Prova 3 Matemática ... RASCUNHO PARA ANOTAÇÃO DAS RESPOSTAS PROVA 3 INVERNO 2017 GABARITO 1 17/07/ :13 INSTRUÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA

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1 Vesibular de Ivero 07 Prova N ọ DE ORDEM: N ọ DE INSCRIÇÃO: NOME DO CANDIDATO: INSTRUÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA. Cofira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME DO CANDIDATO, que cosam a eiquea fixada em sua careira.. Cofira se o úmero do gabario dese cadero correspode ao úmero cosae a eiquea fixada em sua careira. Se houver divergêcia, avise imediaamee o fiscal.. É proibido folhear o Cadero de Quesões aes do sial, às 9h. 4. Após o sial, cofira se ese cadero coém 40 quesões objeivas e/ou algum defeio de impressão/ecaderação e verifique se as maérias correspodem àquelas relacioadas a eiquea fixada em sua careira. Qualquer problema avise imediaamee o fiscal. 5. Durae a realização da prova é proibido o uso de dicioário, de calculadora elerôica, bem como o uso de boé, de óculos com lees escuras, de gorro, de urbae ou similares, de relógio, de celulares, de bips, de aparelhos de surdez, de MP player ou de aparelhos similares. É proibida aida a cosula a qualquer maerial adicioal. 6. A comuicação ou o râsio de qualquer maerial ere os cadidaos é proibido. A comuicação, se ecessária, somee poderá ser esabelecida por iermédio dos fiscais. 7. O empo míimo de permaêcia a sala é de duas horas e meia, após o iício da prova. Ou seja, você só poderá deixar a sala de provas após as h0mi. 8. No empo desiado a esa prova (4 horas), esá icluído o de preechimeo da Folha de Resposas. 9. Preechimeo da Folha de Resposas: o caso de quesão com apeas uma aleraiva correa, lace a Folha de Resposas o úmero correspodee a essa aleraiva correa. No caso de quesão com mais de uma aleraiva correa, a resposa a ser laçada correspode à soma dessas aleraivas correas. Em qualquer caso o cadidao deve preecher sempre dois alvéolos: um a colua das dezeas e um a colua das uidades, coforme o exemplo (do segudo caso) ao lado: quesão 47, resposa 09 (soma, o exemplo, das aleraivas correas, 0 e 08). 0. ATENÇÃO: ão rabisque em faça aoações sobre o código de barras da Folha de Resposas. Maeha-o limpo para leiura ópica eficiee e segura.. Se desejar er acesso ao seu desempeho, rascreva as resposas dese cadero o Rascuho para Aoação das Resposas (esa folha, abaixo) e desaque-o a liha poilhada, para recebê-lo hoje, ao érmio da prova, o horário das h5mi às h0mi, mediae apreseação do documeo de ideificação. Após esse período o Rascuho para Aoação das Resposas ão será devolvido.. Ao érmio da prova, levae o braço e aguarde aedimeo. Eregue ao fiscal ese cadero, a Folha de Resposas e o Rascuho para Aoação das Resposas.. A desobediêcia a qualquer uma das deermiações dos fiscais poderá implicar a aulação da sua prova. 4. São de resposabilidade úica do cadidao a leiura e a coferêcia de odas as iformações coidas ese Cadero de Quesões e a Folha de Resposas. Core a liha poilhada.... RASCUNHO PARA ANOTAÇÃO DAS RESPOSTAS PROVA INVERNO 07 N ọ DE ORDEM: NOME: UEM Comissão Ceral do Vesibular Uificado 7/07/07-0:

2 MATEMÁTICA Formulário Geomerias Plaa, Espacial e Aalíica Área do riâgulo: A = b h, em que b é a medida de um dos lados do riâgulo e h é a medida da alura relaiva ao lado de medida b. Área do reâgulo: A= b h, em que b é a medida de um dos lados do reâgulo e h é a medida da alura relaiva ao lado de medida b. Área do círculo: A=πr, em que r é a medida do raio. O perímero de uma circuferêcia é πr, em que r é a medida do raio. Volume da pirâmide: V = A h, em que A é a área da base e h é a medida da alura. Volume de um paralelepípedo: V = A h, em que A é a área de uma base e h é a medida da alura relaiva à base escolhida. Volume de um cilidro: V = A h, em que A é a área da base e h é a medida da alura. Lei dos cosseos: a = b + c bccosa Progressão Ariméica (PA): a = a + ( ) r Progressões e álgebra S = (a +a ) Progressão Geomérica (PG): a = a q q S = a q x b = a vérice Relações de Girard k i i k x x i i = ( ) k a k a Vesibular de Ivero 07 Prova

3 MATEMÁTICA Rascuho Quesão 0 Cosidere um círculo qualquer com cero O. Cosrua esse círculo um âgulo ceral medido 80º, que deermia a circuferêcia K, do círculo, os poos A e B, os quais, por sua vez, deermiam o arco meor m(ab) e o arco maior M(AB). Seja P o poo médio do segmeo de rea AB e race a rea r pelos poos O e P. A rea r deermia o poo C em m(ab) e D em M(AB). Assiale o que for correo. 0) A soma dos âgulos oposos do quadriláero ACBD mede 80º. 0) Se V é um poo qualquer o arco M(AB), a medida do âgulo AVB é sempre igual à medida do âgulo ADB. 04) Se V é um poo qualquer do arco m(ab), quado V se aproxima de A o âgulo AVB é maior que a medida do âgulo ACB. 08) O âgulo ADC mede 40º. 6) O âgulo BCD mede 70º. Quesão 0 Cosidere uma rea r e um plao π, o espaço ridimesioal. Assiale o que for correo. 0) Se exise uma rea o plao π, paralela à rea r, eão a rea r é paralela ao plao π ou esá coida ele. 0) Se a rea r é perpedicular a uma rea de π, eão a rea r é perpedicular a π. 04) Se um plao π' é paralelo ao plao π, eão o plao π' em ierseção com r. 08) Se um plao π' é perpedicular ao plao π e se a rea r ambém é perpedicular a π, eão a rea r esá coida em π '. 6) Se dois poos de r esão coidos em π, eão r esá coida em π. Quesão 0 Sobre os cojuos uméricos, é correo afirmar que 0) o produo de dois úmeros irracioais é sempre um úmero irracioal. 0) a soma de dois úmeros irracioais é sempre um úmero racioal. 04) o produo de um úmero irracioal por um úmero racioal ão ulo é sempre um úmero irracioal. 08) a soma de um úmero irracioal com um úmero racioal é sempre um úmero irracioal. 6) o cojuo dos úmeros reais é a uião do cojuo dos úmeros racioais com o cojuo dos úmeros irracioais. Vesibular de Ivero 07 Prova

4 Quesão 04 Rascuho Cosidere as marizes A [ x y ] = e 4 8 B = 9, 8 a rasposa de A deoada por A e um sisema de coordeadas caresiaas orogoais xoy. Cosiderado esses dados, é correo afirmar que 0) o produo AB é uma mariz liha. 0) o produo BA é uma mariz liha. 04) A é uma mariz colua. 08) a equação ABA = 0 é equivalee à equação 4x + 9y 6x = 0. 6) a equação ABA = 0 é a equação de uma côica em xoy. Quesão 05 Sejam os úmeros complexos z = i e w= + i. Deoamse por z e w os cojugados de z e w, respecivamee. Cosiderado esses dados, assiale o que for correo. 0) z w= i. 0) z w = + i. 04) w i z = +. 08) z+ w é um úmero imagiário. 6) Seja Px ( ) = 0 uma equação poliomial, com coeficiees reais, que em z e w como raízes simples. Eão o meor grau de Px ( ) é. Quesão 06 Cosidere um riâgulo ABC, com âgulo reo em A, cujo âgulo exero o vérice C mede 0º. Sabedo que o caeo oposo ao vérice C mede c, assiale o que for correo. 0) A hipoeusa de ABC mede. c 0) O âgulo exero o vérice B mede 40º. 04) Se β é a medida do âgulo iero do vérice B, eão gβ= c. 08) Qualquer riâgulo reâgulo que eha um âgulo agudo medido 0º é semelhae ao riâgulo ABC. 6) Exisem riâgulos reâgulos com um dos âgulos ieros obuso. 4 Vesibular de Ivero 07 Prova

