PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E TEORIA DE FILAS

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1 Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro COE: rograma de Egeharia de rodução Área de esquisa Oeracioal O Escola oliécica: Dearameo de Egeharia Idusrial ROCESSOS ESTOCÁSTICOS E TEORIA DE FILAS rof. Virgílio José Maris Ferreira Filho

2 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ÍNDICE. ROCESSOS ESTOCÁSTICOS DESCRIÇÃO E DEFINIÇÃO DE ROCESSOS ESTOCÁSTICOS ROCESSO ESTOCÁSTICOS CONTÍNUOS / DISCRETOS DISTRIBUIÇÕES DE ROBABILIDADE ALGUNS ROCESSOS ESTOCÁSTICOS IMORTANTES CADEIAS DE MARKOV EM TEMO DISCRETO ROBABILIDADE DE TRANSIÇÃO EM VÁRIOS ESTÁGIOS ROBABILIDADE DE ª ASSAGEM E RIMEIRO RETORNO CLASSIFICAÇÃO DE ESTADO CADEIAS DE MARKOV ERGÓDICAS (ROBABILIDADES LIMITE) TEMO MÉDIO DE º ASSAGEM / RECORRÊNCIA CADEIAS DE MARKOV ABSORVENTES CADEIA DE MARKOV EM TEMO CONTÍNUO VISUALIZAÇÃO MATRICIAL TEMO ATÉ A RÓXIMA TRANSIÇÃO ROBABILIDADE DE REGIME ERMANENTE ROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE ROCESSO DE OISSON TEMO ENTRE EVENTOS CONSECUTIVOS SUEROSIÇÃO DE ROCESSOS DE OISSON DECOMOSIÇÃO DE ROCESSOS DE OISSON TEOREMA DE KHINTHINE EXERCICIOS ROOSTOS DE ROCESSOS ESTOCÁSTICOS.... TEORIA DE FILAS INTRODUÇÃO E CONCEITOS BÁSICOS ORQUE FILAS SÃO ESTUDADAS RINCIAIS CARACTERISTICAS DE UMA FILA NOTAÇÃO DE KENDALL TERMINOLOGIA E NOTAÇÕES RESULTADO DE LITTLE EXEMLOS DE SISTEMAS DE FILAS REAIS A DISTRIBUIÇÃO EXONENCIAL NA TEORIA DE FILAS ROCESSO DE OISSON FILAS MARKOVIANAS (ROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE) SISTEMAS INFINITOS SISTEMAS FINITOS MODELO DE ERLANG SISTEMA M E K S SISTEMA E K M REDES DE FILAS MARKOVIANAS SISTEMA ABERTO SEM REALIMENTAÇÃO SISTEMA FECHADO SISTEMAS MISTOS OU ABERTOS COM REALIMENTAÇÃO TEOREMA BURKE FORMA RODUTO NA REDE ABERTA A FILA M G MEDIDAS DE DESEMENHO Aexo FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS RORIEDADES DA FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS... 8 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

3 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E).6.. TRANSFORMADA Z... 8 EXERCICIOS ROOSTOS DE TEORIA DAS FILAS MOVIMENTO BROWNIANO ASSEIO ALEATÓRIO DISCRETO - DISCRETE TIME, DISCRETE STATE, RANDOM WALK ASSEIO ALEATÓRIO COM DESVIO - DISCRETE RANDOM WALK WITH DEVIATION ASSEIO ALEATÓRIO COM TAMANHO DO ASSO VARIÁVEL - DISCRETE TIME CONTINUOS SACE RANDOM WALK ROCESSO DE WIENER GENERALIZAÇÃO - ROCESSO DE WIENER COM DESVIO RERESENTAÇÃO DO MOVIMENTO BROWNIANO OR ASSEIO ALEATÓRIO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS DE ROCESSOS ESTOCASTICOS LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS DE TEORIA DAS FILAS Lisa de Exercícios Comlemeares rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

4 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E). ROCESSOS ESTOCÁSTICOS.. DESCRIÇÃO E DEFINIÇÃO DE ROCESSOS ESTOCÁSTICOS Segudo Lieberma, um rocesso esocásico é uma coleção de variáveis aleaórias idexadas ( X ), ode é um ídice defiido um cojuo T. Assim, um rocesso esocásico é a descrição de um feômeo aleaório que varia com o emo. O rocesso esocásico X X,..., ode reresear a coleção das quaidades, X de carros que assam or um deermiado oo de uma rodovia, a evolução dos íveis de esoque semaais de uma firma, o comorameo de uma arícula de gás, variações as qualidades dos roduos, variações os reços de ações, vedas uma deermiada loja, evolução do úmero de desemregados um deermiado aís, ec. O rocesso esocásico Y Y,,... reresea a evolução oulacioal brasileira,, Y desde o ao de 998 como mosra a Tabela.: Tabela. Evolução oulacioal brasileira Habiaes (Foe: Deara) Os valores assumidos or um rocesso esocásico são deomiados esados e o cojuo de odos os esados ossíveis é dio esaço de esados.... ROCESSO ESTOCÁSTICOS CONTÍNUOS / DISCRETOS Os rocessos esocásicos odem ser classificados como: a) Em relação ao Esado: - Esado Discreo (cadeia): X() é defiido sobre um cojuo eumerável ou fiio. - Esado Coíuo: caso corário. b) Em relação ao Temo: - Temo Discreo: é fiio ou eumerável. - Temo Coíuo: caso corário. Noação: - rocesso em emo coíuo: {X(), } - rocesso em emo discreo: {X(), =,,,...} rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

5 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Exemlos: - Esado Discreo e Temo Coíuo: úmero de usuários em uma fila de baco em um deermiado isae, colisões ere duas arículas o iervalo de miuos; - Esado Coíuo e Temo Coíuo: ível de uma reresa observado em um iervalo de emo; - Esado Discreo e Temo Discreo: úmero de máquias avariadas o fim do dia, Quaidade de barris eróleo roduzidas ao fial do dia or uma deermiada muliacioal; - Esado Coíuo e Temo Discreo: coação de uma ação o fim do dia.... DISTRIBUIÇÕES DE ROBABILIDADE ara um dado valor de, o rocesso esocásico X() é uma variável aleaória, e a obeção de sua disribuição de robabilidade é feia como qualquer oura variável aleaória. Ereao, quado varia ao logo do cojuo T, a iformação X() ão é forecida or uma simles disribuição ara um dado. ara uma iformação comlea do rocesso recisamos da disribuição cojua {X(), T}. Com isso odemos rever o comorameo do rocesso o fuuro, cohecedo o comorameo o assado. Quado é coíuo, ober essa disribuição cojua é imossível, já que o cojuo é ão-eumerável. Sob essas circusâcias, é válido assumir que o comorameo do rocesso ode ser obido esudado-o em um cojuo discreo de oos, assim a disribuição cojua defiida esse cojuo de oos é aroriada. Seja (,,...,), com < <...<, um cojuo discreo de oos de T. A disribuição cojua do rocesso X() esses oos ode ser defiida como segue: X x, X x,..., X x [ ] () A robabilidade do rocesso esocásico esar o emo o esado robabilidade de esado ( ) e é defiida or: a é chamada [ X a ] () O veor = [ ] é chamado veor de robabilidade de esado. A robabilidade do rocesso esocásico (com emo e esado discreos) esar o esado j, dado que esava o esado i, é chamada robabilidade de rasição (, ). m ij m, ij [ X j X m i], m () rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

6 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ara o caso coíuo, a robabilidade codicioal de rasição e a robabilidade de esado são defiidas, resecivamee, como segue: F( x, x,, ) [ X ( ) x X ( ) x] F( x, ) [ X ( ) x] (5) (4) A mariz que armazea odas as robabilidades de rasição ( m, ) ij é chamada ( ( m, ) ij m, ) mariz de robabilidade de rasição [ ]. Um rocesso é dio homogêeo (o emo) se a rasição deede de, mas ão deede de. Nesse caso emos: F( x, x,, ) F( x, x,, ) O corresodee ara esado e emo discreos é ( m, ) ( m) ij ij Diagrama de Trasição de Esados Ë o grafo valorado rereseaivo do rocesso esocásico, ode o cojuo de vérices esá associado ao cojuo de esados e seus valores as resecivas robabilidades de esado. O Cojuo de arcos, or sua vez, esá associado as ossíveis rasições e é valorado elas robabilidades de rasição. / / / / / / /... ALGUNS ROCESSOS ESTOCÁSTICOS IMORTANTES rocesso de WEINER (Movimeo Browiao): a disosição de uma arícula susesa em um fluido, sujeia a sucessivas colisões com arículas vizihas é um exemlo clássico do rocesso de Weier. O feômeo físico foi descobero elo boâico Rober Brow em 87. A eoria do comorameo desse rocesso foi desevolvida or Eisei (96) e Weier (9). rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

7 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocesso de oisso: o rocesso esocásico {X()} al que [ X ( ) e k] ( ) k! k é deomiado rocesso de oisso. Esse rocesso modela, razoavelmee bem, o úmero de chamadas uma cabie elefôica, or exemlo. rocesso de Reovação: um exemlo desse rocesso é a vida úil de um equiameo ode uma eça que falha é subsiuída or uma eça igual. rocesso de Markov: esse rocesso oda hisória assada é resumida o esado aual (memória de curo razo)... CADEIAS DE MARKOV EM TEMO DISCRETO Um rocesso esocásico é dio er a roriedade Markoviaa se: [ X j X i; X k ;...; X k, X k] [ X j X i] (6) ara =,,... e qualquer seqüêcia i, j, k,..., k -. A exressão acima, equivale a dizer que a robabilidade codicioal de qualquer eveo fuuro, dado qualquer eveo assado e o esado resee X =i, é ideedee do eveo assado e deede somee do esado resee do rocesso. Ou seja, um rocesso esocásico é dio ser um rocesso Markoviao, se o esado fuuro deede aeas do esado resee e ão dos esados assados. Esse io de rocesso esocásico é ambém deomiado de rocesso sem memória. Se, ara cada i e j [ X j X i] [ X j X i], ara odos,,... eão, as robabilidades de rasição em um eságio são dias serem esacioárias e são deoadas or ij. Isso imlica que as robabilidades de rasição ão mudam o emo. Um rocesso esocásico X ( =,,...) é dio ser uma cadeia de Markov em emo discreo se iver o seguie: - Saisfizer a roriedade de Markov - ossuir esaço de esados eumerável. No resee curso, focaremos ossas aeções em cadeias de Markov que areseem as seguies roriedades.: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

8 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) - Um úmero fiio de esados, - A roriedade markoviaa, - robabilidades de rasição esacioárias, 4- Um cojuo de robabilidades iiciais (X = i) ara odo i.... ROBABILIDADE DE TRANSIÇÃO EM VÁRIOS ESTÁGIOS A exisêcia de robabilidades de rasição esacioárias em um eságio ambém imlica que, ara cada i, j e ( =,,,...), [ X j X i] [ X j X i], ara odos,,... () Esas robabilidades codicioais são usualmee deoadas or ij e são chamadas de robabilidades de rasição em eságios. Os rocessos com essas caracerísicas são ambém chamados de rocessos homogêeos o emo. ( ) ij [ X j X i] ( ( ) ij A mariz que armazea as robabilidades de rasição em eságios é deoada or ) [ ]. () Seja ij a robabilidade de rasição do esado i ara o esado j em eságios, como mosra a Figura. a seguir. esado j z i eságio Figura. robabilidade de Trasição do esado i ara o esado j em eságios odemos escrever: () ij () ij () ii ik k k i, z, j S () ij kj () iz () zj, ara cada i, j. () ij () jj rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

9 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Em oação maricial: () () (), ode: () ij Aalogamee: ks ik kj, ara cada i, j. () () () () () De uma maeira geral, odemos esabelecer a equação de Chama-Kolmogorov: ( ) ( k) ( k) (7).: Seja j () a robabilidade de esar o esado j o isae, como mosra a Figura esado z j i eságio Figura. robabilidade de esar o esado j o isae odemos escrever: () j () j () i is () ij () i () ij () j () jj, ara cada i, j. () z () zj Em oação maricial: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

10 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) () () () () De uma maeira geral, odemos esabelecer o veor de esado o isae : ( ) ( k) ( k) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

11 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E)... ROBABILIDADE DE RIMEIRA ASSAGEM E RIMEIRO RETORNO Seja a igualdade: f ( ) ij [ X j, X j; X j;...; X j; X i] Se j i, () fij é a robabilidade de ª assagem, iso é a robabilidade de que o rocesso eseja o esado j, o emo (e ão aes), dado que ele esava o esado i, o emo. Se j i, () fij é a robabilidade de ª reoro, iso é a robabilidade de que sejam ecessários assos aé aigir o esado j ela º vez dado que o rocesso começa o esado i. () () ij ij f, e ara f (,. ) ij ij f ( ) ij ( ) ij k f k ij ( k ) jj (8) ( ) ( ) F [ f ], ara cada i,j, é a mariz de rimeira assagem / rimeiro reoro. ij... CLASSIFICAÇÃO DE ESTADO rocessos Irreduíveis: cada esado ode ser alcaçado de qualquer ouro (aravés de uma seqüêcia de rasições), caso corário o rocesso é dio reduível. A Figura. mosra um exemlo de rocesso reduível Figura. Exemlo de rocesso Reduível Esado Recorree: se já acoeceu uma vez é cero que irá ocorrer ovamee, ou seja, exise uma robabilidade ão ula do esado vir a acoecer o fuuro. lim ( ), ara cada i. ij rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

12 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Esado Trasiee: irá ocorrer um deermiado úmero de vezes e oseriormee ão ocorrerá mais. lim ) ( ij, ara cada i, j é esado rasiee. Vale ressalar que um rocesso fiio e irreduível em odos os esados recorrees. Esado Nulo: esado recorree, orém com o emo de recorrêcia ifiio. Esado ão-ulo: emo de recorrêcia fiio. Esado eriódico: esados só odem ocorrer em emo fixo. Cosidere a Figura.4, ese caso, os esados e só odem ser alcaçados um emo fixo igual a. Figura.4 Exemlo de Esado eriódico A defiição de esado eriódico ão garae que o esado ocorra, mas se ele acoecer, erá que ser aquele emo. Esado Absorvee: lim ( ), ara cada i, j é esado absorvee ij Cadeia Absorvee: ossui elo meos um esado absorvee, como mosra a Figura.5, ode os esados 4 e 5 são absorvees. 4 5 Figura.5 Exemlo de Cadeia Absorvee..4. CADEIAS DE MARKOV ERGÓDICAS (ROBABILIDADES LIMITE) Uma cadeia é dia Ergódica se for irreduível, recorree, ão-ula e aeriódica. lim ) ( ij j (9), rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

13 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ode: j é fração do emo que o rocesso assa o esado j. À medida que o emo do rocesso cresce, o esado iicial erde imorâcia, assim como o rório emo. ] (veor liha) [ j lim (m rélicas do veor ] ) [ j Da equação de Chama-Kolmogorov emos: ( ) ( ) lim = lim {lim } A equação acima reresea um sisema de equações lieares com m sisemas ideedees e iguais com m equações lieares cada um. Iso é, m rélicas do sisema abaixo: j j Uma oura abordagem ara o roblema a ser cosiderada é ela uilização da Lei de Coservação do Fluxo, a qual garae que o esado ermaee, o fluxo que sai do sisema é igual ao fluxo que era. FLUXO QUE SAI = FLUXO QUE ENTRA abaixo: ara aálise aravés da Lei de Coservação de Fluxo, cosideremos a Figura.6, / / / / / / / Figura.6 Exemlo (Lei de Coservação de Fluxo) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

14 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4 A mariz de robabilidades de rasição de esados ara ese exemlo ecora-se descria a seguir. =, Resula em =,87 =,9 / / / / / / / combiação liear : : : ó ó ó Coservação do fluxo

15 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E)..5. TEMO MÉDIO DE º ASSAGEM / RECORRÊNCIA Seja N ij variável aleaória que reresea o úmero de eságios ecessários ara aigir j ela º vez, arido de i: { N } (disribuição do emo de º assagem/º reoro) ( ) ij f ij m ij E( N ij ) f ( ) ij º reoro (i = j) j é fração do emo que o rocesso assa o esado j. m jj = / é o eríodo médio ere a ocorrêcia de j. j Temo médio de º assagem (i j) Codicioado ao esado o eságio j i m ij = com robabilidade ij k j j m ij =(+m kj ) com robabilidade ik m kj m * ( m ) ij ij k j m * * ij ij ij k j k j m m () ik kj ik ik kj k j ik m kj Exemlo: Serviço de Trasore de assageiros or um Helicóero Cosideremos uma cidade com aeas rês helioos (Barra Shoig (), Saos Dumo () e Galeão ()) e um úico helicóero, que recolhe o assageiro de um dos helioos e os leva aé um ouro dos helioos, ode aguardam aé que aareça ouro assageiro. Um úico assageiro (um gruo com o mesmo desio) é aedido de cada vez. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

16 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Se o helicóero esá brevemee o Galeão, qual é a robabilidade de que ele vole aós viages? Se o helicóero esá brevemee o Saos Dumo, quaas viages, em média, irão correr aé que ele vole ao Saos Dumo? Em um logo eríodo de emo, qual a fração de viagem se desiam ao Barra Shoig? / / / / / / / Figura.7 Exemlo (Serviço de Trasore de assageiros or um Helicóero) é a mariz de rasição de esados. O grafo mosrado a Figura.7 é um recurso muio usado o esudo dos rocessos esocásicos, deomiado diagrama de rasição de esados. Solução: Assim a robabilidade de que o helicóero vole aós viages é. 54 Da equação (9) emos: lim ij j Uilizado, or exemlo, a calculadora H odemos ober: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

17 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) lim,,,,87,87,87,9,9,9 Assim, em um logo eríodo de emo, a fração de viages que se desiam ao Barra Shoig é de,. Temos que m jj ; Assim, 58,87 j m, que reresea o úmero médio de viages que irão ocorrer aé que o helicóero vole ao Saos Dumo...6. CADEIAS DE MARKOV ABSORVENTES a) Rereseação Maricial: = Q R I b) robabilidade de Absorção (A) A [ a ij aos esados absorvees. ], ara cada i erecee aos esados rasiees e ara cada j erecee a ( ) ij f ij erecee aos esados absorvees., ara cada i erecee aos esados rasiees e ara cada j A robabilidade de absorção semre deede do esado iicial: j absorvee ij i k a kj rasiee j a ij ij k rasiee ik a kj rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

18 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) a ij ij kt erecee aos esados absorvees. A Q* A R ( I Q) * A R A ( I Q) * R () ik a kj, ara cada i erecee aos esados rasiees e ara cada j c) Duração média do regime rasiee Diz-se que e iz é o úmero médio de vezes que o esado rasiee z é ocuado, dado que o esado iicial é i, i erecee aos esados rasiees. Se Se i z, eão e iz ike kt i z, eão eiz ike E [ e iz ] kt kz, i, z erecee aos esados rasiees. E ( I Q) () kz di é a duração média do regime rasiee, dado que o esado iicial é i. d () i e ij jt Duração média do rocesso se ele esá o esado i e ermia o esado j r : a ij r a a r, ara i rasiee e j absorvee. ij ij ik k rasiee kj kj ij (OBS: fazedo b ij aij rij e B b ij k l, eremos B I Q A.) Exemlo: Uma floresa é cosiuída de dois ios de árvores: aquelas com aé meros e as maiores do que meros. A cada ao 4% das árvores com aé m morrem, % são vedidas or $ cada, % ermaecem com aé meros e % crescem ara acima de m. Das árvores maiores do que m a cada ao são vedidas 5% or $5 cada, % or $ cada e % ermaecem a floresa. a) Qual a robabilidade de que uma árvore, com meos de m, morra aes de ser vedida? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

19 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) b) Se uma árvore (com meos de m) é laada, qual é o seu valor eserado de veda? V5,4 M,5, -, +,, V, V M, V, V e V5 são esados absorvees. - + M V V V5 -,,,4, +,,,5 = M V V V5,48,48,57,4,8,4 E I Q, A E.R,48,85,74 a) robabilidade de que uma árvore, com meos de m, morra aes de ser vedida: a,m =,57 57% b) Valor eserado de veda, se uma árvore com meos de m é laada: V es = *,4 + *,8 + 5*,4 = $5,5.. CADEIA DE MARKOV EM TEMO CONTÍNUO Uma cadeia de Markov em emo coiuo e, como a desigação idica uma cadeia de Markov em que a variável emo é coiua, rereseado isaes ou momeos de rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

20 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) emo (e ão eríodos de emo, como ara as cadeias em emo discreo). Assim, uma cadeia de Markov em emo coiuo é um rocesso esocásico {X(), } com a roriedade de Markov, ou seja, a roriedade de esar o esado j um momeo fuuro deede aeas do esado resee e ão dos esados visiados em qualquer momeo assado. Cosiderado a Gráfico. abaixo, emos: esado T Gráfico. - rocesso de Markov em Temo Coiuo (, ) (, ) ( ) ij ij ij o (rocesso homogêeo): robabilidade que o sisema eseja o esado j, o isae, dado que ele esava o esado i o isae. () = [ ij () ] No exemlo emos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Suosições: de emo () O rocesso saisfaz a roriedade de Markov; O rocesso é esacioário; A robabilidade de ou mais mudaças de esado acoecerem um cero iervalo de emo () equeo é zero; A robabilidade de uma rasição de ara ; ou de ara em um cero iervalo equeo é roorcioal a () : ( ) ( ) (4) e ( ) ( ) (5) Assim emos que: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

21 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( [ )] ( )[ ( ) ( ) ( )] ( [ )] ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( d d d d ) ( ) ( ) ( Iegrado ambos os lados, emos: ) ( )] ( ) ( l[ ce ) ( ) ( ) ( Como (), emos ) ( ce. Logo: e ) ( ) ( (6) Aalogamee, odemos ober: e ) ( ) ( (7) e ) ( ) ( (8) e ) ( ) ( (9)

22 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E)... VISUALIZAÇÃO MATRICIAL d ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d( ) ( ) d ; Seja Assim emos: d( ) ( ) d ()... TEMO ATÉ A RÓXIMA TRANSIÇÃO ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) d ( ) d ( ) ( ) e () Geeralizado Um rocesso esocásico coíuo é um rocesso de Markov se: { X ( ), }, com esaço de esados eumerável E, é um rocesso de Markov se ara odo, s e j E : [ X ( s ) j X ( u), u s] [ X ( s ) j X ( s)] () rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

23 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) O rocesso será homogêeo se: X ( s ) j X ( s) i] ij ( ) s [ () Discreizado e uilizado a equação de Chama-Kolmogorov emos: ( ) ( ) ( ) ij ke ( ) ( ) ( ) ik kj Cálculo de ( ) Uilizaremos ara al a exasão em série de Taylor: ( ) ij ij () ij `()( ) ( ) () `()( ) ij ij ij, ode:. ``()( ) ij 6 ```()( ) ij..., i j ij ( ), i j dij ( ) ij`( ) d ij ( ) I ( ) (4) ij Reomado, íhamos aeriormee: ( ) ( ) ( ) Eq. C-K Subsiuido o resulado obido em (4) emos: ( ) ( )[ I ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) d( ) ( ) d (5) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

24 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) é chamado gerador ifiiesimal. roriedades de : ij é a axa de rasição ou axa de saída, iso é a velocidade com que se escaa de um esado i ara um esado j. j ij... ROBABILIDADE DE REGIME ERMANENTE No esudo das cadeias de Markov em emo coiuo ieressa cohecer as robabilidades esacioarias de o rocesso esar em diferees esados. d( ) lim lim ( ) d d d d d lim ( ) lim ( ) As equações de regime ermaee são as que seguem: e (6)..4. ROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE Os rocessos de Nascimeo-More são rocessos esocásicos muio uilizados a descrição de Sisemas de Filas de Esera, dada a sua aricular esruura: as rasições de um qualquer esado só são ossíveis ara esados vizihos (i.e., de um esado i ara os esados i+ ou i-). Adoado-se um esaço de esados X ={,, } e cosiderado que cada esado reresea um cero ível de oulação (exemlo: úmero de cliees uma loja, úmero de mesages um coleor de chamadas, úmero de roduos a rocessar, ec.), ais rasições odem ser facilmee ierreadas. A rasição do esado i ara o esado i+ será um ascimeo (or exemlo, chegada de um cliee), uma vez que sigifica um aumeo do ível da oulação. Equao que a rasição do esado i ara o esado i- será uma more (or exemlo, arida de um cliee), or sigificar um decréscimo do ível da oulação. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

25 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Cosidere a Figura.8 abaixo Figura.8 rocesso de Nascimeo e More Sedo assim:... ( ) ( )...,, or quesão de simlicidade de oação usaremos:, u, u,... e, u,... Uma oura abordagem ara o roblema é usado a Lei de Coservação do Fluxo: FLUXO QUE SAI = FLUXO QUE ENTRA e u : : [ ( u)] u rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

26 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) [( u u)] : u ) ( u ) u ( ( u u) Resolvedo o sisema emos: : u u uu : uuu :... u uu uuu ara resolvermos o sisema é ecessário que a série a covergêcia da série...5. ROCESSO DE OISSON Cosidere a Figura.9: Figura.9 O rocesso de oisso... Equação de Chama-Kolmogorov (equivalee o caso coíuo): d( ) ( ) d ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Da liha emos: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

27 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) d ( ) d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d ( ), ( ) ( ) d Resolvedo o sisema ara a liha emos: d ( ) d ( ) l ( ) c ( ) ce ; como () ( ) e, segue que c. (7) Assim o emo de ermaêcia o esado em disribuição exoecial. d ( ) ( ), ( ) d Mulilicado ambos os lados da equação or e emos: d ( ) e ( ) e, ( ) d de d ( ) e, ara = emos: de d ( ) e de ( ) d e ( ( ) d e ( ) emos: ) ( d) e, como () rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

28 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ( ) e ( ) ( ) e (8)! O úmero de eveos em disribuição de oisso, com arâmero úmero eserado de eveos ocorredo o eríodo., que é o..6. TEMO ENTRE EVENTOS CONSECUTIVOS Seja ésimo eveo. T a variável aleaória corresodee ao emo ere o (-)-ésimo e o - Assim T é o emo aé que o rimeiro eveo ocorra. ( ) ehumeveoocorraoemo ( ) [ T T ] e [ T ] e [ ] Geeralizado, emos que: {( T T ) } e (9) orao, o emo ere eveos cosecuivos em um rocesso de oisso em disribuição exoecial...7. SUEROSIÇÃO DE ROCESSOS DE OISSON Se A é um rocesso de oisso com axa A e B é um rocesso de oisso com axa B eão C ambém é um rocesso de oisso com axa. c A B..8. DECOMOSIÇÃO DE ROCESSOS DE OISSON Se A é um rocesso de oisso eão B e C serão rocessos de oisso se a searação for robabilísica e ideedee. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

29 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E)..9. TEOREMA DE KHINTHINE A suerosição de um grade úmero de rocessos de reovação (emos ere eveos ideedees e ideicamee disribuídas i.i.d) é aroximadamee um rocesso de oisso. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

30 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E).4. EXERCICIOS ROOSTOS DE ROCESSOS ESTOCÁSTICOS ) Uma floresa é cosiuída de dois ios de árvores: aquelas com aé meros e as maiores do que meros. A cada ao 4% das árvores com aé m morrem, % são vedidas or $ cada, % ermaecem com aé meros e % crescem ara acima de m. Das árvores maiores do que m a cada ao são vedidas 5% or $5 cada, % or $ cada e % ermaecem a floresa. a) Qual a robabilidade de que uma árvore, com meos de m, morra aes de ser vedida? b) Se uma árvore (com meos de m) é laada, qual é o seu valor eserado de veda? ) Com a chegada da civilização, os ídios da Aldeia Taia resolveram isiuir um sisema de revidêcia social, ara o que coaram com a ajuda de um cosulor, Mesre em Egeharia de rodução. A rimeira eaa do esudo do cosulor cosisiu em classificar os ídios em rês gruos: criaças, rabalhadores e aoseados. Logo em seguida, uilizado a excelee memória dos ídios, ele iferiu os seguies dados: durae um eríodo de um ao, 959/ de odas as criaças ermaecem criaças, 4/ se oram adulos rabalhadores e / delas morrem; além diso, aida durae um dado ao, 96/ de odos os adulos rabalhadores ermaecem adulos rabalhadores, / se aoseam e / falecem. A axa de moralidade dos aoseados é de 5/ a cada ao. O úmero de ascimeos é de criaças or ao. a) Suodo que a oulação da Aldeia esá em regime ermaee deermie a sua oulação, bem como sua esruura eária (os rês gruos mecioados). b) Cada aoseado recebe uma esão de $ 5. or ao. O fudo de esão é cuseado elos agameos dos adulos rabalhadores. Com quao cada adulo rabalhador deve coribuir, or ao, ara o fudo de esão? ) No jogo de Cras, ós jogamos um ar de dados de seis faces. No rimeiro laçameo, se irarmos 7 ou ós gahamos imediaamee. Se irarmos, ou erdemos imediaamee. Se o resulado do rimeiro laçameo for 4, 5, 6, 8, 9, ós coiuamos a laçar os dados aé obermos um 7, quado erdemos, ou aé obermos o mesmo resulado que o rimeiro laçameo, quado gahamos. Use os seus cohecimeos de Cadeias de Markov ara deermiar ossa robabilidade de viória. 4) A Gazea da rodução em as seguies iformações a reseio de seus assiaes: Durae o rimeiro ao % dos assiaes cacelam suas assiauras. Daqueles que comlearam o o ao, % cacelam sua assiaura o o ao. Daqueles que assiam or mais de aos 4% irão cacelá-los durae algum dos róximos aos. Em média qual a duração de uma assiaura da Gazea da rodução? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

