f (x) = 10 2x e f (x) = -2. H(x) = [-2] é sempre negativo então a função é côncava.

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1 1. Para cada ua das seguintes funções, verifique se ele é côncava, convexa ou nenhua das duas, justificando e cada caso. (a) f(x) = 1x x (b) y = x 3 + x x + 1 (a) y = 1x x f (x) = 1 x e f (x) = -. H(x) = [-] é sepre negativo então a função é côncava , -1, -1, -,, -, 1, 1,,, 3, 3, 4, (b) y = x 3 + x x + 1 f (x) = 3x + x - e f (x) = 6x +. H(x) = [6x + ]. Assi para H(x), isto é, 6x + 6x - x - /6 x -1/3 a função será convexa e para x -1/3 a função será côncava , -1, -1, -,,, 1, 1,,, 3, 3, 4, - -1 Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - lori-viali.co

2 . Deterine os pontos extreos, o ponto de inflexão e esboce o gráfico da função f(x) = x 3 3x 9x. f (x) = 3x - 6x 9. Os pontos extreos são os que anula a derivada prieira, isto é, f (x) =, ou seja: 3x 6x 9 = x x 3 =. As raízes são: x = -1 e x = 3. O ponto de inflexão é o ponto que anula a segunda derivada, isto é, o ponto onde a função uda a sua curvatura. A derivada segunda é: f (x) = x. Ela se anula e x = 1. Para x 1 a segunda derivada é positiva e, portanto, a função é convexa e para x 1 a derivada segunda é negativa e, portanto, a função é côncava. Ainda f (-1) = (-1) = -4 e portanto o ponto -1 é u áxio. E x = 3, f (3) =.3 = 4 e portanto o valor 3 é u ínio. Assi a função assue u áxio e x = -1, u ponto de inflexão e x = 1 e u ínio e x = , -1, -1, -,,, 1, 1,,, 3, 3, 4, Encontre os valores extreos da função f(x) = xe -x no intervalo [-, ]. (i) Pontos que anula a derivada f (x) = e -x xe -x = e -x (1 x). Coo e -x > teos que f (x) = se e soente se 1 x =, ou seja, se x = 1 é o único ponto crítico do tipo I. A segunda derivada é: f (x) = (x - )e -x. No ponto x = 1, te-se: f (1) = (1 - ).e -1 = -1/e <, portanto o ponto 1 (u) é u áxio. (ii) O segundo caso não se aplica, pois, a função é derivável e todo o intervalo considerado. (iii) Os deais pontos críticos são os extreos do intervalo e, neste caso, eles são avaliados pela prieira derivada. E a = -, te-se que f (-) = e - [1 (-)] = 3/e >, portanto o ponto - é u ínio. E b =, te-se: f () = e - (1 ) = -e - = -1/e <, portanto o ponto - é u ínio. Coo f(-) = -14,78 e f() =,7, teos que - é global e é local. Prof. Lorí Viali, Dr

3 , -1, -1, -,, -1, 1, 1,, Considere a função f(x) = ax 3 3bx, onde a > e b >. Deterine e que condições a função será convexa (côncava). f (x) = 3ax 6bx e f"(x) = 6ax 6b. H(x) = [6ax 6b]. Para que ela seja convexa H(x), Assi ela será convexa para os valores x tais que: 6ax 6b ou x b/a. A função será côncava para todos os valores x tais que para x b/a. O ponto b/a é o ponto de inflexão, isto é, o ponto onde a curva passa de côncava para convexa ou viceversa. Coo a função está definida e todo o conjunto dos reais, ela não será ne côncava e ne convexa e R.. Encontre a e b tais que a função f(x) = x 3 + ax + b tenha u extreo relativo e (, 4). f (x) = 3x + ax e f (x) = 3x + ax = x(3x + a) = x = ou x = -(a)/3. Coo quero x =, então -(a)/3 = a = -3. Para deterinar b teos que: f() = 4, assi 4 = b b = O núero relativo de oléculas de gás e u recipiente que se ove a ua velocidade de v c/s pode ser calculada por eio da distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzann, ou seja: F(v) = cv e v onde T é a teperatura e Kelvins, é a olécula e c e k são constantes positivas. Mostre que o valor / áxio de F ocorre quando v =. Prof. Lorí Viali, Dr

