Matemática C Intensivo V. 2

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1 Intensivo V. Eercícios ) A se i A A (a i ), a i i se i ) B a a a A a a a a i log( i+ ) se i i+ se i a a A a a log A t 8 8 A log A ) 6 e y. A + y 6 ; B 6 6 Se A b, então: 6. + y y 6 y ) 86 A (a i ) ; a i i + B (b i ) ; b i i + C A B t a b t 8 b c ) C C (c i ) ; c A + B + I I C C 8 6) 8 8 Segundo semestre ano todo º semestre ) D a) Falsa. A multiplicação de matrizes não é comutativa. b) Falsa. A multiplicação de matrizes não é comutativa. c) Falsa. A multiplicação de matrizes não é comutativa. d) Verdadeira. A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes. e) Falsa.

2 8) A A ; B ; C A. B A. B ) X 6 C ) E A A t y y z z y. y + + z y z z y + + z y z + y + z z y y + z y + y y + y. y + A ; A. X I Sea X a c b d.. a b c d c c a + c a ) C d d b + d b + b X ) A Logo, + y +. X.. Xt () Como a matriz resultante é, podemos afirmar que X é uma matriz e X t é uma matriz. Seam X (a b) e X t a b, então: (a b).. a b () (a b a + b). a b (a ab ab + b ) [(a b) ] () Como a + b, temos: a e b ou a e b. Então, a. b. log log9 log log log A log8 log log 6 ; B log log6 log log log log9 log log log. log log6 log8 log log 6 log log log.log+ log.log+ log.log log.log + log.log + log.log log.log+ log.log+ log.log log.log + log.log + log.log S

3 ) D (A + B) A + AB + B será verdadeira se e somente se A. B B. A, ou sea, quando o produto A. B for comutativo com B. A. ) Mais telefonou: Bruna ligações. Mais recebeu ligações: Adriana ligações. )B ) Adriana: as ligações feitas são representadas pela primeira linha e as recebidas pela primeira coluna: Ligações feitas (LA) LA + + Ligações recebidas (RA) RA ) Bruna: as ligações feitas são representadas pela segunda linha e as recebidas pela segunda coluna: Ligações feitas (LB) LB Ligações recebidas (RB) RB + + ) Carla: as ligações feitas são representadas pela terceira linha e as recebidas pela terceira coluna: Ligações feitas (LC) LC Ligações recebidas (RC) RC M+ N P 9M+ N 6P 6 6 9M + N 6P 8 y y + + 6) A ) A 9+ y 9y+ ( + ) 8 9+ y 9.( ) + 9y 6.( ) 8 6y y 8 ( + ) 6 ; y 6 y 8) São verdadeiras: a, c. Determinantes 9) A A é A A A. A A A A A Portanto, o determinante de A A é. ) C ) A A log log 9 log log9 ; R, > e log log n 9 log log9 ; log. log log. log 9 9 n.. n () 6 + () + () 9 () ± () ± Portanto, a equação que tem n como única raiz é a equação (), e a alternativa correta é a c. M a b ; a, b, c e d R c d det M ad bc PG(a, b, c, d) b d q bc ad q a c det M ad bc q q det M

4 ) S { } ) B + ( + ) + + (9 + ( + )) S { } D sec tg sec + + tg sec tg sec Como tg sec, temos: sec (sec ) sec sec cos π cos ) a) 8 kg b) anos A p() det A p() p() + 8 a) p(). + 8 p() 8 kg b) + 8 anos ) a b c a d g A d e f det A ; B b e h g h i c f i A matriz B é a trasposta da matriz A, portanto: det A det B, ou sea,. 6) C I. Falsa. O determinante pode ser nulo por outras propriedades. II. Verdadeira. Por (P ). III. Verdadeira. ( + ). ( ). ) 6 A y ; det A z w det A. A t det A. det A t e det A t det A det A. A t ( ). ( ) det A. det A t 6 8) A det A 6 ; portanto, eiste a in- versa de A. A a b c d. a b c d a + c a + c a c () 6a c a a Substituindo b, temos: + c + c c 6 c 9) D Substituindo b, temos: + d d d A 6. det A det A A matriz é de ordem. Logo: 6. det A. det A (det A) det A ou det A (não convém) det A

