UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARA

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ Coordenação de Matemática - a Avaliação (comentada) - Álgebra Matricial - 5/5/24 Professor: Márcio Nascimento. Classifique cada afirmação como verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta. (a) (,5) Para encontrar a solução de um sistema usando operações elementares, o primeiro pivot deve, obrigatoriamente, estar na primeira linha e na primeira coluna. Solução: Falso. O primeiro pivot pode estar em qualquer um dos quatro vértices da matriz. O importante é fazer a triangularização, isto é, anular as entradas abaixo (ou acima) da diagonal principal (ou secundária). (b) (,5) Aplicando o método de Gauss-Jordan em um sistema de grau de liberdade zero, deve-se aplicar substituição reversa para se encontrar a solução. Solução: Falso. Se o sistema tem grau de liberdade zero, isto é, não há variáveis livres, então o método de Gauss-Jordan já nos dá a solução (única) do sistema na última coluna da forma escalonada. (c) (,5) A matriz aumentada de um sistema que tem grau de liberdade maior do que zero, não apresenta pivot na última coluna. Solução: Falso. O grau de liberdade é simplesmente a diferença entre o número de variáveis (n) e o posto da matriz (r). Portanto, pode ocorrer n r > e existir pivot na última coluna. (d) (,5) Se E, E 2 são formas escalonadas de uma matriz M então posto(e ) = posto(e 2 ). Solução: Verdadeiro. A quantidade de pivots não muda com as operações elementares aplicadas a matriz. (e) (,5) Se a matriz aumentada de um sistema linear apresenta apenas uma coluna básica, então o sistema possui solução. Solução: Verdadeiro. Com uma única coluna básica, existe apenas pivot na forma escalonada. Isso significa que o sistema foi reduzido a uma única equação.a princípio, este pivot poderia estar na última coluna, fazendo com que o sistema não tivesse solução. A matriz ampliada do sistema poderia ser reduzida, então, a seguinte forma: [A b] = Note que seria impossível, usando operações elementares de maneira reversa (de trás para frente) de modo a tornar os coeficientes do sistema não nulos. Ou seja, se supormos que o único pivot está na coluna dos termos independentes, sequer teríamos sistema. Portanto, o pivot não está na última coluna e o sistema possui, sim, solução. 2. Considere o sistema S x + x 2 + 2x 3 + 2x 4 + x 5 = 2x + 2x 2 + 4x 3 + 4x 4 + 3x 5 = 2x + 2x 2 + 4x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 2 3x + 5x 2 + 8x 3 + 6x 4 + 5x 5 = 3 (a) (,) Escreva a matriz ampliada [A b] de S e encontre uma forma escalonada E. Solução: A matriz ampliada é a seguinte: [A b] =

2 Agora, apliquemos Eliminação Gaussiana para encontrarmos uma forma escalonada para a matriz [A b] L 2 2L L 3 2L L 4 3L L 4 L 2 L 3 E esta é uma forma escalonada para [A b]: 2 2 [E b ] = (b) (,5) Determine o posto de [A b] e o grau de liberdade do sistema. Solução: No item anterior, vemos os pivots, 2, respectivamente nas colunas, 2 e 5 da matriz [E b ]. Portanto, o sistema tem posto r = 3. Como não há pivots na última coluna, o sistema terá solução e, sendo n = 5, o grau de liberdade será n r = 2, isto é, teremos 2 variáveis livres. (c) (,5) Determine as colunas básicas e não básicas de [A b] Solução: Como os pivots aparecem nas colunas, 2 e 5 da forma escalonada [E b ], então as colunas básicas de [A b] serão, também, as colunas, 2 e 5. Consequentemente, as colunas não básicas de [A b] serão as colunas 3, 4 e 6. (d) (,) Encontre a solução geral de S. Solução: Escrevendo o sistema a partir de [E b ], teremos: S x + x 2 + 2x 3 + 2x 4 + x 5 = 2x 2 + 2x 3 + 2x 5 = x 5 = Vimos que as colunas, 3 e 5 são colunas básicas em [A b]. Portanto, as variáveis x, x 2 e x 5 são variáveis básicas. Consequentemente, x 3 e x 4 são as variáveis não básicas. Façamos x 3 = α x 4 = β

3 O sistema terá, então, a seguinte forma: ou, equivalentemente, S S Realizando a substituição reversa, obteremos: Assim, eis a solução geral: x + x 2 + 2α + 2β + x 5 = 2x 2 + 2α + 2x 5 = x 5 = x + x 2 + x 5 = 2α 2β 2x 2 + 2x 5 = 2α x 5 = x 5 = x 2 = α x = α 2β onde α, β C. S = ( α 2β, α, α, β, ) (e) (,5) Exprima 3 soluções particulares de S. Solução: Basta escolher 3 pares de valores para α e β. Por exemplo: α =, β = : S = (,,,, ) α =, β = : S = (2,,,, ) α = 2, β = 2 : S = ( 2, 3 2, 2, 2, ) (f) (,5) Encontre a solução geral do sistema homogêneo associado. Solução: Escrevendo a solução geral em forma de coluna, temos: α 2β α S = α = β α α α + 2β β Assim, a solução do sistema homogêneo associado é: + = α 2 + β + ou, de outra forma, S = α + β 2 S = ( α 2β, α, α, β, )

