Matemática. Resolução das atividades complementares { } {( )} ( ) ( ). M4 Sistemas lineares

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1 Resolução das atividades complementares Matemática M4 Sistemas lineares p. 8 Verifique se (, 4, ) é solução da equação x y z 4. x y z 4 x ; y 4; z? (4) 6 0 Não é solução. Dê duas soluções da equação linear x y 7. x y 7 Se x 0 y 7 Se y 0 x 7 S 0, 7 ( ou S ) { } {( )} 7, 0 ( ) ( ). Respostas possíveis: 0, 7, 7, 0 Determine o valor de k para que (, 0, ) seja solução da equação kx y z. kx y z k() 0? k k k 4 Determine uma solução da equação x y 0, diferente de (0, 0). x y 0 Se x y, ( ), ( )

2 Escreva duas equações equivalentes à equação x 4y 6z w 8. 4x 8y z w 6 x 4y 6z w 7 6 Qual o valor de m para que a equação 6x 7y z w m m 6 seja uma equação homogênea? m ou m 6x 7y z w m m 6 m m 6 0 (m )? (m ) 0 m ou m p Dado o sistema: x 4y z 8 4x y z 0 x y z 6 a) (0, 0, 0) é solução do sistema? não b) (,, ) é solução do sistema? x 4y z 8 4x y z 0 x y z 6 a) (0, 0, 0)? 0 4? 0 0 8; portanto, (0, 0, 0) não é solução do sistema. b) (,, )? 4? 8 4??? 0; (,, ) satisfaz as equações; portanto, é solução do sistema.?? 6 sim 8 Determine os valores de m e p para que a seqüência (4, ) seja solução do sistema: x my px y 6 m e p x my? 4 m? px y 6 p? 4? 6 m e p

3 9 Determine m e n para que os sistemas abaixo sejam equivalentes: x y mx ny e m e n 4 x y 4 nx my 9 Dois sistemas são equivalentes quando possuem a mesma solução. x y x y 4 x 6 x Substituindo x, temos: y y Substituindo x e y no segundo sistema, temos: m n m n 9 ( ) Substituindo n, temos: m 4 m 9 m m n m 9n 7 0n 40 n 4 x 4y z m 0 Para que valores de m, n e p o sistema x y z n 4 é homogêneo? x y z p 4 x 4y z m x y z n 4 x y z p 4 O sistema será homogêneo se os termos independentes forem iguais a zero, então: m 0 m n 4 0 n 4 p 4 0 p ou p m, n 4 e p ou p

4 Verifique se os sistemas abaixo são equivalentes: x y x 6y e sim x y 8 x 7y 46 (I) x y x y 8 x 0 x Substituindo x, temos: y y S {(, )} (II) x x 6y ( ) 7y 46 ( ) x 0y x y 8 y y Substituindo y, temos: x 6? () x 8 x x S {(, )} Os dois sistemas são equivalentes, pois possuem mesma solução. x y 0 Cx Cy (Vunesp-SP) Dados os sistemas lineares, S : e S : e admitindo x y Cx Cy que S e S são equivalentes: a) defina o que são sistemas lineares equivalentes; Dois sistemas lineares são equivalentes se apresentam a b) encontre os valores de C e C. C e C mesma solução. S S a) Sistemas lineares equivalentes são sistemas que apresentam a mesma solução. b) Resolvendo S, temos: x y 0 x y x x Substituindo x, temos: y 0 y Substituindo x e y em S, temos: C? C? C? C? C C C C C C Substituindo C, temos: C C C C e C

5 p. 44 x y Classifique e dê a solução do sistema. x 0y 7 x y ( ) x 0y 7 SI e S {( m, m)} x 0y x 0y 7 0 (impossível) O sistema não possui solução, portanto: SI e S { } 4 (Unifesp-SP) Um determinado produto é vendido em embalagens fechadas de 0 g e 0 g. Na embalagem de 0 g, o produto é comercializado a R$ 0,00 e na embalagem de 0 g, a R$,00. a) Gastando R$ 00,00, qual é a quantidade de cada tipo de embalagem para uma pessoa adquirir precisamente 0 g desse produto? 7 embalagens de 0 g e embalagens de 0 g b) Qual a quantidade máxima, em gramas, que uma pessoa pode adquirir com R$ 00,00? x quantidade de embalagens de 0 g y quantidade de embalagens de 0 g a) 0x y 00 ( ) 0x 0y 0 0x 4y 00 0x 0y 0 y 0 y Substituindo y, temos: 0x? 00 0x 00 0 x 7 Portanto, a quantidade de cada tipo de embalagem é 7 de 0 g e de 0 g. b) 0x y 00 em gramas: 0x 0y Verificando os casos possíveis, temos: x y Quantidade em gramas 0x 0y g g g g Portanto, com R$ 00,00 uma pessoa pode comprar, no máximo, 0 g. 0 g (6 de 0 g e de 0 g) x 9y 0 Dado o sistema, qual o valor de a para que ele seja possível e indeterminado? 0x 8y a x 9y 0 ( ) 0x 8y a 0x 8y 0 0x 8y a 0 0 a a 0 0

