Um estudo de simulação sobre a estimação do desvio padrão de processos na presença de causas especiais de variação

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1 Um esudo de simulação sobre a esimação do desvio padrão de processos a preseça de causas especiais de variação Márcio Aôio Couo Ferreira (UFAM) macouo@ufam.edu.br José Raimudo Gomes Pereira (UFAM) jrpereira@ufam.edu.br João Caldas do Lago eo (UFAM) jcaldas@ufam.edu.br Resumo O rabalho é um esudo comparaivo ere esimadores do desvio padrão de um processo produivo quado icidem causas especiais de variação. Observações de ais processos podem apresear edêcias mudaças de média e ouliers eses casos os esimadores do desvio padrão empregados ão apreseem propriedades óimas. Assim é imporae esudar empiricamee o comporameo desses esimadores. Foram simuladas observações a parir de modelos eóricos que descrevem siuações de processos sujeios a essas causas especiais cosiderado-se diferees íveis de variabilidade e amahos de amosra. Para as observações obeve-se esimaivas do desvio padrão empregado-se os esimadores cosiderados o esudo e mesurado seus desempehos pela esimaiva do Erro Quadráico Médio. Os resulados mosraram que ehum dos esimadores aalisados pode ser cosiderado como o melhor o eao idicaram a isabilidade do Esimador pela Mediaa dos Desvios Absoluos e que o Esimador pela Média Quadráica das Difereças Sucessivas é muio esável e equivalee ao Esimador pela Ampliude Móvel Padrão que é o mais uilizado a práica do CEP. Palavras-chave: Simulação Esimação Corole esaísico de processos.. Irodução o Corole Esaísico de Processos (CEP) quado apeas as causas comus esão auado o processo e a variabilidade se maém em uma faixa esável a faixa caracerísica do processo dizemos que o processo esá sob corole esaísico. esse caso o modelo esaísico empregado deomiado modelo de causa comum (deoado por M 0 ) pressupõe que as observações do processo produivo são proveiees de variáveis aleaórias idepedees e ideicamee disribuídas (v.a.i.i.d.) seguido uma disribuição ormal com média e variâcia cosaes. O modelo é expresso por i µ ε () ode represea as observações do processo medida o empo µ a média cosae do processo e as compoees de erro ε são v.a.i.i.d. com disribuição ( 0 σ ). Eão as são v.a.i.i.d. com disribuição ( µσ ). i EEGEP ABEPRO 09

2 Em muias siuações reais as observações do processo exibem mudaças de médias edêcias ouliers ou aida ouros siomas que ivalidam o modelo M 0 de acordo com Boles (997). Tais siomas decorrem de ouras foes de variação auado o processo as causas especiais de variação que surgem devido a uma siuação paricular e fazem com que o processo se compore de modo diferee do usual podedo resular em um deslocameo do ível de qualidade. Um processo operado sob ais codições é dio esar fora de corole esaísico e esse caso sua variabilidade geralmee é bem maior do que a variabilidade aural. o CEP uma das arefas iiciais é esimar a média ( µ ) e o desvio padrão (σ ) do processo visado esabelecer os limies de corole. As esimaivas são obidas a parir de um cojuo de observações do processo K sedo essas esimaivas empregadas para posicioar os limies os gráficos de corole que serão uilizados o moiorameo das observações fuuras K. Desa forma fica claro que a esimação do desvio padrão do processo é de fudameal imporâcia o CEP. Sob as suposições do modelo de causa comum os esimadores empregados para µ e σ são respecivamee ˆ µ e ˆ σ S com e S ( ) () E cohecido que e S são esimadores ão edeciosos e de variâcia uiformemee míima para µ e σ respecivamee de acordo com Bolfarie e Sadoval (000). Para os limies de corole faz-se ecessário esimar o desvio padrão e ão a variâcia e o esimador σˆ acima ão saisfaz essas propriedades óimas. a práica emprega-se um faor de correção da esimaiva do desvio padrão para miimizar as deficiêcias desse esimador a qual é dada por (BOYLES 997). S S 4 S σ () C ode C 4 em seus valores abelados em fução do amaho da amosra () (MOTGOMERY 99). Com causas especiais de variação o modelo M 0 fica iviabilizado e os esimadores acima são iadequados. Para esse caso vários esimadores são proposos a lieraura os quais em geral ão apreseam boas propriedades eóricas de acordo com Boles (997). Um aspeco imporae é aalisar o comporameo empírico desses esimadores em siuações as quais o processo produivo eseja sujeio a variações decorrees de causas especiais. Realizou-se um esudo comparaivo ere diferees esimadores proposos para esimar o desvio padrão visado moiorar a média de um processo produivo em siuações ode o modelo M 0 é iadequado. Empregado-se modelos eóricos que reproduzem siuações ode o processo esá submeido a causas especiais de variação foram simuladas observações cosiderado-se diversas disribuições para as compoees de erro esses modelos e diferees íveis de variabilidade. Os esimadores cosiderados o esudo EEGEP ABEPRO 040

