APÊNDICE C FUNDAMENTOS ESTATÍSTICOS SÉRIES TEMPORAIS 1

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1 Apêdice C APÊNDICE C FUNDAMENTOS ESTATÍSTICOS SÉRIES TEMPORAIS Nese Apêdice são apreseados algus coceios de esaísica úeis para validar os modelos de previsão de demada de eergia, sobreudo os que evolvem méodo de regressão, ecoomeria e modelos de séries emporais. Duas referêcias foram uilizadas para a preparação dese Apêdice: a seguda edição do livro de William W. S. Wei, iiulado Time Series Aalysis (Uivariae ad Muivariae Mehods), publicada em 6, e ouro mais recee, publicado em, por R. L. S. Bueo sob o íulo Ecoomeria de Séries Temporais. VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISCRETA Quado uma variável assume resulados diversos ere uma observação e oura em razão de faores relacioados à chace, ela é chamada de variável aleaória. a) Variável aleaória discrea Defiição: sea x uma variável aleaória. Se o úmero de valores possíveis de x for fiio ou ifiio eumerável, eão x é deomiada de variável aleaória discrea. A cada resulado possível xi esá associada uma probabilidade de ocorrêcia p(xi) com as seguies codições para odo i: p ( x i ) p( x i i ) (C.) a) Variável aleaória coíua Defiição: diz-se que x é uma variável aleaória coíua se exisir uma fução f, deomiada de fução desidade de probabilidade fdp de x, que saisfaça as seguies codições: + f ( x) f ( x) dx (C.) Para quaisquer a e b, com <a<b<+, em-se que: b p ( a x b) f ( x) dx (C.3) a b) Fução de disribuição acumulada Defiição: sea x uma variável aleaória discrea. Defie-se a fução F como a fução de disribuição acumulada da variável aleaória x como: F ( x) p( x ) (C.4) Ese apêdice foi escrio por Dr. João B. Marques (bdmarques@gmail.com).

2 Apêdice C Ode o ermo de soma é esedido a odos os ídices que saisfaçam a codição xx. Se x for uma variável aleaória coíua, eão: F ( x) x f ( s) ds (C.5) Ode s é uma variável muda de iegração. Observe que se F(x) é a fução de disribuição acumulada da variável aleaória coíua x, com fdp f(x), eão: Para odo x o qual F sea derivável. df( x) f ( x) (C.6) dx VALOR ESPERADO, ESPERANÇA CONDICIONAL E INCONDICIONAL O valor esperado de uma variável aleaória discrea, ou simplesmee esperaça, é a soma das probabilidades de ocorrêcia de cada eveo muliplicada pelo seu valor. É o valor médio esperado de um experimeo se ele for repeido muias vezes, porao: E( x) x p( ) (C.7) i i x i Se a variável for coíua com fdp igual a f(x), eão a esperaça é dada por: + E ( x) xf ( x) dx (C.8) Duas propriedades são básicas em relação ao valor esperado, a primeira é: Ode a e b são cosaes, e a seguda é: E ( ax by) ae( x) + be( y) Coudo, se as variáveis x e y são idepedees, eão: + (C.9) E( xy) E( x) E( y) (C.) E ( xy) E( x) E( y) (C.) a) Esperaça codicioal e ão codicioal Esses coceios são fudameais em ecoomeria de séries emporais, uma vez que a ordem dos dados do couo da população é uma codicioae. Cosidere o espaço amosral a esperaça ão codicioal (ou icodicioal) de uma variável aleaória x, que é defiida por: E ( x ) E( x) (C.) Ode o couo a que perece a esperaça ão esá defiida claramee o espaço amosral. A lei das expecaivas oais afirma que: E [ E( x )] E( x ) E( x) (C.3)

3 Apêdice C 3 Sea odos os subcouos do espaço amosral sobre o qual a variável aleaória x esá iserida. A lei das expecaivas ieradas, aplicada a dois couos A, B, é defiida por: E [ E( x A, B) A] E( x A) (C.4) O que implica que é sobre o meor couo de iformação que se deermia a esperaça codicioal. VARIÂNCIA Defiição: sea x uma variável aleaória. Defie-se a variâcia de x, deoada por Var(x) ou x, como: Var ( E( x) x) E x (C.5) A raiz quadrada posiiva de Var(x) é deomiada de desvio padrão. Oura forma de expressar a Var(x) é: Var ( x) E( x E( x ) ) (C.6) a) Propriedades da variâcia Se a e b são cosaes, eão: Var ( x + a) Var( x) (C.7) E: Var( ax ) a Var( x) Var( ax + b) a Var( x) (C.8) Também: Var ( x y) Var( x) + Var( y) + Cov( x, y) + (C.9) Ode Cov(x,y) represea a covariâcia ere as variáveis aleaórias x e y: Cov( x, y) E ( x )( y ) (C.) Ode x e y são as médias das disribuições das variáveis x e y, cua fução de correlação é: x x y y Cov( x, y) ( x, y) (C.) DEFINIÇÃO DE PROCESSO ESTOCÁSTICO Um processo esocásico é uma família de variáveis aleaórias (,) idexada o empo, ode perece ao espaço amosral e refere-se ao empo. Para um deermiado, (.,) é uma variável aleaória e para um dado espaço amosral, (,.) é uma realização e (,) é um úmero real. Uma população que cosisa de odas as possíveis realizações é chamada de processo esocásico

