Universidade Federal de Itajubá

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1 Uiversidade Federal de Itajubá U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Carlos Berardes Rosa Juior

2 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Tese apresetada à Uiversidade Federal de Itajubá coo parte dos requisitos ecessários para a obteção do grau de Doutor e Ciêcias e Egeharia Elétrica Área de Cocetração: Sisteas Elétricos de otêcia Orietadores: rof. Dr. Atôio Carlos Zabroi de Souza rof. Dr. Beedito Isaias de ia opes Carlos Berardes Rosa Juior UIFEI fevereiro/007

3 Só peraece o que uda. aulo Freire

4 A Alie, Aa aura e o ovo bebê.

5 Agradecietos Ao aigo e orietador rof. Atôio Carlos Zabroi de Souza pela cofiaça, apoio e icodicioal aizade. Tabé pela paciêcia os tatos oetos difíceis que atravessei durate este trabalho. ão faltou apoio! Ao rof. Otávio Augusto Salgado Carpiteiro, orietador de eu estrado, icetivador absoluto deste doutorado, aigo e copaheiro, pela ateção, acoselhaeto e preseça e ossas vidas. eu tabé orietador rof. Isaías ia pela ateção e aizade os oetos ais difíceis. A iha ãe pelo aor dedicado, paciêcia e aizade isubstituíveis. Ao eu pai pela vida e seus esiaetos. Aair e agda, pai e ãe, pela paciêcia e aizade. A tia Carlida, ua seguda ãe. Aos copaheiros e rofessores do UIFOR-G: Atôio Eustáquio Boas, José Carlos eloso, José Ivo da Silva, Roa az de Capos e Walor de Borba pela aizade e dedicação e iha graduação. Ao copaheiro de luta Rafael ee pelo apoio o desevolvieto deste trabalho. Ao copaheiro de trabalho Alexadre ieta, do CEFET-Babuí, pelo apoio e icetivo ao eu doutorado, propiciado a cosolidação deste trabalho. Ao aigo Gabriel da Silva, por sua aizade e copaheiriso. A todos aqueles que deixa de viver uitos oetos idividuais para vivere uitos oetos coletivos, trazedo cohecieto, propiciado e acreditado e dias elhores para todos.

6 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Resuo Este trabalho apreseta u estudo sobre ferraetas para previsão de colapso de tesão co o uso de u étodo de solução de fluxo de carga deoiado étodo ão-iterativo. Os étodos couete apresetados a literatura são baseados e étodos iterativos, coo o étodo de ewto-raphso. O étodo ão-iterativo é ua alterativa ova para o problea do fluxo de carga e, te-se ostrado uericaete estável, co elhor desepeho coputacioal e relação aos outros étodos apresetados. O fluxo de carga ão-iterativo proposto a literatura apreseta alguas desvatages, pricipalete e relação à ausêcia de liites de geração de potêcia reativa, u problea ão trivial e aida ua restrição ao uso do processo ão-iterativo. Ua cotribuição deste trabalho é justaete a iclusão de liites de geração de potêcia reativa o processo ão-iterativo apresetado. O feôeo do colapso de tesão te sido be docuetado a literatura as últias décadas. O feôeo está associado a u processo de istabilidade de u sistea elétrico de potêcia e a baixos íveis de reserva de potêcia reativa. Aálise do poto de áxio carregaeto do sistea elétrico perite que ações de cotrole seja toadas, evitado-se assi a ocorrêcia defiitiva do feôeo. árias ferraetas para siulações e sisteas elétricos de potêcia são ecotradas atualete. Essas ferraetas perite siular possíveis codições e que o colapso de tesão ocorra. O sistea elétrico de potêcia é u sistea diâico coplexo cujas variáveis de estado do sistea pode ser calculadas a partir de u odelo liearizado. O uso do fluxo de carga ão-iterativo perite ua ova abordage e avaliação das ferraetas hoje existetes, possibilitado ua alterativa para étodo tradicioal de ewto-raphso. Uiversidade Federal de Itajubá 6

7 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Este trabalho pretede cotribuir co ua ova etodologia de aplicação dessas ferraetas e estudos de estabilidade de tesão. E apreseta resultados relevates sobre o tepo coputacioal durate a siulação. Alé disso, é icorporado os liites de potêcia reativa o cálculo do étodo ão-iterativo. Deais etodologias para aálise de estabilidade de tesão e sisteas elétricos de potêcia são discutidas e aplicadas, obtedo-se assi, resultados para validação destes étodos o processo ão-iterativo. Uiversidade Federal de Itajubá 7

8 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Abstract This work presets a study o tools for forecastig voltage collapse through the use of the o-iterative ethod to solve the load flow equatios. The ethods usually preseted i the literature are based o iterative processes, just like the ewto-raphso s iterative approach. The o-iterative process is a ew alterative to solve load flow probles ad has bee show to be uerically stable ad to have a better coputatioal perforace tha others ethods. The o-iterative load flow proposed i the literature presets soe disadvatages, especially i relatio to the absece of the reactive power geeratio liits, restrictig its use for real systes. A cotributio of this work is the iclusio of the reactive power geeratio liits. The voltage collapse pheoeo has bee addressed i several studies i recet decades. The pheoeo is associated with the istability process of a electric power syste ad is related to low levels of reactive power reserves. Aalysis of axiu poit of electric power syste loadig has peritted soe cotrol actios, avoidig a coplete voltage collapse. Several tools for siulatios i power systes are foud owadays. These tools have peritted siulatio of possible coditios of syste operatio i which that pheoeo occurred. ower syste is a coplex dyaic syste whose state variables ay be calculated fro a liearized odel of power syste. The o-iterative load flow is a ew approach for load flow calculatio ad ay be used to assess the existig tools of aalysis, rederig it as a alterative for the ewto-raphso s process. This work iteds to cotribute with a ew applicatio ethodology i studies of voltage stability. It presets iportat results regardig the coputatioal tie alog the siulatios. Uiversidade Federal de Itajubá 8

9 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão oreover, it presets the iclusio of power reactive liits ito the calculus of o-iterative ethods. Others ethodologies of voltage stability aalysis i electric power systes are addressed ad eployed, obtaiig thus, results for validatio of these ethods i the o-iterative process. Uiversidade Federal de Itajubá 9

10 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão SUÁRIO CAÍTUO FUXO DE CARGA E COASO DE TESÃO E SISTEAS DE OTÊCIA Fluxo de Carga Cosiderações iiciais Forulação ateática do roblea do Fluxo de Carga étodos de Solução do Fluxo de Carga O étodo de ewto ou étodo das Tagetes ropostas Alterativas para o Cálculo de Fluxo de Carga...7. Colapso de Tesão Estabilidade de tesão Istabilidade de Tesão Colapso de Tesão Aálise Estática atrizes de Sesibilidade Teoria da Bifurcação étodo da Cotiuação étodo Direto Otiização alores Sigulares e Autovalores Deteriate Reduzido Fução de Eergia artição de redes étodo do etor Tagete...43 CAÍTUO FUXO DE CARGA RETAGUAR ÃO-ITERATIO45. Fluxo de Carga olar Fluxo de Carga Retagular...46 Uiversidade Federal de Itajubá 0

11 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão.3 Série de Taylor e Soluções do Fluxo de Carga Solução olar iterativa Solução Retagular Iterativa Solução Retagular ão-iterativa...65 CAÍTUO 3 FUXO DE CARGA ÃO-ITERATIO A AÁISE DO COASO DE TESÃO Ipleetação do Fluxo de Carga I A atriz Jacobiaa do rocesso ão-iterativo Fluxo de Carga Retagular I Resultados para o rocesso Retagular ão-iterativo iites de Geração de otêcia Reativa Resultados co os iites de otêcia Reativa Icorporados étodos para Deteriação do oto de Colapso de Tesão étodo da Cotiuação revisor pelo vetor tagete asso Corretor étodo Direto oto de áxio Carregaeto (C) étodo Direto por ewto-raphso étodo Direto e rocesso ão-iterativo étodo da Extrapolação uadrática étodo de Busca Biária Dispositivos de Cotroles Usados a atriz Jacobiaa Cotrole de Sobrecarga Corte de Carga...98 Uiversidade Federal de Itajubá

12 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão CAÍTUO 4 RESUTADOS Fluxo de Carga I Feôeo do Colapso de Tesão étodo da Cotiuação étodo Direto étodo da Extrapolação uadrática étodo da Busca Biária Ferraetas de Cotrole de Tesão a atriz Jacobiaa...08 CAÍTUO 5 COCUSÕES... REFERÊCIAS BIBIOGRÁFICAS... 5 AÊDICE A... FORUAÇÕES DO FUXO DE OTÊCIA... A. Fluxo de otêcia Covecioal... A.. Coordeadas olares... A.. Coordeadas Retagulares...4 AÊDICE B... 8 DERIADAS DE SEGUDA ORDE A FORUAÇÃO OAR... 8 AÊDICE C DERIADAS DE SEGUDA ORDE A FORUAÇÃO RETAGUAR Uiversidade Federal de Itajubá

13 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão AÊDICE D TEROS DA SÉRIE DE TAYOR ARA CÁCUO DO FUXO DE CARGA AÊDICE E A O-ITERATIE OAD-FOW ETHOD AS A TOO FOR OTAGE STABIITY STUDIES. 35 Uiversidade Federal de Itajubá 3

14 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Ídice de Figuras Figura -- Represetação de u Sistea de otêcia... Figura -- étodo de ewto...7 Figura -- Caso exeplo...55 Figura 3-- Topologia de rede 3 Barras...73 Figura 3-- Fluxograa do Algorito I...79 Figura 3-3- Diagraa de bifurcação...83 Figura 3-4- Algorito para étodo direto...90 Figura 3-5- Algorito ão-iterativo do étodo direto...9 Figura 3-6- Algorito do étodo de Extrapolação uadrática...94 Figura 4-- Curva : étodo da Cotiuação I ( Sistea IEEE 30 Barras)...03 Uiversidade Federal de Itajubá 4

15 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Ídice de Tabelas Tabela -- Evetos ode ocorrera colapsos de tesão...33 Tabela -- atriz H para cálculo de...50 Tabela -- Represetação atricial dada pela equação (-)...50 Tabela -3- Represetação didática da otage da atriz H...5 Tabela -4- Represetações do fluxo de carga copactado...5 Tabela -5- Dados das barras do caso exeplo...55 Tabela -6- Dados da liha de trasissão do caso exeplo...55 Tabela -7- atriz Y Barra do caso exeplo...56 Tabela -8- Resultados obtidos para o caso exeplo...56 Tabela -9- atriz Jacobiaa do caso exeplo...57 Tabela -0- atriz Jacobiaa...58 Tabela -- atriz Jacobiaa para o caso exeplo...6 Tabela -- Eleetos da atriz Jacobiaa retagular...6 Tabela -3- Represetação de H() para barra Swig...65 Tabela -4- Represetação de H() para barra Swig...65 Tabela -5- Represetação de H(3) para barra...66 Tabela -6- Represetação de H(4) para barra...66 Tabela -7- atriz Jacobiaa...67 Tabela -8- atriz Jacobiaa iversa...67 Tabela -9- atriz JZ...68 Tabela -0- atriz JZ...69 Tabela 3-- atriz Jacobiaa do fluxo de carga ão-iterativo...73 Tabela 3-- Derivadas parciais das equações da atriz Jacobiaa...74 Tabela 3-3- Eleetos da atriz Jacobiaa...76 Tabela 3-4- Eleetos da atriz Jacobiaa JZ...77 Tabela 3-5- Eleetos da atriz Jacobiaa JZ...77 Tabela 3-6- Taaho do asso...84 Tabela 4-- Tepos Coputacioais para os étodos R e I (p.u.)...0 Tabela 4-- Resultados do étodo Cotiuado...0 Tabela 4-3- Resultados do étodo Direto...04 Tabela 4-4- Resultados do étodo da Extrapolação uadrática...06 Tabela 4-5- Tepo coputacioal: étodos Cotiuado I e Extrapolado I...06 Uiversidade Federal de Itajubá 5

16 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Tabela 4-6- Tepos coputacioais e arges de carga: étodos de busca biária e cotiuado...07 Tabela 4-7- Tepos coputacioais e arges de carga: étodos de busca biária e extrapolado...08 Tabela 4-8- Cotrole de sobrecarga...09 Tabela 4-9- Resultados: corte de carga...09 Uiversidade Federal de Itajubá 6

17 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Capítulo Fluxo de Carga e Colapso de Tesão e Sisteas de otêcia Este capítulo te coo objetivo apresetar a etodologia a ser abordada este docueto. Desta fora, serão apresetados os tópicos de ua aeira geral, peritido justificar a abordage escolhida. Co o objetivo de explicitar as cotribuições deste trabalho, ua revisão bibliográfica é apresetada, peritido cotextualizar a técica aqui proposta a partir das etodologias dispoíveis a literatura. A idéia é trabalhar e u étodo ão-iterativo de solução para sisteas diâicos ão lieares. Este étodo é aplicado a obteção de solução para o fluxo de carga, coo iicialete proposto a literatura. o etato, outras características iportates são iseridas, e a justificativa para a etodologia usada é bastate explorada. E u segudo oeto, esta etodologia é aplicada a aálise do feôeo de colapso de tesão. Alé disso, explorou-se u ovo odelo de ipleetação, utilizado-se da proposta de solução do fluxo de carga ão-iterativo [XU,98], a obteção do poto de áxio carregaeto.. Fluxo de Carga O cálculo do fluxo de carga e sisteas elétricos de potêcia cosiste basicaete a deteriação do estado de operação do sistea para ua dada topologia e ua codição operativa do sisteas. A partir disso, deteria-se u ovo estado operativo para o sistea elétrico, obtedo-se: Os ódulos e âgulos das tesões as barras dos sistea; Uiversidade Federal de Itajubá 7

18 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Os fluxos de potêcia ativa e reativa as lihas de trasissão ao sistea iterligado; As potêcias ativas e reativas, geradas e cosuidas, be coo as perdas os diversos eleetos que copõe o sistea elétrico de potêcia. O estudo do fluxo de carga é ua das aálises ais cous e sisteas elétricos de potêcia. Esse estudo pode costituir-se, ou ão, e u aprofudaeto de aálise que utilize fluxo de carga coo ua ferraeta adicioal. Coo ferraeta para estudos ais coplexos, o fluxo de carga pode ser epregado coo parte e aálise de estabilidade de sisteas, e otiização e e cofiabilidade. Coo aplicações para siulações de fluxo de carga, podese citar: laejaeto do sistea elétrico, visado a cohecer detalhes para expasão futura; Avaliação das codições operativas do sistea; Estudos de avaliação e deteriação de edidas corretivas para operação do sistea e codições de eergêcia; Deteriação dos liites de trasissão de potêcia do sistea elétrico; Até 930 os cálculos do fluxo de carga era feitos à ão, para isso, uitas siplificações era feitas. ortato, para grades sisteas de potêcia era virtualete ipossível, devido ao grade úero de cálculos exigidos. Etre 930 e 956 fora usados aalisadores de rede para resolver probleas de fluxo de carga; tais aalisadores era odelos iiaturizados da rede elétrica e estudo. oré, o problea básico da iprecisão e a deora os cálculos aida persistia; e soete co a utilização de coputadores digitais os probleas apresetados fora resolvidos. Os prograas, que apeas autoatizava os cálculos dos Uiversidade Federal de Itajubá 8

19 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão étodos auais, ão explorava adequadaete a capacidade e os recursos dos coputadores. E 956, Ward e Harle apresetara u prieiro prograa para coputador be sucedido. Esse prograa utilizava a forulação odal do problea e resolvia as equações ão-lieares, que descrevia a rede elétrica, co o uso de u étodo iterativo de ewto odificado. O étodo de Gauss-Seidel tabé foi utilizado e prograas que viera logo e seguida. oré, o sucesso do étodo de Ward e Hale peritiu u grade úero de artigos de Gli e Stagg, Brow e Tiey, sugerido udaças os algoritos de ipleetação dos prograas. Co o crescieto dos sisteas elétricos de potêcia a década de 60, e co a tedêcia de iterligação cada vez aior, auetou-se sigificativaete o úero de ligações e de barraetos represetativos da rede elétrica. O étodo de Gauss-Seidel ão se adaptou uito be às ovas características de represetação para u grade úero de barras e, dessa fora, torou-se ecessária a busca por u étodo de solução que itegrasse essa característica iterligada dos sisteas elétricos de potêcia. Após aos de pesquisa, foi desevolvido pela Boeville ower Adiistratio (BA) u étodo uito be sucedido de solução de equações de fluxo de carga, utilizado-se para isso o algorito de ewto-raphso. Esse étodo ão só se adaptou be a grades sisteas de potêcia, be coo resolvia probleas que o étodo de Gauss-Seidel ão obtiha êxito. Atualete o étodo de ewto-raphso é o ais utilizado a solução de fluxo de carga; e desde sua prieira forulação, o étodo de ewto-raphso ve sofredo várias alterações o setido de torá-lo coputacioalete ais eficiete. ovos étodos tê sido desevolvidos a fi de se obter u custo coputacioal eor. Co exeplo, te-se os étodos desacoplados. Apesar dos étodos citados, a solução para o problea coputacioal do fluxo de carga cotiua sedo objeto de pesquisa. Uiversidade Federal de Itajubá 9

