EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes Homogênea

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1 EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes Homogênea Laura Goulart UESB 27 de Março de 2018 Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

2 EDO lineares de 2a. ordem Uma edo de 2a. ordem é dita linear quando ela tem a seguinte forma: y + A 1 (x)y + A 0 (x)y = b(x) Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

3 EDO lineares de 2a. ordem Uma edo de 2a. ordem é dita linear quando ela tem a seguinte forma: y + A 1 (x)y + A 0 (x)y = b(x) Uma EDO de 2a. ordem linear é dita de coecientes constantes quando as funções A 1 (x) = a 1, A 0 (x) = a 0 são constantes reais. Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

4 EDO lineares de 2a. ordem Uma edo de 2a. ordem é dita linear quando ela tem a seguinte forma: y + A 1 (x)y + A 0 (x)y = b(x) Uma EDO de 2a. ordem linear é dita de coecientes constantes quando as funções A 1 (x) = a 1, A 0 (x) = a 0 são constantes reais. Diremos que a EDO de 2a. ordem linear é homogênea quando b 0 e caso contrário, ela será chamada de não homogênea. Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

5 EDO de 2a. ordem linear com coecientes constantes Tome L 2 [y](x) = y + a 1 y + a 0 y Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

6 EDO de 2a. ordem linear com coecientes constantes Tome L 2 [y](x) = y + a 1 y + a 0 y Proposição: L 2 [y](x) é um operador linear. Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

7 EDO de 2a. ordem linear com coecientes constantes Tome L 2 [y](x) = y + a 1 y + a 0 y Proposição: L 2 [y](x) é um operador linear. Em consequência da proposição, teremos que se y 1, y 2 são soluções de L 2 [y](x) = 0 então c 1 y 1 + c 2 y 2 tbém é solução de L 2 [y](x) = 0. Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

8 Wronskiano Sejam y 1, y 2 duas funções quaisquer. O Wronskiano de y 1, y 2 é dado por W (y 1, y 2 ) = y 1 y 2 y y. 1 2 Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

9 Wronskiano Sejam y 1, y 2 duas funções quaisquer. O Wronskiano de y 1, y 2 é dado por W (y 1, y 2 ) = y 1 y 2 y y. 1 2 OBS: W (y 1, y 2 )(x 0 ) 0 W (y 1, y 2 ) 0. Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

10 Wronskiano Sejam y 1, y 2 duas funções quaisquer. O Wronskiano de y 1, y 2 é dado por W (y 1, y 2 ) = y 1 y 2 y y. 1 2 OBS: W (y 1, y 2 )(x 0 ) 0 W (y 1, y 2 ) 0. Proposição: W (y 1, y 2 ) 0 y 1, y 2 são l.i. Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

11 Wronskiano Sejam y 1, y 2 duas funções quaisquer. O Wronskiano de y 1, y 2 é dado por W (y 1, y 2 ) = y 1 y 2 y y. 1 2 OBS: W (y 1, y 2 )(x 0 ) 0 W (y 1, y 2 ) 0. Proposição: W (y 1, y 2 ) 0 y 1, y 2 são l.i. Lema 1: A edo L 2 [y](x) = 0 tem exatamente duas soluções l.i. satisfazendo os seguintes PVI's: L 2 [y](x) = 0 y(x 0 ) = 1 y (x 0 ) = 0 e L 2 [y](x) = 0 y(x 0 ) = 0 y (x 0 ) = 1 Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

12 Wronskiano Sejam y 1, y 2 duas funções quaisquer. O Wronskiano de y 1, y 2 é dado por W (y 1, y 2 ) = y 1 y 2 y y. 1 2 OBS: W (y 1, y 2 )(x 0 ) 0 W (y 1, y 2 ) 0. Proposição: W (y 1, y 2 ) 0 y 1, y 2 são l.i. Lema 1: A edo L 2 [y](x) = 0 tem exatamente duas soluções l.i. satisfazendo os seguintes PVI's: L 2 [y](x) = 0 y(x 0 ) = 1 y (x 0 ) = 0 e L 2 [y](x) = 0 y(x 0 ) = 0 y (x 0 ) = 1 Consequentemente, se y 1, y 2 forem soluções dos PVI's do lema 1, então qualquer outra solução de L 2 [y](x) = 0 é da forma ϕ = c 1 y 1 + c 2 y 2. Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

13 Equação característica A função y = e kx é solução de L 2 [y](x) = 0 sse k é raíz da equação u 2 + a 1 u + a 0 = 0. Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

14 Equação característica A função y = e kx é solução de L 2 [y](x) = 0 sse k é raíz da equação u 2 + a 1 u + a 0 = 0. Conclusão: A edo L 2 [y](x) = 0 tem exatamente duas soluções associadas as raízes da equação característica. Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

15 1o. caso: k 1, k 2 raízes reais simples Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

16 1o. caso: k 1, k 2 raízes reais simples ϕ = c 1 e k 1x + c 2 e k 2x Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

17 2o. caso: k 1, k 2 são raízes complexas Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

18 2o. caso: k 1, k 2 são raízes complexas ϕ = e ax (c 1 cos bx + ic 2 sin bx) Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

19 3o. caso: k é uma raíz real dupla Teorema: Se y 1 é uma solução de L 2 [y](x) = 0, então e a 1 x y 2 = y 1 dx. y 2 1 Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8

20 3o. caso: k é uma raíz real dupla Teorema: Se y 1 é uma solução de L 2 [y](x) = 0, então e a 1 x y 2 = y 1 dx. y 2 1 ϕ = c 1 e k 1x + c 2 xe k 2x Laura Goulart (UESB) EDO Linear de 2a. Ordem com Coecientes Constantes 27 de Março Homogênea de / 8