Projeto de Acopladores Coaxiais de Banda Larga Modelados pelo Polinômio de Tschebyscheff

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1 Departaeto de Egeharia Elétrica - Cetuc Projeto de Acopladores Coaxiais de Bada arga Modelados pelo Poliôio de Tschebyscheff Aluo: Adré uiz dos Satos ia Orietador: José R. Berga Itrodução Trasforadores de λ 4 são utilizados para realizar o acoplaeto de seções de sisteas co ipedâcias características diferetes. U exeplo clássico é o casaeto de lihas de trasissão, a preseça ou ão de dielétricos, ou aida de guias de oda co diferetes diesões. Para ua faixa estreita de freqüêcias ua úica seção de acoplaeto é suficiete, as a obteção de ua faixa passate apla requer a ipleetação de estruturas de últiplas seções. Objetivos Estudo das técicas de casaeto de ipedâcias, utilizado o poliôio de Tschebyscheff, a ipleetação de estruturas coaxiais para operação a faixa de.8 a 3.6 GHz. Utilização e desevolvieto de técicas uéricas e de prograas coputacioais. Metodologia Cosidera-se iicialete ua liha de trasissão co ipedâcia característica coectada a ua carga co ipedâcia l através de últiplas seções de coprieto β l = cofore a figura abaixo. Γ Fig. - Múltiplas Seções Quado ua oda icide a prieira seção, parte é refletida e parte é trasitida. Esta oda trasitida icide etão a seguda seção e ovaete te-se reflexão e trasissão. Este fato ocorre para todas as seções e, ua prieira aproxiação [], o coeficiete total de reflexão Γ será a soa de todas as cotribuições das odas refletidas. j 4 j j j Γ( f ) = + e + e + + e = e (.) =

2 Departaeto de Egeharia Elétrica - Cetuc a expressão (.) o tero expoecial do soatório represeta a defasage itroduzida pelas diferetes distâcias percorridas pelas parcelas. O coeficiete de reflexão da eésia jução e são dados por: = π λ π f = KΔl = = (.) λ 4 f co f represetado a freqüêcia cetral de projeto e f a freqüêcia de operação. Para u trasforador siétrico =, =, etc. este caso a expressão (.) pode ser reescrita coo: j j j( ) j( ) [ ( e + e ) + ( e + e ) + ] j Γ( f ) = e (.3) A expressão obtida para o coeficiete de reflexão de u trasforador siétrico é dada por ua série de Fourier de cosseos cofore expresso e (.4). [ cos + cos( ) + cos( 4) + ] j Γ( f ) = e (.4) O últio tero da expressão será: para iteiro ípar (.5) [( ) / ] cos ( / ) para iteiro par (.6) O poliôio de Dolf-Tschebyscheff te uitas aplicações [] e será utilizado a odelage do problea siplificado os cálculos evolvidos. Te-se o poliôio de grau, deoiado T (x), co eésio grau polioial e x. Os quatro prieiros poliôios são: T ( x) = x (.7) T ( x) = x (.8) 3 T ( x) = 4x 3x (.9) 3 4 T ( x) = 8x 8x (.) 4 +

3 Departaeto de Egeharia Elétrica - Cetuc A fora de recorrêcia para o poliôio e dada pela expressão(.). T (.) ( x) = xt T O poliôio oscila etre ± para x e cresce idefiidaete para outros valores de x coo ostra o gráfico abaixo. Poliôio de Tschesbyscheff T (x) T T - T T 3 T 4 - -,5 -, -,5,,5,,5 x Fig. - Poliôio de Tschebyscheff As propriedades do poliôio pode ser visualizadas a figura e são basicaete:. Todo poliôio, de qualquer orde, passa pelo poto (,);. Para - x, o poliôio te valores etre e. A fudaetação teórica apresetada será utilizada para odelar o problea a partir da itrodução do poliôio de Tschebyscheff a equação básica (.4) obtida para últiplas seções. A utilização de ua úica seção perite a operação e ua faixa estreita de freqüêcias, coo dito ateriorete, e para esclarecer este poto e elhorar o etedieto dos objetivos propostos aaliseos a Fig. 3. 3

