SOBRE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Transcrição

1 SOBRE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

2 PROBLEMA: É um fato da física que os elementos radioativos se desintegram espontaneamente em um processo chamado decaimento radioativo. Os experimentos têm mostrado que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade de elemento presente. Sabe-se que a meia-vida específica do carbono-14 radioativo está em torno de 5730 anos. Em 1988, o Vaticano autorizou o Museu Britânico a datar a relíquia de pano conhecida como o Sudário de Turim, possivelmente o sudário de Jesus de Nazaré. Este pano, que apareceu em 1356, contém o negativo da imagem de um corpo humano que se acreditava no mundo inteiro ser o de Jesus. O relatório do Museu mostrou que as fibras no pano continham entre 92 e 93% do carbono- 14 original. Use esta informação para estimar a idade do sudário.

3 PROBLEMA: Um indivíduo é encontrado morto em seu escritório pela secretária que liga imediatamente para a polícia. Quando a polícia chega, 2 horas depois da chamada, examina o cadáver e o ambiente tirando os seguintes dados: A temperatura do escritório era de 20 o C, o cadáver inicialmente tinha uma temperatura de 35 o C. Uma hora depois medindo novamente a temperatura do corpo obteve 34.2 o C. O investigador, supondo que a temperatura de uma pessoa viva é de 36.5 o C, prende a secretária. Por quê? No dia seguinte, o advogado da secretária a liberta, alegando o quê?

4 EQUAÇÃO DIFERENCIAL Equação que envolve as derivadas (diferenciais) de uma função

5

6 EQUAÇÃO DIFERENCIAL Equação que envolve as derivadas (diferenciais) de uma função

7 Classificação: Se uma equação contiver apenas derivadas ordinárias de uma função (função de uma variável), ela será chamada de equação diferencial ordinária (EDO).

8 Classificação: Uma equação que envolve derivadas parciais (derivadas de funções de várias variáveis) será chamada de equação diferencial parcial (EDP).

9 Ordem

10 Grau

11 Solução de uma equação diferencial Resolver uma equação diferencial significa encontrar todas as funções que introduzidas juntamente com suas derivadas na equação dada, a verificam identicamente para todo valor da variável independente x, pelo menos num certo intervalo aberto I. Tais funções são chamadas soluções primitivas da equação diferencial dada. Exemplo: Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada:

12 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COMO MODELOS MATEMÁTICOS É comum desejarmos descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos. A descrição matemática de um sistema ou fenômeno é chamado modelagem matemática. A construção de um modelo matemático de um sistema começa com a identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema. A seguir, elaboramos um conjunto de hipóteses ou pressuposições sobre o sistema. Essas hipóteses deverão incluir também leis empíricas que podem ser obtidas experimentalmente. Como as hipóteses sobre um sistema envolvem, na maioria das vezes, taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Assim, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema formado por equações diferenciais. As etapas de um processo de modelagem podem ser dispostas conforme o diagrama a seguir:

13 Um modelo matemático de um sistema físico, na maioria das vezes, envolve a variável tempo. Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema, ou seja, o sistema pode ser descrito no passado, presente e futuro.

14 Referências: Notas de aula - Professor: Altemir José Borges, UTFPR, departamento de Matemática, agosto de Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem Dennis G. Zill Ed. Thomson