3 foram empregados para esimar o desvio padrão das observações adoado-se aida diferees amahos de amosra o procedimeo de esimação.. Esudo de simulação A simulação pode ser visa com um esudo de Moe Carlo cujos faores evolvidos foram os modelos as disribuições das compoees de erro os íveis de variabilidade e os amahos de amosra sedo as observações geradas em cada uma das combiações desses faores e submeidas aos esimadores visado comparar seus desempehos as codições imposas.. Os esimadores do desvio padrão Os esimadores esudados são aqueles apreseados em Boles (997). A radução de suas deomiações foi feia livremee por isso o ome origial em iglês é apreseado. Esimador pela Ampliude Móvel Padrão (Sadard Movig Rage Esimaor) σˆ d d ( - ) 8 π Esimador pela Média Quadráica das Difereças Sucessivas (Mea Square Successive Differece Esimaor) ˆ σ ( -) ( ) Esimador pela Mediaa da Ampliude Móvel (Media Movig Rage Esimaor) { ; } media ˆ σ M 0954 Esimador pela Mediaa dos Desvios Absoluos (Media Absolue Deviaio Esimaor) media{ ~ ; } ˆ σ Os modelos empregados Os modelos foram empregados para gerar observações que apreseassem edêcias mudaças de média esraificação e ouliers. A variâcia das compoees aleaórias esá muliplicada por um faor k empregado para gerar os diferees íveis de variabilidade das observações simuladas. Modelo de Tedêcias Aleaórias (M ): ε ode µ µ α com α ~ ( 0 δ ) µ ; k σ Modelo de Mudaça de Média (M ): ( γ ) ( 0 0) γ ( 0 δ ) ε ode µ µ α α ~ µ ; k σ Modelo de Esraificação (M ): ( µ 0) 05 ( µ 0) µ ε ; µ ~ 05 δσ EEGEP ABEPRO 04

