolada por três pares de atuadores =40Hz, [db] ,9-33,8 -,4-330,9-4,9-338,3-43,3-349, -34,5-35,5-46,3-359,3 3 -,0-35, -37,7-35,6-45, -358,7 4-50, -665,7-69,6-664,3-84,8-669,6 5-39,0-359,4-4,3-356,6-48,9-36,3

175 48 Figura 6.7 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada atuadores piezoelétricos. A Figura 6.7 represeta os padrões de diretividade de radiação obtidos as codições se cotrole e co cotrole. Observa-se ais ua vez ua epressiva redução do ível de pressão soora radiada para o sistea co cotrole. A redução total da potêcia soora radiada co cotrole, utilizado três pares de atuadores, foi de 60,5 db e as tesões aplicadas aos três pares de atuadores fora V = (0,7-4,i) volts, V = (34,8 -,5i) volts e V 3 =(8,6-0,0i) volts ao prieiro, segudo e terceiro par de atuadores, respectivaete. A Figura 6.73 apreseta as curvas das aplitudes de vibração forçada da placa ates e depois do cotrole, verificado-se ua ligeira ateuação das aplitudes. Figura 6.7- Diretividade de radiação da placa ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 40Hz.( ):se cotrole; (_._): co cotrole.

176 49 Redução Total da Potêcia Soora Radiada: 60,5dB db Prieiro par de atuadores: V :, volts :-,0 o Segudo par de atuadores: V :37,0 volts :-9,76 o Terceiro par de atuadores: V :, volts :-8,6 o Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 40Hz, se cotrole e co cotrole. Freqüêcia de ecitação de 90 Hz Na Tabela 6.9 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 90Hz. Através da coparação desta tabela co a Tabela 6.4 verifica-se que esta cofiguração é eficiete o cotrole dos odos (,) e (,), verificado-se cotudo o aueto da participação de outros odos de orde ais elevada. O odo predoiate a resposta cotrolada é o odo (,3), coo pode ser visto a Figura 6.74, que represeta o capo de deslocaetos forçados do sistea cotrolado. Tabela Aplitudes odais da placa cotrolada por três pares de atuadores =90Hz, [db] ,8-336, -8,3-347,3-4,4-354,8-55,9-360,8-47, -365,5-59,4-37,5 3-37,8-370, -56,6-37, -63,5-377,3 4-6,6-678,7-8,3-677,4-97,6-68,8 5-58,3-377,9-59,6-375, -67,6-379,8

177 50 Figura 6.74 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 90Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. A Figura 6.75 represeta os padrões de diretividade de radiação obtidos as codições se cotrole e co cotrole. Verifica-se que eiste ateuação global do ível de pressão soora radiada o capo distate. A redução total da potêcia soora radiada do sistea co cotrole é de 57, db, e as tesões aplicadas aos três pares de atuadores foi V = (8,4-4,8i) volts, V = (8,0-4,i) volts e V 3 = (4,8 -,9i) volts. A figura 6.76 apreseta ua coparação das aplitudes de vibração forçada da placa se e co o cotrole ativo.

178 5 Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 90Hz. ( ):se cotrole; (_._): co cotrole Redução Total da Potêcia Soora Radiada: 57,dB Prieiro par de atuadores: V :9,0 volts :-4,6 o Segudo par de atuadores: V :3,3 volts :-6,73 o Terceiro par de atuadores: V :9,0 volts :-38,80 o Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 90Hz, se cotrole e co cotrole Cotrole ativo utilizado a quarta cofiguração. Nesta cofiguração são utilizados quatro pares de atuadores piezoelétricos o cotrole, fiados a placa as seguites coordeadas: prieiro par de atuadores: = 0,075, = 0,5, = 0, e = 0,8.

179 5 segudo par de atuadores: = 0,70, = 0,0, = 0,95 e = 0,55. terceiro par de atuadores: = 0,65, = 0,305, = 0, e = 0,8. quarto par de atuadores: = 0,70, = 0,0, = 0,0450 e = 0,050. Os parâetros acústicos utilizados são os esos adotados a seção aterior. O sistea placa-atuadores ecotra-se represetado a Figura Figura Quarta cofiguração do sistea placa e atuadores piezoelétricos. Freqüêcia de ecitação de 85 Hz Na Tabela 6.30 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolada por quatro pares de atuadores. Coparado esta tabela co a Tabela 6.3, verifica-se que os odos (,), (,) e (3,) fora cotrolados, ua vez que tivera suas aplitudes de vibração reduzidas. No etato houve u crescieto a aplitude do odo (3,3) que se torou predoiate a resposta do sistea, coo ilustra a Figura 6.78 que apreseta ua coparação das aplitudes de vibração forçada da placa se e co o cotrole ativo. Observa-se ua pequea redução global das aplitudes de vibração forçada. A aplitude do odo (4,) ão é alterada devido ao posicioaeto dos atuadores que se ecotra sobre as lihas odais deste odo.

180 53 Tabela Aplitudes odais da placa cotrolada quatro pares de atuadores =85Hz, [db] ,3-360,0-56, -385, -73,4-384,5-75,8-38, -66,9-384,7-78,4-39,5 3-69,6-360,3-44,6-359,7-53,9-366, 4-8,9-679, -0, -674,9-7, -680,3 5-63,3-37,5-50, -363,7-56,9-368,7 Figura 6.78 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolada por de atuadores piezoelétricos. A Figura 6.79 represeta os padrões de diretividade de radiação as codições se cotrole e co cotrole. Verifica-se que eiste ua redução do ível de pressão soora radiada após a utilização do cotrole. A redução total da potêcia soora radiada após o cotrole utilizado quatro pares de atuadores foi de 07, db, e a tesão aplicada ao prieiro par foi V = (8,6-4,0i) volts,ao segudo par foi V = (,8-4,8i) volts, ao terceiro par foi V 3 = (7,7-7,9i) volts e ao quarto par foi V 4 = (,8-4,8i) volts.