20 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão O fluxo de carga, por ser ão liear, iplica e processos iterativos de cálculo uérico e sua solução. As ão liearidades das equações aparece e fução dos odelos copoetes do sistea e das últiplas soluções características para u poto operativo, torado as equações sesíveis aos valores iiciais problea de valor iicial... Cosiderações iiciais o cálculo do fluxo de carga são feitas alguas siplificações: As cargas ativas e reativas são cosideradas costates. Ebora as cargas possa variar de fora sigificativa, essas variações ocorre e logos períodos de tepo e acotece de aeira leta e gradual. Assi, e pequeos itervalos de tepo essas udaças são quase iperceptíveis. ara udaças sigificativas as cargas, alterase os valores forecidos para as esas e u ovo cálculo deve ser efetuado. E algus casos especiais pode ser ecessário odelar alguas características diâicas das cargas. Essa odelage pode iplicar e odelos ais coplexos para represetá-las; coo exeplo de carga especial, pode-se citar a carga de retificação usada a idústria de aluíio, e etrôs e tres. Adite-se que o sisteas elétrico trifásico seja siétrico e relação as suas três fases, ou seja, ua represetação uifilar é suficiete. Essa siplificação ão altera de fora sigificativa a precisão dos resultados e sisteas elétricos de potêcia... Forulação ateática do roblea do Fluxo de Carga Teoricaete existe várias foras de apresetação aalítica dos circuitos elétricos de redes de eergia. Cosiderado as leis de irchhoff, para os ós e alhas e as relações etre tesão e correte, pode-se obter o odelo de fluxo de carga. a prática, todos os Uiversidade Federal de Itajubá 0

21 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão étodos usados atualete o cálculo do fluxo de carga usa a aálise odal e sua forulação. A difereça é que são cosideradas as potêcias ijetadas os ós do sistea e ão ais as corretes. or exeplo, seja u barraeto qualquer de u sistea elétrico de potêcia; Figura - a seguir Figura - Represetação de u Sistea de otêcia Ode: G S - otêcia coplexa gerada o ó ; C S - otêcia coplexa cosuida o ó ; T S - otêcia coplexa trasferida do ó () para os deais ós da rede através do sistea de trasissão. Assuido a prieira lei de irchhoff o ó () do sistea, te-se a equação (-); usado a coveção: a potêcia que é etregue à barra é cosiderada positiva; potêcia forecida pela barra é cosiderada egativa. Uiversidade Federal de Itajubá

22 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão S C T S S 0 (-) G A equação odal de u circuito de ós, e teros da atriz de aditâcia odal [Y ] é dada por: [ Y ][ ] [ I ] (-) Ode: [Y ] atriz de aditâcia odal do sistea, de orde x ; [ ] vetor das tesões odais do sistea, cotedo eleetos; [I ] vetor das corretes ijetadas os ós do sistea, cotedo eleetos. Coo o objetivo fudaetal do cálculo de fluxo de carga é a deteriação das tesões odais do sistea, ou seja, do vetor [ ]; e se o vetor [I ] é cohecido, o problea seria protaete resolvido. oré, o vetor [I ] ão é cohecido, e ua vez que as gerações e cargas são represetadas através de potêcias, co a potêcia coplexa ijetada e u ó do sistea, deoiada potêcia coplexa cosuida este ó, I S, é a difereça etre a potêcia coplexa gerada o ó, C S. Assi, te-se que: G S, e a S I S S (-3) G C Dessa fora, a potêcia coplexa ijetada é exataete a potêcia dispoível a ser trasitida aos deais barraetos do sistea. ogo: Uiversidade Federal de Itajubá

23 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Uiversidade Federal de Itajubá 3 T I S S (-4) A potêcia ijetada relacioa-se co a correte coplexa ijetada o ó, (-5) (-5) ode: k é a tesão do ó e o síbolo * é o cojugado do úero coplexo associado. ara se obter o vetor [I ], e fução das potêcias ijetadas e das tesões os barraetos, usa-se a equação (-5) para cada u dos barraetos. Assi: * * ] [ C G I S S S I (-6) Apesar das equações ateriores sere lieares, a itrodução da equação (-6) tora o odelo altaete ão-liear. Fialete: [ ][ ] C G Y S S * (-7) ara u ó qualquer, te-se etão: ( ) J j J C G Y S S * * (-8) * I I )* (S I I * S

24 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Da equação (-8) ota-se que, para cada ó do sistea, ua equação coplexa é associada. Assi, essas equações pode ser separadas e parte real e parte iagiária e cada ua dessas equações dá orige a outras duas equações. Assi, para o ó, resulta: Re I G C ( S S ) * G C ( S S ) * * (-9) Re YJJ j * (-0) I YJJ j Dessa fora, u sistea co barraetos, é odelado por equações ão-lieares. Cada u dos barraetos é, etão, caracterizado por seis gradezas específicas: - a potêcia ativa gerada, - a potêcia reativa gerada, G ; - a potêcia ativa cosuida, G ; - a potêcia reativa cosuida, C ; C ; - o ódulo da tesão, ; - o âgulo de fase da tesão, θ. A fora ais couete utilizada para o equacioaeto do fluxo de carga é a fora polar. Assi, te-se equações para o cálculo das potêcias ativas e reativas a seguite fora: is i j ( G ij cos θ ij + B ij se θ i j ) j is i j(g ijseθij Bij cosθij) j (-) (-) Uiversidade Federal de Itajubá 4

25 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão..3 étodos de Solução do Fluxo de Carga Coo ostrado as equações (-) e (-), as equações do fluxo de carga são ão lieares. A ão-liearidade das equações exige u processo iterativo de solução e, a literatura ostra ua ifiidade de étodos coputacioais para o cálculo descrito. oré, apeas algus deles tê aplicação prática a solução do fluxo de carga. oré, idepedeteete do étodo utilizado, alguas características básicas pode ser elecadas: - Redução de tepo coputacioal, característica iportate, ua vez que e casos reais o volue de dados é grade. Alé disso, aplicações e tepo real tabé são uitas vezes ecessárias; - Cofiabilidade e precisão a solução obtida; - Flexibilidade, pois é iportate que o étodo epregado seja versátil, ou seja capaz de apresetar soluções para diferetes cofigurações de copoetes e co icorporação de outras equações...3. étodos de Solução Iterativos Apesar dos uitos étodos citados a literatura, algus ocupa posição especial. Esses étodos são ais cous para o cálculo do fluxo de carga: étodo de Gauss; étodo de Gauss-Seidel; étodo da Relaxação; étodo das Secates; étodo de ewto-raphso; étodo isto (Gauss-Seidel e ewto-raphso). étodos de Seguda Orde Uiversidade Federal de Itajubá 5

26 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão ara cada u desses étodos existe variates e co opções que visa a elhoraria do processo de covergêcia e a redução do tepo coputacioal [O83]. E pricípio, o étodo de Gauss-Seidel (ua versão elhorada do étodo de Gauss) te ua ipleetação coputacioal bastate siples, co pouco uso de eória os cálculos. oré, o étodo apreseta u alto esforço coputacioal durate o processo iterativo e baixa taxa de covergêcia. Co a evolução dos coputadores digitais de elhor desepeho e co aior capacidade de arazeaeto; o étodo de ewto-raphso surgiu coo ua boa opção. Atualete, é o étodo ais utilizado para o cálculo do fluxo de carga. Esse étodo foi apresetado o fial da década de sesseta e te eficiêcia coputacioal co pouca utilização de eória; sedo u processo robusto quato à covergêcia. Sisteas cujas soluções são difíceis e outros étodos, pode ser resolvidos por ewto-raphso. oré, o étodo é susceptível às codições iiciais, podedo acarretar probleas uéricos durate o processo iterativo. ais receteete, surgira alguas forulações alterativas baseadas e ewto- Raphso, que proporcioa sigificativa redução de tepo coputacioal. or exeplo, o étodo da Relaxação é ua variate do étodo de Gauss-Seidel e o étodo da Secate ua variate do étodo de ewto-raphso...4 O étodo de ewto ou étodo das Tagetes O étodo de ewto é aplaete utilizado e cálculos de fluxo de carga. Isso se deve basicaete a sigificativa redução do tepo coputacioal, be coo o rápido processo de covergêcia e precisão dos resultados apresetados. Cosidere a equação algébrica ão-liear g(x) 0. Deseja-se deteriar o valor de x para o qual a fução g(x) se aula. O étodo de ewto pode ser facilete etedido Uiversidade Federal de Itajubá 6

27 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão através da Figura -, que resue sua fora de busca da solução, ode x s é a solução esperada. Figura - - étodo de ewto Cosiderado que o poto x o é cohecido e é próxio de x s, pode-se calcular a distâcia etre x s e x o através da expasão da fução g(x) e toro de x o, a partir de g( x 0 g'( x 0 ) ) estia-se o valor de x, aproxiado-se u ovo valor para x s. Dessa fora, a difereça etre x e x o é u erro eor ou aior que ua tolerâcia peritida para o valor de x s. Caso o erro seja aior que o esperado, calcula-se u ovo poto e ais próxio de x s. Se o erro é eor que a tolerâcia iposta, etão, o resultado é tão próxio de x s relativaete à tolerâcia peritida. ota-se que a solução pelo étodo de ewto é iterativa e é fudaetada a liearização e toro de u poto da curva g(x)...5 ropostas Alterativas para o Cálculo de Fluxo de Carga A abordage apresetada a seção..4 é a fora ais cou de cálculo de fluxo de carga. oré, ão é a úica fora aplicada a solução do problea. Uiversidade Federal de Itajubá 7

28 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão ode-se afirar que a solução para o fluxo de carga é objeto de estudos até os dias atuais. Durate as últias décadas, diversas ipleetações teta elhorar o tepo coputacioal, co precisão os resultados forecidos. ortato, são apresetadas duas alterativas possíveis de sere epregadas, e que são objeto de estudo e pesquisa a área...5. Fora Retagular Iterativa As equações ateriorete ostradas, são desevolvidas através de ua represetação polar, tesão e âgulo; a represetação retagular as equações de potêcia ativa e reativa são apresetadas coo segue: is is e ( G e B f ) + f i ij j ij j i j j f i j ( G ( G ij e j B ij f i ) e i ( G j ij ij f f + B e ) j j ij + B e ) ij j i (-3) (-4) ode ecos(θ) e fse(θ). A resposta obtida pelo étodo retagular, obviaete, forece o eso valor obtido pelo étodo polar. o etato, as variáveis de saída se apreseta de aeira diferete, já que a represetação polar apreseta o âgulo e o ódulo da tesão, equato que a represetação retagular te-se duas copoetes da tesão (real e iagiária). O Capítulo apreseta esta técica e detalhes...5. Fora Retagular ão-iterativa Este étodo baseia-se, coo o étodo de ewto, a expasão e Série de Taylor das equações de potêcia ativa e reativa. o etato, ao cotrário do étodo de ewto, esse étodo outros teros da expasão e série, a partir do prieiro tero, pode tabé Uiversidade Federal de Itajubá 8

29 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão ser utilizados. o étodo de ewto, a cada iteração o erro é coparado co ua tolerâcia especificada. o étodo ão-iterativo, a expasão e série de Taylor é agora acrescida de u ovo tero, até que o erro seja eor que a tolerâcia dada. uado o erro é eor que a tolerâcia, o étodo é iterropido e os valores de iteresse calculados. Testes ostra que essa técica para o caso do fluxo de carga proporcioa ua redução sigificativa de tepo coputacioal [XU98]. o capítulo são ostrados os passos para se obter o cálculo do fluxo de carga co o uso do étodo ão-iterativo. Coo os sisteas de potêcia são susceptíveis a perturbações, e pode ir da estabilidade a istabilidade através de pequeas perturbações, várias aálises relativas as perturbações são realizadas, e u desses estudos é a evolução do sistea até o colapso de tesão.. Colapso de Tesão Os sisteas elétricos de potêcia estão, cada dia ais operado sob codições severas de carregaeto e iposições as suas liitações físicas. Assi, oitorações costates são iprescidíveis e, detre os probleas idetificados co a crescete deada de carga, ecotra-se o processo de istabilidade de tesão. O processo de istabilidade de tesão, oralete, leva o sistea a sucessivas alterações os íveis de tesão e a istabilidade diâica. Coo u sistea diâico coplexo, espera-se que o sistea elétrico se ateha estável eso diate de trasitórios eletroecâicos, garatido a estabilidade e u efetivo poto operativo pós trasitório. ater o sistea elétrico de potêcia e codições satisfatórias, sob o poto de vista da tesão, te-se torado objeto de iteresse e, edidas eficazes de elhorias e cotrole e relação à potêcia reativa e, tesão são etão toadas [SOU95]. Uiversidade Federal de Itajubá 9

30 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Dessa fora, caso ações de cotrole ão seja toadas, o sistea pode-se torar istável diaicaete, levado-o a ua situação isustetável. Alguas defiições ais forais sobre o feôeo do colapso de tesão são apresetadas as seções seguites... Estabilidade de tesão É a capacidade do sistea elétrico de potêcia e ater-se estável tal que, se a ipedâcia da carga aueta, a potêcia da carga diiui; e tesão e potêcia são cotroláveis e todas as barras do sistea. a verdade, a estabilidade de u sistea elétrico de potêcia é u problea global, ode os efeitos dos copoetes coo geradores e seus dispositivos de cotrole e proteção, e lihas de trasissão, ifluecie decisivaete a operação. Todas as perturbações, assi coo as possíveis localizações, deve ser cosideradas; e epresas idepedetes estão acessado as alhas de trasissão e todo o udo, co sesíveis alterações os fluxos de potêcia as lihas de trasissão. Co o crescete aueto da carga e a redução a arge de trasissão o sistea tede a operar e codições liites de estabilidade de tesão. Coo exeplo, pode-se citar vários icidetes ocorridos os últios aos, cujos pricipais fatores e tais evetos estão relacioados a seguir [CUT98, CUT00, OO00]: capacidade de trasissão de potêcia do sistea (logas distâcias elétricas etre gerações e cetros de carga); falta de reserva rápida de potêcia reativa (geradores, copesadores sícroos e SCs); falta de outras fotes de reservas de potêcia reativa, coo capacitores; altas taxas de trasferêcia de potêcia e elevadas codições de carregaeto; cargas co baixo fator de potêcia e SC Secodary oltage Cotrol Uiversidade Federal de Itajubá 30

31 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão características particulares da carga, coo as cargas que são restabelecidas através de TCs... Istabilidade de Tesão Ocorre quado elevações de carga, perturbações ou alterações a cofiguração da rede elétrica causa u declíio cotiuado da tesão. oralete esse feôeo está associado à idispoibilidade o suprieto de potêcia reativa, causado ua progressiva redução o perfil da tesão. Iicia-se de fora localizada, poré, o processo de istabilidade pode se esteder por todo o sistea, fializado co o feôeo idesejável do colapso de tesão. a tetativa de suprir as cargas, alé da capacidade de potêcia áxia peritida pelo cojuto de geração e trasissão, a istabilidade de tesão acotece. A potêcia áxia é iflueciada diretaete pelas distâcias elétricas etre geração e os cetros de carga, coo tabé pelas liitações de potêcia reativa de geradores; e o processo de istabilidade de tesão é ua redução progressiva os íveis de tesão após o efeito de restabelecieto da carga. Detre os efeitos iediatos a redução dos íveis de tesão, fializado co o colapso da tesão estão a perda de sicroiso de geradores e bloqueio de cargas coo os otores de idução. O feôeo da istabilidade de tesão pode ser cosiderado curto ou de loga duração, sepre associado ao tipo de carga, ou do tepo de restabelecieto da carga. U otor de idução restabelece o seu cosuo de potêcia ativa e aproxiadaete u segudo (curto prazo). Etretato, cargas alietadas por coutadores sob carga (TC) são restabelecidas etre u ou ais iutos (logo-prazo). U tepo igual é válido para o suprieto de cargas cotroladas por terostatos. Apesar da possibilidade da istabilidade de tesão acotecer co o aueto de carga acia da capacidade de trasferêcia de potêcia, TC oad Tap Chager Uiversidade Federal de Itajubá 3

32 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão esse feôeo acotece, oralete, diate de grades perturbações. Cotigêcias siples ou últiplas possibilita o surgieto do processo de istabilidade de tesão. oré, a duração apreseta-se sob potos de vistas diferetes: a logo prazo, a preocupação pricipal é a perda da rede de trasissão (pricipalete etre geração e cetros de carga), ou o desligaeto de geradores (pricipalete aqueles que se localiza perto das cargas e forece suporte de potêcia reativa). A curto prazo, a deora a eliiação de ua falta pode levar o sistea defiitivaete à istabilidade e ao colapso. Alguas ações de cotrole pode ser toadas para se evitar o surgieto da istabilidade de tesão: copesação shut : iserção autoática de capacitores shut e/ou desligaeto de reatores shut ; cotrole de eergêcia de TCs: bloqueado, retorado a ua posição predefiida, ou alterado o ajuste de referêcia de tesão; desligaeto autoático de lihas de iterligação (caso seja aceitável para a área que iporta potêcia); odulação da potêcia e sisteas de trasissão e correte cotíua (CC); partida rápida de uidades geradoras; aueto rápido das tesões dos geradores (através de ajustes dos Reguladores de Tesão Autoáticos - ARs) e coo últio recurso, corte de carga. Segudo [CUT98, CUT00, OO00, SOU95], o corte de carga o local correto e tepo apropriado são ações ais efetivas para iterroper u processo de istabilidade de tesão. O tipo de carga a ser cortado tabé deve ser observado, ua vez que sobretesões pode acotecer. Uiversidade Federal de Itajubá 3

33 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão..3 Colapso de Tesão O feôeo do colapso de tesão é o processo fial da istabilidade de tesão e, ivariavelete, deteria íveis uito baixos de tesão e ua parte sigificativa do sistea. Há casos ode o colapso de tesão tabé está associado à istabilidade agular. uitas vezes, soete ua aálise cuidadosa, pós-icidete, pode desvedar as causas priárias. A istabilidade agular ocorre quado há ua redução acetuada de tesão e u poto sigificativo do sistea e loge das cargas. Já a istabilidade de tesão, a redução de tesão aparece e áreas de forte cosuo ou deada ou a proxiidade. U sistea de potêcia tede à istabilidade quado os íveis de carga, distúrbios e/ou cotigêcias ocorre, proovedo quedas sigificativas de tesão e períodos curtos, co os cotroles autoáticos do sistea ão respodedo adequadaete e peritido, assi a istabilidade. Essa queda de tesão pode ser rápida ou ão, variado de segudos a algus iutos [SOU95, A04, A03, BRE03, ZAR04, O0, ER04]. A Tabela - a seguir ostra casos ode evetos de colapso de tesão pelo udo todo ocorrera [E99] e serve para aálise e estudo de casos associados ao feôeo: Tabela - - Evetos ode ocorrera colapsos de tesão RICIAIS DATA OCA EETOS IICIAIS EEETOS IFUETES e DURAÇÃO /09/970 ova York (EUA) Carregaeto elevado; Desligaeto de uidade geradora Cargas; Duração: vários iutos Uiversidade Federal de Itajubá 33

