Distribuição dos Números Primos

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1 Distribuição dos Núeros Prios Rafael Afoso Barbosa, Atôio Carlos Nogueira Bolsista do PET-Mateática da Uiversidade Federal de Uberlâdia Docete da Faculdade de Mateática da Uiversidade Federal de Uberlâdia Itrodução Historicaete, u roblea que te recebido ua ateção cosiderável or arte dos ateáticos é a distribuição dos úeros rios. Alguas questões relacioadas são: Quatos úeros rios existe? Existe algu oliôio co coeficietes iteiros que ossua e seu cojuto iage soete úeros rios? 3 Existe rios e rogressão aritética? 4 Quatos rios existe eores que certo iteiro? Neste trabalho aresetareos soluções ara cada ua destas questões, odedo assi coreeder elhor coo os úeros rios estão distribuídos o cojuto dos úeros iteiros. Núeros rios Coeçareos discutido alguas questões básicas coo, or exelo, a quatidade de úeros rios, teorea fudaetal da aritética, detre outras. Defiição.: U úero Ν se diz rio se: i 0 e. ii Os úicos divisores de são e. Teorea.: Todo iteiro > ode ser exresso coo roduto de rios. i Se é rio, etão =, que é roduto de rios. ii Se é coosto, etão =, ode < < e < <. iii Se e são, etão é roduto de rios caso cotrário, roceda coo o asso (ii e assi sucessivaete, u úero fiito de assos. α = α... α r r Teorea.: (Teorea Fudaetal da aritética A fatoração de qualquer iteiro > e rios é úica, a eos da orde dos fatores. Suoha or cotradição que exista u iteiro < < co duas fatorações distitas. Dividido elos rios cous as duas reresetações teríaos ua igualdade da fora: =... r = q q... q s

2 Ode os i ` s e q i ` s são rios ão ecessariaete distitos, as co ehu rio dede lado direito da igualdade ocorredo do lado esquerdo. Daí, q q... qs. Logo, qi ara algu i =,,..., s. O que é u absurdo, ois qi, i,,..., s, ou seja, dc( qi, =, i {,,..., s}. = Teorea.3: Existe ifiitos úeros rios. Deostração de Euclides: Suohaos or cotradição que exista u úero fiito de rios,,..., r. Façaos =... r + e seja u rio que divide. Esse úero ão ode ser igual a ehu dos úeros,,..., r orque etão ele dividiria... r =, o que é iossível. Assi é u rio distito de,,..., r e, or coseqüêcia,,,..., ão ode forar o cojuto de todos os úeros rios. r Deostração de uer: Suohaos que exista u úero fiito de rios < <... <. Seja N..., elo teorea fudaetal da aritética teos que o iteiro N = > teria u fator rio absurdo. i que dividiria tabé N. Etão dividiria N ( N =, o que é Deostração de Herite: Basta ostrar que ara todo úero atural existe u úero rio >. Toe etão N =!+, elo teorea fudaetal da aritética teos que existe u úero rio qualquer dividido N. Se N etão < divide!, etão coo divide N e divide! teríaos que dividiria! N =, o que é absurdo. Logo, N. Deostração de Goldbach: Dareos aqui soete a idéia utilizada or Goldbach e sua deostração. Basta achar ua sucessão ifiita a a,,... de úeros aturais, rios etre si, dois a dois, isto, a3 é, se fator rio cou. Se é u fator rio de a, u fator rio de a,..., fator rio de a,..., etão,, 3,...,,... são todos distitos. Ua seqüêcia ifiita de úeros aturais, rios etre si dois a dois, descoberta ro Goldbach e, ideedeteete a esa deostração foi descoberta or Hurwitz e 89 é a seguite. i u Os úeros de Ferat = F + (ara 0 são, dois a dois, rios etre si. Por recorrêcia sobre deostra-se que F = F0 F... F ; etão, se <, F divide F. Se existisse u rio que dividisse siultaeaete F e F, dividiria F e, ortato dividiria, etão =, o que é iossível orque F é íar.