181 54 Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85Hz. ( ):se cotrole; (_._):co cotrole. Freqüêcia de ecitação de 40 Hz Na Tabela 6.3 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada por quatro pares de atuadores. Coparado esta tabela co a Tabela 6.5 observa-se que assi coo para a freqüêcia de 85Hz, tabé para 40Hz esta cofiguração se ostrou eficiete o cotrole dos odos (,), (,) e (3,). Houve u aueto a aplitude da resposta do odo (3,3) que se torou predoiate a resposta, coo ilustra a Figura 6.80, que represeta os deslocaetos forçados da placa co cotrole. Tabela Aplitudes odais da placa cotrolada quatro pares de atuadores =40Hz, [db] ,3-35,9-7,8-356,7-45,7-355,3-43,3-349, -34,5-35,5-46,3-359,3 3-4,5-337,9-6,6-33,7-6,0-337,7 4-50, -654,3-69,6-646,9-84,8-65, 5-35,4-356,3 -, -335,8-9,0-340,3

182 55 Figura 6.80 Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. A Figura 6.8 represeta os padrões de diretividade de radiação para as codições se cotrole e co cotrole. Verifica-se que eiste ua grade redução do ível de pressão soora radiada co a utilização do cotrole. A redução total da potêcia soora radiada após o cotrole utilizado quatro atuadores foi de 70,0 db. A tesão aplicada ao prieiro atuador foi V = (7,3-6,5i)volts, V = (,3-7,7i) volts ao segudo atuador, V 3 = (5, -,4i) volts ao terceiro atuador e de V 4 = (,3-7,7i) volts ao quarto atuador. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 40Hz. ( ):se cotrole; (_._): cotrolada.

183 56 Freqüêcia de ecitação de 90 Hz Na Tabela 6.3 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 90Hz e cotrolada por quatro pares de atuadores. Utilizado esta cofiguração é possível cotrolar os odos (,), (,) e (3,). Poré o odo (4,) ão é cotrolado devido à localização dos atuadores. Ocorre tabé este caso u aueto da aplitude do odo (3,3) que se tora predoiate a resposta. A Figura 6.8 apreseta os deslocaetos forçados residuais do sistea após o cotrole. Tabela Aplitudes odais da placa cotrolada quatro pares de atuadores =90Hz, [db] ,7-335, -4,9-37,5-6,7-377,67-55,9-360,8-47, -365,5-59,4-37,5 3-56,9-35,6-3,0-347,3-4,6-35,8 4-6,6-667,5-8,3-66,4-97,6-667,7 5-5, -365,6-37,7-35,4-44,7-355,9 Figura Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 90Hz e cotrolada por atuadores piezoelétricos. A Figura 6.83 represeta os padrões de diretividade de radiação para as codições se cotrole e co cotrole. Observa-se que eiste otável ateuação do ível de pressão soora.

184 57 A redução total da potêcia soora radiada após o cotrole utilizado quatro pares de atuadores foi de 66,dB, e a tesão aplicada ao prieiro par foi V = (5,6-8,4i)volts, V = (9,5-9,8i) volts ao segudo, V 3 = (,0-5,6i) volts ao terceiro e V 4 = (9,5-9,8i) volts ao quarto. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 90Hz. ( ):se cotrole; (_._): co cotrole Cotrole ativo utilizado a quita cofiguração. Nesta cofiguração são utilizados quatro pares de atuadores piezoelétricos o cotrole, fiados a placa as seguites coordeadas: prieiro par de atuadores: = 0,075, = 0,5, = 0,95 e = 0,55. segudo par de atuadores: = 0,65, = 0,305, = 0,95 e = 0,55. terceiro par de atuadores: = 0,65, = 0,305, = 0,045 e = 0,05. quarto par de atuadores: = 0,075, = 0,5, = 0,045 e = 0,05. Os parâetros acústicos utilizados são os esos daqueles epregados os casos ateriores. O sistea placa-atuadores ecotra-se represetado a Figura 6.84.

185 Figura Cofiguração V, placa co quatro pares de atuadores. Freqüêcia de ecitação de 85 Hz Na Tabela 6.33 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolada por quatro pares de atuadores. Coparado esta tabela co a Tabela 6.3 observa-se que os odos (,) e (,) fora cotrolados, ua vez que as aplitudes destes odos sofrera reduções sigificativas. Poré houve u acréscio a participação dos odos (3,) e (,3) que se torara ais sigificativos a resposta. Esta cofiguração ão se ostrou eficiete o cotrole do odo (4,), o que pode ser justificado pelo posicioaeto dos atuadores. A Figura 6.85 apreseta os deslocaetos residuais da placa após o cotrole, observado-se que o padrão de deslocaetos obtido é de atureza ulti odal, ficado aparete a cotribuição prepoderate dos odos (,3) e (3,). Tabela Aplitudes odais da placa cotrolada quatro pares de atuadores =85Hz, [db] , -360,4-4,3-355,9-5,9-363,5-86,7 * -69,9-383, -78,8-386,9 3-37, * -44,9-358,5-53,9-365, 4-8,9-69,5-0, -67, -7, -679,9 5-45, -37, -50,0-36,5-57, -368,6

186 59 Figura Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolados por atuadores piezoelétricos. A Figura 6.86 represeta os padrões de diretividade de radiação as codições se cotrole e co cotrole. Observa-se ua sigificativa redução da pressão soora radiada e capo distate. A redução total da potêcia soora radiada após o cotrole utilizado quatro atuadores foi de 90, db e a tesão aplicada ao prieiro par de atuadores foi V = (36,0 6,4i) volts, ao segudo par de atuadores foi V = (35,5 8,8i) volts, ao terceiro par de atuadores foi V 3 = (35,5 8,8i) volts e ao quarto par de atuadores foi V 4 = (36,0 6,4i)volts. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85Hz. ( ):se cotrole; (_._):co cotrole.