6 6 (Fuvest-SP) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto se uma de suas linhas é não-nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz A a b c 6 tem posto. b c a c a b A a b c 6 b c a c a b a b c 4 b c a c a b b a a b Substituindo a, temos:? b b a ; b ; c a, b e c pelas duas primeiras equações, temos c, então: b a 0 ( ) a b b a 0 a b a x y 7 Podemos dizer que o sistema x 4y a) SPD com solução S {(, )} d) SPI b) SPD com solução S {(, )} e) SI c) SPD com solução S {(, )} x y ( ) x 4y é: x y x 4y y y Substituindo y, temos: x () x x Portanto, o sistema é SPD com solução S {(, )}.

7 8 (FGV-SP) Num escritório há impressoras: A, B e C. Em um período de hora: A e B juntas imprimem 0 folhas; A e C juntas imprimem 60 folhas; B e C juntas imprimem 70 folhas. Em hora, a impressora A imprime sozinha: a) 60 folhas c) 7 folhas e) 80 folhas b) 6 folhas d) 70 folhas Sejam a, b e c o número de folhas que as impressoras A, B e C imprimem. a b 0 a c 60 somando as duas primeiras equações, temos:? a b c 0. b c 70 Substituindo b c 70, teremos: a 70 0 a 0 70 a 40 a 70 Em hora, a impressora A imprime 70 folhas sozinha. 9 (UFC) Seja a função f: V V, f(x) ax bx cx, em que a, b e c são números reais. Determine f() sabendo que f() 0, f() e f() 4. 6 f(x) ax bx cx; f() 0, f(), f() 4 f() a b c 0 f() a b c f() 8a 4b c 4 a b c 0 Com os dados, temos a b c somando as duas primeiras equações, temos: 8a 4b c 4 b b Então: a c 8a 4 c 4 a c ( ) 8a c 0 Substituindo a, temos: c c f(x) x x x e f() a c 8a c 0 6a a

8 x y x 7 0 Classifique e resolva o sistema:. x y x y x y x 7 x y 4 x y x y x y x x Substituindo x, temos: y 4 y 4 y 9 SPD e S 9 {(, )} {( )} SPD e S, 9 (Unicamp-SP) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha-de-caju e castanhado-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$,00, o quilo da castanha-de-caju, R$ 0,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$ 6,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$,7. Além disso, a quantidade de castanha-de-caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita anteriormente. b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades em grama de cada ingrediente por lata. amendoim: 0 gramas; castanha-de-caju: gramas e castanha-do-pará: gramas x quantidade de amendoim em kg y quantidade de castanha-de-caju em kg z quantidade de castanha-do-pará em kg x y z 0, x y z 0, (I) a) Pelo enunciado, temos x 0y 6z,7 x 0y 6z, 7 (II) y x z x y z 0 x z y (III) b) Substituindo (III) em (I), temos: y y 0, 4y 0, y 0, Substituindo y em (II) e (III), temos: x 0? (0,) 6z,7 x y? (0,) x 6z,0 x z 0,7 ( ) x 6z,0 x z,87 z,7 z 0, Substituindo z, temos: x 0, 0, 0, x 0,0 Portanto, cada lata terá 0 gramas de amendoim, gramas de castanha-de-caju e gramas de castanha-do-pará.

9 x y 7 Qual dos pares (x, y) não é solução do sistema? x y 4 a) (, 6) c) (6, ) e) (, 4) b) (, ) d) (4, 4) x y 7 () x y 4 x y 4 x y 4 o sistema é possível e indeterminado; portanto, possui infinitas soluções, como: (a, a 7), então: a) (Verdadeira); (, 7) (, 6) b) (Verdadeira); (, 7) (, ) c) (Verdadeira); (6, 6 7) (6, ) d) (Falsa); (4, 4 7) (4, 4) e) (Verdadeira); (, 7) (, 4) (Faap-SP) Uma competição nacional de futebol reuniu Corinthians, Palmeiras, São Paulo e Santos, que juntos marcaram gols. Sabe-se que: cada time marcou um número diferente de gols; cada time marcou pelo menos um gol; o Corinthians e o Palmeiras marcaram juntos 6 gols; o Palmeiras e o São Paulo marcaram juntos 7 gols; um time marcou 4 gols. O número de gols marcados pelo Palmeiras nessa competição foi: a) c) 4 e) 6 b) d) x n o de gols marcado pelo Corinthians y n o de gols marcado pelo Palmeiras z n o de gols marcado pelo São Paulo w n o de gols marcado pelo Santos Pelos dados, temos: x y z w x y 6 se x 4, temos: y z 7 y 6 4 y z 7 z 4 w w 4 (não convém, pois só um time marcou 4 gols) Se y 4, temos: x 6 4 x z 7 4 z 4 w w 6 Portanto, o Palmeiras marcou 4 gols.

