Tópico B mtm B SISTEMAS LINEARES

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1 Tópico B mtm B SISTEMAS LINEARES

2 Equação Linear Definição: Toda equação do tipo a 1.x 1 + a 2.x a n.x n = b onde x 1, x 2,..., x n são as incógnitas; (a 1, a 2,..., a n ) R são os coeficientes e b R é o termo independente da equação. Atenção! Equações do tipo: 2a² + 4b +c = 0 2ab + c + d = 3 a + b c = 4 Não são equações lineares. Exemplo : y. x = 3 Colocando no formato de função temos: y = 3 x Tem como gráfico uma hipérbole.

3 Sistema de Equações Lineares Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( F ) A representação geométrica da equação 2x 3y + z = 7 é uma reta. ( V ) A representação geométrica do sistema de equações de retas x+y=9 são retas concorrentes. 2x - y = 3 Possíveis representações de sistema de equações de retas Retas Concorrentes Restas Paralelas Coincidentes Retas Paralelas Distintas

4 Sistema de Equações Lineares Definição: Um sistema de equações lineares consiste num conjunto de m equações lineares onde m 1. Solução do Sistema Par ordenado - S = {( x, y )}, S = {( a, b)},... Terno ordenado - S = {( x, y, z )}, S = {( a, b, c )},... N-upla ordenada - S = {( x, y, z,...)},... Obedecem a ordem alfabética. Exemplo 1: (UFSC) A equação x + a m = 0 obedece o terno ordenado ( 1, 2, 3 ). falso a m x x + a m = = 2

5 Sistema de Equações Lineares Classificação do Sistema Normal - nº de equações igual ao nº de variáveis. Não Normal - nº de equações diferente do nº de variáveis. Grau de Indeterminação do Sistema nº de variáveis, menos o nº de equações. { x + 2y = 5 3x-y=7 x +2y +2z =1 x +3y + z =3 G.I. = 1 S = {( - 3-4z, 2 + z, z )} x - 3y + z + 4w + t =5-2x - y +3z + w - t = 3 G.I. = 3 - x + y = - 1 3x-y =- 6-2x+y=0 G.I. = não há

6 Sistema Lineares sob Forma Matricial Todo sistema linear pode ser representado através de matrizes correspondentes aos seus coeficientes numéricos e sua parte literal. Exemplo 1: Escreva o sistema -3x + 4y = 7 5x - 2y = 0 na forma matricial. -3x + 4y = 7 5x - 2y = Matriz dos coeficientes Matriz das variáveis. x y = 7 0 Matriz dos termos independentes

7 Resolução de Sistema Lineares Resolução de Cramer x= x p x - Determinante de x, ou seja, calcula-se o determinante trocando a coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes. p - Determinante principal. Calcula-se o determinante onde as colunas são os coeficientes das variáveis. y= y p y - Determinante de y. p - Determinante principal.

8 Resolução de Sistema Lineares Resolução de Cramer Exemplo 1: (UDESC) Resolva o sistema linear abaixo. x +2y +3z =1 2x + 4y +6z =2 3x +6y +9z = 4 x p= =0 Existem filas múltiplas Ex.: L 2 2. L 1

9 Resolução de Sistema Lineares Resolução de Cramer Exemplo 1: (UDESC) Resolva o sistema linear abaixo. x +2y +3z =1 2x + 4y +6z =2 3x +6y +9z = x= = y= = z= = L 2 2. L 1 L 2 2. L 1 L 2 2. L 1

10 Resolução de Sistema Lineares Resolução de Cramer Exemplo 1: (UDESC) Resolva o sistema linear abaixo. x= x 0 = p 0 y 0 y= = p 0 z= z 0 = p 0 x +2y +3z =1 2x + 4y +6z =2 3x +6y +9z = 4 Resolvendo por Cramer, encontramos um sistema possível indeterminado, ou seja, qualquer terno ordenado seria solução do sistema. Porém é evidente que isso é falso, pelo termo independente da última equação não ter a mesma constante de proporção que os coeficientes. Como Cramer fura em alguns casos, NÃO USE CRAMER!