5 Quesão 07 Acerca do poliômio x x x+, assiale o que for correo. 0) Uma das raízes desse poliômio é. 0) Ele é divisível pelo poliômio x x. 04) A soma de suas raízes é. 08) Todas as raízes desse poliômio são reais. 6) Ele ão pode ser faorado como produo de rês poliômios de grau com coeficiees racioais. Quesão 08 Cosidere, o plao caresiao, a circuferêcia λ, com cero a origem dos eixos coordeados e de raio, e a rea r, que passa pelos poos (,) e,. Assiale o que for correo. Quesão 0 Cosidere um paralelepípedo reo reâgulo de alura cm, sobre uma superfície horizoal plaa. A face sobre o plao (que chamaremos de base) em aresas medido 4π cm e 8π cm. Uma superfície cilídrica com gerariz de comprimeo igual ao de duas das aresas da base (com uma gerariz colocada sobre uma dessas aresas) gira, sem derrapar sobre a face paralela à base, 4 volas para percorrer de uma aresa à oura. Cosiderado esses dados, assiale o que for correo. 0) O volume do paralelepípedo é 8π cm. 0) Se a gerariz do cilidro mede 8π cm, eão o raio do cilidro mede cm. 04) Se a gerariz do cilidro mede 4π cm, eão o raio do cilidro mede cm. 08) Se a gerariz do cilidro mede 4π cm, eão o volume do cilidro é igual a π cm. 6) Se a gerariz do cilidro mede 8π cm, eão o volume do cilidro é igual a π cm. 0) O poo de coordeadas (,) perece a λ. 0) O poo de coordeadas (5,0) perece a r. 04) Se a abscissa de um poo perecee a r é um úmero racioal, eão a ordeada desse poo ambém é racioal. 08) Todos os poos de λ esão à mesma disâcia da origem. 6) A rea r é secae a λ. Quesão 09 Acerca da fução real defiida por que for correo. f( x) = x x +, assiale o 0) A imagem de por essa fução é o próprio. 0) Essa fução esá defiida em oda a rea real. 04) Cosiderado o coradomíio dessa fução como o cojuo dos reais, ela é sobrejeora. 08) O valor míimo que a fução assume é 0, o que ocorre para x = 0. 6) No iervalo [0, + [, a fução é crescee. Vesibular de Ivero 07 Prova 5

6 Quesão Napier, um dos primeiros a desevolver a ideia de logarimo, defiiu primeiramee o logarimo de um úmero posiivo x como o úmero Lx ( ) al que L( x) 07 x =. 07 Com base essas iformações e em cohecimeos sobre o assuo, assiale o que for correo. Rascuho 0) Se x > 07, eão Lx ( ) > 0. log x 7 0) Para odo x posiivo, Lx ( ) =. log ) L (0 ) = 0. 08) Para quaisquer x, y posiivos vale Lxy ( ) = Lx ( ) + Ly ( ). 6) Para quaisquer x, y posiivos vale log x = log x + log y. y Quesão Com relação à fução real d : dada por x x+ d( x) = de x, para odo x real, assiale o que for correo. 0) O gráfico da fução ão iercepa o eixo x. 0) O valor míimo da fução ocorre para x =. 04) O gráfico da fução é uma parábola. 08) Para odo x > 0, emos que d( x ) > 0. 6) d () =. Quesão Acerca das fuções reais f, g e h dadas, respecivamee, por f( x) = x, gx ( ) x = e hx ( ) = x + 4, assiale o que x + for correo. 0) g f( x) = x 4. x 4x+ 6 0) Exise x real para o qual ( f + h)( x) = 0. 04) Para odo x real, fg( x ) =. 08) Para odo x real, gh( x) = ( x ). 6) A fução h possui iversa. 6 Vesibular de Ivero 07 Prova