4 Apêdice C 4 gerador de dados. Porao, uma série emporal é uma realização ordeada de um processo esocásico qualquer. Supoha ifiias medições da emperaura do covés de sodas de peróleo durae o dia. Assim, seria possível moar um couo com as sequêcias seguies: () () ( ) ( ),,, (C.) Mais exaamee, em cada isae exisiriam emperauras ou observações relacioadas ao empo, ou sea: ( ) (),,, ( ) (C.3) Esse é um couo de dados cua disribuição é, possivelmee, ormal. Assim, vários momeos dessa série podem ser esimados; por exemplo, o primeiro e o segudo momeos (esperaça e variâcia, respecivamee). Covém suprimir o espaço amosral e simplificar (,) para () ou (,,,). Dessa forma, a esperaça ão codicioal da variável aleaória (), ou simplesmee é: + E ( ) f ( ) d (C.4) Ode f() é a fução desidade de probabilidade ver Eq. (C.8). Noe que a esperaça é a média esperada de uma disribuição de frequêcia. A fução de variâcia de um processo esocásico é: E( ) (C.5) E a fução de covariâcia ere duas variáveis aleaórias e é:, ) E( )( ) (C.6) ( Assim, por aalogia, a fução de correlação fica defiida como: (, ) (, ) (C.7) AUTOCOVARIÂNCIA, AUTOCORRELAÇÃO a) Auocovariâcia A auocovariâcia represea a covariâcia da variável aleaória com ela mesma defasada de passos, ode as séries emporais são omadas do mesmo processo esocásico. Em um processo esriamee esacioário, a fução de disribuição é a mesma para odo, porao µµ é uma cosae, desde que E()< e a variâcia para odo sea ambém uma cosae. Assim, defie-se a auocovariâcia como: ( )( E( ) Cov (, ) E + + ( + + (C.8) Noe que, por defiição, é a própria variâcia. Observe ambém que, de acordo com defiição em (C.8), as variâcias ão codicioais de + e + são idêicas.

5 Apêdice C 5 b) Auocorrelação A auocorrelação é defiida por: Var ( ) Var( + ) (C.9) Ode Var()Var(+). c) Fução de auocovariâcia e fução de auocorrelação (FAC) Uma vez que e são fuções de (defasagem), e são chamados de fução de auovariâcia e de auocorrelação, respecivamee. Esses coceios são imporaes a deermiação do melhor modelo para represear uma série emporal específica. EXEMPLO C. Supoha + um processo esocásico com i.i.d. (, ). Deermie a fução de auocovariâcia e a fução de auocorrelação. Solução De acordo com a Eq. (C.8) em-se que: ( ) E ( +,,,, (C.3) Noe que o ruído é i.i.d. (idêica e idepedeemee disribuído), porao, de acordo com a Eq. (C.), quado resula que: E ( ) E( ) E( ) (C.3) + + d) Fução de auocorrelação parcial (FACP) Além da auocorrelação ere e +, pode-se ivesigar a correlação ere e + após remoção da depedêcia liear desas variáveis com as variáveis ierveiees +, +,,+-. Mais exaamee, podem-se ivesigar os erros desas variáveis obidas de suas melhores esimaivas por méodo de regressão liear. Cosidere {} um processo esacioário e, sem perda de geeralidades, assuma que E(). Cosidere a expressão a seguir o melhor esimador de +: ˆ (C.3) Ode i ( i ) são os coeficiees obidos por méodo de regressão miimizado a esperaça do quadrado dos resíduos, ou sea: ˆ E ( + + ) (C.33)

6 Apêdice C 6 De forma similar, cosidere a seguie expressão o melhor esimador de, ou sea: ˆ (C.34) Ode i ( i ) são os coeficiees obidos por méodo de regressão miimizado a esperaça do quadrado dos resíduos: ˆ E( ) (C.35) Assim, a fução de auocorrelação parcial ere e + é defiida como a correlação ordiária ere ( Ẑ ) e (+ ˆ + ), ou sea: Cov[( ˆ ˆ ), ( + + )] (C.36) Var( ˆ ) Var( ˆ ) Uilizado as propriedades da esperaça e da variâcia, pode-se chegar ao seguie méodo geral: + 3,, 33 (C.37) + Ou de forma geérica: (C.38) Ode é a fução de auocorrelação ere e +. e) Média amosral Quado se em apeas uma realização de um processo esacioário, o esimador aural da média E() é defiido por: i Ode é a média emporal de observações. Noe que: (C.39)

7 Apêdice C 7 E( ) E( ) (C.4) De ode se coclui que é o esimador ão eviesado de. i f) Fução de auocovariâcia amosral De forma similar, quado se em apeas uma realização, o esimador da auocovariâcia é: ˆ ( )( + ), ou ˆ ( )( + ) (C.4) que: Ambos os esimadores da Eq. (C.4) são ão eviesados e pode-se demosrar facilmee ( ˆ ) Var( ) ˆ E( ) Var( ) e E (C.4) g) Fução de auocorrelação amosral (FAC) Para uma dada realização de uma série emporal, a fução de auocorrelação amosral é defiida como: ( )( + ) ˆ ˆ,,,, (C.43) ˆ ( ) EXEMPLO C. Cosidere os dez valores de uma série emporal coforme Tabela C.: Tabela C. Amosras de uma série emporal ( observações) Solução Noe que a média é e, porao:

8 Apêdice C 8 ˆ ˆ ˆ 3 (3 )(8 ) + (8 )(5 ) + + (7 )(4 ) + (4 )( ) 7,8 (3 ) + (8 ) + (4 ) + ( ) 44 (3 )(5 ) + (8 )(4 ) + + ( )(4 ) + (7 )( ), 44 (3 )(4 ) + (8 )(4 ) + + ( )(4 ) + ( )( ),8 44 (C.44) De modo geral, ˆ ˆ, ou sea, a fução de auocorrelação amosral é simérica em relação à origem. Podem-se uilizar os dados obidos e moar um gráfico da fução de auocorrelação cora a defasagem. Ver Figura C.. Figura C. Fução de auocorrelação amosral FAC h) Fução de auocorrelação parcial amosral (FACP) A fução de auocorrelação parcial amosral ˆ é obida subsiuido i por ˆ i a Eq. (C.38). No eao, em vez de apreseá-la em forma de deermiaes, é melhor uilizar a forma recursiva a seguir: ˆ + ˆ ˆ ˆ + + ˆ ˆ ˆ ˆ, + e,,, +, +, +, + ˆ ˆ (C.45) EXEMPLO C.3 Usado os dados do exemplo aerior, deermie ˆ, ˆ ˆ, e, 33 ˆ. Solução Parido das Eqs. (C.37) e (C.38) em-se que:

9 Apêdice C 9 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,88 ˆ, (,88) (,88) ˆ A parir da Eq. (C.45), em-se que: ˆ (,88) (,45)(,88),34 ˆ ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ ˆ ˆ,88,97 3,3 ˆ,97 (C.46) (C.47) ESTACIONARIDADE, ERGOCIDADE E RUÍDO BRANCO a) Esacioaridade Por defiição, se o processo esocásico em esperaça e auocovariâcia idepedees do empo, eão se raa de uma série fracamee esacioária. Para ao é ecessário que se observe as seguies codições: E( ) E E( ), para odo {,,,, } ( )( + ) (C.48) A primeira codição assegura que o segudo momeo ão cerado é fiio (podedo ser diferee para diferees períodos). A seguda codição exige igualdade ere as médias (as disribuições podem sofrer alerações com o empo). A erceira codição é que a variâcia sea igual para odo o período e idepedeemee do empo. b) Ergocidade Para esimar uma série emporal é ecessário aeder à propriedade de ergocidade, além da esacioaridade. Supoha que uma realização (,.) é uma realização de um processo esocásico. A média emporal é defiida por: ( ) ( ) (C.49) () () Se covergir para E( ), eão exise ergocidade. Como as médias são odas iguais para diferees iervalos de empo, basa uma realização para se er a média. O que se preede é que a esperaça de cada observação sea igual (esacioaridade) e se possa esimar essa esperaça omado-se a média emporal das observações (ergocidade). Pode-se provar que, se a soma das covariâcias for fiia, é ergódico para o primeiro momeo.

10 Apêdice C c) Ruído braco Uma sequêcia de realizações {} é um ruído braco se a média for zero em cada realização e se a variâcia for cosae e ão for correlacioada a qualquer oura realização da própria série. Se uma sequêcia de realizações { aede às codições em (C.5): } E( ) E( E( ) Eão o processo { é um ruído braco. } para odo ), para odo MODELOS DE SÉRIES TEMPORAIS ESTACIONÁRIAS (C.5) A seguir, são idicados os processos esocásicos, com suas respecivas fuções de auocovariâcia e auocorrelação, mais uilizados o raameo de variáveis que ieressam aos modelos de previsão de demada de eergia. Esses processos são ambém largamee uilizados em ouras áreas de pesquisa, sobreudo em ecoomeria e fiaças. George Box e Gwilym Jeis (976) desevolveram uma meodologia de raameo de séries emporais esacioárias e popularizaram uma família de modelos deomiada ARIMA (auoregressive iegraed movig average). a) Processo auorregressivo AR(p) Para eeder esa meodologia de George Box e Gwilym Jeis (97), é coveiee iiciar com a defiição do que sea uma série emporal auorregressiva AR(p), que é deermiada por: p p (C.5) p + Ode é a observação da série o empo ; p é o parâmero de ordem p do modelo; é um úmero real e é o resíduo ou erro (ruído braco ). Oura forma de apresear uma série emporal AR(p) é: p p p + + (C.5) Ode. É comum ambém usar operadores que defasam as variáveis o empo para represeação de séries emporais de modo mais compaco. Por exemplo, pode-se reescrever a Eq. (C.5) com operadores, assim em-se que: + B + B + + p B p + (C.53) Ode B e B(B)B. De maeira geral, B p p. Assim, a Eq. (C.53) pode ser resumida para: Uma sequêcia é um ruído braco se a média (por coveiêcia) for zero e a variâcia cosae e ão correlacioada a qualquer oura simulação da própria série.

11 Apêdice C ( B) + (C.54) p Ode p(b) B B pb p. Assim, um processo auorregressivo de primeira ordem AR() é dado por: ( B), ou + (C.55) A fução de auocovariâcia de um modelo AR() é obida coforme a seguir: E ) E( ) + E( ) E( ) + ( (C.56) Ou sea:, (C.57) A fução de auocorrelação se resume a: (C.58) Adoado. Nesse modelo, quado o módulo de < e se o processo é esacioário, a fução de auocorrelação decai expoecialmee de duas formas: se <<, o valor da fução decai e é sempre posiiva; e se <<, a auocorrelação ambém decai, iiciado com valor egaivo e rocado de sial a cada passo. Já a fução de auocorrelação parcial (FACP) é:,, O processo auorregressivo de seguda ordem AR() é defiido como: ) (C.59) + +, ou ( B B (C.6) As fuções de auocovariâcia, auocorrelação (FAC) e auocorrelação parcial (FACP) para o processo AR() são, respecivamee: +,,,,, 3 +, (C.6) EXEMPLO C.4 Simule 5 valores a parir de um processo esocásico AR(), coforme modelo idicado a Eq. (C.6) a seguir, e elabore dois gráficos idicado os valores das fuções de auocorrelação amosral (FAC) e auocorrelação parcial amosral (FACP) para passos de defasagem. ( B )( ), com,9 (C.6)