4 Modelo de Valores Exremos (M 4 ): µ ε α ; α ~ ( γ ) (00) γ (0 kδ σ ). As disribuições para as compoees erro ε Para as compoees de erro ε cosiderou-se quaro diferees disribuições as quais são descrias a seguir. Erro com Disribuição ( 0 σ ) k (ET ) Erro com Disribuição Assimérica e Uimodal (ET ) gerada pela misura 5 ( 0 k ) 5 k 5 5 Erro com Disribuição Uimodal e Lepocúrica (ET 4 ) gerada pela misura ( 0 k ) 0 k Erro com Disribuição Bimodal (ET 6 ) gerada pela misura k 0 k A descrição dessas misuras bem como suas formas gráficas são apreseadas em Mclachla e Peel (000)..4 Os íveis de variabilidade e amahos de amosra Como mecioado iroduziu-se o faor muliplicaivo k para as variâcias das compoees de erro os modelos cujos valores foram e 5. Com relação ao amaho da amosra foram simulados dados com rês diferees amahos 0 50 e 00 o eao das aálises iiciais verificou-se que para os amahos 0 e 50 os esimadores apresearam resulados muio similares e por isso decidiu-se cosiderar o esudo somee os resulados para amosras de amaho 0 e A mesuração do desempeho dos esimadores Todos os esimadores cosiderados são viciados para observações que ão seguem o modelo M 0 assim suas variâcias ão são medidas adequadas para avaliar seus desempehos. a comparação dos esimadores empregou-se o Erro Quadráico Médio (EQM) como medida de seus desempehos (BOYLES 997). Sedo σ o desvio padrão do processo e σˆ seu esimador emos k 5 9 { ˆ σ σ } Var( ˆ σ ) { ( ˆ σ ) } EQM ( ˆ σ ) E E σ (4) Para deermiar o EQM faz-se ecessário cohecer o verdadeiro valor do desvio padrão σ. Devido à forma complexa dos modelos empregados edo em visa as disribuições das compoees de erro ão dispodo de uma forma aalíica para deermiar o valor verdadeiro de σ das observações decidiu-se fazer uma esimaiva desse valor ambém por simulação. Para ober-se uma esimaiva cofiável simulou-se amosras de amaho.000 (mil) com (dez mil) repeições em cada uma das cofigurações dos faores obeve-se o desvio padrão das observações e devido a ocorrêcia de EEGEP ABEPRO 04

5 valores exremos cosiderou-se como o valor verdadeiro de σ a mediaa dos desvios padrões obidos. O esimador da Ampliude Móvel Padrão σ é usualmee o mais uilizado a codução dos coroles de processo coforme Boles (997) em virude disso os ouros esimadores foram comparados a ese. Assim para cada esimador σˆ omou-se a razão ere EQM(σˆ ) e o EQM( σ ) ou seja ( ˆ σ ) ( ˆ σ ) ˆ ˆ EQM rˆ (5) EQM o esudo foram feias (cico mil) repeições em cada uma das cofigurações dos faores para deermiar os valores de rˆ. A simulação foi feia empregado-se o sofware MATLAB Versão 6 Release em um compuador com processador Peium III 850 MHZ.. Resulados As razões rˆ obidas são mosradas graficamee em fução dos íveis de variabilidade segudo cada um dos ipos de erros. Os poos o gráfico aparecem ierligados para permiir visualizar edêcias o comporameo dos esimadores.. Modelo de Tedêcia Aleaória Figura. Amosras com 0 Figura. Amosras com 00 Os resulados para esse modelo são apreseados as Figuras. e. respecivamee para 0 e 00. Para os dois amahos de amosra observa-se que o esimador σˆ apreseou desempeho superior em odos íveis de variabilidade idepedeemee da disribuição do erro. Com relação aos demais esimadores para 0 o σˆ apreseou desempeho iferior equao que para 00 esses esimadores apresearam desempehos equivalees em odas as cofigurações. Observa-se aida que com o aumeo do amaho da amosra o σˆ ora-se mais esável idepedee dos ouro faores. Porao para observações apreseado EEGEP ABEPRO 04

6 edêcias aleaórias os resulados idicam que o esimador adequado apesar de sua isabilidade com 0.. Modelo de Mudaça de Média σˆ foi o mais Figura. Amosras com 0 Figura.4 Amosras com 00 a Figura. emos os resulados relaivos a esse modelo com 0 observa-se que os esimadores apresearam desempehos equivalees com exceção do σˆ que apreseou um comporameo muio isável com desempeho oscilado ere superior e iferior os íveis de variabilidade e em odas as disribuições de erro. Para 00 Figura.4 observa-se que os esimadores apresearam comporameo semelhae ao do ouro amaho de amosra com σˆ ovamee exibido um comporameo muio isável. Observa-se ambém que o amaho da amosra iflueciou o comporameo dos esimadores em paricular com relação a isabilidade do σˆ. Porao os resulados idicam que o esimador σˆ é iadequado quado as observações do processo apresearem mudaças de média.. Modelo de Esraificação Figura.5 Amosras com 0 Figura.6 Amosras com 00 EEGEP ABEPRO 044