4 Departaeto de Egeharia Elétrica - Cetuc Trasforador de seção úica Coeficiete de Reflexão Δ π/ Fig. 3 - Trasforador de seção úica O parâetro ostra a reflexão áxia para ua dada faixa de passage Δ que este caso liita-se a ua estreita faixa. Ebora exista u úero de aplicações ode tal característica seja adequada te-se por outro lado situações e que ua bada larga se faz ecessária. Te-se etão o objetivo de apliar Δ,cofore a Fig. 4, atedo abaixo de u valor de projeto especificado. Trasforador de últiplas seções Coeficiete de Reflexão Δ π/ Fig. 4 - Trasforador de últiplas seções 4

5 Departaeto de Egeharia Elétrica - Cetuc Trasforador de Tschebyscheff a expressão (.) do poliôio de Tschebyscheff, se substituiros o argueto por cos( ) obte-se T (cos( )) = cos( ) co características oscilatórias ao logo do eixo x. Coo se pretede que o coeficiete de reflexão oscile detro de ua faixa especifica deveos oralizar o argueto acia por cos( ). Assi, para < < π, quado = o argueto do poliôio será uitário, e para < < π, será eor ou igual a uidade, que são as características procuradas a faixa de passage. Etão, chega-se a expressão: cos( ) T = T cos( ) (sec( )cos( )) (.) A expressão obtida (.) é u poliôio de eésio grau e sec( )cos( ) e aplicado tal argueto a equação obtida tereos para os três prieiros teros: T (sec( )cos( )) = sec( )cos( ) (.3) T (sec( )cos( )) = (sec( )cos( )) (.4) 3 T (sec( )cos( )) = 4(sec( )cos( )) 3sec( )cos( ) (.5) 3 Coo os teros e (cos( )) pode ser expadidos e ua série de teros da fora cos( ),cos( ),...,cos( ) te-se etão ua expressão proporcioal a (.4) ecotrada ateriorete para o coeficiete de reflexão, e pode-se escrever: j [ cos + cos( ) + ] e T (sec( )cos( )) j Γ( f ) = e (.6) Tal relação de proporcioalidade pode ser trasforada e ua igualdade pela itrodução de ua costate de proporcioalidade A que deve ser deteriada. Para = tereos: Γ ( f ) = = AT (sec( )) A = (.7) + ( + ) T (sec( )) Co a deteriação da costate A obte-se a expressão (.8) para o coeficiete de reflexão odelada pelo poliôio de Tschebyscheff coo desejado. Γ( f ) = e j + T (sec( )cos( )) T (sec( )) (.8) 5

6 Departaeto de Egeharia Elétrica - Cetuc Quado especificado o valor de ecotra-se o valor de, e vice-versa, pois a faixa de passage o áxio valor de T (sec( )cos( )) será a uidade e etão: (.9) = T (sec( )) = ( + ) T (sec( )) + Resolvedo-se a expressão (.8) a partir das especificações de projeto e de parâetros cohecidos coo as ipedâcias de liha e de carga, úero de seções que se deseja ipleetar e reflexão áxia a faixa de passage, é obtida a reflexão e cada seção e deteriadas as ipedâcias das seções pela relação : + (.) + = = + + Para costrução de ua estrutura co seção reta circular, pode-se obter a razão etre o raio itero ( r ) e o raio extero ( r ) do guia. Sedo assi, pela iposição de u dos raios o outro estará deteriado. Tal razão é obtida a partir da ipedâcia característica requerida pelas respectivas seções cofore a relação abaixo. = η r l π r (.) A partir deste poto todos os parâetros ecessários para a ipleetação da estrutura estão dispoíveis e deve-se atetar apeas as liitações físicas e ecâicas que a geoetria do dispositivo e utilização possa vir a itroduzir. A partir das idéias apresetadas ipleetou-se ua solução coputacioal utilizadose o software Matlab. Tal solução requer coo parâetros de etrada os valores das diesões dos guias que se deseja acoplar, o úero de seções que se pretede projetar e a reflexão áxia a faixa de passage e db. Coo parâetros de saída te-se os coeficietes de reflexão de cada seção, as ipedâcias de cada seção e Ohs, a faixa de passage expressa coo freqüêcias iicial e fial, e a razão etre os raios. Te-se aida a possibilidade de alocar o valor de u dos raios das seções ( r ou r ) e obter-se o outro. Gráficos são gerados para auxiliar a copreesão do que esta sedo executado e possibilitare coparações co os que são apresetados as referêcias [] e []. o prieiro gráfico visualiza-se duas curvas: ua para o coeficiete de reflexão Γ adiesioal e outra para o coeficiete de reflexão e db o eixo das ordeadas. o eixo das abscissas te-se a freqüêcia de operação. o segudo gráfico visualiza-se a perda de retoro gerada pela estrutura a partir do coeficiete de reflexão obtido pela expressão (.8). 6

