Problema de Designinação Generalizada. Problema de Designinação. - aplicações: - observações: = 0 caso contrário n n. - Seja a variável: xij

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1 Prof. Silvio Alexadre de Araujo Problema de Desigiação ou Alocação (Assigme) - Dados agees desigados para realizar arefas - Cada agee j (j=,..,) deve execuar uma e só uma arefa i,.., - Cada arefa i deve ser execuada por um e só um agee j - Seja c ij o cuso de execução da arefa i pelo agee j - Como desigar agees às arefas de forma a miimizar o cuso? se o agee j é alocado a arefa i - Seja a variável: xij = 0 caso corário Obs: a resolução do - Formulação: mi z = cij xij Problema de Desigação j= por Programação Liear sujeio a : (0 x ij ) forece soluções ieiras devido xij = i =,..., à uimodularidade da j= mariz de resrições ij x = j =,..., ij x { 0, } i =,..., j =,..., - aplicações: Problema de Desigiação -Hospiais, rasporadoras, Uiversidades, Idúsrias em geral; - observações: - O problema de desigação é um caso especial do problema de raspore ode s i = e d j =; - Muias aplicações deses ipos de problemas (e de algus ouros) exigem que as variáveis de decisão x ij eham valores ieiros. - Devido à algumas caracerísicas especiais, se um al modelo em qualquer solução facível ele sempre erá uma solução óima com valores ieiros. -Isso permie uilizar méodos de programação liear para resolve-los Problema de Desigiação Geeralizada Exercício (casa) - Dados m agees desigados para realizar arefas (m < ) - Cada arefa i deve ser execuada por um e só um agee j - Seja c ij o cuso de execução da arefa i pelo agee j - Seja a ij o recurso ecessário para o agee j execuar a arefa i - Seja b j a capacidade oal do agee j - Como desigar agees às arefas de forma a miimizar o cuso?

2 Problema da Mochila 0 ou - Dados objeos que pode-se armazear em uma mochila, ode cada objeo j (j=,..., ) em um peso w j e um valor de uilidade v j. - Cada objeo pode ser colocado o máximo uma vez a mochila (ão pode er objeos repeidos a mochila) - Quais objeos escolher de al modo que o peso oal ão seja maior que W (capacidade da mochila) e maximize o valor de uilidade dos objeos icluídos a mochila? se o objeo j é icluído a mochila - Seja a variável: x j = 0 caso corário - Formulação: max z = sujeio a : j= j w x j j j= W v x x { 0, } ( j =,..., ) j j Problema da Mochila Mulidimesioal (0 ou ) Exercício Casa - Dados objeos que pode-se armazear em uma mochila, ode cada objeo j (j=,..., ) em um peso w j, volume l j e um valor de uilidade v j. - A mochila em capacidade de peso W e de volume L - Quais objeos escolher de al modo que a respeiar a capacidade da mochila e a maximizar o valor de uilidade dos objeos icluídos a mochila? Problema da Mochila Mulipla (0 ou ) Exercício Casa - Dados objeos que pode-se armazear em m mochilas, ode cada objeo j (j=,..., ) em um peso w j e um valor de uilidade v j. - Cada objeo pode ser colocado o máximo uma vez e em apeas uma mochila (ão pode er objeos repeidos em uma mesma mochila e ão pode er o mesmo objeo em duas mochilas diferees) - O peso oal de cada mochila i (,, m) ão pode ser maior que sua capacidade dada por W i - Quais objeos escolher de al modo que maximize o valor de uilidade dos objeos icluídos as mochilas? Problema da Mochila: aplicações - Seleção de Ivesimeos: bacos, bolsa de valores, ec; - Problemas de Core e Empacoameo: idúsria de papel, móveis, êxil, siderúrgica, ec. - Problemas de Seleção em geral