31 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 5) O emo em edra Azul ode ser descrio, como deedee do emo os dois úlimos dias, elo seguie mecaismo: (i) se os úlimos dois dias foram esolarados eão exise 95% de chace de amahã ambém ser esolarado; (ii) se oem eseve chuvoso e hoje esolarado eão com 7% de chace amahã será esolarado; (iii) se oem esava esolarado e hoje esá chuvoso eão amahã será um dia chuvoso com 6% de chace; (iv) se os dois úlimos dias foram chuvosos eão amaha será um dia chuvoso com 8% de chace. É ossível modelar o emo em edra Azul como uma cadeia de Markov? Exlique orque e cosrua o diagrama de rasição de esados. 6) Suoha que o mercado exisem aeas duas marcas de cerveja Mharba e Árica. Dado que a úlima comra de uma essoa foi uma de Mharba, exise 9% de chace de que sua róxima comra seja de Mharba. Dado que a úlima comra de uma essoa foi de Árica exise uma robabilidade de 8% de que sua róxima comra seja de Árica. a) Reresee o roblema or uma cadeia de Markov, areseado a mariz de robabilidades de rasição e o diagrama de rasição de esados. b) Dado que uma essoa acabou de comrar Mharba quao emo será ecessário ara que oura comra de Mharba seja realizada? E de Áica? Como você ierrea o emo ese caso? c) Suoha aida que cada cosumidor faça uma comra de cerveja or semaa ( ao = 5 semaas), e que exisam milhões de cosumidores de cerveja. Uma uidade de cerveja é vedida or $ e cusa à cervejaria $. or $5 milhões or ao uma firma de roagada garae dimiuir de % ara 5% a fração dos cliees de Mharba que mudam ara Árica deois de uma comra. Deve a cervejaria Mharba coraar a emresa de roagada? 7) Uma comahia com um vôo às 7h45 da mahã ere Rio e Brasília ão quer que o vôo se arase dois dias seguidos a mesma escala. Se o vôo sai arasado um dia, a comahia faz um esforço esecial o dia seguie ara que o vôo saia o horário, e obém sucesso em 9% das vezes. Se o vôo ão saiu arasado o dia aerior, a comahia ão oma rovidêcias e o vôo sai como escalado em 6% das vezes. Que erceual de vezes o vôo sai arasado? Qual o emo médio ere dois vôos o horário? 8) A Ábaco sisemas de comuação regisra a cada semaa uma demada equirovável de ou de seu modelo A5. Todos os edidos devem ser aedidos do esoque exisee. Duas olíicas de esoque esão sedo cosideradas: olíica I: Se o esoque é de ou meos uidades, coloca-se um edido de forma que o esoque iicial a róxima semaa seja de 4 uidades. olíica II: Se o esoque é de ou meos uidades, coloca-se um edido de forma que o esoque iicial a róxima semaa seja de uidades. Os seguies cusos são observados a Ábaco: Cuso de comrar um comuador: $4. Cuso de maer o comuador em esoque $/semaa.comuador, rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

32 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Cuso de efeuar um edido $5 (além do cuso de $4. or comuador). Qual olíica em o meor cuso semaal eserado? 9) O rograma de reiameo de suervisores de rodução de uma deermiada comahia cosise de duas fases. A fase a qual evolve semaas de aula eórica, é seguida da fase a qual evolve semaas de aredizagem ráica. elas exeriêcias aeriores, a comahia esera que somee 6% dos cadidaos da fase eórica assem ara a fase ráica, com os 4% resaes sedo desligados do rograma de reiameo. Dos que fazem a are ráica, 7% são graduados como suervisores, % eviados ara reei-la e % disesados. a) Desehe o diagrama de rasição de esados. b) Quaos suervisores ode a comahia eserar formar de seu rograma ormal de reiameo, se exisem 45 essoas a fase eórica e a fase ráica? ) No isae, eu eho $. Nos isaes,,,... eu jogo um jogo o qual eu aoso $. A cada lace eho uma robabilidade de gahar $ e robabilidade q= - de erder $ Meu objeivo é aumear meu caial ara $4, e ão logo eu o cosiga eu saio do jogo, assim como se eu ficar sem ehum diheiro. a) Cosrua a mariz de robabilidades de rasição e o diagrama de rasição de esados ara a cadeia de Markov que modela o jogo. b) Aós jogadas qual a robabilidade que eu eha $? E $? c) orque ão é razoável ara ese jogo falar em robabilidades de regime ermaee? ) O livro de didáico "O - A Solução" vede milhão de exemlares a cada ao. Algus dos leiores coservam o livro equao ouros vedem o livro de vola ara a livraria. Suoha que 9% de odos os esudaes que comram um ovo livro o vedam de vola, que 8% dos esudaes que comram o livro com um ao de uso o vedam de vola e que 6% dos esudaes que comram um livro com dois aos de uso o vedam de vola. Os livros com 4 ou mais aos de uso já esão muio usados e ão são mais egociados. a) Em regime ermaee, quaos ovos exemlares do livro ode a ediora eserar veder do livro? b) Suoha que o lucro da livraria com cada io de livro seja de $6 or um livro ovo, $ or um livro com ao de uso, $ or um livro com aos de uso e de $ or livro com aos de uso. Qual o lucro eserado or livro vedido? ) Três bolas são divididas ere caixas. Durae cada eríodo uma bola é escolhida aleaoriamee e rocada ara a oura caixa. a) Calcule a fração do emo que uma caixa irá coer,, ou bolas. b) Se a caixa ão coém bolas, em média quao emo será decorrido aé que ela coeha, e rês bolas? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

33 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ) Classifique os diversos esados das cadeias de Markov a seguir, dadas or sua mariz de rasição. Calcule as robabilidades esacioárias. a),7,4,,8,,, b) / 6 / 6 / 6 / / / / / / c) / 4 /8 /8 d) / / 5 / / 5 f) / /8 / 5 / 4 4 / 5 / 4 / 7 /8 4) Dois jogadores jogam uma moeda hoesa. Se der cara o jogador I aga R$ ao jogador II, se der coroa é o jogador II que aga R$ ao jogador I. Cosidere que a quaidade oal de diheiro em jogo (iso é a soma das quaias ossuídas elos dois jogadores) é de R$5. Modele o jogo como uma cadeia de Markov. Dado que o jogador I começou o jogo com R$, calcule o emo eserado do jogo e a robabilidade de que cada um dos jogadores veça o jogo (iso é alcace R$5). 5) Quaro meios (A, B, C e D) bricam de laçar disco. Se o meio A recebe o disco laça-o ara B, C ou D com iguais robabilidades; se C recebe o disco laça-o ara A ou D com iguais robabilidades; se B ou D recebem o disco, ficam com o mesmo. Modele o roblema como uma cadeia de Markov. Desehe ambém o diagrama de rasição de esados. a) Se o disco esá com C qual a robabilidade de D ficar com o disco? b) Se A esá com o disco qual a robabilidade do disco ermiar com B? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

34 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 6) Cosidere um jogador que a cada lace de um jogo em uma robabilidade de gahar uma uidade e robabilidade q= - de erder uma uidade. Assumido que sucessivos laces são ideedees qual é a robabilidade que começado com i uidades a forua do jogador alcace aes de chegar a? 7) Uma loja de máquias foográficas esoca um modelo de máquia foográfica aricular que ode ser ecomedado semaalmee. Sejam D, D,..., D i,... variáveis aleaórias que rereseam a demada elas máquias durae a semaa i. Seja X o o esoque exisee de máquias, e X i o úmero de máquia disoíveis ao fial da semaa i. Sábado à oie a loja faz uma ecomeda que será eregue em emo ara a aberura da loja a a feira. A olíica de ecomedas da loja é (s,s)=(,); ou seja, se o Sábado a oie a quaidade de máquias em esoque for meor que s= (ehuma máquia em esoque), eão a loja ecomedará (aé) S= máquias; caso corário ehuma máquia será ecomedada. É suoso que haja erdas de vedas quado a demada exceder o esoque disoível. As variáveis aleaórias odem ser avaliadas ieraivamee ela exressão: X max max D X D,,,seX,seX Cosiderado que a demada em uma disribuição de oisso com média, a mariz de rasição de uma eaa é dada or: = a) Descreva como a mariz de rasições ode er sido obida. b) Se o rocesso iiciou com um esoque de máquias qual o emo eserado ara que o esoque se esgoe? c) Qual a robabilidade de ecorar o esoque com,,, e 4 máquias? d) Qual o emo médio ere duas ecomedas? 8) Um auralisa esá observado o comorameo de um sao em um equeo lago, o qual há 4 iféias (laas aquáicas). O sao circula ere esas 4 laas ulado de uma ara oura, as quais são umeradas arbirariamee de a 4. A robabilidade do sao ular de uma laa ara oura é iversamee roorcioal a disâcia ere elas (iso é, o sao refere ular ara uma laa mais ero do que ara uma mais loge). As disâcias ere as laas são: 4 6/5 / 6/7 / /4 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

35 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) a) Defia a mariz de rasição b) Calcule as robabilidades de regime ermaee c) Ierree esas robabilidades em ermos do comorameo do sao. d) Exlique, do oo de visa do sao, o que sigificam as hióeses de Markov e de esacioariedade. 9) Se-segura Comahia de Seguras classifica seus cliees de acordo com seu hisórico de acidees (do cliee). Um cliee que ão eha ido ehum acidee os úlimos dois aos em uma aualidade de $. Cliees que eham ido acidees em ambos os aos em uma aualidade de $4. Cliees que eham ido acidee em somee um dos úlimos dois aos em uma aualidade de $. Um cliee que eha ido um acidee o úlimo ao em % de chace de er um acidee o ao corree. Se o cliee ão iver ido ehum acidee o úlimo ao ele em % de chace de er um acidee o ao corree. ara um dado ao, qual é a aualidade média aga or um cliee da Se-segura? ) DOFOGO é uma comahia roduora de fogões, famosos ela sua qualidade. A comahia em uma olíica de aos de garaia, ode ela garae a subsiuição de qualquer fogão que falhe durae ese eríodo. A comahia esá laejado fazer uma camaha romocioal ode reede eseder a garaia ara rês aos. Como forma de avaliar o imaco desa ova olíica foram coleados os seguies dados: % dos fogões ovos falham durae o rimeiro ao de oeração; 5% dos fogões com mais de um ao de uso falham durae o segudo ao de oeração; 7% dos fogões com mais de dois aos de uso falham durae o erceiro ao de oeração. Observe que um fogão subsiuído ão é cobero ela garaia. a) Use cadeias de Markov ara redizer quaos fogões deverão ser reosos com a ova olíica. b) Suodo que o cuso de reor um fogão seja de $ e que a DOFOGO veda. fogões or ao, qual o imaco moeário da mudaça de olíica de garaia? ) O rorieário de uma barbearia de uma só cadeira esá esado em exadi-la devido ao fao de haver muia gee em esera. As observações idicam que durae o eríodo de emo requerido ara corar o cabelo de uma essoa, odem haver, e ovas chegadas com robabilidade,;,4;,;,; resecivamee. A cada em caacidade fixa de 6 essoas, icluido aquela que esiver corado o cabelo. a) Desehe o diagrama de rasição de esado e deermie a mariz de robabilidade de rasição. b) Deermie a robabilidade que a casa eseja loada. c) Dado que a casa esa loada quao emo demora aé que ela eseja comleamee vazia? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

36 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ) Suoha que você coduziu uma série de eses sobre um rocedimeo de reiameo e verificou que a seguie mariz de robabilidades descreve o cojuo de resosas correas e icorreas j-ésimo ese (j+)-ésimo ese Correo Icorreo Correo,95,5 Icorreo,,99 a) Que roorção de resosas correas se ode eserar de um esagiário absoluamee reiado? b) Que roorção de resosas correas se ode eserar de um esagiário aós quaro reeições do rocedimeo, caso a resosa iicial seja igualmee ossível de ser correa ou icorrea? c) Qual a robabilidade de que se obeha, ela rimeira vez, uma resosa correa, exaamee quaro eaivas aós uma resosa icorrea? d) Qual o úmero médio de eaivas ara que se obeha uma resosa correa aós er obido uma resosa icorrea? ) Um jogador joga um jogo limo o qual as chaces são cora. Em ouras alavras ele em / de robabilidade de gahar e / de erder. Se gahar, gahará $. Se erder, erderá $. Suoha que os recursos oais do jogador e do seu ooee sejam $N. Se o caial de qualquer um dos jogadores cair abaixo do oo em que eles udessem agar caso erdessem o jogo seguie o jogo ermia. a) Desehe o diagrama de rasição de esados e deermie a mariz de rasição. b) Suoha que os dois jogadores cocordem em que se o caial de qualquer dos dois cair ara $, eles farão o róximo jogo com chaces iguais gaharão ou erderão $, com igual robabilidade. Desehe o diagrama de rasição de esados e deermie a mariz de rasição ara ese caso. c) No caso descrio a lera (b) suoha que o jogador em $ e o jogador em $, qual a robabilidade do jogador gahar o jogo? d) Quaas jogadas durará o jogo? 4) erfura-se um oço e, à medida que a erfuração avaça, uma série de erfis são realizados. Suoha que o oço ossa ser classificado em quaro esados, roulados como se segue: Em curso; Com desvio ligeiro, Com desvio aceuado, Abadoado (or esar ão fora de curso, que ão se cosegue mais aigir o alvo). Suoha aida que X reresee o esado do sisema aós a -ésima correção de curso e que o comorameo do oço ossa ser modelado or uma cadeia de Markov, com a seguie mariz de robabilidade de rasição: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

37 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) = / /4 /4 / /4 /4 a) Se o oço começou com um desvio ligeiro, qual a robabilidade de que ele eveualmee ere em curso? b) Se o oço em chaces iguais de começar com desvio ligeiro e aceuado, qual a robabilidade de que ele eveualmee ere em curso? 5) Na eoria de aálise de crédio, deermiados auores verificaram que a esimaiva dos valores cosiderados como devedores duvidosos cosuma seguir dois assos básicos descrios a seguir: Classificam-se as coas or idade, que refleem o esado em que a coa se ecora: um mês de araso, dois meses de araso, ec. Esima-se uma execaiva de erda ara cada esado, geralmee com base a olíica da emresa, siuação ecoômico-fiaceira do cliee e ouros faores relevaes ara a aálise do crédio. O segudo óico merece uma aálise mais dealhada, sedo que aualmee diversos méodos, ricialmee a área de ecoomeria, esão sedo desevolvidos. Ereao, é ossível desevolver um méodo ara esimar a robabilidade de devedores duvidosos, com base as Cadeias de Markov, aravés do araso e da iadimlêcia exisee ara uma deermiada careira de crédio de uma isiuição fiaceira. Se em uma deermiada daa fizermos um levaameo de uma careira de crédio, oderemos facilmee verificar os seguies esados das coas em careira: A = valores a serem recebidos que aida ão veceram, ou seja, esão em dia ou com (zero) meses de araso; A = valores a serem recebidos que esão com mês de araso;... A j = valores a serem recebidos que esão com j meses de araso;... A = valores a serem recebidos que esão com meses de araso; Essa disosição corresode a uma classificação da idade das coas a receber, sedo o esado A a coa que esá em dia, A a coa com um mês de araso, e assim or diae. A é a siuação dos cosiderados icobráveis. Na ráica o úmero de idades das coas ode variar de isiuição ara isiuição ou or caegorias de crédio, ais como crédio imobiliário, leasig, fiaciameos direos ao cosumidor e qualquer ouro io de oeração de crédio. Se cosiderarmos um levaameo de coas a receber roveiees do eríodo i ara o eríodo seguie i +, que deomiaremos de j, a coa oderá ser classificada com relação a esses dois ídices, o eríodo aerior e o eríodo em que se ecora o momeo aual. De forma geral, eremos A jk igual ao levaameo da caegoria k o emo i +, o qual é roveiee da caegoria j o emo i. ara cosiderarmos odas as ossíveis caegorias devemos acrescear mais uma caegoria àquelas descrias aeriormee. Traa-se da caegoria corresodee aos íulos classificados como agos, que serão descrios rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

38 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) como ag. Valores classificados em qualquer caegoria o eríodo i odem mover-se ara a caegoria dos íulos agos ou ara qualquer oura caegoria de a o eríodo i +. Iremos adoar os rocedimeos recomedados elo Baco Ceral do Brasil, aravés da resolução.68, que deermia que os crédios vecidos há mais de 6 (sessea) dias, sem garaias, sejam rasferidos ara as coas de Crédios em Liquidação. Em º de março foi levaada uma amosra de 5 coas, e em de março foi verificado o comorameo dessas coas: De / a / Ieg. g Em dia Araso mês Araso meses erda Toal Emiidas aé 8/ Emiidas aé / Emiidas aé / A rimeira liha sigifica que, das fauras emiidas o mês de fevereiro, um oal de 4, 5 foram agas, aida ão veceram e 5 veceram e ão foram agas, coado o araso de um mês. A seguda liha mosra que, de 45 fauras emiidas o mês de jaeiro, foram agas, 9 aida ão veceram, 9 areseam araso de um mês e 5 com araso de dois meses. Fialmee, a úlima liha mosra que, de fauras emiidas o mês de dezembro, além da seqüêcia de agameos e arasos, corresodem à erda, ou seja, araso suerior a meses. Seja uma careira de crédio oal de R$..,, coforme mosramos a seguir: Siuação da Careira Valor (R$) Coas em dia 8. Coas com araso de mês. Coas com araso de meses 8. Valor da careira.. Calcule o valor eserado que será ago. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

39 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E). TEORIA DE FILAS.. INTRODUÇÃO E CONCEITOS BÁSICOS A eoria das filas evolve o esudo maemáico das filas, ou filas de esera. Filas odem exisir a forma de essoas ou objeos eserado algum io de serviço ou odem exisir um seido mais absrao, ou seja, ão ão visível, como uma fila de avios eserado ara aracar em um oro. Um modelo ou sisema de filas ode ser brevemee descrio da seguie forma: usuários (ou fregueses ou cliees) chegam ara receber um cero serviço e, devido à idisoibilidade de aedimeo imediao, formam uma fila de esera. A Figura. ilusra esa idéia. Os ermos usuário e serviço são usados com seido amlo. odemos esar os referido a carros que chegam a um oso de edágio, máquias que eseram ara serem coseradas, eças que seguem uma liha de moagem ou mesages que são rasmiidas elos caais de comuicação. Uma rede de filas é formada or várias filas que se iercoecam ere si de modo que o usuário ao sair de uma fila ode (com uma cera robabilidade) dirigir-se a oura. Nas redes aberas há fluxo de fregueses erado e saido do sisema. or ouro lado, há redes fechadas as quais o úmero de usuários ermaece ialerado, iso é, ão há movimeação de usuários ara dero ou ara fora do sisema. Um serviço de maueção de máquias ode ser viso como uma rede fechada ode M máquias se aleram ere os ceros de maueção e de oeração. Dessas defiições básicas, ramificam-se um sem úmero de ouros modelos de filas adequados às varias áreas, semre a busca de melhor reresear a realidade. Foe de chegadas Cliees Fila Sisema de serviço Cliees vidos servidos aridas Sisema de filas Figura. - O rocesso de Fila Básico Em alicações, o esudo dos modelos de filas em como objeivo a melhoria de desemeho do sisema, eedida, ere ouros asecos, como melhor uilização dos recursos de serviço disoíveis, meor emo de esera e mais raidez o aedimeo. O ioeiro ese esudo foi A. K. Erlag que, o começo do século, como egeheiro da comahia diamarquesa de elefoes, esudou o roblema de cogesioameo das lihas. A Telefoia ermaeceu a ricial alicação de eoria das filas aé or vola de 95. A arir daí, um grade úmero de áreas em uilizado essa ferramea e a vasa lieraura é o melhor idicador dessa exasão. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

40 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E)... ORQUE FILAS SÃO ESTUDADAS As filas são esudadas orque em oda fila, embora em semre se erceba, exise embuido um roblema ecoômico e ese roblema ecoômico surge orque em qualquer fila exisem dois cusos evolvidos: o cuso da fila e o cuso do serviço. ara exemlificar o que vem a ser eses dois cusos, vamos usar o exemlo ciado acima sobre o rocesso de aracação de avios em um oro. Em qualquer oro, exisem os locais ode os avios odem aracar. Eses locais são chamados berços. Assim o úmero de berços dá o úmero máximo de avios que odem aracar em um oro. or sua vez, a legislação ieracioal que regulamea o ráfego maríimo deermia que se ao chegar a um oro (obviamee a daa cera), ão houver berço ara aracar, a admiisração do oro em que ideizar a comahia, doa do avio, elo emo que ele ficar ao largo eserado berço livre ara aracar. Em resumo quado, or qualquer moivo, odos os berços de um oro esão ocuados, os avios que chegam formam uma fila (lógica) aguardado sua vez. O cuso do serviço é o cuso de cosruir e maer em fucioameo os berços de aracação. Quao mais berços oferecidos, ou seja, quao maior o ível de serviço oferecido, maior ese cuso. O cuso da fila é o cuso que a admiisração do oro em elo agameo das ideizações aos avios que eseram a fila. Ese cuso é iversamee roorcioal ao cuso do serviço (úmero de berços). Se exisem oucos berços o cuso da fila será grade, mas o cuso do serviço será equeo. Já se exisirem muios berços, o cuso do serviço será grade, mas em comesação, como a fila será equea, o cuso da fila será equeo.... RINCIAIS CARACTERISTICAS DE UMA FILA Algumas das caracerísicas básicas de uma fila como: chegadas, serviço de discilia de aedimeo e caacidade de esera serão descrias a seguir. (a) Chegadas O rocesso de chegada (arrival rocess) é a descrição de como os usuários rocuram o serviço. Se eles chegam a iervalos fixos de emo, o rocesso de chegadas é dio cosae ou deermiísico. or ouro lado, se as chegadas são aleaórias o emo, elas formam um rocesso esocásico e é ecessário descrever suas roriedades robabilísicas. A suosição mais comum é de que as chegadas formam um rocesso de reovação, iso é, os iervalos ere chegadas são ideedees e ideicamee disribuídos. Em geral, é ambém assumida a ideedêcia em relação ao serviço, mas é ossível alicar um rocesso de reovação ara as chegadas, codicioado à siuação do serviço. O rocesso de oisso é um rocesso de reovação com disribuição exoecial e é um dos rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

41 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) mais uilizados ara modelar as chegadas. Além de descrever, com boa aroximação, diversas siuações ráicas, os rocessos de oisso icororam facilidades o raameo maemáico roorcioadas ela fala de memória da disribuição exoecial. As disribuições de Erlag e hierexoecial são ambém basae uilizadas. Modelos mais comlicados evolveriam ossíveis deedêcias ere as chegadas como, or exemlo, a siuação ode uma chegada de cero io aumearia ou dimiuiria a chace de ocorrêcia de ouro io de chegada. As chegadas mecioadas acima odem ser uiárias ou em um bloco (baches). Nese caso, além do emo ere chegadas, ambém o amaho dos blocos é aleaório. or exemlo, em aerooros ieracioais, a chegada de assageiros de um cero vôo ao oso alfadegário se dá em bloco, ode o amaho do bloco é a loação do avião. Exisem siuações em que as chegadas deedem do úmero de usuários o sisema, odedo aé ocorrer a siuação em que uma chegada ão se jua à fila. Iso ode ocorrer or decisão do usuário ou or limiação o esaço ara esera. O caso clássico, cohecido como sisema com erda (loss sysem), origiou-se do esudo de ráfego elefôico ode o usuário comlea a chamada ou obém sial de ocuado e é excluído do sisema. Chegadas com usuários imaciees, que abadoam a fila aós algum emo de esera, odem ambém ser modeladas. (b) Serviço Da mesma forma que o rocesso de chegada é ossível cosiderar o emo de serviço como sedo deermiísico ou aleaório. A disribuição do emo de serviço ode deeder do esado do sisema ou, aé mesmo do io de usuário a ser servido. orém a hióese mais simles é a de ideedêcia, iso é, o serviço é um rocesso de reovação. Dere as disribuições mais usadas desacam-se a exoecial, Erlag e hierexoecial. O úmero de servidores disoíveis ara o aedimeo a uma mesma fila ambém deve ser esecificado. Nese caso, é comum mecioar os servidores esão em aralelo uma referêcia a esarem aededo uma mesma fila. (c) Discilia de Aedimeo A discilia de aedimeo se refere a maeira como os usuários serão selecioados ara receber serviço. No osso coidiao os aedimeos, em geral, se dão ela ordem de chegada. A fila o caixa do suermercado, a reirada de carros de um esacioameo e a comra de igressos ara o ciema são exemlos dessa discilia, que será referida como FCFS (do iglês, firs come firs served). Em alicações, ouras discilias odem aarecer. A discilia LCFS (las come firs served) ode ser usada em modelos de arquivo ou de busca em disco rígidos. O serviço em ordem aleaória, ideedee do emo de chegada, ode servir de modelo ara algus sisemas comuacioais. Oura discilia, que em alicação em comuação é a do rocessameo ou emo comarilhado (rocessor or ime sharig) que é defiida ela dedicação, a odos os usuários resees o sisema, de uma equea quaidade de serviço de cada vez. Assim, em rodadas sucessivas, o usuário vai recebedo sua dose de aedimeo aé que sua requisição oal de rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

42 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) serviço seja comleada. A discilia de aedimeo ode aida esabelecer rioridades ere usuários de modo a aeder rimeiro os de ala rioridade. Em algus modelos o serviço ode aé ser ierromido ara dar lugar a um usuário de rioridade mais ala. Quado modelos com rioridade são adoados é ecessário esecificar como se dará a ordem de aedimeo dero da mesma classe de rioridade e, em geral, FCFS é uilizada eses casos. (d) Caacidade do Sisema É muio comum haver uma limiação física o umero de usuários que odem eserar. Se a caacidade oal esiver ocuada, o usuário ão oderá erar o sisema e será erdido ou desviado ara ouro cero de serviço. Essa limiação se relacioa com a chegada, mas a decisão de ão se juar à fila ão é do usuário e sim do sisema de serviço. Uma fila é caracerizada elo máximo úmero ermissível de cliees que ela ossa coer. As filas são chamadas de ifiias ou fiias, de acordo com esse úmero ser ifiio ou fiio. A suosição de uma fila ifiia é o adrão ara a maioria dos modelos de fila, mesmo ara siuações em que a verdade exisa um limie suerior fiio (relaivamee grade) o úmero ermissível de cliees, uma vez que raar com um limie suerior seria um faor de comlicação a aálise. Ereao, ara sisemas de filas em que ese limie suerior é suficieemee equeo, ara que seja, de fao, alcaçado com alguma frequêcia, ora-se ecessário suor uma fila fiia. Variado as caracerísicas (a) a (d) acima, odemos ober um grade úmero de modelos, coforme será areseado a seguir.... NOTAÇÃO DE KENDALL O rofessor D. G. Kedall criou, em 95, uma oação ara sisemas de filas que é hoje largamee uilizada. A oação cosise a forma A/B/c/K/Z, ode A descreve a disribuição do emo ere chegadas, B a disribuição do emo de serviço, c o úmero de servidores, K a caacidade da fila de esera (algus auores defiem K como caacidade oal de usuários o sisema) e Z a discilia de aedimeo. Algumas escolhas ara A e B são as seguies: M: Disribuição Exoecial (de memoryless) E k : Disribuição de Erlag-k D: Disribuição Deermiísica ou degeerada U: Disribuição Uiforme G: Disribuição Geral (ão esecificada) A omissão de K e Z a rereseação acima idica que a fila em caacidade ifiia e discilia FCFS. or exemlo, a fila M/G/ em chegadas exoeciais, o serviço com disribuição geral e um servidor, ão há limie a sala de esera e o aedimeo é a ordem de chegada. or ouro lado, a fila G/E//5 em chegadas seguido uma disribuição geral, rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

