x 3y +6z = 1 2x 5y +10z =0 3x 8y +17z =1

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1 Lista de Exercícios # - Métodos Quantitativos em Economia - FCE- UERJ Professor Pedro Hemsley Identifique as equações lineares. R. Equações lineares: todas as variáveis devem ter expoente igual a, e não pode haver produto de variáveis. x x +x =Linear. x x x = Não-linear: produto de variáveis x x x. c. x +y =.Não-linear:expoentediferentedex. d. x + y)x z) = Não-linear: expoente diferente de um e produto de variáveis: x + y)x z) =x xz + xy yz. e. x+ / z =Linear note que / éapenasumnúmero;nenhuma variável tem expoente diferente de ). f. x +z / =. Não-linear:expoentediferentede:z /.. Resolva os sistemas abaixo por substituição, por eliminação gaussiana, e por eliminação de Gauss-Jordan. x y +z = x y +0z =0 x y +z = x + x + x =0 x +x x = x +x + x =. Resolva o sistema abaixo por eliminação gaussiana e interprete o resultado. x +y = x y =0 R. )! ) + ): 0x +0y = x y =0 )! ): x y =0 forma escalonada 0x +0y = Asegundalinhaimplica0=,oqueéabsurdo: nãoexistex, y) tal que 0x +0y =.Logo,nãoexistesolução.

2 Graficamente, a primeira equação do sistema original representa a reta y = 0 x, easegundaequaçãoy = x. Essas equações são paralelas, pois têm a mesma inclinação ; mastêminterceptos diferentes 0 e /). Logo, são paralelas distintas, que nunca se encontram. A solução do sistema, porém, deve ocorrer exatamente onde todas as retas se encontram - ou seja, um ponto que esteja sobre todas as retas ao mesmo tempo. Se a solução está no ponto em que as retas se encontram mas as retas nunca se encontram, segue que não existe solução.. Use as operações elementares com linhas para colocar as matrizes abaixo em i) forma escalonada e ii) forma escalonada reduzid 0 0 Já está na forma escalonada: o primeiro elemento diferente de zero em cada linha está à direita ou seja, numa coluna posterior) do que o primeiro elemento diferente de zero da linha anterior. Para encontrar aformaescalonadareduzida:)! )/: 0 0 )! ) ) : Amatrizestánaformaescalonadareduzidaporque: i)estáem forma escalonada; ii) cada pivô é igual a ; iii) as colunas que contêm um pivô não possuem nenhum outro elemento diferente de zero. Lembrando: pivô é o primeiro elemento diferente de zero de uma linh) 0 Já está na forma escalonad Para encontrar a forma escalonada reduzida: )! ) ) 0 forma escalonada reduzid 0

3 c. 0 já está em forma escalonad )! )/ 0 )! ) ) 0 0 )! )/ 0 0 forma escalonada reduzid d. 0 )! ) ): )! )/0 não está en forma escalonad 0 0 )! ) ) e forma escalonada reduzid não está em forma escalonad Ao invés de fazer uma operação de cada vez, faça duas operações: )! )/; e)! )/ Emaisduas,nessaordem: )! ) e )! ) ). Noteque aúltimaoperaçãoéfeitaapartirdamatrizresultantedapenúltima operação. 0 0 forma escalonada reduzid

4 . Considere os sistemas abaixo. x +y = x y =0 x +y z = x + y + z = x y +z =0 i x +y z = x +y z =0 x + y +z =9 ii Escreva os sistemas em forma matricial. i ii Use as operações elementares com linhas para colocar as matrizes encontradas no item anterior em forma escalonad!! 0 )/ 0 ) ) 0 i 0 ) ) 0! 0! 9 0 ) ) ! 0 )/! 0! 0! 0 )/ ii )/! ) )! ) ) c. Use as operações elementares com linhas para colocar as matrizes encontradas no item anterior em forma escalonada reduzida ou seja, trabalhe a partir da forma escalonada, e não da matriz original do item a). 0 / 0 / )!)!