187 60 Freqüêcia de ecitação de 40 Hz Na Tabela 6.34 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada por quatro pares de atuadores. Tabela Aplitudes odais da placa cotrolada quatro pares de atuadores =40Hz, [db] ,4 * -,0-35,9 -,0-334, -53,7 * -37, -350,6-46, * 3-6, -338,3-4,9-38,6-4,0-335,8 4-50, -65,3-69,6-64,3-84,8-647, 5-5,3 * -0, -33,6-7, -335, Para esta cofiguração os odos (,) e (,) fora cotrolados, ua vez que tivera suas aplitudes reduzidas. Poré as aplitudes dos odos (3,) e (,3) fora auetadas e estes odos torara-se predoiates a reposta. Assi coo o caso aterior, a aplitude do odo (4,) ão sofreu alteração. A Figura 6.87 apreseta os deslocaetos odais da placa após o cotrole. Figura Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada por quatro pares de atuadores piezoelétricos.

188 6 A Figura 6.88 represeta os padrões de diretividade de radiação as codições se cotrole e co cotrole. Verifica-se ua sigificativa redução dos íveis de pressão soora radiados pela placa co cotrole. A redução total da potêcia soora radiada após o cotrole utilizado quatro pares de atuadores foi de 50, db, e a tesão aplicada aos atuadores foi :V = (4,4 3,0i)volts, V = (4,0 6,9i) volts, V 3 = (4,0 6,9i) volts e V 4 = (4,4 3,0i)volts. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 40Hz. ( ):se cotrole; (_._):co cotrole. Freqüêcia de ecitação de 90 Hz Na Tabela 6.35 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 90Hz e cotrolada por quatro pares de atuadores. Verifica-se que esta cofiguração é eficiete para o cotrole do odo (,). Poré ão atua sobre o odo (,) e ocasioa u aueto da participação dos odos (3,), (,3), (,3) e (3,3) que tê suas aplitudes apliadas. A Figura 6.89 apreseta os deslocaetos residuais da placa após o cotrole. Tabela Aplitudes odais da placa cotrolada por quatro pares de atuadores =90Hz, [db] ,3-335,5 -,4-336,9-33, -345,7-65,7 * -49, -363,0-58,7-365,6 3-5,7-346,6-5,9-339,7-35, -344,9 4-6,6 * -8,3-653,5-97,6-659,0 5-6,4-359,6-3,3-343,8-38,4-347,7

189 6 Figura Deslocaetos forçados oralizados da placa ecitada por ua oda oblíqua icidete de freqüêcia 90Hz e cotrolados por atuadores piezoelétricos. A Figura 6.90 represeta os padrões de diretividade de radiação as codições se cotrole e co cotrole utilizado quatro pares de atuadores piezoelétricos. A redução total da potêcia soora radiada após o cotrole utilizado quatro pares de atuadores foi de 40, db, e a tesão aplicada aos atuadores foi de V =(64,8 9,5i) volts, V = (6, 34,6i) volts, V 3 = (6, 34,6i)volts e V 4 = (64,7 9,5i)volts. Figura Diretividade de radiação da placa, ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 40Hz. ( ):se cotrole; (_._):co cotrole.

190 Aálise coparativa dos resultados obtidos as diferetes cofigurações Freqüêcia de ecitação de 85 Hz A Figura 6.9 ilustra os padrões de deslocaetos da placa ecitada e 85Hz se cotrole e cotrolada por diferetes cofigurações, já descritas e seções ateriores. Figura 6.9 Coparação dos padrões de deslocaetos obtidos utilizado diferetes cofigurações de cotrole, freqüêcia de ecitação 85Hz. A Figura 6.9 ilustra os padrões de diretividade de radiação as codições se cotrole e co cotrole utilizado diferetes cofigurações. - Se cotrole -.- Cofiguração... Cofiguração -- Cofiguração 3 - Cofiguração 4 Figura 6.9 Coparação dos padrões diretividade de radiação obtidos utilizado diferetes cofigurações de cotrole, freqüêcia de ecitação 85Hz.

191 64 A Tabela 6.36 perite coparar as perdas de trasissão e as aplitudes e fases da tesão aplicada e cada par de atuadores, para as diferetes cofigurações estudadas. Verifica-se que eiste ua tedêcia de aueto da perda de trasissão à edida que é auetado o úero de atuadores. Tabela Aálise coparativa dos resultados obtidos utilizado-se as diferetes cofigurações já estudadas. Perda de Trasissão V (Volts) (Grau) (db) a Cofiguração 76, Atuador 74, -,99 a Cofiguração 87,5 Atuador 5, -9,84 Atuador 5, -4, Atuador,9-7,00 3 a Cofiguração 97,5 Atuador 4,5 -,96 Atuador 3,9-7,0 Atuador 8,9-7,96 4 a Cofiguração 07, Atuador 3,3 -,89 Atuador 3 8,8-5,9 Atuador 4 3,3 -,89 Freqüêcia de ecitação de 40 Hz A Figura 6.93 ilustra os padrões de deslocaetos da placa ecitada à freqüêcia de 40 Hz se cotrole e cotrolada pelas diferetes cofigurações.

192 65 Figura 6.93 Coparação dos padrões de deslocaeto obtidos utilizado diferetes cofigurações de cotrole, para freqüêcia de ecitação 40Hz. A Figura 6.94 ilustra os padrões de diretividade de radiação as codições se cotrole e co cotrole utilizado diferetes cofigurações. - Se cotrole -.- Cofiguração... Cofiguração -- Cofiguração 3 - Cofiguração 4 Figura 6.94 Coparação dos padrões de diretividade de radiação da placa obtidos utilizado diferetes cofigurações de cotrole, freqüêcia de ecitação 40Hz. A Tabela 6.37 apreseta as perdas de trasissão e as aplitudes e fases da tesão aplicada e cada par de atuadores, para as diferetes cofigurações estudadas. Tabé para placa ecitada e 40Hz observa-se que eiste ua tedêcia de aueto da perda de trasissão à edida que é auetado o úero de atuadores.

193 66 Tabela Aálise coparativa dos resultados obtidos utilizado-se as diferetes cofigurações já estudadas. Perda de Trasissão V (Volts) (Grau) (db) a Cofiguração 34,5 Atuador 6, -9,77 a Cofiguração 49, Atuador 5,8-6,7 Atuador 5,7-3, Atuador, -,0 3 a Cofiguração 60,5 Atuador 37,0-9,76 Atuador 3, -8,6 Atuador 8, -3,39 4 a Cofiguração 70,0 Atuador,6-9,88 Atuador 3 8, -6,0 Atuador 4,6-9,87 Freqüêcia de ecitação de 90 Hz A Figura 6.95 ilustra os padrões de deslocaetos da placa ecitada à freqüêcia de 90Hz, se cotrole e cotrolada por diferetes cofigurações, já descritas e seções ateriores.