34 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão ova York Desligaetos e Ilhaeto de área co 3/07/977 (EUA) cascata de lihas de trasissão desequilíbrio etre carga e geração; Duração: ão divulgado Jacksoville Desligaetos de 3 OX de geradores; /09/977 (Flórida-EUA) uidades geradoras Duração: algus iutos Fraça Carregaeto elevado Cargas e eleetos de 9//978 proteção; Duração: 6 i Zealad Desligaeto de Idispoibilidade de 0/03/979 (Diaarca) uidade geradora reserva de potêcia reativa; TC; Duração: 5 i Caadá Carregaeto elevado de rograação de Julho/979 liha após desligaeto de geração; TC; carga Duração: ão divulgado ogview/ Desligaeto de TC; 0/08/98 Washigto uidade geradora e Duração: algus (EUA) lihas iutos 04/08/98 Bélgica Desligaeto de uidade geradora OX de geradores; Duração: 4,5 i Desligaeto de Ilhaeto de área co 8//98 Flórida (EUA) uidade geradora desequilíbrio etre carga e geração; Duração: a 3 i /05/983 Califória Desligaeto bipolar de liha de correte Elevação das perdas; Sobrecarga a rede de 3 OX Over-excitatio iiter Uiversidade Federal de Itajubá 34

35 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão (EUA) cotíua (HDC) correte alterada; Duração: i 7//983 Carregaeto elevado; Defeito fase-terra e ua subestação; Trasforadores co TC; Geradores; Cargas terostáticas; Suécia osterior abertura de Duração: 55 s ihas Idispoibilidade de /06/984 EUA Carregaeto elevado geração; Duração: vários iutos Defeito fase-terra e Ilhaeto de área co 7/05/985 Flórida (EUA) ihas desequilíbrio etre carga e geração: Duração: 4 s Wiipeg Eergização de Coversor CA/CC; 3/04/986 (Caadá) trasforador (de u Duração: s coversor CA/CC) 0/05/986 Iglaterra Desligaeto de seis lihas Elevação das perdas; Duração: 5 i /0/987 Fraça Desligaetos de uidades geradoras Geradores (sobrecarga); Duração: 6-7 i ississippi Desligaetos de Aparelhos de ar, 30 e 3/07/987 (EUA) Trasforadores Codicioado;Dur:- Illiois e Idispoibilidade de 0/07/987 Idiaa (EUA) Carregaeto elevado geração; Duração: vários iutos Uiversidade Federal de Itajubá 35

36 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Copesação de potêcia 3/07/987 Tóquio (Japão) Elevação rápida de Carga reativa através de bacos de capacitores; Duração: 0 i Eliiação leta do /08/987 Teessee (EUA) Defeito e u Barraeto defeito; otores de Idução; Duração: 0 s Superexcitação de trasforadores causada Desligaetos de arço/989 Caadá por aueto da atividade SC s; solar (flutuações Duração: algus geoagéticas) segudos Carolia do Carregaeto elevado: Geradores; AR; /07/989 Sul Desligaeto de Duração: ão divulgado (EUA) uidade geradora 03/0/990 ov./990 Fraça Desligaeto de uidades geradoras TC; Duração: algus iutos Baltiore Carregaeto elevado Idispoibilidade de 05/07/990 (EUA) geração; Duração:vários iutos A Tabela - ostra casos reais de colapso co coseqüêcias draáticas. A aálise de evetos coo esses, perite eteder coo o feôeo do colapso de tesão acotece. Tais evetos pode ser caracterizados coo evetos letos ou rápidos, e ua aálise de cada u dos evetos pode ajudar a eteder coo o feôeo de colapso de tesão pode ser idetificado e u sistea elétrico de potêcia. or exeplo, os icidetes a Diaarca (arço de 979) e a Iglaterra (aio de 986) fora caracterizados coo evetos letos, Uiversidade Federal de Itajubá 36

37 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão equato que o icidete ocorrido a Suécia (dezebro de 983) foi u eveto rápido. Os evetos letos acotece coo coseqüêcia de pequeas e sucessivas perturbações, esse tipo de feôeo, oralete, as lihas de trasissão chega a sua capacidade áxia de trasporte de eergia. esses casos, u odelo estático do sistea elétrico é capaz de ostrar a atureza do problea. Já e casos rápidos, há ua outra iterpretação do feôeo, pois a perda total de ua liha de trasissão e/ou de u gerador, pode levar ao colapso de tesão rapidaete, cosiderado a topologia do sistea, caracterizado, tais barras coo para a ocorrêcia do feôeo colapso de tesão. Alé dos evetos apresetados a tabela -, relata-se aida as ocorrêcias de 4 e 5 de abril de 997, o Brasil. Apesar da severidade das ocorrêcias, os sisteas sul-sudeste e cetro-oeste ão chegara ao colapso total, co a efetivação de corte de cargas aualete, atedo-se 85% da carga. Aálises ostrara u grade afudaeto de tesão a região da grade São aulo e copatível co u colapso parcial de tesão, ão havedo perturbação ou aoralidade que desse orige ao feôeo. Todos os recursos para o cotrole de tesão fora utilizados; ressalta-se que o sistea S/SE/CO operava, cofore o plao de auteção, co equipaetos da alha pricipal, se iportates equipaetos de suporte de potêcia reativa a área São aulo. Receteete u eveto ocorrido os Estados Uidos, o dia 4 de agosto de 003, aproxiadaete às 6:00 horas (horário de Brasília), 50 ilhões de pessoas ficara se eergia elétrica. ais precisaete, o colapso de tesão ocorreu e alguas partes de Ohio, ichiga, ew York, esylvaia, ew Jersey, Coecticut, assachusetts, erot, alé de Otario e uébec o Caadá. O apagão se estedeu e alguas partes dos Estados Uidos por dias e e parte de Otario ocorrera sucessivos desligaetos por cerca de duas seaas [ER04]. ediate tal ocorrêcia, algus potos erece destaque: Uiversidade Federal de Itajubá 37

38 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Segudo levataetos feitos e [ER04], ua aálise de fluxo de carga foi realizada às 5:05h e o sistea se atiha detro da faixa de operação peritida; eso co idispoibilidade de ua liha de trasissão específica e ais de oitocetas cotigêcias diferetes siuladas. E resuo, o sistea operava detro dos liites defiidos pelo fluxo de carga [ER04]; De fora geral, a deada de carga estava abaixo do liite histórico. oré, o ordeste de Ohio a carga estava oderadaete ais alta para ateder a deada de aparelhos de ar-codicioado. icos de,853 W levara o sistea a forecer altos íveis de potêcia reativa; Altos íveis de potêcia fora trasferidos de leste para oeste; Assi, apesar de u retrato de aparete estabilidade, foi idetificado que vários liites de operação fora trasgredidos. Basicaete, os dados usados para o cálculo do fluxo de carga ão era corretos ou suficietes. A saída de ua liha de trasissão provocou cotigêcias e várias outras lihas de trasissão. A falha de servidores coputacioais e operadores tabé itesificou o problea. E decorrêcia desses probleas, o oitoraeto e tepo real foi perdido. A cotigêcia co a saída da liha deoiada Chaberli-Hardig, de 345-k, foi uito severa, poré trasparete para o operador; os probleas coputacioais citados aida iplicara e ua outra violação que levou ao colapso: o sistea operava co tesão abaixo do tolerável e o ível de reserva de potêcia reativa era iadequado. Coseqüeteete, o colapso de tesão se istalou por todos os locais citados. Os exeplos acia são suficietes para caracterizar o problea coo grave e erecedor de estudos e pesquisas sobre o feôeo. As seções seguites apreseta ferraetas úteis a predição e aálise do feôeo colapso de tesão. Uiversidade Federal de Itajubá 38

39 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão..4 Aálise Estática a aálise estática são desprezadas as variações e fução do tepo. Dessa fora, ua represetação ais siples do sistea é cosiderada. Etretato, a siples represetação do sistea ão perite avaliar as udaças que ocorre diaicaete. Assi, o esforço coputacioal tora-se eor e detrieto de ua eor cofiabilidade dos resultados obtidos. As técicas apresetadas os ites..5 até..4 são baseadas a abordage estática do sistea elétrico de potêcia. este trabalho, a aálise estática foi epregada. O processo iterativo de ewto Raphso, apresetado coo étodo para o desevolvieto de ovas ferraetas para os estudos de colapso de tesão, apreseta algus probleas de covergêcia uérica ao logo do processo iterativo de cálculo...5 atrizes de Sesibilidade A sesibilidade das variáveis de estado do sistea é obtida através da atriz Jacobiaa do fluxo de carga e cada poto de operação deteriado. Esta aálise perite ecotrar as barras do sistea elétrico cujas as variáveis de estado são ais sesíveis a ua variação de carga...6 Teoria da Bifurcação O estudo do coportaeto de u sistea de equações ão-lieares pode ser obtido através da teoria da bifurcação [SEY88, CHE03]. De todos os tipos de bifurcações, as bifurcações do tipo sela-ó e Hopf são as de ocorrêcia ais cou e sisteas elétricos de Uiversidade Federal de Itajubá 39

40 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão potêcia. ara o odelo diâico de sistea, abos os tipos pode ser detectados; etretato, se o odelo de fluxo de carga (estático) é escolhido, soete a bifurcação do tipo sela-ó é possível de ser ecotrada, devido às restrições ipostas a odelage estática do sistea. As técicas apresetadas as próxias seções são baseadas a abordage estática e associa o poto de colapso co u poto de bifurcação sela-ó do sistea diâico...7 étodo da Cotiuação Diversas referêcias utiliza este étodo para idetificação da bifurcação sela-ó a avaliação da estabilidade de tesão [AJJ88, A89, A03]. Através de sucessivas variações paraétricas (carga e geração as barras), o étodo idetifica o poto de colapso e traça o diagraa de bifurcação (curva ). Ua vez que o poto de colapso está associado a u autovalor real ulo, a atriz Jacobiaa é al codicioada para potos de operação próxios ao poto de bifurcação; coseqüeteete, a covergêcia do sistea de equações por ewto-raphso ão é obtida. Este problea é superado através de ua paraetrização, obtida através da substituição de ua das coluas da atriz Jacobiaa por ua outra colua. Apesar dos resultados precisos obtidos por este étodo, seu uso é liitado pelo alto esforço coputacioal requerido, pricipalete próxio ao poto de colapso...8 étodo Direto O étodo deteria o poto de colapso através do étodo de ewto-raphso odificado. Ao cojuto de equações de fluxo de carga é icorporado u cojuto de equações que ipõe a sigularidade da atriz Jacobiaa e garate a ão-trivialidade da solução (autovetor ão ulo). A referêcia [CA9] eprega este étodo, que ão forece o diagraa de bifurcação, e pode falhar se os liites de geração de potêcia reativa fore Uiversidade Federal de Itajubá 40

41 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão cosiderados. robleas de covergêcia pode tabé ocorrer se os parâetros iiciais estivere distates da solução...9 Otiização Epregada iicialete e [CUT90], ode a atriz Jacobiaa é reduzida às equações de potêcia reativa e fução do ível de tesão. a apresetação do problea, o icreeto de carga é a fução objetivo, e as cargas ão otiizadas são restrições de igualdade; e os liites de geração de potêcia reativa são as restrições de desigualdade. Adite-se que a carga teha fator de potêcia costate durate todo o processo de carregaeto do sistea. As referêcias [GRA97, IRI97] propõe o étodo de potos iteriores coo técica de otiização. A prieira referêcia busca, a partir de u poto de operação ão factível, o poto de bifurcação, equato a seguda referêcia se propõe a achar o poto de áxio carregaeto do sistea...0 alores Sigulares e Autovalores Cosiste e, para cada poto de operação, calcular os eores valores sigulares e autovalor da atriz Jacobiaa. As referêcias [OF9, BAR95] e [U90, AR94] trata da aálise de estabilidade de tesão por valores sigulares e autovalores, respectivaete. À edida e que se aueta o carregaeto do sistea, o eor valor sigular e o eor autovalor diiue, até se torare ulos, quado o poto de bifurcação é idetificado. Uiversidade Federal de Itajubá 4

42 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão.. Deteriate Reduzido roposto e [SOU9] coo ídice de estabilidade de tesão, baseia-se a redução da atriz Jacobiaa à diesão das equações de potêcias ativa e reativa para cada barra de carga e relação ao seu âgulo de fase e ódulo da tesão. Esta atriz de diesão x é calculada para todas as barras de carga do sistea. ara cada barra de carga, a atriz reduzida te seu deteriate calculado. A barra de carga associada ao eor deteriate é a barra crítica do sistea aquele poto de operação... Fução de Eergia Fuções de eergia fora iicialete epregadas e sisteas elétricos de potêcia e estudos de estabilidade trasitória [CHI89]. O étodo cosiste e avaliar a eergia total (ciética e potecial) de u sistea de potêcia durate u distúrbio (curto-circuito, por exeplo) o sistea. ara a operação estável do sistea, a eergia áxia que este pode vir a ter durate o tepo de distúrbio deve ser igual a u ível de eergia associado a ua codição pós-falta. Co essa etodologia, por exeplo, deteria-se o tepo crítico de abertura de disjutores para o qual o sistea aida se até estável. O étodo pode tabé produzir resultados iteressates a aálise de estabilidade de tesão. este caso, soete a eergia potecial do sistea é ecessária, dispesado a iclusão de aortecieto e odelos coplexos de geradores. As referêcias [OE9a, OE9b] ostra que a variação da fução de eergia pode ter u coportaeto liear e fução do aueto de carga; possibilitado u ídice de colapso de tesão para qualquer poto de operação. Coo a distâcia até o poto de colapso pode ser estiada, iforações a respeito da arge de carga pode ser obtidas para qualquer poto de operação, o que é u aspecto iportate a ser cosiderado. Uiversidade Federal de Itajubá 4

43 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão..3 artição de redes Os étodos expostos ateriorete são capazes de produzir resultados úteis para a aálise de estabilidade de tesão; etretato, para algus destes ídices resultados iesperados pode ocorrer se u prograa de fluxo de carga covecioal for epregado. Aida que u processo de paraetrização seja icorporado, o coportaeto desses ídices ostra a ecessidade de trilhar o sistea até que o poto de bifurcação seja ecotrado. O étodo da fução de eergia, por outro lado, é capaz de estiar o poto de colapso a partir de dois potos de operação cohecidos, as a deteriação das soluções istáveis de iteresse se costitui-se e liitação do étodo. A dessas dificuldades, técicas de partição de redes pode ser de especial iteresse, ua vez que a diesão do sistea aalisado pode ser substacialete reduzida...4 étodo do etor Tagete roposto e [SOU96a, SOU96c, SOU97], baseia-se o coportaeto do aior copoete do vetor tagete e fução do crescieto de carga. O cálculo deste vetor é facilete icorporado e qualquer prograa de fluxo de carga covecioal. ogo, sua facilidade de obteção costitui ua grade vatage e relação aos étodos previaete descritos. Etretato, seu coportaeto e fução do aueto de carga produz a esa descotiuidade observada o coportaeto do deteriate reduzido às equações da barra crítica do sistea, qualificado este étodo tabé coo icapaz de estiar o poto de bifurcação. Este problea é superado pela técica da extrapolação quadrática, que a partir de dois potos de operação cohecidos busca-se o poto de bifurcação através de tetativa e erro. Ua outra vatage do étodo se refere à idetificação da barra crítica, obtida para potos de operação distates do poto de bifurcação. O tepo coputacioal obtido para o sistea Uiversidade Federal de Itajubá 43

44 U étodo de fluxo de carga ão iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão de 300 barras do IEEE idica este étodo coo extreaete proissor, o que evita o uso de partição de redes. Etretato, deve-se ressaltar que, ao cotrário dos étodos previaete propostos, sua icorporação e u odelo diâico de sistea ão é trivial. ara o étodo de fluxo de carga iterativo, coo já abordado, várias técicas pode ser epregadas. As ferraetas citadas são epregadas para a solução do étodo de fluxo de carga ao logo do trabalho e o capítulo a fora retagular ão-iterativa é apresetada para a solução do étodo de fluxo de carga. Uiversidade Federal de Itajubá 44

45 Capítulo Fluxo de Carga Retagular ão-iterativo Este capítulo aborda de fora cocisa o odelo de fluxo de carga retagular ão-iterativo. O oe-ão-iterativo é usado devido ao fato de o erro calculado ser reduzido co a expasão e série de Taylor e, portato, há ecessidade da fatoração da atriz Jacobiaa apeas ua vez. As aálises ateáticas do étodo são ostradas e os resultados obtidos discutidos, tabé é aalisada a fora coo esta etodologia foi proposta a literatura; co alguas discussões sobre o assuto. Co isso peritiu-se siplificar a forulação iicial, tabé apresetada este capítulo.. Fluxo de Carga olar Coo citado o Capítulo, o cálculo do fluxo de carga apreseta a fora polar coo a ais utilizada, ode o étodo de ewto-raphso é aplaete utilizado. As equações de potêcia ativa e reativa a fora polar são: cos k k k k k ( G θ + B seθ ) k k k k ( G seθ B θ ) cos k k k k k (-) (-)

46 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão. Fluxo de Carga Retagular A fora quadrática das equações do fluxo de carga a fora retagular possibilita a expasão polioial ou série de Taylor [XU98]. Coo exeplo siples apreseta-se a solução de ua equação quadrática. Esse exeplo é retirado da referêcia [XU98], por coveiêcia: y x e y y (-3) S Sedo y a variável cohecida e x a variável iplícita a ser calculada. A solução peritida para essa equação é x g( y) ± (-4) y s Agora para a ª derivada: dy d ( x ) dx x dx dx dy (a) ara a ª derivada d(x) 0 dy dx dy d x dx + x dy dy d x + x dy (b) ara a 3ª derivada 3 dx d x d x x 3 dy dy dy Da equação (-4 (a)): dx dy x (c) (d) Uiversidade Federal de Itajubá 46

