INFERÊNCIA ESTATÍSTICA: TESTE DE HIPÓTESES

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1 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA: TESTE DE IPÓTESES 2 Teste de hipóteses Exemplo. Uma idústria adquire de um erto fabriate pios uja resistêia média à ruptura é espeifiada em 6 uid. (valor omial da espeifiação). Em um determiado dia a idústria reebeu um grade lote de pios e a equipe téia da idústria deseja verifiar se o lote atede às espeifiações. : O lote atede às espeifiações : O lote ão atede às espeifiações (ipótese ula). (ipótese alterativa). A v. a. X (resistêia à ruptura) é tal que X ~ N (µ, 25). O problema pode ser resolvido testado as hipóteses : µ 6 e : µ 6 (hipótese simples: um úio valor) (hipótese omposta: mais de um valor)

2 Teste de hipóteses Uma hipótese estatístia é uma afirmação sobre o(s) parâmetro(s) da distribuição de probabilidade de uma araterístia (v. a. X) da população. Um teste de uma hipótese estatístia é um proedimeto ou regra de deisão que os possibilita deidir por ou om base a amostra X,...,X. Exemplo. A equipe téia da idústria deidiu retirar uma amostra aleatória de tamaho 6 do lote reebido. A resistêia de ada pio foi medida e foi alulada a resistêia média X (estimador de µ), que será utilizada para realizar o teste (estatístia de teste). Podemos afirmar que 25 X ~ N µ,. 6 Obs. Se X, X 2,..., X é uma amostra de uma distribuição N(µ, 2 ), etão a média amostral tem distribuição N(µ, 2 /). Para quais valores de X a equipe téia deve rejeitar e portato rejeitar o lote? Região rítia (R ) ou região de rejeição é o ojuto de valores assumidos pela estatístia de teste para os quais a hipótese ula é rejeitada. Seu omplemetar é a região de aeitação (R a ). Exemplo. Se o lote está fora de espeifiação, isto é, se : µ 6 for verdadeira, espera-se que a média amostral seja iferior ou superior a 6 uid. A equipe téia deidiu adotar a seguite regra: rejeitar se X for maior do que 62,5 uid. ou meor do que 57,5 uid. As duas regiões são R { X > 62,5 ou X < 57,5} { 57,5 X 62,5} : região de rejeição de e R a : região de aeitação de.

3 Proedimeto (teste): Se Se x R x R,, rejeita -se ão se rejeita (aeita -se) ;. Tipos de erros Erro tipo I: rejeitar quado é verdadeira. Erro tipo II: ão rejeitar (aeitar) quado é falsa. Exemplo. As hipóteses são : O lote atede às espeifiações; : O lote ão atede às espeifiações. Erro tipo I: rejeitar o lote sedo que ele está de aordo om as espeifiações. Erro tipo II: ão rejeitar (aeitar) o lote sedo que ele ão está de aordo om as espeifiações. Quadro resumo: Situação real e desoheida Deisão o verdadeira o falsa Não rejeitar o Deisão orreta Erro tipo II Rejeitar o Erro tipo I Deisão orreta

4 Nível de sigifiâia e poder P(Erro tipo I) α (ível de sigifiâia). α P(Rejeitar ; verdadeira). P(ErrotipoII) β P(Não rejeitar ; P(Não rejeitar ; verdadeira). falsa) β P(Rejeitar ; é falsa) : poder do teste. Obs. Quato maior o poder, melhor o teste. Exemplo. As hipóteses são : µ 6 e : µ 6. Logo, α P( X > 62,5 ou X < 57,5; : µ 6). Se for verdadeira, etão X ~ N(6, 25 /6). Calulamos o ível de sigifiâia: α P( X > 62,5; : µ 6) + P( X < 57,5; : µ 6) X 6 62,5 6 X 6 57,5 6 P > + P < 25 /6 25 /6 25 /6 25 /6 P( Z > 2,) + P( Z < 2,),2275 +,2275,455.

5 Cálulo de α: Cálulo de β: β P(Não rejeitar ; verdadeira) P(57,5 X 62,5; : µ 6). Como exemplo de álulo de β, seleioamos : µ 63,5. Logo, 25 X ~ N 63,5; e 6 β P( 57,5 X 62,5; : µ 63,5 ).

6 Cálulo de β: Efetuado o álulo obtemos β P( 57,5 X 62,5; P( X 62,5; µ 63,5) P( X 57,5; µ P( Z,8 ) P( Z 4,8 ),29,,29. : µ 63,5) 63,5) Logo, se µ 63,5, o poder do teste é igual a,29,788. Fução poder

7 ipóteses bilateral e uilaterais Se as hipóteses ula e alterativa são : µ µ ; : µ µ, em que µ é uma ostate oheida (valor de teste), o teste é hamado de bilateral. Podemos ter também as hipóteses ou : µ µ ; : µ < µ, : µ µ ; : µ > µ. uilateral à esquerda uilateral à direita Sugestão. Expressar em forma de igualdade. Exemplo Um fabriate de um erto ompoete afirma que o tempo médio de vida dos ompoetes produzidos é de horas. Egeheiros de produto têm iteresse em verifiar se uma modifiação do proesso de fabriação aumeta a duração dos ompoetes. ipóteses: : µ horas; : µ > horas, sedo µ o tempo médio de duração dos ompoetes.

