Álgebra Matricial - Nota 05 Solução Geral de um Sistema

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1 Álgebra Matricial - Nota 5 olução Geral de um istema Márcio Nascimento da ilva de setembro de 3 olução Geral de um sistema homogêneo Vimos que aplicar a eliminação gaussiana à uma matriz aumentada de um sistema retangular (número de variáveis não necessariamente igual ao número de equações) pode nos levar a uma solução geral quando o sistema é consistente. No caso dos sistemas homogêneos, terminado o escalonamento da matriz aumentada, devemos verificar o valor n r onde n é a quantidade de variáveis do sistema e r o posto da matriz [E ]. Tal valor determina a quantidade de variáveis livres do sistema e também é chamado grau de liberdade do sistema. Desta forma, se um sistema tem 5 variáveis e o posto da matriz [E ] é igual a, o sistema tem grau de liberdade 3. Mais ainda, a escolha das variáveis livres não pode se dar de qualquer maneira. Devemos escolhêlas de acordo com as colunas não básicas da matriz ampliada do sistema. Com isso, se considerarmos apenas as variáveis referentes as colunas básicas o sistema passa a ser quadrado e podemos, depois de escalonado, aplicar a substituição reversa. A solução encontrada será genérica e dependerá das variáveis livres. No exemplo 8 da Nota de Aula 4, o sistema x y 3z w = x 4y 6z 4w = x y 3z w = tinha como solução geral (, 3 ) (α ), α, onde α e representavam as variáves livres (z e w) de um sistema de quatro variáveis. Podemos modificar um pouco esta notação considerando-a como uma coluna: 3 (α ) Isso nos permite escrever X como uma combinação entre duas colunas: α

2 3 α 3 = α 3 3 = αh h α onde h e h são colunas. Note que tanto h quanto h, as colunas, satisfazem o sistema. ão as chamadas soluções particulares. Este exemplo nos indica como explicitar a solução geral de um sistema homogêneo qualquer. Teorema (olução Geral de um sistema homogêneo) eja um sistema homogêneo onde o grau de liberdade é k. A solução geral de é α h α h... α k h k onde α, α,..., α k C correspondem as variáveis livres e h, h,..., h k são soluções particulares em forma de colunas. α h α h... α n h n Lembrando que os sistemas homogêneos são sempre consistentes, quando o grau de liberdade do sistema for igual a zero, então a solução geral do sistema se resume a onde este zero, na verdade, representa uma coluna (com n linhas) formada totalmente por zeros. Exemplo Considere o sistema ua matriz aumentada é e uma forma escolada é a seguinte: x y z = 3x y z = x 3y z = 4x y = Portanto, o posto da matriz aumentada é 3, o mesmo número de variáveis do sistema. Assim, o grau de liberdade é zero e por se tratar de um sistema homogêneo, a solução é única, a trivial (,, ). E se em uma matriz aumentada, o posto for maior que o número de variáveis? Essa situação poderia acontecer se na matriz aumentada, tivéssemos pivot em todas as colunas. Teríamos, então, posto(e ) = n onde n é o número de variáveis. Ora, mas um pivot não pode ser zero, portanto esta situação não acontece para sistemas homogêneos.

3 olução Geral de um sistema não homogêneo Assim como fizemos com os sistemas homogêneos, vejamos o que acontece ao aplicarmos a eliminação guassiana num sistema não homegêneo. Exemplo 3 eja ua matriz aumentada, é x y 3z w = 3 x 4y 6z 4w = 6 x y 3z w = Depois de aplicada a eliminação gaussiana, obteremos Que corresponde ao sistema: { x y 3z w = 3 y 3z 3w = 4 Note que o grau de liberdade é e que as variáveis livres devem ser z e w. Com isso, o sistema será { x y = 3 3α y = 4 3α 3 Aplicando substituição reversa, teremos: y = 3 (α ) x = e a solução geral é: (, 3 ) (α ), α, Escrevendo na forma matricial, (3/)(α ) α = α 3/ 3/ = αh h p Verifique que das três colunas que aparecem na forma matricial da solução geral, apenas a última coluna, a p, se constitui como uma solução para o sistema. 3