43 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) o serviço segue a disribuição de Erlag-, exisem servidores, a caacidade máxima do sisema é 8 (oe que a fila máxima em comrimeo 5) e, como ada foi mecioado, a discilia de aedimeo é FCFS. De forma resumida eão odemos aresear o seguie formao: A/B/c ode, A reresea a disribuição de chegadas, B reresea a disribuição do serviço e c idica o úmero de esações de serviço. Como a disribuição de oisso iclui as roriedades do rocesso Markoviao, a oação usada ara A e B é M quado emos um rocesso de oisso...4. TERMINOLOGIA E NOTAÇÕES A meos que seja dio o corário, as seguies oação e ermiologia adrões serão usadas dese oo em diae: Tabela. Termiologias usadas em Teoria das Filas Esado do Sisema Comrimeo da Fila Número de cliees o sisema de fila Número de cliees eserado um serviço ou esado do sisema meos o úmero de cliees sedo servidos N () Número de cliees o sisema de fila o emo ( ) () S λ robabilidade de que exaamee cliees esejam o sisema de fila o emo, dado o úmero o emo Número de servidores (caais de serviço aralelo) o sisema de fila Taxa média de chegada (úmero eserado de chegadas or emo uiário) de ovos cliees, quado cliees esão o sisema. Taxa média de serviço ara odo o sisema (úmero eserado de cliees cocluido o serviço or emo uiário) quado cliees esão o sisema λ,, Vide arágrafo seguie Quado λ for uma cosae ara odo, esa cosae será deoada or λ; quado a axa média de serviço or servidor ocuado for uma cosae ara odo, esa cosae será deoada or (ese caso, = s, quado s, de modo que odos os s servidores esarão ocuados). Nesas circusâcias / λ e / são o emo ere chegadas eserado e o emo ere serviços eserado, resecivamee. Também s é o faor de uilização da isalação de serviço, iso é, a fração de emo eserada em que os servidores esão ocuados, orque λ/s reresea a fração da rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

44 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) caacidade do serviço do sisema (s) que esá sedo uilizada em média elos cliees que chegam (λ). Também é ecessária alguma oação ara descrever os resulados do esado de equilíbrio. Quado um sisema de fila eha começado a oerar receemee, o esado do sisema (úmero de cliees o sisema) será grademee afeado elo esado iicial e elo emo decorrido desde eão. O sisema é dio eão esar em codição rasiee. Ereao, deois de já er assado emo suficiee, o esado do sisema se ora essecialmee ideedee do esado iicial e do emo decorrido (exceo sob circusâcias ouco usuais). O sisema, eão, alcaçou essecialmee uma codição de esado de equilíbrio. A oação mosrada a Tabela. suõe que o sisema eseja uma codição de esado de equilíbrio: Tabela. Noação uilizada o esado de equilíbrio N L L q W q Número de cliees o sisema de fila robabilidade de que exaamee cliees esejam o sisema o sisema de fila Número de cliees eserado o sisema de fila Comrimeo de fila eserado Temo de esera o sisema (iclui emo de serviço) ara cada cliee em aricular E () Temo de esera a fila (exclui o emo de serviço) ara cada cliee em aricular W q E ( q )..5. RESULTADO DE LITTLE As relações ere as medidas de desemeho do sisema são cohecidas como fórmulas de Lile. Esas relações relacioam o úmero médio de usuários (L ou L q ) com o emo médio de esera (W ou W q ) e iveram a sua rimeira demosração formal o rabalho de Lile [96]. Desde eão rovas aleraivas e exesões êm sido areseadas e sua validade exraolou os modelos Markoviaos e ode ser verificada ara sisemas mais gerais. Suodo que λ seja uma cosae λ ara odo. Num rocesso de fila em esado de equilíbrio, foi rovado que: L = λ W Além disso, a mesma rova ambém mosra que: L q = λ W q rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 44

45 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Se os λ ão forem iguais, eão λ oderá ser subsiuído esas equações or λ/, a axa média de chegada a logo razo. Suodo agora que o emo médio de serviço seja uma cosae, /, ara odo. Segue eão que: W = W q + / Esas relações são exremamee imoraes orque ermiem que odas as quaro quaidades fudameais, L, W, L q, W q, sejam imediaamee deermiadas, assim que uma delas seja ecorada aaliicamee. Iso é muio bom orque algumas desas quaidades frequeemee são muio mais fáceis de ecorar que ouras, quado esamos resolvedo um modelo de fila a arir de ricíios básicos...6. EXEMLOS DE SISTEMAS DE FILAS REAIS Uma classe imorae dos sisemas de filas que odos ós ecoramos em ossas vidas diárias é a dos sisemas de serviço comerciais, ode os cliees recebem serviços de orgaizações comerciais. Muias desas orgaizações evolvem serviços de essoa a essoa um local fixo, al como uma barbearia (os barbeiros são os servidores), serviço de caixa o baco, as caixas de suermercado e uma fila de lachoee ode cada um se serve (caais de serviço em série). Ereao, em muias ouras orgaizações, iso ão ocorre, ais como serviços de assisêcia écica a domicilio (o écico de maueção vai aé o cliee), máquia de veda auomáica (ode o vededor é uma máquia), e um oso de gasolia (ode os carros odem ser visos como os cliees). Oura classe imorae é a dos sisemas de serviço de rasore. ara algus deses sisemas, os veículos são os cliees, ais como os carros eserado um oso de edágio ou sialeira de râsio, um camihão ou avio eserado ara ser carregado ou descarregado or carregadores (ou servidores), e aviões eserado ara aerrisar ou decolar de uma isa (o servidor). Em aos recees, a eoria de filas, rovavelmee em sido mais alicada a sisemas de serviço ieros emresa-idúsria, ode os cliees que recebem serviços são ieros à orgaização. Exemlos diso são sisemas de mauseio de maeriais, ode uidades de mauseio de maeriais (ou servidores) movem as cargas (os cliees). Além disso, as máquias odem ser visas como servidores cujos cliees são os rabalhos que esão sedo rocessados. Um exemlo correlao de grade imorâcia é uma isalação de comuador, ode o comuador é viso como servidor. Ulimamee, em havido um recohecimeo crescee de que a eoria das filas ambém seja alicável a sisemas de serviço social. or exemlo, um sisema judicial é uma rede de filas, ode os ribuais são isalações de serviços, os juízes (ou aiéis de juízes) são os servidores, e os casos eserado ara serem julgados são os cliees. Um rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 45

46 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) sisema legislaivo é uma rede de filas similar, ode os cliees, agora, são os rojeos de lei eserado ara serem rocessados. Embora essas sejam quaro grades classes dos sisemas de filas, elas aida ão esgoam a lisa. De fao, a eoria das filas eve iicio o riciio dese século, com alicações a egeharia elefôica, e aida ermaece como uma imorae área de alicação. Além disso, odos ós emos as ossas filas essoais rabalhos de casa, livros ara ler, e assim or diae...7. A DISTRIBUIÇÃO EXONENCIAL NA TEORIA DE FILAS As caracerísicas de oeração dos sisemas de filas são grademee deermiadas or duas roriedades esaísicas, iso é, a disribuição de robabilidade dos emos ere chegadas e a disribuição de robabilidades dos emos de serviço. ara sisemas de filas reais, esas disribuições odem assumir raicamee qualquer forma (a úica resrição é que ão odem ocorrer valores egaivos). Ereao, ara a formulação de um modelo de eoria de filas como uma rereseação do sisema real é ecessário esecificar a forma assumida de cada uma desas disribuições. ara ser úil, a forma assumida deveria ser suficieemee realisa, ara que o modelo foreça redições razoáveis, equao que, ao mesmo emo, fosse suficieemee simles, ara que o modelo fosse maemaicamee raável. Nesas bases, a disribuição de robabilidade mais imorae a eoria das filas é a disribuição exoecial. Suohamos que a variável aleaória T reresee ou o emo ere chegadas ou o emo de serviço. Quais as imlicações de suormos que T eha uma disribuição exoecial ara um modelo de filas? ara exlorar isso, é ecessário examiar cico roriedades-chave da disribuição exoecial. RORIEDADE : f T () é uma fução esriamee decrescee de ( ). f T () x x Figura. roriedade da Disribuição Exoecial a Teoria das Filas Uma coseqüêcia da roriedade é que: [ T Δ] > [ T + Δ] rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 46

47 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ara quaisquer valores esriamee osiivos de Δ e. Iso decorre do fao de que essas robabilidades são a área sob a curva f T (), dero do iervalo de comrimeo Δ idicado, e de que a alura média da curva é meor ara a seguda robabilidade que ara a rimeira. or isso, ão aeas é ossível, como ambém relaivamee rovável que T assuma um valor equeo róximo a zero. De fao, [ T ] =,9 equao [ T ] =,8 de modo que é mais rovável que o valor de T assuma seja equeo, iso é, meor que a meade de E(T) e ão róximo ao seu valor eserado, iso é, ão muio loge de meade de E(T), mesmo que o segudo iervalo seja duas vezes maior que o rimeiro. O quesioameo a ser feio é se esa roriedade ara T é realmee razoável um modelo de fila? Se T reresear emos de serviço, a resosa deederá da aureza geral do serviço evolvido, coforme discuido a seguir. Se o serviço requerido for essecialmee idêico ara cada cliee, com o servidor realizado semre a mesma seqüêcia de oerações de serviço, eão os emos de serviço reais ederiam a esar róximos ao emo de serviço eserado. odem ocorrer equeos desvios da média, orém usualmee isso se daria aeas or causa das equeas variações a eficiêcia do servidor. Um emo de serviço equeo, muio abaixo da média, seria essecialmee imossível orque é ecessária uma cera quaidade de emo míimo ara realizar as oerações de serviço requeridas, mesmo que o servidor eseja rabalhado a oda velocidade. Esa claro que a disribuição exoecial ão foreceria uma aroximação recisa ara a disribuição de emo de serviço ara ese io de siuação. or ouro lado, cosideremos o io de siuação em que as arefas esecíficas requeridas dos servidores sejam diferees, de cliee ara cliee. A aureza geral do serviço ode ser a mesma, orem o io esecifico e a quaidade de serviço diferem. or exemlo, ese seria o caso o roblema do quaro de emergêcia do Hosial Muicial. Os médicos ecoram uma grade variedade de roblemas médicos. Na maioria dos casos, eles odem forecer o raameo ecessário bem raidamee, orem, ocasioalmee, um aciee requer cuidados exesivos. Uma disribuição de emo de serviço exoecial arece basae lausível ara ese io de siuação de serviço. Se T reresear os emos ere chegadas, a roriedade exclui siuações em que cliees oeciais que se aroximem do sisema de fila edam a arasar a sua erada se virem ouro cliee erado a sua free. or ouro lado, iso é ieiramee cosisee com o feômeo comum de chegada ocorredo aleaoriamee, que será descrio or roriedades subseqüees. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 47

48 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) RORIEDADE : Fala de Memória. Esa roriedade ode ser defiida maemaicamee como: {T > + Δ T > Δ} = {T > } ara quaisquer quaidades osiivas e Δ. Em ouras alavras, a disribuição de robabilidade do emo resae aé o icidee (chegada ou coclusão do serviço) que ocorre é semre a mesma, ideedee de quao emo (Δ) já eha se assado. Com efeio, o rocesso esquece sua hisória. Ese feômeo surreedee ocorre com a disribuição exoecial orque {T > + Δ T > Δ} = T, T T T T e e e ara emos ere chegadas, esa roriedade descreve a siuação comum ode o emo aé a chegada seguie é comleamee ão iflueciado or quado eha ocorrido a ulima chegada. ara emos de serviço, a roriedade é mais difícil de ser ierreada. Não deveríamos eserar que ela se maivesse uma siuação ode o servidor ivesse que realizar a mesma seqüêcia fixa de oerações ara cada cliee orque, eão, um serviço logo imlicaria que rovavelmee ouco resaria a ser feio. or ouro lado, o io de siuação ode as oerações de serviço requeridas diferem de cliee ara cliee, a defiição maemáica da roriedade ode ser basae realísica. ara ese caso, se já iver sido feio um serviço cosiderável ara um cliee, a úica imlicação ode ser que ese cliee em aricular requeira mais serviços que a maioria. RORIEDADE : O míimo de diversas variáveis aleaórias ideedees exoeciais em uma disribuição exoecial. ara defiirmos esa roriedade maemaicamee, façamos com que T, T,..., T sejam variáveis aleaórias ideedees exoeciais, com arâmeros,,...,, resecivamee. Façamos ambém com que U seja a variável aleaória que assuma o valor igual ao míimo dos valores realmee assumidos or T, T,..., T, iso é, U = mi {T, T,..., T } rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 48

49 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) orao, se T i reresear o emo aé que um io aricular de icidee ocorra, eão U rereseará o emo aé que o rimeiro dos icidees diferees ocorra. Noese, agora, que ara qualquer, {U > } = {T >, T >,..., T > } = {T > } {T > }... {T > } = e - e -... e -- = ex i i de modo que U de fao em uma disribuição exoecial com arâmero: i i Esa roriedade em algumas imlicações ara os emos ere chegadas os modelos de filas. Esecificamee, vamos suor que exisam diversos () ios diferees de cliees, orém os emos ere chegadas ara cada io (io i) eham uma disribuição exoecial com arâmero i (i =,,..., ). ela roriedade o emo resae a qualquer isae esecifico aé à chegada seguie de um cliee do io i eria esa mesma disribuição. orao, fazedo com que T i seja ese emo resae medido a arir do isae em que um cliee de qualquer io chegue. A roriedade, eão, os diz que U, os emos ere chegadas ara o sisema de fila como um odo, em uma disribuição exoecial com arâmero defiido ela equação acima. Como resulado, odemos oar or igorar a disição feia ere os cliees e aida ermos emos ere chegadas exoeciais ara o modelo de fila. Ereao, as imlicações são aida mais imoraes ara emos de serviços os modelos de filas que eha mais de um servidor. or exemlo, cosiderado a siuação em que odos os servidores eham a mesma disribuição exoecial de emo de serviço, com arâmero. ara ese caso, façamos com que seja o úmero de servidores, resado serviços aualmee, e façamos com que T i seja o emo de serviço resae ara o servidor i (i =,,..., ), o qual ambém um disribuição exoecial, com arâmero i =. Segue-se, eão, que o U, o emo aé coclusão de serviço seguie, de qualquer deses servidores, eham uma disribuição exoecial, com arâmero =. Com efeio, o sisema de fila aualmee seria rocessado exaamee como um sisema de um servidor úico, ode os emos de serviço êm uma disribuição exoecial com arâmero. RORIEDADE 4: Relação com a disribuição de oisso. Suohamos que o emo ere ocorrêcias cosecuivas de algum io de icidee aricular (or exemlo, chegadas, ou coclusão de serviços or um servidor coiuamee ocuado) eha uma disribuição exoecial com arâmero. A roriedade 4 eão, em a ver com a imlicação resulae quao a disribuição de robabilidade do úmero de rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 49

50 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) vezes em que ese io de icidee ocorre dero de um esaço de emo esecífico. Em aricular, fazedo com que X() seja o úmero de ocorrêcias o emo (>), ode o emo desiga o isae em que se começa a coar. A imlicação é que: {X() = } =! e, ara =,,,... iso é, X() em uma disribuição de oisso, com arâmero. or exemlo, com =, {X() } = e - o qual é exaamee a robabilidade da disribuição exoecial de que o rimeiro icidee ocorra deois do emo. A média desa disribuição de oisso é: E{X()} = de modo que o úmero eserado de icidees or emo uiário é. Assim, é dio ser a axa média a qual os icidees ocorrem. Quado os icidees são coados em uma base coíua, o rocesso de coagem {X(): >} é dio ser um rocesso de oisso, com arâmero (a axa média). Esa roriedade forece iformações úeis sobre as coclusões dos serviços quado os emos dos serviços êm uma disribuição exoecial com arâmero. Iso é feio defiido-se X() como o úmero de coclusões de serviços aigido or um servidor coiuamee ocuado o esaço de emo ode =. ara os modelos de filas de servidores múlilos, X() ambém ode ser defiido como o úmero de coclusões de serviços aigido or servidores coiuamee ocuados o esaço de emo ode =. A roriedade é aricularmee úil ara descrever o comorameo robabilísico das chegadas, quado os emos ere chegadas êm uma disribuição exoecial com o arâmero. Nese caso, X() seria o úmero de chegadas o esaço de emo, ode = é a axa média de chegada. orao, as chegadas ocorrem de acordo com um rocesso de chegada de oisso. Tais modelos de filas ambém são descrios como uma chegada de oisso. Às vezes é dio que as chegadas ocorrem aleaoriamee, eededo-se or isso que elas ocorrem de acordo com um rocesso de chegada de oisso. Uma ierreação iuiiva dese feômeo é que cada eríodo de emo de exesão fixa em a mesma chace de er uma chegada, ideedeemee de quado eha ocorrido a chegada recedee, como sugerido ela roriedade que se segue. RORIEDADE 5: ara odos os valores osiivos de, {T + Δ T > } Δ, ara Δ equeo. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

51 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ara uma variável aleaória T que em uma disribuição exoecial, com arâmero, a roriedade imlica que {T + Δ T > } = {T Δ} {T + Δ T > } = e - Δ ara quaisquer quaidades osiivas de e Δ. orao, como a exasão de série de e x ara qualquer exoee x é e x = + x + x! segue-se que {T + Δ T > } = + Δ -! Δ, ara Δ equeo, orque os ermos do somaório oram-se relaivamee egligeciáveis ara valores suficieemee equeos de Δ. Noe-se que o valor de realmee ão afea esa esabilidade. Como idicado aeriormee, T ode reresear ao emos ere chegadas quao emos de serviços os modelos de filas. or isso, esa roriedade oferece uma aroximação coveiee da robabilidade de que o icidee em quesão (chegada ou coclusão de serviços) ocorra o iervalo (Δ) de emo equeo seguie. A roriedade ambém mosra que esa robabilidade é essecialmee roorcioal a Δ ara valores equeos de Δ...8. ROCESSO DE OISSON As roriedades do chamado rocesso de oisso se ajusam muio bem aos modelos básicos de filas. Ese fao fez com que as soluções aalíicas ara modelos de filas udessem ser obidas ara àqueles modelos. A obeção de soluções aalíicas ara modelos que ão seguem o rocesso de oisso são, quado viáveis, maemaicamee comlexas e exremamee rabalhosas. A seguir são areseadas as roriedades fudameais do rocesso de oisso, já adaadas ara sisemas de filas. Cabe ressalar que esas roriedades são rovadas maemaicamee. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

52 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) () O úmero de chegadas (ou de serviços comleados) em uma uidade de emo esecificada é ideedee do umero de chegadas (ou érmio de serviços) em qualquer oura uidade. () O úmero médio de chegadas (ou érmio de serviços) or uidade de emo é roorcioal ao amaho da uidade de emo. () A robabilidade de ocorrêcia de chegadas simulâeas (ou érmio de serviços) em uma uidade de emo muio equea (Δ) ede a zero. (4) A robabilidade de chegada (ou érmio de serviço) ocorrer em uma uidade de emo muio equea, Δ, é semre a mesma, ideedee do isae Δ. (5) Se a disribuição das chegadas (discrea) segue a disribuição de oisso, eão a disribuição do iervalo ere chegadas (coiua) segue a Exoecial. Se a disribuição da duração do serviço (coiua) segue a Exoecial, eão a disribuição dos serviços comleados (discrea) segue a oisso... FILAS MARKOVIANAS (ROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE)... SISTEMAS INFINITOS... Modelo M M Ese é o modelo de fila mais simles, a qual ossui as seguies caracerísicas: Tamaho ermiido ara a fila ifiio; Chegadas seguido a disribuição de oisso; Duração do serviço seguido a disribuição Exoecial; Fila úica com seleção FIFO ( rimeiro a erar, rimeiro a sair); esação de serviço. A Figura. aresea esquemaicamee o fucioameo dessa fila. Chegadas oisso Sala de esera ifiia Serviço aridas Exoecial Figura. Fila M M rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

53 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Sejam A() = e - e B() = e - as disribuições do iervalo ere chegadas e de duração do serviço, resecivamee. Os arâmeros e são referidos como axas, idicado o úmero médio de usuários que chegam ou são servidos or uidade de emo. Deoado or N() o úmero de usuários o sisema o isae, ode-se demosrar que {N(); } é um rocesso de Markov em emo coíuo com o esaço de esados sedo os ieiros ão egaivos. O emo de esera ara fazer uma rasição só deede do esado resee e, se o sisema coém elo meos um usuário, erá disribuição exoecial de arâmero ( + ) corresodee ao míimo ere duas exoeciais ideedees (serviço e chegada). No caso de ão haver ehum usuário o sisema, o emo ara uma rasição erá disribuição exoecial de arâmero. O rocesso de Markov N() é de fao um rocesso de ascimeo e more com axas ideedees do esado do sisema. ara, a rasição do esado a + se dá com axa e ere e com axa. Quado =, só ode haver chegadas. Dessa forma, chegadas corresodem a ascimeos e o fim de serviço a uma more. A Figura. aresea um diagrama com axas de mudaça de rocesso Figura. Taxas de rasição o rocesso de Markov A codição básica ara que um sisema de fila seja esável é que a axa de chegada seja meor do que a axa de serviço, ou seja, / em que ser meor do que. Essa fração é o faor de uilização da fila e será deoado or ara faciliar a visualização das fórmulas. Seja () = (N() = ) a disribuição de robabilidade do úmero o sisema o isae ; sua reseciva disribuição esacioária será. Vamos escrever as equações de equilíbrio do sisema usado o rocedimeo cohecido como balaço de fluxo e, a arir delas, ober a disribuição esacioária. Defiimos o fluxo como o roduo da robabilidade esacioária ela axa de rasição. Vamos admiir que, em regime esacioário, o sisema ermaece uma fração do emo o esado. Dessa forma, se chegam usuários or uidade de emo, a axa de fluxo médio que era em +, roveiee do esado, é. Se codições de equilíbrio exisem, eão, ara cada esado, o fluxo que sai deve ser igual ao fluxo que era esse esado. ara deermiar o fluxo oal que sai do esado ( ), oamos que o sisema vai a + se uma chegada ocorre e a se acoece um fim de serviço. O fluxo oal que era o esado vem a arir de + com um fim de serviço ou eão, a arir de, rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

54 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ela ocorrêcia de uma chegada, equao o fluxo que era, vem do esado devido a um fim de serviço. As equações de balaço são as seguies: + = + + = Eq..(a) Eq..(b) Esse sisema é deomiado de equações de balaço global e será resolvido or idução maemáica. Resolvedo as equações. ara =,,,... emos: = (/) = (/) = (/) A exressão sugerida seria k = (/)k. Suomos que seja válida ara K = e vamos verificar que ambém vale o caso +. de.(a) vem: ( + )(/ ) = + + (/) - De ode emos que: + = (/) + Essa equação é equivalee a + = () + Uilizado a codição de que a soma das robabilidades esacioárias deve ser igual a. Calcularemos : A soma acima é a da série geomérica de razão que covergirá se e só se. Como e são esriamee osiivos, essa codição equivale a. Noe que essa codição, a axa média de serviço or uidade de emo () é maior do que a axa média com que os fregueses esão chegado (). orao, ideedee do quao crescer, a fila se esvaziará de emos em emos e o rocesso de Markov será recorree osiivo com uma úica disribuição de equilíbrio. Efeuado a soma da série acima obemos = ( - ) e eão, = ( - ),, rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 54

55 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 55 A arir da disribuição esacioária, vamos calcular o úmero médio de usuários a fila e o sisema. Seja N o úmero oal de usuários o sisema em regime esacioário e L sua média. Temos: N E L Ese úlimo somaório ode ser reescrio como A derivada de em relação a é dada or. Assim, admiido saisfeias as codições ara iverer os siais de somaório e derivada, obemos: d d d d d d L Cocluímos eão que:. L Seja N q o úmero de usuários a fila e L q seu valor eserado. Temos, q q N E L Eão, L L q Ouras fórmulas ara o modelo M/M/ Temo médio (eserado) que cada uidade ermaece o sisema:

56 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) W Temo médio (eserado) que cada uidade ermaece a fila: W q robabilidade de uidade demorar mais de uidades de emo o sisema: e T odemos er aida as seguies relações ere as medidas básicas: L L q W q L Lq W Lq Wq W L W Wq... Modelo M M S Nese io de modelo, cosidera-se que as esações de serviço são equivalees e resam serviço, idividualmee, a mesma axa média. Aqui o faor de uilização é s... s- s S+ (s-) s s Figura.4 Taxas de rasição o rocesso de Markov s s s s s... elo diagrama, mosrado a Figura.4, emos: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 56

57 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas ! s s s s s s!. s s s s s s s...!! s s s s s s s s s s odemos escrever da seguie forma:! s s s s isso imlica que:!! s s s Logo, calcularemos!! s s s s s s o que imlica em:!!!! s s s s s s s s s! s s s L s q,se s,se s

58 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) As demais fórmulas ara L, W, W q são iguais ao modelo M M.... SISTEMAS FINITOS... Modelo M M /M Esa é a siuação a qual a fila ode acomodar somee um úmero fiio de usuários, ou seja, se um usuário chega e a fila esá cheia, ele vai embora sem eserar o aedimeo. Observe que ese caso a axa de chegada ão recisa ser meor que a axa de serviço, ois a fila em um amaho fixo (fiio). Nese io de modelo aarece uma ova variável (M), que é o úmero máximo de usuários que odem esar o sisema, sedo M- o úmero ermiido a fila. As fórmulas ara ese modelo são: / M / M / / L q L A axa de chegada dos usuários o sisema é. No eao algus usuários chegam e ecoram a fila cheia, ou seja, vão embora. A axa de chegada efeiva ( ef ) dá a axa média das uidades que realmee ermaecem o sisema. ef M As demais fórmulas ficam como: W L ef W q L q ef ef... Modelo M M s/m Fila Fiia (s > ) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 58

59 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 59 Nesa seção vamos redefiir e ara simlificar a escria das fórmulas: s Temos eão:!! s s s s M M s s s s s / /! /!! M s M s q s M s L s q s s L L s ef s s ef q q L W ef L W ef L W ode s é o úmero de esações de aedimeo e M é o amaho da oulação. oulação Fiia Em muios roblemas ráicos, a cosideração de que a oulação é de amaho ifiio leva a resulados disorcidos, viso que, a verdade, a oulação é equea ara ser cosiderada de amaho ifiio. Quado iso ocorre, a reseça de um ou mais usuários o sisema em um fore efeio a disribuição das chegadas fuuras e, o uso de um modelo com oulação ifiia coduz a resulados errados. Algus exemlos íicos são: um equeo gruo de máquias que quebram de emos em emos ecessiado cosero, um equeo gruo de mecâicos que vão a deermiado balcão egar eças ou ferrameas. Num caso exremo do rimeiro exemlo, se odas as máquias esão quebradas, ehuma chegada ode ocorrer.

