LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS

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1 Edardo obo sosa Cabra INEARIZAÇÃ DE SISTEAS DINÂICS oação e ecessdade Grade are das eoras de rojeo de sseas de coroe ora deseodas ara sseas eares oré racaee odos os sseas reas são ão-eares qe azer? Pode-se ober odeo ear ara o ssea ão-ear A qesão se ora: qa a adade do odeo ear do ssea ão-ear? Téccas de rojeo de coroadores ara sseas ão-eares são: Cocadas e coeas; Soee arae esabdade ão arae deseeho; Na aora dos casos ão jsca a coedade coroe ear e era coa be eso ara sseas ão-eares; Qado coroe ear ão coa adeqadaee e-se as aeraas de sar roraação de ahos o coroe adaao Ssea dâco ão-ear Dado ssea ão-ear de orde descro or: ode:, - eor de ções da dâca dos esados;, - eor de eqações das saídas - eor de esados, R desão ; - eor de erada, R desão ; - eor de saídas, R desão ;, - eor de ções ão-eares qe descree a dâca do ssea, R desão ;, - eor de ções ão-eares qe descree a saída do ssea, R desão eor de ções da dâca dos esados rereseado ea eq é dado de ora as deahado coo:

2 Edardo obo sosa Cabra, ;, ;, eor de ções da saída rereseado ea eq é dado de ora as deahado coo:, ;, ;, 4 Eeo: Ssea assa-oa ão ear: Eqação dereca: odeo de oa saee zado ara ssesão de aoóes Escreedo o ssea a ora de esaço de esados ão-ear ca:,,,, Codção de earzação A earzação de ssea dâco ão-ear é ea e oro de a codção de oeração deoada codção de earzação ssea ear é ádo ara oeração e oro da codção de earzação Qao e oro? Qesão e abero deede do ssea! Codção de earzação: Deda or:

3 Edardo obo sosa Cabra eor de esado a codção de earzação, ode ser aráe o eo; eor de erada a codção de earzação, ode ser aráe o eo; eor de saída a codção de earzação, ode ser aráe o eo Cáco da codção de earzação: Ua ossbdade é a codção de earzação ser oo de eqíbro do ssea, o seja:, 5, 6 Dessas eressões e-se eqações aébrcas ão-eares cja soção orece, e/o Noa-se qe e era o úero de saídas de ssea I é a ao úero de eradas Cohecedo-se, or eeo, as saídas do ssea a codção de earzação ode-se a arr das eq 5 e 6 ober o eor de esados e o eor de eradas a codção de earzação Se a codção de earzação ão or oo de eqíbro do ssea, e-se o ar da eq 5 o see: Reso:, 7 A eqação da saída eq 6 ão se aera Nesse caso a codção de earzação e qe sasazer a eqação da dâca do ssea ode ser díc de cacar ara as casos E era a eq 7 soee sere ara cacar as deradas eoras dos esados, qe e são ecessáras Deededo do robea cohecedo-se, or eeo, as saídas e as esados do ssea a codção de earzação e-se eqações ãoeares cja soção dee orecer os eores,, e A codção de earzação é deda ara qaqer caso eercaee or:,, 8 A codção de earzação dee sere sasazer as eqações de esado deedee se or de ree esacoáro o ão, o seja:

4 Edardo obo sosa Cabra 4, 9 4 éodo de earzação da dâca Dee-se eqeos desos e oro da codção de earzação, e : ; ; Dada a codção de earzação eq 8 e 9, eaddo o eor de ções, e oro de e sado Sére de Taor cada eqação da dâca do ssea:,, ara, ca:,,,,, T S ode TS sca eros de orde seror e o sbscro Abrdo a derada do ado esqerdo da eq e deserezado os TS e-se:,,,,, T S os TS são de ao desrezíes desde qe e seja eqeos Coo a codção de earzação dee obedecer a eqação dâca do ssea eq 9 o º ero do ado esqerdo da eq cacea o º ero do ado dreo da eqação er eq 9 Ass, e-se:,,,,

5 Edardo obo sosa Cabra 5 Para odas as eqações de esado earzadas e-se a ora arca: 4 ode os eros j e reresea a oação as coaca ara, j e, resecaee as coacaee, B A 5 ode A e B são arzes dadas or: A 6 B 7 eso rocesso é reedo ara as eqações das saídas do ssea eq 4 eaddo cada eqação de saída de e, e-se:

6 Edardo obo sosa Cabra 6,,,,, T S U 8 Coo a codção de earzação dee obedecer a eqação das saídas do ssea eq 4 o º ero do ado esqerdo da eq 8 cacea o º ero do ado dreo da eqação Desrezado os TS:,,,, 9 Para odas as eqações de saídas do ssea, e-se: ode os eros j e reresea a oação as coaca ara, j e, resecaee as coacaee, D C ode C e D são arzes dadas or:

7 Edardo obo sosa Cabra 7 C D E reso as eqações dâcas earzadas de ssea são as sees: B A 4 D C Nesse caso, coo as arzes do ssea, A, B, C e D, ara o eo, o ssea é do o ear Varae o Teo VT Se a codção de earzação or a codção de oeração e ree esacoáro, o seja,, eão as arzes do ssea, A, B, C e D são aes e o ssea é do o ear Iarae o Teo IT Ass a eq 4 ca: B A 5 D C Usaee as eq 4 e 5 ea-se os eros de aração, as ão se ode esqecer qe ara a ssea co dâca earzada os esados, as eradas e as saídas reresea as arações dessas radezas e oro da codção de earzação

8 Edardo obo sosa Cabra 8 5 Eeos Eeo : assa-oa ão-ear: odeo do ssea ão-ear: [ ],,,, Codção de earzação: Adoada a codção de ree esacoáro Para a codção de earzação as eqações dâcas resa e: Qe resa a see reação: ± Noa-se qe soee ese se e ere sas oosos earzação da dâca do ssea: [ ] Porao, A B

9 Edardo obo sosa Cabra 9 Se or eeo:,5n/ N/ /, eão:,5 Eeo : Pêdo erdo: Seja êdo coo osra a ra a ser A assa do êdo qe é cocerada e sa oa é e o se coreo é U orqe aráe é acado o êdo a osção de sa arcação Eqação dâca do êdo: Dedo a eocdade aar do êdo ssea a ora do esaço dos esados ca: Codção de earzação:

10 Edardo obo sosa Cabra Na codção de earzação desejada o êdo dee esar cado de 45º e reação à horzoa ese das codções de earzação ossíes: a A codção earzação é oo de eqíbro, o seja, esse caso e-se: b A codção de earzação ão é oo de eqíbro, o seja, esse caso e-se: Para der coeaee a codção de earzação dee-se adoar e, o e : Adoado bsera-se qe essa codção de earzação o êdo esá arado as cado o oeo de qeda dedo à aceeração da radade Dâca earzada: Uzado a codção de earzação b ara earzar o ssea, e-se: s Porao, A B

11 Edardo obo sosa Cabra 6 éodo aerao de earzação U éodo aerao ara earzar a dâca de ssea é assr eqeas arações e oro da codção de earzação, coo o dedo a eq, reeda abao: ; ; A derada eora dos esados são obdas a arr da deração da eq, resado e: 6 bsera-se qe a derada dos esados a codção de earzação ão é ecessaraee zero, os a codção de earzação, coo so, ão ecessa ser a codção esacoára Sbsdo as eqs e 6 as eqações dâcas dos esados e as eqações de saída do ssea e desrezado eros de orde seror obé-se as eqações earzadas do ssea Por eros de orde seror eede-se o see: Qaqer aração ao qadrado seja de aráe de esado, de saída o de erada; Qaqer rodo de das arações j seja de aráe de esado, de saída o de erada Eeo : Pêdo erdo: Eqação dâca do êdo a ora de esaço dos esados: s Codção de earzação codção b do eeo : Adoado: 45º, Dâca earzada: Sbsdo as eq e 6 as eqações dâcas do ssea e-se:

12 Edardo obo sosa Cabra Acado a reação rooérca do seo da soa de dos âos, s s oré coo é eqeo s qe resa e s Sbsdo as eqações dâcas: s Noa-se qe a codção de earzação obedece as eqações dâcas, ass: Na ª eressão o º ero do ado esqerdo cacea o º ero do ado dreo; Na ª eressão o º ero do ado esqerdo cacea o º e o ª eros do ado dreo Porao, s qe sado a codção de earzação ca a ora arca: A B

13 Edardo obo sosa Cabra 7 Eercíco Cosdere a Eqação de Va der Po qe reresea oscador co aoreceo ãoear d [ ] d µ, d d ode reresea a coordeada de osção, µ é a radeza qe reresea a qadade de aoreceo resee o ssea e é o ero orçado o a erada do ssea Essa eqação o o zada a eehara eérca/eerôca ara o esdo de áas e a dâca dos sseas ão-eares Pede-se: a Cooqe o ssea a ora de esaço de esados ão-ear b Dea a codção de earzação de ora qe seja a codção de ree eraee Você e qe escoher a codção érca Uze µ, c earze o ssea zado dos éodos sos e aa d Cace as arzes do ssea ear zado os resados dos es b e c e Dea a ção o S ara descreer a Eqação de Va der Po Uzado as erraeas do aab erqe se a codção de earzação deda e b esá correa Uzado as erraeas do aab earze o ssea e oro da codção de earzação cacada e b e e erqe o resado do e d h Se os sseas ão-ear e ear ara a codção ca a à codção de earzação e ara dera a erada de ade e coare os resados Se os sseas ão-ear e ear ara a codção ca e e coare os resados Prcas coados do aab a sere zados: S; r; od

14 Edardo obo sosa Cabra Cosdere o ssea cooso or êdo erdo sobre carro, cjo odeo dâco é dado abao s s ode é a osção aar do êdo, é a eocdade aar do êdo, é a eocdade do carro, é a orça acada o carro, é a assa do carro, é a assa do êdo e é o coreo do êdo ra Esqea do êdo erdo sobre o carro Pede-se: a Deere a codção de earzação ode o êdo eraece arado a osção erca b earze a dâca do ssea c Cace as arzes do ssea earzado 4