Variáveis Separáveis

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1 Variáveis Separáveis Laura Goulart UESB 7 de Março de 2018 Laura Goulart (UESB) Variáveis Separáveis 7 de Março de / 11

2 Edo de 1a. ordem Uma edo de 1a. ordem se apresenta sob duas formas equivalentes: y = f (x, y) (forma normal) M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (forma diferencial) Laura Goulart (UESB) Variáveis Separáveis 7 de Março de / 11

3 Edo de 1a. ordem Uma edo de 1a. ordem se apresenta sob duas formas equivalentes: y = f (x, y) (forma normal) M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (forma diferencial) A resolução de uma edo de 1a. ordem envolverá, em muitos casos, integração por partes, substituição ou frações parciais. Por essa razão, aconselhamos os alunos a gastarem um tempo na revisão de algumas técnicas de integração. Laura Goulart (UESB) Variáveis Separáveis 7 de Março de / 11

4 Variáveis Separáveis A equação y = f (x, y) é dita de variáveis separáveis quando f (x, y) = g(x) com g(x), h(y) funções contínuas. h(y) Laura Goulart (UESB) Variáveis Separáveis 7 de Março de / 11

5 Modelo matemático 1 - Inclinação da reta tangente Encontre a equação da curva sabendo que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto é dada por y = 2x y. Laura Goulart (UESB) Variáveis Separáveis 7 de Março de / 11

6 Modelo matemático 2 - Trajetórias Ortogonais Dado uma família de curvas F (x, y, c) = 0, queremos determinar uma outra família de curvas tal que cada curva desta intercepta ortogonalmente as curvas dadas. Para isso, usaremos o seguinte processo: 1 Vamos derivar implicitamente F em relação a x. 2 Vamos, obter, uma edo de 1a. ordem. 3 As trajetórias ortogonais serão as curvas integrais da equação y = 1 f (x, y). Laura Goulart (UESB) Variáveis Separáveis 7 de Março de / 11

7 Modelo matemático 2 - Trajetórias Ortogonais Dado uma família de curvas F (x, y, c) = 0, queremos determinar uma outra família de curvas tal que cada curva desta intercepta ortogonalmente as curvas dadas. Para isso, usaremos o seguinte processo: 1 Vamos derivar implicitamente F em relação a x. 2 Vamos, obter, uma edo de 1a. ordem. 3 As trajetórias ortogonais serão as curvas integrais da equação y = 1 f (x, y). Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas x 2 + y 2 = c 2. Laura Goulart (UESB) Variáveis Separáveis 7 de Março de / 11

8 Modelo 3 - Variação de temperatura A lei de variação ( de) temperatura de Neqton arma que a taxa de variação dt de um corpo é diretamente proporcional a diferença entre a dt temperatura do objeto em estudo e o meio ambiente (T m ). Laura Goulart (UESB) Variáveis Separáveis 7 de Março de / 11

9 Modelo 3 - Variação de temperatura O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto. O perito da polícia chegou às 1 hora da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver e era 34, 8 o C. Uma hora mais tarde, ele novamente tomou a temperatura e encontrou 34, 1 o C. A temperatura do cômodo onde esgava a vítima era 20 o C. Use a lie de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36, 5 o C. Laura Goulart (UESB) Variáveis Separáveis 7 de Março de / 11

10 Modelo matemático 4-Teste do Rádio Carbono Uma importante ferramente na pesquisa arquelógica é a determinação da idade de um material pelo uso do rádio carbono. Esse processo está baseado no fato de que alguns restos de madeira ou plantas contém quantidades residuais de carbono 14. Esse tipo de isótopo é acumulado durante a vida da planta e começa a decair com a sua morte. A meia-vida de um isótopo radiotivo signica o tempo em que a metade da quantidade original se decompõe. Como a meia idade do carbono 14 é longa, aproximadamente anos, é possível medir a quantidade de carbono presente no material após alguns anos. Foi descoberto por W. Libby ( ) que a variação da quantidade de C 14 é diretamente proporcional a quantidade presente. dq Ou seja, = kq, onde k é a constante de decaimento. dt Separando as váriáveis, obtemos: Q = ce kt Laura Goulart (UESB) Variáveis Separáveis 7 de Março de / 11

11 Modelo matemático 4-Teste do Rádio Carbono Num castelo inglês existe uma velha mesa redonda de madeira que muitos armam ser a famosa Távola Redonda do Rei Arthur. Por meio de um contador Geiger, constatou-se que a quantidade de C 14 é 0,894 da quantidade original, isso em A mesa pode ser a famosa Távola Redonda, sabendo que a lenda do Rei Arthur remonta os séculos XVI e XVII? Laura Goulart (UESB) Variáveis Separáveis 7 de Março de / 11