60 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Iso corasa com os modelos de oulação ifiia os quais a axa de chegada é ideedee do úmero de usuários que já esão o sisema. Nese io de modelo, a axa de chegada, é a axa de chegada de cada uidade, ou seja, / é o emo médio ere chegadas de cada uidade. No caso das máquias, or exemlo, seria o emo médio ere quebra de cada máquia. os usuários. A axa de chegada efeiva, ef, dá a axa média de chegada, cosiderado-se odos As fórmulas ara ese io de modelo são basae comlexas e ão serão areseadas aqui... MODELO DE ERLANG Se uma variável aleaória é regida or uma disribuição de Erlag, de ordem k, ela ode ser ierreada como equivalee à soma de k variáveis aleaórias regidas or disribuições exoeciais iguais. Admiamos que o iervalo ere chegadas sucessivas seja regido or uma disribuição de Erlag de ordem k, defiida ela fução desidade de robabilidade: f k k k! e k k, O valor eserado de é dado or: E e a variâcia de or: Var k ara k = em-se a disribuição exoecial e o rocesso de chegada é oisso. À medida que k aumea, a variâcia ede a zero ( Var ), a disersão relaiva da disribuição dimiui, aigido a siuação deermiísica quado k. Nese caso, a disribuição de Erlag reresea exemlos de emos de chegadas eriódicos ou regulares, iso é, um iervalo cosae, de /, ere chegadas. A Figura.5 Disribuição de Erlag mosra o comorameo da disribuição de Erlag ara diferees k. Freqüeemee, a disribuição de Erlag é areseada elo símbolo E k. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

61 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) f() K= K=6 K=4 K= K= Figura. Figura.5 Disribuição de Erlag Em resumo, se T, T,..., T k são variáveis aleaórias com disribuições exoeciais idêicas e com valor eserado igual a, eão, T = T k + T T k em disribuição de Erlag com arâmeros k e. Chama-se de serviço comleo, a soma de k subserviços idêicos, ou seja, um serviço de Erlag ode ser decomoso em k subserviços.... k Subserviços Exoeciais Figura.6 Servidor Erlag... SISTEMA M E K S No sisema M M S os esados corresodem ao úmero de cliees o sisema. No caso de um sisema M E k S os esados corresodem ao úmero de subserviços a ser execuado e cada cliee raz k subserviços. Aravés da Figura.7 Diagrama de esados da fila M Ek ode-se verificar o que foi dio aeriormee; em filas com servidor Erlag, um ovo cliee só era o sisema aós o cliee que esá sedo aedido er assado or odos os k eságios de serviço. k- k k+ k- k k k k k... Figura.7 Diagrama K de esados da fila M E k... rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

62 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) O úmero médio de cliees a fila ara ese io de sisema é dado or: L q k k e o úmero médio de cliees o sisema é L W. A emo médio de um cliee a fila é dada or: Lq Wq e o emo médio de um cliee o sisema é W W. q O faor de uilização do sisema é dado or: Verifica-se, mais uma vez, que se k, M M. Equao que se M D. k, L q. L q, que é o resulado do sisema, que é o resulado do sisema deermiísico... SISTEMA E K M Nese io de sisema as disribuições do emo ere chegadas e de serviço são iveridas em relação à seção.. - SISTEMA M EK S. O sisema E k M S oera da seguie maeira: dado que um cliee acabou de chegar o sisema, eão, uma ova chegada de cliee é imediaamee iroduzida. Quado esa chegada é iserida, ela deve assar aravés de k eságios exoeciais, cada um com arâmero k, como mosra a Figura.8 Sisema Ek M. k K K... K K Figura.8 Sisema E k M ara ese io de sisema, o diagrama de esados esá mosrado a Figura.9 Diagrama de esados ara o sisema Ek M rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

63 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E). K K K K K K- K K+ K- K.. Figura.9 Diagrama de esados ara o sisema E k M..4. REDES DE FILAS MARKOVIANAS Uma rede de filas, ou sisema de múlilos ós, é formada or várias filas iercoecadas ere si com usuários deslocado-se ere elas ara receber serviço. A rede ode ser abera ou fechada, deededo de oder eviar e receber usuários de fora da rede. Iso é, em uma rede fechada o úmero oal de usuários ão se alera, havedo aeas uma ermuação as suas osições. Já as redes aberas, a reseça oal varia ela chegada ou saída exera de usuários. Algumas cosiderações devem ser feias o esudo de rede de filas. or exemlo, a esruura oológica da rede é imorae, uma vez que ela descreve as rasições ossíveis ere os ós. Os camihos feios or cada cliee ambém devem ser descrios. A aureza do fluxo esocásico, em ermos do rocesso esocásico básico que descreve ese fluxo, em grade sigificâcia. Cosidere a rede com dois ós, mosrada a Figura. Rede de filas Markoviaas com esações. Figura. Rede de filas Markoviaas com esações Assumido-se que as chegadas ao sisema obedecem ao rocesso de oisso a uma axa e que o servidor aede com disribuição exoecial a uma axa. Eão, o ó reresea um sisema de filas M M. Da mesma forma, o ó, isoladamee, reresea um sisema de filas M M. A quesão básica é ecorar a disribuição do emo ere chegadas o ó, que será equivalee a disribuição do emo ere aridas do ó. ode-se dizer que, em média, o valor da axa de chegada ao ó é: se se rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

64 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Ou seja, quado =, sigifica que o servidor é um limiador e deve-se assar a aalisar aeas as filas seguies a ese servidor..4.. SISTEMA ABERTO SEM REALIMENTAÇÃO Uma rede abera, ambém deomiada rede abera de Jackso, exemlificada a Figura., cosise de um cojuo de J ós, com as seguies caracerísicas: a) As chegadas exeras a cada esação i J ocorrem de acordo com um rocesso de oisso de arâmero i, ideedee das ouras chegadas e do serviço as esações; b) ara cada ó i J, o aedimeo é realizado em ordem de chegada, segudo uma disribuição exoecial de arâmero i(i), i() =. A deedêcia da axa ao úmero de usuários o cero de serviço ermie, ere ouras oções, que vários servidores em aralelo aedam com a mesma axa; c) Aós o usuário comlear seu serviço a esação i, ele move-se ara mais serviço a esação j, com robabilidade r i, j, ode i,,j J. or ouro lado, se o usuário já comleou sua demada de serviço a rede, ele deixa o sisema aós ser aedido a esação i, com robabilidade, J r i r J k i, k, ode J+ é um ó arificial que reresea o exerior da rede. Todas as rasferêcias são assumidas serem isaâeas e assim, o emo gaso o sisema é roveiee de eseras e aedimeos as esações. r 4 r e Figura. Sisema abero sem realimeação Seja R a mariz quadrada de ordem J+ formada elas robabilidades de mudaça das esações (icluido o ó exero) e mais a robabilidade ara as eradas exeras aravés do ó i: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 64

65 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) r i J, i, i J e rj, J J k k. Dessa forma, R ora-se uma mariz esocásica e, orao, rereseado as rasições ara alguma cadeia de Markov. Da eoria de Cadeias de Markov, diz-se que um esado i comuica-se com ouro esado j (i j) quado é ossível, em algum úmero de eaas, arir de i e alcaçar j. Iso é, exise uma seqüêcia de esações i = i, i, i, i,..., i k = j, de modo que, ara algum ídice k >, em-se: r i, i r... i i r ii r i k i r k ik j A fim de garair que odos os ceros de serviço ossam receber usuários e que os fregueses que eram eham robabilidade osiiva de sair em algum momeo, acrescease mais duas codições, além das mecioadas aeriormee: d) Todos os ós da rede oderão receber usuários exeros de forma direa ou idirea. Iso é, j J ou i > ou exise um i al que i > e i j. e) O usuário servido em i em robabilidade osiiva de sair da rede em uma ou mais eaas. Ou seja, i J ou ri,j+ > ou exise um j J al que rj,j+ > e i j. Com as codições acima, a cadeia de Markov associada à mariz R será recorree m m J ik k ão ula e as equações de ráfego : r, m J erão solução úica. odese ierrear m como a axa oal de eradas ao ó m J, sedo resulado da comosição das chegadas (exeras) com as saídas de esações que se movimeam ara o cero m. k Seja N o rocesso esocásico de dimesão J rereseado, em emo coíuo, o úmero de usuários em cada esação de serviço da rede. Ese rocesso é Markoviao com esaço de esados dado elo roduo caresiao dos úmeros aurais, {,,...} x J. Deve-se oar que as rasições ese rocesso são de rês ios: chegadas exeras, fim de serviço com mudaça de ó (o que acarrea uma chegada iera) e fim de serviço com saída da rede. Se a rede ão esá vazia, o emo de esera ara uma rasição é o míimo ere odos os serviços que esão sedo realizados e as chegadas exeras. Como odos esses emos são exoeciais ideedees, segue que a esera ara uma rasição ambém será exoecial, com arâmero deededo do esado do sisema aes da rasição. Se a rede esá vazia, será ecessário eserar ela rimeira chegada, que será o míimo ere os emos de chegadas exeras e, orao, com disribuição exoecial. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 65

66 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E).4.. SISTEMA FECHADO Nas redes de filas fechadas, o úmero de cliees o sisema é cosae, ão há eradas em saídas exeras. Figura. Rede de filas fechada J i i M Seja M o úmero oal de cliees a rede, iso é, ara qualquer, é reciso er. Como ão há eradas em saídas, a axa de chegadas exera i é igual a zero ara odo i J. A mariz R erde, eão, a liha e a colua J +. A equação de ráfego ora-se assim: m r, i, k k m J elas hióeses já areseadas o iem.4., que raa de rede de filas abera, a mariz R é fiia e irreduível M e a equação acima erá solução úica com a imosição de alguma codição exra (or exemlo, fixar o valor de um dos s ou de sua soma..4.. SISTEMAS MISTOS OU ABERTOS COM REALIMENTAÇÃO Cosidere a rede de filas mosrada a Figura.: (-r) r Figura. Sisema Miso ou Abero com Realimeação Os cliees saem da esação a uma axa, reoram a fila com robabilidade r e, coseqüeemee, a uma axa r e saem do sisema com robabilidade (-r) e axa (-r). No equilíbrio, sabe-se que o úmero de cliees que era o sisema é igual ao úmero de cliees que sai do sisema. orao, ode-se deermiar a axa aravés da seguie equação: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 66

67 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) r, r ou seja, f,r Quado a robabilidade de reoro à fila (r) é grade, cada chegada exera é seguida or uma rajada iera de chegada TEOREMA BURKE Uma roriedade ieressae da fila M M, que simlifica basae a combiação desas filas em uma rede, é o fao de que a saída de uma fila M M com axa de chegada é um rocesso de oisso de axa. Ou aida: Um rocesso de oisso, com arâmero, de chegada a um servidor exoecial gera um rocesso de oisso de saída com a mesma axa. Cosidere a rede de filas da Figura. Rede de filas Markoviaas com esações, seja d() a fução de disribuição de robabilidade (fd) que descreve o iervalo ere aridas da fila e seja sua rasformada de Lalace deoada or D*(s). Quado um cliee sai da fila, exisem duas siuações ossíveis: um segudo cliee esá disoível a fila e roo ara ser aedido ou a fila esá vazia. No rimeiro caso, o emo aé que o róximo cliee saia da fila será disribuído exaamee como um emo de serviço desa fila e, ese caso, eremos: D * s filaocuada B * s or ouro lado, se a fila esá vazia aé a arida do rimeiro cliee, deve-se eserar ela soma de dois iervalos, sedo o rimeiro o emo aé que o segudo cliee chegue e o róximo sedo o emo de aedimeo (ou emo de serviço) do segudo cliee; como eses dois iervalos são ideedeemee disribuídos, eão a fd da soma deve ser a covolução das fd s de cada iervalo. Ceramee, a rasformada da soma das fd s será o roduo das rasformadas das fd s idividuais, eão, em-se: D * * * s A sb s filavazia, ode: A * (s) emo aé a rimeira chegada B * (s) emo do róximo serviço Sabe-se que rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 67

68 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) D * * * * s B s A sb s, se a chegada obedece a um rocesso de oisso, a disribuição do emo ere chegadas é exoecial com axa l. orao, A * s s exoecial com axa, eão, ode-se escrever B. Da mesma forma, como o servidor é * s s. Subsiuido-se A * (s) e B * (s) a equação de D * (s), em-se: D * Como D D * * s s s s, em-se: s s s s s das chegadas. ode-se erceber que as aridas de um sisema M M em equilíbrio só deedem IMLICAÇÕES DO TEOREMA DE BURKE Desde que as chegadas os esados que camiham ara free formam um rocesso de oisso, as saídas os esados que camiham ara rás ambém formam um rocesso de oisso. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 68

69 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Chegada Temo Saída Temo Figura.4 Imlicações do Teorema de Burke Uma vez que o rocesso ara rás é esaisicamee o mesmo que o rocesso ara free, o rocesso de saída é oisso. aeriores. elo mesmo argumeo, o esado deixado or um cliee é ideedee das saídas.4.5. FORMA RODUTO NA REDE ABERTA Um eorema imorae, rovado or Jackso, afirma que a disribuição esacioária do úmero de usuários resees o sisema ode ser calculada elo roduo de disribuições esacioárias margiais (referees a cada cero). O resulado obido, ambém chamado de solução a forma roduo, idica que o sisema se comora como se cada cero de serviço i J fosse uma fila com chegadas e serviços exoeciais com axas i e ( i ), resecivamee, ideedee dos demais ceros. Assim, o caso de S servidores idêicos, eríamos o sisema comorado-se como se fosse uma coleção ideedee de filas M M S. No eao é imorae observar que em semre as chegadas ieras forma um rocesso de oisso. orao, a forma roduo deve ser alicada com cuidado. A vaagem da forma roduo é, ere ouras, a ossibilidade de ideificação ráida dos efeios da mudaça dos arâmeros de uma esação sobre o desemeho de oda a rede. ara uilização como cosaes ormalizadoras a seguir defie-se: bi i... i i i, ode o ermo corresodee a = é igual a. dada or: Sob a codição de b i, i J, o rocesso N e disribuição esacioária rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 69

70 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) i J i i i i ; i i com,,...,,, J i bi i i i, i J e i... i i i i i. i Sedo assim, cosidere a rede de filas abera mosrada a Figura.5. ESTADO SISTEMA K ESTADO SISTEMA K M M M M Figura.5 Forma roduo Rede Abera ela forma roduo em-se: K K K, K K K, K K, i ode, i {, }. i i Cosidere aida a rede de filas abera sem realimeação mosrada a Figura Figura.6 Rede abera sem realimeação Sejam N, N, N, N 4 e N 5, os esados em cada ó do sisema (,,, 4, 5), eão a disribuição de robabilidade cojua ode ser dada ela equação abaixo: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

71 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) N, N, N, N N N N N N N 4, FORMA RODUTO NA REDE FECHADA Seja o rocesso N com disribuição esacioária dada or: J i i bm, i... i i i i ara,,...,, J J, i i M e b M a cosae de ormalização. No caso de sisemas fechados, a cosae de ormalização ão é faorável um roduo de cosaes associadas a cada esação. Assim, ão se em ideedêcia ere o úmero de cliees em cada esação ara cada fixado..5. A FILA M G A fila M G cosise de um sisema de servidor simles, com chegadas oisso, disribuição do emo de serviço arbirária, deoada or B(x) e fução de disribuição de robabilidade do emo de serviço deoada or b(x). A disribuição do emo ere chegadas é dada or: A() = e -, a() =. e -, com a axa média de chegada de cliees or segudo igual a, um emo médio ere chegadas de / segudos e variâcia (²) igual a /². Hisória assada sumarizada: N() - º. de fregueses o sisema o isae X o () - emo de serviço já recebido elo freguês em serviço o isae As defiições acima são ecessárias uma vez que a disribuição do emo de serviço ão é ecessariamee sem memória. Nese caso, verifica-se que o rocesso aleaório N() ão é um rocesso Markoviao. Ereao, o veor [N(), X ()] é um rocesso de Markov e é um veor de esado aroriado ara o sisema M G, uma vez que ele sumariza oda a hisória assada. [ N(), X o () ] Sumariza o assado Cadeia de Markov rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

72 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Aalisado o sisema os isaes de arida: x o() = Cadeia de Markov embuida os isaes de arida: a d Igualdade ere disribuições esacioárias No modelo M G vale a igualdade ere as disribuições esacioárias em emo coíuo e as imersas os isaes de chegadas e aridas. Disribuição do º. de cliees o sisema ara obermos Disribuição do emo de esera Disribuição do emo ocuado Chegadas oisso: N k - robabilidade de um cliee que chegue o isae ecore K cliees o sisema a k N k ara sisemas cuja aleração de esado se de or acréscimo de +/- cliee: a d k k - Iso é, o úmero de cliees ecorado a chegada é igual ao º. de cliees deixados or uma saída. robabilidade de Trasição da Cadeia de Markov: Sejam: q = º. de cliees deixados o sisema ela arida de C V = º. de cliees que chegaram durae a execução do serviço de C (que em duração X ) C C + X X + Servidor q q + C C + Fila V C C + Figura.7 robabilidade de Trasição da Cadeia de Markov () rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

73 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ij q j q i Dado que q q é imossível, q q Ode: V k k V deede da duração de X (e ão de ) em regime esacioário. X X ~ x X Bx v k v~ kk v~ k v~ k; x ~ x x dxdx v~ k ~ x xb xdx k ara chegadas oisso: ~ k x x k e bx k! dx k v Sejam. x e Equação fudameal da M G (codição de ergodicidade) C Servidor q = q + C C + q + = V + Fila V + C C + Figura.8 robabilidade de Trasição da Cadeia de Markov () rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

74 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) q q v se q v se q q se se q q q q q v Equação fudameal da M G.5.. MEDIDAS DE DESEMENHO Nesa seção,serão areseadas algumas medidas de desemeho ara o modelo M G. Iicialmee, oamos que as fórmulas de Lile coiuam válidas e as uilizaremos ara deduzir algus resulados. Número médio de cliees o sisema (em regime esacioário): O valor eserado do úmero de usuários o sisema (L), os isaes imediaamee aós uma arida, ode ser calculado coforme demosrado a seguir. ~ Eq lim Eq q lim q Usado a equação fudameal: lim E q lim Eq q Ev lim q ~ Eq Eq Ev E ~ E v~ Eq Como: v E ~. x E, q q~ k q q q k q q~ k k k E robabilidade sisema ocuado = ρ. x rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 74

75 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Comrimeo médio do sisema: ~ ~ ~ E v E v L E q Sabe-se que ara chegadas oisso: N k k oisso (λ) V z v k V z serviço x V z serviço x V z k x x e k k k! k z k xz x xz k! x z z serviço x e e k. e e k! k Chegada e serviço ideedees: V x z z e b x dx Da defiição da rasformada de Lalace: B * s e bx b x dz Eão: B * s B * z Sabe-se que: dv ( z) dz d V ( z) E[ v] E[ v ] E[ v] z dz z dv dz z d B dz d V * z z dz u d dz * z B z ara z=: V * B x *' B ( s) x rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 75

76 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) B E *'' ( s) x [ v ] E[ v]. x L = º. médio de cliees o sisema L E q x Sabe-se que a variâcia do emo de serviço é b x b x L Fórmula de ollaczek-khichie L L q L q = º. médio de cliees a fila. Eão: L q b Usado a fórmula de Lile emos as exressões ara a média do emo de ermaêcia o sisema (W) e ara a media do emo de ermaêcia a fila (W q ): W W q L b x..( ) Lq b..( ) Exemlos: ) M/M/ b L q. e ( ) ) M/D/ b L q e ( ) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 76

77 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Oura forma de obermos a média do emo de ermaêcia o sisema e a fila, W e W q, resecivamee: Cosidere a Figura.8, abaixo. x M/G/I Figura.8 Modelo M/G/I L = λ.w L q = λ.w q W q L x T (Temo de vida residual do cliee o aedimeo) q VR x T VR x ara o caso esecífico da Ex () : T VR Disribuição do º. de cliees o sisema ( ): q lim Q ( z) E[ z ] Q( z) * B ( z) Q( z) ( ).( z) * B ( z) z (Eq. Trasformada de.k. ara M G ) ara o caso M M : x b( x) e * B ( s) s * B ( z) z k Q( z) Z. [ q k] rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 77

78 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) M G Disribuição do emo de esera: S W * B ( s).( ). s ( s). B ( s) s * * ( ). s ( s). B ( s) s * * ara M M : * B ( s) s S( x) ( ) Disribuição do eríodo ocuado: () = serviço ão ermiado o sisema o emo, ou () = emo ecessário ara esvaziar o sisema de odos os cliees resees o isae Servidor coservaivo: sisema ermaece ocuado equao houver cliee o sisema e os cliees só arem do sisema quado o mesmo esiver comleamee servido. ara sisema coservaivo: () é ideedee da discilia do serviço. F(y): disribuição do eríodo ocioso G(y): disribuição do eríodo ocuado M G F(y) = e -λx (emo de chegada exoecial) G*(s) TC eríodo ocuado G*(s) = B*[s + λ λ.g*(s)] rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 78

79 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E).6. Aexo.6.. FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS Nesa seção será iroduzido um imorae coceio maemáico que ossui muias alicações aos modelos robabilísicos. ara um desevolvimeo rigoroso do assuo seria ecessário um cohecimeo maemáico de ível bem mais elevado do que se roõe esa aosila. No eao, se eviarmos ceras dificuldades maemáicas que surgem e aceiarmos que deermiadas oerações sejam válidas, oderemos alcaçar uma comreesão suficiee das riciais idéias abragidas, a fim de emregá-las ieligeemee. Suohamos que X seja uma variável aleaória, iso é, X é uma fução do esaço amosral ara os úmeros reais. Ao calcularmos várias caracerísicas da variável aleaória X, ais como E(X) ou V(X), rabalhamos direamee com a disribuição de robabilidade de X. Defiição. Seja X, uma variável aleaória discrea, com disribuição de robabilidade (xi) = (X = xi), i =,,...A fução Mx, deomiada fução gerariz de momeos de X, é defiida or: Mx( ) j e x j ( x j ) momeos or: Se X for uma variável aleaória coíua com fd f, defiiremos a fução gerariz de Mx( ) e x f ( x) dx Em qualquer dos casos, o discreo ou o coíuo, Mx() é aeas o valor eserado de e x. or isso, odemos combiar as exressões acima e escrever: x Ee Mx. A seguir, serão mosrados algus exemlos de fuções gerarizes de momeos. Exemlo I - Suoha que X seja uiformemee disribuída sobre o iervalo [a,b]. Logo, a fgm será dada or: Mx( ) b a [ e e ], ( ba) b e x a ab dx rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 79

80 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Nese caso, Exemlo II Suoha que X seja biomialmee disribuída, com arâmeros e. Mx( ) k [ e k k e k k ( e ) ( ) ( )]. K k( ) k k A úlima igualdade decorre de uma alicação direa do eorema biomial Exemlo III - Suoha que X eha uma disribuição de oisso com arâmero. or coseguie, Mx( ) e e e k e e k k e k! ( e ) e k k ( e ) k! A erceira igualdade decorre do desevolvimeo de e, em emregada com y = e ( y!). Esa foi Logo, Exemlo IV -. Suoha que X eha uma disribuição exoecial, com arâmero. x x x( ) e e dx e Mx( ) dx. valores de. Esa iegral coverge somee se <. or isso, a fgm exise somee ara eses Admiido que essa codição seja saisfeia emos: Mx( ),. e x( ) Viso que a fgm é aeas um valor eserado de X, odemos ober a fgm de uma fução de uma variável aleaória sem rimeiro obermos sua disribuição de robabilidade. or exemlo, se X iver disribuição N(,) e desejarmos achar a fgm de Y = X, odemos rosseguir sem obermos a fgm de Y, basado ara isso escrevermos: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

81 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) X ) ex.( x x ) dx ( ) y My( ) E( e ) E( e.6.. RORIEDADES DA FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS Recordemos o desevolvimeo da fução e x em série de Maclauri: e x... x x x x!!!... Sabe-se que esa série coverge ara odos os valores de x. or isso, e x ( x) ( x) x...!!... Em seguida, ( x) ( x) x Mx ( ) E( e ) E( x...!!...) ara uma soma fiia, o valor eserado da soma é igual à soma dos valores eserados. No eao, esamos raado acima com uma série ifiia e or isso ão ode, de imediao, alicar al resulado. Verifica-se, coudo, que sob codições basae gerais, esa oeração aida é válida. Admiido que as codições exigidas sejam saisfeias. Como é uma cosae, omado os valores eserados, odemos escrever: E( X E( X Mx ( ) E( X )...!! ) )... Já que Mx é uma fução de variável real, odemos omar a derivada de Mx() em relação a, iso é, M (): E( X ) E( X M ( ) E( X ) E( X )...! ( )! )..., e fazedo =, verifica-se que somee o rimeiro ermo ermaece, e eremos: M ( ) E( X ) orao, a derivada rimeira da fgm, calculada ara =, forece o valor eserado da variável aleaória. Se calcularmos a derivada seguda de Mx(), oberemos: E( X M ( ) E( X ) E( X )... ( )! )..., e fazedo =, eremos: M () E( X ). rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

82 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) eorema: Admiido que M()() exisa, e coiuado dessa maeira, obemos o seguie Teorema ) M () E( X ( ). Iso é, a derivada -ésima de Mx(), avaliada ara =, forece E(X). Exemlo V - Suoha que X eha uma disribuição biomial com arâmeros e. Coseqüeemee, Mx() = [e + q]. or isso, x x x( ) e e dx e Mx( ) dx., o que cocorda com osso resulado aerior. Além Logo, EX M diso, E X M. Daí, VX M M. fgm. Os dois eoremas seguies serão de oável imorâcia em ossa alicação da Teorema Suoha que a variável aleaória X eha fgm Mx. Seja Y = X +. Eão, My, a fgm da variável Y, será dada or: My( ) e Mx( ). Teorema Sejam X e Y duas variáveis aleaórias com fgm e Mx() e My(), resecivamee. Se Mx() = My() ara odos os valores de, eão X e Y erão a mesma disribuição de robabilidade. roriedade Reroduiva Se duas (ou mais) variáveis aleaórias que eham uma deermiada disribuição forem adicioadas, a variável aleaória resulae erá uma disribuição do mesmo io que aquelas das arcelas. Esa roriedade é deomiada roriedade Reroduiva (ou adiiva). Exemlo VI - Suoha que X e Y sejam variáveis aleaórias ideedees, com disribuições N(,.) e N(,.), resecivamee. Façamos Z=X+Y. Coseqüeemee, rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

83 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Mz() Mx() My() ex. ( ex.[ ( ) ( ) ] )ex.( ) Iso reresea a fgm de uma variável aleaória ormalmee disribuída, com valor eserado e variâcia Teorema ). orao, Z erá uma disribuição ormal. (Ver Teorema 4 Sejam X,...,X variáveis aleaórias ideedees. Suoha que X i eha disribuição de oisso com arâmero = Teorema 5 Suoha que a disribuição de X i,..., X k sejam variáveis aleaórias ideedees, cada uma com disribuição N(,). Eão, S X X... X k erá disribuição de X k. Teorema 6 Seja Z=X +...X r, ode X i são r variáveis aleaórias ideedees e ideicamee disribuídas, cada uma com disribuição exoecial, de mesmo arâmero e r. Eão, Z erá uma disribuição gama, com arâmero e r. Cosiderações Fiais A fgm cosiui um oderoso isrumeo muio oderoso ara esudo de vários asecos das disribuições de robabilidades. O emrego é muio úil o esudo de somas de variáveis aleaórias ideedees e ideicamee disribuídas e a obeção de várias regras adiivas..6.. TRANSFORMADA Z Esa seção em a fialidade de resumir algus coceios de Trasformada Z, ecessários aos esudos de Teoria das filas. A rasformada Z desemeha, ara rocessos discreos, o mesmo ael que a rasformada de Lalace em rocessos coíuos. A rasformada Z de uma seqüêcia em emo discreo F[] é defiida or: F Z FZ F Z f Z rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

84 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) A rasformada ode ser uilaeral e, desa forma, rasforma-se em: F Z FZ F Z f Z Z bilaeral. Esa rasformada se chama uilaeral e o rimeiro caso é chamada de rasformada Vejamos algus exemlos. a) Exemlo Ecore a rasformada Z, F Z, ara F = () Solução: Defie-se: F Z Z,, se se, ela defiição da rasformada Z, em-se: b) Exemlo a Seja F U e seja F a seqüêcia obida ao amosrar-se F Z. segudos. Ecore Solução: at Nese caso, F U, coseqüeemee, at FZ FZ Z at Z F. F a cada T Sabedo que: k a a a a k, Tem-se: F F at a Z Z Z lim Z at Z at Z Z Z at. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 84

85 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Z Z Se o eríodo de amosra é T=, eão: a F Z. Assim, ode-se resumir a defiição de rasformada Z da seguie forma: F Z logo Z x K x K K Z EX X variável aleaória discera f F F K logo logo F F F K f Z K K. Z f f K K Obs.: fução desidade de robabilidade aede a esa codição f K K K Z K K f f K roriedade imorae uidade liearidad e iuariaci a (o emo) covolução K X K Z F KK Z f K K K f K K f K K momeo de X K K K K f K K f K X X Na Tabela. ecoram-se as rasformadas Z das riciais seqüêcias discreas. Tabela. Trasformada Z riciais seqüêcias discreas X[] com X[Z] Raio de Covergêcia Z > R [] Z -m U[] N ² a a rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 85

86 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) a a (+)a a A Trasformada Z iversa ara que a rasformada Z seja úil, é acoselhável esar familiarizado com os méodos ara ecorar a rasformada Z iversa. A oação ara a rasformada Z iversa será Z -. A rasformada Z iversa de X[Z] dá como resulado a corresodee seqüêcia X[]. Exisem quaro méodos ara obermos a rasformada iversa: Méodo da Divisão Direa; Méodo Comuacioal; Méodo de exasão em frações arciais; Méodo da Iegral de iversão. O méodo da divisão direa rovém do fao de que se X[Z] esá exadida em uma série de oêcias de Z -, iso é, se, eão, X[] é o coeficiee de (Z -k ecorados or iseção ara =,,,... y), or coseguie, os valores de X[] odem ser c) Exemlo Ache X[] ara =,,,, 4, quado: Solução: Dividido o umerador elo deomiador obém-se: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 86