3 Deostração de Euler: Se é u úero rio qualquer, etão / <. Daí, a soa da série geoétrica de razão / e rieiro tero é dada or: = = 0 Igualete, se q é outro úero rio, etão: = q = 0 q Multilicado ebro a ebro as duas igualdades acia, obteos: = q q q q O rieiro ebro é a soa dos iversos de todos os iteiros aturais da fora (co h 0, 0, cada u sedo cotado ua e ua só vez, orque a exressão de cada úero atural, coo roduto de rios é úica. Suõe-se que,, 3,..., r fora a totalidade dos úeros rios. Para cada i =,,3,...,r, te-se: = = 0 i Multilicado, ebro a ebro, essas r igualdades, obtê-se: r r ( = i= = 0 i i= i E o rieiro ebro, ua vez efetuadas às oerações, é a soa dos iversos de todos os úeros aturais, cada u cotado ua só vez, coo resulta do teorea fudaetal. É sabido que a série é divergete e, coo seus teros são ositivos, a orde de = soa dos teros é irrelevate; O rieiro ebro da igualdade será etão ifiito, equato que o segudo ebro será fiito. Isto é absurdo. Deostração de Saida: Toa-se ua seqüêcia crescete de úeros N,... N K,... de tal odo que cada tero N K teha elo eos K fatores rios. Dessa fora, coclui-se que existe ifiitos úeros rios. i h q

4 A seqüêcia iicia co N > 0, coo N e N + ão te divisores rios e cou, o roduto N = N( N + ossui ao eos divisores. Do eso odo, N e N + ão te fatores e cou, logo N ( 3 = N N + ossui ao eos 3 fatores rios. O rocesso ode cotiuar idefiidaete, defiido-se sere N K = N K ( N K + e cada N K terá o íio K fatores rios. A seguir vaos aresetar ua ova deostração ara a existêcia de ifiitos úeros rios. Teorea.4: Cosidere a seqüêcia de úeros aturais da fora R =, é rio iar. Sere teos que Suoha que R + = R e dc( R, =, N. + Observe que = ( = ( (( + ( dc(,( + ( = d, daí ve que = dx = dx + substituido a exressão acia teos: ( + ( = ( dx + + ( dx dx + + Coo cada ua das otecias ode ser escritas da fora d +, teos que d + + d d dx + +, fazedo M = e observado que o aarece vezes, segue que: ( ( ( + ( + ( + ( = d + + d + = dm + + dx = d( M + x d + + dx + + Logo, coo d divide ( + ( teos que Observe que: (od 3 (od (od d d = ou d =. Daí ve que (od, N, ou seja, = t( +, N. Logo: = ( t+ = ( t ϕ ( Pelo teorea de Euler que diz se dc( a, = a (od, a, Z. Teos (od. Segue que: = ( t+ = ( t (od Logo, ão divide, etão d = dc(,( =.

5 Coo cada úero da seqüêcia é o aterior vezes elo eos ais u uero rio que ão aarece a decoosição do eso, odeos afirar que existe ifiitos úeros rios.. Prios e certas rogressões aritéticas Vaos agora fazer alguas observações iteressates relacioadas às varias aeiras que os úeros rios ode ser escritos usado o algorito de divisão de Euclides. Sabeos elo algorito da divisão que todo iteiro ode ser escrito da seguite aeira: 4, 4 +, 4 +, Tedo e vista que 4 e 4 + são sere ares. Etão todos iteiros rios estão e duas rogressões: * 4 +, 5, 9, 3, 7,,... * , 7, 5, 9,... É claro que estas rogressões cote os úeros rios. Ua questão que surge etão é quatos rios existe e tais rogressões. Vaos etão fazer ua deostração usado o argueto arecido co o de Euclides ara a ifiitude dos úeros rios. Lea..: O roduto de dois ou ais iteiros da fora 4 + é da esa fora. ' Toe = 4 + e = 4 +, tedo e vista que é suficiete cosiderar o roduto de aeas dois iteiros. Multilicado-os teos: ' = (4 + (4 + = = 4( O que coclui a deostração. Teorea..: Existe ifiitos úeros rios da fora Suoha ro cotradição que existe fiitos úeros rios da fora 4 + 3, são eles,, 3,..., r. Cosidere N tal que: N... = 4(... 3 Sedo t = 4 3 r 3 r + N = r r r... r sua fatorização e rios. Coo é iar teos que,, etão 3 cada r é da fora 4 + ou Pelo lea teos que o roduto dos iteiros da fora 4 + é da esa fora, coo N é da fora teos que algu r i = 4 + 3, as r i ão ode ser igual a algu,, 3,..., r, ois se fosse teríaos que r i. O que é absurdo. Daí, teos que existe ifiitos úeros rios da fora A existêcia da ifiidade de úeros rios da fora 4 + tabé é verdadeira, as e sua deostração é ecessário desevolver algus ecaisos ateáticos. r