10 4 (UFJF-MG) A tabela abaixo fornece a quantidade de proteína, carboidrato e gordura, contida em cada grama dos alimentos A, B, C e D. Alimentos Unidades de proteína Unidades de carboidrato Unidades de gordura A 4 4 B 6 C 6 D x y? 4 (Fuvest-SP) Se (x, y) é solução do sistema 4, pode-se afirmar que: y xy 0 a) x 0 ou x log d) x log b) x ou x log e) x log ou x c) x ou x log Um nutricionista deseja preparar uma refeição, composta somente desses alimentos, que contenha exatamente 0 unidades de proteínas, unidades de carboidrato e 4 unidades de gordura. Então, quanto às maneiras de se combinarem quantidades desses quatro alimentos, em números inteiros de gramas, para compor tal refeição, é correto afirmar que: a) não existe tal maneira. d) existem exatamente três maneiras. b) existe uma única maneira. e) existem infinitas maneiras. c) existem exatamente duas maneiras. De acordo com o enunciado, temos: 4A 6B 6C D 0 (I) 4A B C D (II) A B C D 4 (III) De (I) e (III), temos: 4A 6B 6C D 0 A B C D 4 ( ) x y? 4 (I) 4 y xy 0 (II) De (II), temos: y? y x y 0 ou y Se y ( ) 0 x 0 0, em (I), teremos:? x 4 log x 4A 6B 6C D 0 4A 6B 6C D 48 0 (impossível) 4 x log x log log log 4 x log 4 ou x log log Se y x x x, teremos:? x Log 4 4 log x log x 0 x log log 4

11 p Escreva a equação matricial dos sistemas: x y a) x y x y a) x y matriz incomplet a: A x matriz das incógnitas: X y matriz dos termos independentes: B A? X B? x y b) x y z x y z 6 x y z 0 x y z b) x y z 6 x y z 0 matriz incompleta: A matriz das incógnitas: X x y z matriz dos termos independentes: B 6 0 A? X B x? y z Determine o sistema correspondente à equação matricial? x 7 y e resolva-o. x y 7 e S x y 4, x x y 7 y Substituindo y, temos: x ( ) {( )} S, 4 x y 7 x y y y x x 4 {( )}

12 6 8 8 Resolva a equação matricial encontrado. S {(,, 0)} Determinando o sistema da equação matricial, temos: 6x y 8z 4 7x y z x 9y 4z 6 D x 4? y usando a regra de Cramer no sistema z D 60 D x D x 60 D y D 70 y D z Dx x 60 x D 60 Dy y 70 y D 60 Dz z 0 z 0 D 60 S {(,, 0)} D 0 z

13 x y z 9 O sistema x y é: x y z 4 a) normal c) SPI e) completo b) SPD d) SI x y z x y x y z 4 D D 0 D x Dx 0 4 D y D y 0 D z 4 4 Dz 0 4 Como D, D, D e D x y z 0, o sistema é possível e ind eterminado. x y z 0 Verifique se o sistema x 4y 0z 8 x y 9z 0 x y z x 4y 0z 8 x y 9z 0 D é um sistema possível e determinado. Não é SPD, pois D D 0 Como D 0, o sistema não é SPD.

14 x y z 0 Determine o valor de a para que x 4y az seja um sistema possível e determinado. x y z x y z 0 x 4y az x y z o sistema será SPD se D 0 D 4 a 0 4 a 4 a 0 a 4 a a. x y z 4 Determine o valor de z no sistema x y z. x y z x y z 4 x y z x y z D 8 D 6 4 z 4 4 D z 4 8 Dz 8 Dz z 8 z D 6 4

15 (UFBA) Em uma certa época, uma epidemia atingiu determinada região. A fim de combater a doença, a população local foi dividida em três grupos, por faixa etária, e todas as pessoas foram vacinadas, cada uma recebendo a dose da vacina de acordo com o especificado no quadro a seguir: Grupo Faixa etária a aplicação a aplicação a aplicação I até anos m, m, m, II de 6 a 9 anos m, m, m, III a partir dos 60 anos m, m, m, x n o de pessoas do grupo I y n o de pessoas do grupo II z n o de pessoas do grupo III De acordo com o enunciado, temos: x y z x y z resolvendo o sistema, vem: x y z D D 8 Considerando que na primeira aplicação foram gastos m da vacina, na segunda, m e na terceira, m, calcule o número de pessoas de cada grupo. grupo I: , grupo II: e grupo III: D x ? ( ) D D y x ? ( ) D y D z ? ( ) D z x Dx D y Dy D z Dz D Então, grupo I pessoas, grupo II pessoas e grupo III pessoas.