3 O Problema de Dimesioameo de Loes Moivação Exisem duas maeiras de aumear a eficiêcia de uma loja, empresa, ou idúsria: - melhoria ecológica: aualização dos equipameos, mudaça ecológica, descobera de ovos ipos de maéria prima. - A oura maeira, aé hoje muio meos uilizada, evolve melhorias a orgaização do plaejameo da produção (Kaarovich (939)) O Problema de Dimesioameo de Loes O Plaejameo e Programação da Produção é resposável pela coordeação de odas as aividades do processo produivo, desde a aquisição das maérias-primas aé a erega dos produos. O plaejameo esraégico: meas globais, logo prazo (por exemplo: isalação de fábricas e compra de equipameos). O plaejameo áico: camihos para cumprir o plaejameo esraégico; decisões de médio prazo (por exemplo: plao de produção ao logo de um horizoe de empo e maueção de máquias). O plaejameo operacioal: decisões do dia-a-dia; programação dealhada da produção (por exemplo: sequeciar os pedidos os ceros de rabalho e programar a disribuição). O Problema de Dimesioameo de Loes Defiição - deermiar a quaidade de ies a ser produzida em uma ou várias máquias, em cada período, de modo saisfazer deermiadas resrições e a aeder uma cera demada oimizado uma fução objeivo (por exemplo, miimizar cusos) - Problema de plaejameo da produção em ível áico Elemeos Cohecidos: - Cosidere um horizoe de plaejameo de períodos. No qual se deve plaejar a produção de um úico iem. -Dados: O Problema de Dimesioameo de Loes - d demada o período - S cuso fixo para produzir o período (cuso de preparação) - c cuso uiário de produção o período - H cuso uiário de esocagem o período - Cosidere M um úmero grade Como deermiar a quaidade que deve ser produzida em cada período de forma a aeder a demada com cuso míimo?

4 O Problema de Dimesioameo de Loes Cosidere o seguie exemplo: Elemeos Cohecidos: - Cera firma que fabrica um deermiado produo deseja fazer um plaejameo da produção para um horizoe de quaro dias (=4) - Sabe-se que a demada para eses quaro dias será de d =04, d 2 =74, d 3 =46 e d 4 =2 uidades. - Supoha que a firma faça o máximo uma preparação da máquia que fabrica o produo a cada dia e que ão haja resrição de capacidade de produção. -O cuso para preparar a máquia é de S = $50,00 (,...,4) por preparação e cuso de esoque é H = $2,00 (,...,4) por uidade esocada a cada dia. Cosidere aida, que o cuso uiário para produzir uma uidade é c = (,...,4). Como deermiar a quaidade que deve ser produzida em cada período de forma a aeder a demada com cuso míimo? O Problema de Dimesioameo de Loes Cosidere o seguie exemplo: Elemeos Descohecidos: -Como deermiar a quaidade que deve ser produzida em cada período de forma a aeder a demada com cuso míimo? - Quao produzir a cada dia? - Quao esocar a cada dia? - Em quais dias as máquias serão preparadas? Fução objeivo: Miimização dos cusos de produção esoque e preparação das máquias. Resrições: - Aedimeo a demada; - As máquias devem ser preparadas sempre que houver produção O Problema de Dimesioameo de Loes Elemeos descohecidos: Variáveis (para,..., ) - = quaidade produzida o período - I = quaidade esocada o período, se houver produção o período - Y = 0, caso corário - Formulação (Fução Objeivo e Resrições): mi Sujeio H I a : c I I = d =,..., MY 0 =,..., Y { 0,} =,..., e I 0 =,..., mi H I c Ídices:,..., períodos Fução Objeivo Dados: S cuso de preparação H cuso uiário de esocagem c cuso uiário de produção Variáveis: I esoque o fial do período produção do período Y idica se é cobrado cuso de preparação o período

5 mi H I c H I Fução Objeivo (Exemplo) Elemeos Cohecidos c Elemeos Descohecidos S Y m2i 2I 2 2I 3 2I Y 50Y 2 50Y 3 50Y 4 O Problema de Dimesioameo de Loes Elemeos descohecidos: Variáveis (para,..., ) - = quaidade produzida o período - I = quaidade esocada o período, se houver produção o período - Y = 0, caso corário - Formulação (Fução Objeivo e Resrições): mi Sujeio H I a : c I I = d =,..., MY 0 =,..., Y { 0,} =,..., e I 0 =,..., I I = d =,..., Ídices:,..., períodos Dados: d demada o período Variáveis: I esoque o fial do período produção do período Balaceameo de Esoques Balaceameo de Esoques (Exemplo) Elemeos Cohecidos (I 0 =0) d Elemeos Descohecidos I I I = d =,..., 0 I = 04 2 I 2 I 2 = 74 3 I 2 3 I 3 = 46 4 I 3 4 I 4 = I I 0 =0 I 2 2 I 3 3 d =04 d 2 =74 d 3 = d 3 =2 I 4

