2. Calcule o determinante das matrizes 3x3 abaixo Calcule o determinante das matrizes abaixo. 2 =1 ( 1) 3 3=
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- Thalita Prado Aveiro
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1 Gabarito - Lista de Exercícios # - Métodos Quantitativos em Economia - FCE-UERJ Professor Pedro Hemsley Calcule o determinante das matrizes x abaixo. deta = det = ( ) = detb = det = = detc = det = 8 ( ) = 8 detd = det = = 0 0 dete = det = 0 ( ) 0 ( ) = 80 a b detf = det d bc c d. Calcule o determinante das matrizes x abaixo. A = 0 B = 0 C = 0 detd = det a a a a a a a a +a a a +a a a [a a a + a a a + a a a ] a a a Para encontrar os determinantes das matrizes A, B e C, substituaosvaloresna fórmula geral para matrizes x encontrada na matriz D.. Calcule o determinante das matrizes abaixo. A = 0 = =(matriz triangular superior) B = 0 00 = =(matriz triangular superior) C = 0 = =(matriz triangular inferior) D = = ( ) 0=0(matriz diagonal) E = = =(matriz identidade é diagonal)
2 F = G = H = a 0 b 0 0 c d a b c = 0=0(matriz diagonal) b c d (matriz triangular superior) b c 0=0(matriz triangular superior). Calcule o determinante das matrizes abaixo. 0 0 A = Faça () () para escalonar a matriz até colocá-la numa forma mais simples: () para encontrar uma matriz triangular supe- (poderíamos também fazer () rior) B = ) deta = =(matriz triangular inferior) Faça () () para encontrar: ) detb = = (matriz triangular superior) C = Faça () b a b a () para encontrar: ) detc = =(matriz triangular superior). Calcule o determinante das matrizes abaixo. A = 0 = = (matriz triangular superior) 0 0
3 B = Troque as linhas () e () para encontrar: 0 ) detb = = (atenção à troca de sinal! troca de 0 0 linhas da matriz gera troca de sinal do determinante) C =. Quais das matrizes acima admitem inversa? R. Todas as matrizes com determinante diferente de zero admitem inversa. Uma matriz quadrado admite inversa se e somente se o determinante for diferente de zero.. Quais das matrizes acima têm posto cheio (ou seja, posto = número de linhas = número de colunas)? R. Atenção: o enunciado foi impreciso. "Posto cheio" signfica "posto =númerodelinhas=númerodecolunas"apenasquandoonúmero de linhas é igual ao número de colunas, que é o caso das matrizes consideradas neste exercício; mas não é uma definição geral. No caso geral, quando o número de linhas pode ser diferente do número de colunas, sabemos que o posto deve ser menor do que o número de linhas, e também deve ser menor do que o número de colunas; dizemos então que posto cheio significa que o posto é igual ao número de linhas ou ao número de colunas - o que for MENOR. Dito isso, o exercício considera apenas o caso particular em que as matrizes são quadradas. Nesse caso, a matriz tem posto cheio se e só se o determinante for diferente de zero. 8. Suponha que as matrizes acima representem os coeficientes de um sistema linear. Quais desses sistemas admitem uma única solução? R. Todas as matrizes com determinante diferente de zero. Quando a matriz de coeficientes é quadrada e tem determinante diferente de zero, podemos reescrever o sistema Ax = b como x = A b,querepresenta asoluçãoúnicaparaqualquerb.. Considere as matrizes A dos exercícios e. Para cada uma delas: i. Encontre os menores correspondentes a cada um dos elementos. Omenorreferenteaoelementoa ij éodeterminantedasubmatrizformadaao eliminar a linha i eacolunaj às quais pertence o elemento a ij.
4 a Menor(a) =det(a) =d Menor(b) =det(c) =c Menor(c) =det(c) =b Menor(d) =det(d) =a Considere a matriz D = b a a a a a a a a a a a Menor(a )=det a a a a a a a Menor(a )= a a a a a a a Menor(a )= a a a a a a a Menor(a )= a a a a a a a Menor(a )=det a a a a a a a Menor(a )= a a a a a a a Menor(a )= a a a a a a a Menor(a )= a a a a a a a Menor(a )= a a a a a ii. Encontre os cofatores correspondentes a cada um dos elementos. Ocofatoréapenasummenorcomajustedesinal. Seasomadosíndicesi e j do elemento considerado for par, então o cafor é igual ao menor; se for ímpar, o cofator é igual ao menor com sinal trocado. a b Cofator(a) =Menor(a) =d Cofator(b) = Menor(b) = c Cofator(c) = Menor(c) = b Cofator(d) =Menor(d) =a Considere a matriz D = a a a a a a a a a Cofator(a )=Menor(a )=a a a a Cofator(a )= Menor(a ) a + a a Cofator(a )=Menor(a )=a a a a Cofator(a )= Menor(a ) a + a a Cofator(a )=Menor(a )=a a a a Cofator(a )= Menor(a a + a a Cofator(a )=Menor(a )=a a a a Cofator(a )= Menor(a ) a + a a.
5 Cofator(a )=Menor(a )=a a a a iii. Escreva a matriz de cofatores. a b d c Matriz de cofatores:. b a a a a Considere a matriz D = a a a a a a a a a a a a + a a a a a a Matriz de cofatores: a a + a a a a a a a a + a a a a a a a a + a a a a a a iv. Escreva a matriz adjunta. Amatrizadjuntaéatranspostadamatrizdecofatores. a b d b Matriz adjunta:. c a Considere a matriz D = a a a a a a a a a a a a a a a + a a a a a a Matriz adjunta: a a + a a a a a a a a + a a a a a a a a + a a a a a a v. Encontre a inversa a partir do determinante e da matriz adjunta. Ainversapodeserescritacomoaadjuntadividapelodeterminante. a b d b Matriz inversa: ad bc. c a Considere a matriz D = a a a a a a a a a Matriz inversa: a a a +a a a +a a a [a a a +a a a +a a a ] a a a a a a + a a a a a a a a + a a a a a a a a + a a a a a a a a + a a a a a a vi. Encontre a solução para os vetores b = 0 (para a matriz do exercício ) eb = 0 0 (para a matriz do exercício ). Considere as matrizes "A" de cada um dos exercícios. Substituindo os elementos da matriz A do exercício na fórmula encontrada no exercício anterior: A = Logo:
6 A b = = Analogamente, obtemos para a matriz A do exercício : A = Logo: A b = 0 = 0
3. Calcule o determinante das matrizes abaixo.
Gabarito - Lista de Exercícios # Professor Pedro Hemsley Calcule o determinante das matrizes x abaixo deta = det = ( ) = detb = det = = 9 detc = det = 9 8 ( ) = 8 detd = det = = 0 0 dete = det = 0 ( 9)
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