47 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Da equação (-4(b)): dx dy x dy 4x d x 3 (e) Da equação (-4(c)): 6 3 dy x dy dy 8x 3 d x dx d x 3 5 (f) Substituido a equação (-4(e)) a equação (-4(c)) te-se a solução de xg(x). ara a série a seguir: dx d x d x x y + y y +... dy dy! dy (g) ode-se substituir, a partir de (-4) obtedo-se: 3 y y y x x 8x 6x (h) Fialete, pode-se resolver a equação para y e x 0, obtedo-se o resultado a seguir: 3 y y y x x 0, 5 0, , 0095 x 0, 364 (i) O exeplo ostra deteriação da solução pela série de Taylor para ua equação quadrática. As tesões e ijeções líquidas de potêcia e ua barra i, e coordeadas retagulares pode ser defiidas coo e [XU98]: Uiversidade Federal de Itajubá 47

48 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão + (-5) i ei jf i S + (-6) i i ji Assi, o étodo do fluxo de carga busca os valores corretos para e i e f i que satisfaça as equações do fluxo de carga retagular, seja: is e ( G e B f ) + f i ij j ij j i j j ( G ij f j + B e ) ij j (-7) is f i j ( G ij e j B ij f i ) e i ( G j ij f j + B e ) ij i (-8) Co a equação de potêcia reativa usada apeas para as barras. ara as barras, a equação pode ser forulada coo segue: e + f (-9) is i i ara as equações apresetadas, observa-se que is e is são valores especificados para as potêcias ativa e reativa respectivaete para as barras. is e is são os valores dados para a potêcia ativa e tesão as barras. A partir dos valores da atriz Y barra, represetados por G ij + jb ij. Ode G represeta a codutâcia, e B a susceptâcia. Os etores X e Y represeta os valores iiciais de tesões as barras e ijeção de potêcia, respectivaete, defiidos coo: Uiversidade Federal de Itajubá 48

49 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão t X [ f... f, e... e ] Y [...,..., +... ] t (-0) O vetor X é coposto pelas tesões coplexas as barras e varia, cofore a equação (-0), de f até f e segue os valores de e até e, sedo o úero de barras do sistea, icluido a barra swig. Os dados o vetor Y são respectivaete potêcia ativa (para as barras e ), potêcia reativa (barras soete) e as tesões (barras ). Das equações acia, pode-se ostrar que: t yi X H i X (-) Ode a atriz H i represeta a atriz de aditâcia odal. O úero de atrizes H varia de até. Sedo o úero de barras do sistea. Essa atriz H te diesão, portato, x. A otage dessa atriz é trivial, as deada u grade esforço coputacioal. or esta razão, dois exeplos serão ostrados a seguir. E abos os casos, u sistea de duas barras é usado. E u deles, ua barra é classificada coo swig, equato que a seguda é cosiderada. O segudo sistea apreseta ua barra swig e outra. Isto perite visualizar a difereça de forulação para cada tipo de barra. Assi, pode-se usar as equações apresetadas e (-7) e (-8) para a otage da atriz H e cálculo da potêcia ativa : e ( G e B f ) + f ( G f + B e )) + ( e ( G e B f ) + f ( G f + B )) (-) ( e Uiversidade Federal de Itajubá 49

50 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão a equação (-) é ostrada a equação de para o sistea de duas barras. Assi, podese costruir a atriz H que represeta a atriz de aditâcia, cofore Tabela -: Tabela -- atriz H para cálculo de G -B G -B B G B G Segudo o equacioaeto do fluxo de carga copactado dado a equação (-), obtése a Tabela -: Tabela -- Represetação atricial dada pela equação (-) G -B f f f e e G -B f B G e B G e A atriz H para o cálculo do fluxo de carga é apresetada a Tabela -3: Uiversidade Federal de Itajubá 50

51 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Tabela -3-Represetação didática da otage da atriz H f f e e 3 4 f G 0 -B 0 f G 0 -B 0 H( ) e 3 B 0 G 0 e 4 B 0 G 0 a equação (-), para a barra, ota-se que G é ultiplicado por e e e. Assi, G aparece e H 33. U outro exeplo: B aparece e H 4, ode a equação (-) o tero B é ultiplicado por e e f. Assi, pretedeu-se deostrar, a represetação atricial dada pela equação (-) que são apresetadas a expressão (-3 a,b,c,d) a seguir: ( G + + f (-3) (a) f G f + Be Be ) + ( 0 f 0 f + 0e + 0e ) f + (b) + ( G e Ge B f B f ) e + (c) + ( 0 f 0 f + 0e + 0e ) e + (d) Da expressão (-3), observado que os teros (b) e (d) tê resultado igual a zero e arrajado segudo a equação (-), te-se que: e ( Ge f B f ) + e ( G e B ) + f G f + B e ) + f ( G f + B ) (-4) ( e Uiversidade Federal de Itajubá 5

52 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Da expressão (-4), obté-se a expressão (-5): (e(ge B f ) + f(g f + Be )) + (e (Ge B f ) + f(g f + Be )) (-5) A expressão (-5) é a esa dada pela equação (-). ortato, pode-se afirar que da equação (-) pode-se extrair o eso resultado apresetado a tabela -. Tabela -4-Represetações do fluxo de carga copactado G -B f f f e e X t H i X G -B f B G e B G e Tabela -4, represeta a otage da atriz H, que é a atriz de aditâcia odal. O exeplo foi especificaete usado para o cálculo de ua potêcia ativa (). A costrução da atriz H co o eso tipo de represetação, poré para o cálculo de, é feita de aeira aáloga. o próxio capítulo é ostrada ua fora siplificada de executar o cálculo ão-iterativo, e que a otage da atriz H ão é requerida, cofore ostrado. o etato, de fora a validar a etodologia, este capítulo apreseta a proposta da referêcia [XU98]..3 Série de Taylor e Soluções do Fluxo de Carga A expasão e série apresetadas as equação (-6) e (-7) são a fora geral da série de Taylor para variáveis uidiesioais. Seja a fução yg(y) e a solução (x 0, y 0 ), etão y 0 g(x 0 ). Uiversidade Federal de Itajubá 5

53 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão () f (a) Τ( x) (x a) 0! (-6) dxy d x x + y dy dy d x y! dy +... (-7) Agora seja X X s X o vetor coposto das variações de tesões e 0 Y Y s Y o 0 vetor coposto das de potêcias ativa e reativa calculadas; e cosiderado o vetor k k [ X / Y ] coo a derivada de orde k, e relação a Y, ou vetor de sesibilidade de X co respeito a Y [XU98]. Alguas perturbações as ijeções de potêcia pode causar variações as tesões das barras, e as agitudes dessas variações pode ser quatificadas usado a sesibilidade do vetor X co respeito ao vetor Y. Assi, a solução do fluxo de carga pela expasão da série de Taylor pode ser apresetada coo a equação (-8): X Z + Z Zk... k! + (-8) ode: JZ Y (-9) -JZ J(Z )Z -JZ 3 3 J(Z ) Z (-0) (-) Uiversidade Federal de Itajubá 53

54 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão -JZ 4 + J(Z ) Z (-) 4 J(Z ) Z3 3 -JZ 5 + J(Z ) Z 5 J(Z ) Z4 0 3 (-3) As equações de (-9) a (-3) são utilizadas o fluxo de carga retagular ão-iterativo. Coo ostrado o exeplo da equação quadrática, a redução do erro absoluto acotece à edida e que u ovo tero é acrescetado à série. Outros teros da série pode ser obtidos o Apêdice D. uado a iequação (-4) é satisfeita, a covergêcia é obtida. ax( Zk ) < ε k! (-4) Os resultados obtidos e [XU98] ostra que étodo é potecialete ais rápido e alcaça os esos resultados que o étodo de ewto-raphso. A seção.4 apreseta a solução de u fluxo de carga dado e [O83]. A solução é obtida por coveiêcia, ua vez que a solução polar é apresetada a referêcia citada..4 Solução olar iterativa iterativa. Dado o sistea a seguir, deseja-se resolver o fluxo de carga a fora polar Uiversidade Federal de Itajubá 54

55 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Figura - Caso exeplo A Tabela -5 apreseta os dados para o caso exeplo. Tabela -5- Dados das barras do caso exeplo Barra Tipo (p.u.) (p.u.) (volts) θ ( ) θ - -,0 0-0,3 0, A Tabela -6 apreseta os valores de resistêcia e reatâcia e p.u., para lihas de trasissão. A potêcia base é 00A. Tabela -6-Dados da liha de trasissão do caso exeplo iha r x b sh - 0,,0 0,0 Uiversidade Federal de Itajubá 55

56 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão A Tabela -7 apreseta a atriz Y barra (codutâcia e susceptâcia) obtida para o sistea exeplo. Tabela -7-atriz Y Barra do caso exeplo 0,93-0,93-0,945 0,965 G -0,93 0,93 B 0,965-0,945 Aditido ua tolerâcia de 0,003 (p.u.); Carga -0,3 e Carga 0,09, ua sítese do cálculo do fluxo de carga polar é dada a Tabela -8: Tabela -8-Resultados obtidos para o caso exeplo ariáveis Iteração θ θ 0 0,000,000-0,300 0,090-0,38 0,03-0,38,03-0,006-0,05-0,0-0,053-0,330 0,978-0,00-0,0 - - A solução, o etato, pode ser obtida a partir das equações (-5) e (-6). ( ) G + (G cos θ + B se θ ) (-5) - ( ) B + (G seθ B cosθ ) (-6) Uiversidade Federal de Itajubá 56

57 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão ara a a iteração, te-se: i.,0, θ 0 e,0. ii. () * 0,93 + *(-0,93* + 0,965*0)0 -() * -0,945 + *(-0,93*0 0,965*)-0,0-0,3-0-0,3; 0,07-(-0,0)0,09 iii. Coo o aior erro absoluto é aior que a tolerâcia (>0,003), o processo iterativo cotiua. A Tabela -9 apreseta a atriz Jacobiaa para o caso e estudo Tabela -9-atriz Jacobiaa do caso exeplo H - ( ) B 0,965 [ + ( ) G ]/ 0,93 - ( ) G -0,93 [ - ( ) B ]/ 0,95 O processo iterativo segue as equações (-7) a (-9): iv. H θ * (-7) Uiversidade Federal de Itajubá 57

58 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão 0,965 0,93 θ -0,93 0,95 * (-8) θ 0,9984-0,083-0,3-0,383 0,083,047 * 0,09 0,03 (-9) Os valores de θ e são, etão, calculados: θ θ + θ 0 0,383-0,383 +, ,03,03 ara a a iteração, obte-se: i. -0,94 ii. 0,6 iii. -0,005883; -0,0556 iv. Coo o aior erro absoluto aida é aior (>0,003), o processo iterativo cotiua. A Tabela -0 apreseta os ovos valores da atriz Jacobiaa. Tabela -0-atriz Jacobiaa H - ( ) B 0,8797 [ + ( ) G ]/ -0, ( ) G -0,4986 [ - ( ) B ]/,0888 Uiversidade Federal de Itajubá 58

59 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão As equações (-30) a (-3), apreseta ovaete o processo. H θ * (-30) 0,8797-0,0869 θ -0,4986,0888 * (-3) θ,906 0,0950-0,0059-0,09 0,545 0,960 * -0,056-0,058 (-3) E os ovos valores de θ e são obtidos. θ θ + θ 0,383-0,09-0,330 +,03-0,0580,9784 ara a 3 a iteração, te-se i. -0,989 ii. 0,0676 iii. -0,00; -0,004 iv. Coo erro ecotrado agora é eor que a tolerâcia (<0,003), o processo iterativo é fializado. Os valores de θ e são, portato, -0,330 e 0,9784, respectivaete. Uiversidade Federal de Itajubá 59

60 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão.5 Solução Retagular Iterativa Usado os dados do sistea proposto a seção.4, te-se a seguir o cálculo do fluxo de carga retagular iterativo, ode pretedeu-se apresetar as duas foras de solução, obtedo o eso resultado que o caso aterior. Assuido os dados iiciais e a cofiguração do sistea, agora são apresetadas as iterações para o cálculo do fluxo de carga retagular. Seja o cojuto de equações (-33) a (-38): e cos(θπ/ 80 ) (-33) e cos(θπ/ 80 ) (-34) f se θ /80) (-35) ( π f se θ /80) (-36) ( π + (-37) (e) G + (f) G + eeg feb - efg - ffb + (-38) (-e ) B - (f ) B f eg - e eb - f fb - e fg O processo iterativo, coo a represetação polar, é apresetado passo-a-passo. ara a a iteração, te-se: i. e, f 0, e,0 e f 0 ii. () * 0,93 + **(-0,93)+*0* 0,9650 iii. -() * -0,945 + *(-0,93) ** 0,965)-0,0 iv. -0,3; 0,09 Uiversidade Federal de Itajubá 60

61 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão v. Coo o aior erro absoluto ecotrado é aior que a tolerâcia (>0,003), o processo iterativo cotiua. A Tabela - apreseta a atriz Jacobiaa e as respectivas variáveis associadas. Tabela --atriz Jacobiaa para o caso exeplo e f e f e f 0 0 e f f e 0 0 e G +f B -e G -f B e G +G f G +B f G -e B -f B -e G -e B -B -f B +G A Tabela - apreseta os valores obtidos para os eleetos da atriz Jacobiaa. Tabela --Eleetos da atriz Jacobiaa retagular e f e f e f ,93-0,965 0,93 0,965-0,965 0,93 0,95-0,93 A seguir, apreseta-se o cálculo do vetor de erros. Uiversidade Federal de Itajubá 6

62 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão vi. Cálculo do vetor de erros: e e f f -0,93 0,93 0,93 0,965 * e -0,965 0,93 0,95-0,93 f e 0, f 0, e 0,508-0,404 0,083,047 * 0,033 f -0,004-0,59 0,9984-0,083-0,383 e e + e, ,033,033 f f + f 0 0,0383-0, ; 0.663; ; Coo o valor absoluto é aior que a tolerâcia, o processo cotiua. Uiversidade Federal de Itajubá 6

63 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão ara a a iteração, te-se: e e f f -0,5043 0,5043 0,043 0,839 * e -0,9303 0,5043 0,9803-0,796 f e 0, f 0, e 0,5993-0,8355 0,804 0,854 * -0,097 f 0,546-0,3976 0,9959-0,076-0,0963 Atualizado os valores de e e f, te-se: e e + e,033-0,09790,9334 f f + f -0, ,379-0,98; 0,0790; -0,008; -0,0090 E o processo cotiua, pois a tolerâcia aida ão foi obtida. Uiversidade Federal de Itajubá 63

64 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão ara a 3 a iteração, te-se: e e f f -0,485 0,485 0,667 0,839 * e -0,8363 0,485 0,7960-0,7908 f e 0, f 0, e 0,6786-0,9886 0,9887,049 * -0,008 f 0,543-0,387 0,995-0,084-0,0090 Atualizado-se ovaete e e f, te-se: e e + e 0,9334-0,030,9 f f + f , ; 0.070; ; Coo o aior erro ecotrado é eor que a tolerâcia (<0,003), o processo iterativo é fializado e os valores de e θ, pode ser obtidos para cofrotação Coo e + jf 0,9 + j(-0,379) 0,975 p.u. θ arc tg( f / e ) arc tg(-0,379 / 0,9) -0,330 Resultados siilares aos obtidos pela otação polar, coo era de se esperar. Uiversidade Federal de Itajubá 64

65 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão.6 Solução Retagular ão-iterativa Co os dados iiciais para a rede proposta, desevolveu-se o processo ãoiterativo para o caso exeplo; poré, a fora epregada é a proposta e [XU98]. ara o caso, a seguite seqüêcia deve ser executada: i. Criado as atrizes H que represeta a atriz Y barra para o caso proposto. o caso estudado, a rede dispõe de duas barras. ortato, serão criadas 4 atrizes H (x), que represetara cada ua das equações da atriz Jacobiaa. As Tabela -3 e Tabela -6, apreseta as atrizes H obtidas para o caso exeplo. Tabela -3-Represetação de H() para barra Swig 0 0 G B 0.5 * 0 0 -B G G -B G 0 B G 0 G Tabela -4-Represetação de H() para barra Swig 0 0 -B G 0.5 * 0 0 -G -B -B -G -B 0 G -B 0 -B Uiversidade Federal de Itajubá 65

66 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Tabela -5-Represetação de H(3) para barra 0 0 G B 0.5 * 0 0 -B G G -B G 0 B G 0 G Tabela -6-Represetação de H(4) para barra 0 0 -B G 0.5 * 0 0 -G -B -B -G B 0 G -B 0 -B A seguir, os valores iiciais de e, f, e, f são atribuídos. ii. X[e, f, e, f ][,0,,0]; Calcula-se, etão,,,, : iii. (X'*H()*X)0; (X'*H()*X)-0.00; (X'*H(3)*X)0; (X'*H(4)*X) -0.00; Os valores de e são forecidos a proposta e adite-se: iv ; 0.090; que as variações a barra swig seja ulas; Assi, te-se o vetor Y dado: v. Y[0,0,-0.300, 0.090]; A atriz Jacobiaa é calculada. Uiversidade Federal de Itajubá 66

67 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão vi. JH(x); A Tabela -7 apreseta os valores para a atriz Jacobiaa. Tabela -7-atriz Jacobiaa e f e f (a) e f (b) -0,93-0,965 0,93 0,965 (c) -0,965 0,93 0,95-0,93 (d) vii. Ivertedo e arazeado J. o étodo ão-iterativo, a atriz Jacobiaa é ivertida ua úica vez. A Tabela -8 apreseta a atriz Jacobiaa iversa. Tabela -8-atriz Jacobiaa iversa 0, , ,508-0,404 0,083,047-0,004-0,59 0,9984-0,083 A partir de J -, obte-se Z : viii. Z J - * Y[0,0, 0.033, ]; Uiversidade Federal de Itajubá 67