16 (log m)? x (log4 n)? y 4 (UFSCar-SP) Sendo m e n números reais positivos, o sistema linear x y nas variáveis x e y será possível e determinado se, e somente se: a) m n c) m? n e) m n b) m n d) n m (log m)? x (log4 n)? y o sistema será possível e determinado se D 0. x y log m log n log 4 n 0 log m log4 n 0 log m log 4 log n log m log m log n log m log n m n m n (UnB-DF) No Brasil, a gasolina tipo comum que se utiliza nos veículos automotores é um combustível composto de 7% de gasolina pura e % de álcool anidro. Alguns donos de postos de venda de combustíveis, de maneira desonesta, para aumentar as margens de lucro, modificam essa proporção e (ou) acrescentam solvente ao combustível. Considere que os postos P, Q e R vendam combustíveis com as seguintes composições e preços por litro: Posto Composição do combustível Álcool Gasolina Solvente Custo por litro (em R$) Preço de venda (em R$) P % 7% 0%,70,78 Q 0% 70% 0%,64,78 R 0% 40% 0%,7,78 A , B x a X y e Y b z g 6 Para os três postos, P, Q e R, considere que x, y e z sejam os preços de custo, em reais, do litro de álcool anidro, de gasolina pura e de solvente, respectivamente, e que a, b, g sejam os preços de venda do litro, em reais, desses mesmos produtos, quando misturados para formar o combustível composto. Considere ainda que A, B, C, X e Y sejam as matrizes:,70,64, C,7,78,78,,78 Com base nessas informações, julgue os itens a seguir: I. O preço de custo por litro de combustível composto para cada um dos postos, P, Q e R, pode ser representado pela matriz B, que pode ser obtida pelo produto A? X. V II. Se Y é solução do sistema A? Y C e X, a solução do sistema A? X B, então a matriz Y X representa o lucro de cada posto, por litro, com a venda do combustível composto. F III. Para obter o mesmo lucro do posto R, enquanto este vende 000 de seu combustível composto, o posto Q deverá vender mais de 4000 de gasolina do tipo comum. V

17 x,78 IV. O sistema de equações lineares representado por A? y,7 tem mais de uma solução. F z,70 V. O preço de custo do litro de gasolina pura é o dobro do preço de custo do litro de solvente, isto é, y z. F VI. Entre os componentes utilizados para formar os combustíveis compostos, o que possui menor preço de custo é o álcool anidro. V I. (Verdadeira) II. (Falsa); lucro por litro C B III. (Verdadeira) IV. (Falsa) D x 0? y z ,78,7, Portanto, o sistema é possível e determinado e possui uma única solução. V. (Falsa) x 0? y z 0,78,7,70 x y, x 7 0 y,7 0 x 4 0 y 0 z,70 Resolvendo (I) e (II), temos: x y 7, ( ) x 7y 7, Substituindo y, temos: x y 7, (I) x 7y 7, (II) x 4y z 7 (III ) x 9y,6 x 7y 7, y,86 y,9 x?,9 7, x 7,,79 x,,9 x 4y z 7?, 4?,9 z 7 z z,76 VI. (Verdadeira) 7

18 p. 49 (a b)x (a b)y 6 (ITA-SP) Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por, (a b)x (a b)y considere as seguintes afirmações: I. O sistema é possível e indeterminado se a b 0. II. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos. III. x y (a b ), se a b 0 Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas: a) I c) III e) II e III b) II d) I e II (a b)x (a b)y (a b)x (a b)y a b (a b) D a ab b a ab b? ( a b ) a b a b Se D 0? (a b ) 0 a b 0, pois a e b são reais. 0x 0y o sistema é impossível 0x 0y Se D 0 a b 0 o sistema será possível e determinado se a e b não forem simultaneamente nulos. (a b) Dx a b a b Dx a a b D y a a b b Dx x a D? ( a b ) a Dy x D a b a b D b a b b b? ( a b ) a b x y a b ( a b ) ( a b ) ( a b ) a b Portanto: I. (Falsa); II. (Verdadeira); III. (Verdadeira) y 8

19 7 (FGV-SP) O sistema linear nas incógnitas x e y: x y 7 x my 0 é: x y 6 a) determinado qualquer que seja m. d) determinado para m. b) indeterminado para m. e) impossível qualquer que seja m. c) impossível para m. x y 7 x my 0 x y 6 (I) (II) (III) Resolvendo (I) e (II), temos: x y 7 ( ) x y 6 Substituindo y, temos: x () 6 x x x 6y x y 6 y y Para que o sistema seja possível e determinado, x my 0.? m? () 0 m 0 m Se m, o sistema será impossível. p. x y z 4 8 (Fuvest-SP) Dado o sistema 4y z. Então, x é igual a: 6z 8 a) 7 c) 0 e) b) d) x y z 4 4y z 6z 8 O sistema já está escalonado: z 4y? 4y 8 y x?? 4 x 9