7 Departaeto de Egeharia Elétrica - Cetuc Para legitiação deste trabalho fora propostas duas estruturas coaxiais projetadas para operar a faixa de.8ghz a 3.6GHz. Cosiderou-se iicialete ua estrutura coaxial para acoplar dois guias de odas coaxiais co as diesões descritas a Fig. 5. As diesões projetadas para a estrutura estão listadas a Tabela. RAIO() SEÇÃO I SEÇÃO II SEÇÃO III COMPRIM. Extero c(seção) Itero..4.8.c(total) Tabela Diesões da estrutura I Fig. 5 Estrutura I Para tais dispositivos de icroodas a aálise da perda de retoro gerada é freqüeteete utilizada para caracterizá-lo. A aálise da estrutura foi feita co a utilização do prograa de siulação SECMM que utiliza o Método do Casaeto de Modos o guia coaxial cofore descrito a referêcia [3]. Os resultados obtidos fora etão coparados co os valores de projeto e pode ser vistos a Fig Siulado Projetado Perda de Retoro(dB) ,8,,6,,4,8 3, 3,6 Frequêcia(GHz) Fig. 6 Gráfico coparativo 7

8 Departaeto de Egeharia Elétrica - Cetuc Os resultados apresetados fora satisfatórios, pois se projetou o dispositivo para operar co ua perda de retoro abaixo de 5dB a bada passate e os valores da siulação co o SECMM ficara e toro de 4dB. Esta difereça deve-se ao fato de teros ua aproxiação de prieira orde a resolução das expressões equato o Método do Casaeto de Modos aalisa co aior precisão os odos que se propaga o iterior do guia. Ebora os resultados para a estrutura I teha sidos satisfatórios do poto de vista elétrico tal dispositivo apreseta probleas do poto de vista ecâico de costrução coo o correto alihaeto do codutor cetral e sustetação do eso. Objetivado garatir elhor rigidez ecâica ao dispositivo projetou-se a estrutura II que utiliza dielétricos e alguas seções. SEÇÃO I SEÇÃO II SEÇÃO III Raio extero() Raio itero() Dielétrico(ε r ).8..8 Coprieto() Tabela Diesões da estrutura II Fig. 7 Estrutura II Esta ova estrutura foi projetada para as esas especificações ateriores e os resultados da siulação pode ser vistos a Fig. 8. A utilização do dielétrico odifica o eio de propagação e cosequeteete a expressão (.). Co a itrodução da costate dielétrica ε r do aterial utilizado e cosiderado-se o eio ão agético obte-se a expressão abaixo. = 6 ε r r l r (.) 8

9 Departaeto de Egeharia Elétrica - Cetuc - -5 Siulado Projetado Perda de Retoro(dB) ,8,,6,,4,8 3, 3,6 Frequêcia(GHz) Fig. 8 Gráfico coparativo A estrutura II apresetou perda de retoro aior a faixa superior da bada passate, as os valores obtidos ficara abaixo de -3dB. Ressalta-se que outras cofigurações são possíveis e as estruturas fora propostas apeas para coparação e aálise de resultados. Coclusões O desevolvieto teórico peritiu ua aior copreesão da técica de casaeto de ipedâcias e aplicação do poliôio a resolução e odelage de soluções, equato a realização do projeto peritiu u aior etedieto destes dispositivos de icroodas e liitações ipostas por características costrutivas coo diesioaeto dos guias. A utilização do prograa é uito siples, podedo-se facilete odificar os dados para diferetes valores de projeto e os resultados obtidos e projeto serve de dados de etrada para siulação e sítese de estruturas ótias utilizado-se o algorito ipleetado a referêcia [3]. Obteve-se, aida, o cohecieto básico da liguage de prograação FORTRA, utilizada a siulação das estruturas propostas para aálise. Referêcias - COI, R. E. Foudatios for Microwave Egieerig. McGraw-Hill, ew York BAAIS, C.A. Atea Theory Aalysis ad Desig. ªed, Joh Wiley & Sos,ew York AG, S.R. Aplicação do Método do Casaeto de Modos a aálise e o projeto de estruturas coaxiais. Dissertação de Mestrado, Puc - Rio, Setebro 5. 9