68 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão ix. Coo o critério de parada é dado pelo aior valor absoluto de Z k /k! e, o aior erro ecotrado é igual a 0,383, aior que 0,003, acresceta-se u ovo tero; x. A Tabela -9 apreseta a atriz Z Tabela -9-atriz JZ e f e f e f ,30 0,03 0,00-0,4 0,03 0,30 0,0588-0,5993 O ovo tero, Z, é obtido coo segue: xi. Z -J - *JZ *Z [0,0, , ]; Cujo erro 0,088 /! 0,044 xii. Coo o erro absoluto aida é aior que a tolerâcia; adicioa-se u ovo tero à série. A Tabela -0 apreseta a atriz JZ Uiversidade Federal de Itajubá 68

69 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Tabela -0-atriz JZ e f e f e f ,040 0,006-0,0803 0,0003 0,006-0,040-0,393 0,006 O tero Z 3 é obtido e o erro calculado. xiii. Z 3 -J - *(3*JZ *Z )[0,0, 0.046, ]; Erro 0,046 / 3! 0,0069 xiv. O erro aida é aior que a tolerâcia; portato, adicioa-se u ovo tero. xv. Z 4 -J - * ( 4*JZ *Z 3 + 3*JZ *Z ) [0,0, -0.78, 0.00]; cujo erro -0,78 / 4! - 0,06; xvi. O erro absoluto aida é aior que a tolerâcia. Adicioa-se ais u tero. xvii. Z 5 -J - *(5*JZ *Z 4 + 0*JZ *Z 3 )[0,0, 0.699, -0.00]; Erro 0,699 / 5! 0,00 xviii. Coo o erro absoluto é eor que a tolerâcia, te-se o cálculo de x, forecedo o valor fial de x: xix. Calculo do vetor de erros: xz /(!)+Z /(!) +Z 3 /(3!) +Z 4 /(4!) +Z 5 /(5!) [0,0, , ]; xx. XX+x [,0,,0] + [0,0, , ][,0, 0.9, ]; xxi. Sedo e + jf 0,9 + j(-0,378) 0,9753 θ arc tg( f / e ) arc tg(-0,378 / 0,9) -0,339 Uiversidade Federal de Itajubá 69

70 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Os valores de θ e são siilares aos dois processos ateriores, validado os étodos apresetados. Coo esperado, os valores calculados para e θ e todos os étodos: polar iterativo, retagular iterativo e retagular ão-iterativo forece o eso resultado. Isso deostra que os étodos são corretos e, portato, aplicáveis ao cálculo do fluxo de carga. o próxio capítulo, ua ova proposta de aálise de colapso de tesão, sustetada o proissor étodo retagular ão-iterativo, é apresetada e aiores detalhes. Ates, poré, elhorias o étodo proposto são apresetadas. Uiversidade Federal de Itajubá 70

71 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Capítulo 3 Fluxo de Carga ão-iterativo a Aálise do Colapso de Tesão Este capítulo aborda ipleetações o processo de fluxo de carga ão-iterativo. Os resultados obtidos são apresetados, e alguas elhorias, coo a cosideração de liites de geração de potêcia reativa e siplificação a otage da atriz H são realizadas. O étodo ão-iterativo proposto este trabalho perite ecotrar o poto de áxio carregaeto aida ão ecotrado a literatura. étodos iterativos, a fora polar e retagular, são aplaete discutidos a literatura; e outros coo o fluxo de carga retagular, utilizado equações de correte, tabé são ecotrados [FER03a, HE04, FER03b, COS99]. Os detalhes da ipleetação do étodo ão-iterativo são discutidos as seções seguites. 3.. Ipleetação do Fluxo de Carga I Cofore discutido o capítulo, o processo do fluxo de carga ão-iterativo apresetado e [XU98] ostrou que os resultados obtidos são siilares aos odelos polar e retagular, que usa o étodo de ewto-raphso, be coo a redução do tepo coputacioal, ua vez que o processo utiliza a recorrêcia a obteção dos deais teros. A ipleetação do étodo foi realizada o abiete atlab, proporcioado Uiversidade Federal de Itajubá 7

72 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão u efetivo acopahaeto de todo o processo, e a iserção de deais ferraetas propostas para o étodo ão-iterativo A atriz Jacobiaa do rocesso ão-iterativo A partir da equação y i X t H i X, a otage da atriz H se faz ecessária para o fluxo de carga ão-iterativo; sedo obtida pela equação (3-) [XU98]: J t H ( X ) X H (3-) Assi, coo a atriz J é o produto idicado pela equação (3-), a atriz J pode ser costruída diretaete, evitado a otage das atrizes H de orde x. A essa observação, pode-se acrescetar o gaho coputacioal obtido, ode são costruídas apeas alguas atrizes J de x ; observado o úero de teros da série que serão ecessários para a redução do erro absoluto. Cosidere que a atriz de aditâcia odal é úica e de diesão x, siétrica e costate; e represeta a topologia da rede elétrica e, portato, pode ser usada a obteção da atriz J para os teros da série de Taylor. A atriz J, para o caso de três barras ostrado a Figura 3-, te a estrutura represetada a Tabela 3-. Uiversidade Federal de Itajubá 7

73 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Uiversidade Federal de Itajubá 73 Figura 3--Topologia de rede 3 Barras Tabela 3--atriz Jacobiaa do fluxo de carga ão-iterativo e i + jf i e f e f e 3 f 3 Barras e f Swig e f e ) f (e f ) f (e e f e f 3 e 3 f 4 e f e f 3 e 3 f e 3 f 3 e 3 f 3 3 e 3 3 f e 3 f 3 e 3 f 3 3 e 3 3 f

74 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão a Tabela 3-, o caso exeplo 3 barras; te-se as barras swig, e. Assi, as barras ais cous e u sistea de potêcia são apresetadas. ode-se perceber que a atriz Jacobiaa do fluxo de carga ão-iterativo, a barra swig tabé é represetada pelas equações (3-) e (3-3) [XU98]. eisw + f (3-) isw e Sw f Sw ei fi (3-3) Coo a barra swig é ua barra de tesão cotrolada, a exeplo de ua barra ota-se que a equação (3-) é a esa das barras s. Assi, após a defiição das equações evolvidas, ostra-se a costrução da atriz Jacobiaa para o processo ão-iterativo. A Tabela 3- apreseta os eleetos que copõe a atriz Jacobiaa do processo, co 3. Tabela 3--Derivadas parciais das equações da atriz Jacobiaa ij i j a) i e i e i b) i e j e j c) i f i f i d) i fj f j e) e if e i i f i f) e f i e j i f j Uiversidade Federal de Itajubá 74

75 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão (g) e if f i i e i h) e if f j i e j i) i e i Giiei Gike + k k B ik f k j) i Gij ej + B ij f j e j l) i f i Gii fi G + k ik f k + B e ik k ) i f j G B e ij j ij j f ) e i i Biiei + G k ik f k B e ik k o) e j i G B e ij j ij j f p) f i i Bii f i + Gike k k B ik f k q) f j i G e B ij j ij j f O exeplo de 3 barras ilustrado a Tabela 3- ostra coo obter, através da fora retagular, u sistea que coteha siultaeaete as barras swig, e. A extesão para u sistea de grade porte é, portato, ua extesão para esse caso. Coo a ipleetação para cálculo do fluxo de carga retagular ão-iterativo é feita seguido o roteiro, é usado o exeplo do capítulo aterior para ostrar que o odelo agora proposto tabé coverge para os esos resultados. ortato, a partir dos dados do problea, te-se: i. e, f 0, e,0 e f 0 ii. () * 0,93 + **(-0,93)+*0* 0,9650 iii. -() * -0,945 + *(-0,93) ** 0,965)-0,0 iv. -0,3-0-0,3; 0,07-(-0,0)0,09 Uiversidade Federal de Itajubá 75

76 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão v. O vetor de erros é: X[0, 0, -0,30, 0,09] vi. J J(X) A Tabela 3-3 apreseta os eleetos que copõe a atriz Jacobiaa do processo. Tabela 3-3-Eleetos da atriz Jacobiaa Eleetos da atriz Jacobiaa e f e f, (a) e f 0, (b) -0,93-0,965 0,93 0,965 (c) -0,965 0,93 0,95-0,93 (d) A partir de J -, obte-se o vetor Z : vii. Z J - * X [0, 0, 0,033, -0,383] viii. Segudo o critério de parada, ax [abs( ) /!] 0,383 / 0,383; e o erro é aior que a tolerâcia, a série de Taylor, etão, é expadida e ais u tero; ix. -JZ J(Z ) Z ; Uiversidade Federal de Itajubá 76

77 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Tabela 3-4-Eleetos da atriz Jacobiaa JZ Eleetos da atriz Jacobiaa JZ e f e f (a) e f (b) -0,30 0,03 0,00-0,4 (c) 0,03 0,30 0,0588-0,5993 (d) O segudo tero é obtido a partir de JZ : x. Z -J - * JZ * Z [0, 0, -0,088, 0,0009]; xi. Coo o erro ecotrado é aior que a tolerâcia e igual a 0,044, u terceiro tero é adicioado à série: xii. JZ 3 3J(Z ) Z ; A Tabela 3-5 apreseta os eleetos de JZ ; Tabela 3-5-Eleetos da atriz Jacobiaa JZ Eleetos da atriz Jacobiaa JZ e f e f (a) e f (b) 0,040 0,006 0,0803-0,0003 (c) Uiversidade Federal de Itajubá 77

78 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão 0,006-0,040-0,393 0,006 (d) O tero Z 3 é obtido a partir de JZ xiii. Z 3 -J - * 3J(Z ) * Z [0, 0, 0,0046, 0] xiv. O erro é igual a 0,0008 e, portato, eor que a tolerâcia. xv. Assi, x[0, 0, -0,0736, -0,378]. Fialete, obté-se os valores das variáveis de iteresse: xvi. e()e()+ x(); f()f()+ x()0; e()e()+ x(3)0,964; f()f()+ x(4)-0,378; ogo: xvii. 0,9794 e θ -0,335. Os resultados ecotrados são siilares se coparados aos étodos usados ateriorete, validado a etodologia. 3.. Fluxo de Carga Retagular I Cofore a apresetação da seção 3., o cálculo do fluxo de carga ecioado é baseado a expasão da série de Taylor co critério de parada, ostrado a equação (-4). O algorito básico é bastate siilar ao usado a fora polar iterativa. O algorito pode, ser descrito coo a Figura 3-: Uiversidade Federal de Itajubá 78

79 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Figura 3-- Fluxograa do Algorito I o algorito ostrado a Figura 3-, represeta o tero da série a ser acrescido. Observa-se tabé, coo ecioado, que o algorito do fluxo de carga retagular ãoiterativo é siilar ao processo iterativo. ara ua visão geral, o algorito ostrado oitiu algus passos que são, a verdade, as soluções das equações apresetadas ateriorete Resultados para o rocesso Retagular ão-iterativo Co a ipleetação do algorito e liguage do atlab, algus testes fora realizados co os arquivos IEEE 30, 57 e 8 barras. Fora aalisados os resultados obtidos, peritido-se cocluir que os valores ecotrados são bastate próxios dos ecotrados para u fluxo de carga iterativo. O tepo coputacioal para o cálculo do fluxo de carga retagular ão-iterativo é eor que processo iterativo; co isso, propôs-se Figura 3-3- Algorito Uiversidade do cálculo Federal do fluxo de Itajubá de carga retagular ão-iterativo 79

80 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão a iserção de liites de ijeção de potêcia reativa. As seções a seguir ostra os aspectos cosiderados o prograa desevolvido iites de Geração de otêcia Reativa Durate o cálculo do fluxo de carga, ão foi observado ehu liite físico para qualquer tipo de barra ecioado. oré, e u sistea de potêcia são uitos os eleetos cujas liitações físicas são evidetes. Assi, calcular o fluxo de carga e ão observar liitações físicas tora o resultado pouco prático. este aspecto, a cosideração dos liites de geração de potêcia reativa desepeha u papel bastate iportate; e cabe ressaltar que a forulação apresetada e [XU98] ão leva e cosideração tais liites, apresetado esta cosideração coo ua elhoria ao étodo proposto. O liite de geração de potêcia reativa () é dado pelas características costrutivas de u gerador. ortato, para ua barra (barra de geração), deve-se cosiderar os valores de potêcias ativa e reativa defiidos pelo fabricate. Os liites ipostos para geração de potêcia reativa pode ser violados, portato, a verificação dos liites áxio e íio faz-se ecessária. ortato, a cada iteração, os liites de potêcia reativa deve ser respeitados: A trasforação da barra e iplica a udaça estrutural da atriz Jacobiaa.Ao cotrário do processo iterativo, ode a atriz Jacobiaa apreseta ua ova diesão decorrete da iclusão das derivadas parciais e ; a atriz θ Jacobiaa para o processo retagular ão-iterativo te as equações substituídas pelas equações de potêcia reativa forecidas pelas equações da Tabela 3-. Co a substituição citada, a barra que violar liites (áxio ou íio) é, agora, tratada coo barra a Uiversidade Federal de Itajubá 80

81 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão otage da atriz Jacobiaa, tabé adotado a fora polar. ogo, a perda de cotrole de tesão é corretaete represetada e abas as odelages Resultados co os iites de otêcia Reativa Icorporados Os testes fora realizados para os sisteas IEEE 30, 57 e 8 barras. As esas cosiderações pode ser feitas para os casos se liite, ode os resultados obtidos pode ser cosiderados idêticos aos dos casos executados usado o fluxo de carga polar. O objetivo pricipal deste trabalho é a ipleetação de ferraetas de aálise de colapso de tesão o fluxo de carga retagular ão-iterativo. A seção seguite apreseta os étodos de aálise étodos para Deteriação do oto de Colapso de Tesão Os probleas de istabilidade citados a seção.., oralete, são observados a edida e que os íveis de tesão atige agitudes críticas. Assi, algus étodos de detecção do poto de colapso são ostrados as seções a seguir étodo da Cotiuação Este étodo é proposto a literatura para idetificação de potos de bifurcação tipo sela-ó e sisteas ão lieares, e sua aplicação e sisteas de potêcia foi iicialete proposta e [AJJ88, CA9]. E fução da aplicação e sisteas de potêcia, este étodo te sido couete chaado de fluxo de carga cotiuado. Assi, o ível de carregaeto do sistea cresce e a agitude da tesão é reduzida. Coo se observa, o étodo da cotiuação ipõe as características ecessárias para que o Uiversidade Federal de Itajubá 8

82 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão feôeo e estudo, o colapso de tesão, ocorra. oré, a proposta é a obteção do poto de áxio carregaeto do sistea; e outras palavras, o étodo cotiuado ostra quais são as variáveis de estado da rede que direcioa o sistea ao colapso. Dessa fora, o carregaeto do sistea é feito co cautela, de fora a ão extrapolar etre potos uito distates. Coo os potos etre a estabilidade e a istabilidade são objetos dessa aálise, e portato descohecidos, resta que as variações deve levar o sistea de u poto de equilíbrio a outro, observado o liite etre estabilidade e istabilidade. ara isso, o étodo cotiuado se baseia e duas partes. Aditido que o sistea seja dado por f(x,λ)0, pode-se ostrar as duas copoetes usadas que leva o sistea de u poto de equilíbrio a outro [SOU95]: O étodo da cotiuação é dividido e dois passos: O passo previsor: que deteria ua direção para x, λ ; O passo corretor: deteria x, λ para f(x, λ )0, usado coo poto de partida (x + x, λ + λ ). Dos passos citados, segue-se que o diagraa da bifurcação pode ser ostrado coo a Figura 3-3. Uiversidade Federal de Itajubá 8

83 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Tesão revisor Corretor Carregaeto Figura 3-3 Diagraa de bifurcação Coo o sistea se ove de u poto de equilíbrio a outro pelo ajuste dos dois copoetes citados, cada u deles é descrito a seguir: revisor pelo vetor tagete O passo previsor é calculado para cada ovo carregaeto, e à edida que o taaho do passo diiui, o poto de colapso procurado se aproxia. Essa técica utiliza a ora do vetor tagete [SOU95], e coo a curva de carregaeto se tora cada vez ais icliada, a ora do vetor tagete se tora cada vez aior. O vetor tagete pode ser obtido pelo produto da atriz Jacobiaa iversa pelo vetor de carregaeto iicial para cada barra de carga. Defiido T, equação (3-4), coo o vetor tagete, pode-se ostrar [SOU95] que: T θ λ 0 J 0 λ (3-4) Uiversidade Federal de Itajubá 83

84 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão E T pode ser calculado: T x λ J 0 0 (3-5) a represetação retagular, x é associado à parte real e iagiária da agitude da tesão: e λ f λ [ J ] o o 0 (3-6) Deotado T coo a ora do vetor tagete T, pode-se regular o taaho do passo coo abaixo: k λ T (3-7) Ode k é ua costate e opera co as características defiidas a Tabela 3-6, abaixo: Tabela 3-6-Taaho do asso k Taaho do asso oral > Acelerado < eto uado o poto de colapso está próxio, a atriz Jacobiaa tora-se al codicioada e, portato, o sistea de equações pode ão covergir. Assi, é ecessária Uiversidade Federal de Itajubá 84

85 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão ua paraetrização para se alcaçar ua solução. a referêcia [CA9] é ostrado que o vetor tagete coverge para o autovetor à direita, associado ao autovalor ulo. Etretato, e [A9], ostra-se que a aior copoete o autovetor à direita idica a variável ais sesível o poto de sigularidade. ortato, a paraetrização pode ser feita através da substituição da variável associada ao aior copoete e t por λ. ogo, obté-se: x x λ p λ x x i (3-8) O passo previsor é usado coo poto iicial de carregaeto, e os ovos valores de carga são calculados através do passo previsor, sedo e e f valores covergidos para o caso. Iportate ressaltar que ão foi utilizado ehu tipo de paraetrização os casos estudados este trabalho asso Corretor O corretor ecotra a solução (x, λ ) a partir de (x + x, λ + λ ). A solução é obtida resolvedo [SOU95]: F(x, λ)0 (3-9) (x, λ)0 (3-0) A equação extra (3-0) pode ser obtida através da iterseção perpedicular etre os vetores previsor e corretor, obtedo-se: Uiversidade Federal de Itajubá 85