87 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) X Z Z 7Z 8,4Z 8,68Z 4 Ao comarar esa exasão X[Z] em uma série ifiia: obém-se: X[]=, X[]=, X[]=7, X[]=8,4, X[4]=8,68. Na maioria dos casos, ão é ão simles ideificar o érmio geral, mediae a observação de algus valores da seqüêcia. O méodo mais uilizado é a decomosição em frações arciais de X[Z]. Em visa da uicidade da rasformada Z, ode-se uilizar a abela de similaridades de rasformadas ara ideificar as seqüêcias corresodees. d) Exemlo 4 Ecore a rasformada iversa de: aravés do méodo de exasão em frações arciais. Solução: Exadido em frações arciais, em-se que: Usado ua abela de rasformadas, em-se: X[]= ara =,,,... rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 87

88 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) EXERCICIOS ROOSTOS DE TEORIA DAS FILAS ) Cosidere a rede de filas abera com um úico ó, como mosrada abaixo. Chegadas exeras aridas O ó úico é uma fila M/M/ com axa de serviço. Um freguês reora ao ó com robabilidade deois de comlear seu serviço. A discilia da fila é ES (rimeiro a chegar rimeiro a ser servido). ergua-se: (a) Quao vale = axa oal de chegada ao ó? (b) Qual é o iervalo ermiido ara variação de ara que o sisema ermaeça esável? ) No bar de um aerooro, uma essoa ode escolher ere omar um café servido o balcão, ou eão usar uma máquia auomáica. No balcão só odem ser aedidos, em média, 8 essoa or hora, equao a máquia ode aeder exaamee 4 essoas or miuo. A cada hora, 7 essoas, em média, rocuram o bar ara omar café; a robabilidade de uma essoa referir o balcão é de,6. Qual a demora média de uma essoa que rocura o bar, desde que era aé ser servida de café? ) Uma froa de raieiras cosome gelo ara coservar o eixe durae o emo assado o mar. O gelo vem em camioeas que rasoram oelada cada (5 barras) e que, o dia da erega, chegam à razão de 5 or hora, em média. O essoal ecarregado da descarga ira barra a cada segudos em média. O gelo cusa $ a oelada e, o verão, a erda devida ao derreimeo é de cerca de quilo or miuo e or oelada de gelo. Qual o cuso eserado do gelo que chega a ser embarcado? 4) Seja a rede de filas abaixo, ode odos os sisemas de filas são M/M/. Deermie: a. Qual o gargalo do sisema? b. Qual a máxima axa de chegadas exeras admissível? c. Qual o úmero eserado de cliees em odo o sisema ara uma axa de chegadas exeras igual a 75% da axa calculada em (b)? d. Suoha que a axa calculada em (b) eha sido ulraassada, qual o ovo gargalo do sisema? e. Se os sisemas de filas fossem M/G/, o que mudaria as resosas aeriores (a) aé (d)? Dados: = = 5 cliees/hora, = cliees/hora, 4 = 5 cliees/hora. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 88

89 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 5) Seja a rede de filas markoviaas esquemaizada abaixo. 4 Se = cliees/hora, = cliees/hora, = cliees/hora, = cliees/hora, = 4 cliees/hora. a. Deermie o gargalo do sisema (iso é, a ior fila). b. Qual a robabilidade de odo o sisema esar ocioso? c. Qual a robabilidade de exisir uma úica essoa o sisema? 6) Em um laboraório de comuação gráfica da uiversidade exisem 4 esações de rabalho, cada uma delas com um emo ere falhas exoecialmee disribuído com média de 4 dias. O laboraório em um corao com o forecedor, que ermie que aé duas das esações sejam rearadas simulaeamee, quado da ocorrêcia de defeios. O emo de rearo de cada esação ode ser cosiderado exoecialmee disribuído com duração média de dias. Desevolva um modelo de filas ara reresear o roblema e obeha: a. o diagrama de rasição de esados. b. as equações de equilíbrio e de recorrêcia. c. o úmero médio de esações em oeração ormal. d. a erceagem do emo em que odas as esações esão aradas. 7) Esão sedo feios laos ara a aberura de um oso de lavagem de carros equeo, e em que ser decidido quao esaço ara carros a esera. É esimado que os cliees chegariam aleaoriamee (i.e. segudo um rocesso de chegadas oisso), com uma axa média de um a cada 4 miuos, a meos que a área de carros a esera eseja loada, em cujo caso o cliee levaria seu carro a ouro lugar. O emo que ode ser aribuído à lavagem de um carro em uma disribuição exoecial com uma média de miuos. Comare a fração de cliees oeciais que seria erdida or causa de esaço de esera iadequado se (a) zero, (b) dois ou (c) quaro esaços (ão icluido o carro que esá sedo lavado) fossem revisos. (Obs.: Desevolva a arir do diagrama de rasição de esados as exressões ecessárias ara a solução do roblema.) 8) Uma emresa de ôibus evia seus ôibus ara maueção de roia a cada 5. Km. A garagem fica abera 4 horas or dia é aedida or um úico fucioário o qual é rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 89

90 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) caaz de revisar um ôibus de cada vez. O emo que ele gasa é exoecialmee disribuído, com uma média de 4 horas. Os ôibus chegam à garagem segudo um rocesso de oisso, a uma axa média de or dia. Os moorisas, ereao, são isruídos a ão erar a garagem se lá já exisirem quaro ou mais ôibus, mas reorar ao desachae ara ova auorização. Deermie: a. o valor eserado de emo que um ôibus aguarda a garagem; b. a erda eserada de diheiro or dia ela comahia devido à caacidade limiada da garagem, se o cuso de eviar um ôibus a ela e ê-lo de vola sem revisar é $8. 9) Suoha que odos os rorieários de carros comleem seus aques quado o ível aige exaamee a meade. Normalmee, uma média de 7,5 cliees or hora se dirigia a um oso de gasolia com uma úica bomba. O emo médio de aedimeo é de 4 miuos. Com a greve dos camihoeiros, ocorrida a ouco emo, um cero âico se isalou. ara modelar ese feômeo suoha que os rorieários assaram a comlear o aque quado o ível esá em /4 do aque. Como cada rorieário esá colocado meos gasolia o aque, durae uma visia ao oso, assuma que o emo médio de serviço eha caído ara / miuos. Como o âico afea L e W? ) Mecâicos que rabalham o Cero Auomoivo Classe A devem reirar as ferrameas e eças que ecessiam de uma ferramearia. Uma média de mecâicos or hora chegam rocurado or eças. Aualmee a ferramearia ossui um ferrameeiro, que recebe $6, or hora e que leva em média 5 miuos ara aeder a cada edido. É esimado que cada mecâico roduz $, de serviços or hora, cada hora que o mecâico gasa a ferramearia cusa a oficia $,. A oficia esá aalisado a ossibilidade de coraar um ajudae de ferrameeiro (a $4, or hora). Se ese ajudae for coraado o ferrameeiro erá ossibilidade de aeder a uma requisição em 4 miuos, em média. Assuma que os emos ere chegadas e de serviço são exoeciais. Deve o ajudae ser coraado? ) Modele, usado eoria de filas, um sisema em que o serviço omar sol a raia. Cosidere que as chegadas a raia seguem um rocesso oisso de axa, e que o emo que cada essoa assa a raia aleaório, odedo ser aroximado or uma disribuição exoecial com média /. a. Desehe o diagrama de rasição de esados b. Obeha as equações de recorrêcia c. Calcule ( sugesão x! e x ). d. Obeha: L, Lq, W, Wq ) Aálises aeriores idicam que a chegada de cliees em uma dada agêcia dos correios segue uma disribuição exoecial com média de chegadas or hora. Você rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

91 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) esa fazedo um levaameo a agêcia e a resee hora, já decorridos 5 mi., já chegaram cliees. Quaos cliees você esera que aida cheguem a resee hora? Jusifique. ) A ocuação média de uma lachoee de "fas-food" é de 5 essoas. Sabe-se que chegam a lachoee essoas/hora e que em média uma essoa demora ' ara fazer sua refeição. a. Quao emo demora um cliee dero da lachoee? b. Qual a erceagem dese emo é gasa a fila? 4) Um úmero ideermiado de dulas de aliisas se dirige a uma moaha com o iuio de escalá-la. Na base do lace iicia da escalada há um laô ode só cabem dois aliisas e o camiho aé ese laô é esreio e ígreme. Um dos guias do gruo esa a erada dese camiho, orieado a subida ara o laô. De lá ele ão ode ver em ouvir o que se assa em cima; mas baseado a exeriêcia, rocura eviar que mais de uma dula eseja eserado a base do lace, dada a fala de esaço. Ele sabe que o lace cosome, em média miuos de cada dula; se ela deseja que o laô fique sem suerloação em 84% dos casos, quaos aliisas ele deve ecamihar em média, or hora, ara lá? 5) Um reaor uclear é usado ara a rodução de radioisóoos de uso medicial. Um deles de meia vida aricularmee cura, em uma demada de doses or semaa, em média; se uma dose for guardada or mais de semaas em média, ela se orará fraca demais ara ser usada. a. Qual será a rodução aual eserada, esas circusâcias? b. Qual será o valor eserado do úmero de uidades em esoque? 6) Uma agêcia de caderea de ouaça em k guichês, cada um dos quais ode aeder, em média, a 8 essoas or hora. Em um cero dia, a demada média elos serviços da agêcia é de 44 essoas or hora. Os guichês esão disosos em uma liha eredicular à erada; iso faz com que muias essoas erem a rimeira fila que ecoram; sem rocurar verificar se exise ou ão oura fila meor. Esima-se que a robabilidade de uma essoa erar a fila i é de (/k).((k+-i)/(k+)). Suoha que k = 4 e resoda: (a) qual o emo médio gaso or uma essoa que erou a rimeira fila? (b) qual a fração do emo desocuado do caixa da fila 4? 7) A e B são duas máquias de oeração maual em uma liha de rodução; as eças rocessadas or A saem dela à razão de or hora em média e são rocessadas em seguida or B à razão de or hora em média. Dado o esaço ere A e B, haverá rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

92 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) cogesioameo da liha semre que exisam mais de eças à esera do rocessameo. Qual a fração eserada do emo de fucioameo da liha, relaiva a ocorrêcia de cogesioameo? 8) A saída de um úel é uma isa com faixas de râsio, em mão úica; meros mais adiae há um sial lumioso que abre o râsio a cada segudos, deixado assar de cada vez carros. Em um dado momeo, os carros esão saido do úel à razão de 4 or miuo em média. Sabedo-se que cada carro ocua meros de sua faixa de râsio, ergua-se: (a) Qual o amaho médio do recho de isa ocuado elos carros? (b) O sial eguiçou e a CET colocou, rovisoriamee, um agee de râsio que abre o râsio em média a cada segudos. Qual a robabilidade que a fila ivada o úel? 9) Uma famosa videe, acosumada a rever o fuuro de olíicos, em sua ageda cheia de erevisas marcadas à razão de uma or hora (dia de 8 horas). Ela dedica, em média, 45 miuos a cada cliee e, ara suavizar a esera da clieela, mada servir café com bolihos a sala de esera. Uma equea quesão alimear: se cada essoa oma uma xícara de café ( ml) a cada meia hora, quaos liros de café deverão ser rearados em média, or dia? ) Um mecâico de maueção de máquias de cóia elerosáica rabalha or corao ara a refeiura. Ele ode coserar, em média, máquias or dia e o corao or ele assiado revê que odo chamado seja aedido o mesmo dia com 9% de cereza. Qual a caacidade mesal do serviço, com ese adrão de aedimeo? ) Uma loja de auoeças em esacioameo com esaço ara carros. Os carros chegam segudo um rocesso oisso a uma média de or hora. Sabe-se ambém que o emo que eles ermaecem esacioados em disribuição exoecial com média de mi. Deermie: a. O úmero médio de vagas ociosas o esacioameo? b. A robabilidade de um carro que chegue ão ecore lugar ara esacioar? Sugesão: ara valores de k grades use k x! e x. ) Cosidere um sisema com um úico aedee edo uma disribuição de chegadas oisso com = c/h. Aualmee o aedee rabalha de acordo com uma disribuição exoecial com um emo médio de serviço de 5 mi. A gerêcia em a sua disosição um curso de reiameo que erá como resulado uma melhora (decréscimo) a variâcia rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

93 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) do emo de serviço, orém com um leve aumeo da média. Aós a execução do curso esima-se que o emo médio de serviço aumeará ara 5,5 mi., orém o desvio adrão decrescerá de 5 ara 4 mi. Deve a gerêcia madar o aedee fazer ese curso? ) K-sucaa recebe uma média de 5 edidos or dia de um cero modelo aigo de carro, do qual ela ode aeder a edidos or dia. Ereao se meos que carros forem alugados, a comahia erde diheiro da seguie forma: se somee carros são alugados a erda é de $/dia, se somee carro for alugado a erda é de $6/dia e se ehum carro for alugado a erda é de $9/dia. As erdas são, auralmee, comesadas elos gahos quado ou mais carros são alugados. Cosiderado aeas as erdas, qual será o valor eserado do rejuízo or dia? Assuma chegadas e serviço oisso e que ão exise limiação de amaho em desisêcias da fila. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

94 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E). MOVIMENTO BROWNIANO.. ASSEIO ALEATÓRIO DISCRETO - DISCRETE TIME, DISCRETE STATE, RANDOM WALK O "róximo asso" de um bêbado ode ser modelado como sedo aleaório e deedee somee de ode esá o é de aoio ara aquele asso (que ada mais é do que ode arou o asso aerior). Suodo claro que o chão é lao, ão exisem obsruções o eoro, que o cara vai esar em é ao fial do asso, que ão exise ehum bar or ero, ere ouros. isae. Chamemos de X a osição iicial do é de aoio. E X a osição do é de aoio o Algumas suosições ara orar osso modelo mais amigável: Todos os assos são do mesmo amaho (= db - asso de bêbado); Ele esá em um corredor aerado e só ode ir ra free ou ra rás (caso bidimesioal); A robabilidade dele ir ra free ou ra rás é / - ele esá em um chão lao e o corredor ão em fim; Cada asso é ideede dos ouros. Com isso, emos que: X = X - + ode é uma variável aleaória com a seguie disribuição discrea: ( = ) = { = -} = / =,,... Se X Eão, X,...,,,...,,...,,,,..., ara valor imar de ara valor ar de Como só exisem duas oções, a disribuição de X é biomial. O Gráfico. abaixo ilusra os ossíveis esados do sisema. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 94

95 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) X + X + X + X X - X - X - = = = = Gráfico. ossíveis Esados do Sisema ara free Deois de assos... ara rás osição do bebum será ( ) [ X ]. Como o X varia com, ese rocesso é ão esacioário. Nesecaso, se o E X emo, X. Eão, No emo (com / ), em qualquer E X X T T emo.. ASSEIO ALEATÓRIO COM DESVIO - DISCRETE RANDOM WALK WITH DEVIATION rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 95

96 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Agora vamos imagiar o caso em que o corredor em uma icliação. Ou seja, é mais fácil (mais rovável) que ele vá a uma direção do que oura e assumido que o bêbado em quesão cosegue se equilibrar esse corredor icliado. Sem erder a geeralidade, imagie que a robabilidade do asso ser ara free é igual a e que a robabilidade do asso ser ara rás é igual a q (=-). Como já vimos, [ X ] q Nese caso, se > q, o emo =, E[X ]>, e é crescee com! Ou seja, a medida que o emo assa esera-se que o bêbado eseja descedo a ladeira. Examiado a exressão -, ela; e zero quado =. Ou seja, odemos eedê-la como sedo a chace de que meade dos assos seja ra free e meade ra rás. Fica fácil de ver isso examiado um caso exremo como que essa robabilidade se comora. ara um caso em que =,99 e q=, vejam a chace de se adar mais ara um lado que ara o ouro ela exressão acima... ASSEIO ALEATÓRIO COM TAMANHO DO ASSO VARIÁVEL - DISCRETE TIME CONTINUOS SACE RANDOM WALK Reduzido um ouco ossas suosições, suoha que ão suoremos mais a suosição de que os assos são do mesmo amaho. ra você que viajou, só dissemos que ão em mais aquela coisa dos assos serem do mesmo amaho. Agora a disribuição do amaho do asso é ormalmee disribuída com média e desvio adrão. N (, ) rocesso Auo-regressivo à média (rocessos de Reversão a média) odemos escrever aida de forma mais geérica a osição do bêbado como sedo: X X, cosae com assoormalmee disribuídos com média dessa exressão emos : zero e desvio. Tomado o valor eserado E[ X E[ X E[ X ] E[ X ] E[ ] E[ X ] E[ X ] ] ] E[ ] Limie quado E[ X ] (rocesso Esacioário) Aes de você esar que ada mais faz seido orque achamos uma exressão que ão deede de e aida chamamos de rocesso esacioário edo dio aeriormee que isso ão acoeceria, observe que a exressão aerior era um caso aricular desse rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 96

97 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) caso ode o era zero e o era um. Nesse caso, a exressão do regime esacioário dá /. Coiua ão exisido regime ermaee ara o ersoagem em quesão. roriedades: Noe se raar de um rocesso Aleaório de Temo Coíuo com as seguies (A) roriedade de Markov (fala de memória) - valor fuuro só deede do esado aual; (B) Se realiza a icremeos Ideedees - a disribuição de robabilidades de uma mudaça o rocesso em um dado iervalo de emo é ideedee de qualquer ouro iervalo (sem suerosição de emo); (C) A robabilidade de uma rasição em um iervalo fiio de emo é ormalmee disribuída com uma variâcia que aumea liearmee com o iervalo de emo. Essas roriedades são algumas caracerísicas de um rocesso de Wieer. O rocesso de Wieer lembra basae o bêbado o corredor que vimos aé agora..4. ROCESSO DE WIENER Seja Z () um rocesso de Wieer e Z a mudaça em Z (rasição) corresodee a um iervalo de emo. A relação ere Z e é dada or (defiição): Z ode é uma v.a. ormalmee disribuída com média zero e desvio adrão. Sedo que a variável aleaória ão em correlação serial o emo, iso é: cov (. s ) = s odemos dizer que Z é uma variável aleaória com disribuição ormal de média zero e variâcia igual a. Assim os valores de Z ara diferees iervalos de emo são ideedees. Como coseqüêcia, Z() é um rocesso de Markov (roriedade ) com icremeos ideedees (roriedade ). Aalisado uma rasição um iervalo de emo T cosiuído de subiervalos, iso é, rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 97

98 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Z Z s T Z s i i Z i, com ideede e i logo.. T. Z i i i Z é ormalmee disribuída com média zero e variâcia. = T. Iso é, a variâcia de uma rasição o rocesso de Wieer cresce liearmee com o horizoe de emo. Isso quer dizer que, quao mais ra free se olha o rocesso maior a icereza do mesmo (roriedade ). O rocesso de Wieer é ão esacioário. No logo razo sua variâcia ede a ser ifiio. Agora vamos aalisar o curíssimo razo, ou seja, a rereseação diferecial do rocesso de Wieer. Lim dz i d E dz dz E[( dz ) ] E[( dz) ] d Logo o rocesso de Wieer ão em derivada em relação ao emo. Isso reflee sua aureza imrevisível. A derivada é um idicador de ara ode vai uma fução. A resosa o caso de um rocesso de Wieer é "ão eho a meor idéia". Z lim Z.5. GENERALIZAÇÃO - ROCESSO DE WIENER COM DESVIO dx Normalmee disribuída com dx d dz dx variação do rocesso x(de Weier com desvio) dz variação do rocesso de Weier ormal arâmero do desvio (cosae) arâmero de variâcia (cosae) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 98

99 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) E[ dx] E[ d dz] E[ dx] d dx dx dx dx dx E[( dx E[ dx]) ] E[( d dz d) ] E[( dz) ] E[ d ] d Cosiderado o resulado obido vemos que o valor eserado desse rocesso é liear com a variação do emo mas ossui uma icereza (variâcia) que varia com a raiz quadrada dessa variação de emo. Exemlo: Cosidere o reço de uma commodiy moderada ara um rocesso de Wieer em 5 aos e iervalo de emo de mês com os seguies arâmeros:,/ ao / ao d d dx,, X X d 6 X X 6 d Ode ~ N (,) odemos simular esse rocesso em lailhas elerôicas ode o róximo elemeo é o rimeiro somado de uma cosae e um faor erurbador dado elo..6. RERESENTAÇÃO DO MOVIMENTO BROWNIANO OR ASSEIO ALEATÓRIO Seja, x um rocesso de Markov com icremeos ideedees. Ou seja, a robabilidade de um valor fuuro de x deede somee de ode o rocesso esá agora e a robabilidade de subir ou descer em cada eríodo é ideedee do que acoece os eríodos révios. Cosidere seu icremeo como uma variável aleaória x que assume os valores + ou - h com robabilidades e q, resecivamee. Cosidere sua osição iicial sedo X. O gráfico., abaixo, ilusra as realizações ossíveis associadas as suas robabilidades em emos. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 99

100 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) X +h X +h X +h X X -h X -h X -h q q q q q q = = = = Gráfico. ossíveis Esados do Sisema E E x. h q h qh x h q h q h h x E x Ex E x xex E x x h ( q) h { [ q] } h 4 qh E x Ex Cosideremos agora que vamos dividir o emo em equeos assos de amaho. dividido em assos X X ou. em disribuição biomial (ara assosideedees) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

101 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas Coclusões:. odemos dizer o Movimeo Browiao é o limie do asseio aleaório quado o iervalo de emo e amaho do asso edem a zero. Se maida a relação:. A relação descria a fórmula acima é a úica que faz com que a variâcia de (X X) deede de e ão do úmero de assos.. A relação ere dx e d ão é direa, dx deede de d. 4. Trasições em x em um eríodo fiio de emo são ormalmee disribuídas orque quado º. assos cresce a disribuição biomial ede ara a ormal. 5. Quado, a disâcia oal ercorrida em um úmero fiio de assos ede a ifiio. q q h q h q x E h h h Usado h q h q x X X h q h q x E X X E Cosiderado ;, assos: h q h d h h D.. 4. com variâcia.. com média omal biomial isribuição ifiio, fiio, assos, ara h

102 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Livros de rocessos Esocásicos/Teoria de Filas () De Groo M.H robaliy ad Saisics, Addiso Wesley, 978. () Ross, SM. Iroducio o robabiliy Models, Academic ress, () Bha, U.N. Elemes of Alied Sochasic.rocess, Weley (4) Feller N. A Iroducio o robabily Models ad is Alicaios. Wesley (5) Kleirock, L., Queueig Sysems, Vol. : Theory, Wiley-Iersciece ublicaio, 975; (6) Magalhães, M. N., Irodução à Rede de Filas, Dearameo de Esaísica, Isiuo de Maemáica e Esaísica, Uiversidade de São aulo, ABE Associação Brasileira de Esaísica, 996; Livros de esquisa Oeracioal (7) Willias, H.. (984), Model Buildig i mahemaical rogrammig. Ed. Wiley; (8) Areales e.al. (7), esquisa Oeracioal, Ed. Camus (9) Ragsdale, N. (), Seadshee Modelig ad Decisio Aalysis, Ed. Souhweser College ublishig. () Simchi-Levi, D., Kamisky,. & Simchi-Levi, E., Cadeia de Surimeos: rojeo e Gesão Ed. Bookma,. () Wiso, W. L. Oeraios Research: Alicaios ad Algorihms, rd ediio. Belmo, Duxbury ress, 99. () Hillier, F. S., Lieberma, G. J., Irodução a esquisa Oeracioal, Ediora Camus, RJ, 988, ; () hilis, Ravidra, Soeberg, esquisa Oeracioal. (4) Novaes, Aôio Galvão, esquisa Oeracioal e Trasores, McGraw-Hill, US, 975; (5) Saos, M.., esquisa Oeracioal, Dearameo de Maemáica Alicada - Isiuo de Maemáica e Esaísica, Uiversidade Esadual do Rio de Jaeiro, ; (6) Wager, Harvey M., esquisa Oeracioal, reice Hall, Rio de Jaeiro, 986; Livros de Simulação (7) Chwif, L., Media, A.C.; Modelagem e Simulação de Eveos Discreos, Teoria e Alicações. Ed. dos Auores, 6 (8) Law, A.M.; Kelo, W.D.; Simulaio Modelig ad Aalysis, MacGraw Hill,. (9) Saliby, E. Reesado a Simulação; Ed. Alas, 989. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

103 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

104 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 5. LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS DE ROCESSOS ESTOCASTICOS ) Uma floresa é cosiuída de dois ios de árvores: aquelas com aé meros e as maiores do que meros. A cada ao 4% das árvores com aé m morrem, % são vedidas or $ cada, % ermaecem com aé meros e % crescem ara acima de m. Das árvores maiores do que m a cada ao são vedidas 5% or $5 cada, % or $ cada e % ermaecem a floresa. a) Qual a robabilidade de que uma árvore, com meos de m, morra aes de ser vedida? b) Se uma árvore (com meos de m) é laada, qual é o seu valor eserado de veda? V5,4 M,5, -, +,, V, V M, V, V e V5 são esados absorvees. - + M V V V5 -,,,4, +,,,5 = M V V V5,48,48,57,4,8,4 E I Q, A E.R,48,85,74 c) robabilidade de que uma árvore, com meos de m, morra aes de ser vedida: a,m =,57 57% d) Valor eserado de veda, se uma árvore com meos de m é laada: V es = *,4 + *,8 + 5*,4 = $5,5 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

105 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ) Com a chegada da civilização, os ídios da Aldeia Taia resolveram isiuir um sisema de revidêcia social, ara o que coaram com a ajuda de um cosulor, Mesre em Egeharia de rodução. A rimeira eaa do esudo do cosulor cosisiu em classificar os ídios em rês gruos: criaças, rabalhadores e aoseados. Logo em seguida, uilizado a excelee memória dos ídios, ele iferiu os seguies dados: durae um eríodo de um ao, 959/ de odas as criaças ermaecem criaças, 4/ se oram adulos rabalhadores e / delas morrem; além diso, aida durae um dado ao, 96/ de odos os adulos rabalhadores ermaecem adulos rabalhadores, / se aoseam e / falecem. A axa de moralidade dos aoseados é de 5/ a cada ao. O úmero de ascimeos é de criaças or ao. a) Suodo que a oulação da Aldeia esá em regime ermaee deermie a sua oulação, bem como sua esruura eária (os rês gruos mecioados). b) Cada aoseado recebe uma esão de $ 5. or ao. O fudo de esão é cuseado elos agameos dos adulos rabalhadores. Com quao cada adulo rabalhador deve coribuir, or ao, ara o fudo de esão? Como a oulação da Aldeia esá em regime ermaee, o úmero de ascimeos é igual ao úmero de mores, iso esá rereseado ela rasição M C.,96,4 T,,95 9 C, M,,5 A,95 Usado a Lei da Coservação de Fluxo e o fao de que o úmero de mores é igual ao úmero de ascimeos, emos o sisema:,4c (,,) T,T,5A,5A,T,C M (,4,) C M M Logo: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

106 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) a) oulação da Aldeia e sua esruura eária: Criaças: C = = 59 ( ascimeos or ao) Trabalhadores: T = 4.9 Aoseados: A = 4.64 oulação oal: ídios b) Valor a agar aos aoseados: 4.64 * 5. Eão cada rabalhador deve coribuir com: 4.64 * = $ / ao ) No jogo de Cras, ós jogamos um ar de dados de seis faces. No rimeiro laçameo, se irarmos 7 ou ós gahamos imediaamee. Se irarmos, ou erdemos imediaamee. Se o resulado do rimeiro laçameo for 4, 5, 6, 8, 9, ós coiuamos a laçar os dados aé obermos um 7, quado erdemos, ou aé obermos o mesmo resulado que o rimeiro laçameo, quado gahamos. Use os seus cohecimeos de Cadeias de Markov ara deermiar ossa robabilidade de viória. Iício /9 /9 Gaha / erde 5/6- Coiua /6 Do esado iicial (aes do rimeiro lace de dados) o jogador ode gahar de rimeira se irar 7 (6/6) ou (/6), com /9 de robabilidade. ode aida erder de rimeira se irar (/6); (/6) ou (/6), com /9 de robabilidade. oderá aida coiuar jogado, caso ão gahe e em erca, com robabilidade: /9 /9 = / Os esados (erde) e G (Gaha) são absorvees. Do esado C (Coiua) erderá se obiver um 7 (/6). Logo C = /6. Cálculo de : a) Seja () a robabilidade de erder o jogo rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

107 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas ) ( Assim ) ( Oura maeira de chegar a ese resulado seria cosruir ) ( R Q I A Assim ) /( ) ( A ) 6( ) 6( 6 5 ) 9( 9 ) 9( A b) Cálculo de ) ( ). ( ) ( i i i (do Teorema da robabilidade Toal) A robabilidade de erder é a soma dos roduos da robabilidade de erder, dado que irou i o rimeiro laçameo, ela robabilidade de irar i o rimeiro laçameo. ( )() =. /6 ( )() =. /6 ( 4)(4) = {(7) + [-(7)-(4)] (7) + + [-(7)-(4)] (7)+...}(4) = [ (7)(4)] / [ (7) + (6)] = /6 = ( )() Aalogamee: ( 5)(5) = [ (7)(5)] / [ (7) + (5)] = 4/6 = ( 9)(9)