7 Com 0 Figura.5 verifica-se que o σˆ eve um desempeho superior em odas as disribuições e íveis de variabilidade equao que o σˆ M eve um desempeho iferior aos demais esimadores. Para 00 Figura.6 observa-se ovamee o desempeho superior do σˆ em odas as cofigurações e o σˆ com desempeho iferior aos demais. Os resulado idicam que quado as observações apresearem esraificações o esimador σˆ é o mais adequado..4 Modelo de Valores Exremos Figura.7 Amosras com 0 Figura.8 Amosras com 00 a Figura.7 resulados para 0 verifica-se os esimadores apresearam desempeho iferior ao σˆ e que o pior desempeho foi o do esimadorσˆ. Para 00 Figura.8 verifica-se que o σˆ e oσˆ apresearam desempehos equivalees e superior aos demais esimadores. Os resulados idicam porao que os esimadores σˆ e σˆ são mais adequados quado as observações apresearem valores exremos ( ouliers ) 4. Coclusões e Sugesões Realizou-se um esudo comparaivo ere algus esimadores para o desvio padrão de um processo produivo operado sob o efeio de causas especiais de variação. Foram cosiderados os esimadores mais comumee empregados a práica do CEP dos resulados obidos ressalam-se as seguies coclusões: (a) ehum dos esimadores pode ser cosiderado como o melhor para odas as codições cosideradas o esudo; (b) para processos produivos cuja observações apreseem edêcias aleaórias o esimador pela Mediaa dos Desvios Absoluos ( σˆ ) apreseou desempeho superior aos demais apesar de alguma isabilidade para amosras meores; (c) com as observações do processo apreseado mudaças de médias o σˆ foi cosiderado iadequado equao que os ouro esimadores apresearam desempehos equivalees aos do esimador da Ampliude Móvel Padrão( σˆ ); (d) em EEGEP ABEPRO 045

8 processo cujas observações exibam esraificações ou valores exremos os resulados sugerem que o esimador pela Média Quadráica das Difereças Sucessivas ( σˆ ) em um comporameo equivalee ao do σˆ. Em geral cosaou-se que o esimador σˆ apreseou um comporameo muio isável o que compromee sua uilização a práica. Por ouro lado o esimador σˆ apreseou comporameo bem mais esável e equivalee ao do esimador σˆ o mais uilizado a práica do CEP. Sugere-se o eao que a escolha do esimador deve-se primeiramee fazer uma aálise do comporameo das observações associadas ao processo cofroar esse comporameo com os das observações pelos modelos ciados ese rabalho e dessa forma decidir pelo esimador mais apropriado. 5. Bibliografia ALWA L. C. Ad ROBERT H. V. The Problem of Misplaced Corol Limis. Applied Saisics V. 44 º pp BOLFARIE H.; SADOVAL M. C. Irodução à Iferêcia Esaísica. São Paulo Seembro 000. BOYLES R. A. Esimaig Commo-Cause Sigma i he Presece of Special Causes. Joural of Quali Techolog. Vol. 9 º 4 pp Ocuber 997. McLACHLA G.; PEEL D. Fiie Mixure Models. Joh Wile & Sos Ic 000. MOTGOMERY D. C. Iroducio o Saisical Quali Corol rd ed. Wile. Y WERKEMA M. C. C. Ferrameas Esaísicas Básicas Para o Gereciameo de Processos. Belo Horizoe: Fudação Chrisiao Ooi Uiversidade Federal de Mias Gerais 995 pp. 8 - V.. EEGEP ABEPRO 046