86 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão x p( x, λ) λ t x x x 0 λ λ λ (3-) Iiciado o processo e (x + x, λ + λ ), a próxia solução coverge para (x, λ ). O étodo cotiuado te a desvatage de exigir alto esforço coputacioal para sisteas de grade porte, ua vez que diversos potos operativos deve ser calculados étodo Direto O poto de áxio carregaeto é caracterizado pela sigularidade da atriz Jacobiaa. O étodo iterativo por ewto-raphso para obteção direta do poto de áxio carregaeto utiliza u processo iterativo, o qual são utilizadas as equações do fluxo de potêcia e outras equações que caracteriza este poto. Este processo sofre grade ifluêcia dos valores iiciais [A9] oto de áxio Carregaeto (C) uado o C é atigido, as seguites codições são detectadas: I - O deteriate da atriz Jacobiaa J é ulo; II - A atriz Jacobiaa possui u autovalor ulo; III - As equações J T w 0 e J v 0 tê solução ão trivial, ode w e v são os autovetores à esquerda e à direita da atriz J, respectivaete, associados ao autovalor ulo. Os estudos realizados para a obteção do C, ostra que a elhor codição é a terceira. Uiversidade Federal de Itajubá 86

87 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Uiversidade Federal de Itajubá 87 Dessa fora, o cojuto de equações utilizado é dado por: ), ( ),, ( w w J x F w x G T λ λ (3-) ode: F(x,λ) 0 : represeta as equações do fluxo de potêcia, garatido que a solução seja u poto de operação do sistea; J T w 0 : cojuto de equações lieares forado pelo produto da atriz Jacobiaa trasposta e seu autovetor à esquerda, associado ao autovalor crítico, garatido a sigularidade da atriz; w 0 : garate que o autovetor à esquerda ão seja ulo. Isso evita que a solução da equação seja trivial. A equação utilizada para ateder a esta codição pode ser reescrita coo: 0 ) ( i i w (3-3) Assi, substituido a equação (3-3) e (3-4), te-se: 0 ) ( 0 0 ), ( ),, ( i i T w w J x F w x G λ λ (3-4)

88 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Uiversidade Federal de Itajubá 88 O sistea apresetado e (3-4) é u cojuto de equações ão-lieares a ser resolvido pelo étodo de ewto-raphso. As variáveis deste sistea são os copoetes de x, as copoetes de w e o parâetro de carregaeto λ. iearizado as equações, tese, atricialete: ( ) ) ( ), ( w F x F x F w x F w x F w x F T T i i T λ λ λ w x (3-5) étodo Direto por ewto-raphso Usualete, o étodo direto é ipleetado utilizado-se das equações de potêcia escritas e coordeadas polares. Assi, F(x,g) 0 é expressa e fução das potêcias ativa e reativa ijetadas as barras; e o vetor x correspode às variáveis tesões as barras. Desta fora, u algorito pode ser descrito da seguite fora: asso : Calcular o poto estiado (x,λ) ; asso : otar a atriz Jacobiaa o poto estiado; asso 3: Calcular o autovetor estiado à direita w da atriz Jacobiaa. este trabalho o autovetor foi substituído pelo vetor tagete cofore equação (3-5). asso 4: Calcular o vetor de resíduos, prieiro ebro da equação (3-5), ode:

89 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão F (3-6) J x T F (3-7) T w H w x F x T w J [ ] T w (3-8) ( F( x, λ )) (3-9) A atriz H e (3-7) é a atriz Hessiaa. asso 5: Atualizar as variáveis de estado e voltar ao passo 4: x w λ x + x w + w λ + λ (3-0) Caso todos os copoetes do vetor calculado o passo 4 seja eores que a tolerâcia, executa-se o asso 6; seão, resolve-se o sistea de equações (3-5). asso 6: otar a atriz Jacobiaa e, etão, deteriar o autovetor à esquerda associado ao autovalor ulo. As coordeadas do autovetor à esquerda referetes ao autovalor ulo da atriz Jacobiaa o C, forece a sesibilidade de cada barra. ortato, o vetor w idica a ordeação para que as ijeções de potêcia ativa e/ou reativa dêe suporte às tesões do sistea. A Figura 3-4 apreseta o fluxograa para o étodo direto apresetado. Uiversidade Federal de Itajubá 89

90 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Figura 3-4 Algorito para étodo direto étodo Direto e rocesso ão-iterativo Após a apresetação do étodo direto iterativo (R), étodo direto foi ipleetado para o fluxo de carga retagular ão-iterativo. A obteção da solução foi baseada o fluxo de carga ão-iterativo, ode a expasão e série de Taylor é estedida à edida e que o erro seja aior que a tolerâcia dada. A proposta é utilizar a esa forulação do étodo direto por R, poré co a forulação retagular. A forulação apresetada pela equação (3-), é a esa usada pelo étodo direto ão-iterativo. E pricípio, a forulação obté o C co as soluções a fora polar iterativa. Co a ipleetação do étodo direto iterativo, a forulação retagular, é ecessário aálise detalhada dos resultados obtidos, peritido u elhor etedieto dos resultados para posterior ipleetação do étodo I. Uiversidade Federal de Itajubá 90

91 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão O étodo direto por R a fora retagular é costruído utilizado-se as equações ão-lieares do fluxo de carga retagular, apresetadas o Apêdice A. Os casos estudados fora os sisteas IEEE 30, 57 e 8 barras. Após os testes co o étodo direto por R a fora retagular, partiu-se, etão, para a versão ão-iterativa (I), objeto pricipal desta seção. Coo a forulação I abordou soete a solução do fluxo de carga, alguas alterações o algorito fora ecessárias. Dessa fora, pode-se euerar alguas dessas odificações: - A diesão da atriz Jacobiaa é x ( ode é o úero de barras). ortato, a diesão da atriz Jacobiaa do étodo direto I é acrescida de + equações. De acordo co a equação (3-5), é ecessária a costrução da atriz Hessiaa e dos vetores relacioados ao parâetro λ; - Iserção da variação de carga λ o processo I; 3- Atualização do autovetor; Co as alterações apresetadas, verificou-se que o étodo divergia de fora abrupta. Ua reavaliação das odificações se fez ecessária. As observações, a seguir, fora obtidas da aálise do étodo odificado. A atualização tato da carga coo do autovetor, ovia o poto de operação para u outro poto o plao. Assi, o processo I ão podia covergir; a partir disso, os vetores de erro x e w fora arazeados e, soete após satisfeita a codição dada pela equação (-4), os valores de e, f, λ e w seria atualizados. Assi, a covergêcia para u deteriado poto pôde ser ecotrada. Coo se pode observar, o valor de λ ão é calculado ao logo da expasão e série, coo ocorre co os erros das variáveis de Uiversidade Federal de Itajubá 9

92 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão estado x e w, as si, apeas o prieiro tero da série de Taylor. ortato, a variação de labda relacioa variações da carga co variações de x e w iiciais. A Figura 3-5 apreseta o fluxograa para o étodo direto utilizado o processo ãoiterativo. Cálculo do Fluxo de Carga Si erifica iites de otêcia Reativa Trasgrediu iites? ão Expasão e Série ão de Taylor ão Erro < Tolerâcia? Si Atualizar x, w e labda Figura 3-5 Algorito ão-iterativo do étodo direto ários testes fora realizados a partir do processo apresetado a Figura 3-5. Apesar de o étodo atigir ao C, a ão atualização do vetor de erro e relação ao vetor tagete iplicou diretaete u aior úero de teros para a série de Taylor; co Uiversidade Federal de Itajubá 9

93 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão isso, houve u sigificativo aueto de esforço coputacioal. Os resultados ecotrados, e ua avaliação sisteática do étodo são apresetados o capítulo étodo da Extrapolação uadrática O étodo da Extrapolação uadrática (E) perite a obteção de u ovo poto de equilíbrio, a partir de u poto de equilíbrio aterior por sucessivas iterações. Assi, o étodo E foi ipleetado objetivado atigir o C para os casos e estudo. O étodo E fora retagular, peritiu a reutilização dos algoritos ateriores e posterior ipleetação do étodo I. Diate da proposta, os passos a seguir ostra coo o étodo E pode ser costruído: asso - Dado u poto de operação iicial, o sistea te u pequeo aueto e sua arge de carga, obtedo-se u ovo poto de operação. Etão, deteria-se o vetor tagete associado e o aior eleeto desse vetor é arazeado; asso - Os parâetros da fução quadrática, cuja expressão: tg ( λ ) aλ + c ; são deteriados; ode tg(λ) é o iverso do aior eleeto do vetor tagete e λ é u parâetro qualquer do sistea. A partir do cojuto de duas equações e duas icógitas, ua vez que a e c são cohecidos, a variável c é o valor iicial o poto de bifurcação (λ*); poto esse ode a fução cruza o eixo λ. ortato o sistea é carregado co o valor (λ*); Uiversidade Federal de Itajubá 93

94 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão asso 3- Se o sistea de equações coverge, retora-se ao passo. Caso cotrário, calculase u ovo λ pela expressão dada e (3-). λ*(λ -λ ) / + λ (3-) Se o fluxo de carga covergir para o ovo λ*, aplica-se a ova arge de carga e retorase ao passo. Caso ão covirja, recorre-se à equação (3-) ode u ovo λ* deve ser calculado. Esse étodo é siilar ao de busca biária proposto por [CUT99]. E fução do étodo E ser baseado e sucessivos cálculos do fluxo de carga, o étodo I coverge diretaete para o poto de colapso. Figura 3-6 apreseta o fluxograa para o étodo da extrapolação quadrática. Figura 3-6 Algorito do étodo de Extrapolação uadrática Uiversidade Federal de Itajubá 94

95 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão O étodo E foi costruído co sucesso e ostrou resultados satisfatórios co tepo coputacioal reduzido. Os resultados obtidos e cosiderações são apresetados o capítulo étodo de Busca Biária O étodo de busca biária é aplaete utilizado para se ecotrar valores detro de u deteriado itervalo. oralete esse étodo diz respeito à busca e vetores ateriorete ordeados, deliitado o espaço de busca. este trabalho, o algorito de busca biária cosiderou a divergêcia do fluxo de carga coo liite superior de busca. A covergêcia, o etato, é o liite íio de busca, e garate o quato aida se pode auetar o liite iferior cosiderado. Seja, por exeplo, o itervalo etre 0 e 0, e o úero a ser ecotrado pelo étodo é o úero 4. Aditido-se que o úero é u úero iteiro, o processo de busca segue o roteiro: a) Sepre se iicia reduzido o espaço de busca pela etade; dessa fora, o prieiro úero é 5 (édia aritética etre 0 e 0); b) Co a iforação de que o úero é eor que 5, reduz-se ovaete o espaço de busca; c) Co a iforação de que o úero é aior que 3, o itervalo passa a ser etre 3 e 5; 5º Coo o itervalo é etre 3 e 5, o úero iteiro procurado é 4. O exeplo aterior ostra coo se pode reduzir o espaço de busca drasticaete co o uso da busca biária. Uiversidade Federal de Itajubá 95

96 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão os casos estudados este trabalho, o liite superior usado foi 3 p.u., apesar de valores superiores sere utilizados e, co a difereça de tepo de solução sere é desprezíveis. O tepo coputacioal de busca biária é uito bo se coparado co os étodos da cotiuação e direto, perdedo apeas para o étodo da extrapolação quadrática. Os resultados obtidos são apresetados o próxio capítulo Dispositivos de Cotroles Usados a atriz Jacobiaa As equações utilizadas a solução do problea de fluxo de carga fora ostradas ateriorete; poré, algus dispositivos de cotrole ifluecia diretaete as codições de operação do sistea elétrico de potêcia. Assi, a iclusão das equações que odela tais dispositivos deve ser cosideradas o cojuto de equações que copõe a atriz Jacobiaa. As equações dos eleetos de cotrole são adicioadas às equações básicas do fluxo de carga. Geralete os eleetos de cotrole ais utilizados perite: o cotrole de agitude de tesão odal, o cotrole de fluxo de potêcia ativa e o itercâbio de potêcias etre áreas. ara os liites de operação, te-se o: liite de tesão e barras, liites dos taps de trasforadores e os liites de fluxos e lihas de trasissão. As equações obtidas pode ser itegradas a fluxo de potêcia ótio. oré, este trabalho essas equações são diretaete iseridas a atriz Jacobiaa. Uiversidade Federal de Itajubá 96

97 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Cotrole de Sobrecarga ihas de trasissão são fisicaete liitadas a trasissão de eergia elétrica. ortato, as liitações deve ser cosideradas e obedece às restrições ipostas fisicaete. a aálise do problea, u pequeo icreeto de potêcia ativa é aplicado aos geradores do sistea e estudo. O gerador que ais cotribui para o aueto da sobrecarga e ua deteriada liha é o gerador que terá sua carga reduzida visado à redução de fluxo de potêcia. o etato, o gerador que reduz a sobrecarga, terá sua geração auetada. E [SOU00b], ua proposta para a reoção de sobrecarga é apresetada, e a equação de potêcia ativa associada à liha de trasissão sobrecarregada é icorporada ao cojuto de equações do fluxo de carga; ua ova colua aparece para os geradores e redespacho de potêcia ativa. H SC FF e x f 0 R (3-) O vetor FF, e (3-), coté as derivadas parciais da potêcia ativa associada à liha de trasissão e sobrecarga. O redespacho é calculado através da ova colua, adicioada à atriz origial, ode o valor + é atribuído ao gerador que terá a geração icreetada. Ao gerador que terá sua geração reduzida, será atribuído o valor -. Os eleetos restates do vetor são iguais a zero. O tero SC é valor de sobrecarga ecotrado para a liha de trasissão. Após a ipleetação desse cotrole a fora retagular iterativa, costruiu-se ua aplicação coputacioal co a utilização do étodo ão-iterativo. Coo as outras Uiversidade Federal de Itajubá 97

98 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão ipleetações, soete após a expasão e série de Taylor, co a redução do erro à tolerâcia peritida, as variáveis de estado fora atualizadas. Os resultados ecotrados são siilares aos obtidos pelo étodo iterativo R. Os valores ecotrados são ostrados e coetados o capítulo Corte de Carga Esse tipo de cotrole prevê a auteção de u liite tolerável para o ível de tesão e ua barra de carga (). A adoção desse cotrole se faz ecessária a edida e que o ível de tesão e ua barra pode levar o sistea a u processo de istabilidade de tesão, fializado co o colapso de tesão. A referêcia [IR9] propõe rápidos cortes de carga co copesação de potêcia reativa. este trabalho, pretedeu-se ecotrar ua codição operativa que ão viole o balaço de carga do sistea. ortato, o corte de carga pode ser etedido coo ua edida corretiva para probleas de baixos íveis de tesão e de istabilidade de tesão [FE98, GRA96]. O corte de carga ipleetado é siilar ao cotrole reoto de tesão ecotrado a literatura. O cotrole reoto perite a u gerador ater o ível de tesão e ua barra de carga reota. Coo o ível de tesão é cohecido, a variável de estado pode ser reovida do cojuto de equações. As equações, e sua fora atricial, são ostradas a seguir: Uiversidade Federal de Itajubá 98

99 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Uiversidade Federal de Itajubá 99 C f e x H k k (3-3) a forulação polar, a tesão é diretaete calculada e a respectiva variável facilete substituída a atriz Jacobiaa. oré, para forulação retagular a substituição deve ser feita e fução de e ou f; e após a covergêcia, o valor da variável reovida é explicitaete calculado e fução do ódulo desejado e da parcela calculada por (3-). a equação (3-3), H,, e são as derivadas parciais das equações que copõe a atriz Jacobiaa origial e C é o valor do corte de carga a ser realizado. Os valores das derivadas parciais e relação à ova variável, são iguais a zero eos para as potêcias ativas e reativas da barra cotrolada, cujo os valores atribuídos são -. Este trabalho ipleetou o cotrole proposto a fora retagular (R) e utilizado-se do étodo I ostrado que o étodo proposto e [XU98] tabé perite odificações a atriz Jacobiaa. A utilização do étodo I para a ipleetação do cotrole de corte de carga levou o sistea aos íveis de tesão pré-defiidos. Coetários e resultados sobre o cotrole de corte de carga são ecotrados o capítulo 4.