194 67 Figura 6.95 Coparação dos padrões de deslocaeto obtidos utilizado diferetes cofigurações de cotrole, freqüêcia de ecitação 90Hz. A Figura 6.96 ilustra os padrões de diretividade de radiação as codições se cotrole e co cotrole utilizado diferetes cofigurações.. - Se cotrole -.- Cofiguração... Cofiguração -- Cofiguração 3 - Cofiguração 4 Figura 6.96 Coparação dos padrões de diretividade de radiação da placa obtidos utilizado diferetes cofigurações de cotrole, freqüêcia de ecitação 90Hz. A Tabela 6.38 apreseta os valores da perda de trasissão, da aplitude e da fase da tesão aplicada e cada atuador, para as diferetes cofigurações estudadas. Assi coo os casos ateriores, tabé para a placa ecitada e 90Hz observa-se que eiste ua tedêcia de aueto da perda de trasissão co o aueto do úero de atuadores.

195 68 Tabela Aálise coparativa dos resultados obtidos utilizado-se as diferetes cofigurações já estudadas. Perda de Trasissão V (Volts) (Grau) (db) a Cofiguração 0,5 Atuador 46,9-6,84 a Cofiguração 43,5 Atuador 56, -,73 Atuador 56, -30,86 Atuador 9,0-4,6 3 a Cofiguração 57, Atuador 3,3-6,73 Atuador 3 9,0-38,80 Atuador 6,94-8,6 4 a Cofiguração 66, Atuador,83-6,68 Atuador 3 6,97-35,34 Atuador 4,8-6, Utilização de dois atuadores cotrolados pelo esa tesão elétrica Nesta seção são apresetados os resultados obtidos utilizado o eso sial de cotrole para dois pares de atuadores piezoelétricos fiados à placa, as posições ilustradas a Figura O iteresse o estudo desta cofiguração justifica-se pelo fato de que este sistea de cotrole u dos equipaetos ais caros é a fote de cotrole (aplificador de voltage). Assi, a possibilidade de se utilizar ais de u piezoelétrico guiado por ua esa fote de cotrole reduziria os custos. Tabé estes testes fora realizados cosiderado três freqüêcias de ecitação distitas: 85Hz, 90 Hz e 40Hz. Os dois prieiros valores de freqüêcia são próios aos valores das freqüêcias aturais dos odos (,) e (,) e o terceiro é u valor iterediário etre estas. Os resultados obtidos são apresetados a seguir. Freqüêcia de ecitação de 85 Hz Na Tabela 6.39 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete co freqüêcia de 85Hz e cotrolada por dois pares de atuadores guiados pelo eso sial de cotrole. Coparado a Tabela 6.39 co a Tabela

196 69 6.3, verifica-se que houve ua redução da orde de 60 db a aplitude do odo (,) que deiou de ser doiate a resposta da placa cotrolada. Os odos co e ípares tivera suas aplitudes odais auetadas e relação ao sistea se cotrole. Nos deais odos ão foi observada ehua alteração a resposta. Apesar de apeas o odo (,) apresetar redução as aplitudes odais do sistea cotrolado, houve ua redução as aplitudes de vibração forçada do sistea, coo ostra a Figura 6.97, que perite coparar as distribuições de deslocaeto da placa ao logo de seu plao édio horizotal, se e co cotrole. A redução total da potêcia soora radiada após o cotrole utilizado dois atuadores guiados pelo eso sial foi de 76,06 db, e a tesão ótia aplicada e cada atuador foi V= (50,9 0,8i) volts. Tabela Aplitudes odais da placa cotrolada por dois pares de atuadores que obedece ao eso sial de cotrole. =85Hz, [db] ,6-353,3-40, -358,3-5, -365,6-55, -657,0-87,3-659,7-07,0-666,4 3-37, -360,8-44,7-360,9-53,9-367,0 4-8,9-676,3-0, -674,7-7,6-680,0 5-45, -367,8-50, -364,9-56,9-369,5 Figura 6.97-Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 85Hz, se cotrole e cotrolada por dois piezoelétricos guiados pelo eso sial.

197 70 Freqüêcia de ecitação de 40 Hz Na Tabela 6.40 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada por dois pares de atuadores guiados pelo eso sial de cotrole. Coparado esta tabela co a Tabela 6.5, verifica-se que houve ua redução a participação do odo (,). Etretato ocorreu u aueto sigificativo da participação do odo (3,), que se torou predoiate a resposta. Assi coo ocorreu para a freqüêcia de ecitação de 85Hz, tabé para este caso os deais odos co e ípares tivera suas participações auetadas e ão houve alteração a aplitude de resposta forçada dos odos co ou par. A Figura 6.98, apreseta ua coparação as distribuições de deslocaeto da placa ao logo de seu plao édio horizotal, as codições se e co cotrole. A redução total da potêcia soora radiada após o cotrole utilizado dois atuadores guiados pelo eso sial foi de 34,4 db, e a tesão aplicada e cada atuador foi V= (49,6 7,8i) volts. Tabela 6.40 Aplitudes odais obedece ao eso sial de cotrole. =40Hz, [db]. da placa cotrolada por dois pares de atuadores que , -3,8 -,5-39,9-3,8-337,3-7,8-67,9-54,5-63,0-74,5-638,4 3-7,8-33, -6, -33,6-5,6-338,7 4-50, -647,8-69,6-646,4-84,8-65,7 5-6,8-339,4 -,7-336,6-8,7-34,

198 7 Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 40Hz, se cotrole e cotrolada por dois pares de atuadores piezoelétricos guiados pelo eso sial. Freqüêcia de ecitação de 90 Hz Na Tabela 6.4 são apresetadas as aplitudes oralizadas de vibração da placa quado ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 90Hz e cotrolada por dois pares de atuadores guiados pelo eso sial de cotrole. Através da coparação das Tabelas 6.4 e 6.4 costata-se que ão houve alteração das aplitudes do odo (,), que cotiua a predoiar a resposta do sistea cotrolado. O odo (,) sofreu ua redução e aplitude a resposta forçada do sistea co cotrole. Os odos co e ípares tivera suas participações auetadas e ão houve alteração a aplitude de resposta forçada dos odos co ou par. A Figura 6.99, apreseta ua coparação as distribuições de deslocaeto da placa ao logo de seu plao édio horizotal, se e co cotrole. A redução total da potêcia soora radiada após o cotrole utilizado dois pares de atuadores guiados pelo eso sial foi de 0,5dB, e a tesão aplicada e cada atuador foi V=(49,9 5,i)volts.