108 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ( 6)(6) = [(7)(6)] / [ (7) + (6)] = /96 = ( 8)(8) ( 7)(7) = ( )() = ( )() = /6 Logo () =,57 (G) =,49 Mas: ( ) 9 9( ). orao, =,794,794 9,9 9 6 E ( I Q),76,564,49 A E.R,46,57,594 robabilidade de viória: G =.49 robabilidade de derroa: =.57 robabilidade de Gahar dado que o rimeiro laçameo irou 6: ( G 6) Oura forma de esar o roblema é eseder o esado coiua em seis esados rasiees, rereseados elas ouações obidas a rimeira jogada que imlicam em coiuação do jogo, a saber: 4, 5, 6, 8, 9 e. As robabilidades de rasição se ecoram a mariz abaixo. or simlicidade, disesamo-os de esboçar o D.T.E. corresodee. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

109 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) I = 8 9 G I G /6 4/6 5/6 5/6 4/6 /6 8/6 4/6 7/6 /6 6/6 6/6 4/6 6/6 5/6 5/6 6/6 5/6 5/6 6/6 6/6 4/6 6/6 7/6 /6 6/6 Q = /6 4/6 5/6 5/6 4/6 /6 7/6 6/6 5/6 5/6 6/6 7/6 I-Q = -/6-4/6-5/6-5/6-4/6 -/6 9/6 /6 /6 /6 /6 9/6 (I-Q) - = / /5 5/ 5/ /5 / 4 8/5 6/ 6/ 8/5 4 O emo médio de jogo será,76; obido or + / + /5 + 5/ + 5/ + /5 + /. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

110 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) I 4 5 A= (I-Q) -.R = G 5/7 7/7 / / /5 /5 5/ 6/ 5/ 6/ /5 /5 / / robabilidade de viória: G = a IG = 5/7 =.49 robabilidade de derroa: = a I = 7/7 =.5 robabilidade de Gahar dado que o rimeiro laçameo irou 6: (G 6) = a 6G = 5/ 4) A Gazea da rodução em as seguies iformações a reseio de seus assiaes: Durae o rimeiro ao % dos assiaes cacelam suas assiauras. Daqueles que comlearam o o ao, % cacelam sua assiaura o o ao. Daqueles que assiam or mais de aos 4% irão cacelá-los durae algum dos róximos aos. Em média qual a duração de uma assiaura da Gazea da rodução? - ao,,8, ao,9 - ao ao +ao Cacela -ao,8, = ao,9, +ao,96,4 Cacela Ca c.,4 + ao,96 E ( I Q),8,9,4,8 8,5 5 d i duração média do regime rasiee (assiaura) dado esado iicial i d i jt e ij d d d 9,8,5 5 aos aos aos Duração média de uma assiaura: 9,8 aos rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

111 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 5) O emo em edra Azul ode ser descrio, como deedee do emo os dois úlimos dias, elo seguie mecaismo: (i) se os úlimos dois dias foram esolarados eão exise 95% de chace de amahã ambém ser esolarado; (ii) se oem eseve chuvoso e hoje esolarado eão com 7% de chace amahã será esolarado; (iii) se oem esava esolarado e hoje esá chuvoso eão amahã será um dia chuvoso com 6% de chace; (iv) se os dois úlimos dias foram chuvosos eão amaha será um dia chuvoso com 8% de chace. É ossível modelar o emo em edra Azul como uma cadeia de Markov? Exlique orque e cosrua o diagrama de rasição de esados. Sim, é ossível modelar como uma cadeia de Markov se o esado rouxer a iformação dos úlimos dias, assim oda iformação que reciso ara o róximo esado esá coida o esado aerior. hoje E.C. amahã,5,6 E.E. C.E. E.C. C.C.,95 E.E,4, C.C.,8 E.E.,95,5 = C.E.,7, E.C.,4,6,7, C.C.,,8 C.E hoje oem 6) Suoha que o mercado exisem aeas duas marcas de cerveja Mharba e Árica. Dado que a úlima comra de uma essoa foi uma de Mharba, exise 9% de chace de que sua róxima comra seja de Mharba. Dado que a úlima comra de uma essoa foi de Árica exise uma robabilidade de 8% de que sua róxima comra seja de Árica. a) Reresee o roblema or uma cadeia de Markov, areseado a mariz de robabilidades de rasição e o diagrama de rasição de esados. b) Dado que uma essoa acabou de comrar Mharba quao emo será ecessário ara que oura comra de Mharba seja realizada? E de Áica? Como você ierrea o emo ese caso? c) Suoha aida que cada cosumidor faça uma comra de cerveja or semaa ( ao = 5 semaas), e que exisam milhões de cosumidores de cerveja. Uma uidade de cerveja é vedida or $ e cusa à cervejaria $. or $5 milhões or ao uma firma de roagada garae dimiuir de % ara 5% a fração dos cliees de Mharba que mudam ara Árica deois de uma comra. Deve a cervejaria Mharba coraar a emresa de roagada? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

112 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) a),,9 M A,8 M A = M,9, A,,8, b), M, A M A A M Dado que uma essoa acabou de comrar Mharba, o emo ecessário ara realizar: oura comra de Mharba: emo médio de º reoro = m MM =? uma comra de Áica: emo médio de ª assagem = m MA =? m MM =, 5 M m MA = + MM. m MA m MA = +,9. m MA m MA = O emo é ierreado como o úmero de comras de cerveja realizadas. c) Quaidade de cerveja comrada or ao: N = 5 * milhões = 5, bilhões Sem coraar a emresa de roagada: Quaidade de Mharba comrada or ao: N M = N * M =,47 bilhões Lucro obido: L M = N M * ($-$) = $,47 bilhões Coraado a emresa de roagada: A mariz de robabilidades de rasição se alera ara: M A = M,95,5 A,,8 ' ',5 M, A ' ' M A ' A ' M Quaidade de Mharba comrada or ao: N M = N * M = 4,6 bilhões Lucro obido: L M = N M * ($-$) - $5 milhões = $,66 bilhões Como L M > L M, eão vale a ea coraar a emresa de roagada. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

113 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 7) Uma comahia com um vôo às 7h45 da mahã ere Rio e Brasília ão quer que o vôo se arase dois dias seguidos a mesma escala. Se o vôo sai arasado um dia, a comahia faz um esforço esecial o dia seguie ara que o vôo saia o horário, e obém sucesso em 9% das vezes. Se o vôo ão saiu arasado o dia aerior, a comahia ão oma rovidêcias e o vôo sai como escalado em 6% das vezes. Que erceual de vezes o vôo sai arasado? Qual o emo médio ere dois vôos o horário?,9, AT H,6,4,9 AT,4 AT H H AT H 4 9 erceual das vezes que o vôo sai arasado: AT = 4/,8% Temo médio ere dois vôos o horário é emo médio de º reoro: m HH = / H = /9 =,44 dias 8) A Ábaco sisemas de comuação regisra a cada semaa uma demada equirovável de ou de seu modelo A5. Todos os edidos devem ser aedidos do esoque exisee. Duas olíicas de esoque esão sedo cosideradas: olíica I: Se o esoque é de ou meos uidades, coloca-se um edido de forma que o esoque iicial a róxima semaa seja de 4 uidades. olíica II: Se o esoque é de ou meos uidades, coloca-se um edido de forma que o esoque iicial a róxima semaa seja de uidades. Os seguies cusos são observados a Ábaco: Cuso de comrar um comuador: $4. Cuso de maer o comuador em esoque $/semaa.comuador, Cuso de efeuar um edido $5 (além do cuso de $4. or comuador). Qual olíica em o meor cuso semaal eserado? Modelo Trasição Esado Esoque Mudaça de semaa º de eças em esaque o fim de semaa, aes de reor o esoque (D = ) = (D = ) =,5 olíica I: Esoque máximo ao fim da semaa: Esoque míimo ao fim da semaa: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

114 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) D= D= D= D= D= D=,5,5 =,5,5,5,5 Trasições da are suerior imlicam em edidos.,5,5,5,5,5,5 6 Cuso de maueção do esoque: $ * º médio de comuadores em esoque = $6,67 $ $ = 6 Os edidos só são feios quado em as rasições de esado:,,, m : emo eserado ara o esoque sair de e ir ara. /m : freqüêcia relaiva dado que o esoque esava em e assou ara m m m m m m m m m m m m,5 m,5 m,5 m,5 m m m m m m = / = m m : freqüêcia relaiva dado que o esoque esá o esado, esse é o úmero médio de vezes que o esoque será reabasecido, esado iicialmee o esado. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

115 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Cuso de efeuar edido: $5 * º médio de edidos = $ 5 $5 m m m m = $5.( + ) = $, Cuso médio do edido: $4 * º médio de comuadores comrados or semaa = 4 6 $4 $ = $6 Cuso oal eserado: $6,67 + $, + $6 = $655 olíica II: Esoque máximo ao fim da semaa: Esoque míimo ao fim da semaa: D= D= D= D= D= D= Como o DTE é idêico ao da olíica I 6 e m m m m Cuso de maueção do esoque: $ * º médio de comuadores em esoque = $ $ = $6,67 6 Os edidos só são feios quado em as rasições de esado:,,, m = / = Cuso de efeuar edido: $5 * º médio de edidos = $ 5 $5 m m m m = $5.( + ) = $, rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

116 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Cuso médio do edido: $4 * º médio de comuadores comrados or semaa = 4 6 $4 $ = $6 Cuso oal eserado: $6,67 + $, + $6 = $645 Logo olíica em o meor cuso semaal eserado, devido ao meor cuso de maueção de esoque. 9) O rograma de reiameo de suervisores de rodução de uma deermiada comahia cosise de duas fases. A fase a qual evolve semaas de aula eórica, é seguida da fase a qual evolve semaas de aredizagem ráica. elas exeriêcias aeriores, a comahia esera que somee 6% dos cadidaos da fase eórica assem ara a fase ráica, com os 4% resaes sedo desligados do rograma de reiameo. Dos que fazem a are ráica, 7% são graduados como suervisores, % eviados ara reei-la e % disesados. a) Desehe o diagrama de rasição de esados. b) Quaos suervisores ode a comahia eserar formar de seu rograma ormal de reiameo, se exisem 45 essoas a fase eórica e a fase ráica? Fase,,6,7 Fase,,4 Disesado Suervisor D S,6,4 =,,,7 D S A,6,9,4,,7,4 9,, I Q R Nº eserado de suervisores: a a S S ) No isae, eu eho $. Nos isaes,,,... eu jogo um jogo o qual eu aoso $. A cada lace eho uma robabilidade de gahar $ e robabilidade q= - de erder $ Meu objeivo é aumear meu caial ara $4, e ão logo eu o rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

117 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) cosiga eu saio do jogo, assim como se eu ficar sem ehum diheiro. a) Cosrua a mariz de robabilidades de rasição e o diagrama de rasição de esados ara a cadeia de Markov que modela o jogo. b) Aós jogadas qual a robabilidade que eu eha $? E $? c) orque ão é razoável ara ese jogo falar em robabilidades de regime ermaee? 4 q q q 4 q = q q 4 4 q q = q q q q 4 Aós jogadas, robabilidade de er $: () = $: () = As robabilidades de regime ermaee descrevem as chaces ão ulas do rocesso esar em cada esado ao logo do emo. Como o rocesso em quesão aresea dois esados absorvees, segue que as chaces do rocesso esar um esado rasiee ederão a zero ao logo do emo, equao as chaces de esar um dos esados absorvees ederão a. ) O livro de didáico "O - A Solução" vede milhão de exemlares a cada ao. Algus dos leiores coservam o livro equao ouros vedem o livro de vola ara a livraria. Suoha que 9% de odos os esudaes que comram um ovo livro o vedam de vola, que 8% dos esudaes que comram o livro com um ao de uso o vedam de vola e que 6% dos esudaes que comram um livro com dois aos de uso o vedam de vola. Os livros com 4 ou mais aos de uso já esão muio usados e ão são mais egociados. a) Em regime ermaee, quaos ovos exemlares do livro ode a ediora eserar veder do livro? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

118 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) b) Suoha que o lucro da livraria com cada io de livro seja de $6 or um livro ovo, $ or um livro com ao de uso, $ or um livro com aos de uso e de $ or livro com aos de uso. Qual o lucro eserado or livro vedido? Esado: idade do livro vedido, ela ediora, o começo do eságio Eságio: ao leivo Trasição: mudaça de ao,9,8,6,,,4,,9 =,,8,4,6,,,4,9,8,6,77,949,59,45 a) º eserado de exemlares ovos a ser vedido: roorção de livros ovos o mercado * q de livros vedido/ao = *.. = 7,7 mil exemlares b) Lucro eserado or livro vedido: 6* + * + * + * = $,46 ) Três bolas são divididas ere caixas. Durae cada eríodo uma bola é escolhida aleaoriamee e rocada ara a oura caixa. a) Calcule a fração do emo que uma caixa irá coer,, ou bolas. b) Se a caixa ão coém bolas, em média quao emo será decorrido aé que ela coeha, e rês bolas? O rocesso: uma bola é escolhida aleaoriamee e eão é rocada de caixa. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

119 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Ex: Esado: caixa coém uma bola. Se a bola escolhida esiver a caixa, ela será rocada de caixa e a caixa assará a er bolas com robabilidade / (que é a robilidade de escolher essa bola). Se a bola escolhida esiver a caixa ela irá ara a caixa que assará a er bolas com robabilidade / (que é a robabilidade de escolher a bola da caixa : / + /). Esado: º bolas a caixa Trasição: rocar uma bola de caixa Eságio: eríodo / / / / = / / / /,5,75,75,5 a) Fração do emo que a caixa irá coer,, ou bolas é dado or,,,. b) Dado que a caixa ão coém bolas, em média, o emo decorrido aé que ela coeha, e bolas é dado or m, m e m resecivamee. m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m / m / m / m m m m m m m 9 7 ) Classifique os diversos esados das cadeias de Markov a seguir, dadas or sua mariz de rasição. Calcule as robabilidades esacioárias. a),7,4,,8,,, Todos os esados são recorrees. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

120 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E),7,4,,,8,6,74 b) / 6 / 6 / 6 / / / / / / Todos os esados são recorrees. = [/6 / /] /4 /8 A Subcadeia absorvee com esados recorrees c) / 4 /8 /8 /8 Esado é rasiee. /4 /4 A / 4 / 4 ( ) A I Q R / 4 / 4 Mariz de rasição da subcadeia absorvee: / / Dado que o esado foi absorvido, exise robabilidade de,5 de esar o esado ou. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

121 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) d) / / 5 / / 5 Os esados e são recorrees. Esado ão é absorvee e Nem recorree. ara os esados e : / / 5 / / 5 / /5 4 / 9 5/ 9 e),,6,,7,4,,,,4,5,, Subcadeia absorvee com esados recorrees 4 Esados e 4 são rasiees., A A 4,,,4 A ( I Q),5,,,,7 R,4,5,7,,99, ara os esados e :,,6,7,4,,6,46,58 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

122 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) f) / /8 / 5 / 4 4 / 5 / 4 / 7 /8 Esados recorrees, e,4 4 ara os esados e 4: / / /8 7 /8 / /8 4 4 / 4 8/ ara os esados e : / 5 4/5 / 4 / 4 / 5 / 4 5/ 6 / 4) Dois jogadores jogam uma moeda hoesa. Se der cara o jogador I aga R$ ao jogador II, se der coroa é o jogador II que aga R$ ao jogador I. Cosidere que a quaidade oal de diheiro em jogo (iso é a soma das quaias ossuídas elos dois jogadores) é de R$5. Modele o jogo como uma cadeia de Markov. Dado que o jogador I começou o jogo com R$, calcule o emo eserado do jogo e a robabilidade de que cada um dos jogadores veça o jogo (iso é alcace R$5). / / / / 4 5 / / / / 4,6,,8,4,,4,6,8 E = (I-Q) - =,8,6,4, 4,4,8,,6 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

123 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 4 5 / / / / = / / 4 / / 5 d i : duração do regime rasiee, dado que saiu do esado i Duração média do jogo, dado que jogador I começou com $: d = j e j =,8+,6+,4+, = 6 laçameos de moeda 5,,8,4,6 A = E.R =,6,4 4,8, robabilidade do jogador I gahar: a 5 =,6 robabilidade do jogador II gahar = robabilidade do jogador I erder: a =,4 5) Quaro meios (A, B, C e D) bricam de laçar disco. Se o meio A recebe o disco laça-o ara B, C ou D com iguais robabilidades; se C recebe o disco laça-o ara A ou D com iguais robabilidades; se B ou D recebem o disco, ficam com o mesmo. Modele o roblema como uma cadeia de Markov. Desehe ambém o diagrama de rasição de esados. a) Se o disco esá com C qual a robabilidade de D ficar com o disco? b) Se A esá com o disco qual a robabilidade do disco ermiar com B? A C B D A / / / = C / / B D rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

124 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) / A B / / / C D / A ( I Q) 6 / 5 R / 5 / 5 / 6 / 5 / / 5 / / 5 / 5 4 / 5 robabilidade do disco ficar com D dado que esava com C: a CD = 4/5 robabilidade do disco ficar com B dado que esava com A: a AB = /5 6) Cosidere um jogador que a cada lace de um jogo em uma robabilidade de gahar uma uidade e robabilidade q= - de erder uma uidade. Assumido que sucessivos laces são ideedees qual é a robabilidade que começado com i uidades a forua do jogador alcace aes de chegar a?... i- i i q q q q q q q q Se i = = Se i = = i = a i = robabilidade do rocesso ser absorvido em dado que começou em i, i, i i, i i,,...,. i i+ i+ q i- i- i. i q. i, i, i,,..., q i i i i q i q i,,..., i, i i rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

125 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5 Eão ara: : : : : q q i q q i i q q i q q i i i i i i Somado as lihas acima, ara i variado de a (i-), emos:... i i q q q. / / q se i q se q q i i Somado as lihas acima, ara i variado de a (-), emos:... q q q Como = : / / se se q q

126 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Logo i i q / q / i se se A robabilidade de gahar o jogo, dado que começou com i uidades, é dada or i quado : i q i se se. 7) Uma loja de máquias foográficas esoca um modelo de máquia foográfica aricular que ode ser ecomedado semaalmee. Sejam D, D,..., D i,... variáveis aleaórias que rereseam a demada elas máquias durae a semaa i. Seja X o o esoque exisee de máquias, e X i o úmero de máquia disoíveis ao fial da semaa i. Sábado à oie a loja faz uma ecomeda que será eregue em emo ara a aberura da loja a a feira. A olíica de ecomedas da loja é (s,s)=(,); ou seja, se o Sábado a oie a quaidade de máquias em esoque for meor que s= (ehuma máquia em esoque), eão a loja ecomedará (aé) S= máquias; caso corário ehuma máquia será ecomedada. É suoso que haja erdas de vedas quado a demada exceder o esoque disoível. As variáveis aleaórias odem ser avaliadas ieraivamee ela exressão: X max max D X D,,,seX,seX Cosiderado que a demada em uma disribuição de oisso com média, a mariz de rasição de uma eaa é dada or: = a) Descreva como a mariz de rasições ode er sido obida. b) Se o rocesso iiciou com um esoque de máquias qual o emo eserado ara que o esoque se esgoe? c) Qual a robabilidade de ecorar o esoque com,,, e 4 máquias? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

127 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) d) Qual o emo médio ere duas ecomedas? a) A mariz foi obida usado a abela da disribuição de oisso. Ode (D + =) = (D + =) =,68, (D + =) =,84 e (D + =) =,6 Ex: Se X =, o esoque é reoso e fica com máquias. Logo, a robabilidade de que X + = (D + =) ou X + = ( D + =) é de,68. A robabilidade de que X + = (D +=) é de,84. Se D +, eão X +=; esse caso, a robabilidade é de -,68-,68-,84 =,8. b) Temo eserado ara que o esoque se esgoe, dado que iiciou com máquias: m m m m m m m m m m m m m m m m,5,5,6 c) robabilidade de ecorar o esoque com,, e máquias é dada elo veor,8,6,64,8,68,68,68,68,68,857,848,6,66 A robabilidade de ecorar 4 máquias o esoque é. d) Temo médio ere duas ecomedas: emo médio de reoro ara o esado = m = / =,5 semaas 8) Um auralisa esá observado o comorameo de um sao em um equeo lago, o qual há 4 iféias (laas aquáicas). O sao circula ere esas 4 laas ulado de uma ara oura, as quais são umeradas arbirariamee de a 4. A robabilidade do sao ular de uma laa ara oura é iversamee roorcioal a disâcia ere elas (iso é, o sao refere ular ara uma laa mais ero do que ara uma mais loge). As disâcias ere as laas são: 4 6/5 / 6/7 / /4 a) Defia a mariz de rasição b) Calcule as robabilidades de regime ermaee rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

128 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) c) Ierree esas robabilidades em ermos do comorameo do sao. d) Exlique, do oo de visa do sao, o que sigificam as hióeses de Markov e de esacioariedade. a) Tabela com o iverso das disâcias: 4 5/6 / / 5/6 7/6 / 7/6 4/ 4 / 4/ A soma das lihas da mariz de rasição deve ser igual a, orao: 5 6 K K 7 4 K 6 K 5 7 K 6 6 K 4 4 K 4 K 4 4 Mulilicado cada liha da abela acima elas cosaes ecoradas, obém-se a mariz de rasição: 5/ 4 / 6 / 6 5/ 7 /8 / / 4 7 / 4 / / / 4 / 9 b) 5/ 4 / 6 / 6 4 5/ 7 /8 / 4 / 4 7 / 4 / 4 4,58,77,8 4,77 c) As robabilidades de regime ermaee idicam a fração de emo que o sao assa em cada laa. d) As hióeses de Markov, do oo de visa do sao, sigificam que ele ão em memória. or exemlo, ele ão sabe se deermiado lugar em mosca ou ão, ou aida, se deermiada laa afuda ou ão; as chaces de ir ara a róxima laa só deedem da laa ode ele esá. A roriedade de esacioariedade idica que o sao ão arede ao logo do emo. O róximo salo é aleaório. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

129 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 9) Se-segura Comahia de Seguras classifica seus cliees de acordo com seu hisórico de acidees (do cliee). Um cliee que ão eha ido ehum acidee os úlimos dois aos em uma aualidade de $. Cliees que eham ido acidees em ambos os aos em uma aualidade de $4. Cliees que eham ido acidee em somee um dos úlimos dois aos em uma aualidade de $. Um cliee que eha ido um acidee o úlimo ao em % de chace de er um acidee o ao corree. Se o cliee ão iver ido ehum acidee o úlimo ao ele em % de chace de er um acidee o ao corree. ara um dado ao, qual é a aualidade média aga or um cliee da Se-segura? Esado: (X,Y) X= : eve acidee o ao Y= : eve acidee o ao,97, =,9,,97,,9,,97,,,,,9,,,,97,,9,97,,9,97,,9,987,9,9, Aualidade média: $ + $4 + $ ( + ) = $,58 ) DOFOGO é uma comahia roduora de fogões, famosos ela sua qualidade. A comahia em uma olíica de aos de garaia, ode ela garae a subsiuição de qualquer fogão que falhe durae ese eríodo. A comahia esá laejado fazer uma camaha romocioal ode reede eseder a garaia ara rês aos. Como forma deavaliar o imaco desa ova olíica foram coleados os seguies dados: % dos fogões ovos falham durae o rimeiro ao de oeração; 5% dos fogões com mais de um ao de uso falham durae o segudo ao de oeração; 7% dos fogões com mais de dois aos de uso falham durae o erceiro ao de oeração. Observe que um fogão subsiuído ão é cobero ela garaia. a) Use cadeias de Markov ara redizer quaos fogões deverão ser reosos com a ova olíica. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

130 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) b) Suodo que o cuso de reor um fogão seja de $ e que a DOFOGO veda. fogões or ao, qual o imaco moeário da mudaça de olíica de garaia? olíica de garaia de aos: F,97,,95,5 =,9,7 F,97,95,9,,5,7 F A ( I Q) R,97,975,95,9,,866,5,885,7,9,44,65,7 a) º de fogões que deverão ser subsiuídos: a F = 4,4% olíica de garaia de aos:,97,95 F,97, =,95,5 F,,5 F A ( I Q) R,97,95,,95,5,95,785,5 º de fogões que deverão ser subsiuídos: a F = 7,85% Cuso com as reosições ara: olíica de aos de garaia:. * $ *,44 = $4.4 olíica de aos de garaia:. * $ *,785 = $78.5 b) Imaco moeário da mudaça de olíica: $4.4 - $78.5 = $64.9 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

131 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ) O rorieário de uma barbearia de uma só cadeira esá esado em exadi-la devido ao fao de haver muia gee em esera. As observações idicam que durae o eríodo de emo requerido ara corar o cabelo de uma essoa, odem haver, e ovas chegadas com robabilidade,;,4;,;,; resecivamee. A cada em caacidade fixa de 6 essoas, icluido aquela que esiver corado o cabelo. a) Desehe o diagrama de rasição de esado e deermie a mariz de robabilidade de rasição. b) Deermie a robabilidade que a casa eseja loada. c) Dado que a casa esa loada quao emo demora aé que ela eseja comleamee vazia? a),,,4,,4,,4,,4,,4,, ,4,,,,,,,,,,, Esado: º de essoas a barbearia o iício do core de cabelo Eságio: eríodo de core do cabelo Trasição: róximo core 4 5 6,,4,,,,4,, =,,4,,,,4,, 4,,4,, 5,,4, 6,,7 b),,4,,,4,,,,4, 4 4,,,4 4, 5 5,, 4,4 5, ,7,76,,64 4,74 5,59 6,77 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

132 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) robabilidade da casa esar loada: 6 = 7,7% c) m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ,7 9,74 84,7 7,96 56,9,59 Temo médio ara que a casa asse de loada a vazia: m 6 = 94,7 (cores de cabelo) ) Suoha que você coduziu uma série de eses sobre um rocedimeo de reiameo e verificou que a seguie mariz de robabilidades descreve o cojuo de resosas correas e icorreas j-ésimo ese (j+)-ésimo ese Correo Icorreo Correo,95,5 Icorreo,,99 a) Que roorção de resosas correas se ode eserar de um esagiário absoluamee reiado? b) Que roorção de resosas correas se ode eserar de um esagiário aós quaro reeições do rocedimeo, caso a resosa iicial seja igualmee ossível de ser correa ou icorrea? c) Qual a robabilidade de que se obeha, ela rimeira vez, uma resosa correa, exaamee quaro eaivas aós uma resosa icorrea? d) Qual o úmero médio de eaivas ara que se obeha uma resosa correa aós er obido uma resosa icorrea? a),,95 Correo Icorreo,99,5,95,,5,99 C C,95 I C, I C / 6 I 5/ 6 roorção eserada de resosas correas de um esagiário rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

133 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) absoluamee reiado : C = /6 = 6,67% b) 4.,9,94,97,9,986,94,97,986,87,65,87,964 (4) () (4),87,65,87,964,5,5,469,57 roorção de resosas correas aós 4 reeições: C (4) = 4,69% c) f IC 4 4 k 4k IC k f IC. CC f f f f IC IC IC IC IC IC, () IC f IC CC f IC CC,8,.,9,99.,85 4 (4) f. f f. IC f IC IC CC,94,.,95,99 CC IC,65,,858,99.,9,9765.,95 CC IC CC,9765,97,97% robabilidade de se ober uma resosa correa exaamee 4 eaivas aós uma resosa icorrea: f IC (4) =,97% d) m. m,99. m m IC II IC IC IC º médio de eaivas ara que se obeha uma resosa correa aós er obido uma resosa icorrea: m IC = eaivas ) Um jogador joga um jogo limo o qual as chaces são cora. Em ouras alavras ele em / de robabilidade de gahar e / de erder. Se gahar, gahará $. Se erder, erderá $. Suoha que os recursos oais do jogador e do seu ooee sejam $N. Se o caial de qualquer um dos jogadores cair abaixo do oo em que eles udessem agar caso erdessem o jogo seguie o jogo ermia. a) Desehe o diagrama de rasição de esados e deermie a mariz de rasição. b) Suoha que os dois jogadores cocordem em que se o caial de qualquer dos dois cair ara $, eles farão o róximo jogo com chaces iguais gaharão ou rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

134 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) erderão $, com igual robabilidade. Desehe o diagrama de rasição de esados e deermie a mariz de rasição ara ese caso. c) No caso descrio a lera (b) suoha que o jogador em $ e o jogador em $, qual a robabilidade do jogador gahar o jogo? d) Quaas jogadas durará o jogo? a) / / / / / / / 4... N- / / / / N- / / / Fim jogo Jogador gaha $ com robabilidade / erde $ com robabilidade / 4... N- N- N- F /... / / /... /... 4 /... =... N-... / N-... / / N-... / / F b) / / / / / / / 4... N- N- N / / / / / / / rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

