Matemática C Semiextensivo V. 3

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1 Semietensivo V Eercícios 0 0 0) 0) a) A 0 0 b) c) a 0 representa o número de derrotas do Botafogo no torneio d) a e) América 0 + ponto Botafogo + 7 pontos Nacional 0 + pontos Comercial + 5 pontos f) o colocado Botafogo o colocado Comercial o colocado Nacional o colocado América 0) a) A b) B c) C ( ) a) A (a ij ) ; a ij i + 5j a () + 5 () 7 a () + 5 () a () + 5 () 9 a () + 5 () A 7 9 b) B (b ij ) ; b ij ij b b b b 6 b b 9 b b b b 8 b 6 b 6 B c) c (c ij ) ; c ij j i c c c C ( ) 0) a) X e Y: 5 km X e Z: 7 km Y e Z: 6 km b) a própria matriz D D a) Distâncias entre X e Y d 5 km Distâncias entre Z e X d 7 km Distâncias entre Y e Z d 6 km b) D D t D ) e 05) B A +, temos que A t + Como A é simétrico, temos que A A t, ou seja: Da igualdade de matrizes, temos: + 0 ± ( não serve!) + e a a a Fazendo A a a a, temos: a a a a a a a + a a

2 06) p r q s p i j, se i> j A (a ij ) ; a ij e B r i+ j, se i j p a a A a a a a p p q q A B r p r p s s 07) A q p s Observando as tabelas A e B, podemos concluir que para obter o lucro em março devemos multiplicar a terceir da matriz A 0 0 pela segunda coluna da matriz 5 0 B, ou seja: 08) A L março ou 0 6 ou ± 09) A Logo, e ( ) 6 A a + ij i se i j > 8 7 i j se i j 0) r a a r 6 a coluna S a a S 9 a a coluna diagonal secundária r a r 8 Como r 8, temos que a r 6 a Como a, temos que a S 9 S b b Soma qualquer (linha, coluna ou diagonal) + 5+ c+ u c + u (I) diagonal principal c+ t c + t 5 (II) c+ d c + d (III) 8 + t + u t + u (IV) De (I) e (II), temos: c+ u c u + + u t ( V) c+ t 5( ) c t 5 u t De (IV) e (V), temos: u+ t u t + + u+ t u t u 6 u Como u, temos que: u + t t 0 c + u c 5 C + d d Assim, c + t + d + u a+ b+ r+ s 8 8 ) 8 + A B t 0 + z z 6 + z 6 z 7 Logo, z ( ) ( ) Como a matriz temos: a 5 6 b 7 8 c d r s t u é um quadrado mágico, ) ; e z A B z + z

3 ) B ) C + ( z) + ( z) z z 0 z z + z 0 z, e z A B + 0 z 0 8 log ± 0 log 8 8 ± 5) a) 800 b) c) 770 6) C a) a 800 b) Faturamento no dia c) Faturamento loja ( dias) log log 0, 0 A 0 log00 log 0, pois log 0 log 00 log 0 log 0,0 log 0 log 0 π π cos sen B 0 π π, pois tg cos cos π cos 90 sen π sen 70 tg π tg 5 cos π cos 60 0 Assim, A 0 B 7) 5 π tg cos cos z sen w 0 ;,, z, w [0, π] tg+ 0 tg 0 cos + cos tg+ cos ( ) tg + 8cos 6 tg + cos 0 cos 6 tg + 0 cos 6 tg tg tg 5 π π cosz+ senw cosz senw + cosz+ senw ( ) cosz senw cos z + sen w cos z sen w cos z sen w z 0 sen w w 0 π tg 5 π z π Assim, + + z + w π π + + π + π 5 π sen 8) a) sen b) [0, π] e cos 0 ou π [0, π] e sen sen ou + π 0 ou π 0 ou π a) A() A() cos sen cos sen sen cos sen cos