7 Quesão 4 Em um supermercado, o quilo de um peixe cogelado, em um deermiado dia, esava cusado R$0,00. Uma pessoa comprou,kg e, ao descogelá-lo e pesá-lo ovamee, obeve,kg. No dia seguie, o preço do quilo do mesmo peixe eve um descoo de 5%. Ao comprar a mesma quaidade do dia aerior e descogelá-la, o cosumidor observou uma perda de 00g. Assiale o que for correo. Rascuho 0) Com a perda verificada o primeiro dia, o preço do quilo verdadeiramee pago foi de aproximadamee R$,50. 0) O preço do quilo de peixe do dia seguie foi de R$7,00. 04) O preço real pago o primeiro dia foi maior que o preço real pago o segudo dia. 08) A perda do primeiro dia represea aproximadamee 0,% do oal comprado. 6) A perda do segudo dia represea 5% do oal comprado. Quesão 5 Cosidere a equação rigoomérica g xse x = se x, o iervalo x [0, π [. Sobre essa equação, é correo afirmar que 0) ela é equivalee à equação iervalo x [0, π [. se x se x, cos x = o 0) ela em como solução o cojuo S = π 5π { π } 0,,, ) ela é equivalee à equação se x(g x ) = 0, o iervalo x [0, π [. 08) ela é equivalee à equação se x = se x cos x, o iervalo x [0, π [. 6) ela é equivalee à equação g x =, o iervalo x [0, π [. Quesão 6 Assiale o que for correo. 0) Para odo x real, emos (se x+ cos x) =. 0) Um âgulo de π radiaos e um âgulo de 60º êm a mesma medida. 04) A área do seor circular deermiado por um âgulo ceral de 0º em uma circuferêcia de raio cm é igual a π cm. 08) Se em dois riâgulos reâgulos as hipoeusas êm a mesma medida e se um caeo de um deles em o mesmo comprimeo de um caeo do ouro, eão esses riâgulos são cogruees. 6) O valor do seo de qualquer âgulo obuso é um úmero real egaivo. Vesibular de Ivero 07 Prova 7

8 Quesão 7 Um professor elaborará uma prova com 0 quesões de múlipla escolha, e cada quesão possuirá cico aleraivas (A, B, C, D e E), das quais apeas uma será a correa. Além disso, o gabario da prova deve ser equilibrado, iso é, o úmero de quesões com resposa A deve ser igual ao úmero de quesões com resposa B, que deve ser igual ao úmero de quesões com resposa C, que deve ser igual ao úmero de quesões com resposa D, que deve ser igual ao úmero de quesões com resposa E. Um gabario possível para a prova é uma sequêcia ordeada de 0 leras de A a E, respeiado as codições forecidas acima, como ( A, ABBCCDDEE,,,,,,,, ). Assiale o que for correo. Rascuho 0) A probabilidade de que um aluo que respodeu ( A, AABBBCCDD,,,,,,,, ) acere oio quesões a prova é iferior a 0,0%, se odos os gabarios possíveis êm igual probabilidade de serem o gabario da prova que ele fez. 0) Há mais de um milhão de gabarios possíveis para a prova. 04) Se um aluo em cereza de que acerou as cico primeiras quesões da prova, cada uma delas edo como correa uma aleraiva de lera diferee das demais, a probabilidade de ele acerar odas as quesões da prova escolhedo aleaoriamee uma aleraiva de lera diferee para cada uma das quesões seguies é iferior a %. 08) O úmero de maeiras diferees de se resolver a prova sem deixar quesões ão respodidas, mas sem levar em 0 coa o equilíbrio ere as resposas, é 5. 6) A probabilidade de acerar pelo meos duas quesões de alguém que respodeu ( A, AAAAAAAAB,,,,,,,, ) é meor do que a de alguém que respodeu ( A, AAAAAAAAA,,,,,,,, ), se odos os gabarios possíveis êm igual probabilidade de serem o gabario da prova. Quesão 8 Seja uma PA com ermo geral a, e razão r. Cosidere ambém uma PG com ermo geral b, e razão q. Em relação aos dados, assiale o que for correo. 0) Em um plao caresiao orogoal com eixo das abscissas e eixo das ordeadas a, a PA pode ser represeada por uma parábola. 0) Em um plao caresiao orogoal com eixo das abscissas e eixo das ordeadas b, a PG pode ser represeada por uma hipérbole. 04) Se a é um ermo qualquer da PA, eão a = a r e a. + = a + r ) Se b é um ermo qualquer da PG, eão b 0 b q = 0 0 e b. + = b q 0 0 6) Se os primeiros ermos da PA e da PG são iguais e se r = q =, eão a = b para odo. 8 Vesibular de Ivero 07 Prova