6 Teorea..: Existe ifiitos rios da fora Sabeos que todos os rios aiores que exceto e 3 são da fora ou 6 +, observe que o roduto de úeros da fora 6 + são da esa fora. Cosidere u úero q da fora q... = 6(... 5 = 6 3 r 3 r + E que,, 3,..., r seja todos os rios da fora Coo q é da fora algu dos q i ' s tabé será. Mas se isto acotecesse teríaos que tal q i dividiria. O que é absurdo. Etão existe ifiitos úeros rios da fora Teorea..3: Se a e b são rios etre si, etão todo rio iar divisor de a + b é da fora 4 +. Não fareos a deostração do teorea acia, as o toareos coo verdadeiro ara deostrar a ifiitude de rios da fora Teorea..4: Existe ifiitos rios da fora Cosidere q, tal que: q = é a soa de dois quadrados que ão te fator e cou. O quadrado de u úero iar + é 4 ( + +. Observe que ode ser ar ou íar, vaos aalisar abas as situações: * = r 4 (r(r + + = 8r(r + + = 8 + * = r + 4(r + (r + + = 4(4r + 4r + r + + = 8(r + 3r + + = 8 + Teos etão que o quadrado de u úero iar é sere da fora 8 +. Daí, segue que q é da fora Pelo teorea 5 todos os rios iares que divide q são da fora 4 +, etretato eles tabé são da fora 8 + ou 8 + 5, já que e ão ode ser escritos da fora 4 +, e coo o roduto de dois úeros 8 + é da fora teos que existe elos eos u fator de q da fora Se tal fator fosse eor que teríaos que ele dividiria, o que é absurdo, ois ele é íar. Logo, existe ifiitos rios da fora Teorea..5: (Dirichlet Se a e b são iteiros ositivos rios etre si, etão a rogressão aritética a, a + b, a + b, a + 3b,... Coté ifiitos úeros rios. Não fareos a deostração devido a dificuldade aresetada e seu desevolvieto.

7 Teorea..6: Não existe ua rogressão aritética forada aeas or úeros rios. Seja a rogressão a, a + b, a + b, a + 3b,..., suoha a + b = ode é rio. Se colocaros = +, =,,3,..., teos: Etão teos que a + b é divisível or. a + b = a + ( + b = a + b + b = + b Discutireos agora u faoso roblea sobre os úeros rios. Por séculos os ateáticos teta ecotrar ua fórula que forecesse soete rios, or exelo: f ( = Este oliôio assue valores rios ara variado de 0 ate 39. Observe a tabela: f ( f ( f ( No etato, isto ão é verdade ara os casos = 40 e = 4: f ( 40 = = 4 e f ( 4 = = 4 43 Mas ara = 4 teos que f ( 4 = 747 é u úero rio. Vaos rovar que ão é ossível ecotrar u oliôio co coeficietes iteiros que tivesse coo cojuto iage soete úeros rios. Toe f ( = a + a a + a + a0 co todos os coeficietes iteiros e a 0. Fixado o valor de, = 0, f ( 0 = é u úero rio. Agora, ara algu iteiro t, cosidereos a exressão f ( 0 + t : f ( a 0 + t = a ( 0 + t + a ( 0 + t a ( 0 + t + a( 0 + t + f ( 0 + t = ( a 0 + a a0 + a0 + a0 + Q( t f + t = f ( + Q( ( 0 0 t f ( 0 + t = + Q( t = ( + Q( t 0