5 ) A ) E ) C i sei A a i, a i isei det A. det A A det A 8 6 det A A ; B A det A det A B A det B det A; como o determinante é de ordem, det B det A. det B 8. det B det B A.. A B.. B C.. C AB C ( ). AB C ) 8 A a a a a a. + ; a a. + ; a. + 8 A A t 8 8 det A t ) e y ) C y + y + y + y y + y y y Como det A >, temos e y ( ) + ( ) 6) 8 ) E Fazendo y, temos: y y + y + y + y y ( R) y y Portanto, os valores de são inteiros consecutivos. Dividindo uma linha da matriz por, o determinante fica dividido por. Então, : 6. Multiplicando uma coluna da matriz por, o determinante fica multiplicado por ; portanto, det M Como C e D são matrizes quadradas de ordem, preciso multiplicar as três linhas de D por para obter a matriz C. Logo, det C... det D det C det D. y y 8) A a) det (M. N) det M. det N b) Se a matriz é de ordem, det (ka) k det A. c), embora a matriz não sea nula.

6 9) A )A d) Se A X, det A e A. X e) Se A e B det A, det B e det (A + B). A M n ; B M n det ( A. B. A) det A. det B. det A det B det B det A. det A det(a. A) det I n A M n ; B M n det (A. B ) det (A). det (B ) n. det A. det B n. a b Sistemas lineares ) a) Não b) Sim + y z 8 + y+ z y+ z 6 a) (,, ). +. 8; portanto (,, ) não é solução do sistema. b) (,, ) ; (,, ) satisfaz as equações; portanto, é solução do sistema. ) m e n Dois sistemas são equivalentes quando possuem a mesma solução. y + y 6 Substituindo, temos: y y Substituindo e y no segundo sistema, temos: m + n m n + m+ n 9 ( ) m+ 9n n n Substituindo n, temos: m + m 9 m )a) Dois sistemas lineares são equivalentes se apresentam a mesma solução. b) C e C S S a) Sistemas lineares equivalentes são sistemas que apresentam a mesma solução. b) Resolvendo S, temos: y + y Substituindo, temos: y y Substituindo e y em S, temos: C C C C C. C. C C C C Substituindo C, temos: + C C C C e C ) a) embalagens de g e embalagens de g. b) g (6 de g e de g). quantidade de embalagens de g y quantidade de embalagens de g + y a) ( ) + y y + y y y Substituindo y, temos: +. Portanto, a quantidade de cada tipo de embalagem é de g e de g. b) + y em gramas: + y 6

7 Verificando os casos possíveis, temos: y Quantidade em gramas + y 6 g + g + g + g ) A Portanto, com R$, uma pessoa pode comprar no máimo g. y ( ) y y + y y y 6)D Substituindo y, temos: ( ) + Portanto, o sistema é SPD com solução S {(, )}. Seam a, b e c o número de folhas que as impressoras A, B e C imprimem. a+ b a+ c 6 somando as duas primeiras equações, temos:. a + b + c. b+ c Substituindo b + c, teremos: a + a a a Em hora, a impressora A imprime folhas sozinha. ) 6 f() a + b + c; f(), f( ), f() f() a + b + c f( ) a + b c f() 8a + b + c a+ b+ c Comos dados, temos a+ b c somando as duas primeiras equações, temos: b b. Então: 8a+ b c + a c a c ( ) a c 8a+ + c 8a+ c + 8a c 6a a Substituindo a, temos: c c f() + e f( )