9 Quesão 9 Uma empresa A ecomedou duas pesquisas de opiião que foram aplicadas ao mesmo público. Na primeira, perguava-se se a pessoa preferia o produo produzido por ela, se preferia o produo de seu cocorree B ou se preferia ouro cocorree. Na seguda pesquisa, perguava-se qual era o faor mais imporae para a preferêcia apoada a primeira pesquisa: se era a qualidade do produo, o preço ou se ouro faor. Na primeira pesquisa, cosaou-se que 45% dos erevisados preferiam o produo da empresa A, 40% preferiam o produo da empresa B e o resae preferia o produo produzido por oura empresa. Na seguda pesquisa, cosaou-se que, para 50% dos erevisados, o faor mais imporae era o preço, equao para 0% o faor mais imporae era a qualidade do produo, e o resae dos erevisados apoou ouro faor. Verificou-se aida que, dos erevisados que disseram preferir o produo da empresa A, dois erços apoaram como pricipal faor para sua escolha a qualidade. Com base o exposo e em cohecimeos sobre o assuo, assiale o que for correo. Rascuho 0) Os erevisados que preferem o produo de oura empresa, que ão A ou B, correspodem a 5% do oal de erevisados. 0) Os erevisados que preferem o produo da empresa B ou que apoam a qualidade do produo como pricipal faor para a sua escolha correspodem a meos de 60% do oal de erevisados. 04) Escolhedo-se um erevisado ao acaso, a probabilidade de ele preferir o produo da empresa A e ão er como faor mais imporae para essa escolha a qualidade é de /. 08) Todos os erevisados que apoaram a qualidade como pricipal faor para a sua escolha preferem o produo da empresa A. 6) Escolhedo-se ao acaso um erevisado dere os que preferem o produo da empresa A, a probabilidade de se escolher um erevisado que eha como pricipal faor para a sua escolha a qualidade do produo é /. Quesão 0 A sequêcia ifiia de úmeros reais p, p, p,, p, é obida da seguie maeira: p é o perímero, em ceímeros, do riâgulo equiláero iscrio em uma circuferêcia de raio 0,5cm; p é o perímero, em ceímeros, do quadrado iscrio em uma circuferêcia de raio 0,5cm e assim por diae, de modo que p é o perímero, em ceímeros, do polígoo regular de + lados iscrio em uma circuferêcia de raio 0,5cm. Assiale o que for correo. 0) p < p 6. 0) O ermo geral da sequêcia pode ser dado pela fórmula ( + ) p = cos π. + 04) Para odo ieiro posiivo, emos p <π. 08) p =,5. 4 6) p é um úmero racioal. Vesibular de Ivero 07 Prova 9