100 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Capítulo 4 Resultados Este capítulo apreseta os resultados obtidos a partir das etodologias R e I e coordeadas retagulares. Os sisteas estudados são os sisteas-testes do IEEE co ipleetação e atlab 6.. ara coparação de tepos coputacioais e cada estudo, utilizou-se u icrocoputador co processador etiu I. Sepre o aior e o eor tepos obtidos fora excluídos da édia aritética, toado-se 5 edidas de tepo. Dessa fora, probleas co cofigurações diferetes etre áquias e/ou cofigurações de softwares fora egligeciadas. 4.. Fluxo de Carga I O étodo I é baseado a expasão e série de Taylor, e é defiido pelas equações do fluxo de carga e coordeadas retagulares. O étodo I é proposto por [XU98], que ostra resultados satisfatórios para o problea do fluxo de carga, ode liites de potêcia reativa ão são cosiderados. Este trabalho ipleeta os liites de potêcia reativa, co o objetivo de coparar os resultados ecotrados e outras etodologias. Ua vez que os resultados ecotrados pela expasão e série de Taylor são valores obtidos a partir de iserções sucessivas de teros da série, a ipleetação de Uiversidade Federal de Itajubá 00

101 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão liites para o étodo I é diferete do processo iterativo. ortato, a ipleetação de liites de potêcia reativa faz parte da cotribuição deste trabalho, e aida ão é apresetada a literatura. O fluxo de carga I utilizado apresetou resultados satisfatórios. a Tabela 4-, a seguir, ecotra-se os tepos calculados e cada caso estudado. Tabela 4--Tepos Coputacioais para os étodos R e I (p.u.) Caso IEEE R I 30,000 0,755 57,000 0,40 8,000 0,359 ode-se observar que os tepos edidos são sesivelete eores para o étodo I; o baixo custo coputacioal se deve a ua úica fatoração da atriz Jacobiaa, e explica a redução do tepo de cálculo. 4.. Feôeo do Colapso de Tesão O colapso de tesão é u feôeo real e abordado a literatura. Os baixos íveis de tesão associados a baixos íveis de reserva reativa perite que o feôeo acoteça, levado o sistea elétrico de potêcia a u processo irreversível de istabilidade de tesão. E o objetivo deste trabalho é apresetar ferraetas para estudos de colapso de tesão e étodos coputacioais para se deteriar o poto de áxio carregaeto (C). Uiversidade Federal de Itajubá 0

102 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão 4.3. étodo da Cotiuação O étodo da cotiuação é bastate explorado a literatura [AJJ88, CA93]. A facilidade de sua ipleetação perite que o étodo seja o ais cohecido e utilizado. Assi, esse étodo foi o prieiro a ser ipleetado utilizado os processos R e I. o étodo da cotiuação a arge de carga é icreetada cotiuaete. Co o passo decrescete à edida e que o poto de colapso se aproxia. A redução do taaho do passo ocorre virtude do eso ser iversaete proporcioal à ora do vetor tagete, apresetado a equação (3-7). Os resultados da ipleetação do étodo da cotiuação pode ser observados a Tabela 4-, ostrada a seguir: Tabela 4--Resultados do étodo Cotiuado Caso IEEE R I arge Tepo arge Tepo 30,9386,000,9553 0,874 57,687,000,6685 0,785 8,00,000,389 0,806 ariação arge % 0,86,44,76 Observa-se que, o étodo I reduz o erro co a expasão e série de Taylor. U ovo tero, oralete, reduz bruscaete o valor do erro, levado-o a valores extreaete reduzido co acréscio de u úico tero; isso justifica as arges de carga aiores ecotradas pelo étodo I. Uiversidade Federal de Itajubá 0

103 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão a Tabela 4- pode-se perceber que o étodo I é ais rápido que o étodo cotiuado, usado o étodo covecioal de R. Os resultados obtidos pelos dois étodos são uito próxios dos valores ecotrados a literatura e valida os resultados obtidos. A Figura 4- apreseta a curva traçada pelo étodo cotiuado para o sistea de IEEE 30 barras, apresetado a barra crítica do sistea e relação ao feôeo colapso de tesão, ou seja, até o poto de áxio carregaeto do sistea. Figura 4- Curva : étodo da Cotiuação I ( Sistea IEEE 30 Barras) Uiversidade Federal de Itajubá 03

104 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão 4.4. étodo Direto O étodo direto te coo fialidade obter, coo o étodo cotiuado, o poto de áxio carregaeto. oré, esse étodo ão traça o diagraa de bifurcação. As equações que copõe a atriz Jacobiaa do étodo direto são copostas tabé pelas equações de restrição de sigularidade da atriz Jacobiaa. Coo o fluxo de carga covecioal, a atriz Jacobiaa é coposta soete pelas derivadas parciais das equações de potêcia ativa e reativa, e segue-se que a atriz do étodo direto é diesioalete aior que a atriz Jacobiaa de fluxo de carga. Assi, o problea a ser resolvido tora-se coputacioal ais pesado; co o vetor de erros já ão ais coposto soete da tesão a fora retagular, as é coposto tabé pelos erros co relação ao autovetor, que tede a zero o poto de colapso de tesão. a Tabela 4-3, a seguir, os valores calculados pelos étodos direto iterativo e ão-iterativo são apresetados: Tabela 4-3-Resultados do étodo Direto Caso IEEE R I arge Tepo arge Tepo ariação arge % 30,6988 0,76,6806,000,08 57,5574 0,53,5389,000,0 8,767 0,566,7433,000,05 Coo esperado, o étodo direto ecessitou de tepos aiores para alcaçar o poto de áxio carregaeto. Isso se deve ao fato de que as correções para o autovetor Uiversidade Federal de Itajubá 04

105 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão ão são aplicadas detro da expasão da série de Taylor, ua vez que a atualização desses eleetos iplica diretaete a alteração da arge de carga, e a expasão deve ser realizada e toro de u úico poto; ota-se que a atualização do autovetor iplica a divergêcia de qualquer caso testado. O valor de λ é calculado a partir do prieiro tero da série de Taylor e os valores ecotrados ao fial de cada expasão são uito próxios daqueles ecotrados pelo étodo iterativo R e cada iteração. Os resultados fiais dos dois étodos são bastate próxios, e o tepo e a arge de carga são apresetados e p.u étodo da Extrapolação uadrática Este étodo deteria o poto de bifurcação cosiderado o aior copoete do vetor tagete. Coo esse étodo utiliza-se do cálculo do fluxo de carga, o étodo I tabé foi utilizado para a ipleetação do eso. Os resultados ecotrados são próxios tato para o étodo de R, quato para o étodo I. O étodo I se ostrou ais rápido que o R se, etretato, perder a precisão dos resultados. Os tepos fiais para cada estudo são be eores que os observados para o étodo direto. O étodo da extrapolação quadrática alcaça resultados tão bos quato o étodo cotiuado; poré, o esforço coputacioal é eor, trazedo sigificativa redução de tepo coputacioal para se ecotrar o poto de áxio carregaeto. Cabe ressaltar, que dos étodos ipleetados, o étodo da extrapolação quadrática se ostrou o ais eficiete e teros de resultado e eficiêcia coputacioal. a Tabela 4-4, a seguir, são apresetados os resultados obtidos para o étodo da extrapolação quadrática R e I. Uiversidade Federal de Itajubá 05

106 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Tabela 4-4-Resultados do étodo da Extrapolação uadrática Caso IEEE R I arge Tepo arge Tepo ariação arge % 30,947,000,9357 0,58 0,57 57,668,000,603 0,74,47 8,500,000,984 0,846,34 O étodo da extrapolação quadrática se ostrou rápido e eficiete. O uso do vetor tagete prediz o oeto do colapso e os resultados, quado coparados aos outros étodos, são bastate satisfatórios. A seguir, a Tabela 4-5, te-se ua coparação etre o tepo coputacioal para os étodos cotiuado I e extrapolado I. Tabela 4-5-Tepo coputacioal: étodos Cotiuado I e Extrapolado I Caso IEEE Cotiuado Extrapolado 30,000 0,670 57,000 0,730 8,000 0,568 Coo se pode observar, os tepos para o étodo extrapolado são be iferiores aos do étodo cotiuado. A coparação etre os étodos é apresetada pelo fato dos étodos Uiversidade Federal de Itajubá 06

107 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão I sere ais rápidos que os étodos R. O uso do étodo extrapolado perite u gaho sigificativo de tepo coputacioal se coparado co o étodo da cotiuação étodo da Busca Biária Co a etodologia epregada é possível levar u sistea de potêcia da estabilidade à istabilidade auetado-se a arge de carga de reativos de fora bastate rápida. Coo o algorito foi desevolvido de fora a retorar o sistea sepre a u poto de operação estável, o valor áxio de carga pode ser ecotrado se ehu problea. ale ressaltar que ehu estudo apresetado a literatura utilizou-se desse étodo, e apeas aditi-se que a divergêcia o fluxo de carga está relacioado ao poto de colapso de tesão, ou seja, à sigularidade da atriz Jacobiaa. Os resultados apresetados as Tabela 4-6 e Tabela 4-7 são coparados co o étodo da cotiuação e da extrapolação quadrática, ua vez que o étodo extrapolado é o étodo ais rápido de deteriação do poto de colapso de tesão e o étodo cotiuado é o ais couete utilizado a literatura. Tabela 4-6-Tepos coputacioais e arges de carga : étodos de busca biária e cotiuado Sistea Biário Cotiuado Tepo arge Tepo arge ariação arge % 30 0,494,9349,000,9386 0,9 57 0,803,6303,000,687 0,09 8 0,389,603,000,00,74 Uiversidade Federal de Itajubá 07

108 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Tabela 4-7-Tepos coputacioais e arges de carga : étodos de busca biária e extrapolado Sistea Biário Extrapolado Tepo arge Tepo arge ariação arge % 30,000,9349 0,977,947 0,50 57,000,6303 0,80,668 0, 8,000,603 0,89,500 0,44 Coo se observa, o étodo de busca biária alcaça resultados próxios dos deais étodos utilizados epregados, e o tepo coputacioal requerido é relativaete reduzido Ferraetas de Cotrole de Tesão a atriz Jacobiaa As ferraetas apresetadas as seções ateriores ostra que o étodo I é aplicável e estudos de colapso de tesão. oré, a forulação da atriz Jacobiaa utilizada diz respeito soete às derivadas parciais das equações de potêcia ativa e reativa; assi, ua ova proposta foi sugerida, de fora a iserir ferraetas de cotrole de tesão a atriz Jacobiaa para o étodo I. essa parte do trabalho, ão foi focado o tepo coputacioal, ua vez que o os resultados são alcaçados co pequeo esforço coputacioal, torado a discussão irrelevate. Os resultados apresetados esta seção são iportates, pois ferraetas de cotrole de tesão e siuladores são iprescidíveis. a Tabela 4-8 apreseta-se os Uiversidade Federal de Itajubá 08

109 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão resultados obtidos pelo étodo R e I co cotrole de sobrecarga iserido a atriz Jacobiaa. Tabela 4-8- Cotrole de sobrecarga Caso IEEE Gerador R T SC Red T SC Red I ,3 0, ,3 0, ,30 0, ,30 0, ,8 0, ,8 0,8 a Tabela 4-8, a colua gerador represeta os geradores que terão a geração icreetada (+) e decreetada (-); T são as lihas de trasissão etre as barras k e, respectivaete; SC e Red são a sobrecarga e redespacho, essa orde. Os valores ecotrados, Tabela 4-8, ostra que o étodo I tabé pode ser utilizado co o cotrole de sobrecarga. Os resultados de redespacho são uito próxios dos valores de sobrecarga ecotrados as Ts. Tabela 4-9-Resultados: corte de carga R I Barra Tesão Corte Barra Tesão Corte ,79 0, ,79 0, ,83 0,06 3 0,83 0, ,86 0,7 8 0,86 0,6 A Tabela 4-9 ostra os resultados ecotrados pelos étodos R e I co a aplicação de corte de carga por subtesão. A colua barra, tesão e corte são Uiversidade Federal de Itajubá 09

110 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão respectivaete: a barra ode a tesão é eor que u valor predefiido, 0,9 p.u., a tesão ecotrada iicialete a barra e o corte de carga que foi feito para estabelecer o ível íio de tesão esperado. Os valores ecotrados ostra que este cotrole tabé opera de fora correta para o étodo I, trazedo a barra co baixo ível de tesão para o valor oial esperado. O corte de carga resultate é igual tato para o étodo R quato para o étodo I. o capítulo 5 apreseta-se as coclusões sobre os resultados obtidos este trabalho e as coclusões gerais. Uiversidade Federal de Itajubá 0

111 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Capítulo 5 Coclusões O objetivo pricipal deste trabalho foi utilizar o étodo ão-iterativo de fluxo de carga coo ferraeta e estudos do feôeo de colapso de tesão. Assi, o capítulo é apresetada ua revisão bibliográfica sobre o feôeo de colapso de tesão ecotrados a literatura, alé de ostrar as forulações propostas para o cálculo do fluxo de carga e sisteas elétricos de potêcia. o capítulo, a ipleetação do étodo ão-iterativo, segudo [XU98], é apresetada, coparado-se previaete os resultados ecotrados co o étodo iterativo e ão-iterativo, peritido u elhor etedieto e propostas de elhoraetos aplicadas os deais capítulos. O étodo ão-iterativo apresetado e discutido, ão aborda a iserção de liites de geração de potêcia reativa, ua restrição e casos gerais para aplicação e sisteas elétricos de potêcia. o capítulo 3, a iserção de liites é odelada, ostrado a viabilidade da ipleetação do étodo ão-iterativo co o uso de liites. Alguas ferraetas de aálise, para se deteriar o poto de áxio carregaeto (C), fora epregadas e ostrara resultados aiadores. Todos os resultados ecotrados, apresetados o capítulo 4, fora obtidos co as etodologias iterativa e ão-iterativa - sepre a forulação retagular - para as ferraetas de aálise do feôeo colapso de tesão propostas a literatura e a Uiversidade Federal de Itajubá

112 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão obteção do poto de áxio carregaeto; lebrado que as ferraetas, defiições e aálises referetes ao assuto estão aplaete disseiadas a literatura. O étodo ão-iterativo ostrou-se ais rápido que o étodo iterativo de ewto Raphso (R) para solução do fluxo de carga. Os resultados ecotrados a Tabela 4- ostrara que o étodo I, a edida e que o úero de barras aueta, tora-se ais eficiete coputacioalete e relação ao tepo utilizado para a covergêcia do caso. ode-se citar u gaho coputacioal de 64% para o sistea de IEEE 8 Barras - esse resultado icorpora os liites de potêcia reativa. A redução do tepo coputacioal do étodo I se deve basicaete: i) A ua úica fatoração da atriz Jacobiaa durate todo o processo; ii) O reduzido esforço coputacioal o cálculo do vetor de erros, co algus teros da série obtidos recorreteete: JZ Y (5-) -JZ J(Z )Z -JZ 3 3 J(Z ) Z (5-) (5-3) ara os teros apresetados as equações (5-), (5-) e (5-3), pode-se otar o terceiro tero (5-3) se obté de fora direta; pois, a atriz J(Z) e o vetor Z são obtidos dos teros ateriores. Isso ocorre co freqüêcia ao logo do étodo I, e pode ser observado o apêdice D, ode algus teros da série de Taylor, usados o étodo I, são apresetados. O eor esforço coputacioal do étodo cotiuado I é ua coseqüêcia do processo desevolvido e série de Taylor. Coo o étodo cotiuado basicaete é u fluxo de carga co aueto gradual de carga, o eso te coo pricipal esforço Uiversidade Federal de Itajubá

113 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão coputacioal a solução do fluxo de carga. Assi, o étodo cotiuado I exige eos esforço coputacioal se coparado co o étodo cotiuado por R, cofore Tabela 4-. A atriz Jacobiaa do étodo direto te diesão 4+ por 4+, sedo o úero de barras, co processo de solução extreaete oroso. Coo a coposição da atriz Jacobiaa existe eleetos que ão pode ser atualizados ao logo da expasão e série de Taylor, o étodo direto I ão se ostrou eficiete, apesar de se ecotrar valores uito próxios àqueles obtidos pelo étodo direto R, Tabela 4-3. ara efeito de cálculo do poto de áxio carregaeto, o étodo direto I ão é recoedável pelo seu alto esforço coputacioal. O étodo da extrapolação quadrática se ostrou ais eficiete, Tabela 4-4; as facilidades de ipleetação e covergêcia fora uito satisfatórias. Os resultados ecotrados, tato para R quato para I, ostrara que abos os étodos são cosistetes, e o tepo coputacioal despedido os processos R e I são uito iferiores aos alcaçados e abos os étodos (étodo da cotiuação e étodo direto), observados a Tabela 4-5. O étodo da busca biária ão é ecotrado a literatura, e tabé é ua possível cotribuição deste trabalho. A ipleetação é bastate siples e a ão-covergêcia idica que a arge de carga está acia do poto de áxio carregaeto; já a covergêcia, aida iplica a possibilidade de crescieto da carga. A fialização do cálculo se dá quado u valor, pré-defiido, etre aueto e redução de carga é atigido. Cofore a Tabela 4-6, o étodo da busca biária ostrou-se bastate eficiete. Os tepos são bastate copetitivos co o étodo da extrapolação quadrática, o ais rápido dos étodos aalisados este trabalho. Os resultados ecotrados são uito satisfatórios, ostrado que o étodo proposto pode ser utilizado para calcular a arge Uiversidade Federal de Itajubá 3

114 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão de carga de u sistea quado este caiha para o colapso de tesão. a Tabela 4-7 há ua coparação etre o étodo da extrapolação quadrática e o de busca biária. Cotroles de tesão ipleetados a atriz Jacobiaa apresetara resultados bastate iportates. O corte de carga e a redução de sobrecarga e T, ostrara que o étodo I tabé pode ser usado e odelages ais copletas, co atuação de dispositivos de cotrole. os Apêdices, as forulações ecessárias às ipleetações deste trabalho são apresetadas, be coo os teros ecessários para o processo I. o Apêdice E, o artigo A o-iterative load-flow ethod as a tool for voltage stability studies, aceito para publicação a IEE roceedigs. Geeratio, Trasissio & Distributio e 007, coo produto deste trabalho é apresetado. erspectivas e Trabalhos Futuros O étodo ão-iterativo se ostrou capaz de resolver os probleas clássicos de fluxo de carga, peritido estudos iportates e colapso de tesão. A redução do tepo coputacioal tabé foi satisfatória. E e casos gerais, co u úero aior de barras, ua redução de tepo coputacioal, coo ostrada este trabalho é sigificativa. E aplicações e sisteas e tepo real, o étodo iterativo pode ser avaliado coo ua alterativa à redução do tepo coputacioal, visto que as ipleetações realizadas esse trabalho fora feitas e abiete atlab. ortato, a ipleetação do étodo I e ua liguage de prograação copilada possibilitará alcaçar resultados uito ais sigificativos e teros de redução de esforço coputacioal. Uiversidade Federal de Itajubá 4