8 Ode Q(t é u oliôio e t co coeficietes iteiros. Nós cosideraos que f ( 0 + t, cosequeteete, coo todos os valores de f ( são úeros rios f ( 0 + t = ara qualquer iteiro t. Coo se trata de u oliôio de grau ele ão ode assuir o eso valor ais de vezes, ós ecotraos etão ua cotradição. Teorea..7: Teorea dos úeros rios O teorea dos úeros rios é u iortate resultado sobre a distribuição dos úeros rios. Este resultado foi rieiraete deostrado ideedeteete or dois ateáticos fraceses Jacques Hadaard e Charles Jea De La Valle-Poussi através do estudo da fução zeta de Riea. Seja π ( a fução de cotage dos úeros rios, que retora o uero de rios etre e. Etão vale o liite: π ( li / l = li l N π ( π ( / l 0 4 0,9 00 5, , , , , , , , , ,043 Núeros Perfeitos Tabela de π ( e π ( / l Vaos estudar agora outro tio de úero esecial são os chaados úeros erfeitos. Defiição.: U iteiro ositivo é chaado de úero erfeito se for igual à soa de seus divisores ositivos, excluido o rório. A soa dos divisores ositivos de u iteiro, cada u deles eores que, é dada or φ(-. Deste odo, a codição é erfeito é equivalete a dizer φ(-=. Por exelo: φ(6 =++3+6= φ(8 = =.8 Etão 6 e 8 são úeros erfeitos.

9 Teorea.: Se é rio, etão = ( é erfeito e todo uero erfeito ar é desta fora. Toe =, rio, e cosidere = ( teos dc(, =, sabeos que: ϕ ( = ϕ( = ϕ( ϕ( ϕ ( = ( ( + ϕ ( = ( ( = Torado u úero erfeito. Vaos rovar agora que todo úero erfeito ar é desta fora. Toe ode é u úero iteiro iar e. Teos que dc(, =, daí ϕ ( = ϕ( = ϕ( ϕ( = ( ϕ( Sabeos que ara u úero erfeito teos ϕ ( = = Teos etão que, as e ( ; Daí = ( M. = ϕ( =,, cosiderareos etão: são relativaete rios, etão Substituido este valo a equação aterior teos ϕ ( = M. Coo e M são divisores de M <, ós teos: M = ϕ ( + M = M Fazedo ϕ( = + M a ilicação é ua igualdade se tiver soete dois divisores ositivos, M e. Cosiderado rio te-se que M = ; e outras alavras, = ( M = é u uero rio, o que coleta a rova. Etão o roblea de ecotrar úeros erfeitos se reduz a rocurar rios da fora. Lea.: Se a é rio ( a > 0,, etão a = e é rio tabé. Podeos escrever a = ( a ( a + a a + Ode, a resete situação: a + a a + a + > Mas da hiótese a é rio, o outro fator a decoosição te que ser ; isto é, a = etão a =. Se fosse u úero coosto, teríaos = r s, co < r e < s. Deste odo r s r r s r s r a = ( a = ( a (( a + ( a a + E cada fator da direita é airo que. Mas isto viola a riaridade de a, etão teos gerado ua cotradição. Logo é rio. Para =, 3, 5, 7, os valores 3, 3, 7 de ( = 6 são rios, etão teos:

10 4 6 ( ( 3 5 = 8 = ( = 88, são todos úeros erfeitos. Teorea.: Todo uero erfeito ar, teria co 6 ou 8, ou seja, 6(od0 ou 8(od0. Seja u úero erfeito ar, ode ser escrito coo = (, ode é rio. De acordo co o lea terior, o exoete é rio. Se =, etão = 6 o que está deacordoco o teorea. Vaos rovar ara >, dividireos o rova e duas artes. Sabeos que ode ser 4 + ou Se = 4 +, etão = ( = = 6 6 Coo 6 t 6(od0, ara todo iteiro ositivo t. Usado cogruêcia teos: 6 6 6(od0 Agora, se = : = ( = = Coo 6 t 6(od0 teos: (od0 Coseqüeteete todo uero erfeito arteria e 6 ou 8. Coclusão Neste trabalho obtiveos iortates iforações sobre o roblea da distribuição dos úeros rios, odedo assi coreeder u ouco elhor o istério e o fascíio causado os ateáticos elos chaados úeros rios. Bibliografia [] Hardy, G.H.; Wright, E.M. A Itroductio To The Theory Of Nubers. 5 ed. Oxford Sciece Publicatios, 979. [] Burto, D.M. Eleetary Nuber Theory. 5 ed. Mc-Graw-Hill Higher Educatio, 00. [3] Hygio H. Doigues, São aulo, ed. Atual, 99. [4] Ribeboi P., Associação Istituto Nacioal de Mateática Pura e Alicada, Rio de Jaeiro, 00.