Opções Reais. Estimando Volatilidade. Volatilidade. Volatilidade. Mestrado. IAG PUC-Rio. Prof. Luiz Brandão

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1 Opções Reais Esimado Volailidade Mesrado Prof. Luiz Bradão IAG PUC-Rio Volailidade Volailidade O Valor Presee V 0 de um aivo é obido descoado-se os seus fluxos de caixa a uma axa de reoro ajusada ao risco (µ). Em um projeo, a axa µ equivale ao WACC. Como assumimos que o valor presee do projeo é o seu valor de mercado, a axa µ é ambém o reoro do projeo, que assumimos cosae ao logo do empo. Para um projeo sujeio a icerezas, esse reoro irá variar esocasicamee, à medida que os seus fluxos de caixa variam. Defiimos a volailidade como o desvio padrão aualizado da disribuição dos reoros de um projeo em codições de icereza. Um faor deermiae para o cálculo do valor das opções de um projeo é a sua volailidade (σ). A volailidade σ reflee a variabilidade das mudaças em um projeo o empo devido as icerezas que afeam o seu fluxo de caixa. A simulação desas icerezas forece uma esimaiva do volailidade σ. A esimação da volailidade de um projeo evolve as seguies eapas: ) Deermiação do VP do projeo aravés da modelagem do aivo básico com ferrameas radicioais de FCD ) Modelagem das icerezas e seus processos esocásicos 3) Simulação de Moe Carlos das variáveis do projeo para gerar uma disribuição de reoros. O desvio padrão desa disribuição é a volailidade do projeo. 3 4

2 Méodos de Esimação Deermiação do V 0 A quara e úlima eapa evolve a represeação do processo esocásico do valor do projeo o modelo biomial e a modelagem das opções. Veremos dois méodos uilizados para esa esimação: Méodo de Copelad e Aikarov (CA) Méodo de Bradão, Dyer e Hah (BDH) A difereça ere eses méodos se resrige à modelagem do valor presee do projeo ao fial do primeiro período, como veremos a seguir. O aivo básico é o projeo sem opções A deermiação do V 0 do projeo é feia uilizado as ferrameas radicioais de FCD A axa de descoo uilizada é o WACC ou oura que seja represeaiva do risco do projeo. V 0 = [ ] E C ( + µ ) = Nessa eapa ão são cosideradas ehum fluxo de caixa resulae de qualquer flexibilidade gerecial ou opções que o projeo possa apresear. 5 6 Modelagem das Icerezas 3 Simulação de Moe Carlo Deermia-se quais são as variáveis de ieresse cuja icerezas afeam os fluxos de caixa do projeo Para cada variável ideificada, deermia-se o seu processo esocásico (MGB, MAB, Reversão a Média, ec.) e esimam-se os parâmeros ecessários. Esses parâmeros podem ser obidos aravés de dados hisóricos, dados de mercado ou esimaivas de gerees ou perios. Sempre que dispoível, deve-se dar preferêcia a dados de mercado. Possíveis correlações ere as variáveis ambém devem ser modeladas. Nesa eapa os méodos de CA e BDH se difereciam. 7 Aravés da simulação gera-se cojuos de Fluxos de Caixa Fuuros do Projeo. Cada ieração da simulação forece um cojuo de fluxos de caixa, a parir dos quais se deermia o valor pré-dividedo V do projeo ao fial do primeiro período. Cada ieração forece um valor de V, a parir do qual calcula-se o reoro do projeo v. No méodo de CA, V é calculado como O reoro v é defiido como A simulação gera um cojuo de amosras dos reoros da variável aleaória v a parir do qual compuamos a volailidade do projeo. Podemos verificar a cofiabilidade da simulação checado se µ = v + σ /. v = l ( V V0) i= i ( ) ( i ) V = C + C + µ 8