115 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Referêcias Bibliográficas [AJJ88] AJJARAU,.. Idetificatio of steady state voltage stability i power systes, roc. of Iteratioal Coferece o High Techology i the ower Idustry, arch 988, pp [A03] AES, Dilso A., et al. Cotiuatio Fast Decoupled ower Flow With Secat redictor. Ieee Trasactios O ower Systes, ol. 8, o. 3, August 003 [A89] AARADO, F.., JUG, T. H.. Direct detectio of voltage collapse coditios, roc. Bulk ower Syste oltage heoea - oltage Stability ad Security, E-683, ERI, Jauary 989, pp [A9] AARADO, F.., et al. Egieerig Foudatios for the Deteriatio of Security Costs. IEEE Trasactios o ower Systes, ol. WRS-6, pp. 75-8, August 99. [BAR95a] BARUI, J., GOES, T., Estiatig The oadig iit argi Takig Ito Accout oltage Collapse Areas, IEEE/ES witer eetig-aper 95 W 83-4 WRS, ew York, Jauary 0 February, 995. [BAR95b] Discussio o referece [BAR95a] [BRE03] BRETAS,.G., et al. Static Siulatio of oltage Collapse Cosiderig the Operatioal iits of the Geerators. Ieee Trasactios O ower Systes, 003. Uiversidade Federal de Itajubá 5

116 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão [CA9] CAIZARES, C. A.. oltage Collapse ad Trasiet Eergy Fuctio Aalyses of AC/DC Systes. hd thesis, Uiversity of Wiscosi-adiso, 99. [CA93] CAIZARES, C. A., AARADO, F., oit of Collapse ad cotiuatio ethods for large ac/dc systes, IEEE Tras. ower Systes, 8, (), pp. -8, February 993. [CA94] CAIZARES, C. A., Hrailovic, S.. Trascritical ad Hopf Bifurcatios i AC/DC Systes..H. Fik, editor, roc. Bulk ower Syste oltage heoea III oltage Stability ad Security, ECC Ic., Davos, Switzerlad, 994. [CHE03] CHE, e, et al. A erforace-idex Guided Cotiuatio ethod for Fast Coputatio of Saddle-ode Bifurcatio i ower Systes. Ieee Trasactios O ower Systes, ol. 8, o., ay 003 [CHI89] CHIAG, H. D.. Study of the existece of eergy fuctios for power systes with losses, IEEE Trasactios o ower Systes, vol. 36, o., oveber 989, pp [CIG9] CIGRE, WG 38.0 Task Force o 0. odellig of voltage collapse icludig dyaic pheoea. Tecical report os task force , draft 3, Cigre, Jue, 99. [CUT00] CUTSE, T. a, oltage Istability: heoea, Coutereasures ad Aalysis ethods. Trasactios of the IEEE, ol. 88, o, FEB/000, [CUT90] CUTSE, T. a. A ethod to copute reactive power argis with respect to voltage collapse. IEEE/ES 90 W WRS, February 990. [CUT98] CUTSE, T. a, ouras, C.. oltage Stability of Electric owers Systes luwer acadeic publishers, orwell, A, 998. Uiversidade Federal de Itajubá 6

117 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão [CUT99] CUTSE, T. a, ouras, C.. Deteriatio of secure operatig liits with respect to voltage collapse. IEEE Trasactios o ower Syste, vol. 4, º, pp , Feb, 999. [FE98] FEG, Z., AJJARAU,., ARATUUA, D.J.. A practical iiu load sheddig strategy to itigate coltage collapse. IEEE Trasactios o ower Syste, vol. 3, º 4, pp.85-9, ovebro, 998. [FER03a] FERREIRA, C. A., et al. Ua ova abordage para avaliação do poto de áxio carregaeto de sisteas elétricos de potêcia. CBA, 003. [FER03b] FERREIRA, C. A., et al.ua ova proposta para solução do fluxo de potêcia co otiização de passo. CBA, 003. [GRA96] GRAIE, S., EO, J.C.O., EO, A.C.G.. Applicatio of iterior poits ethod to power flow usolvability. IEEE Trasactios o ower Syste, vol., º, pp , aio, 996. [HE04] HERIUES, R.., et al. Avaliação de áxio carregaeto pela aálise coparativa de ferraetas estática e diâica. CBA, 004. [HA99] HASEA, Duae; ITTEFIED, Bruce. atlab 5: ersão do estudate. akro Books do Brasil, São aulo, 999. [IRI97] IRISARRI, G. D. WAG, X., JOG, T., OHTARI, S.. axiu loadability of power systes usig iterior poit o-liear optiizatio ethod. IEEE Trasactios o ower Systes, vol., o., February 997, pp. 6-7 [U90] UDUR,., GAO, B., ORRISO, G... oltage stability evaluatio usig odal aalysis. IEEE/ES Witer eetig - aper 90 W WRS, 990. Uiversidade Federal de Itajubá 7

118 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão [OF9] ÖFF,. A., et al. Fast Calculatio of a voltage stability idex. IEEE Tras. ower Systes, vol. 7, o., February 99, pp [O0] OES, B.I., SOUZA, A.C.Z., EDES,..C.. Taget ector as a Tool for oltage Collapse Aalysis Cosiderig a Dyaic Syste odel. ower Tech Coferece, 0-3 septeber, orto, ortugal. [A04] AAGE, F. C.., et al. Real ower osses Reductio ad oadig argi Iproveet via Cotiuatio ethod. Ieee Trasactios O ower Systes, ol. 9, o. 3, August 004 [A94] ASOUR, Y., Idustry ractice I oltage Stability Aalysis Of ower Syste..H. Fik, editor, roc. Bulk ower Syste oltage heoea III oltage Stability ad Security, ECC Ic., Davos, Switzerlad, 994. [AR94] ARAIO, et al.. oltage collapse proxiity idicators for very short ter security assesset. roc. Bulk ower Syste oltage heoea III- oltage Stability ad Security, ECC Ic., Switzerlad, August 994. [E99] EDES, edro aulo. Tese de Doutorado. Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro, Rio de Jaeiro, 999. [O83] OTICEI, Alcir José, Fluxo de Carga e Redes de Eergia Elétrica. Editora Edgard Blucher tda, São aulo, 983. [OO00] OORS, C. T., Cutse, a. Desig of oad Sheddig Schees Agaist oltage Istability. roceedigs aper. 000 W-4, reseted at the IEEE Witer ower eetig, Sigapore, Jauary 000. [ER04] ERC, orth Aerica Electric Reliability Coucil, Techical Aalysis of the August 4, 003, Blackout. riceto, ew Jersey, July/004. Uiversidade Federal de Itajubá 8

119 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão [IR9] IREBERG, D.A. ciis. Fast Actig load Sheddig. IEEE Trasactio o ower Syste, vol. 7, o, aio 99, pp [OE9a] OERBYE, T.. Applicatio of a eergy based security ethod to voltage istability i electrical power systes. hd thesis, Uiversity of Wiscosi - adiso, 99. [OE9b] OERBYE, T., ARCO, C.. de. oltage security ehaceet usig eergy based sesitivities. IEEE Tras. ower Systes, vol. 6, o. 3, August 99, pp [SAU8] SAUER,... Explicit oad Flow Series ad Fuctios. IEEE Tras., 98, AS-00, pp [SEY88] SEYDE, R., Fro Equilibriu to Chãos-ractical Bifurcatio ad Stability Aalysis. Elsevier Sciece, orth-hollad, 988. [SOU00a] SOUZA, A.C.Z, DE SOUZA; STACCHII, Julio C., DA SIA, Arado. eite. O-ie oltage Stability oitorig, Ieee Trasactios O ower Systes, ol. 5, o. 4, oveber 000 [SOU00b] SOUZA, A.C.Z, DE SOUZA, GAIC,., AARADO, F.. Cotiuatio ower Flow with overload ad Redispatch, Ieee Trasactios O ower Systes, ol. 5, o. 4, oveber 000 [SOU03] SOUZA, A.C.Z, OES, B. Isaias ia. A Approach for Uder oltage oad Sheddig, ower Tech Coferece roceedigs, Bologa, 003. [SOU9] SOUZA, A.C.Z., et al. oltage stability: pheoea characterizatio based o reactive cotrol effects ad syste critical areas idetificatio. roceedigs of the third Sepope eetig, Belo Horizote, 99, S-4. Uiversidade Federal de Itajubá 9

120 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão [SOU94] SOUZA, A.C.Z, UITAA,. H.. Ä ew techique of etwork partitioig for voltage collapse argi calculatios, IEE roc.-geer. Tras. Distrib., vol. 4, oveber 994, pp [SOU95] SOUZA, A. C. Z., ew Techiques to Efficietly Deterie roxiity to Static Colapse oltage. hd. Thesis, Waterllo, Otario, Caada, 995. [SOU96a] SOUZA, A.C.Z., BRITO, uo Herique oura ues. Ações de Cotrole ara reveção de Colapso de Tesão: Efeitos e Restrições. XI CBA, São aulo, Setebro de 996, vol. 3, pags [SOU96b] SOUZA, A.C.Z.. Deteriação da Barra Crítica e do oto de Colapso elo etor Tagete. XI CBA, São aulo, Setebro de 996, vol. 3, pags [SOU97] SOUZA, A.C.Z, CAÑIZARES, C. A., UITAA,. H..ew Techiques to Spped up oltage Collapse Coputatios Usig Taget ectors, IEEE/ES Suer eetig - aper E-9- WRS , Berli, July [A9] AEI, Athoy, HADEY, Scott W., AR, Bria.. A efficiet eigevector approach for fidig etlist partitio. IEEE Trasactio o CAD/ICAS, vol., o. 7, July 99, pp [ER04] ERBIC, Gregor, GUBIA, Ferdiad. A ew Cocept of oltage-collapse rotectio Based o ocal hasors. Ieee Trasactios O ower Delivery, ol. 9, o., April 004 [XU98] XU, W.; et. al.. Series load flow: A ovel o-iterative load flow ethod. IEEE roc.-geer Tras. Distrib, vol 45, 0 3, ay 998. Uiversidade Federal de Itajubá 0

121 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão [ZAR04] ZARATE,.A.l., CASTRO, C.A.. Fast ethod for coputig power syste security argis to voltage collapse. IEE roc.-geer. Tras. Distrib., ol. 5, o., Jauary 004. pp Uiversidade Federal de Itajubá

122 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Apêdice A Forulações do Fluxo de otêcia O fluxo de potêcia pode ser expresso e fução das equações de potêcia, escrita e teros das coordeadas polares ou retagulares das tesões as barras. A seguir é apresetada ua revisão das técicas epregadas para a solução do fluxo de potêcia. A. Fluxo de otêcia Covecioal A.. Coordeadas olares As equações de potêcias ativa e reativa ijetadas e ua barra geérica k, e coordeadas polares são dadas por: φ k ( G cosθ + B seθ ) (A.) φ ( G seθ B cosθ ) (A.) ode: θ θ θ (A.3) iearizado-se as equações (A.) e (A.), e toro de u poto de equilíbrio, te se o sistea de equações utilizado o étodo de ewto-raphso: Uiversidade Federal de Itajubá

123 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Uiversidade Federal de Itajubá 3 kk B H θ H H H H H H H H H O θ θ θ (A.4) tabé escrito, da seguite fora: H H H H H H H H H O O O O θ θ θ (A.5) A atriz apresetada e (A.4) ou (A.5) é deoiada atriz Jacobiaa, deotada por J. Os teros dessa atriz são dados por: ) cos ( k k B se G H θ θ θ (A.6) (A.7) ) cos ( se B G θ θ + (A.8) G + (A.9)

124 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão θ ( G cosθ + Bseθ ) (A.0) G + θ (A.) ( Gseθ B cosθ ) (A.) B (A.3) A atualização das tesões e ua iteração (h +) é dada por : ( θ θ + θ (A.4) h+ ) h h ( + (A.5) h+ ) h h A.. Coordeadas Retagulares A... Represetação de barras do Tipo As expressões para as potêcias ativa e reativa ijetadas e ua barra geérica, e coordeadas retagulares são dadas por: φ φ r ( Gr B ) ( + G + B r ) (A.6) ( G B ) ( G + B ) (A.7) r r r iearizado-se as equações (A.6) e (A.7) e u poto de equilíbrio, te-se o seguite sistea de equações, utilizado o étodo de ewto-raphso: Uiversidade Federal de Itajubá 4

125 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Uiversidade Federal de Itajubá 5 H H H H H H H H H O r r r (A.8) ode: r r B G H + (A..9) r r r I B G H + + (A..0) r G B + (A..) r I G B + + (A..) r r G B + (A..3) k kk k kk rk rk k kk I G B + (A..4) r B G (A..5) r r I B G + (A..6) As copoetes real e iagiária das corretes ijetadas as barras, apresetadas as equações (A.0), (A.), (A.4) e (A.6) são obtidas a partir da equação :

126 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Uiversidade Federal de Itajubá 6 I ji Y I + (A..7) A... Barras do Tipo Ua vez que o resíduo de potêcia reativa é descohecido para ua deteriada barra k, tipo, a estratégia utilizada cosiste e substituir a equação referete à pela equação (A.8) de restrição da tesão. r k k k + (A..8) iearizado, te-se: r r + (A..9) ode: ) ( ) ( calc esp (A..30) Assi, o sistea de equações liearizado a ser resolvido pelo étodo de ewto- Raphso,cosiderado-se a barra k, tipo, é dado por : r H H H H H H H H H H H H H H H H O O O O r r r r (A.3) Tabé da seguite fora:

127 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Uiversidade Federal de Itajubá 7 r H H H H H H H H H H H H H H O O O O O O O O O O O O O O O O r r r r (A.3) As atrizes apresetadas as equações (A.3) ou (A.3) são deoiadas atrizes Jacobiaas retagulares, deotadas por J R. A liearização da equação (A.8) tabé é escrita coo: r + (A.33) A atualização das tesões e ua iteração, h+, é dada por: h r h r h r + + ) ( (A.34) h h h + + ) ( (A.35)

128 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Apêdice B Derivadas de Seguda Orde a Forulação olar A partir das equações (A.6) a (A.3), te-se as seguites derivadas de seguda orde a forulação polar: θ φ ( G cosθ B seθ ) + G + G (B.) θ θ θ θ ( G cosθ + B seθ ) (B.) θ θ φ ( G seθ + B cosθ ) B B (B.3) θ θ ( G seθ + B cosθ ) (B.4) θ ( G cosθ B seθ ) (B.5) θ θ ( G seθ B cosθ ) (B.6) θ θ ( G seθ B cosθ ) (B.7) G (B.8) ( G cosθ + B seθ ) (B.9) Uiversidade Federal de Itajubá 8

129 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Uiversidade Federal de Itajubá 9 0 (B.0) k B B B se G ) cos ( + θ θ θ φ (B.) ) cos ( B se G θ θ θ θ θ θ (B.) G G se B G + ) cos ( θ θ θ θ φ (B.3) ) cos ( se B G θ θ θ θ + (B.4) ) cos ( B se G θ θ θ + (B.5) ) cos ( se B G θ θ θ θ (B.6) ) cos ( se B G θ θ θ θ (B.7) B (B.8) ) cos ( B se G θ θ (B.9) 0 (B.0) As equações de seguda orde são utilizadas a atriz Hessiaa, o processo do étodo direto.

130 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Uiversidade Federal de Itajubá 30 Apêdice C Derivadas de Seguda Orde a Forulação Retagular A partir das equações (A.9) a (A.6), te-se as seguites derivadas de seguda orde a forulação retagular: r G (C.) 0 r r (C.) r r r r G (C.3) r r B (C.4) G (C.5) r r B (C.6) G (C.7) 0 r (C.8)

131 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Uiversidade Federal de Itajubá 3 0 r r (C.9) 0 (C.0) r B (C.) 0 k r r (C.) r r r r B (C.3) r r G (C.4) B (C.5) r r G (C.6) B (C.7) 0 r (C.8) 0 r r (C.9)

132 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão 0 (C.0) ara barras do tipo são utilizadas equações coo (A.8), portato: ( r ( ) ) (C.) (C.) Uiversidade Federal de Itajubá 3

133 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão Apêdice D Teros da Série de Taylor para Cálculo do Fluxo de Carga este apêdice são apresetados os teros da série de Taylor utilizados este trabalho. Os teros calculados são suficietes para a covergêcia dos casos estudados. oralete, a covergêcia se dá co até cico teros. Após a covergêcia do caso base, co os acréscios potêcia reativa, a covergêcia pode acotecer co até o terceiro tero. Os deais teros fora calculados e virtude da utilização do étodo direto e os estudos apresetados. Durate o processo de covergêcia do étodo direto, os copoetes do vetor tagete ão fora atualizados, ocasioado ua eor redução os erros co relação as variáveis de estado, torado ecessário o uso de ais teros da série. JZ Y Z f (e..,f...) (D) -JZ J(Z )Z -JZ 3 3 J(Z ) Z (D) (D3) -JZ 4 + J(Z ) Z (D4) 4 J(Z ) Z3 3 5 J(Z ) Z4 0 -JZ 5 + J(Z ) Z (D5) 6 6J(Z ) Z5 + 5J(Z) Z4 0J(Z3) Z3 3 -JZ + (D6) -JZ + (D7) 7 7J(Z ) Z6 + J(Z) Z5 35J(Z3) Z4 -JZ + (D8) 8 8J(Z ) Z7 + 8J(Z) Z6 + 56J(Z3)Z5 35J(Z4 ) Z4 Uiversidade Federal de Itajubá 33

134 U étodo de fluxo de carga ão-iterativo coo ferraeta para estudos de Colapso de Tesão -JZ + (D9) 9 9J(Z ) Z8 + 36J(Z) Z7 + 84J(Z3)Z6 6J(Z4 ) Z5 -JZ + (D0) 0 0J(Z ) Z9 + 45J(Z) Z8 + 0J(Z3)Z7 + 0J(Z4 )Z6 6J(Z5 ) Z5 -JZ + (D) J(Z ) Z0 + 55J(Z) Z9 + 65J(Z3)Z J(Z4 )Z7 56J(Z5 ) Z6 -JZ + (D) J(Z ) Z + 66J(Z) Z0 + 0J(Z3)Z J(Z4 )Z8 79J(Z5 ) Z7 -JZ + (D3) 3 3J(Z ) Z + 78J(Z) Z + 86J(Z3)Z0 + 75J(Z4 )Z9 87J(Z5 ) Z8 -JZ + (D4) 4 4J(Z ) Z3 + 9J(Z) Z + 364J(Z3)Z + 00J(Z 4 )Z0 00J(Z5 ) Z9 Uiversidade Federal de Itajubá 34