4 F (v) = cv e v cv 3 ). Igualando a derivada a zero, te- se: e v / F (v) = e / (cv No ponto v = F ( ) = v / ( - (v/)cv e v / cv 3 ) = cv 4 cv c v ) + e K T = e v / (cv cv 3 = cv = v / ( c cv 3 v = v = / v =. 3 v ) = ( 4 cv c v 3v + c)e KT K T KT, a derivada segunda será, após as devidas siplificações: (c + 1) <. Logo o ponto v = e é u ponto de áxio. v /. 7. Encontre e classifique os pontos críticos das seguintes funções: (a) f(x, y) = x + y + x y + 4 (b) f(x, y) = x 3 + xy + y - (a) f x = x + xy x + xy = x(1 + y) = x = ou y = -1. f y = 4y + x 4y + x = x = -4y. Assi se x = então y = e (x, y) = (, ). Se y = -1, então x = - ou e portanto (x, y) = (, -1) ou (x, y) = (-, -1). Logo os pontos são: (, ), (, -1) e (-, -1). f xx = + y e f xy = x + f yx = x e f yy = 4. Assi a atriz Hessiana é:. Então H1(x, y ) = + y e H(x, y) = y 4x. No ponto (, ) teos: H 1(, ) = e H (, ) = 8. Logo (, ) é u ponto de ínio. No ponto (, -1) teos: H 1(, -1) = e H (, -1) = -1. Logo (, -1) é u ponto de sela. No ponto (-, -1) teos H 1(-, -1) = e H (-, -1) = -1. Logo o ponto (-, -1) é de sela. (b) f x = 3x + y 3x + y = 3x x = x(3x ) x = ou x = /3. f y = x + y y = -x. Assi os pontos são (x, y) = (, ) e (x, y) = (/3, -/3). f xx = 6x e f xy = f yx = e f yy =. A atriz Hessiana é: 6. Então H1(x, y) = 6x e H(x, y) = 1x - 4. No ponto (, ) teos: H 1(, ) = e H (, ) = -4. Logo (, ) é u ponto de sela. No ponto (/3, -/3) teos: H 1(/3, -/3) = 4 e H (/3, -/3) = 4. Logo o ponto (/3, -/3) é u ponto de ínio. Prof. Lorí Viali, Dr

5 (a) (b) 8. Ua copanhia possui 3 fábricas que fabrica u eso produto. As fábricas A, B e C fabrica x, y e z unidades respectivaente e seus custos de produção são 3x +, y + 4 e z + 3. Se u pedido ínio de 11 unidades deve ser entregue, deterinar coo a produção deve ser distribuída entre as fábricas de odo a iniizar os custos co a produção. Resolver o problea (via Solver) considerando: (i) que os custos são da totalidade produzida e cada fábrica e (ii) que os custos são unitários. (via Solver) (i) Min f(x, y, z) = 3x + + y z + 3. Produção de A =, B = 6 e C = 3. (ii) Min f(x, y, z) = x(3x + ) + y(y + 4) + z(z + 3). Produção de A = 78, B = 481 e C = Ua copanhia está planejando gastar $1., e propaganda. Na televisão, o anúncio custa $3, o inuto e, no rádio, custa $1, o inuto. Se a fira coprar x inutos na televisão e y inutos no rádio, obterá u retorno (e ilhares de $) dado por: f(x, y) = 8x +3y + xy - x y. (i) Elabore u PPNL para resolver o problea. (ii) Encontre a solução via Solver. (via Solver) (i) Max f(x, y) = 8x +3y + xy - x y s. a 3x + y = 1 (ii) x =,46 in e y,61 in. O retorno é de $1,. Prof. Lorí Viali, Dr

6 1. Ua epresa de pneus quer investir e dois novos equipaentos: ua prensa plana (x) e ua linha de raspage (y). Cada unidade da prensa plana e cada unidade da linha de raspage requere a copra de dois novos adaptadores. A epresa já decidiu que vai coprar 1 adaptadores. O lucro obtido a partir dos novos equipaentos pode ser representado pela função f(x, y) = xy + 6x + 6y -x y. (a) Elaborar u PPNL para resolver o problea. (b) Deterinar a solução e verificar se ela é ótia. (c) Deterine a solução via Lagrangiano e via cálculo. Max f(x, y) = xy + 6x + 6y -x y Via Lagrangiano s. a x + y = 1 L(x, y, λ) = xy + 6x + y -x y + λ(x + y 1) Derivando e igualando as derivadas a zero, te-se: = y x + λ + 6 y x + λ + 6 = (i) = x y + λ + 6 x y + λ + 6 = (ii) = x + y 1 x + y 1 = (iii) Isolando λ na equação (ii) segue que λ = y x 6. Substituindo este resultado na equação (i), te-se: y x + y x =. Assi 3y 3x = ou 3y = 3x ou ainda y = x. Substituindo este resultado na equação (iii), segue que: x + x = 1. Assi 4x = 1 e, portanto, x = 3. Logo y = 3. A função objetivo, ou seja, o lucro será z = f(x, y) = 7. Para verificar se este resultado é a solução do PPNL, deve-se verificar se a função é côncava. Para tal deve-se deterinar a atriz Hessiana, isto é, H(x, y) = 1. Te-se, então, H1(x, y) = - e H(x, 1 y) = 4 1 = 3. Logo a função é côncava e o resultado encontrado é global e solução do PPNL. Obs. A restrição é ua função linear e, portanto, é tanto côncava quanto convexa. Via Cálculo Da restrição, segue que: y = 6 x. Substituindo na FO, segue que: z = x(6 x) + 6x + 6(6 x) x (6 x) = 6x x + 6x x x x x = 18x 3x. Derivando e igualando a zero, te-se: 18 6x = x = 18/6 = 3. Logo y = 6 3 = 3 e z = 7. Prof. Lorí Viali, Dr