Sistemas Lineares. Laura Goulart. 4 de Dezembro de 2018 UESB. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

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1 Sistemas Lineares Laura Goulart UESB 4 de Dezembro de 2018 Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

2 Denição Um sistema linear m n é um conjunto de equações lineares, com m equações e n variáveis, dado da seguinte forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1nx n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2nx n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

3 Denição Um sistema linear m n é um conjunto de equações lineares, com m equações e n variáveis, dado da seguinte forma: Os números a 11, a 21,..., a m1 a 11 x 1 + a 12 x a 1nx n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2nx n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m por diante. Os números b 1, b 2,..., b m são ditos coecientes da viriável x 1, e assim são ditos termos independentes. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

4 Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

5 Exemplo (6.1) x + 2y 3z = 7 3x y + 2z = 1 2x + y + z = 0 (1) Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

6 Exemplo (6.1) x + 2y 3z = 7 3x y + 2z = 1 2x + y + z = 0 (1) A solução de um sistema linear é um conjunto de números que é a solução de todas as equações lineares. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

7 Exemplo (6.1) x + 2y 3z = 7 3x y + 2z = 1 2x + y + z = 0 (1) A solução de um sistema linear é um conjunto de números que é a solução de todas as equações lineares. Observe que x = 0, y = 1 e z = 1 satisfaz a 3a. equação do sistema, mas não as outras equações. Ou seja, x = 0, y = 1 e z = 1 não é solução do sistema. Porém, x = 1, y = 0 e z = 2 satisfaz, simultaneamente, todas as equações do sistema. Portanto, x = 1, y = 0 z = 2 é solução do sistema (1). e Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

8 6.1-Classicação Os sistemas lineares podem ser classicados conforme o número de soluções possíveis. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

9 6.1-Classicação Os sistemas lineares podem ser classicados conforme o número de soluções possíveis Sistemas linear possível e determinado(spd) Um sistema linear é dito possível e determinado quando admite uma única solução. Exemplo (6.2) { x y = 2 x + y = 0 x = 1 e y = 1 Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

10 6.1.2-Sistema linear possível e indeterminado(spi) Um sistema linear é dito possível e determinado quando admite innitas soluções. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

11 6.1.2-Sistema linear possível e indeterminado(spi) Um sistema linear é dito possível e determinado quando admite innitas soluções. Exemplo (6.3) { x y = 2 2x 2y = 4 Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

12 6.1.2-Sistema linear possível e indeterminado(spi) Um sistema linear é Exemplo (6.3) dito possível e determinado quando admite innitas soluções. { x y = 2 2x 2y = 4 x = 2 + y Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

13 6.1.3-Sistema linear impossível(si) Um sistema linear é dito sistema impossível quando não existe solução. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

14 6.1.3-Sistema linear impossível(si) Um sistema linear é dito sistema impossível quando não existe solução. Exemplo (6.4) { x y = 0 x y = 1 Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

15 6.1.3-Sistema linear impossível(si) Um sistema linear é dito sistema Exemplo (6.4) impossível quando não existe solução. { x y = 0 x y = 1 0 = 1(abs!) Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

16 6.2-Sistema homogêneo Quando num sistema linear os termos independentes são todos nulos, o sistema é chamado homogêneo. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

17 6.2-Sistema homogêneo Quando num sistema linear os termos independentes são todos nulos, o sistema é chamado homogêneo. Exemplo (6.5) { 3x + 6y = 0 2x + 4y = 0 Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

18 6.2-Sistema homogêneo Quando num sistema linear os termos independentes são todos nulos, o sistema é chamado homogêneo. Exemplo (6.5) { 3x + 6y = 0 2x + 4y = 0 x = 2y. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

19 6.2-Sistema homogêneo Quando num sistema linear os termos independentes são todos nulos, o sistema é chamado homogêneo. Exemplo (6.5) { 3x + 6y = 0 2x + 4y = 0 x = 2y. Observação (6.1) Todo sistema homogêneo tem, pelo menos, como solução x 1 = x 2 =... = x n = 0 chamada solução trivial. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

20 6.2-Sistema homogêneo Quando num sistema linear os termos independentes são todos nulos, o sistema é chamado homogêneo. Exemplo (6.5) { 3x + 6y = 0 2x + 4y = 0 x = 2y. Observação (6.1) Todo sistema homogêneo tem, pelo menos, como solução x 1 = x 2 =... = x n = 0 chamada solução trivial. Contudo, no exemplo 6.5 temos um SPI, ou seja, teremos outras soluções além da trivial chamadas de soluções não triviais. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