4 A() A() cos + sen sen cos sencos sen + cos sen A() A() sen cos sen b) A() A() A cos sen cos sen sen cos cos e sen sen [0, π ] e cos 0 ou π [0, π ] e sen sen ou + π 0 ou π ou π 0 ou π 9) a) F; 800 g b) F; é,% menor (000 g 6000 g) c) V Fazendo a multiplicação matricial, temos: ) 0 a) Falso A quantidade de proteínas consumida diarimente por adultos e crianças do seo masculino é 800 g, que corresponde ao elemento da primeira linha e primeira coluna da matriz produto b) Falso Observando a segunda coluna da matriz produto, temos: 6000 g 00% 000 g ,6%, ou seja, a quantidade de gordura consumida diariamente por adultos e crianças do seo masculino é,% menor que a consumida por adultos e crianças do seo feminino c) Verdadeiro Basta somar os elementos da terceira coluna da matriz produto: g ( n) I + n P P 0 ( n) 0 + n 0 0 n n n 0 n n 0 n 0 n Logo, n n + 7 () () ) X 0 e Y Fazendo A, B, C e D, A B temos: ( A B+ C+ D) C+ D A B + C + D Logo A B ) Verdadeiro a b Considerando A c d, temos AT a c b d Assim, a b+ c a c b i) A + A T c+ b d + b+ c d (A + AT ), ou seja, (A + A T ) é simétrica 0 c b 0 b c ii) (A A T ) T b c 0 + c+ b 0 0 b c ( ) c b 0 (A AT ), ou seja, (A A T ) é antissimétrica ) a) S ij + i j e d ij + i j b) S 8 e d ; S + d 6 c) Não, pois a matriz S só possui três colunas A (a ij ) 6 ; a ij i j B (b ij ) 6 ; b ij + i + j a) s ij a ij + b ij + i j d ij a ij b ij + i j b) S + () 8 d + () () S + d 8 + ( ) 6 c) Não, pois S é 6

5 ) e Considere A eb A Assim, ( A B) B 0 5 B B ) a) b) 68 Considerando 5 a matriz que representa o valor do ingresso para rapazes e moças, temos: a) b) ) S {(, )} 7) D 8) E log 7 7 log 0 log log S {(, )} 5 Observe que A, logo A T Temos que B e C Fazendo D B C, temos que D Assim, A T + (B C ) AT + D E, em que E A T + D A C B A C B, logo + + ( 0) 8 9) B 0) B ) C Seja a matriz que representa as quantidades A, B e C das substâncias para a fabricação do 9 6 Maria (ª linha) e Lucia (ª linha) e seja a z matriz que representa os preços de um grama das substâncias A, B, C, temos que: C z AB 0 0 ) 00 M 0 e M S 0 e S M e M A 0 S e S 0 Logo, a senha S S S S é 00 M S S S S S S S S Como a matriz tem sua primeir () representando a quantidade ingerida do alimento e sua se- gund () representando a quantidade ingerida do alimento, devemos tomar M, cuja primeira coluna representa as quantidades das vitaminas A e B ingeridas no alimento e na segunda coluna no alimento, 0 50 ou seja: M 0 5 5

6 ) B ) B M+ N P , 6 Logo 6 Considerando A B C c c c c, temos que: A B (A B) T C C T C C log log + log 0+ ( ) 0 0+ ( log + ( ) log ) log log log ( ) log log 0 ( ) + log log 0 ( ) + Fazendo log, temos + 0 log 9 ou log Logo, a soma dos valores de é b) Falso Se tomarmos A 0 e B 0, note que A B, B A e A B B A c) Falso Uma matriz quadrada A tem inversa somente quando seu determinante for diferente de zero d) Falso O produto das matrizes só é possível se, e somente se, o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz e) Verdadeiro É a definição da matriz identidade como elemento neutro da multiplicação de matrizes 6) A A 0 0, B 0 e C 0 B C A + B C det A 5 9 7) B 8) C 9) E A det A 0 f det A f A B Det (AB) + 6 ( ) 0 5) E a) Falso Se tomarmos A e B, tem-se A B 0 0, embora A 0 ou B ( 6) 8 0 ou 6