20 x 7y z 9 Escalone e resolva o sistema x 4y 8z 8. x y z x 7y z x 4y 8z 8 x y z x 7y z 0y 0z 0 0y 9z 9 z 0y 0? 0 0y 0 y 0 x 7? 0 x 0 SPD e S {(0, 0, )} SPD e S {(0, 0, )} x 7y z ()() x 4y 8z 8 x y z x 7y z 0x 0y 0z 0 () 0x 0y z x y z 0 40 (FGV-SP) Resolvendo o sistema x y z, obtém-se para z o valor: 6y z a) c) 0 e) b) d) x y z 0 ( ) x y z 6y z z x y z 0 x y z 0 0x y 4z () y 4z 6y z 0y z 0 x y z 7 x y z 4 (UEM-PR) Determine a soma das soluções do sistema de equações dado por: 9 x y z (Sugestão: considere x a, y b, z c.) x y z 7 x y z 9 x y z ; x y z considerando a, b e c, temos: a b c 7 ( ) ( ) a b c 7 a b c 9 0a b c ( ) a b c 0a b c c b? b a 7 a 4 Substituindo a, b e c, temos: x a x 4 x x y b y y z z 0 z 0 soma 0 a b c 7 b c 0b 0c 0 0

21 x y z 4 (FGV-SP) O sistema linear x y z 4 a) é impossível. c) admite apenas duas soluções. e) admite infinitas soluções. b) admite apenas uma solução. d) admite apenas três soluções. x y z ( ) x y z x y z 4 0x y z e admite infinitas soluções. o sistema é possível, indeterminado x y z 4 (Unifesp-SP) A solução do sistema de equações lineares x z é: y z a) x, y e z c) x, y e z e) x, y e z b) x, y e z d) x, y e z x y z ( ) x y z x z 0x y 0z 4 y z y z y z z x?? x 44 (Fuvest-SP) Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de 0000 frutas. As frutas estão acondicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laranjas tem, respectivamente, 0 maçãs, 60 peras e 00 laranjas e custa, respectivamente, 0, 40 e 0 reais. Se a carga do caminhão tem 40 caixas, e custa 00 reais, calcule quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas. 000 maçãs, 000 peras e 000 laranjas x quantidade de caixas de maçãs y quantidade de caixas de peras z quantidade de caixas de laranjas 0x 60y 00z x y z 40 ( 0)( 0) x y z 40 0x 60y 00z x 40y 0z 00 0x 40y 0z 00 x y z 40 x y z 40 0x 0y 0z 00 ( ) 0y 0z 000 0x 0y 0z 00 0y 0z 00 z 0 0y 0? y 0 x x 40 quantidade de maçãs 0? quantidade de peras 60? quantidade de laranjas 00? 0 000

22 4 (FGV-SP) Nas sentenças abaixo classificá-las em: verdadeiras (V) ou falsas (F). No caso de você classificar uma sentença falsa, justifique a resposta. a) Se A, B e C são matrizes de ordem e AB AC, então B C. F b) Uma matriz identidade admite como matriz inversa ela própria. V c) Se A é uma matriz quadrada de ordem, então det (A) det (A). F d) As equações abaixo formam um sistema linear possível e determinado. F x y z x y z a) (Falsa); se A, B e C b) (Verdadeira) c) (Falsa); se A a c b a b d, A c d 4, então: AB AC det A ad cb e det A 9ad 9cb 9? (ad cb) det A d) (Falsa); escalonando o sistema, temos: x y z ( ) x y z 0 x y z o sistema é possível e indeterminado. 0x 4y z e B C. 46 (UFPE) O sistema linear a seguir admite pelo menos duas soluções (distintas). Indique o valor de m. x 4y mz 9 x y z x y z x 4y mz 9 x y z ()() x y z x y z x y z x 4y mz 9 x y z x y z 0x y z 8 ( ) y z 8 0x 6y ( m )z 6 0y ( m )z 0 Se o sistema admite pelo menos duas soluções distintas, o sistema é possível e indeterminado; logo, m 0 m.

23 x y z 47 (Unipar-PR) Sobre o sistema linear x 4y 6z é correto afirmar que é: x 6y 9z 4 a) possível e determinado c) impossível e) inclassificável b) possível e indeterminado d) homogêneo x y z ( ) ( ) x y z x 4y 6z 0x 0y 0z 0 o sistema é impossível. x 6y 9z 4 0x 0y 0z 48 (UFMT) A figura ilustra um exemplo de circuito elétrico. Para esse circuito, as correntes desconhecidas I, I e I (em ampère), para determinados valores das resistências (em ohm) e da variação do potencial eletrostático (em volt) em cada bateria, devem satisfazer o seguinte sistema linear: I 0 0? I 6 0 I 0 A partir das informações dadas, julgue os itens: 0. O sistema dado é normal. V 0. I V I 4,0 A, I 6, A, I,7 A. F I 0 0? I 6 0 I 0 0. (Verdadeira); o número de equações é o mesmo que o número de incógnitas, e o determinante D D