3 3 Simulação de Moe Carlo 4 Modelagem das Opções A volailidade σ é defiida como o desvio padrão aualizado dos reoros v, ode: v ( ) i vi σ = Observe que o reoro v e a volailidade σ são suficiees para caracerizar compleamee o processo esocásico logormal do valor do projeo. Recomeda-se um míimo de ierações para a Simulação de Moe Carlo Noe que se dv = µ Vd + σvdz é o processo esocásico do valor do projeo, eão dlv = vd+σ dz é o processo esocásico dos reoros do projeo, ode µ = v + σ Uma vez defiido o processo esocásico do valor do projeo, ese pode ser modelado aravés do méodo biomial uilizado-se o sofware de arvores de decisão DPL. O valor dese aivo básico deermiado pelo DPL deve coicidir com o valor V 0 calculado aeriormee pelo méodo do FCD. Uma vez modelado o aivo básico, são iseridas as opções de flexibilidade represeadas por ós de decisão, e o valor do projeo com opções pode eão ser deermiado uilizado-se probabilidades euras a risco os ós de icereza e a axa livre de risco para descoar os fluxos resulaes. 9 0 Exemplo: IerSom Lda. Passo : Modelo FCD, V 0 A IerSom preede laçar uma ova liha de produos que erá uma vida úil de quaro aos. Os fluxos de caixa esperados dese projeo esão apreseados a plailha a seguir. O WACC é de 0% e a axa livre de risco é de 5%. O projeo em uma opção de expadir o ao e pode ser abadoado por um valor fixo os aos e 3. Esima-se que a receia irá crescer 8% a.a. Qual é o valor do projeo, cosiderado as opções exisees? Aalisaremos ese projeo seguido as quaro eapas mecioadas aeriormee Receias Cusos Variáveis (43) (467) (504) (544) Cusos Fixos (80) (80) (80) (80) Depreciação (300) (300) (300) (300) LAIR Imposos 50% (34) (60) (88) (8) Depreciação Ivesimeo (.00) Fluxo de Caixa Livre (.00) V 0 =.78 WACC = 0% Ivesimeo = (.00) VPL 0 = ()

4 Passo : Modelagem das Icerezas Nese exemplo emos uma úica icereza, que é o valor fuuro das receias. Assumimos que as receias R seguem um MGB. A média do processo é µ R = 7.70% (que correspode a uma axa aual de crescimeo discrea de 8.0%) Assumimos ambém que a volailidade da receia é σ R = 30%. Nese caso, o modelo será: R R + + = Re = Re 0.30 RISKNORMAL 0.077, 0.30 RISKNORMAL( 0.03, 0.30) Passo 3: Simulação Uilizado-se o méodo de CA, o valor do projeo ao fial do primeiro período é defiido como Calculado-se o reoro v, uma rodada da simulação com ierações forece uma média de v =,8% e uma volailidade de 39,4%. i= i ( ) ( i ) V = C + C + µ Noe que se o erro da simulação pode ser ideificado verificado-se se o ermo µ compuado aravés de µ = v + σ esá próximo do valor uilizado o cálculo do valor presee do projeo origial..xls 3 IerSom.xls 4 Passo 4: Modelar o Projeo e as Opções Passo 4: Modelo DPL Esses dados são uilizados para modelar o aivo básico como um MGB com os seguies parâmeros: O modelo DPL do aivo básico é: PV = 78 WACC = 0% WACC D D3 u d T T3 Volailidade = 39,4% Os fluxos de caixa são modelados a parir da axa de disribuição deermiada a plailha. Uma vez modelado o projeo básico, podemos icluir qualquer umero de opções exisees. Vol D r D4 p PV T T4 Supoha que o projeo possua uma opção de expadir 30% o ao a um cuso de $00 e aida pode ser abadoado por $350 os aos e

5 Passo 4: Modelo DPL com opções Resulados O valor do projeo com as opções de expasão e abadoo, é de,34,74. Esse valor é sigificaivamee maior do que o valor origial do projeo sem opções. Um dos parâmeros deermiaes do valor das opções é a volailidade do aivo básico, que ese caso foi de 39,4% a.a. 7 8 Méodo de BDH Méodo de BDH BDH argumearam que o méodo de CA sisemaicamee superavalia a volailidade de um projeo, levado a valores de opção acima do real. Isso pode ser demosrado aravés de um exemplo simples. Supoha um projeo com vida úil de seis aos, e que gera receias liquidas com uma volailidade de 30%. Qual a volailidade do projeo calculado por CA? Aravés da simulação obemos um valor de Vol = 46,4% Como sabemos por defiição que a volailidade dese projeo é de 30%, fica claro que o méodo de CA superesima a volailidade do projeo. Porque o méodo de CA forece valores icorreos? O problema esá a forma como as icerezas são modeladas. O modelo de CA defie a volailidade σ como o desvio padrão dos reoros v, ode: V C + V( C,..., C ) v l l = = V0 V0 A variâcia de v é dada por: (,..., ) C+ V C C Var( v) = Var l = Var l ( C+ V( C,..., C )) l ( V0) V 0 9 0