5 i 0 0 ii 0 0 d. Encontre a solução. Asoluçãoédadapelaformaescalonadareduzida,bastandoreescrever a matriz em forma de sistem A primeira linha do item i, por exemplo, significa que x +0y = ;logo,x =.Dessaforma: x, y) =, i x, y, z) =,, ) ii x, y, z) =,, ). Resolva o sistema abaixo. x +y +z = x y + z = R. O sistema possui mais equações do que variáveis; logo, possui infinitas soluções, ou nenhuma solução. Se houver infinitas soluções, então necessariamente ao menos uma das variáveis é livre; defina z como variável livre e reescreva o sistema como: x +y = z x y = z Amatrizaumentadaé: z z Aformaescalonadareduzidadessamatrizé: 0 z 0 z Portanto, a solução geral é: x, y, z) = z R qualquer. z, z,z para um. Use a eliminação de Gauss-Jordan e determine para que valores de k osistemaabaixopossui: i)exatamenteumasolução;ii)nenhuma solução; iii) infinitas soluções. x + x = x kx = R. A matriz aumentada é: k Subtraia a primeira linha da segunda:

6 0 k 0 Se k =0ou seja, k = ), então a segunda linha se torna 0.Amatriz,portanto,temposto:restaapenasumalinha ou seja, uma equação) para duas variáveis, e o sistema tem infinitas soluções. Se k =, entãoasegundalinhasetorna k +)x =0, eportantox =0;usandoentãoaprimeiralinha,temosx =. Essa éaúnicasoluçãoparak=.. Para que valores do parâmetro a osistemaabaixoadmitesolução? x + y = x + y = x y = a R.!! 0 a + 0 a +! a 0 a + 0 a +) a 0 a +! 0 a+ 0 a +) 0 a +) a +) Para Reescreva como sistema linear: x +0y = a+ 0x + y = a 0x +0y = a Ou seja: x = a+ y = a 0= a Se a =, entãoosistemaadmiteumaúnicasolução,dadapelas duas primeiras equações do sistema acima; caso a =, entãoosis- tema não admite solução, pois a última linha se torna 0= a = 0, oqueéabsurdo. 9. Determine o posto das matrizes abaixo. d. 9 9 e. c. 9 9

7 R. Para solucionar, coloque cada matriz na forma escalonada, e conte onúmerodelinhascomaomenosumelementodiferentedezero. posto a segunda linha é múltiplo da primeira); posto ; c. posto ; d. posto ; e. posto. 0. Considere as matrizes de coeficientes abaixo. Para cada uma delas, determine o número de soluções nos seguintes casos: i) i, b i =0; eii)9i/b i =0. c. 0 0 d. 0 e. 0 0 R. No caso i), há pelo menos uma solução: x i =0para todo i, ou seja, x =0, 0,...,0), achamadasoluçãotrivial. Aquestão,portanto, éseháumaouinfinitassoluções. Paratanto,bastaverificarseo número de equações "relevantes" é igual ao número de variáveis. Se sim, então há uma única solução. Caso contrário, o número de "equações relevantes" será menor do que o número de variáveis, e portanto o sistema terá infinitas soluções. "Equações relevantes" é simplesmente opostodamatrizdecoeficientes:ouseja,onúmerodelinhasquenão podem ser reduzidas a zero no escalonamento. Em suma: basta calcular opostoeverificarseémenorouseéigualaonúmerodecolunaso número de colunas da matriz de coeficientes é o número de variáveis, e opostonuncapodesermaiordoqueonúmerodecolunas). Posto, duas colunas: existe uma única solução. Posto, três colunas: infinitas soluções. c. Posto, duas colunas: logo, há exatamente uma solução. d. posto, três colunas: exatamente uma solução. e. Posto, três colunas: exatamente uma solução. No caso ii), a solução trivial não resolve o sistema; logo, não há garantia de ao menos uma solução. Existe uma única solução: posto = número de linhas = número de colunas. Existem infinitas soluções: posto = número de linhas < número de colunas; c. Se b =0 na forma escolonada reduzida, há infinitas soluções; caso contrário, não há solução. d. posto = número de linhas = número de colunas: existe exatamente uma solução. e. posto = número de linhas = número de colunas: existe exatamente uma solução.