24 . (Verdadeira); D 0 6 0? (80 0)? (0 0) D I I 00 6, (Falsa); no enunciado, chamando I de x, I de y e I de z, e passando da forma matricial para a forma de um sistema, temos: x y z 0 x y 6 resolvendo por escalonamento, temos: y z 0 x y z 0 ( ) x y 6 y z 0 x y z 0 y z 0 6z 44 x y z 0 y z 6 y z 0 z,7 y?,7 0 y 6, x 6,,7 0 x, Portanto, I,A, I 6,A e I,7A. x y z 0 y z 0 () y z 6 p. ax y 49 Discuta o sistema em função de a. x y 7 ax y x y 7 a D D a 9 se a se a 9 9 SPD SI Se a 9 0 a 9 o sistema é possível e determinado. 9x y x y 7 ( ) x y 7 Se a 9 x y 7 9x y 0x 0y 9 impossível. o sistema é 4

25 x y 0 Considere o sistema de equações lineares nas incógnitas x e y: x y 0. se k SPD x y k a) Discuta o sistema em função de k. se k SI b) Resolva o sistema para k. S {(8, )} x y x y 0 x y k x y ( ) a) x y x y 0 0x y y x? () x 8 O sistema será possível e determinado se x y k satisfizer os valores de x e y, ou seja:? 8 () k k. O sistema será impossível se k. x y Se k x y 0 x y x y y y 0 y x? () x 8 S {(8, )} Discuta o sistema mx y z x my z x y D m m 0 mx y z x my z 0. x y 0 m SPD m SI m m 0 D m Se D 0, SPD; portanto, se m 0, então: m. x y z () x y z Se m x y z 0 0x 0y 0z x y o sistema é impossível.

26 x y z se m SPI Discuta o sistema. x y mz 4 se m SI x y z ( ) x y z x y mz 4 0x 0y (m ) z Se m 0 m o sistema é impossível. Se m o sistema é possível e indeterminado. (Vunesp-SP) Dado o sistema de equações lineares S: x y cz y z, em que c V, determine: x y z a) a matriz A dos coeficientes de S e o determinante de A; b) o coeficiente c, para que o sistema admita uma única solução. c x y cz y z x y z c c a) A 0 det A c 0 det A b) Para que o sistema admita uma única solução, D 0, então: 6 c 0 c. 6 c bx y 4 (ITA-SP) O sistema linear by z não admitirá solução se, e somente se, o número real b for x bz igual a: a) c) e) b) 0 d) bx y by z x bz Se D 0, o sistema não admitirá solução. b 0 D 0 b 0 b 0 b 0 b Se b x y 0z () 0x y z x 0y z x y 0z 0x y z 0x y z () x y 0z y z 0y 0z o sistema é impossível. 6

27 ax y z 0 (Mackenzie-SP) O sistema x ay z a: x y az a) não admite solução para, exatamente, valores de a. b) não admite solução para, exatamente, valores de a. c) admite solução única para todos os valores positivos de a. d) admite mais de uma solução para, exatamente, valores de a. e) admite mais de uma solução para, exatamente, valores de a. ax y z 0 x ay z a x y az a D a a a a 4a a D a 4a Se D 0, o sistema é possível e determinado. Se D 0, o sistema é impossível. a 4a 0 a (a 4) 0 a 0 ou a ou a Portanto, o sistema é impossível para os três valores de a. 6 (ITA-SP) A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear x y z x y z é: x y az b a) a b c) 4a 6b 0 e) ab 4 a b) a b 0 d) b x y z x y z x y az b Para que o sistema seja incompatível, D 0. D 0 a a 0 a 6 0 a 6 a Se a 6, temos: x y z ( )( ) x y z x y 6z b x y z 0x y z 0x 0y 0z b 4 Se b 4 0 b 4 o sistema é impossível. Se b 4 e a 6, temos: b 4 a b a 4 a b. 7

28 Em questões como a 7, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas. 7 (UEM-PR) Sobre matrizes e sistemas de equações lineares, assinale o que for correto. (0) Se a matriz A igual a 9. 0 (0) Se A e X x y x y z x z x z z é simétrica, então x 0, y z e seu determinante é y z x y y z x y, então X t AX 0, para todo X. z (04) Se A, então A A é igual à matriz identidade de ordem. mx y z (08) A solução do sistema de equações lineares y z é única apenas quando m 0 e m. x mz 4 (6) Se A, então o sistema de equações lineares homogêneo AX 0 tem apenas a solução nula. 9 ( 0 ) (Verdadeira); A x y x y z x z x z z t é simétrica, então: A A. y z x y y z x y x y z x z x z z y z x y y z x y x z y z x y x z x y z z y z x y x z y z z y z y, então: z x y z x x 0 D 4 D 9 [ ] ( 0) (Verdadeira); x y z 0?? x y z [ x y z x y z y z] 0. x y z [ ( ) ( ) ( )] x x y z y x y z z y z x xy xz xy y yz yz z x y y z x z ( ) ( ) ( ) t X AX 0, para todo X. 8