135 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 4... N- N- N- N /... / / /... /... 4 /... =... N-... / N-... / / N-... / / N c) / / / / 4 / / / / / / / / = / / 4 / / 5 4,6,9,5, E = (I-Q) - =,,8,,6,8,,,4 4,4,6,6, 5,,8 A = E. R =,4,6,6,4 4,8, robabilidade do jogador gahar, dado que começou com $: a = 6% d) d = duração média do jogo (regime rasiee) dado esado iicial d = j e j =,8 +, +, +,4 =,6 jogadas rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

136 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 4) erfura-se um oço e, à medida que a erfuração avaça, uma série de erfis são realizados. Suoha que o oço ossa ser classificado em quaro esados, roulados como se segue: Em curso; Com desvio ligeiro, Com desvio aceuado, Abadoado (or esar ão fora de curso, que ão se cosegue mais aigir o alvo). Suoha aida que X reresee o esado do sisema aós a -ésima correção de curso e que o comorameo do oço ossa ser modelado or uma cadeia de Markov, com a seguie mariz de robabilidade de rasição: = / /4 /4 / /4 /4 a) Se o oço começou com um desvio ligeiro, qual a robabilidade de que ele eveualmee ere em curso? b) Se o oço em chaces iguais de começar com desvio ligeiro e aceuado, qual a robabilidade de que ele eveualmee ere em curso? /4 D.L. D.A. E.C. Ab. D.L. /4 /4 / = D.A. / /4 /4 / D.L. E.C. Ab. E.C. /4 / Ab. D.A. /4 c) Qual o úmero médio de erfis se oderá ober dese oço? /4 D.L. D.A E.C. Ab. E = (I-Q) - = D.L.,74,574 A = E.R = D.L.,857,4 D.A,48,74 D.A,57,49 a) Dado que o iício o oço iha um desvio ligeiro, a robabilidade de ele erar em curso (ser absorvido or E.C.) é: a DL,EC =,857 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

137 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) b) robabilidade de o oço erar em curso, dado que em chaces iguais de começar com desvio ligeiro ou aceuado:,5 x,857 +,5 x,57 =,485 +,855 =,74 c) d i = duração média do regime rasiee da esado iicial i = º médio de erfis dado esado iicial i d D.L. =,74 +,574 =,857 erfis d D.A =,48 +,74 =,857 erfis Como robabilidade de começar com um desvio ligeiro ou aceuado é igual, o úmero médio de erfis é: (,857 +,857) / =,57 erfis. 5) Na eoria de aálise de crédio, deermiados auores verificaram que a esimaiva dos valores cosiderados como devedores duvidosos cosuma seguir dois assos básicos descrios a seguir: Classificam-se as coas or idade, que refleem o esado em que a coa se ecora: um mês de araso, dois meses de araso, ec.... Esima-se uma execaiva de erda ara cada esado, geralmee com base a olíica da emresa, siuação ecoômica-fiaceira do cliee e ouros faores relevaes ara a aálise do crédio. O segudo óico merece uma aálise mais dealhada, sedo que aualmee diversos méodos, ricialmee a área de ecoomeria, esão sedo desevolvidos. Ereao, é ossível desevolver um méodo ara esimar a robabilidade de devedores duvidosos, com base as Cadeias de Markov, aravés do araso e da iadimlêcia exisee ara uma deermiada careira de crédio de uma isiuição fiaceira. Se em uma deermiada daa fizermos um levaameo de uma careira de crédio, oderemos facilmee verificar os seguies esados das coas em careira: A = valores a serem recebidos que aida ão veceram, ou seja, esão em dia ou com (zero) meses de araso; A = valores a serem recebidos que esão com mês de araso;... A j = valores a serem recebidos que esão com j meses de araso;... A = valores a serem recebidos que esão com meses de araso; Essa disosição corresode a uma classificação da idade das coas a receber, sedo o esado A a coa que esá em dia, A a coa com um mês de araso, e assim or diae. A é a siuação dos cosiderados icobráveis. Na ráica o úmero de idades das coas ode variar de isiuição ara isiuição ou or caegorias de crédio, ais como crédio imobiliário, leasig, fiaciameos direos ao cosumidor e qualquer ouro io de oeração de crédio. Se cosiderarmos um levaameo de coas a receber roveiees do eríodo i ara o eríodo seguie i +, que deomiaremos de j, a coa oderá ser classificada com relação a esses dois ídices, o eríodo aerior e o eríodo em que se ecora o momeo aual. De forma geral, eremos A jk igual ao levaameo da caegoria k o emo i +, o qual é roveiee da caegoria j o emo i. ara cosiderarmos odas as ossíveis rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

138 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) caegorias devemos acrescear mais uma caegoria àquelas descrias aeriormee. Traa-se da caegoria corresodee aos íulos classificados como agos, que serão descrios como ag. Valores classificados em qualquer caegoria o eríodo i odem mover-se ara a caegoria dos íulos agos ou ara qualquer oura caegoria de a o eríodo i +. Iremos adoar os rocedimeos recomedados elo Baco Ceral do Brasil, aravés da resolução.68, que deermia que os crédios vecidos há mais de 6 (sessea) dias, sem garaias, sejam rasferidos ara as coas de Crédios em Liquidação. Em º de março foi levaada uma amosra de 5 coas, e em de março foi verificado o comorameo dessas coas: De / a / Ieg. g Em dia Araso mês Araso meses erda Toal Emiidas aé 8/ Emiidas aé / Emiidas aé / A rimeira liha sigifica que, das fauras emiidas o mês de fevereiro, um oal de 4, 5 foram agas, aida ão veceram e 5 veceram e ão foram agas, coado o araso de um mês. A seguda liha mosra que, de 45 fauras emiidas o mês de jaeiro, foram agas, 9 aida ão veceram, 9 areseam araso de um mês e 5 com araso de dois meses. Fialmee, a úlima liha mosra que, de fauras emiidas o mês de dezembro, além da seqüêcia de agameos e arasos, corresodem à erda, ou seja, araso suerior a meses. Seja uma careira de crédio oal de R$..,, coforme mosramos a seguir: Siuação da Careira Valor (R$) Coas em dia 8. Coas com araso de mês. Coas com araso de meses 8. Valor da careira.. Calcule o valor eserado que será ago. Ajusado as quaidades ara veores de robabilidades; cosiderado as fauras agas (ag) e erdas (A ) como esados absorvees; e, rasodo a colua de fauras agas, odemos gerar a seguie mariz de rasição: A A A A ag A /4 5/4 5/4 = A 9/45 9/45 5/45 /45 A 4/ 4/ 6/ / / A ag rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

139 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) A A A A ag A,5,75,75 = A,,,,67 A,,,,5,5 A ag A A A A A A A,75 -,75 - A,687,897,47 E = (I-Q) - = A -,,8 -, = A,76,795,855 A -, -,,7 A,684,769,795 A ag A,64,96 A = E.R = A,8,87 A,69,7 Valor eserado a ser ago: a A,ag 8. + a A,ag. + a A,ag 8. = $9.9 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

140 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 6. LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS DE TEORIA DAS FILAS ) Cosidere a rede de filas abera com um úico ó, como mosrada abaixo. Chegadas exeras aridas O ó úico é uma fila M/M/ com axa de serviço. Um freguês reora ao ó com robabilidade deois de comlear seu serviço. A discilia da fila é ES (rimeiro a chegar rimeiro a ser servido). ergua-se: (c) Quao vale = axa oal de chegada ao ó? (d) Qual é o iervalo ermiido ara variação de ara que o sisema ermaeça esável? º ieração º + º + + º a) (-) i b) Codição rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

141 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ) No bar de um aerooro, uma essoa ode escolher ere omar um café servido o balcão, ou eão usar uma máquia auomáica. No balcão só odem ser aedidos, em média, 8 essoa or hora, equao a máquia ode aeder exaamee 4 essoas or miuo. A cada hora, 7 essoas, em média, rocuram o bar ara omar café; a robabilidade de uma essoa referir o balcão é de,6. Qual a demora média de uma essoa que rocura o bar, desde que era aé ser servida de café? 6 es. / h 7 c / h,6 Balc. = 8 com / h E M/M/ W E M/M/,4 Maq. M/D/ = 4 com / h M M/D/ W M W =,6 W B +,4 W M Balcão : W B Máquia : L q L L L W Lq q,45,45 L WM,587 horas segudos W,6*,555,4*,587,57 horas W miuos 8 segudos,555h miuos segudos 8 6 M / D /:,84,45,64 8 4,45,84 essoas ) Uma froa de raieiras cosome gelo ara coservar o eixe durae o emo assado o mar. O gelo vem em camioeas que rasoram oelada cada (5 barras) e que, o dia da erega, chegam à razão de 5 or hora, em média. O essoal ecarregado da descarga ira barra a cada segudos em média. O gelo cusa $ a oelada e, o verão, a erda devida ao derreimeo é de cerca de quilo or miuo e or oelada de gelo. Qual o cuso eserado do gelo que chega a ser embarcado?. 5 camioee / hora rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

142 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Modelo: chegada em gruo M/S SO / segudos K L q W K K 7/4 5 W / hora 7 5 5/ 6 5/ 6 6 camioee 5 4 Kg mi. hora / erda * * W h L 6mi. h comrar com M/D/ u. m *. Kg o. 7 u. m R$,74 o. 4) Seja a rede de filas abaixo, ode odos os sisemas de filas são M/M/. Deermie: a. Qual o gargalo do sisema? b. Qual a máxima axa de chegadas exeras admissível? c. Qual o úmero eserado de cliees em odo o sisema ara uma axa de chegadas exeras igual a 75% da axa calculada em (b)? d. Suoha que a axa calculada em (b) eha sido ulraassada, qual o ovo gargalo do sisema? e. Se os sisemas de filas fossem M/G/, o que mudaria as resosas aeriores (a) aé (d)? Dados: = = 5 cliees/hora, = cliees/hora, 4 = 5 cliees/hora / / / / a) Logo o gargalo do sisema é a fila b) = cliees / hora rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

143 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) c) 5 cliees / hora L filas e 5,5 L L,5,75 L,6 4,75,5 L 4,6,5,4 Logo o sisema odo haverá +++,5 = 6,5 cliees d) As filas e ois a axa de chegada a fila 4 ficará semre limiada ela axa. e) Resosas A, B, e D rasarecem ialeradas. Não é ossível calcular o º. oal de cliees a rede com as fórmulas cohecidas ois o eorema de Burke ão é mais válido. 5) Seja a rede de filas markoviaas esquemaizada abaixo. Se = cliees/hora, = cliees/hora, = cliees/hora, = cliees/hora, = 4 cliees/hora. a. Deermie o gargalo do sisema (iso é, a ior fila). b. Qual a robabilidade de odo o sisema esar ocioso? c. Qual a robabilidade de exisir uma úica essoa o sisema? 4 b). a) Fila c). 4% % 6) Em um laboraório de comuação gráfica da uiversidade exisem 4 esações de rabalho, cada uma delas com um emo ere falhas exoecialmee disribuído com média de 4 (5) dias. O laboraório em um corao com o forecedor, que ermie que aé duas das esações sejam rearadas simulaeamee, quado da ocorrêcia de defeios. O emo de rearo de cada esação ode ser cosiderado exoecialmee disribuído com duração média de dias. Desevolva um modelo de filas ara reresear o roblema e obeha: a. o diagrama de rasição de esados. b. as equações de equilíbrio e de recorrêcia. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

144 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 44 c. o úmero médio de esações em oeração ormal. d. a erceagem do emo em que odas as esações esão aradas. 7) Esão sedo feios laos ara a aberura de um oso de lavagem de carros equeo, e em que ser decidido quao esaço ara carros a esera. É esimado que os cliees chegariam aleaoriamee (i.e. segudo um rocesso de chegadas oisso), com uma axa média de um a cada 4 miuos, a meos que a área de carros a esera eseja loada, em cujo caso o cliee levaria seu carro a ouro lugar ,79% d),6máquia,86 4 resosa, c), b) L L 4 4 a)

145 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) O emo que ode ser aribuído à lavagem de um carro em uma disribuição exoecial com uma média de miuos. Comare a fração de cliees oeciais que seria erdida or causa de esaço de esera iadequado se (a) zero, (b) dois ou (c) quaro esaços (ão icluido o carro que esá sedo lavado) fossem revisos. (Obs.: Desevolva a arir do diagrama de rasição de esados as exressões ecessárias ara a solução do roblema.) A Sisema / B Sisema,,, C 5 Sisema,..., 5 A Sisema / B Sisema,,, C 5 Sisema,..., 5 4 Cliee erdido = cliees que chegam quado o sisema esá cheio. a) , 7 ie 4, 86% dos cliees oeciais desisem rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 45

146 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) b), , ,54 i e 5,4% são erdidos c).,..., 5,4.,4 4,7 ie 7,% são erdidos 5 8) Uma emresa de ôibus evia seus ôibus ara maueção de roia a cada 5. Km. A garagem fica abera 4 horas or dia é aedida or um úico fucioário o qual é caaz de revisar um ôibus de cada vez. O emo que ele gasa é exoecialmee disribuído, com uma média de 4 horas. Os ôibus chegam à garagem segudo um rocesso de oisso, a uma axa média de or dia. Os moorisas, ereao, são isruídos a ão erar a garagem se lá já exisirem quaro ou mais ôibus, mas reorar ao desachae ara ova auorização. Deermie: a. o valor eserado de emo que um ôibus aguarda a garagem; b. a erda eserada de diheiro or dia ela comahia devido à caacidade limiada da garagem, se o cuso de eviar um ôibus a ela e ê-lo de vola sem revisar é $ rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 46

147 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ; ; ; ; 4 4 horas 6 ôibus / dia ôibus / dia a) W b) 6 4 L..... L 86, dias 5,55 horas 8 4. ôibus 6 erda. 4 cuso 8 dia ,48 / dia 86 9) Suoha que odos os rorieários de carros comleem seus aques quado o ível aige exaamee a meade. Normalmee, uma média de 7,5 cliees or hora se dirigia a um oso de gasolia com uma úica bomba. O emo médio de aedimeo é de 4 miuos. Com a greve dos camihoeiros, ocorrida a ouco emo, um cero âico se isalou. ara modelar ese feômeo suoha que os rorieários assaram a comlear o aque quado o ível esá em /4 do aque. Como cada rorieário esá colocado meos gasolia o aque, durae uma visia ao oso, assuma que o emo médio de serviço eha caído ara / miuos. Como o âico afea L e W? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 47

148 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 7,5 cl/h 4mi. 5 cl/h L W 7,89mi. 5 cl/h 7,5 cl/h aque 5 cl/h aque 4,5 mi 7,5 cl/h L 5 carros W mi. ) Mecâicos que rabalham o Cero Auomoivo Classe A devem reirar as ferrameas e eças que ecessiam de uma ferramearia. Uma média de mecâicos or hora chegam rocurado or eças. Aualmee a ferramearia ossui um ferrameeiro, que recebe $6, or hora e que leva em média 5 miuos ara aeder a cada edido. É esimado que cada mecâica roduz $, de serviços or hora, cada hora que o mecâico gasa a ferramearia cusa a oficia $,. A oficia esá aalisado a ossibilidade de coraar um ajudae de ferrameeiro (a $4, or hora). Se ese ajudae for coraado o ferrameeiro erá ossibilidade de aeder a uma requisição em 4 miuos, em média. Assuma que os emos ere chegadas e de serviço são exoeciais. Deve o ajudae ser coraado? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 48

149 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) mec./hora ed./hora 5 ed./hora FO FO W W L L 5 $ mec. W $6, / h $ /h h h $ W $, $ /h FO. 6 $56 / h FO. $ / h ) Modele, usado eoria de filas, um sisema em que o serviço omar sol a raia. Cosidere que as chegadas a raia seguem um rocesso oisso de axa, e que o emo que cada essoa assa a raia aleaório, odedo ser aroximado or uma disribuição exoecial com média /. a. Desehe o diagrama de rasição de esados b. Obeha as equações de recorrêcia c. Calcule ( sugesão x! e x ). d. Obeha: L, L q, W, W q a)... M/M/ : Servidores múlilos Ode: úmero de essoas a raia - Taxa média de chegada - Taxa média de essoas a raia b) λ λ μ () μ rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 49

150 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) λ λ λ μ μ!μ () ()... () λ λ λ μ μ!μ λ λ μ λ!μ - μ - c) (......)!!! x x Como e! Logo e e e λ e!μ! d) L e! ) Aálises aeriores idicam que a chegada de cliees em uma dada agêcia dos correios segue uma disribuição exoecial com média de chegadas or hora. Você esa fazedo um levaameo a agêcia e a resee hora, já decorridos 5 mi., já chegaram cliees. Quaos cliees você esera que aida cheguem a resee hora? Jusifique. λ chegadas / hora 5 miuos 5 6,5 cliees E(X) λ h miuos emoere chegadas 45 λ,5 chegadas 6 rocessode oisso rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

151 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ) A ocuação média de uma lachoee de "fas-food" é de 5 essoas. Sabe-se que chegam a lachoee essoas/hora e que em média uma essoa demora ' ara fazer sua refeição. a. Quao emo demora um cliee dero da lachoee? b. Qual a erceagem dese emo é gasa a fila? λ essoas / hora μ essoa / mi essoas / hora L 5 essoas W? a) L λw W b)w q W Wq Wq μ mi - % mi? - x x,% L λ 5 W W,5 horas miuos q miuos 6 4) Um úmero ideermiado de dulas de aliisas se dirige a uma moaha com λ? o iuio de escalá-la. Na base do lace iicia da escalada há um laô ode só cabem dois aliisas e o camiho aé ese laô é esreio e ígreme. Um dos guias do gruo esa a erada dese camiho, orieado a subida ara o laô. De lá ele ão ode ver em ouvir o que se assa em cima; mas baseado a exeriêcia, rocura eviar que mais de uma dula eseja eserado a base do lace, dada a fala de esaço. Ele sabe que o lace cosome, em média miuos de cada dula; se ela deseja que o laô fique sem suerloação em 84% dos casos, quaos aliisas ele deve ecamihar em média, or hora, ara lá? μ 5dulas / hora mi,84 ( ρ) ( ρ)ρ,84 ρ,84 ρ,6 ρ,4 λ ρ λ,45λ dulas / hora 4 aliisas / hora μ 5) Um reaor uclear é usado ara a rodução de radioisóoos de uso medicial. Um deles de meia vida aricularmee cura, em uma demada de doses or semaa, em média; se uma dose for guardada or mais de semaas em média, ela se orará fraca demais ara ser usada. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

152 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) μ doses / semaa a)w semaas λ? W b) L L W ρ L q q q q λw λ μ μ - λ? q ρ μ( λw q c. Qual será a rodução aual eserada, esas circusâcias? d. Qual será o valor eserado do úmero de uidades em esoque? 5 ( λ) λ,5 doses / semaa,5 ρ),5 ( ) 5 5,5 4,7doses 6) Uma agêcia de caderea de ouaça em k guichês, cada um dos quais ode aeder, em média, a 8 essoas or hora. Em um cero dia, a demada média elos serviços da agêcia é de 44 essoas or hora. Os guichês esão disosos em uma liha eredicular à erada; iso faz com que muias essoas erem a rimeira fila que ecoram; sem rocurar verificar se exise ou ão oura fila meor. Esima-se que a robabilidade de uma essoa erar a fila i é de (/k).((k+- i)/(k+)). Suoha que k = 4 e resoda: (a) qual o emo médio gaso or uma essoa que erou a rimeira fila? (b) qual a fração do emo desocuado do caixa da fila 4? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

153 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) μ 8 essoas / hora λ 44 essoas / hora (5 i) i 4 5 a)w? λ i (k i) ode k 4 k (k ) λ W μ λ ,5 hora 5 miuos 8 76 b) ociosidade ρ ρ ,756 75,6% 7) A e B são duas máquias de oeração maual em uma liha de rodução; as x eças rocessadas or A saem dela à razão de or hora em média e são rocessadas em seguida or B à razão de or hora em média. Dado o esaço ere A e B, haverá cogesioameo da liha semre que exisam mais de eças à esera do rocessameo. Qual a fração eserada do emo de fucioameo da liha, relaiva a ocorrêcia de cogesioameo? W μ λ Cogesioameo - ( ( h -% - 48,% x 48,% hora 4) ) 4 4,48 8) A saída de um úel é uma isa com faixas de râsio, em mão úica; meros mais adiae há um sial lumioso que abre o râsio a cada segudos, deixado assar de cada vez carros. Em um dado momeo, os carros esão saido do úel à razão de 4 or miuo em média. Sabedo-se que cada carro ocua meros de sua faixa de râsio, ergua-se: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

154 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) a. Qual o amaho médio do recho de isa ocuado elos carros? b. O sial eguiçou e a CET colocou, rovisoriamee, um agee de râsio que abre o râsio em média a cada segudos. Qual a robabilidade que a fila ivada o úel? μ carros / segudos carros / mi 4 carros / miuo a)l? L W 4 L 4 carros (m) carro m - 4 b)n.º de carros 45 6 a isa (,) (,8), ) Uma famosa videe, acosumada a rever (???) o fuuro de olíicos, em sua ρ ageda cheia de erevisas marcadas à razão de uma or hora (dia de 8 horas). Ela dedica, em média, 45 miuos a cada cliee e, ara suavizar a esera da clieela, mada servir café com bolihos a sala de esera. Uma equea quesão alimear: se cada essoa oma uma xícara de café ( ml) a cada meia hora, quaos liros de café deverão ser rearados em média, or dia? λ essoa / hora μ essoa / 45 miuos 6/45 essoas / hora essoa-ml / meia hora λ μ ρ 45 6 Wq,5 emo médio de esera de uma essoa a fila μ( ρ) L λw,5 essoas q, liros -h x liros 45 6 q -,5 h x,45 liros (cosumo idividual) Cosumo oal,45,5,5 liros ) Um mecâico de maueção de máquias de cóia elerosáica rabalha or corao ara a refeiura. Ele ode coserar, em média, máquias or dia e o rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 54

155 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) L corao or ele assiado revê que odo chamado seja aedido o mesmo dia com 9% de cereza. Qual a caacidade mesal do serviço, com ese adrão de aedimeo? μ máquias / dia λ λ ρ,9 λ,7máquias/dia μ ρ,9 b? L L b L q L λwl L b λ μ - λ,9 máq dias úeis,7 maq/mês,7,7 9 máquias,7, L q λw L q q λρ,7,9 8,máquias μ( ρ), ) Uma loja de auoeças em esacioameo com esaço ara carros. Os carros chegam segudo um rocesso oisso a uma média de or hora. Sabese ambém que o emo que eles ermaecem esacioados em disribuição exoecial com média de mi. Deermie: c. O úmero médio de vagas ociosas o esacioameo? d. A robabilidade de um carro que chegue ão ecore lugar ara esacioar? Sugesão: ara valores de k grades use k x! e x. carros / hora = carro / miuos = 6 carros / hora rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 55

156 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) λ λ μ () μ λ λ λ μ μ!μ () ()... () λ λ λ μ μ!μ λ λ μ - μ - λ =,,,...,!μ! e e Assim!! e a) vagas ociosas= oal de vagas disoíveis vagas uilizadas (L b ) = -,66 = 8, L b,66 6 b) (, 66) 8,5! e,66 6 ) Cosidere um sisema com um úico aedee edo uma disribuição de chegadas oisso com = c/h. Aualmee o aedee rabalha de acordo com uma disribuição exoecial com um emo médio de serviço de 5 mi. A gerêcia em a sua disosição um curso de reiameo que erá como resulado uma melhora (decréscimo) a variâcia do emo de serviço, orém com um leve aumeo da média. Aós a execução do curso esima-se que o emo médio de serviço aumeará ara 5,5 mi, orém o desvio adrão decrescerá de 5 ara 4 mi. Deve a gerêcia madar o aedee fazer ese curso? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 56

157 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) M/M/ λ= c/h μ μ s/c c/c =c/5 miuos = c / hora =c/5,5miuos Objeivo:redução do emo de esera o sisema (W) W s/c = = =,5hora=miuos μ-λ - W c/c = = =,hora μ-λ,9- Logo a gerêcia ão deve madar o aedee fazer o curso. ) K-sucaa recebe uma média de 5 edidos or dia de um cero modelo aigo de carro, do qual ela ode aeder a edidos or dia. Ereao se meos que carros forem alugados, a comahia erde diheiro da seguie forma: se somee carros são alugados a erda é de $/dia, se somee carro for alugado a erda é de $6/dia e se ehum carro for alugado a erda é de $9/dia. As erdas são, auralmee, comesadas elos gahos quado ou mais carros são alugados. Cosiderado aeas as erdas, qual será o valor eserado do rejuízo or dia? Assuma chegadas e serviço oisso e que ão exise limiação de amaho em desisêcias da fila. M/M/ λ=5 edidos / dia μ= edidos / dia λ 5 ρ= = =,75 μ.ºalugados erda $/dia $6/ dia $9/dia E(rejuízo)= = =9(-ρ)+6(-ρ)ρ+(-ρ)ρ = =(9.,5)+(6.,5.,75)+(.,5.,565)=$5,/dia rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 57

158 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 7. Lisa de Exercícios Comlemeares 7.. rocessos Esocásicos ) Cosidere um rocesso ergódico X X,,..., X, o qual X j X i ij j lim ij. Dê elo meos rês ierreações disias ara os valores j. ) Exlique o que é um rocesso esocásico a. Esacioário, e b. Markoviao. e ) Quaro cidades são ligadas or uma sisema viário esquemaizado a figura abaixo. Exise o sisema um cojuo de N carros. Cada mahã um carro que chega a cidade a oie aerior é carregado e desachado, sua roa é escolhida com igual robabilidade ere odas as roas que deixem a cidade, ideedeemee do que acoece com os demais carros. Ecore a roorção aroximada de carros que esarão em cada cidade em cada oie. Qual o emo médio que um carro demorará a reorar a cada cidade visiada? 4 4) Idem com 5 cidades ) Um modelo uidimesioal de uma arícula se movedo em uma caixa com aredes elásicas cosise dos seguies esados: ( -N, -N+,..., -,,,,..., N). Se a arícula ão esá em um dos ós exremos eão ela se move ara a esquerda ou direia com robabilidade ½. Se ela esá em um dos esados exremos eão ela se move com robabilidade ara o esado aerior. Ecore as robabilidades esacioárias de disribuição. 6) Uma máquia ode esar em dois esados: fucioado ou quebrada. Quado fucioa dá um lucro de 48 or eríodo e, quado esá quebrada, as desesas são de 6 or eríodo. Cosiderado a siuação de regime ermaee: Fucioado Quebrada Fucioado,8, Quebrada,6,4 a. Calcule o gaho médio or eríodo. b. Verifique se um lao de maueção reveiva que cusa 5 or eríodo, alerado ff ara,9 e qq ara, vale a ea. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 58

159 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 7) De forma simlificada, classificamos as famílias de cera região em relação ao seu adrão de vida, como "alo", "médio" ou "baixo". Hoje, % das famílias êm adrão alo e 4% êm adrão baixo. Suoha que as robabilidades das famílias mudarem de adrão, um eríodo de cico aos, são as seguies: alo ara médio: 5% alo ara baixo: 5% médio ara alo: % médio ara baixo: 5% baixo ara médio: 4% baixo ara alo: % a. Esime a roorção de famílias que erá adrão alo daqui a dez aos. [5,9%] b. Que roorção das famílias erá adrão de vida alo, médio e baixo, a logo razo? [alo 8,7%; médio 4,%; baixo 5,%] c. Daqui a quao emo, em média, uma família de adrão baixo alcaçará um adrão alo? [ aos] 8) Em cero aís, o qual se realizam eleições de quaro em quaro aos, há rês aridos: da Esquerda (), do Cero () e da Direia (). Suoha que há aeas um arido vecedor em cada eleição, que a robabilidade do arido j gahar uma eleição aós uma viória do arido i a eleição aerior esá a liha i e a colua j da abela a seguir e que esa robabilidade maém-se cosae ao logo do emo.,6,,,4,5,,,,7 a. Qual é a fração do emo durae a qual cada arido govera, em média? [E 7,%; C 8,6%; D 4,%] b. Quao emo decorre, em média, desde uma viória do arido da Esquerda aé que o arido da Direia gahe duas eleições (ão ecessariamee cosecuivas)? [5 aos] 9) Suoha que em uma liha de moagem fial ara carros haja o seguie cojuo de regras () Dois coversíveis ão odem jamais se seguir a liha orque a quaidade de rabalho desequilibraria a liha. () Uma erua deve ser seguida de um sedam ara equilibrar a liha. () Um sedam ao ode ser seguido or uma erua como or um coversível, mas ão or um ouro sedam. Somee eses rês modelos são roduzidos a liha. Moe uma mariz de rasição ossível ara esas regras iserido as leras a, b, c, d,..., ec, ara os valores ão defiidos umericamee elas regras acima. a. A cadeia é irreduível? b. Qual a robabilidade de que aós um coversível o róximo ocorra a liha, com um esaço de difereça (searado or ouro veículo)? Use as leras a, b, c, d,... se ecessárias. c. Se é uma mariz de rasição de um asso, que ierreação daria o (ij)-ésimo elemeo de ara grade? d. Suoha que se firmou um corao ara eregar. carros ao fial de um mês. Deses. aroximadamee 5% iham que ser sedam, % iham de ser eruas e 4% coversíveis. Deermie alguma regra de rogramação de robabilidades que assegure esa rodução e que aida corresoda as imlicações, e dese roblema. ) Um idusrial em uma máquia que, quado oeracioal o iício do dia, em uma robabilidade de, de quebrar alguma hora durae o dia. Quado iso acoece, o rearo é feio o dia seguie e esá comleo o fim do dia. a. Formule a evolução do esado da máquia como uma cadeia de Markov, ideificado os esados ossíveis o fim do dia e cosruido a mariz de robabilidades de rasição. b. Calcule o emo eserado que a máquia irá fucioar aé que acoeça uma quebra, dado que ela acabou de sofrer um rearo. c. Suoha agora que a máquia já eseja oerado a dias, sem quebra, desde que o úlimo rearo foi feio. Qual o emo eserado que a máquia irá oerar aé que acoeça uma quebra? Comare com o resulado da lera (b). Exlique. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 59