6 Méodo de BDH Méodo de BDH Simplificado ficamos com: O valor (V ) do projeo o ao é o somaório dos valores presee o ao dos fluxos de caixa a parir durae oda a vida úil do projeo. Dessa forma, assumido que as variações os fluxos de caixa são idepedees, ese modelo a variâcia aumea com o úmero de períodos do projeo uma vez que o ermo de covariâcia será zero. Para resolver ese problema, BDH apreseam um raameo aleraivo para o cálculo da volailidade de um projeo. ( ( )) Var( v) = Var l C + V C,..., C ( i ) Var() v = Var l Ci e µ i= Segudo BDH, uma fórmula mais adequada é uma defiição para v que abraja apeas as icerezas do primeiro período do projeo Cosidera-se as expecaivas codicioais para os períodos subseqüees. Isso pode ser obido defiido-se um modelo ode apeas o fluxo de caixa do primeiro ao (C ) seja esocásico, especificado os períodos subseqüees (C, C 3,..., C ) pelo seu valor esperado o isae codicioado à realização observada de C. v V ( ( ),..., ( ) ) C + V E C E C C = l = l V 0 V 0 Exemplo No mesmo exemplo aerior, recalculado os reoros do projeo aravés do modelo BDH. Para isso aleramos a modelagem das icerezas da receia para que apeas o primeiro período seja esocásico. Adicioado mais foes de Icereza Dessa forma, os períodos subseqüees serão represeados pelo valor esperado codicioado ao valor realizado o período aerior. Calculado-se o reoro v, uma rodada da simulação com ierações forece uma média de v = 5,03% e uma volailidade correa de 30,00%. Vemos que com isso obemos um valor meor para a volailidade, o que reduz o valor das opções do projeo. Aplicado-se BDH ao exemplo aerior da IerSom, obém-se uma volailidade de 9,%, sigificaivamee abaixo da aerior. O valor do projeo com opções será de.33,79. 3

7 DiaGeesis S.A. Uma das vaages da simulação de Moe Carlo é que o modelo compora projeos com múliplas foes de icereza. Essas foes de icereza podem ser de qualquer aureza, idepedees ou correlacioadas ere si. Ese modelo pode ser mais facilmee demosrado aravés de um exemplo práico. Supoha que a DiaGeesis S.A. em um projeo com cico aos de vida uil e requer um ivesimeo de $0,000. O WACC é 5% a.a. e a axa livre de risco é de 5%. A aálise de FCD forece um valor esperado de O projeo em um opção de expadir o ao e pode ser abadoado os aos e 3. Passo - Caso Base Vedas Cusos (.000) (.67) (.347) (.54) (.754) (.984) Desp Operacioais (800) (800) (800) (800) (800) Depreciação (4.000) (4.000) (4.000) (4.000) (4.000) LAIR I.R. 40% (750) (.050) (.383) (.75) (.6) Lucro Líquido Depreciação CAPEX (0.000) Fluxo de Caixa Livre (0.000) V 0 = WACC = 5% 5 6 Duas Foes de Icereza Icereza de Vedas Supoha que ese projeo em duas foes de icereza idepedees: Vedas (S) Processo Esocásico: Movimeo Geomérico Browiao Taxa Crescimeo (drif rae) = 0% a.a. Volailidade = 40%. Cusos (C) Processo Esocásico: Movimeo Geomérico Browiao Taxa Crescimeo (drif rae) = 8% a.a. Volailidade =0%. O processo MGB das vedas será: ds = µ Sd + σ Sdz S O modelo de simulação é: σ S RISKNORMAL µ S, σs S = + Se ode: S = Vedas o ao aerior µ S = axa média de crescimeo σ S = Volailidade S 7 8

8 Icereza de Cuso Passo - Parâmeros da Simulação O processo MGB das vedas será: dc = µ Cd + σ Cdz C O modelo de simulação é: σ C RISKNORMAL µ C, σc C = + Ce ode: C = Vedas o ao aerior µ C = axa média de crescimeo σ C = Volailidade C Vedas: S Cusos: C = + = + Se Ce 0.40 RISKNORMAL 0.0, RISKNORMAL 0.08, Passo 3 e 4 Simulação e Modelagem Modelo do Projeo Básico A simulação calculada por BDH forece uma volailidade de 43.89%, comparada com 64,6% obida com CA. Uilizaremos o valor de 43,89% pelos moivos discuidos aeriormee. Para a modelagem em DPL, calculamos iicialmee a axa de disribuição para cada um dos cico aos do projeo. Os demais parâmeros são: V 0 = r = 5% Volailidade = 43,89% Taxa de disribuição em cada ao. Uma vez modelado o aivo básico, procedemos a iclusão das opções do projeo. 3 3

9 Iserido as Opções Modelo com Opções O projeo pode ser expadido em 30% ao fial do ao a um cuso de $ O projeo pode ser abadoado ao fial dos aos e 3, recebedo-se um valor residual de $8,000. Com esas opções, o valor do projeo aumea de $0.056 para $.663,4. Se esas opções pudessem apeas ser icluídas o projeo a um cuso, qual o valor máximo que seria viável pagar pela iclusão desas flexibilidades? Opções Reais Mesrado Prof. Luiz Bradão bradao@iag.puc-rio.br IAG PUC-Rio