29 (04) (Falsa); A? A A não é matriz identidade. (08) (Falsa); D ( 6) m 0 0 m m Se D 0 o sistema é possível e determinado. D m 0 m m não existe solução, portanto: D 0 para qualquer m o sistema é sempre possível e determinado. (Verdadeira); D 4 D 9 0 D 0, o sistema é possível e determinado, pois possui uma única solução. Como é homogêneo, S {(0, 0, 0)}. soma p. 6 8 (UFRGS) Em cada prova de uma competição esportiva, foram distribuídas uma medalha de ouro ( pontos), uma de prata ( pontos) e uma de bronze ( ponto). Foram realizadas dez provas, e três equipes conquistaram todas as medalhas da competição, sendo vencedora a equipe que obteve o maior número de pontos. Observe a tabela abaixo, que apresenta a distribuição das medalhas. Ouro Prata Bronze Equipe I x z x Equipe II y x y Equipe III x y z Considerando-se que a equipe III obteve 8 pontos, a equipe vencedora obteve: a) 9 pontos d) pontos b) 0 pontos e) pontos c) pontos Para dez provas realizadas, temos 0 medalhas de ouro, 0 de prata e 0 de bronze. Como a equipe III obteve 8 pontos, temos: x y x 0 x y z 0 ( ) ( ) x y z 0 z x y 0 x y 0 0x 0y z 0 x y z 8 x y z 8 0x y z z y? y x 0 x equipe I??? pontos equipe II? 4?? 0 pontos equipe III 8 pontos Portanto, a equipe vencedora foi a I com pontos. 9

30 9 (UFRGS) Um fabricante produziu três lotes de suco de uva. Dois dos lotes contêm as vitaminas A e C nas concentrações indicadas na tabela abaixo. Lote Vitamina A por litro Vitamina C por litro mg mg mg mg O suco do terceiro lote não contém vitaminas. O fabricante deseja misturar porções convenientes desses três lotes de maneira que o suco obtido contenha as concentrações de mg de vitamina A e mg de vitamina C por litro. Essa mistura conterá: a) os três lotes em quantidades iguais. b) dois lotes em quantidades iguais e o outro numa quantidade maior. c) dois lotes em quantidades iguais e o outro numa quantidade menor. d) um dos lotes em quantidade igual à soma das quantidades dos outros dois. e) um dos lotes em quantidade superior à soma das quantidades dos outros dois. x quantidade de litros do lote y quantidade de litros do lote z quantidade de litros do lote x y x y z ( ) x y z x y x y 0x 4y z 4 x y z x y 0x y z x y z x y z y z () y z 4y z 4 0y z z 0,4 y? 0,4 y 0, x 0, 0,4 x 0, Portanto, lote 0,,, lote 0,, e lote 0,4,. Nota-se, no entanto, que lote lote lote. 60 (UPF-RS) A empresa Brinque Muito realizou uma grande doação de brinquedos para um orfanato. Essa doação compreendeu brinquedos, entre bolas e bonecas, 70 brinquedos, entre bonecas e carrinhos, e o total de doação entre bolas e carrinhos foi de 4 brinquedos. É possível afirmar que, para realizar a doação, a empresa produziu: a) 0 bolas c) bonecas e) 0 brinquedos b) 4 carrinhos d) 780 brinquedos x n o de bolas Com os dados, temos: y n o de bonecas x y z n o de carrinhos y z 70 somando as três equações, temos: x z 4 x y z 60. Portanto: x y z 680 z 4 A empresa produziu 4 carrinhos. 0

31 p. 8 x y 0 6 Resolva o sistema x y 0 S {(0, 0)} x 0y 0 x y 0 x y 0 x 0y 0 D D 0 Como D 0, o sistema é possível e determinado, e admite solução trivial que satisfaz a terceira equação. x y z 0 6 Resolva o sistema x y z 0 x y z 0 x y z 0 x y z 0 x y z 0 D S {(0, 0, 0)} D 0 Como D 0, o sistema é possível e determinado, e admite apenas a solução trivial. x y 4z 0 6 Resolva o sistema x 4y 8z 0 x 0y 0z 0 SPI e S {( b 4a, b, a)} x y 4z 0 x 4y 8z 0 x 0y 0z 0 4 D D 0 Como D 0, o sistema é possível e indeterminado. x y 4z 0 ( )( ) x y 4z x 4y 8z 0 0x 0y 0z x 0y 0z 0 0x 0y 0z então, para z a e y b, temos: x b 4a

32 x y 0 64 O sistema x z 0 admite somente a solução trivial se m V e: y mz 0 a) m 6 c) m 6 e) m 0 b) m 6 d) m 6 x y x z y mz D 0 0 D m 0 m 6 0 m x y z 0 6 Determine o valor de m para que o sistema x y 4z 0 admita somente a solução trivial. x y mz 0 m x y z 0 x y 4z 0 D 0 x y mz 0 D 4 m 4 4 m 8 0 m 0 m m