21 6.3-Representação matricial de um sistema O estudo da resolução de sistemas lineares pode ser facilicitado se aplicarmos os nossos conhecimentos sobre matrizes. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

22 6.3-Representação matricial de um sistema O estudo da resolução de sistemas lineares pode ser facilicitado se aplicarmos os nossos conhecimentos sobre matrizes. Considere o sistema linear a 11 x 1 + a 12 x a 1nx n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2nx n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

23 a 11 a a 1n a 21 a a 2n Fazendo A = a m1 a m2... a mn matriz incompleta do sistema), X = B = b 1 b 2. b m m 1 escrito na forma AX = B. m n x 1 x 2. x n (matriz dos coecientes ou n 1 (matriz das variáveis) e (matriz dos termos independentes), o sistema pode ser Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

24 Exemplo (6.6) O sistema linear { 2x 5y = 11 3x + 6y = 3 terá a seguinte representação matricial: Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

25 Exemplo (6.6) O sistema linear { 2x 5y = 11 3x + 6y = 3 ( ) terá a seguinte representação matricial: ( x y ) ( = 11 3 ) Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

26 Exemplo (6.6) O sistema linear { 2x 5y = 11 3x + 6y = 3 ( ) terá a seguinte representação matricial: ( x y ) ( = 11 3 ) Observação (6.2) A matriz completa de um sistema linear é aquela formada pelos coecientes mais os termos independentes. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

27 Exemplo (6.6) O sistema linear { 2x 5y = 11 3x + 6y = 3 ( ) terá a seguinte representação matricial: ( x y ) ( = 11 3 ) Observação (6.2) A matriz completa de um sistema linear é aquela formada pelos coecientes mais os termos independentes. ( No exemplo 6.6, teríamos que a matriz completa é C = ). Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

28 6.4-Regra de Cramer Essa relação entre sistemas lineares e matriz fora estabelecida no intuito de determinar a solução de um sistema linear atráves de técnicas envolvendo o cálculo de determinantes. Para isso, vamos considerar que m = n, ie, os sistemas lineares estudados aqui terão o núemro de vairáveis igual ao número de equações. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

29 6.4-Regra de Cramer Essa relação entre sistemas lineares e matriz fora estabelecida no intuito de determinar a solução de um sistema linear atráves de técnicas envolvendo o cálculo de determinantes. Para isso, vamos considerar que m = n, ie, os sistemas lineares estudados aqui terão o núemro de vairáveis igual ao número de equações. O determinante da matriz dos coecientes de um sistema linear é dito determinante principal e denotado por D. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

30 6.4-Regra de Cramer Essa relação entre sistemas lineares e matriz fora estabelecida no intuito de determinar a solução de um sistema linear atráves de técnicas envolvendo o cálculo de determinantes. Para isso, vamos considerar que m = n, ie, os sistemas lineares estudados aqui terão o núemro de vairáveis igual ao número de equações. O determinante da matriz dos coecientes de um sistema linear é dito determinante principal e denotado por D. Ao substituirmos uma coluna j da matriz dos coecientes pelos termos independentes obteremos o chamado determinante secundário e denotado por D xj. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

31 Logo, Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

32 A regra de Cramer diz que a solução é dada por x j = D x j D, para j = 1,..., n. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

33 Observação 6.3 Para usarmos a regra de Cramer é necessário que D 0 SPD. e teremos um Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

34 Observação 6.3 Para usarmos a regra de Cramer é necessário que D 0 SPD. Caso e teremos um D = 0, podemos ter um SPI ou um SI. Assim, para saber qual é a classicação correta será necessário olharmos para os determinantes secundários. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

35 Observação 6.3 Para usarmos a regra de Cramer é necessário que D 0 SPD. Caso e teremos um D = 0, podemos ter um SPI ou um SI. Assim, para saber qual é a classicação correta será necessário olharmos para os determinantes secundários. i) D = 0 e D xj = 0, j = 1,..., n SPI. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

36 Observação 6.3 Para usarmos a regra de Cramer é necessário que D 0 SPD. Caso e teremos um D = 0, podemos ter um SPI ou um SI. Assim, para saber qual é a classicação correta será necessário olharmos para os determinantes secundários. i) D = 0 e D xj = 0, j = 1,..., n SPI. ii) D = 0 e D xj 0 para algum j {1,..., n} SI. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1

37 Exemplo 6.7 Resolva o sistema linear x 2y 2z = 1 x y + z = 2 2x + y + 3z = 1 pela regra de Cramer. Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de / 1