Equações Exatas e Fator Integrante
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- Flávio Lobo
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1 Equações Exatas e Fator Integrante Laura Goulart UESB 30 de Setembro de 2018 Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
2 Equação Exata A edo Mdx + Ndy = 0 é dita exata quando existe uma função u : R 2 R contínua tal que du = Mdx + Ndy. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
3 Equação Exata A edo Mdx + Ndy = 0 é dita exata quando existe uma função u : R 2 R contínua tal que du = Mdx + Ndy. Em outras palavras, M = u x e N = u y. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
4 Equação Exata A edo Mdx + Ndy = 0 é dita exata quando existe uma função u : R 2 R contínua tal que du = Mdx + Ndy. Em outras palavras, M = u x e N = u y. É necessário salientar que du = 0 u(x, y) = c. Por isso, ao resolvermos uma edo exata, omitiremos a constante de integração para que no nal a colocarmos. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
5 Nem sempre será fácil encontrar a função u(x, y) e para isso teremos o teorema abaixo que nós dará uma condição necessária e suciente para edo's exatas, além de determinar quem é a função u(x, y). Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
6 Nem sempre será fácil encontrar a função u(x, y) e para isso teremos o teorema abaixo que nós dará uma condição necessária e suciente para edo's exatas, além de determinar quem é a função u(x, y). Teorema (1) Sejam M, N funções reais de duas variáveis de classe C 1. A edo Mdx + Ndy = M 0 é exata sse y = N x. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
7 Etapas 1 Vericar que M y = N x. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
8 Etapas 1 Vericar que M y = N x. 2 Tomar F (x, y) = Mdx. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
9 Etapas 1 Vericar que M y = N x. 2 Tomar F (x, y) = Mdx. 3 Calcular F y. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
10 Etapas 1 Vericar que M y = N x. 2 Tomar F (x, y) = Mdx. 3 Calcular F y. 4 Fazer N F y. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
11 Etapas 1 Vericar que M y = N x. 2 Tomar F (x, y) = Mdx. 3 Calcular F y. 4 Fazer N F y. 5 Calcular G(x, y) = ( N F y ) dy. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
12 Etapas 1 Vericar que M y = N x. 2 Tomar F (x, y) = Mdx. 3 Calcular F y. 4 Fazer N F y. 5 Calcular G(x, y) = ( N F y RESPOSTA: F + G = c. ) dy. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
13 Exemplos 1 (y cos (xy) + 3y 1)dx + (x cos (xy) + 3x)dy = 0 Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
14 Exemplos 1 (y cos (xy) + 3y 1)dx + (x cos (xy) + 3x)dy = 0 { (e x + y 1)dx + (3e y + x 7)dy = 0 2 y(1) = 0 Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
15 Fator integrante Nem toda edo é exata, porém pode existir uma função real de duas variáveis que transforma a edo dada em exata. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
16 Fator integrante Nem toda edo é exata, porém pode existir uma função real de duas variáveis que transforma a edo dada em exata. Uma função I (x, y) é um fator integrante da edo Mdx + Ndy = 0 quando (IM)dx + (IN)dy = 0 é uma edo exata. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
17 Teorema (2) A edo Mdx + Ndy = 0 tem um fator integrante que só depende de x sse M y N x = f (x). Neste caso, o fator integrante é dado por N I (x) = e f (x)dx. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
18 Teorema (2) A edo Mdx + Ndy = 0 tem um fator integrante que só depende de x sse M y N x = f (x). Neste caso, o fator integrante é dado por N I (x) = e f (x)dx. Teorema (3) A edo Mdx + Ndy = 0 tem um fator integrante que só depende de y sse N x M y = g(y). Neste caso, o fator integrante é dado por M I (y) = e g(y)dy. Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
19 Exemplos 1 (x 2 + y 2 )dx 2xydy = 0 Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
20 Exemplos 1 (x 2 + y 2 )dx 2xydy = 0 2 y + xy = 3x Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
21 Exemplos 1 (x 2 + y 2 )dx 2xydy = 0 2 y + xy = 3x 3 ydx + (2y x)dy = 0 Laura Goulart (UESB) Equações Exatas e Fator Integrante 30 de Setembro de / 11
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