4 Neste caso, temos as colunas que tem como coeficientes as variáveis livres (relativas as colunas não básicas da matriz dos coeficientes) e mais uma coluna, sem coeficiente. Diferentemente do caso dos sistemas homogêneos, h e h não são soluções particulares para o sistema. Isso acontece pelo fato de não ser possível isolar h ou h na expressão de X, uma vez que não há coeficiente na terceira coluna (a p) que sempre comporá a solução geral. No entanto, fazendo α = =, temos p. Comparando o exemplo 8 da Nota de Aula 4 e este último, vemos que ambos os sistemas tem os mesmos coeficientes. O que muda é a coluna dos termos independentes. No primeiro caso o sistema é homogêneo (b = ). Já no segundo, temos um sistema não homogêneo. Além disso, a solução do sistema não homogêneo é muito parecida com a solução do sistema homogêneo. Poderíamos escrever: H p onde X é a solução do sistema não homogêneo, H a solução do sistema homogêneo e p a solução particular para o sistema não homogêneo. Neste caso, dizemos que o sistema do exemplo 8 da Nota 4 é o sistema homogêneo associado à do exemplo acima. Obviamente, se é um sistema homogêneo, então p =, onde (novamente) esse zero representa uma matriz coluna onde todos os elementos são nulos. Teorema 4 (olução Geral de um sistema) eja um sistema consistente e k o seu grau de liberdade. A solução geral de é α h α h... α k h k p onde α, α,..., α k C correspondem as variáveis livres e p é uma solução particular de. As colunas h, h,..., h k são soluções particulares para o sistema homogêneo associado. Exemplo 5 eja o sistema cuja matriz aumentada é a seguinte: que tem como uma de suas formas escalonadas a seguinte: Recuperando o sistema, temos: x y z w = y 3z w = 5 3z 4w = 4 endo o grau de liberdade do sistema, a única variável livre neste caso será w. Fazendo w = α, teremos: 4x y z = α y 3z = 5 α 3z = 4 4α E por substituição reversa, obtemos: z = y = 4 4α 35 4α 4

5 e a solução geral é onde α C, o que nos dá infinitas soluções. α α x = /5 /5 /5 7/ 4 No exemplo acima, ao encontrarmos a solução do sistema não homogêneo, encontramos também a solução do sistema homogêneo associado. Isto é, se tem como solução 4x y z w = x z = x 4y z 3w = x 4y z 3w = /5 α /5 /5 7/ 4 então 4x y z w = x z = x 4y z 3w = x 4y z 3w = tem como solução /5 α /5 E o que pode acontecer quando o sistema não homogêneo é inconsistente? /5 Exemplo 6 Façamos uma pequena modificação no sistema anterior: 4x y z w = x z = x 4y z 3w = x 4y z 3w = 5

6 Ele continua não homogêneo e ao aplicarmos eliminação gaussiana, uma de suas formas escalonadas será isto é, temos um pivot na última coluna e isso indica a incosistência do sistema. Não há solução. No entanto, como já vimos, o sistema homogêneo associado tem solução. Infinitas, inclusive. Conclusão: Mesmo que seja inconsistente, o sistema homogêneo associado possui solução. 3 Exercícios. Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas. Determine também a solução do sistema homogêneo associado. x y z = 4 x y z w = 3 4x y z = 6 (a) x 4y z 3w = 4 (b) 6x 3y z = 8 3x 6y z 4w = 5 8x 4y z = (c) x y z = 3x 3z 3w = 6 x y 3z w = 3 x y 3z w = (d). Dentre todas as soluções que satisfazem o sistema x y z = 4x y z = 5 6x 3y z = 8 8x 5y z = 8 x x x 3 x 4 x 5 = x x 4x 3 4x 4 3x 5 = x x 4x 3 4x 4 x 5 = 3x 5x 8x 3 6x 4 5x 5 = 3 determine a(s) que também satisfaz(em) as seguintes igualdades: (x x ) 4x 5 = e x 3 x 5 = 3. Para fazer crescer uma certa plantação, é recomendado que para cada metro quadrado de terreno seja tratado com unidades de fósforo, 9 unidades de potássio e 9 unidades de nitrogênio. uponha que existam três marcas de fertilizantes no mercado, digamos, a marca X, a marca Y e a marca Z. Um quilograma da marca X contém unidades de fósforo, 3 unidades de potássio e 5 unidades de nitrogênio. Um quilograma da marca Y contém unidade de fósforo, 3 unidades de potássio e 4 de nitrogênio. Um quilograma da marca Z contém apenas unidade de fósforo e unidade de nitrogênio. (a) Uma vez que é óbvio que não se aplica uma quantidade negativa de quilogramas de quaisquer marcas e supondo que os fertilizantes são vendidos em uma quantidade inteira de quilogramas, determine todas as possibilidades das três marcas serem aplicadas para satisfazer exatamente a recomendação. (b) upondo que a marca X custa $ por quilograma, a marca Y custa $ 6 por quilograma e a marca Z custa $ 3 por quilograma, determine a solução mais barata que satisfaz as recomendações de acordo com item (a). 6

7 4. Considere o sistema x 3y 3z = 4x 8y z = 4 6x y az = 4 (a) Determine todos os valores de a para os quais o sistema é consistente. (b) Determine todos os valores de a para os quais o sistema possui uma única solução e encontre a solução nesses casos. (c) Determine todos os valores de a para os quais o sistema possui infinitas soluções e encontre a solução geral. 5. e p e p são soluções particulares de um mesmo sistema NÃO homogêneo, é verdade que a soma p p também é uma solução? 6. uponha que [A b] é a matriz aumentada de um sistema consistente de m equações e n variáveis onde m n. Qual a aparência de E A quando o sistema possui única solução? 7. Construa um sistema não homogêneo de três equações em quatro variáveis que tem 3 α como sua solução geral. 7