8 Proedimeto básio de testes de hipóteses O proedimeto de teste de hipóteses relativo ao parâmetro θ de uma população é deomposto em quatro passos: (i) Formulação das hipóteses: : θ θ ; : θ < θ ou θ > θ ou θ θ. (ii) Idetifiação da estatístia de teste e araterização da sua distribuição (por exemplo, método de substituição, lâmia 6). (iii) Esolha do ível de sigifiâia do teste (α 5%, % e,5% são omus) e obteção da região rítia. (iv) Cálulo da estatístia de teste e tomada de deisão ( deve ser rejeitada ou ão?). Teste de hipóteses para uma média populaioal Cosidere uma amostra aleatória de tamaho de uma população ormal om média µ (desoheida) e variâia 2 (oheida). Iiiamos pelo teste uilateral à esquerda: (i) : µ µ ; : µ < µ. (ii) A estatístia de teste é a m édia am ostral X (estim ador potual de µ). Se a distribuição da população é orm al ou se am ostra é grade ( 3, m esm o que a distribuição da população ão seja orm al) a 2 distribuição de X é N ( µ, / ), aproxim adam ete. Se for verdadeira, etão Z ( X µ ) ~ N (,).

9 (iii) Rejeitamos em favor de se a média amostral X é pequea em relação µ. A região rítia é obtida seleioado um k tal que R { X < k }, sedo que ) : ; ( µ µ < k X P α. Ou seja, sob α µ µ µ < < k Z P k X P / / /. + < + z X R z k z k µ µ µ α α α (iv) Colusão: se + < z X R x µ α, rejeita-se ; aso otrário ão se rejeita. Obs. z α <. Teste de hipóteses para uma média populaioal IC para a média e testes de hipóteses O teste da hipótese : µ µ otra : µ µ a um ível de sigifiâia α pode ser efetuado utilizado um IC om oefiiete de ofiaça igual a α. Se µ IC, rejeitamos ; aso otrário, ão rejeitamos. Costruímos o IC de (-α)% para µ, dado por z E E X E X U L α 2 / em que ], ; [ ] ; [ + s t E 2, / ou α : oheido. : desoheido.

10 Exemplo Um omprador de tijolos suspeita de uma dimiuição a resistêia. De experiêias ateriores, sabe-se que a resistêia média ao desmoroameto de tais tijolos é igual a 2 kg, om um desvio padrão de kg. Uma amostra de tijolos, esolhidos ao aaso, foreeu uma média de 95 kg. A um ível de sigifiâia de 5%, pode-se afirmar que a resistêia média ao desmoroameto dimiuiu? (i) As hipóteses de iteresse são : µ 2 kg; : µ < 2 kg. (ii) A estatístia de teste é a média amostral X. Já que 3, tem-se que sob, X ~ N 2,, aproximadamete. (iii) A região rítia pode ser obtida seleioado k de maeira que R { X < k }, sedo que P ( X < k; : µ µ ) α,5. Ou seja, sob, Exemplo X 2 P / k 2 / P Z < k 2 α,5 k 2,64 k 98,36 R { X <98,36}. (iv) Do euiado a média amostral vale 95. Logo, x 95 R { X <98,36}. Rejeita-se a um ível de 5% de sigifiâia. Colusão. De aordo om os dados oletados e adotado um ível de sigifiâia de 5%, oluímos que resistêia média ao desmoroameto dimiuiu.

11 Método alterativo Um método alterativo prátio: trabalhar diretamete a esala Z. ( i) : µ µ otra : µ < µ. (ii) Estatístia de teste: Z ( X µ ) ~ N sob (,), pelo meos aproximadamete. (iii) Região rítia para um ível de sigifiâia α esolhido: R { Z < }. z α (iv) Se z R { Z < z α }, rejeitase ; aso otrário, ão se rejeita. Exemplo (i) : µ 2 otra : µ < 2. (ii) Estatístia de teste: Z ( X 2) ~ sob N(,). (iii) Região rítia para um ível de sigifiâia α,5: R { z <,64}. (iv) Calulamos sigifiâia de 5%. (95 2 ) z 5 R. Rejeita-se a um ível de