11 Resolução de Sistema Lineares Resolução de Gauss Exemplo 1: (UDESC) Resolva o sistema linear abaixo. 1. Escolha uma equação. x +2y +3z =1 2x + 4y +6z =2 3x +6y +9z = 4 2. Escolha a variável que será cancelada. 3. Multiplique a equação escolhida por uma constante conveniente para eliminar a variável e some com a equação seguinte. 4. Repita o processo com todas as equações.

12 Resolução de Sistema Lineares Resolução de Gauss Exemplo 1: (UDESC) Resolva o sistema linear abaixo. x +2y +3z =1(-2)(-3) 2x + 4y +6z =2 3x +6y +9z = x - 4y - 6z = - 2 2x + 4y +6z =2 0x +0y +0z = 0-3x - 6y - 9z = - 3 3x +6y +9z = 4 0x +0y +0z =1 + Desta 2ª equação, concluímos que o sistema é impossível.

13 Resolução de Sistema Lineares Resolução de Gauss Exemplo 2: Na França, três turistas trocaram por francos franceses (F), no mesmo dia, as quantias que lhes restavam em dólares, libras e marcos, da seguinte forma: 1º turista: 50 dólares, 20 libras e 10 marcos por 180 F; 2º turista: 40 dólares, 30 libras e 10 marcos por 185 F; 3º turista: 30 dólares, 20 libras e 30 marcos por 200 F. Calcule o valor de 1 libra, em francos franceses, no dia em que os turistas efetuaram a transação. 50d+ 20l+10m = d+ 30l+10m = d+ 20l+ 30m = 200

14 Resolução de Sistema Lineares Resolução de Gauss Exemplo 2: 50d+ 20l+10m = d+ 2l+m = 18 (-1)(-3) 40d+ 30l+10m = 185 4d+ 3l+m = 18,5 30d+ 20l+ 30m = 200 3d+ 2l+ 3m = 20-5d- 2l- m= d+3l+m=18,5 -d+l = 0, d- 6l- 3m= d+2l+3m=20-12d - 4l= d+ l= 0,5 (-12) -12d- 4l= l= - 40 l=2,5f

15 Resolução de Sistema Lineares Sistemas Não-Normal Número de equações maior do que o de variáveis. Exemplo 1: Dê o conjunto solução do sistema abaixo: 1. Escolhe-se as equações para formar um sistema normal. 2. Resolve-se o sistema normal. x+2y=7 3x +5y =17 2x + y =2 3. Testa-se a solução encontrada nas outras equações.

16 Resolução de Sistema Lineares Sistemas Não-Normal Número de equações maior do que o de variáveis. Exemplo 1: Dê o conjunto solução do sistema abaixo: x+2y=7 (-3) + 3x +5y =17 - y = - 4 y=4 x+2y=7 x +2(4)=7 x+8=7 x=-1 x+2y=7 3x +5y =17 2x + y =2 2x + y =2 2(-1)+(4) = =2 2=2 S = {(-1, 4) }

17 Resolução de Sistema Lineares Sistemas Não-Normal Número de equações menor do que o de variáveis. Exemplo 1: Dê o conjunto solução do sistema abaixo: x+2y+2z=7 x +3y + z =3 1. Escolhe-se variáveis para transpor ao segundo membro, de tal maneira a formar um sistema normal no primeiro membro. 2. Resolve-se o sistema normal que ficou no primeiro membro. 3. A solução ficará em função das variáveis transposta para o segundo membro. Isso representa o grau de indeterminação do sistemas.

18 Resolução de Sistema Lineares Sistemas Não-Normal Número de equações menor do que o de variáveis Exemplo 1: Dê o conjunto solução do sistema abaixo: x+2y+2z=7 x +3y + z =3 x +2y =7-2z (-1) + x +3y =3 - z y=-4+z x +2y + 2z =7 x +2(- 4 + z)+ 2z =7 x z + 2z =7 S = x z =7 x =15-4z {( 15-4z, z, z) }

19 Discussão de Sistema Lineares Classificação S. P. D. - Sistema Possível Determinado Possível ou Compatível Determinado (solução única) x= R 0 Interpretação Gráfica da Solução Retas Concorrentes Verificação de um sistema pelos coeficientes x + 4y = 7 5x - 2y = S. P. D.

