Grupo I ( 3 valores) 0 Os parâmetros podem ser considerados variáveis aleatórias pois as suas estimativas variam de amostra para amostra

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1 Exame fial Esaísica Maria Helea Almeida 7 de Maio de 003 José Aóio Piheiro Duração h e 30 Noe bem: Grupos diferees em folhas diferees Não se esqueça de ideificar TODAS as folhas 3 Para maer a ordem, a sereidade e a igualdade, ão se iram dúvidas de ierpreação AS NOTAS SÃO AFIADAS AMANHÃ DIA 8 DE MAIO ÀS 5 HORAS 5 OS ALUNOS INTERESSADOS PODEM VER OS TESTES AMANHÃ DIA 8 DE MAIO A PARTIR DAS 7 HORAS; TRATA-SE DE UMA SESSÃO ÚNICA Grupo I ( 3 valores) Comee jusificadamee as seguies afirmações (verdadeira, falsa, duvidosa,...). Dá-se um exemplo para mosrar o que se preede 0 Os parâmeros podem ser cosiderados variáveis aleaórias pois as suas esimaivas variam de amosra para amosra Resposa Os parâmeros são valores fixos caracerísicos de uma disribuição. NÃO são variáveis aleaórias por defiição e por coceio. As suas esimaivas sim, são valores de variáveis aleaórias e variam de amosra para amosra. Exemplo: o parâmero é esimado por que é uma variável aleaória; para cada amosra aleaória,, o valor de, x, é diferee mas o do parâmero, aida que descohecido ão muda! COMO VÊ NÃO TEM DE ESCREVER PÁGINAS Agora é a sério: Todas as probabilidades calculadas com base o Teorema Limie Ceral são aproximadas. Cosruir iervalos de cofiaça com um risco muio pequeo é bom pois a probabilidade de o iervalo ecorado coer o parâmero é grade. 3 Uma amosra aleaória uca leva a esimadores eviesados. Trabalhado com amosras aleaórias emos sempre a garaia de boas esimaivas. Grupo II ( valores) Seja a experiêcia aleaória assim defiida: laça-se um dado equilibrado aé que surjam rês pares seguidos ou rês ímpares seguidos. a) Qual o úmero míimo de laces que deve ser feio? b) Qual o cardial do espaço dos resulados? c) Escreva dois acoecimeos desa experiêcia aleaória. d) Calcule a probabilidade de a experiêcia apreseada ermiar o 5º lace Exame de Esaísica, Semesre de Primavera, 003, ª Época

2 Grupo III (5 Valores) Supoha duas cerais do Serviço Nacioal de Ambulâcias, a Ceral A e a Ceral B. As cerais são próximas uma da oura. O úmero de chamadas que a ceral A recebe por hora é uma variável de Poisso com valor médio 8. O úmero de chamadas que a ceral B recebe por hora é uma variável de Poisso Y com valor médio 6. Sempre que a ceral A recebe mais do que chamadas em 5 miuos, em de pedir ajuda à ceral B. Se o oal de chamadas diário para as duas cerais for superior a 600, os bombeiros pedirão uma audiêcia ao Miisro das Ambulâcias. a) Qual a probabilidade que a ceral A eha de pedir ajuda à ceral B um cero quaro de hora? b) Qual a probabilidade que, em duas horas, a ceral A peça ajuda à ceral B apeas em dois quaros de hora? c) Qual o úmero médio de chamadas recebidas pelas duas cerais por dia? d) Qual a probabilidade que os bombeiros peçam uma audiêcia ao Miisro das Ambulâcias? e) Um pedido de ajuda acabou de chegar à ceral A. Qual é a probabilidade que o pedido seguie chegue aes que passem 5 miuos? Grupo IV (5 Valores) Cosidere o seguie esaio de hipóeses uma população ormal ode 8. H 00 0 H aleraiva 00 Supoha que dispõe de uma amosra aleaória de dimesão 6. a) Qual a regra de decisão que deve adopar se fixar 5%? b) Supoha momeaeamee que o valor de 0 ; calcule o valor de associado à regra de decisão da alíea a); cosidera grave que al valor seja ão elevado? c) Supoha agora momeaeamee que o verdadeiro valor é 50 ; verifique que o valor de é praicamee ulo. Exame de Esaísica, Semesre de Primavera, 003, ª Época