199 7 Tabela 6.4- Aplitudes odais da placa, [db] cotrolada por dois pares de atuadores que obedece ao eso sial de cotrole. =90Hz ,5-333,3-5,7-344,5-38,6-35,56 0,0-64,9-66,9-645,7-87, -65,6 3 -, -346,8-30,8-347,8-40,4-353,4 4-6,6-66,8-8,3-66,6-97,6-666,4 5-3,4-354,6-36,4-35,8-43,9-356,5 Figura Aplitudes de deslocaetos da placa ecitada e 40Hz, se cotrole e cotrolada por dois pares de atuadores piezoelétricos guiados pelo eso sial. Coparado os resultados de redução de potêcia soora radiada, obtidos utilizadose dois atuadores guiados pelo eso sial, co os resultados obtidos utilizado-se apeas u atuador, observa-se que o eprego de dois atuadores coadados pelo eso sial ão coduziu a ehua redução adicioal da potêcia soora total radiada, e relação ao uso de apeas u atuador.

200 Capítulo VII Otiização do Posicioaeto dos Atuadores Piezoelétricos Nos testes uéricos apresetados o capítulo aterior os atuadores fora fiados à placa e posições escolhidas arbitrariaete. Os resultados obtidos idica que o posicioaeto dos eleetos piezoelétricos é u parâetro de fudaetal iportâcia a redução da potêcia soora total radiada. Desta fora, a obteção da áia ateuação da potêcia soora radiada está codicioada ao posicioaeto ótio dos atuadores piezoelétricos a placa. Assi sedo, propõe-se e avalia-se, este capítulo u procedieto de otiização do posicioaeto ótio dos atuadores piezoelétricos a placa utilizado os chaados Algoritos Geéticos (AGs). A escolha desta técica específica foi baseada os fatos de os AGs, apreseta iportates vatages e relação aos étodos tradicioais de otiização, cofore será evideciado a seguir. 7. Algoritos Geéticos Os Algoritos Geéticos são étodos de busca aleatória e otiização baseados a evolução geética de orgaisos biológicos. Esta técica foi criada por Hollad a década de 60 e largaete estudada por Goldberg (989) e Mitchell (996). Os AGs opera sobre ua população de idivíduos gerada aleatoriaete sobre o espaço de busca e geralete represetada por cadeias biárias. Cada idivíduo é cosiderado ua possível solução para o problea e a ele é atribuído u ídice de aptidão, quatificado pelo valor da fução objetivo a ele associado. Coo os orgaisos biológicos, os Algoritos Geéticos a população de idivíduos passa por u processo de evolução e esta etapa é dada aior probabilidade de reprodução aos idivíduos elhor adaptados. A evolução é feita através de três operadores fudaetais, realizados aleatoriaete. O prieiro operador é a seleção. Nesta etapa são escolhidos os elhores idivíduos para reprodução, e quatidades proporcioais ao seu ídice de aptidão.

201 74 O segudo operador cosiste o cruzaeto dos idivíduos selecioados, esta etapa do processo ocorre troca de aterial geético etre os idivíduos evolvidos. O terceiro operador é a utação de algus idivíduos da população, ocorredo a odificação do coteúdo geético destes idivíduos. A pricipal característica dos AGs é a de que eles opera siultaeaete co u cojuto de potos do espaço de busca, e ão co u úico poto, coo é o caso dos étodos covecioais de otiização. Alé disso, a aplicabilidade dos AGs ão é liitada pela ecessidade de coputar os gradietes e pela eistêcia de descotiuidades a fução objetivo, ua vez que são requeridos apeas os valores da fução objetivo, avaliados para cada idivíduo da população. Dadas as suas características, os Algoritos Geéticos apreseta geralete boa robustez a ultiodalidade (eistêcia de íios locais da fução objetivo) e à preseça de icertezas (ruído eperietal) que pode itervir a fução objetivo. (Silva, 999) 7. Posicioaeto ótio dos atuadores piezoelétricos. Para a escolha do posicioaeto ótio dos eleeto piezoelétricos fora adotadas coo variáveis de projeto as posições dos cetros das pastilhas piezoelétricas, que fora relacioadas co as coordeadas,, e figurado a equação (3.73), fiado-se as diesões dos atuadores e 0,04 0,06. Os liites ipostos às variáveis de projeto (restrições laterais) correspode às diesões da placa as direções e A fução objetivo adotada correspode à perda de trasissão e capo distate. A placa apreseta as propriedades físicas e geoétricas descritas a Tabela 6.. As cerâicas piezoelétricas utilizadas apreseta as propriedades descritas a Tabela Cosiderou-se a ecitação por ua oda harôica plaa co as seguites características: âgulos de icidêcia i = 0 o e i =45 o ; aplitude da oda P i =0 N/ ; freqüêcias de ecitação: 85Hz, 40Hz e 90 Hz. A seguir apresetar-se-ão os resultados de otiização obtidos através da utilização dos AGs, para diferetes úeros de atuadores o cotrole.