20 Discussão de Sistema Lineares Classificação S. P. I. - Sistema Possível Indeterminado Possível ou Compatível Indeterminado (infinitas soluções) x= =0 = 0 Interpretação Gráfica da Solução Restas Paralelas Coincidentes Verificação de um sistema pelos coeficientes. 3x +2y = 4 6x + 4y = x 2 As equações são múltiplas. = = 8 S. P. I.

21 Discussão de Sistema Lineares Classificação S. I. - Sistema Impossível Impossível ou Incompatível Não admite solução x= 0 = 0 Interpretação Gráfica da Solução Retas Paralelas Distintas Verificação de um sistema pelos coeficientes x +3y = 5 6x +9y = -8 = S. I.

22 Discussão de Sistema Lineares Exemplo 1: (UFSC ) O sistema linear possível e indeterminado. x+y+z=1 3x + 3y + 3z = 3 é 5x + 5y + 5z = 9 falso x+y+z=1 3x + 3y + 3z = 3 5x + 5y + 5z = 9 x 3 x? As equações não são múltiplas, logo o sistema não é S.P.I.

23 Discussão de Sistema Lineares Exemplo 1: (UFSC ) O sistema linear possível e indeterminado. x+y+z=1 3x + 3y + 3z = 3 é 5x + 5y + 5z = 9 falso Método de Gauss x+y+z=1 (- 5) 3x + 3y + 3z = 3 5x + 5y + 5z = x - 5y - 5z = - 5 5x + 5y + 5z = 9 0x +0y +0z = 4 S.I.

24 Discussão de Sistema Lineares Exemplo 1: (UFSC ) O sistema linear possível e indeterminado. x+y+z=1 3x + 3y + 3z = 3 é 5x + 5y + 5z = 9 falso Método dos coeficientes x+y+z=1 3x + 3y + 3z = 3 5x + 5y + 5z = = 1 S.P.I. 3 = 1 3 = = 1 5 = S.I.

25 Discussão de Sistema Lineares Exemplo 2: (IME) Faça a discussão, segundo os valores reais de m, do sistema nas incógnitas x e y. p= 2-1 m 1 p=2+m S. P. D. p 0 2+m 0 m - 2 2x - y =3 mx+y=-3 + Mostre o que acontece se m = x - y =3-2x+y=-3 0x + 0y = 0 S. P. I. S. P. D. m - 2 S. P. I. m = - 2 S. I. m R

26 Discussão de Sistema Lineares Exemplo 3: (UFRJ) Discuta, segundo os valores reais de a e b, sistema nas incógnitas x, y e z: p= a a p = 2a a - 2a p = 2a - 4a + 2 ax+y+z=1 2x + 2ay + 2z = 2 x+y+z=b S. P. D. p 0 2 2a - 4a a - 2a +1 0 a 1 Mostre o que acontece se a = 1.

27 Discussão de Sistema Lineares Exemplo 3: (UFRJ) Discuta, segundo os valores reais de a e b, sistema nas incógnitas x, y e z: ax+y+z=1 2x + 2ay + 2z = 2 x+y+z=b -x-y-z=-1 + S. P. D. x+y+z=b x+y+z=1 (-1) a 1 2x + 2y + 2z = 2 0x +0y +0z =b -1 x+y+z=b S. P. I. S. I. S. P. I. S. I. a= 1 a= 1 b-1= 0 b-1 0 b=1 b=1 b 1 b 1

28 Discussão de Sistema Lineares Exemplo 4: Discuta, segundo os valores reais de a, o sistema nas incógnitas x e y: x + 2y = 5 2x - y = - 5 3x + y = a + x + 2y = 5 2x - y = - 5(-2) x + 2y = 5 4x - 2y = x = - 5 x=-1 x + 2y = 5 (-1) + 2y =5 2y = 6 y=3 S. P. D. 3x + y = a 3(- 1) + 3= a a = 0 S. I. a 0 S. P. I. a R