7 0) C ) D 9 A 9 det A A π cosec 6, logo π sen + π π det A cos ec sen + 6 Observe que: ) + + ( ) ( ) π π ) cos ec sen 6 ) E a a Assim, det A ( ) + a a det A a a a a PG a, a, a, a PA Sejam r razão da PA e q razão da PG, temos que: r a e q a a a a + a Da PA temos que: a a + a + a a a + a a + a a q a 0 a a q 8 Logo, A 0 det A ) E ) D 5) A a aresta do cubo a volume do cubo a 7 a área total do cubo 6a 6 () 5 a diagonal do cubo a a diagonal da face a Logo, M det M det M 6 a A c e b, em que (a, b, c, d) é uma PA de razão d Logo, b a + c b + c a + d c + d a + 6 a a+ Assim, A a+ a+ 6 e det A a(a + 6) [(a + ) (a + )] det A a + 6a (a + 6a + 8) 8 log(5 + ) log( + 5) log log 6 log 8 6 log8 log log log log 6 log 8 log log 6 log 8 log log a a A a a 7

8 det A ( ) 0 7) +log 6) M π 0 ; det M sen cos M() cos sen, M π? e det M? π π π π M π sen cos sen cos 0 π π π cos sen cos π sen Assim, det M ( ) , fazendo, temos: ( ) ( ) 0 0 ou 0 ou ± 0 0 S, pois > 0 para qualquer valor de S, pois > 0 para qualquer valor de log log log log + log + log 8) 66 a cos sen sen cos cos a cos sen 0 +log cos + a cos + sen (sen cos + sen cos + a cos ) 0 cos + sen + a cos sen cos sen cos a cos 0 sen cos 0 sen cos sen sen π ou 5 π Se π π Se 5 π 5 π 9) C log 7 log 70 log 700 (log 7) (log 70) (log 700) Logo, S π + 5 π 6π π Assim, S π π 66 π 66 π π Por Vandermonde: det (log 70 log 7) (log 700 log 70) (log 700 log 7) det (log 7 0 log 7) (log 7 00 log 7 0) (log 7 00 log 7) det ( log 7 + log 0 log 7) ( log 7 + log 00 log 7 log 0) ( log 7 + log 00 log 7) det () (log 0 log 0) (log 0 ) det () ( ) () det 8

9 50) F V F V V 5) C A a c b d log a 6 log ) Falsa A det A log 6 log log a ) Verdadeira A A A A A a ) Falsa A det A 5 ( ) , fazendo, temos a b a ) Verdadeira A c d A é inversível det A 0 det A 0 ad bc a ) Verdadeira A det A 0 log D e D n n D n n + ( ) ( n ) n + D n ( n ) Fazendo n, temos: D ( n ) n + + D ( n ) 5) C A a b b a ; a + e b det A a b (a + b) (a b) det A det A det A 5) S {, 0} det A ( + ) ( + ) 0 Por Vandermonde: det A ( + ) [ + ( + )] ( + ) 0 ( + ) 0 0 ou S {0, } 5) log 7 log 70 log 700 log 7000 (log 7) (log 70) (log 700) (log 7000) (log 7) (log 70) (log 700) (log 7000) Por Vandermonde: det (log 70 log 7) (log 700 log 70) (log 700 log 7) (log 7000 log 700) (log 7000 log 70) (log 7000 log 7) Observe que: log 70 log 7 0 log 7 + log 0 log 7 + log 700 log 7 00 log 7 + log 00 log 7 + log 0 log 7 + log 0 log 7 + log 7000 log log 7 + log 000 log 7 + log 0 log 7 + log 0 log 7 + Logo: det (log 7 + log 7)(log 7 + log 7 ) (log 7 + log 7) (log 7 + log 7 ) (log 7 + log 7 ) (log 7 + log 7 ) det () () () () () () det Logo, D D + ( ) ( + ) ( ) n n + + 9