6 O Problema de Dimesioameo de Loes Elemeos descohecidos: Variáveis (para,..., ) - = quaidade produzida o período - I = quaidade esocada o período, se houver produção o período - Y = 0, caso corário - Formulação (Fução Objeivo e Resrições): mi Sujeio H I a : c I I = d =,..., MY 0 =,..., Y { 0,} =,..., e I 0 =,..., MY 0 =,..., Ídices:,..., períodos Preparação Dados: M úmero grade (por exemplo M= d ) Variáveis: produção do período Y idica se é cobrado cuso de preparação o período Preparação (Exemplo) MY 0 =,..., Elemeos Cohecidos d M úmero grade (por exemplo M= ) O Problema de Dimesioameo de Loes Cosrução do Modelo: ese problema emos: elemeos cohecidos: d S c H Elemeos Descohecidos Y MY 2 2 MY MY MY 4 elemeos descohecidos: I Y objeivo a ser alcaçado: mi H I resrições: Sujeio a : I I = d =,..., MY 0 =,..., Y { 0,} =,..., e I 0 =,..., c

7 O Problema de Dimesioameo de Loes Formulação para o Exemplo - Fução Objeivo e Resrições: Mi Sujeio a : I I I I I I I 2 I I MY Y = 04 = = 74 = 2 = 46 = 3 = 2 = 0 =,...,4 Y {0,} =,...,4 4 4 e I 0 =,...,4 Mi 2I 2I 2 2I 3 2I Y 50Y 2 50Y 3 50Y 4 Sujeio a: I 0 I =04 I 2 I 2 =74 2 I 2 3 I 3 =46 3 I 3 4 I 4 =2 4 -MY 0 2 -MY MY MY Y {0, } Y 2 {0, } 2 Y 3 {0, } 3 Y 4 {0, } 4 e I 0 2 e I e I I 0 =0 e I 4 =0 O Problema de Dimesioameo de Loes Vários Ies, Resrição de Capacidade e empo de Preparação Elemeos Cohecidos: - Cosidere um horizoe de plaejameo de períodos. No qual se deve plaejar a produção de N ies. -Dados: - d i demada do iem i o período - S i cuso fixo para produzir o iem i o período - c i cuso uiário de produção do iem i o período - H i cuso uiário de esocagem do iem i o período - Cosidere M um úmero grade O Problema de Dimesioameo de Loes Vários Ies, Resrição de Capacidade e empo de Preparação Elemeos Cohecidos (coiuação): - Dados Adicioais: - b i empo ecessário para a produção de uma uidade do iem i - s i empo ecessário para a preparação da máquia para produção de do iem i - CAP capacidade de produção o período Como deermiar a quaidade que deve ser produzida de cada iem em cada período de forma a saisfazer as resrições de capacidade e aeder a demada com cuso míimo?