202 Otiização do cotrole utilizado-se u par de atuadores piezoelétricos. Freqüêcia de ecitação de 85 Hz Para a placa ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolada pela ativação de u par de atuadores, o posicioaeto ótio dos atuadores a placa obtido foi: c =0,899 e c = 0,499. Esta posição correspode ao cetro da placa, coo represeta a Figura 7.. c =0,499 0 c =0,899 Figura 7. Esquea represetativo do posicioaeto ótio do atuador, co a placa ecitada e 85Hz. A redução da potêcia soora total radiada foi de 76, db aplicado-se ao piezoelétrico a voltage ótia de V=(7,5-5,4i) volts. Neste caso verifica-se que a escolha arbitrária, descrita a seção 6.4.., coicide co o ótio ecotrado pelo G.A Este resultado foi obtido co ua população de 0 idivíduos e 50 gerações. A evolução desta população ao curso das gerações ecotra-se represetada a Figura 7., que apreseta as curvas da aptidão édia da população, be coo a do elhor idivíduo.

203 76 Figura 7. Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 85 Hz. Freqüêcia de ecitação de 40 Hz Para a placa ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 40Hz e cotrolada pela ativação de u par de atuadores, o posicioaeto ótio dos atuadores a placa obtido foi: c =0,9 e c = 0,5. Esta posição, que correspode aos atuadores posicioados o cetro da placa, ecotra-se represetada a Figura 7.. A redução total da potêcia soora radiada total obtida foi de 34,5 db, aplicado-se aos piezoelétricos a voltage coplea ótia V= (57,6-0,7i) volts. A Figura 7.3 apreseta a aptidão da édia da população, be coo a do elhor idivíduo, ao logo das gerações.

204 77 Figura 7.3 Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 40Hz. Freqüêcia de ecitação de 90 Hz Para esta freqüêcia de ecitação o posicioaeto ótio obtido foi: c =0,3475 e c = 0.500, coo represeta a Figura 7.4. A redução total da potêcia soora radiada total obtida foi de 9,49 db, aplicado-se aos piezoelétricos a voltage coplea ótia V= ( i) volts. A Figura 7.5 apreseta a aptidão da édia da população, be coo a do elhor idivíduo, ao logo das gerações.

205 78 c=0,5 0 c=0,3475 Figura 7.4 Esquea represetativo do posicioaeto ótio do atuador, co a placa ecitada e 90Hz. Figura 7.5 Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 90Hz. 7.. Otiização do cotrole utilizado dois pares de atuadores piezoelétricos Devido à aior copleidade do problea, para otiizar a posição de dois atuadores foi ecessário auetar o úero de idivíduos e de gerações para que a covergêcia do

206 79 processo fosse atigida. Assi, para a otiização do posicioaeto de três pares de atuadores a placa fora utilizados 00 idivíduos, evoluido durate 00 gerações, cosiderado que 90% da população sofreu cruzaeto e apeas 9% da população sofreu utação. Freqüêcia de ecitação de 85 Hz Os perfis de evolução da édia e do elhor idivíduo para a placa ecitada por ua oda icidete de freqüêcia 85Hz e cotrolada pela ativação de dois pares de atuadores, ecotra-se represetados a Figura 7.6. O posicioaeto ótio dos atuadores a placa obtido foi: Atuador : c = 0,04 e c =0,5 Atuador : c = 0, e c =0,5 Esta posição ecotra-se represetada a Figura 7.7. A redução total ótia da potêcia soora radiada total obtida foi de 96,64 db. Figura 7.6 Aptidão da édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 85Hz.

207 80 c = c =0,5 0 c =0,04 c =0, Figura 7.7 Esquea represetativo do posicioaeto ótio dos atuadores para a placa ecitada e 85Hz. Freqüêcia de ecitação de 40 Hz Os perfis de evolução da édia e do elhor idivíduo ecotra-se represetados a Figura 7.8. Verifica-se que eso co u elevado úero de idivíduos e gerações, o desvio padrão etre a édia e o elhor idivíduo é grade. Etretato, observa-se a covergêcia do elhor idivíduo, que deteria a seguite posição para o cetro das pastilhas piezoelétricas: Atuador : c = 0,3 e c =0,5 Atuador : c = 0,7 e c =0,5 A Figura 7.9 ilustra os atuadores piezoelétricos fiados à placa a posição ótia. Para esta disposição dos atuadores, a redução total da potêcia soora radiada total obtida foi de 60,50 db.

208 8 Figura 7.8 Aptidão da édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 40Hz. c = c =0,5 0 c =0,3 c =0,7 Figura 7.9 Esquea represetativo do posicioaeto ótio dos atuadores para a placa ecitada e 40Hz. Freqüêcia de ecitação de 90 Hz Tabé para este caso foi utilizada a população co 00 idivíduos ao logo de 00 gerações. As curvas represetativas da evolução da aptidão da édia e do elhor idivíduo ecotra-se apresetados a Figura 7.0. As posições ótias obtidas para o elhor idivíduo fora dadas por: Atuador : c = 0, e c =0,5

209 8 Atuador : c = 0,5 e c =0,5 A Figura 7. represeta os atuadores piezoelétricos fiados à placa a posição ótia. Para este posicioaeto dos atuadores, a redução total da potêcia soora radiada total obtida foi de 57,7 db. Figura 7.0 Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 90Hz. c = c =0,5 0 c =0, c =0,5 Figura 7. Esquea represetativo do posicioaeto ótio dos atuadores para a placa ecitada e 90Hz.

210 Otiização do cotrole utilizado três pares de atuadores piezoelétricos a placa. Para a otiização do posicioaeto de três pares de atuadores a placa fora utilizados 00 idivíduos, evoluido durate 00 gerações, cosiderado que 90% da população sofreu cruzaeto e apeas 9% da população sofreu utação. Freqüêcia de ecitação de 85 Hz Na Figura 7. ecotra-se as curvas represetativas da aptidão da édia e do elhor idivíduo ao logo das gerações. É possível verificar ua grade difereça etre os valores da aptidão édia e a do elhor idivíduo. No etato, observa-se a covergêcia do elhor idivíduo, que deteria que a posição ótia obtida para cada atuador é dada por: Atuador : c = 0,7 e c =0,5. Atuador : c = 0, e c =0,04. Atuador 3: c = 0, e c =0,0. A Figura 7.3 ilustra os atuadores piezoelétricos fiados à placa a posição ótia. Para esta disposição dos atuadores, a redução total da potêcia soora radiada total obtida foi de 3,9 db. Figura 7. Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 85Hz.