4 3. (2,) Usando o método de Gauss-Jordan, resolva o seguinte sistema: x + y + 2z = 3x + 3z + 3w = 6 2x + 2y + 3z + w = 3 x + 2y + 3z + w = Solução: Escrevendo a matriz aumentada e aplicando o método de Gauss-Jordan, teremos: L 2 3L L 3 2L 2 3 L 4 L (/3).L 2 Portanto, a solução é S = 2 L L 2 L 4 L 2 2 L + L 3 L 2 + L ().L 3 2 (/2).L L 2L 4 L 3 + L 4 /2 ( 2,, 2, ). 2 2 /2 /2

5 4. Para fazer crescer uma certa plantação, é recomendado que cada metro quadrado de terreno seja tratado com unidades de fósforo, 9 unidades de potássio e 9 unidades de nitrogênio. Suponha que existam três marcas de fertilizantes no mercado, digamos, a marca X, a marca Y e a marca Z. Um quilograma da marca X contém 2 unidades de fósforo, 3 unidades de potássio e 5 unidades de nitrogênio. Um quilograma da marca Y contém unidade de fósforo, 3 unidades de potássio e 4 de nitrogênio. Um quilograma da marca Z contém apenas unidade de fósforo e unidade de nitrogênio. (a) (2,) Uma vez que é óbvio que não se aplica uma quantidade negativa de quilogramas de quaisquer marcas e supondo que os fertilizantes são vendidos em uma quantidade inteira de quilogramas, determine todas as possibilidades das três marcas serem aplicadas para satisfazer exatamente a recomendação. Solução: Sejam Daí, x a quantidade (em Kg) da marca X; y a quantidade (em Kg) da marca Y; z a quantidade (em Kg) da marca Z. Se para Kg do produto da marca X temos 2 unidades de fósforo, então para xkg desta marca, teremos 2x unidades de fósforo. Se para Kg do produto da marca Y temos unidade de fósforo, então para ykg desta marca, teremos y unidades de fósforo. Se para Kg do produto da marca Z temos unidade de fósforo, então para zkg desta marca, teremos z unidades de fósforo. Além disso, cada metro quadrado do terreno necessita ser tratado com unidades de fósforo. Portanto 2x + y + z = Usando o mesmo raciocínio empregado acima, teremos para o potássio e 3x + 3y = 9 5x + 4y + z = 9 para o nitrogênio. Resolvendo esse sistema, teremos a quantidade (em Kg) dos produtos das marcas X, Y, Z para tratar cada metro quadrado do terreno. A matriz ampliada do sistema, é: Aplicando Eliminação Gaussiana, teremos: 2 [A b] = L 2 3.L 2.L 3 5.L L 3 L 2

6 2 [E b] = Observe que temos posto r = 2 em um sistema de n = 3 variáveis. Além disso, não aparece pivot na última coluna. Isso indica que o sistema possui solução. Portanto, o sistema tem grau de liberdade n r =, isto é, teremos uma variável livre. Veja, ainda, que a coluna não básica é a correspondente a variável z, que será a variável livre. Digamos, z = α O novo sistema, será: que resulta em: { 2x + y = α 3y = 2 + 3α Logo, a solução geral é levando em conta que y = α 4 x = 7 α S = (7 α, α 4, α) 7 α α 4 α uma vez que x, y, z são medidas de massa. Essas condições podem ser traduzidas da seguinte forma: 7 α α 7 α 4 α 4 Sendo z = α, segue que a quantidade do produto Z deve ser entre 4 e 7 Kg. Isso implica que a quantidade do produto X (x = 7 α) deve ser entre e 3 Kg e que a quantidade do produto Y (y = α 4) deve ser, também, entre e 3 Kg. Por fim, levando em conta que só serão vendidas quantidades inteiras (em Kg), as possibilidades para cada produto são as seguintes: Para o produto X:,,2,3; Para o produto Y:,,2,3; Para o produto Z: 4,5,6,7; Mas, de acordo com a solução geral do sistema (x = 7 α, y = 4 α, z = α), teremos: Quando z = 4: x = 3, y = que implica S = (3,, 4); Quando z = 5: x = 2, y = que implica S = (2,, 5); Quando z = 6: x =, y = 2 que implica S = (, 2, 6); Quando z = 7: x =, y = 3 que implica S = (, 3, 7).

7 (b) (,) Supondo que a marca X custa R$, por quilograma, a marca Y custa R$ 6, por quilograma e a marca Z custa R$ 3, por quilograma, determine a solução mais barata que satisfaz as recomendações de acordo com item (a). Solução: A função custo será C =.x + 6.y + 3.z Assim, considerando as 5 possibilidades descritas ao final do item (a), os preços finais serão: Para S = (3,, 4): Preço = = 5 reais; Para S = (2,, 5): Preço = = 23 reais; Para S = (, 2, 6): Preço = = 3 reais; Para S = (, 3, 7): Preço = = 39 reais; Portanto, a maneira mais barata de tratar o solo adequadamente é comprando 3Kg do produto X e 4Kg do produto Z. Não é necessário comprar o produto Y.