Introdução à Matemática Discreta

Transcrição

1 Introdução à Matemática Discreta Matemática Discreta Prof. Vilson Heck Junior

2 Condução da disciplina Aulas: Quartas: 10:10 12:00 Sextas: 08:00 09:50 Haverá troca de professores: Cada professor realizará avaliações; A nota final será uma média das diferentes avaliações; MUITOS EXERCÍCIOS! Diferentes livros na biblioteca! Haverá reposição das aulas de Administração e Introdução à Programação!

3 Conteúdos - MTMD Conteúdos 1. Introdução; 2. Lógica proposicional e de primeira ordem; 3. Conjuntos; 4. Relações; Docente (ch) Vilson (18h) (16h) 5. Sequências e somas (10h) 6. Indução e recursão (8h) 7. Análise combinatória (12h) 8. Elementos da teoria dos números (8h)

4 Livro Principal (Primeira parte - Vilson)

5 O que é MTMD? A matemática discreta é o estudo de estruturas matemáticas que são fundamentalmente discretas, ao invés de contínuas; Alguns pontos importantes: A importância do pensamento lógico; O poder da notação matemática; A utilidade de abstrações matemáticas;

6 Contínuo Se pensarmos nos números reais, temos um exemplo do que é contínuo. Não há transições abruptas entre os valores, na verdade há infinitos valores entre cada par de números: 4 Contínuo 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, Reais

7 Discreto Ao compararmos com os números inteiros, temos um exemplo do que é discreto. Há transições abruptas entre os valores: 4 Discreto 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, Inteiros

8 Outros exemplos Ainda, além dos números inteiros, declarações lógicas e grafos são outros exemplos de estruturas discretas. Em geral, estes problemas matemáticos não são equacionados através de fórmulas algébricas tradicionais. Exemplo de grafo

9 Introdução à Matemática Discreta EXEMPLOS: CONTÍNUO VS DISCRETO

10 Dados - Velocidade de uma Ferrari 430 Scuderia 2008 No mundo real - Contínuos Na computação - Discretos Fonte da imagem à esquerda:

11 Imagens Digitais No mundo real - Contínuas Na computação - Discretas Fonte da imagem à esquerda:

12 Mapas No mundo real - Contínuos Na computação - Discretos Fonte da imagem à esquerda:

13 Quando estudaremos Matemática Contínua? 1. Álgebra Linear e Geometria Analítica Fase 2 A geometria cuida de questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras, formas e com as propriedades do espaço; Álgebra linear é um ramo da matemática que estuda sistemas de equações lineares, muito utilizados na geometria; 2. Cálculo (diferencial e integral) Fase 3 Estuda principalmente variações e acúmulos de grandezas, com aplicações em diversas áreas de geometria e otimização de problemas; 3. Cálculo Numérico (computacional) Fase 4 Quantificação de Erros, solução de sistemas lineares e não lineares, interpolação, ajuste de curvas e integração numérica.

14 MTMD Pra que? Aritmética Básica em Computadores; Programação, principalmente a lógica; Estruturas de Dados; Grafos; Inteligência Artificial; Teoria da Computação; Cálculo Numérico; Computação Gráfica; Modelagem e Simulação; Estatística e Probabilidade; Fundamentos de Banco de Dados;

15 Introdução à Matemática Discreta ENGENHEIROS E ADVOGADOS

16 Problema Cenário hipotético: Em uma empresa sitiada pela Polícia Federal, estão sendo investigadas irregularidades jurídicas. Todas as informações da empresa foram destruídas, uma queima de arquivos. Nesta empresa há N funcionários investigados, sendo: N um número ímpar; No mínimo N 2 são da classe de engenheiros; No máximo N são da classe de advogados; 2 A dificuldade está em identificar, dentre os funcionários, quais são engenheiros e quais seriam advogados. A PF sabe que: Cada funcionário sabe qual é a classe de todos os outros; Os engenheiros não mentem, pois estão isentos de culpa; Os advogados podem faltar com a verdade, para tentarem escapar, pois são muito inteligentes e estão conspirando para confundir os investigadores; Problema: Formule um roteiro de interrogação para o agente da PF que, realizando perguntas para um funcionário i de qual classe é outro funcionário j, aponte ao menos um engenheiro.

17 Problema v2.0 Agora, iremos adicionar uma nova restrição ao problema: O agente poderá fazer no máximo (N 1) perguntas para encontrar o engenheiro. Como fica a solução deste problema?

18 MTMD e o Problema O grupo N é um Conjunto; Os advogados e os engenheiros são Subconjuntos; As perguntas são feitas de forma Combinatória; As respostas são relacionadas através de Lógica Formal; Resultados são calculados com base em Somas e números; Para saber se o algoritmo está certo, temos que Provar;

19 Conclusão Para resolver um simples exemplo, foi necessário o emprego empírico de diversos tipos de conhecimentos: Até agora, aprendemos tudo isto de diversas formas separadas: escola, dia-a-dia, em atividades cotidianas, entre outros. A formalização e o aprofundamento no uso destes conhecimentos trarão diversos benefícios ao profissional da Ciência da Computação.