33 x my z 0 66 Dado o sistema x y mz 0, considere as afirmações: mx y 0 I. se m SPD e S {(0, 0, 0)} II. se m SPI e S {(a, a, a)} III. se m SI Assinale a afirmação correta: a) só I é verdadeira. c) só III é verdadeira. e) I e III são verdadeiras. b) só II é verdadeira. d) I e II são verdadeiras. x my z 0 x y mz 0 mx y 0 m D m 0 m m 0 m D m m 0 O sistema é possível e determinado se D 0, ou seja, m. x y z 0 Se m x y z 0 x y 0 x y x x z 0 x z 0 x z O sistema é possível e indeterminado. Se z a, x a e y a, S {(a, a, a)}, portanto: I. (Verdadeira) II. (Verdadeira) III. (Falsa) x y z 0 67 (UFRGS) A soma dos valores de k que tornam o sistema kx y 4z 0 indeterminado é: x ky z 0 a) 7 c) e) 0 b) d) 7 Para que o sistema seja indeterminado, D 0. x y z 0 kx y 4z 0 x ky z 0 D k k 4k k 0 k 7k 0 0 k ( k )? ( k ) 0 k ou k soma 7

34 x ay z 0 68 O sistema linear x y z 0 admite solução não trivial se: x y z 0 a) a d) a b) a e) a V, sendo V o conjunto dos números reais. c) a x ay z 0 x y z 0 D 0 x y z 0 a D a a 0 a (cos a)x (sen a)y 69 (Mackenzie-SP) Em [0, p], os valores de a para que o sistema (sen a)x (cos a)y indeterminado são em número de: a) 0 c) e) 4 b) d) (cos a)x (sen a)y 0 D 0 (sen a)x (cos a)y 0 cos a sen a sen a cos a 0 cos a sen a 0 cos a 0 cos a cos p a p kp a p p 4 ou a 4 a p kp seja 4

35 x y z ,x 0,y 0,0z (FGV-SP) 0,x 0,y 0,0z 0 a) Um investidor possui R$ 4000,00 e pretende aplicar totalmente esse valor por ano, em três fundos: A, B e C. As rentabilidades anuais esperadas de A, B e C são, respectivamente, de %, % e 0%. Se seu ganho total esperado for de R$ 90,00 e seu ganho esperado em A for igual à soma dos ganhos esperados nos outros dois fundos, escreva o sistema linear de equações correspondente aos dados, considerando x o valor aplicado em A, y o valor aplicado em B, e z o valor aplicado em C. b) Para que valores de k o sistema abaixo (nas incógnitas x, y e z) é indeterminado? k x y z 0 x ky 0 x y z 0 a) x valor aplicado no fundo A y valor aplicado no fundo B z valor aplicado no fundo C De acordo com o enunciado, temos: x y z x y z ,x 0,y 0,0z 90 0,x 0,y 0,0z 90 0,x 0,y 0,0z 0,x 0,y 0,0z 0 x y z 0 b) x ky 0 o sistema é indeterminado para D 0. x y z 0 D k 0 0 k 0 k k 7 (Fuvest-SP) Dado um número real a, considere o seguinte problema: Achar números reais x, x,..., x 6, não todos nulos, que satisfaçam o sistema linear: (r )? (r )? x r (r )? (r )? (r 4)? (r 6)? a () r? x r (r )? x r 0, para r,,..., 6, em que x 0 x 7 0. a) Escreva o sistema linear acima em forma matricial. b) Para que valores de a o problema acima tem solução? c) Existe, para algum valor de a, uma solução do problema x? Se existir, determine tal solução. a) r 0 0 x x 0 r 0 (8a )x x 0 r 0 x 0 0 r 4 x x 4 x 0 r 6x 4 (8a )x x 6 0 r 6 x x a a ? x x x x 4 x x

36 b) O sistema é homogêneo; basta D 0. D a a pelo teorema de Laplace, temos: D ()? (8a )? ()? (8a 4 6) 0 a ou a 8 8 c) Substituindo x na a equação, temos: x 0 x. Substituindo nas demais equações, temos: x 0, a, x4 0, x 0 e x6 8 Para a {(,, 0, 0, 0, 0)} 8 S 0. 7 (ITA-SP) Seja m V, m 0. Considere o sistema: x (log4 m)? y z 0 (log m)? x y z 0. x y (log m )? z 0 O produto dos valores de m para os quais o sistema admite solução não trivial é: a) c) 4 e) log b) d) 8 x (log4 m) y z 0 (log m)x y z 0 x y (log m )z 0 D log4 m log m (log m ) log m? log m? log m 0 para que o sistema não admita solução trivial, D 0. log m log m log m 4 Fazendo log m t, temos: 4t t t t 0 t t 0 t t t t 0 t (t ) (t ) 0 (t )? (t t ) 0 t ou t ou t t m m ; m ; m. 0 Portanto, o produto m? m? m 6