8 8) Amendoim: gramas; castanha-de-cau: gramas e castanha-do-pará: gramas. 9) A ) E quantidade de amendoim em kg y quantidade de castanha-de-cau em kg z quantidade de castanha-do-pará em kg a) Pelo enunciado, temos: + y+ z, + y+ z, () I + y+ 6z, + y+ 6z, ( II) y + z y+ z + z y ( III) b) Substituindo (III) em (I), temos: y + y, y, y, Substituindo y em (II) e (III), temos: + + 6z.(, ), + y.(, ) + 6z, + z, ( ) + 6z, z, 8 z, z, Substituindo z, temos: +, +,,, Portanto, cada lata terá gramas de amendoim, gramas de castanha-de-cau e gramas de castanha-do-pará. De acordo com o enunciado, temos: A+ 6B+ 6C+ D () I A+ B+ C+ D () II A+ B+ C+ D ( III) De (I) e (III), temos: A+ 6B+ 6C+ D A+ B+ C+ D ( ) A+ 6B+ 6C+ D A 6B 6C D 8 (impossível) y. y y () I () II De (II), temos: y. y y ou y Se y, em (I) teremos:. log log log log log log Se y, teremos:. log log log log log ) S {(,, )} Determinando o sistema da equação matricial, temos: 6 + y+ 8z + y+ z + 9y+ z D D 6 8 D D D y D y 6 D z D z D 6 D 6 y Dy D 6 y z D z D 6 z S {(,, )} 8

9 ) Grupo I:, grupo II: e grupo III:. ) B nº de pessoas do grupo I y nº de pessoas do grupo II z nº de pessoas do grupo III De acordo com o enunciado, temos: + y+ z 8 + y+ z 6 resolvendo o sistema, vem: + y + z D D 8 D ( ) D 8 D y ( ) D y D z ( ) D z D 8 D 8 y Dy D 8 z D z D 8 Então, grupo I pessoas, grupo II pessoas e grupo III pessoas. ( log m). +( log n). y + y o sistema será possível e determinado se D. logm logn log m log n log m log n log log m log n ) E ) C log m log n log m log n m n m n ( a b) ( a+ by ) ( a+ b) + ( a by ) D a b ( a + b ) a+ b a b a ab + b + a + ab + b. (a + b ) Se D. (a + b ) a b, pois a e b são reais. + y O sistema é impossível. + y Se D a + b o sistema será possível e determinado se a e b não forem simultaneamente nulos. D ( a+ b) a b + a + b D a a b D y a b a+ b a b a b D b y D a a D.( a + b ) a + b Dy b b D.( a + b ) a + b a b + y a b a b ( + ) + ( a + b ) a + b ( + ) Portanto: I. (Falsa); II. (Verdadeira); III. (Verdadeira). y () I + my () II y 6 ( III) Resolvendo (I) e (II), temos: y y ( ) + 6 y 6 y 6 y y Substituindo y, temos: ( ) 6 Para que o sistema sea possível e determinado, + my.. + m. ( ) m m Se m, o sistema será impossível. 9

10 6) y z + + y z ; considerando a, y b e z c, temos: y+ z+ + a + b + c ( )( ) a + b + c a + b + c a + b c 9 a b c ( ) b c a b + c a b + c b + c c b. b a + + a Substituindo a, b e c, temos: a y b y y z z z soma + + ) maçãs, peras e laranas. quantidade de caias de maçãs y quantidade de caias de peras z quantidade de caias de laranas + 6y + z + y + z ( )( ) + y + z + 6y + z + y + z + y + z + y + z ( ) + y + z + y + z y + z + y z y z z y +. y + + quantidade de maçãs. y quantidade de peras 6. z quantidade de laranas. 8) V V F I. I 6 I. Verdadeira. O número de equações é o mesmo que o número de incógnitas, e o determinante D + D 6.

11 . Verdadeira. D 6. ( 8 ). ( ) D I 6 : I 6 6,. Falsa. No enunciado, chamando I de, I de y e I de z, e passando da forma matricial para a forma de um sistema, temos: + y z y 6 y + z resolvendo por escalonamento, temos: + y z ( ) + y z + y z + y z y 6 y + z 6 y + z () y + z y + z y + z y + z 6 6z z, y +., y 6, + 6,,, Portanto, I,A, I 6,A e I,A. 9) O sistema é impossível. a + y + y D a D a 9 Se a 9 a 9 o sistema é possível e determinado. Se a y + y ( ) + y + y 9 + y + y 9 o sistema é impossível. 6) c + y+ cz y+ z + y+ z c c a) det A c det A 6 c b) Para que o sistema admita uma única solução, D, então: 6 c c.