12 Apêdice C Solução O modelo descrio a Eq. (C.6) pode ser reescrio como: +, ode (C.63) Noe que, de acordo com a Eq. (C.58), a forma de decaimeo da FAC depede do valor de, coforme comeado. Para cada simulação realizada, há um resulado diferee para os valores da fução de auocorrelação (FAC). Figura C. Modelo AR() O modelo AR() pode ser úil para represear diversas séries emporais de variáveis ecoômicas ou variáveis de ieresse as aálises de produção e preço de eergia. Por exemplo, a iflação medida pelo IPCA ere aeiro de 995 e dezembro de 9 segue um modelo AR() em que,55. Vea a Figura C.3 o ídice mesal de iflação (IPCA) durae o período de 995 a 9 e uma simulação AR(), ode -+ (ode -,7% em aeiro de 995). Figura C.3 Iflação mesal IPCA a. 995 a dez. 9 Foe: IBGE

13 Apêdice C 3 b) Processo de médias móveis MA(q) O processo geral AR(p) é defiido como: (C.64) q q ou q ( B) Ode q(b)( B B qb q ). Assim, o processo de médias móveis de primeira ordem MA() fica reduzido a: B) (C.65) ( As fuções de auocovariâcia, auocorrelação (FAC) e auocorrelação parcial (FACP) para o processo MA() são, respecivamee: ( + ),,,, + (C.66),, E: ( ), ( + ) (C.67) O processo de médias móveis de seguda ordem MA() é defiido como: ( B B ) (C.68) As fuções de auocovariâcia, auocorrelação (FAC) e auocorrelação parcial (FACP) para o processo MA() são, respecivamee: E: ( ), ( + + ) + +, ( ),,, (C.69) + +,,,,,, (C.7) 3 ( ), 3 ( )

14 Apêdice C 4 c) Processo auorregressivo de médias móveis ARMA(p,q) Uma exesão aural é a composição de um processo puro AR(p) com ouro MA(q), formado, assim, um processo esocásico ARMA(p,q). O processo geral ARMA(p,q) é defiido como: ( B) ( B) (C.7) p Ode p(b) B B pb p e q(b)( B B qb q ). Assim, o processo ARMA(,) fica reduzido a: q B) ( B) (C.7) ( As fuções de auocovariâcia, auocorrelação (FAC) e auocorrelação parcial (FACP) para o processo ARMA() são, respecivamee: ( + ), ( ), ( )( ) ( )( ),,, (C.73) ( ) +,, A fução de auocorrelação do processo ARMA(,) e demais, além de complicada ão é ecessária. MODELOS DE SÉRIES TEMPORAIS NÃO ESTACIONÁRIAS Muias variáveis ecoômicas são séries emporais ão esacioárias, paricularmee aquelas relacioadas ao crescimeo das aividades produivas. Em geral, a média e a variâcia das séries emporais ão esacioárias ão são cosaes e depedem do empo. Por exemplo, o PIB do Brasil ere os aos de 95 e forma uma série emporal ão esacioária, o eao, possivelmee a axa de crescimeo o PIB pode ser uma série esacioária. De um modo geral, algumas séries ão esacioárias homogêeas oram-se esacioárias após algus filros ou derivações. a) Filros os processos esocásicos É comum realizar algumas rasformações em séries emporais. A essas rasformações dáse o ome de filragem. A meodologia de Box e Jeis (97) é para séries emporais esacioárias, o eao, se uma em especial ão for esacioária, ela deve eão ser difereciada aé que se ore, para que se aplique a meodologia. A difereciação é um ipo de filro. Se uma variável ão é esacioária, pode-se defiir uma ova variável que correspode à primeira difereça. Se a esacioaridade ão for aigida com a primeira difereciação, fazem-se ovas operações sucessivas aé ober a esacioaridade. Assim, defie-se a primeira difereciação da variável com a seguie oação: A seguda difereciação seria: ( B) (C.74)

15 Apêdice C 5 ( ) ( ) + (C.75) Ou: d d ( B) ( B + B ) ( B) (C.76) Com isso, pode-se defiir adequadamee um modelo ARIMA. b) Iveribilidade Oura forma úil para descrever um processo esocásico auorregressivo AR é regredir o valor de com suas variáveis passadas somadas a um ruído braco (choque), ou sea: (C.77) Ou: ( B) (C.78) Ode: ( B ) B, com + (C.79) De acordo com Box e Jeis (976), um processo é iverível se for possível reescrevê-lo a forma da Eq. (C.77), coforme codição esabelecida a Eq.(C.79). Noe que, para um processo liear (B) ser iverível é ecessário reescrevê-lo a forma de um processo AR. Isso se faz subsiuido a Eq. (C.78), ou sea: ( B) ( B) (C.8) Porao: ( B) ( B) ( B) ( B) ( B) (C.8) A codição de iveribilidade garae que os pesos dos valores passados (π) podem ser obidos a parir dos pesos dos choques passados, o ruído braco (whie oise). Além da esacioaridade, essa codição garae que os pesos π decaem à medida que a série é deslocada para rás. Mais exaamee, os maiores pesos devem ser aribuídos às observações mais recees. Porao, coforme argumea Box e Jeis (976), se um processo é ão iverível, a previsão por meio dele ão faz seido. c) Processo ARIMA (p,d,q) Se ora-se esacioária após d difereciações e se a série resulae for um modelo ARMA(p,q), eão diz-se que é uma variável descria por um modelo ARIMA(p,d,q). Mais exaamee, fazedo-se d difereciações sobre a variável resula um modelo ARMA (p,q) semelhae ao modelo apreseado a Eq. (C.7). Ou sea, um modelo ARIMA(p,d,q) é defiido como:

16 Apêdice C 6 + ( B) d p ( B)( B) q (C.8) Ode o parâmero assume fuções disias depededo do grau de difereciação d. Quado d, o processo origial é esacioário e represea a média do processo, ou sea: ( p). Se d, é chamado de ermo de edêcia deermiísica. Um modelo ARIMA(p,d,q) refere-se, respecivamee, às ordes de auorregressão, iegração e média móvel. d) Processo SAR(p), SMA(q), SARMA(p,q) e SARIMA(p,d,q) Exisem variáveis que apreseam comporameo oscilaório recorree e com periodicidade homogêea que podem ser represeadas por séries emporais. Essas séries são dias sazoais. A difereciação sazoal é ada mais do que a difereciação com defasagem de um período maior que uiário, um período s, por exemplo. Assim, em-se que a d-ésima difereciação sazoal s é defiida como: ) d s d ( Bs s (C.83) Ode Bs p -ps. Um modelo esocásico auorregressivo é dio sazoal de ordem p, SAR(p), quado seus valores são regredidos de seus valores aeriores defasados de s ou múliplos de s. Assim, em-se que: s s p ps s (C.84) p + De forma similar, um modelo SMA(q) é dio de médias móveis sazoal de ordem q, quado represeado por: + q s s q qs + s, (C.85) Por aalogia, um modelo SARMA(p,q) ada mais é do que uma combiação de dois ermos, um SAR(p) e um SMA(q), de modo que: Auorregressivo p + i is + i Média móvel q s, (C.86) Do mesmo modo, se a d-ésima difereciação de uma série reproduz uma série esacioária do ipo SARMA(p,q), diz-se que esa série é iegrada com ordem d, ou sea, um modelo SARIMA(p,d,q). PREVISÃO (ESTIMATIVAS FUTURAS) Como á mecioado, as fuções FAC e FACP são imporaes a deermiação do melhor modelo para represear uma série emporal específica. Para esse iem, cosidere um modelo geral ARIMA (p,d,q): d p B)( B) q ( B) ( (C.87) Ode p(b)( B B pb) e p(b)( B B qb) e o N(, ). O parâmero foi omiido, sem perda de geeralidades, por quesão de simplificação.

17 Apêdice C 7 a) Esimaiva do erro em previsões com base um modelo ARMA Para deermiar o erro de dados previsos pelo méodo dos míimos quadrados para um modelo ARMA, deve-se iicialmee assumir um caso ode d e µ, ou sea: ( B) ( B) (C.88) Uma vez que o modelo é esacioário, pode-se represeá-lo a parir de um processo de médias móveis, ou sea: Ode: ( B) ( B) + + +, com ( B) (C.89) ( B ) B (C.9) Para +l, em-se que: + + l (C.9) Supoha agora que se coheçam as observações aé e sea ecessário esimar l-passo a free, ou sea, o valor de +l como uma combiação liear das observações cohecidas,, -, -,, uma vez que pode ser escrio coforme Eq. (C.89). Assim, coforme oação, o valor esimado ˆ ( l) de +l é escrio como: ˆ ( l ) * l + * * * l+ + l+ + l+ (C.9) Ode os coeficiees podem ser deermiados. Pode-se demosrar facilmee que o erro é miimizado quado: * l + l+ (C.93) Mais exaamee, a melhor esimaiva da variável l-passo a free é dada pela esperaça codicioada ao couo de dados dispoíveis, ou sea: Cuo erro: e ( l) ˆ ( l) (,,,) E + l l + (C.94) ˆ ˆ + l ( l) + l ( l) l e ( l) (C.95) Com isso, pode-se esimar a variável para qualquer passo além dos dados dispoíveis. Em um processo ormal, caso se desee esabelecer os desvios, limiado a variável para uma faixa de ( )% de possíveis resulados, calcula-se com a expressão a seguir:

18 Apêdice C 8 ˆ ( l) N + / l / (C.96) Ode N/ é o desvio padrão ormal al que P(N>N/)/. b) Esimaiva do erro em previsões com base um modelo ARIMA Parido do modelo geral, Eq. (C.87), pode-se reescrevê-lo para prever +l coforme processo AR, uma vez que o processo ARIMA é iverível. Ou sea: Ode: ) ( (C.97) B + l + l ( B) B ( B)( B) ( ) B d (C.98) Ou, de forma equivalee: + l + l + + l (C.99) Pode-se demosrar 3 que: e ( l) l + ˆ l ( l) + l (C.) Ode, esse caso: i i, com,, l. (C.) Noe que a Eq. (C.) é idêica à Eq. (C.95). Assim, a esimaiva para um processo esocásico ARIMA é descria com uma média poderada das esimaivas prévias. Ou sea: ˆ ( ) l ˆ ( l ), com l (C.) Pode-se perceber para, por processo recursivo, que a esimaiva acaba sedo expressa como a soma poderada dos valores correes. Por exemplo: ˆ () (C.3) E: ˆ () ˆ () () + (C.4) 3 Cosular demosração em Wei (6).