8 O Problema de Dimesioameo de Loes Vários Ies, Resrição de Capacidade e empo de Preparação - Elemeos Descohecidos: Variáveis (para,..., N,..., ) : - i = quaidade produzida do iem i o período - I i = quaidade esocada do iem i o período, se houver produçãodo iem i o período Y i = 0, caso corário Vários Ies, Resrição de Capacidade e empo de Preparação - Formulação: (Fução Objeivo e Variáveis) Sujeio a : Ii, i Ii = di i =,..., N =,..., N O Problema de Dimesioameo de Loes mi N H N N N iii ci i bi i s Y CAP =,..., i i i MYi 0 i =,..., N =,..., Y i { 0,} i =,..., N =,..., i e Ii 0 i =,..., N =,..., i i O Problema de Dimesioameo de Loes Vários Ies, Resrição de Capacidade e empo de Preparação Exercício: Cosidere o Exemplo Aerior. - Supoha que, após uma pesquisa de mercado, a firma, adquira uma máquia e passe a oferecer 4 opções de cores diferees para o produo. - Supoha aida que a ova máquia eha limiação de capacidade. - Eseder o Exemplo Aerior, cosiderado 4 ipos diferees de produos, um para cada cor. - Deve-se adapar e ivear ovos dados, por exemplo: a demada 04 uidades, passa a ser 29 uidades de produos da cor e, para produos das cores 2, 3 e 4 a demada passa a ser de 25 uidades cada. -Após ivear ovos dados deve-se reescrever o modelo de acordo com eses ovos dados. O Problema de Dimesioameo de Loes Vários Ies, Resrição de Capacidade, empo de Preparação - Elemeos cohecidos: Dados Adicioais: - k=,...,k Máquias e Várias Máquias EERCÍCIO - R k Cojuo de ies i que usam a máquia k - CAP k capacidade da máquia k o período - b ki empo ecessário para a produção de uma uidade do iem i a máquia k

9 O Problema de Dimesioameo de Loes Ouras Exesões: Horizoe de Plaejameo: fiio/ifiio, períodos grades ou curos Número de eságios: mooeságio ou mulieságio. Número de ies: úico ou vários Capacidade ou resrições de recurso: com ou sem. Demada. Esáica ou diâmica; deermiísica ou esocásica; empo/cuso de preparo:. idepedee ou depedee da sequecia Araso de erega (backloggig). Produos perecíveis Hora exra Lead ime O Problema de Sequeciameo Defiição dado um plaejameo preesabelecido, programar deermiadas arefas em uma ou várias máquias, de forma a oimizar uma fução objeivo (por exemplo, miimizar o empo de processameo) Problema de plaejameo da produção em ível operacioal O Problema de Sequeciameo Exemplo Cosidere o Exemplo Aerior. - Supoha que após resolver o modelo de dimesioameo de loes, o resulado deermie que a firma deva produzir o dia somee a demada dese dia, ou seja, um loe de 29 uidades de produos da cor e loes de 25 uidades de produos cada uma das ouras cores 2, 3, 4, e 5. - Os produos são piados a ova máquia de piura, ode, depois de iiciada a piura de um loe de produos de uma cor, odos os produos dese loe devem ser oalmee piados. - Embora a fábrica fucioe 24 horas por dia, a máquia de piura ecessia de 4 horas diárias de maueção, iiciado a produção 0 hora e parado às 20 horas. - No loe do dia êm produos das 4 cores de forma que é ecessário piar produos das 4 cores ese dia. O Problema de Sequeciameo Exemplo (coiuação) - Devido ás diferees caracerísicas (ais como empo de secagem) os loes de produos de cada cor êm horários pré-defiidos para fialização do processo de piura. - Caso algum loe de um produo seja fializado depois do prazo um cuso é cobrado por hora de araso, pois, odo o processo de erega dos loes será arasado. - Os dados referees ao empo ecessário para a produção de cada loe de produos de deermiada cor, o horário de erega dos loes e os cusos esão resumidos a abela a seguir. - O geree de produção precisa defiir a sequecia em que ele irá produzir os loes de produos de cada cor de forma a miimizar a demora a fialização do processo de piura (e os respecivos cusos).