3 d) Na siuação da alíea c) será possível ecorar uma regra de decisão que lhe garaa valores praicamee ulos de e de? Se sim, ecore uma e jusifique que de faco e são praicamee ulos; se ão, diga porquê. e) Regresse à siuação da alíea a); supoha que obeve x ; qual o p- value associado a ese valor? f) Supoha agora que, a mesma população ormal, é descohecida e a parir ' da mesma amosra de dimesão 6 obém a esimaiva s 5. Tese com % a hipóese ula de que 8. DOS SEGUINTES GRUPOS V FAÇA UM E APENAS UM Cosidere uma amosra aleaória Grupo V A (3 valores),, geradora de momeos de é M (). Demosre que de uma cera população. A fução M ( ) M ( ) Grupo V B (3 valores) Seja p a verdadeira proporção de apoiaes do Parido is. Sejam ˆp e ˆp dois esimadores de p assim defiidos: pˆ e 00 pˆ,sedo 0 respecivamee uma amosra aleaória de 00 e 0 eleiores. que ˆp. e o úmero de sis a) Demosre que, sedo ambos os esimadores cerados, ˆp é mais eficiee do 00 pˆ 0 ˆ b) Demosre que o esimador ˆ p p é aida cerado mas mais 0 eficiee do que qualquer dos ouros dois. 3 Exame de Esaísica, Semesre de Primavera, 003, ª Época

4 Exame fial Esaísica Maria Helea Almeida 7 de Maio de 003 José Aóio Piheiro Topicos de resolucao A frase é ambígua. Se a população origial for exacamee Normal, o resulado apreseado o TLC é exaco. Mas, essa alura, as propriedades da Normal chegavam para jusificar o resulado. Se se ivoca o Teorema Limie Ceral é porque ele é preciso e a disribuição origial ão é ormal. Nesse caso os cálculos de probabilidades calculados pelo TLC serão de faco aproximados, ao melhores quao mais simérica for a disribuição da variável. A frase esá duplamee errada: um valor de pequeo leva a iervalos mais largos e, porao, meos iformaivos; a probabilidade de ESSE iervalo ecorado coer o parâmero é zero ou um. O risco associado a um cero em de se avaliar idepedeemee de UM cero iervalo que eha sido ecorado. 3 Esa frase é ambém uma dupla armadilha. Cosideramos que rabalhamos sempre com amosras aleaórias pois o seu carácer é essecial à idução. Mas lá porque uma amosra é aleaória ão quer dizer que o esimador seja por exemplo cerado. Por mais aleaória que seja,,, o esimador de, i i será sempre muio mau!! Quao as esimaivas serem boas ou mas isso depede dos acasos amosrais! Muio se poderia escrever sobre iso! Grupo II ( valores) a) Três laces, auralmee b) O espaço dos resulados em cardial ifiio umerável; sedo S a ordem do laçameo em que a experiêcia pára, S 3,, c) As resposas são ambém ifiias!!! Exemplos: a experiêcia ermia ao décimo lace; a experiêcia ermia um lace par; a ordem de saída do erceiro par é iferior a 0 mas ereao regisaram-se pelo meos 0 impares.. d) A experiêcia pára o 5º lace os seguies casos: PIPPP, IIPPP, IPIII, PPIII Exame de Esaísica, Semesre de Primavera, 003, ª Época