12 Proedimeto geral ipóteses: (i) : µ µ : µ < µ 4243 À esquerda (ii) Estatístia de teste: : µ µ : µ > µ 4243 À direita : µ µ : µ µ 4243 Bilateral (a) Variâia da população é oheida: Z ( X µ ) ~ N sob (,). (b) Variâia da população é desoheida (s é o desvio padrão amostral): T ( X µ ) Distribuição t de Studet om ~ t( ). graus de liberdade (g.l.). s sob Distribuições ormal e t de Studet

13 Proedimeto geral (iii) Região rítia para um ível de sigifiâia α esolhido: : µ < µ : µ > µ : µ µ ( R Z ) ( R T ) { Z < } { T < } { Z } ( R Z ) > { T } ( R T ) > { Z } { T } ( R Z ) > ( R T ) > (iv) Se Z R C ou T R C, rejeita-se o ; aso otrário, ão se rejeita. Obs. Nas regiões rítias om Z e T o valor de ão é o mesmo. Tabela da distribuição t de Studet A tabela (Tábua III) otém os valores de t (t > ) tais que P( - t T t ) p orrespodetes a algus valores de p e para algus graus de liberdade.

14 Tabela da distribuição t de Studet Exemplo. Se 2, são graus de liberdade. Se tivermos : µ µ, esolhedo α 5%, temos p/2 α/2, ou seja, p 5%. Cosultado a tábua III eotramos t 2,2 e R { T > 2,2}. Graus de liberdade p 9% 8%... 5%...,% , Ifiito,96 p 9% 8%... 5%...,% Obs.. À medida que aumetam os graus de liberdade, a distribuição t se aproxima da ormal (este exemplo, t,96 z ). Tabela da distribuição t de Studet Exemplo. Se 28, são 27 graus de liberdade. Se tivermos : µ < µ, esolhedo α %, temos p/2 α, ou seja, p 2 α 2%. Cosultado a tábua III eotramos t 2,473 e R {T < -2,473}. Graus de liberdade p 9% 8%... 2%...,% , Ifiito 2,326 p 9% 8%... 2%...,% Obs. Neste exemplo, se tivéssemos : µ > µ, a região rítia seria R {T > 2,473}.

15 Exemplo Dados histórios oletados em uma liha de produção de um erto item idiam 5 kg omo massa média. A fim de testar a hipótese de que a média de ites reetemete produzidos se mateve, retirou-se, ao aaso, uma amostra de 2 ites, obtedo-se média igual a 8 kg e desvio padrão 2 kg. Utilize α,5. (i) As hipóteses de iteresse : µ 5 kg; : µ 5 kg. são Aproximamos a distribuição da média das 2 otas por uma distribuição ormal om média µ e variâia 2 /. (ii) Estatístia de teste: T ( X 5) ~ t( ). S sob Exemplo (iii) Região rítia para um ível de sigifiâia α,5 e om 9 g.l.: R { T > 2,93}. (iv) Calulamos 2 (8 5 ) T, 67 R 2. Não se rejeita a um ível de de sigifiâia de 5%. A difereça ão é sigifiativa. Colusão. De aordo om os dados oletados, a um ível de sigifiâia de 5% oluímos que a massa média dos ites produzidos se mateve.

16 Teste de hipóteses para uma proporção populaioal O proedimeto para testes de hipóteses sobre a proporção populaioal (p) semelhate ao utilizado para testes sobre uma média populaioal. Problema. Testar a hipótese que a proporção de suessos de um esaio de Beroulli é igual a um valor espeifiado p. Isto é, testar um dos seguites pares de hipóteses: (i) : p p : p < p 4243 À esquerda : p p : p > p 4243 À direita : p p : p p 4243 Bilateral Teste de hipóteses para uma proporção populaioal (ii) Estatístia de teste: Z ( p p ( p p ) ) ~ N sob (,), aproximadamete, sedo que p Número de suessos i X i :estimador potual de p. é a proporção amostral de suessos e X i, se o resultado for suesso; X i, se o resultado for isuesso.

17 Exemplo Um estudo é realizado para determiar a preseça de pequeas aomalias em hapas metálias de uma erta dimesão. Segudo o fabriate, a proporção de hapas om aomalias é iferior a 25%. Foram ispeioadas 5 hapas esolhidas ao aaso e sete delas apresetaram algum tipo de aomalia. Estes dados justifiam a afirmação do fabriate? Adote um ível de sigifiâia igual a,5. (i) ipóteses : : p p <,25 ;,25. : (ii) Estatístia de teste: Z 5( p,25),25(,25) ~ sob N(,), aproximadamete. Exemplo (iii) Região rítia para um ível de sigifiâia α,5: R { z <,64}. (iv) Temos 5. Calulamos, 4 Rejeita-se ao ível de 5% de sigifiâia. 7 5(,4,25) p 5 e z, 796 R 25 (,25) Colusão. Adotado um ível de sigifiâia de 5% oluímos a partir dos dados que a proporção de hapas produzidas om aomalias é iferior a 25%..