Departamento de Informática. Modelagem Analítica. Modelagem Analítica do Desempenho de Sistemas de Computação. Disciplina: Processos Estocásticos

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1 Deparameo de Iformáica Disciplia: do Desempeho de Sisemas de Compuação Variável leaória Real Variável leaória x(w) Processos Esocásicos R Prof. Sérgio Colcher Medida de Probabilidade colcher@if.puc-rio.br 0 R Copyrigh by TeleMídia Lab. 2 x() x() Medida de Probabilidade 0 R x( ) : F x(, ) 3 4

2 5 Supoha que o parâmero do processo seja fixado em um valor igual a. Obém-se um mapa que associa a cada poo um úmero real x(, ) Iso é: Uma Variável leaória x() 6 O cojuo de valores que as fuções podem assumir é deomiado o Espaço de Esados do Processo, que pode ser coíuo ou discreo 7 Um de Tempo Discreo pode ser viso como uma Seqüêcia de Variáveis leaórias Reais Pode-se caracerizar de forma semelhae ao veor aleaório F ( x, ) P[ ( ) x,, ( ) x ] ode ( ( ),, ( )), f x ( x,, x ), (,, ) F ( x, ) ( x, ) x Processos Esacioários Processos Idepedees Processo de Markov Tipos de PEs Processos de Nascimeo e More Processos Semi-Markoviaos Radom Walks Processos de Reovação Processos de Coagem Processos de Poisso 8

3 Processos Esacioários Processos Idepedees F ( x, + τ ) F ( x, ) para qualquer cosae τ + τ é defiido como o veor ( + τ,, + τ ) f ( x, ) f ( )( x, ) f ( )( x, ) 9 0 Tempo Discreo Coíuo Processos de Markov Valores da Fução (Espaço de Esados) Espaço de Esados Discreo Cadeias de Markov Espaço de Esados Coíuo Processos de Markov (ou PE Markoviao) Seja um processo esocásico caracerizado pela seqüêcia de v.a s ( ), 0,, 2, Seja ( i ) a descrição do esado aual do processo seqüêcia (( i+ +), ( i+2 +2), ) é o fuuro do processo seqüêcia ( ( 0 ), ( ),, ( i- ) ) é o passado do processo Um PE é dio Markoviao se ele saisfaz a seguie propriedade M (propriedade markoviaa) M: dado o esado aual, o fuuro do processo ão depede do seu passado 2

4 Processos de Markov Defiição: se um PE, caracerizado pela seqüêcia de v.a s ( ), 0,, 2, com espaço de esados S, em as seguies propriedades: ( i) para odo 0, ( ) S ( ii) para odo 0, x S, S, S, P[ ( ) ( ) x,( ( ),..., ( )) ] P[ ( ) ( ) x] eão o PE é Markoviao Cadeia de Markov Um processo esocásico x() ) forma uma Cadeia de Markov se, para odo ieiro e qualquer sequêcia,..., + al que < 2 <... <, em-se [ ( + ) + ( ), ( 2) 2,, ( ) ] P[ x( ) i x( ) i ] P x i x i x i x i + + Próximo Esado Esado ual Propriedade M: dado o esado aual, o fuuro do processo ão depede do seu passado Passado Ode i,, i, i + são omados de um espaço de esados discreo 3 4 Cadeia de Markov de Tempo Discreo Um processo esocásico {x i } forma uma Cadeia de Markov de Tempo Discreo se, para odo ieiro em-se [ + +, 2 2,, ] P[ x i x i ] P x i x i x i x i + + Ode i,, i, i + são omados de um espaço de esados discreo Processo de Coagem Processo esocásico {N(), 0} é de coagem se N() ) represea o úmero oal de eveos que ocorrem ere (0, ] Por defiição, N() ) saisfaz: N() 0 N() assume valores ieiros s < N(s) N() s < N() N(s) úmero de eveos durae o iervalo (s,] 5 6

5 Processo de Coagem Icremeos idepedees: processo de coagem o qual o úmero de eveos ocorridos em iervalos de empos disjuos são idepedees Exemplo: o processo de coagem o iervalo (5,0] ão depede do processo de coagem em (0,5] Processo de Coagem Icremeos esacioários: úmero de eveos em ( +s, 2 +s] depede somee da ampliude do iervalo ( 2 ) Ou seja, N( 2 +s) N( +s) em a mesma disribuição que N( 2 ) N( ),, ode 2 > e s > s+ s Processo de Poisso (PP) N() é um processo de Poisso se: N() é um processo de coagem N(0) 0 Tem icremeos idepedees e esacioários Número de eveos em qualquer iervalo de ampliude é disribuído como uma variável de Poisso com média λ, ou seja: -λ i e ( λ) P{ N( + s) N( s) i }, i 0,, e s, 0 i! Processo de Poisso Tempo ere chegadas Seja a seqüêcia {T,,2,...} a represeação dos empos ere o eveo (chegada) e o eveo Eveos (coagem do P.P.) T T 2 T 3 T 9 20

6 Processo de Poisso Tempo ere chegadas Eveo {T > } sigifica que ão acoeceu chegada alguma do processo de Poisso o iervalo (0, ] -λ i e ( λ) P{ N( + s) N( s) i } i! P{T > } } P{N() N(0) 0} P{N() 0} e -λ Repeido o raciocíio para um iervalo (s, s+] P{T > T s} P{0 eveos em (s, s+]} e -λ Coclui-se que T,,2,... são v.a.s expoeciais, idepedees e ideicamee disribuídas (iid) Tempos Ere Eveos em um PP Variável leaória Expoecial F x () ( e λ x ) u(x) Propriedade ( sem memória ou sem passado ): Exemplo: um deermiado compoee elerôico em sua vida úil modelada por uma v.a. expoecial. Sabedo-se que o compoee já fucioou por um empo s,, deseja-se ober a expressão para a disribuição do seu empo de vida resae. P[ x > + s x > s]? 2 22 Tempos Ere Eveos em um PP Variável leaória Expoecial F x () ( e λ x ) u(x) Propriedade ( sem memória ou sem passado ): P[ x > + s x > s] P[ x > + s, x > s] P[ x > s] P[ x > + s] e e e λs P[ x > s] e e λ e P[ x > ] λ ( + s) λ λs λs Tempos Ere Eveos em um PP Variável leaória Expoecial F x () ( e λx ) u(x) Propriedade ( sem memória ou sem passado ): P[ x > + s x > s] P[ x > ] probabilidade de um compoee que já fucioou s horas fucioar mais horas é igual a probabilidade de um compoee ovo fucioar horas