5 Como cada saída é um acoecimeo idepedee, cada caso em a 5 probabilidade e o resulado pedido é. 5 8 Grupo III a) Se h Poisso ( 8) eão Poisso( ) ; pede-se h ) F() pois P( ) P( 33 ; abelas!!!! h h b) Duas horas são 8 períodos de um quaro de hora; em cada quaro de hora A pede ou ão ajuda a B. Traa-se de uma biomial. Seja Z o úmero de vezes que A pede ajuda a B em duas horas; Z Bi( 8, p 0.33) ; pede-se 8 6 P ( Z ) C (0.33) (0.677) 0.83 c) Se h Poisso ( 8) eão dia Poisso ( ) Se Y h Poisso ( 6) eão Y dia Poisso ( 38 ) Assim ( W dia Ydia ) Poisso ( 576) ; sabe-se que o valor médio da disribuição de Poisso é igual ao parâmero, dode o úmero pedido é 576. d) P ( W 600) ( ) () correcção de coiuidade que eria efeios praicamee ulos. ; podia ambém efecuar a e) Na ceral A, h Poisso ( 8) ; eão os empos ere acoecimeos são expoeciais com o mesmo 8; ora 5 miuos é da hora; sedo T a variável aleaória que desiga o empo ere acoecimeos, pede-se P ( T ); a lei expoecial respeciva permie escrever P( T ) 0 8e 8* d e 8* Exame de Esaísica, Semesre de Primavera, 003, ª Época

6 Grupo IV a) P( rej H H0) P( 6 L 6 8 N (00, )) 6 0 H 0 5% 00 L L 00 L 00 ( ) 5%. 65 L b) Se momeaeamee 0 esamos o esaio H 00 0 H 0 Necessariamee é eorme. Veja-se: 8 P ( rej H H) P( 6 L 6 N(0, )) (.) Exame de Esaísica, Semesre de Primavera, 003, ª Época

7 Será sempre de desejar e pequeos, como regra de bom seso. No eao esa siuação as duas hipóeses são ão próximas que isso é impossível. De faco como disiguir uma saca com 5 baaas e 55 cebolas de uma saca de 3 baaas e 57 cebolas? Mais imporae aida: al disição é em boa pare irrelevae pois as duas hipóeses são parecidíssimas e perguamo-os se vale a pea perder empo a disigui-las. c) Se momeaeamee 50 H 00 0 esamos o esaio H 50 Necessariamee é muio pequeo pois as hipóeses são fáceis de disiguir. Algo como: 8 P( rej H H) P( 6 L 6 N(50, )) (0.58) veham queixar-se que 0.58 ão vem as abelas!!!! Noe que se maém o valor de 5%. 0 ; ão d) Cosideramo-os liberos de 5%!! De ouro modo ão poderíamos reduzir. Se deslocar a regra de decisão para um poo iermédio ere 00 e 50 ambos os erros serão praicamee zero. Seja por exemplo L 5. Os cálculos clássicos dão 0 e 0 8 e) O desigado p value será P ( N(00, ) 3.07% ' ( ) S f) Sob H 0, (5) A regra de decisão com % será de rejeiar a hipóese ula se o valor do Exame de Esaísica, Semesre de Primavera, 003, ª Época

8 ese for superior a 30.6 ou iferior a 5.3. Ora a cocreização de 5.5 H 0, A hipóese ula deve ser maida. ( ) S ' é, sob Grupo V A M ( ) M... ( ) E( e ) E( e ) E( e e... e ) M ( ) Grupo V B a) É sabido que sedo p pˆ, se em E( pˆ) p e aida pq V ( pˆ) ; eão E E pˆ ( pˆ ( ) ) p p pq V ( pˆ ) 00 pq V ( pˆ ) 0 Noe-se que p é o mesmo...assim sedo V p ) V ( ) ˆ) 00 E( pˆ ) 0E( pˆ 0 ˆ ˆ ( p 0 p 0 b) E( p p pq V ( pˆ ), que é meor que qualquer das duas ouras variâcias. 0 ) 8 Exame de Esaísica, Semesre de Primavera, 003, ª Época