Matemática para Economia Les 201

Transcrição

1 Mateática para Ecooia Les Aulas 4 e 5 Márcia Azaha Ferraz Dias de Moraes 5 e 3//6 (co restrição) Otiização Não Codicioada: Métodos de otiização dos extreos relativos da fução objetivo: Todas as variáveis idepedetes etre si A escolha de certa variável ão afetava as deais Ex: ua fira pode escolher as quatidades produzidas Q e Q A decisão sobre quato produzir de Q ão afeta quato produzir de Q Variáveis Supoha que a fira deve obedecer dada cota de produção: Q T Q + Q 95 Perde-se a idepedêcia das variáveis A decisão sobre as quatidades a sere produzidas de Q e de Q são siultâeas e depede ua da outra: Quato > Q, < deve ser Q para ater a cota Q T Q + Q 95 (Q,Q ): poto de ÓTIMO CONDICIONADO Variáveis Ex: Cosuidor deseja axiizar sua Utilidade Fução Utilidade: U x x + x U U x+ x As utilidades ariais são positivas para todos os valores de x e x A fução ão possui poto de áxio: para que U seja axiizada, o cosuidor deve cosuir quatidades ifiitas do be Resultado de pouca utilidade prática Variáveis Para que o resultado teha utilidade prática: deve ser cosiderada a restrição orçaetária do cosuidor Supoha que o cosuidor deseja astar R$ 6, co os bes: Se os preços são: P 4 e P, a restrição orçaetária pode ser represetada pela equação: Esta restrição ipõe depedêcia útua etre as quatidades de x e x que axiiza a utilidade Variáveis O problea fica: Maxiizar U x x + x Sujeito a : 4x + x 6 Mateaticaete: o efeito é reduzir o doíio e o cotradoíio da fução objetivo Valor Máxio Codicioado Valor Máxio ão Codicioado Valor Míio Codicioado Valor Míio ão Codicioado

2 Variáveis Resolução do problea: Maxiizar U x x + x () Sujeito a: 4x + x 6 () a) Pode-se fazer por substituição: Da equação (): x 6 4x ou x 3 x Substitui a equação () e resolve coo ates: Variáveis Quado: A restrição é fução coplicada Existe várias restrições Técica de substituição e eliiação de variáveis tora-se coplicada Usa-se o étodo do Multiplicador de Larae (válido soete para restrições e fora de iualdade) Variáveis Essêcia do Método: trasforar u problea de áxio codicioado e ua fora tal que a CPO para o extreo ão codicioado possa ser usado escreve-se a FUNÇÃO DE LAGRANGE (versão odificada da fução objetivo) que INCORPORA a restrição Variáveis Do exeplo aterior: Maxiizar U x x + x () Sujeito a: 4x + x 6 () Fução Larae: x x + x + λ (6-4x - x ) Multiplicador Note que: de Larae Quado 4x + x 6, o ovo tero se aula (idepedete do valor de λ) etão: U ( fica à fução objetivo oriial) Variáveis A fução objetivo, ou seja, a fução de Larae, ão te restrição Problea tora-se: achar o áxio NÃO CONDICIONADO DE, AO INVÉS DO MÁXIMO CONDICIONADO DE U Questão: coo aular a expressão etre parêtesis λ (6-4x - x ) Tratar λ coo ua variável adicioal

3 CPO: Variáveis (λ, x, x ) x x + x + λ (6-4x - x ) Solução: Variáveis Solução: resolver cojuto de equações siultâeas Variáveis Variáveis Geeralizado: Dada a fução objetivo: f f (x,y) () Sujeita à restrição: (x,y) c () ode c é ua costate, pode-se escrever a fução de Larae: f (x,y) + λ (c (x,y)) (3) Para achar os extreos da fução de f (x,y,λ): CPO: λ c (x,y) (4) x f x λ x (5) y f y λ y (6) Note que: Variáveis. A equação (4) é a equação () reforulada Variáveis Exeplos: () Achar os valores extreos de: z(x,y) xy Sujeito a: x + y 6. Os valores estacioários de (4) satisfaze tabé a equação (), que é a restrição da fução objetivo oriial 3. Coo a expressão λ (c (x,y) é iual a zero para todos os valores estacioários, os valores estacioarios de (equação 3) te que ser idêticos aos da equação () sujeita à restrição (). 3