211 84 c3=0,0 c=0,5 c=0,04 0 c= c3=0, c=0,7 Figura 7.3 Esquea represetativo do posicioaeto ótio dos atuadores para a placa ecitada e 85Hz. Freqüêcia de ecitação de 40 Hz Para a placa ecitada e 40Hz calculou-se o posicioaeto ótio de três pares de atuadores. A Figura 7.4 apreseta as aptidões da édia e do elhor idivíduo. Verifica-se que as duas curvas ão coverge para o eso valor, o etato, eiste estabilidade do valor obtido para o elhor idivíduo. O posicioaeto ótio de cada par de atuadores é dado por: Atuador : c = 0,8 e c =0,3. Atuador : c = 0,3 e c =0,5. Atuador 3: c = 0,7 e c =0,08. Na Figura 7.5 estão represetados os pares de atuadores fiados à placa e suas posições ótias, as quais produze ua redução total da potêcia soora radiada total de 70,98 db.

212 85 Figura 7.4 Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 40Hz. c =0,3 c =0,5 c3 =0,08 0 c =0,8 c3 c =0,3 0,8 Figura 7.5 Esquea represetativo do posicioaeto ótio dos atuadores para a placa ecitada e 40Hz. Freqüêcia de ecitação de 90 Hz Na Figura 7.6 ecotra-se as curvas represetativas da aptidão da édia e do elhor idivíduo ao logo das gerações. É possível verificar ua grade difereça etre a

213 86 aptidão édia e a do elhor idivíduo, o etato observa-se a covergêcia do elhor idivíduo, que deteria que a posição ótia obtida para cada atuador é dada por: Atuador : c = 0,5 e c =0,09 Atuador : c = 0, e c =0,5 Atuador 3: c = 0,5 e c =0, Na Figura 7.7 estão represetados os pares de atuadores fiados à placa e suas posições ótias as quais produze ua redução total da potêcia soora radiada total de 6,35 db. Figura 7.6 Aptidão édia e do elhor idivíduo da população ao logo das gerações. Placa ecitada e 85Hz.

214 87 c3 =0, c =0,5 c =0,09 0 c =0, c = c3 =0,5 Figura 7.7 Esquea represetativo do posicioaeto ótio dos atuadores para a placa ecitada e 90Hz. 7.3 Aálise coparativa dos resultados obtidos co o posicioaeto arbitrário e co o posicioaeto ótio dos atuadores piezoelétricos. Nesta seção são apresetadas aálises coparativas dos resultados de ateuação da potêcia soora radiada total obtidos utilizado os posicioaetos arbitrários dos eleetos piezoelétricos, defiidos as cofigurações descritas as seções a , e utilizado o posicioaeto ótio dos atuadores. A Tabela 7. apreseta os valores da perda de trasissão para o cotrole utilizado u par de atuadores posicioados arbitrariaete e de aeira ótia, para as freqüêcias de ecitação de 85Hz, 40Hz e 90Hz. Verifica-se que para as freqüêcias de 85Hz e 40Hz, os resultados obtidos para perda de trasissão são idêticos, pois o posicioaeto ótio ecotrado coicide co a escolha arbitrária, abos posicioado o cetro do par de atuadores o cetro geoétrico da placa.

215 88 Tabela 7. - Aálise coparativa dos resultados obtidos para o sistea cotrolado por u par de atuadores, posicioado de fora arbitrária e ótia. Freqüêcia de Perda de Trasissão (db) Ecitação (Hz) Posicioaeto Arbitrário Posicioaeto Ótio 85 76, 76, 40 34,5 34,5 90 0,5 9,5 Na Tabela 7. são apresetados os valores de perda de trasissão obtidos para o sistea ecitado e 85Hz, 40Hz e 90Hz e cotrolado por dois pares de atuadores posicioados de fora arbitrária e ótia. Tabela 7. - Aálise coparativa dos resultados obtidos para o sistea cotrolado por dois pares de atuadores, posicioados de fora arbitrária e ótia. Freqüêcia de Perda de Trasissão (db) Ecitação (Hz) Posicioaeto Arbitrário Posicioaeto Ótio 85 87,5 96, , 60, ,5 57,7 Na Tabela 7.3 são apresetados os valores de perda de trasissão obtidos para o sistea ecitado e 85Hz, 40Hz e 90Hz e cotrolado por três pares de atuadores posicioados de fora arbitrária e ótia. Tabela Aálise coparativa dos resultados obtidos para o sistea cotrolado por três pares de atuadores, posicioados de fora arbitrária e ótia. Freqüêcia de Perda de Trasissão (db) Ecitação (Hz) Posicioaeto Arbitrário Posicioaeto Ótio 85 97,5 3, ,5 70, , 6,35

216 89 As coparações apresetadas revela que as posições ótias coduzira ivariavelete ao aueto da ateuação da potêcia soora radiada e capo distate. Observa-se que os resultados obtidos co os piezoelétricos fiados a posição ótia apreseta ateuações superiores aos resultados obtidos co os piezoelétricos fiados e posições arbitrárias. U resultado sigificativo que represeta esta costatação é que co três atuadores posicioados de aeira ótia a ateuação obtida foi de 3,9 db para a placa ecitada e 85Hz, equato que a quarta cofiguração descrita a Seção , que utiliza quatro atuadores fiados à placa de aeira arbitrária obteve ua ateuação de 07, db para esta esa freqüêcia de ecitação.