29 Discussão de Sistema Lineares Exemplo 5: (IME) Faça a discussão do sistema abaixo nas incógnitas x, y e z em função do parâmetro real m. 2x - y + mz = 1 8x - 4y + 4z = 7 2x - y + mz = 1 (-4) 8x - 4y + 4z = x + 4y + -4mz = -4 8x - 4y + 4z = 7 0x + 0y +(-4m+ 4)z = 3 S. I. -4m+ 4 = 0 m= 1 S. P. D. / m R S. P. I. -4m+ 4 0 m 1

30 Discussão de Sistema Lineares Exemplo 6: (UFSC 2005) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única x + 2y = 9 solução do sistema. 3x + 6y = 27 falso Única solução S.P.D. ΔP 0 x + 2y = 9 3x + 6y = 27 x 3 p= p = 6-6 = 0 As equações são múltiplas, logo o sistema é S.P.I.

31 Discussão de Sistema Lineares Exemplo 6: (UFSC 2005) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única x + 2y = 9 solução do sistema. 3x + 6y = 27 falso Método de Gauss - 3x - 6y = x + 2y = 9 (- 3) 3x + 6y = 27 3x + 6y = 27 0x + 0y = 0 S.P.I.

32 Discussão de Sistema Lineares Exemplo 6: (UFSC 2005) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única x + 2y = 9 solução do sistema. 3x + 6y = 27 falso Método dos coeficientes 1 3 = 2 6 = 9 27 x + 2y = = 1 3x + 6y = 27 S.P.I. 3 = 1 3

33 Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes, se e somente se: 1. São possíveis e admitem as mesmas soluções. Exemplo: S 1 2x + y =2 x- y=1 1 2 S 2 3x - 4 y =3 5x - y =5 {( )} S=S =S = 1,0 2. São impossíveis (S = ) Obs: Cuidado com sistemas S. P. I. S 1 x+y=2 2x + 2y = 4 S 2 x+y=3 2x + 2y = 6 S 1 e S 2 não possuem as mesmas soluções.

34 Sistemas Homogêneos São aqueles em que os termos independentes de todas as equações são nulos. Exemplo: 2x +7y = 0 3x - y = 0 Todo sistema homogêneo é possível. Determinado (S.P.D.) - ΔP 0 Admite somente a solução trivial: S={(0, 0, 0,..., 0)} Indeterminado (S.P.I.) - ΔP = 0 Admite infinitas soluções além da trivial.

35 Sistemas Homogêneos Resolução de Sistemas Homogêneos Exemplo 1: (UFRJ) Resolva o sistema homogêneo abaixo. Monte um sistema não normal. x + 2y - z = 0 x + 3y + 2z = 0 3x + 8y + 3z = 0 x + 2y - z = 0 x + 3y + 2z = 0 3x + 8y + 3z = 0 x + 2y - z = 0 x + 3y + 2z = 0 x+2y=z (-1) x + 3y = -2z - x - 2y = - z + x + 3y = -2z y = - 3z

36 Sistemas Homogêneos Resolução de Sistemas Homogêneos Exemplo 1: (UFRJ) Resolva o sistema homogêneo abaixo. x + 2y - z = 0 x + 3y + 2z = 0 3x + 8y + 3z = 0 y = - 3z x + 2y - z = 0 x + 2( - 3z ) - z = 0 x - 6z - z = 0 x = 7z S = {( 7z, - 3z, z )}

37 Sistemas Homogêneos Discussão de Sistemas Homogêneos Exemplo 1: (UFSC 2003) O sistema 3x - 2y = 0 x + y = 0 é indeterminado. falso Infinitas soluções S.P.I. ΔP = 0 p= p = 3 - (- 2) = 5 p 0 S.P.D. 3x - 2y = 0 x + y = 0 x? As equações não são múltiplas, logo o sistema é S.P.D.

38 Sistemas Homogêneos Discussão de Sistemas Homogêneos Exemplo 1: (UFSC 2003) O sistema 3x - 2y = 0 x + y = 0 é indeterminado. falso Método dos coeficientes 3x - 2y = 0 x + y = S.P.D.

39 Tópico B mtm B FIM