4 Variáveis Exeplos: () Achar os valores extreos de: z x + x Sujeito a: x + 4x Variáveis Codições de a. Orde: DETERMINANTE ESSIANO ORLADO É possível expressar as CSO e fora de deteriate Não Codicioada Codicioada essiao <, > >, > fxx fxy fyx fyy Máxio Míio essiao Orlado Variáveis (i) essiao Orlado: Caso de Variáveis e Restrição f (x,y) + λ (c (x,y)) O essiao Orlado é: y y y y y y x y x xx xy y yx yy (i) Variáveis Caso de Variáveis e Restrição f (x,y) + λ (c (x,y)) x y x xx yx Máxio: Míio: y xy yy OBS: ORDEMETERMINANTE : 3x3 > < Todas as derivadas calculadas os potos críticos (x,y) (ecotrados a CPO) Para restrição, a orde do deteriate será + Variáveis (i) Caso de Variáveis e Restrição - CSO - (exeplos ateriores): z xy Sujeito a: x + y 6 (i) Variáveis Caso de Variáveis e Restrição- CSO - (exeplos ateriores): z x + x Sujeito a: x + 4x 4

5 Variáveis (i) Caso de Variáveis e Restrição Exeplo ecoôico Ex: Ua fábrica produz dois tipos de áquias co quatidades x e y. A fução custo é: f(x,y) x + y xy Para iiizar o custo, quatas áquias de cada tipo deve ser produzidas, se deve haver u total de 8 áquias? Variáveis (ii) Caso de Variáveis e Restrição Geeralizado o étodo para o caso de variáveis ( restrição) Fução Objetivo : z f (x, x, x 3,, x ) Sujeita è rstrição: (x, x, x 3,, x ) Fução Larae: f(x, x, x 3,, x ) + λ [C - (x, x, x 3,, x )] CPO: ( + ) equações λ C (x, x, x 3,, x ) f λ f λ f λ Variáveis b) Caso de Variáveis e Restrição - CSO Fução Objetivo : z f (x, x, x 3,, x ) Sujeita è restrição: (x, x, x 3,, x ) As codições de a. Orde são expressas e teros dos eores pricipais orlados do essiao Variáveis b) Caso de Variáveis e Restrição CSO (Orde3x3) (Orde4 x 4) Variáveis Restrição Critérios para potos extreos Codição Máx. Local Mí. Local Variáveis Restrição Exercícios Chia. - Escreva as fuções de Larae e as CPO (ão precisa resolver o sistea, só escrever as equações) a) z x + y + 3w + xy yw Sujeita à: x + y + w CPO λ λ CSO 3 4 > 3 < > ; < ; ; ;, Iverte o sial Sepre eativo 5

6 (iii) Caso de Variáveis e Restrições (<) Fução Objetivo ( variáveis): z f (x, x, x 3,, x ) restrições: A fução de Larae será: j (x, x, x 3,, x ) c j j varia de a < j [ c ( x, x,, x ], x,, x) + j j ) j f ( x λ (iii) Caso de Variáveis e Restrições As codições de a. Orde são expressas e teros dos eores pricipais orlados do essiao orlado ou auetado (iii) Caso de Variáveis e Restrições Ode: j j i são as derivadas das fuções de restrições i derivada parciais de seuda orde da fução Larae Meores pricipais forados a partir de : últio eleeto da diaoal pricipal é 3 últio eleeto da diaoal pricipal é variáveis e restrições Codição Máx. Local Mí. Local CPO λ λ CSO + ; + ; O sial de Altera o sial + é o de ( ) + O úero de restrições (par ou ípar) faz difereça Ex: 5 (5 variáveis) ( restrições) Meores pricipais: 5-5 ; ; 3 ; 4 ; 5 ( ) < Sial Máxio: < ; + ; + ; Meso sial O sial de > ; 3 + é o de ( ) < 4 > 5 < 6