10 O Problema de Sequeciameo Elemeos Cohecidos: : úmero de aividades p i : empo de processameo da aividade i, i =... d i : daa de erega da aividade, i, i =... w i : mula (peso) associado à aividade i, i =..., abela: Dados para o Exemplo Cores C C2 C3 C4 empo de Produção (horas) (p i ) Horário de Erega (d i ) Cuso por Araso ($/hora) (w i ) O Problema de Sequeciameo Elemeos Descohecidos:Variáveis de decisão (empo de iício) x i : iício do processameo da aividade (loe) i, i =... Fução Objeivo: miimizar as mulas relacioadas à demora a erega de cada um dos loes. - A demora poderada da aividade i pode ser calculada como: max{0, w i (x i p i d i )} e a fução objeivo é miimizar a demora. Iso é: mi max{0, w i (x i p i d i )} (*) - Nova Variável: A fução-objeivo acima é liear por pares, mas pode ser liearizada se criarmos uma ova variável, i, al que: - Resrições: para liearização da Fução-objeivo: i x i p i d i i 0 i =,..., e subsiuirmos a expressão (*) por: - Fução-objeivo Liear: w i i O Problema de Sequeciameo - Cosiderar quaisquer aividade i e j. Para garair que a máquia processe apeas uma delas de cada vez devemos er: Resrições disjuas: x i p i x j ou x j p j x i Iso é, apeas uma das duas resrições acima deve esar aiva, a oura deve ser redudae. Nova Variável: Faremos o corole desas codições usado uma ova variável: y ij, se a aividade i começa aes da aividade j = 0, caso corário ( a aividade j começa aes da aividade i) Resrições: corole de aividades a máquia x i p i x j M(- y ij ) x i p j x i M(y ij ) ode: M é um úmero suficieemee grade O Problema de Sequeciameo Formulação com resrições disjuivas (Fução Objeivo e Variáveis) Mi z = w i i Sujeio a: i x i p i d i i =... x i p i x j M(- y ij ) i =... j =... x j p j x i M(y ij ) i =... j =... x i 0, i 0 i =... j =... y ij =0 ou, i =... j =...

11 O Problema de Sequeciameo Veremos oura maeira de modelar o mesmo problema: Formulação Idexada o empo - precisamos calcular o empo oal ecessário para o processameo de odas as arefas: oal = p i - amaho do horizoe de plaejameo =oal períodos de empo -emos aividades que podem começar em qualquer um dos períodos de 0 a. -A decisão a ser omada eão é se a aividade i começa ou ão o período de empo. -Deve-se miimizar os arasos represeados pelos seguies cusos: wi (( pi ) di ) se pi > di ci 0 caso corário O Problema de Sequeciameo Elemeos Descohecidos:Variáveis de decisão (empo de iício), se a aividade i começa o período x i = 0, caso corário Formulação Idexada o empo: (Fução Objeivo e Resrições) Mi z = Sujeio a: p i i x i =0 ou, p c i x xi = i =,..., i s= p i x i =,..., i =... =... Problema da K-Dispersão Exercício 2 Exisem locais poeciais para a isalação de k facilidades, k <. Localize as k facilidades de modo que a disâcia míima (r) ere qualquer par das k facilidades seja máxima. A disâcia ere o local i e o local j é d ij.

12 Problema de Erega Exercício 3 Um depósio, umerado 0, em que fazer eregas a cliees em locais umerados a 8. Um cojuo de 9 roas boas para os veículos de erega é mosrado abaixo com seus empos de viagem. Formule o problema maemaicamee e deermie as roas que devem ser implemeadas de modo a miimizar o empo oal de viagem dos veículos. Roa o Roa empo Problema de Mochilas-Seleção de Objeos Exercício 4 Cosidere que emos dispoível em esoque N objeos grades (barras, bobias, ec.) de comprimeo L j (j=,...,n), sedo que, cada objeo em um cuso c j (j=,...,n). Cosidere aida, um cojuo de pedidos de m ies meores i (,...,m), cada iem com de comprimeos l i (,...,m). Supoha que apeas um exemplar de cada iem deva ser produzido. O problema cosise em produzir odos ies demadados (apeas um exemplar) a parir do core dos objeos em esoque, de modo a miimizar o cuso oal dos objeos a serem corados. Problema da Mochila Mulidimesioal (0 ou ) com Resrições de Escolha Exercício 5 - Dados ies que pode-se armazear em uma mochila, ode cada iem j (j=,..., ) em um peso w j, volume l j e um valor de uilidade v j. - A mochila em capacidade de peso W e de volume L - Os ies esão paricioados em p subcojuos disjuos. - cada subcojuo com, 2,, p elemeos - apeas um iem de cada subcojuo deve ser icluído a mochila