217 Capítulo VIII Coclusões Gerais e Perspectivas de Trabalhos Futuros O trabalho de pesquisa desevolvido, reportado este eorial, trata do estudo de procedietos de cotrole ativo de ruído epregado pastilhas piezoelétricas fiadas e placas plaas, ode o sistea placa-atuadores é epregado coo ua fote de cotrole. Ao logo dos capítulos precedetes buscou-se apresetar os diversos aspectos evolvidos o procedieto de cotrole, a saber: a) odelage aalítica do coportaeto vibratório de placas retagulares plaas, fias e uifores, co base a teoria de placas de Kirchhoff. b) apresetação dos fudaetos da piezoeletricidade liear e sua eploração a costrução de sesores de deforação e atuadores. c) desevolvieto da forulação aalítica descrevedo a iteração ecâica etre ua placa e atuadores piezoelétricos a ela fiados. d) apresetação de ua revisão sobre os coceitos básicos referetes à acústica e vibroacústica. e) odelage do coportaeto vibratório de placas ecitadas por fotes sooras represetadas por odas acústicas harôicas plaas oblíquas; f) odelage da radiação soora eitida por placas retagulares e capo distate baseada a itegral de Raleigh. g) apresetação revisão dos técicas de cotrole ativo de ruído do tipo feedback e feedforard e desevolvieto da forulação de ua técica de cotrole ótio do tipo feedforard ão adaptativo. h) proposição de ua estratégia de posicioaeto ótio dos atuadores piezoelétricos co vistas à áia ateuação da potêcia soora radiada e capo distate. Co base a teoria desevolvida fora elaboradas rotias coputacioais e liguage MATAB ipleetado as diversas etapas de odelage, cotrole e otiização, icluido rotias para a avaliação da eficiêcia do cotrole e teros dos padrões de diretividade e capo distate e da ateuação global da potêcia soora radiada.

218 9 Os prograas coputacioais fora epregados a realização de uerosas siulações uéricas e que foi avaliada a ifluêcia do úero, posição e taaho das pastilhas piezoelétricas a eficiêcia do sistea de cotrole e a tesão elétrica ecessária. Para cada caso, a eficiêcia do cotrole foi avaliada e teros dos padrões de diretividade e capo distate e da ateuação global da potêcia soora radiada. E cada siulação realizada buscou-se iterpretar os resultados e teros do coportaeto odal do sistea. As siulações uérico coputacioais evideciara a eficiêcia do sistea de cotrole de ruído e questão, ua vez que, via de regra, obtivera-se ateuações sigificativas a potêcia soora total radiada e capo distate. Foi verificado que o posicioaeto dos atuadores sobre a placa iterfere de fora deteriate o ível de ateuação de ruído, fato que otivou o estudo de ua técica de deteriação do posicioaeto ótio dos atuadores, objetivado a áia ateuação da potêcia soora radiada. Para tato, adotou-se o étodo de otiização dos Algoritos Geéticos, tedo e vista o fato que este étodo coporta vatages iportates e relação aos étodos de otiização covecioais, tedo-se ostrado particularete adequado ao problea e estudo. Os resultados obtidos cofirara a coveiêcia de se epregar procedietos de otiização do posicioaeto dos atuadores, ua vez que as cofigurações otiizadas superara, via de regra, as ateuações de potêcia soora obtidas para alhas de atuadores piezoelétricos posicioados de fora arbitrária. As coclusões específicas que pode ser etraídas deste trabalho são: É possível utilizar atuadores piezoelétricos a ecitação de u dado odo da placa, desde que estes seja favoravelete posicioados. Para a aplicação cosiderada, o taaho dos atuadores piezoelétricos ão eerce qualquer ifluêcia sobre a áia redução da pressão soora total radiada e capo distate. A agitude da tesão elétrica ótia aplicada aos eleetos piezoelétricos é iversaete proporcioal à área das pastilhas piezoelétricas. É possível cotrolar os odos de vibração da placa através do eprego de atuadores piezoelétricos fiados à superfície desta. O cotrole de u dado odo pode acarretar aueto da participação odal de outros odos (efeito cohecido coo spillover). No etato, coo os odos de vibração da placa apreseta diferetes eficiêcias de radiação, se o odo que se torou predoiate após o cotrole apresetar eficiêcia de radiação eor que a do odo predoiate ateriorete ao cotrole, a potêcia soora radiada e capo distate é ateuada para o sistea co cotrole.

219 9 O posicioaeto dos atuadores é u fator deteriate da eficiêcia do sistea de cotrole ativo de ruído proposto este trabalho. Auetado-se o úero de atuadores, verifica-se o aueto da ateuação potêcia soora radiada e capo distate. As posições ótias, obtidas através do Algorito Geético, coduzira ivariavelete ao aueto da ateuação da potêcia soora radiada e capo distate. São as seguites as coclusões gerais: o trabalho realizado costituiu ua prieira abordage do problea de cotrole ativo de ruído epregado placas istruetadas co pastilhas piezoelétricas, ficado evidete a eistêcia de diversos aspectos do problea passíveis de estudos copleetares. Neste setido pode-se ecioar o uso de outras estratégias de cotrole, tais coo algorito feedforard adaptativos, detre os quais destacase o algorito MS (east Mea Square) (Elliott,987) que te sido utilizado co sucesso e aplicações seelhates. E relação à otiização do posicioaeto dos atuadores, outras técicas de otiização uérica, tais coo o Siulated Aealig e Tabu Search pode ser avaliadas. O procedieto de odelage pode aida ser estedido para cosiderar outros efeitos relevates, a saber: a) preseça de ais de ua fote priária harôica; b) foras ais gerais de ecitação acústica, tais coo periódicas, ipulsivas e aleatórias; c) cosideração de outras codições de cotoro da placa. A validação eperietal dos procedietos de odelage e cotrole é outro aspecto passível de ivestigação, ua vez que peritirá avaliar a ifluêcia de diversos aspectos de atureza prática. Há que se ressaltar a tedêcia, verificada e outros países, de popularização, associada à redução de custos, de sisteas de cotrole ativo baseados e eleetos piezoelétricos, o que favorecerá a icorporação desta tecologia os produtos e processos idustriais. Este fato justifica a cotiuação dos trabalhos de pesquisa dedicados ao tea, co vistas à obteção de soluções ais ecoôicas e eficietes. Por fi, o desevolvieto do trabalho de pesquisa aqui reportado foreceu à alua ua oportuidade de treiaeto a etodologia da ivestigação cietífica, peritido-lhe realizar u estudo aprofudado de três iportates sub-áreas da Egeharia Mecâica:

220 93 vibrações, acústica e cotrole. Estes fatos cotribuíra positivaete para sua foração cietífica, abrido-lhe aplas perspectivas para cotiuação de trabalhos de pesquisa.