19 Apêdice C 9 Ode: () + + (C.5) Porao, de maeira geral: ˆ () ( l) + (C.6) Ode: l ( l) ( l i) () + + l para l, e i, (C.7) IDENTIFICAÇÃO DE MODELOS Em aálise de séries emporais, um dos passos mais imporae é a deermiação do modelo que represee a série emporal dispoível. Para ao, é ecessário cohecer com propriedade as fuções FAC e FACP, que, a práica, são descohecidas. Noe que as equações dessas fuções ciadas aé aqui só foram possíveis com o cohecimeo a priori do modelo. Os padrões de comporameo das fuções FAC e FACP podem idicar os modelos geradores do processo esocásico que os defiem. Por exemplo, sabe-se que a fução de auocorrelação do processo MA() apresea um decaimeo expoecial para a FAC e um rucameo cu off após o passo p para a fução de auocorrelação parcial. Porao, a represeação dessas fuções cosruída com base em uma realização idica que a realização sea possivelmee gerada por um processo esocásico MA(). Tabela C. Caracerísicas das fuções FAC E FACP Processo FAC FACP AR(p) Declíio expoecial ou oda amorecida Trucameo após o passo p MA(q) Trucameo após o passo p Declíio expoecial ou oda amorecida ARMA(p,q) Declíio expoecial Declíio expoecial Figura C.4 Padrões das fuções FAC E FACP para os processos AR(), MA() E ARMA(,)

20 Apêdice C A Tabela C. idica as caracerísicas eóricas gerais das fuções FAC e FACP para os processos AR(p), MA(q) e ARMA(p,q) e a Figura C.4 exemplifica os padrões para os casos específicos AR(), MA() e ARMA(,). PROCESSOS ESTOCÁSTICOS DE WIENER Uma classe de processo ão esacioário esocásico é chamada de processo de Wieer, ambém cohecida como movimeo browiao. É um processo esocásico de empo coíuo com rês propriedades imporaes: É um processo de Marov o que implica dizer que o valor corree em iformação suficiee para a melhor previsão do valor fuuro; O icremeo é idepedee isso sigifica que as disribuições de probabilidade das alerações da variável em qualquer iervalo de empo são idepedees; As mudaças o processo em qualquer iervalo fiio de empo são ormalmee disribuídas, com variâcia crescedo liearmee com o empo. Essa classe de processo é basae difudida a previsão de variáveis ecoômicas e pode ser uilizada em modelos de demada de eergia agregada com modelos de ecoomeria. Todos os processos de passeio aleaório, ao de esado coíuo como discreo, com ou sem deriva, saisfazem à propriedade de um processo de Marov e são chamados, cosequeemee, de processos Maroviaos. a) Passeio aleaório O passeio aleaório é um caso paricular do modelo ARIMA(p,d,q). Se p, d e q, a Eq. (C.8) se reduz a: ( B) + (C.8) Noe que o passeio aleaório é um caso paricular, ambém, do modelo AR() quado ver Eq. (C.55). b) Movimeo browiao com drif O processo mais simples de Wieer é o movimeo browiao com deriva, ou sea, drif: d d + dz (C.9) Ode dz é o icremeo de Wieer. Na Eq. (C.9), é chamado de parâmero do drif, e é o parâmero da variâcia. Noe que para qualquer iervalo, a variação de x, deoado por x, é ormalmee disribuída, com valor esperado E(x) e variâcia Var(x). A Figura C.5 mosra quaro simulações da Eq. (C.9) com deriva, por ao e desvio padrão por ao. Realizado uma proeção de 5 aos (por exemplo, de 95 aé ) com x() e omado amosras mesais, a raeória para a variável x() resula a seguie equação: (C.)

21 Apêdice C f Figura C.5 Exemplo de MB com edêcia (período 95 -, amosragem mesal) A Figura C.6 mosra a melhor esimaiva de um processo esocásico do ipo MB com drif. Uilizado-se da Eq. (C.) para represear as primeiras 88 amosras (4 aos de meses), cosroem-se curvas de previsão para as demais amosras (6 883). Por se raar de um processo de Marov, é ecessária apeas a úlima iformação (dez/974) para se cosruir uma curva de previsão. A previsão dos valores de x para um empo T é dada pela seguie equação: ˆ x T x. 667T (C.) O gráfico idica uma curva ipo MAB com rês ouras curvas de iervalos de cofiaça, ou sea, as raeórias dos valores previsos para x() são obidas com valor idicado a Eq. (C.) adicioado ou subraído de um, dois ou rês desvios-padrão. Figura C.6 Melhor esimaiva para um MB com drif (iervalo de cofiaça: 68,4%, 95,5% e 99,7%)

22 Apêdice C A variâcia do processo de Wieer cresce liearmee com o empo e o desvio padrão com a raiz quadrada do empo. Porao, para uma raeória com iervalo de cofiaça de 68,4% (um desvio-padrão) a previsão de T meses é: x +,667T, 887 T (C.) 974 c) Movimeo browiao geeralizado Processos de Iô O processo de Wieer serve para represear uma gama vasa de processos aleaórios. Os processos idicados aqui são casos especiais do movimeo Browiao geeralizado com drif, cua equação é: dx a( x, ) d + b( x, ) dz (C.3) Ode dz, ovamee, é o icremeo do processo de Wieer e a(x,) e b(x,) são fuções ão aleaórias cohecidas. Noe que o drif e o coeficiee da variâcia são fuções do empo. O processo coíuo defiido a Eq. (C.3) é chamado de processo de Iô. Cosidere a média e a variâcia desse processo. Uma vez que E(dz), E(dx)a(x,)d, a variâcia de dx é igual a E[dx ] (E[dx] ), o qual coém ermos d, (d) e ermos em (d)(dz) com ordem (d) 3/. Para um d ifiiesimal, os ermos em (d) e (d) 3/ podem ser igorados e a variâcia resula em: Var[ dx ] b ( x, ) d (C.4) O ermo a(x,) refere-se à axa isaâea esperada do processo de Iô e o ermo b (x,) como a axa de variâcia isaâea. d) Movimeo Browiao geomérico Um caso especial da Eq. (C.3) é o movimeo geomérico Browiao com deriva, drif, em que a(x,)x e b(x,), ode e são cosaes. Nesse caso, a Eq. (C.3) se ora: dx xd + xdz (C.5) Coforme á discuido, o perceual de variação de x, x/x, é ormalmee disribuído. Já as variações expressas em logarimo aural de x, variações absoluas de x e x êm disribuição logormal. A relação ere x e seu logarimo em dealhes mais complicados esse coceio. Nesa seção é mosrado que se x() é dado pela Eq. (C.5), eão F(x)logx é um movimeo Browiao simples com drif: df d + dz (C.6) Porao, sobre um iervalo fiio de empo, as variações de x em ermos de logarimo são ormalmee disribuídas com média e variâcia, respecivamee:, (C.7) Para a variável x() em si, pode ser demosrado que se o valor corree é x()x, eão o valor esperado de x() é dado por:

23 Apêdice C 3 E [ x( x e (C.8) )] E a variâcia x() é dada por: Var [ x( )] xe ( e ) (C.9) O resulado da esperaça do MGB pode ser usado para o cálculo do valor presee esperado descoado sobre um período de empo. Por exemplo, oe que: E r ( ) ( ) r x e d x e d x /( r ) (C.) forece a axa de descoo r que excede a axa de crescimeo. Esse procedimeo será usado quado for ecessário calcular o valor presee descoado de um fluxo de caixa de redimeos que segue um movimeo geomérico Browiao. O MGB é frequeemee usado para modelar preços de aivos fiaceiros, axas de araividade ou de uros, salários, preço de produos e ouras variáveis ecoômicas e fiaceiras. A Figura C.7 mosra rês simulações da Eq. (C.5) cosiderado um drif,9 (9% ao ao) e, (% ao ao). Os valores adoados referem-se à axa de crescimeo aual esperada e ao desvio padrão do ídice da bolsa NYMEX, respecivamee. Nesse exemplo, o empo refere-se ao período ere 95 e, omado amosras mesais. Assim, em-se a seguie equação para represear a variável aleaória x(): x,75x +, 577x (C.) Com x95. Noe que 9% a.a. equivale a,75% a.m. (/ de 9%) e, de desvio padrão ao ao equivale a,3, ou sea, raiz quadrada de,/ e é omado de uma disribuição ormal com média zero e desvio padrão uiário. Assim, o valor,577 represea α/. Figura C.7 Exemplos de MGB (período 95 -, amosragem mesal)

24 Apêdice C 4 Na Figura C.8 esão idicadas a liha de edêcia média e as lihas de previsões com iervalo de cofiaça de 66% (dados amosrados a parir de 97 3 amosras mesais), sedo que as curvas superior e iferior foram feias a parir de 974 (48 amosras iiciais). Como o MGB segue um processo de Marov, apeas o valor x() de dezembro de 974 é ecessário para cosruir as curvas de previsão. A liha de edêcia média é dada por: xˆ T T (.75 ) x 974 (C.) Ode T é dado em meses e as curvas limies do iervalo de cofiaça seguem as equações idicadas em (C.3). T T T (.75) (.577) x x T 974, e (.75) (.577) 974 (C.3) Figura C.8 Melhor esimaiva para um MGB (iervalo de cofiaça de 66%, período de 97 a 995, amosragem mesal) e) Processo esocásico com reversão à média A edêcia do MB é afasar-se do poo iicial. De fao, isso é compaível com algumas variáveis ecoômicas por exemplo, com preços de aivos especulaivos mas ão com ouras. Cosidere por exemplo, o preço de uma lisa de commodiies al como o aço e o peróleo. Embora se possam modelar esses preços com MB, pode-se argumear que ais preços esão relacioados o logo prazo ao cuso margial de produção. Em ouras palavras, embora o preço do óleo, por exemplo, possa sofrer alas e quedas o mercado ieracioal 4, o logo prazo o preço dessa commodiy ede ao seu cuso margial. Essa codição leva ao modelo esocásico com reversão à 4 Por exemplo, o preço do óleo pode fluuar em fução de guerras e/ou revoluções evolvedo países produores de peróleo ou mesmo devido a deermiações dos países da OPEP (Orgaização dos Países Exporadores de Peróleo). Apesar dessa modelagem ser uilizada para essa commodiy, é imporae observar que os preços margiais em cada país produor diferem subsacialmee da coação ieracioal, uma vez que os cusos de exploração são diversificados em fução das codições geológicas de cada azida.

25 Apêdice C 5 média. O mais simples modelo de processo esocásico de reversão à média ambém cohecido como processo de Orsei-Uhlebec segue a Eq. (C.4): dx ( x x) d + d (C.4) Ode é a velocidade da reversão e x é o ível ormal da variável x, iso é, o ível para o qual x ede a reverer. Se a variável x represea o preço de uma commodiy, eão x pode ser o seu cuso margial de logo prazo. Noe que a variação esperada de x depede da difereça ere x e x. Se x é maior (ou meor) que x, é mais provável que o preço caia (ou suba) o próximo iervalo de empo. Porao, embora esse processo saisfaça a propriedade de um processo de Marov, os icremeos ão são idepedees. Se o valor corree x() é x e a variável x segue o processo da Eq. (C.4), eão o valor esperado em qualquer empo é: E a variâcia de ( x x) é: E x( )] x + ( x x) e [ (C.5) Var[ x x] ( e ) (C.6) Noe que o valor esperado de x coverge para x à medida que o empo cresce e a variâcia coverge para /. Se, Var[x], o que implica que a variável x uca se desvia do valor x, mesmo que momeaeamee, e se, Var[x ] /, ou sea, compora-se como um processo de movimeo Browiao simples. A Eq. (C.4) é uma versão de um processo auorregressivo de primeira ordem de empo discreo, AR(). Especificamee, a Eq. (C.4) é o caso limie quao do seguie processo AR(): x x x e ) + ( e ) x ( + (C.7) Ode é disribuído ormalmee com média zero e desvio padrão, e: ( e ) (C.8) O parâmero da Eq. (C.4) pode ser esimado usado dados de empo discreo dispoíveis a seguie regressão: x x a + bx E a parir da equação x a / b, ˆ log( + b ˆ ), e: + (C.9) ˆ ˆ Ode ˆ é o erro padrão da regressão. log( + bˆ) ( + bˆ) (C.3) É fácil geeralizar a Eq. (C.4). Por exemplo, se pode esperar que x() covira para x coforme Eq. (C.4), mas a axa de variâcia cresce com x. Eão, pode-se usar o seguie processo:

26 Apêdice C 6 dx ( x x) d + xd (C.3) Aleraivamee, modificações proporcioais a variável podem ser modeladas como um simples processo de reversão à média. Isso equivale a descrever x() com o seguie processo: dx x( x x) d + xd (C.3) Os diferees processos de reversão à média êm implicações as decisões de ivesimeo. A seguie quesão pode ser levaada: os preços das commodiies e ouros bes são modelados adequadamee como um processo de MB ou por um processo de reversão à média? Observado dados dos preços de peróleo de um logo empo ( aos, por exemplo), é fácil sugerir que esses preços seguem um processo de reversão à média com baixa axa de velocidade. Uilizado eses de raiz uiários (ao ivés do ese ) com aos de dados, é fácil reeiar a hipóese de passeio aleaório. No eao, para dados de 3 ou 4 aos, o ese de reeição falha. Esse parece ser o caso de muias ouras variáveis ecoômicas, pois, usado poucos dados, é difícil disiguir esaisicamee os processos ere passeio aleaório e processo de reversão à média. LEMA DE ITÔ O processo idicado a Eq. (C.3) é de empo coíuo e ão difereciável. No eao, em muias siuações se desea rabalhar com fuções de processo esocásico com suas derivadas. Por exemplo, quado se desea ober o valor da opção de ivesimeo de uma plaaforma como fução do preço do óleo quado esa fução é represeada por um processo esocásico ipo MGB. Para isso, haverá a ecessidade de difereciar e/ou iegrar fuções gerais do processo de Iô. Isso é feio uilizado-se do Lema de Iô. O Lema de Iô é represeado facilmee por uma série de expasão de Taylor. Supoha que x() segue o processo idicado a Eq. (C.3) e que uma fução F(x,) sea duas vezes difereciável em relação a x e uma em relação a. A regra do cálculo elemear defie a diferecial de primeira ordem de F como: F F df dx+ d (C.33) x Icluido difereciais de ordem superior em relação à x, resula que: 3 F F F F df dx+ d + ( dx) + ( dx) 3 x x 6 x 3 + (C.34) Os ermos de ordem superior (erceira, quara ec) podem ser desprezados. Assim, o Lema de Iô fica defiido pela seguie equação: df F F x F x d + dx+ ( dx) (C.35) Subsiuido dx da equação que defie o processo de Iô Eq. (C.3), resula em: F F F F df + a( x, ) + b ( x, ) d + b x dz x x (, ) x (C.36) Pode-se facilmee eseder a expasão da série de Taylor para fuções de vários processos de Iô. Por exemplo, supodo que FF(x,x,,xm,) sea uma fução emporal de m processos de Iô x,x,,xm, ode:

27 Apêdice C 7 dxi ai ( x, x,, xm, ) d + bi ( x, x,, xm, ) dzi, i,,, m (C.37) Com E(dzi,dz)id. Eão, aplicado-se o Lema de Iô, resula a seguie diferecial df: F df d + m F dx + i i xi i xi Assim, subsiuido dxi da Eq. (C.37), resula: m m F x dx dx i (C.38) m m F F df + ai ( x, x,, xm, ) + bi ( x, x i xi i m i b ( x i i,, xm, ) F m, x,, xm, ) d + bi ( x, x,, xm, ) xix i F x F dzi x i I (C.39) EXEMPLO C.5 Cosidere a fução F(x)x β, ode x segue um comporameo ipo MGB de acordo com a Eq. (C.5). Idique como calcular a esperaça do valor presee descoado de uma axa r defiida por: E F( x( )) e r (C.4) Solução O Lema de Iô pode ser aplicado a fução F, resulado em: df x Simplificado, chega-se a: xd + xdz+ ( ) x x d df + ( ) Fd + Fdx (C.4) (C.4) Noe que a Eq. (C.4) idica que F segue um MGB. Assim, pode-se usar a Eq. (C.) para dedução do valor esperado, ou sea: df xo r ( ) (C.43) Desde que o deomiador sea posiivo. Para ouros procedimeos de séries emporais, icluido séries emporais mulivariadas, o leior pode cosular Mogomery e Johso (976) e Morei e Toloi (985). Nessas referêcias podem-se cosular os passos da meodologia de Box e Jeis (976) e os eses esaísicos dos parâmeros esimados e os resíduos.

28 Apêdice C 8 REFERÊNCIAS E LEITURAS SUGERIDAS Box, G. E. P., ad G. M. Jeis Time Series Aalysis, Forecasig, ad Corol. Sa Fracisco: Holde-Day, Ic. BUENO, R. L. S.. Ecoomeria de Séries Temporais. d ed. São Paulo: Ediora Cegage Learig. Mogomery, C.D., ad L.A. Johso Forecasig ad Time Series Aalysis. New Yor: McGraw-Hill. Morei, P.A., ad C.M.C. Toloi Previsão de Séries Temporais. d ed. São Paulo: Aual Ediora. Wei, W. W. S. 6. Time Series Aalysis Uivariae ad Mulivariae Mehods. d ed. Boso: Pearso Educaio. (BUENO )