160 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Suoha agora que o idusrial maeha uma máquia de reserva, a qual é usada somee quado a máquia ricial esá sedo rearada. Durae o dia de rearo a máquia reserva em uma robabilidade de, de quebrar, ese caso ela será rearada o dia seguie. Deoe o esado do sisema or (x,y) ode x e y assumem os valores e deededo se a máquia ricial x, ou secudária y, esão oeracioal o fim do dia. d. Cosrua a mariz de robabilidades de rasição e. Ecore o emo de recorrêcia eserado ara o esado (,). ) Um equiameo é uilizado roieiramee ara realizar uma deermiada oeração, que dura uma semaa. Ao fial de cada oeração, o equiameo é isecioado e em % dos casos o desgase verificado é de al ordem que o equiameo recisa ser reirado defiiivamee da rodução. Nos demais casos, o equiameo era em maueção e fica oalmee recuerado em uma semaa, ao cuso de 5 mil reais, volado em seguida a ser uilizado a oeração, as mesmas codições aeriores. Quado um equiameo é reirado defiiivamee de rodução é imediaamee subsiuído or um ovo. Como só há esaço ara o fucioameo ou maueção de um equiameo de cada vez, a rodução é ierromida quado o equiameo esá em maueção. Cada equiameo cusa mil reais. Cosidere o emo da iseção icluído o emo de oeração. a. Defia um rocesso esocásico que reresee o roblema, esboce o diagrama de rasições, escreva a mariz das robabilidades de rasição e classifique o rocesso e os seus esados. b. Quaas oerações, em média, serão realizadas or um equiameo, aé ele ser reirado defiiivamee da rodução? c. Quaas semaas dura um equiameo, em média (icluido os eríodos dedicados à maueção)? d. Quaos equiameos serão cosumidos (reirados da rodução) or ao (5 semaas), em média? e. Quaas oerações e quaas maueções, em média, serão realizadas or ao? A gerêcia esuda uma forma de aumear a quaidade aual de oerações realizadas de forma lucraiva. A aleraiva cosiderada cosise em realizar duas oerações aes de submeer o equiameo à maueção (em vez de fazer a maueção aós uma oeração aeas). Como aes, em % dos casos o equiameo ficará irrecuerável ao fial da rimeira oeração. A gerêcia avalia que a robabilidade de erder o equiameo ao fial da seguda oeração aumeará em relação à rimeira e será igual a %, devido aos defeios ão coserados e ao desgase acumulado a rimeira oeração. f. Calcule, ara esa aleraiva, os valores corresodees aos ies (b), (c), (d) e (e) acima. g. Suoha que cada oeração coribui com um acréscimo de mil reais ara o lucro da comahia, já descoados os seus cusos direos (exceo a comra do equiameo e o cuso da maueção, já iformados acima). Na sua oiião, a aleraiva em esudo deve ser adoada? or que? ) O râsio em deermiada via urbaa é observado e classificado, coforme a iesidade, em leve, moderado ou esado. Aós muias observações, verifica-se que o râsio () uca assa direamee de leve ara esado ou vice-versa; () quado esá leve ermaece leve o miuo seguie 5% das vezes; () se esá esado assim ermaece o miuo seguie com 4% de robabilidade; (4) se esá moderado eão a robabilidade de ermaecer moderado o miuo seguie deede da iesidade o miuo aerior: % se esava leve, 5% se esava moderado e % se esava esado, e (5) quado esá moderado assa a esado o miuo seguie com robabilidades iguais a 6% se esava esado o miuo aerior, % se esava moderado e 6% se esava leve. a. Defia um rocesso esocásico que reresee o roblema, esboce o diagrama de rasições, escreva a mariz das robabilidades de rasição e classifique o rocesso e os seus esados. b. A logo razo, em que roorções do emo o râsio ficará leve, moderado e esado? c. Em quaos miuos, em média, o râsio leve se ora esado? ) Cosidere um roblema de L com cico soluções básicas viáveis e uma úica solução óima. Assuma que o méodo simlex comece da ior solução básica viável e em cada ivoeameo exisa igual robabilidade de mover ara qualquer solução básica viável melhor. Em média quaos ivoeameos serão ecessários ara ecorar a solução óima do L? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

161 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 4) Um jogador joga um jogo limo o qual as chaces são cora. Em ouras alavras ele em / de robabilidade de gahar e / de erder. Se gahar, gahará $. Se erder, erderá $. Suoha que os recursos oais do jogador e do seu ooee sejam $N. Se o caial de qualquer um dos jogadores cair abaixo do oo em que eles udessem agar caso erdessem o jogo seguie o jogo ermia. a. Desehe o diagrama de rasição de esados e deermie a mariz de rasição. b. Suoha que os dois jogadores cocordem em que se o caial de qualquer dos dois cair ara $, eles farão o róximo jogo com chaces iguais gaharão ou erderão $, com igual robabilidade. Desehe o diagrama de rasição de esados e deermie a mariz de rasição ara ese caso. c. No caso descrio a lera (b) suoha que o jogador em $ e o jogador em $, qual a robabilidade do jogador gahar o jogo? d. Quaas jogadas durará o jogo? 5) Cosidere o jogo de dados que segue. O jogador laça um dado de seis faces. Se o resulado for 5 ou 6 o rimeiro laçameo, ele gaha imediaamee. Se o resulado for, erde imediaamee. Em qualquer ouro caso, o jogador coiua a laçar o dado aé ober 5 ou 6, quado erde, ou aé ober o mesmo resulado do rimeiro laçameo, quado gaha. O dado ão é equilibrado e as robabilidades dos resulados,,, 4, 5 e 6 são, resecivamee,%, 5%, %, % E %. a. Defia um rocesso esocásico que reresee o roblema, esboce o diagrama de rasições, escreva a mariz das robabilidades de rasição e classifique o rocesso e os seus esados. b. Calcule a robabilidade do jogador, ao fial, gahar o jogo. c. Quaas vezes, em média, o dado será laçado aé o jogo ermiar? 6) Um curso comõe-se de rês fases. Em cada uma delas, o aluo ode ser rerovado defiiivamee o curso, com robabilidade igual a 6%, obrigado a reeir a fase, com robabilidade igual a %, ou assar ara a fase seguie. Na erceira fase, "assar ara a fase seguie" reresea a arovação fial o curso. Cada fase dura um mês.qual a robabilidade de um aluo que assou ara a seguda fase cocluir o curso com arovação? [8,6%] a. Quao emo, em média, um aluo fica o curso? [,9 meses] b. Qual é a roorção de aluos mariculados o iício do curso que são rerovados? [,6%] 7) Um cero de raameo médico, de forma exremamee simlificada, ode ser modelado or uma cadeia de Markov de quaro esados, coforme demosra a abela abaixo. T. medicameos T. cirúrgico Curado Moro T. medicameos,,,, T. cirúrgico,,,6, Curado Moro a. ara um aciee iicialmee em raameo medicameoso, calcule as robabilidades dele ficar curado, e de vir a falecer. b. Reia ara o caso do aciee que iicialmee recebeu o raameo cirúrgico. c. Um aciee ossui as seguies uilidades subjeivas, em fução de seu sofrimeo: u(coiuar doee) = -; u(esar curado) =, u(esar moro) = -. Qual a melhor aleraiva ara iiciar o raameo? 8) A fase fial da fabricação de cera eça de vidro comõe-se de duas ou rês oerações, coforme a qualidade da eça resulae seja B ou A, resecivamee. Das eças submeidas à oeração, % sofrem defeios irrecueráveis e são erdidas, % recisam ser rerocessadas e as resaes assam ara a oeração. Das eças submeidas à oeração, 4% recisam reorar ao iício do rocesso, iso é, assar de ovo elas oerações e, 6% esão em codições de serem submeidas à oeração e as resaes são cosideradas roas, com qualidade B, sedo vedidas ao reço uiário de $9. Das eças submeidas à oeração, 9% são erdidas defiiivamee e as resaes, com qualidade A, vedem-se a $6 cada uma. Cada oeração leva um dia ara ser execuada. Os cusos uiários médios das oerações, e são resecivamee iguais a $, $ e $. Todos os dias eram 7 eças a fase fial de fabricação. O cuso de fabricação uiário médio acumulado aé a fase fial, exclusive, é igual a $. a. Quaas eças or dia, em média, alcaçam as qualidades A e B e quaas são erdidas? [A 4,7; B,8; erdidas,5] rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

162 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) b. Qual é o lucro bruo médio diário resulae da fabricação e veda das eças? [$9,] c. Quao emo, em média, demora ara roduzir-se uma eça com qualidade A? [, dias] rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

163 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 7.. Lisa de Exercícios de Teoria de Filas ) Marque V ou F se cosiderar a afirmaiva resecivamee verdadeira ou falsa. a. ( ) A rimeira remissa ara a exisêcia de um sisema de filas é que a caacidade de serviço deve ser em média maior do que a demada elo serviço, muio embora ela ossa ser isaaeamee meor. b. ( ) Em um sisema com resrições de amaho da fila a codição de esabilidade do sisema de filas é que o faor de uilização seja meor que. c. ( ) Um rocesso exoecial de chegadas ode ser caracerizado or um úmero elevado de emos ere chegadas equeos e raros os emos ere chegadas grades. d. ( ) O modelo de filas que reresea um suermercado com 5 caixas, ode o rocesso de chegadas é oisso e serviço exoecial é deomiado M/M/5. e. ( ) A afirmaiva "o emo ocioso do sisema é igual a um meos o faor de uilização" é válida ara qualquer sisema de filas. f. ( ) Em um rocesso Nascimeo e More ara qualquer esado do sisema ( =,,,...), a axa média (úmero de ocorrêcias eseradas or uidade de emo) à qual os icidees de erada ocorrem em que ser igual a axa média à qual os icidees de saída ocorrem. g. ( ) A rimeira remissa ara a exisêcia de um sisema de filas é que a caacidade de serviço deve ser em média meor do que a demada elo serviço, muio embora ela ossa ser isaaeamee maior. h. ( ) Um rocesso exoecial de chegadas ode ser caracerizado or um úmero elevado de emos ere chegadas equeos e raros os emos ere chegadas grades. i. ( ) O modelo de filas que reresea um suermercado com 5 caixas, ode o rocesso de chegadas é oisso e serviço exoecial é deomiado M/M/. j. ( ) Em um sisema com resrições de amaho da fila a codição de esabilidade do sisema de filas é que o faor de uilização seja meor que. k. ( ) A afirmaiva "o emo ocioso do sisema é igual a um meos o faor de uilização" é válida ara qualquer sisema de filas de servidor úico. l. ( ) A axa de saída de um sisema de filas em equilíbrio é igual a axa de erada somee se o servidor for exoecial. m. ( ) Um servidor Erlag é equivalee a um cojuo de servidores exoeciais em série. ) Mosre que, com reseio ao amaho médio o sisema são verdadeiras as seguies afirmações: a. A fila M/M/ é semre melhor que a fila M/M/ se ambas em o mesmo. b. O sisema M/M/ é semre melhor que o sisema com duas filas M/M/ ideedees, cada uma recebedo meade das chegadas, desde que os dois sisemas eham a mesma axa de serviço or servidor. ) Discua sisemas de filas ode o serviço seja ficar esacioado. Aalise os casos ode a oulação e a fila sejam ifiias e fiias e ode o servidor ossa ser cosiderado ifiio. 4) Deduza (exlique) iuiivamee a exressão de Lile (L = W) 5) Esboce um gráfico abaixo a família de curvas = F(S,) ara um sisema de filas M/M/S. Jusifique sua resosa. 6) Exlique as dificuldades ara se resolver um sisema de rede de filas, exliciado as hióeses adoadas ara suerá-las. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

164 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 7) Cosidere um sisema de fila com um úico aedee com a disribuição de chegadas oisso com axa média de chegada cohecida. Suoha que a disribuição do emo de serviço é descohecida orém com axa média de serviço cohecida. a. Comare o emo médio de esera a fila se a disribuição dos emos de serviço fosse: i) exoecial, ii) cosae, iii) Erlag com quaidade de variação (iso é, o desvio adrão) meade ere os casos cosae e exoecial. b. Qual é o efeio o emo médio de esera a fila e o comrimeo médio da fila se ambos e são dobrados e a escala da disribuição do emo de serviço é modificada corresodeemee. 8) De há algus aos ara cá, as agêcias bacárias adoaram o sisema de fila úica ara o aedimeo dos caixas, em subsiuição ao aigo sisema, ode cada caixa iha sua fila. Quais foram as coseqüêcias desa mudaça ara os cliees? ara simlificar, cosidere que as chegadas de cliees odem ser descrias or um rocesso de oisso com axa cosae e que os caixas aedem um emo com disribuição exoecial, odos com a mesma média. Ilusre sua exlicação com exemlos uméricos. 9) Seja a fila M/M// - fila com overflow, mosrada a figura abaixo. Seja N() o úmero de fregueses o isae. Modele a fila como um rocesso esocásico: cosrua o diagrama de rasição de esados, escreva o gerador ifiiesimal, obeha a disribuição esacioária. Obeha o emo médio ere overflows. K= overflow ) Desehe o diagrama de rasição de esados ara a rede fechada de filas abaixo com cliees. ) Quais as codições ara que um sisema de filas ermaeça esável? Aalise as siuações em que o sisema é ifiio e fiio. ) Seja um sisema de filas de servidor úico com rocesso oisso de chegadas com axa média, e com axa média de serviço. Aalise o que acoece com o emo médio de um cliee a fila e o sisema, bem como o úmero médio de cliees a fila e o sisema, quado você varia a disribuição do emo de serviço. Sugesão: A arir do modelo M/G/ aalise os modelos M/D/ e M/M/. ) Cliees chegam a uma úica fila segudo diferees rocessos oisso com axas,,,. Qual a axa combiada de chegada? Qual a disribuição de robabilidades do emo ere chegadas? 4 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 64

165 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 4) Cliees chegam a um oso de gasolia, com 5 bombas, de 5 em 5 miuos, mas se o úmero de cliees o oso for suerior a % deles desise. O emo de aedimeo em cada bomba é de ' se houver aeas um cliee a bomba, 9' se houverem cliees e 6' se houverem mais de cliees. Deermie: a. a axa média de chegada, b. o emo médio de aedimeo em cada bomba e c. o faor de uilização. 5) Cosidere um modelo de filas com uma esação de serviço a qual as uidades chegam em média a uma razão de or hora. O mecaismo de aedimeo serve a cada uidade em exaamee,5 miuos. Suoha que o mecaismo eha sido subsiuído or ouro com uma disribuição exoecial de emo de serviço. Qual deve ser o emo médio de serviço; ese caso: a. ara garair o mesmo emo médio de ermaêcia do usuário o sisema? b. ara garair o mesmo úmero médio de uidades o sisema? 6) Um escriório de advocacia em sócios, que recebem os cliees a ordem em que eses chegam. A demada média elo escriório é de essoas or dia (de 8 horas) e cada cliee ocua, em média, 4 miuos do advogado que o aedeu. a. Quaas horas or semaa ode um advogado uilizar o aedimeo de cliees? b. Quao emo, em média, gasa um cliee ao se dirigir ao escriório? 7) Um serviço de lavagem isaâea de carros uiliza uma máquia de escovas roaivas que lava um carro a cada 5 miuos, em média. Num deermiado dia, a demada elo serviço é de carros or hora. Além da lavagem há uma úica bomba de gasolia o oso. A área de esera ara lavagem é suficiee ara carros; se há 4 carros ou mais à esera, o cogesioameo que resula faz cair em % a axa de aedimeo da bomba, que é origialmee de carros/hora. A cada hora 5 carros, em média rocuram o oso ara abasecimeo. a. Qual a robabilidade de que o serviço de lavagem rejudique o de abasecimeo? b. Qual o úmero médio de carros à esera do abasecimeo, com e sem cogesioameo a lavagem? c. Você vai abasecer seu carro e lavá-lo deois. Quao emo esera gasar com iso? 8) Na cosrução de um alácio romao, sob Tibério César, um grade úmero de escravos rabalhava as escavações ecessárias à cosrução dos alicerces. A erra era levada em cesos, de mão em mão, do local da escavação aé uma esrada que assava ao lado, ode os cesos eram descarregados em carroças. No momeo que os ieressa, o rabalho de escavação esava cocerado a are mais róxima da esrada, sedo ecessários aeas 5 escravos ara fazer o rabalho de assagem de cesos. O echiimeo deses se fazia à razão de 6 or hora,, em média; cada escravo da fila levava, em média, 4 segudos ara receber um ceso e assá-lo adiae ou desejá-lo a carroça. Equao um escravo assava um ceso, os ouos descasavam (i. é, ão havia dois cesos sedo assados simulaeamee). Cada carroça odia carregar o coeúdo de cesos; as carroças chegavam ao local da obra à razão de 4 or hora, em média. a. Qual o úmero médio de cesos a esera de serem carregados? b. Qual o úmero médio de carroças vazias a esera de serem echidas? c. Suoha que a escavação, ao rogredir, se afase da esrada; quaos escravos odem ser colocados a mais a fila de carregameo, sem fazer com que os cesos eham de eserar idefiidamee? d. Nese úlimo caso, quais seriam as resosas aos ies (a) e (b)? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 65

166 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 9) Em um hosial a riagem dos aciees é feia or 4 médicos, que aedem com hora marcada e sem escolha ( o aciee é aedido elo rimeiro médico disoível). Os aciees chegam à razão de 6 or dia (de 8 horas). Cada médico aede, em média, a aciees or hora. A robabilidade de idicação de cirurgia ara um aciee é de,5; há salas de oeração o hosial e cada equie médica (que usa uma sala) ode oerar aé 4 aciees or dia em média. Deermiar: a. o emo oal disedido or um aciee a riagem; b. a robabilidade de que ehuma sala de oeração eseja fucioado; c. o úmero médio de aciees a esera de cirurgia. ) Num resaurae ode se escolher ere dois ios de serviço: buffe, ou edido as mesas. Em um cero dia, ere : e :, o regime ode ser cosiderado esacioário e se disõe de cozido o serviço de buffe, e de omelee o serviço de edido as mesas. O cozido é disribuído em rês badejas, com uma úica aedee, (emo médio de 8 segudos or badeja); o usuário deve se dirigir a ela. ara a omelee, o usuário se dirige à mesa e faz o edido (o emo médio de rearo de uma omelee é de miuos). A coziha ode rocessar ao mesmo emo aé omelees. Ouros dados: veda de ickes, média de essoas or miuo; chegada de cliees, média de 7 essoas or hora; robabilidade de um usuário referir omelee:,. Deermiar: a. úmero médio de essoas à esera ara erar o resaurae; b. úmero médio de essoas à esera de omelees; c. úmero médio de essoas à esera do aedimeo o serviço de buffe; d. o emo médio gaso em eseras e aedimeos or uma essoa que almoça omelee; e. o emo médio gaso em eseras e aedimeos or uma essoa que almoça cozido; a robabilidade de ão haver, um dado momeo, iguém eserado omelee. ) Você e seus colegas de urma receberam ara resolver um roblema de filas que exige a cosula a dois gráficos de um livro que só exise a biblioeca. Há dois exemlares iguais do livro e a cosula a cada gráfico exige, em média, 7,5 miuos de cada aluo. Um livro somee é usado or um aluo quado ão esá em uso or ouro. O rabalho é idividual e a cada hora chegam, em média, 6 aluos da urma. Quao emo um deles oderá eserar gasar a biblioeca? ) Uma ecelagem em 5 eares e as esaísicas mosram que, em média, % deles areseam algum defeio ao logo de um dia de rabalho. Há rês mecâicos de maueção, cada um odedo coserar, em média, dois eares or dia, or um salário de $ / h. O dia de rabalho em 8 horas. Cada hora arada de um ear reresea uma erda de $ 5. A maueção ede mais dois mecâicos. Você é o geree da fábrica, vai aedê-la, vai coraar aeas mais um mecâico, ou vai deixar as coisas como esão? ) Uma saua ara execuivos oferece a clieela um serviço de lavagem a seco ara eros e de lavagem de roua braca, ara que um cliee deixe sua roua ao chegar e a receba roa ao sair. É imorae que os cliees ão eham que eserar, or serem essoas ocuadas e or iso a gerêcia deseja que o emo médio gaso com um serviço de lavagem ão ulraasse o emo médio de ermaêcia a saua, que é de miuos. A caacidade da saua é de cliees. Há rês máquias de limeza a seco e lavadeiras esecializadas em roua braca. Em ambos os serviços, a roua de cada cliee é rocessada em searado. Uma máquia rocessa um ero em miuos e uma lavadeira gasa, em média, miuos ara lavar e ouros ara assar a ferro a roua de um cliee. Dos cliees % usam a lavagem a seco e % lavam roua braca, ão sedo habiual que um deles use os dois serviços o mesmo dia. a. A gerêcia gosaria que os cliees ão ivessem de eserar ara erar a saua. Quaos cliees oderão chegar em média, or hora, se a robabilidade de esera deve ser meor que 5%? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 66

167 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) b. Suoha que chegam 5 cliees or hora. Será eão ossível dizer que os serviços de lavagem a seco e de roua braca fucioam a coeo? Qual a siuação da saua, ese caso, em ermos de fila de esera? 4) Uma doa de casa em, o cogelador de sua casa de raia, 5 quilos de camarão ara o almoço de domigo. Na sexa feira, o gás egarrafado acabou e à oie caiu uma fore chuva que, além de bloquear o acesso de veículos à área róxima, rovocou fala de luz. A comahia de elericidade esá, ese eríodo, recebedo em média edidos or hora ara rearos a rede elérica. Ela disõe de 5 equies de rearo, uma equie levado em média 9 miuos ara chegar ao local do defeio e efeuar o rearo. O cogelador leva 6 horas ara descogelar. Aós ese emo, o camarão erá de ser rearado, a fim de que ão se esrague. Sem acesso ara o camihão de gás e ão havedo fogão à leha disoível, ergua-se se a doa da casa em quesão oderá eserar ou ão coseguir usar o camarão ara o seu almoço. 5) As essoas que aederam a um aúcio de emrego colocado or uma emresa assam or uma erevisadora com a qual é ecessário marcar hora; essa base, 6 essoas or hora são agedadas e cada erevisa leva, em média, 8 miuos. As essoas assam eão ao serviço médico da emresa, ode um médico as submee a rês exames, cada um com duração média de 5 miuos. Há dois médicos fazedo ese aedimeo. a. Quao emo, em média, uma essoa demorará ara iiciar uma erevisa? b. Quaas essoas, em média, esarão o dearameo médico em um dado momeo? 6) Em uma agêcia bacária há dois guichês ara aeder aeas a reiradas. Os cliees que as desejam chegam à razão e 5 or hora em média e se dirigem ao guichê, cujo caixa, cohecido or sua raidez, leva em média,5 miuos ara aeder a um cliee. Se um cliee ecorar ese guichê ocuado e o guichê desocuado, eão ele se dirigirá ara ese úlimo, cujo caixa cosegue aeder aeas a cliees or hora em média. Qual a fração do emo ocioso de cada um dos caixas? 7) Uma liha auomáica de embalagem de medicameos eche e fecha 6 frascos de deermiado remédio or miuo. Os frascos assam eão or uma mesa a qual são colocados em caixas, maualmee, or embaladoras caazes de embalar, cada uma, em média frascos or miuo. Em média quaos frascos esarão sobre a mesa a esera de serem embalados? 8) No railer "O Lache" siuado defroe ao bloco M do CCS rabalham duas moças. Maria o caixa e Beariz o aedimeo aos edidos. Quado exise aeas um cliee eserado or um edido ele é aedido or Beariz, com um emo de serviço eserado de,5 miuo. Quado exise mais de um cliee aguardado or edido, Maria "dá uma mão" ara Beariz e o emo ara rocessar um edido cai ara miuo. Em ambos os casos a disribuição do emo de serviço é exoecial. a. Desehe o diagrama de rasição de esados ara ese sisema de filas. b. Qual é a disribuição de robabilidade do esado de equilíbrio do úmero de cliees o sisema? c. Como você oberia L, L q, W, W q? 9) Um equeo hoel ossui cofres ara guarda de valores dos hósedes, em regime de exclusividade (ou seja, ão se quadram valores de dois hósedes em um mesmo cofre). Em média essoas or semaa rocuram o geree ara soliciar o uso de um cofre. Um levaameo feio or uma comahia de seguro mosrou que os dois cofres ficam vazios durae % do emo. De osse dese dado você, que o geree, eria codições de dizer or quao emo em média, os valores de um hósede ficam guardados? Qual seria o úmero de cofres ecessário ara maedo o mesmo emo de ocuação dos cofres aeder ao dobro da demada or cofres, garaido que o emo desocuado de cada cofre ão ulraasse % do emo? ) Em uma agêcia de baco, fucioários ocuam caixas desiados aeas a reiradas; cada um ode aeder, em média a 6 essoas or hora. Os cliees que demadam essas caixas chegam a rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 67

168 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) média de 5 or hora e eram, com igual robabilidade, em qualquer das filas que se formam diae delas. ( O sisema se ecora em equilíbrio esacioário). O geree da agêcia resolveu adoar, ara essas caixas, o sisema de fila úica. a. Qual a robabilidade de uma dada caixa esar ociosa, o sisema aigo? b. Idem o ovo sisema? c. Qual a ecoomia (ou erda) de emo obida or um cliee que vai fazer reirada, com a mudaça de sisema? ) Em um suermercado da cidade exisem caixas disribuídas da seguie forma: caixas se desiam a emissão de oa fiscal, caixas são caixas ráidas e as demais caixas são caixas ormais. Os emos médios de aedimeo em cada um deses ios de caixa são de resecivamee 5 mi, 5 mi e mi. Além desas caixas exisem aida 5 osos de recebimeo com carões de crédio, cujo emo médio de aedimeo é de mi. Sabe-se que dos 6 cliees que se desiam aos caixas or hora % se desiam aos caixas que emiem oas, % se desiam aos caixas ráidos e os 6% resaes se desiam aos caixas ormais. Sabe-se aida que 6% dos cliees dese suermercado efeuam seus agameos com carão de crédio. Observação: Os cliee que agam com cheque ou diheiro dirigem-se a um dos caixas e aós serem aedidos se reiram do esabelecimeo. Os cliees que agam com carão de crédio dirigem-se a um dos caixas e aós o regisro de suas comras dirigem-se a um dos osos de recebimeo com carão ara assiarem o recibo de débio, aós o que reiram-se. a. Reresee esquemaicamee o modelo de filas corresodee ao roblema. b. Qual o valor eserado do emo que um cliee demora ara agar suas comras (desde o isae que ele se desia ao caixa aé o isae que ele sai do suermercado)? c. O que acoeceria ao emo obido o iem (b) se o úmero de cliees que chegam ao suermercado or hora dobrasse? or que? d. Na saída dos caixas ara os osos de recebimeo de carão é ecessário suor que cliees ão saem simulaeamee, or que? ) O rasore de assageiros de Maaus ara a base de rodução de Urucu da erobrás é realizado or dois helicóeros com caacidade ara 6 assageiros cada. A duração da viagem em disribuição exoecial com média horas. O rocedimeo de embarque é o seguie: Os assageiros que chegam, a uma axa de or hora, são iscrios os vôos a ordem em que chegam. Quado a loação de um vôo esá comlea eão os assageiros são admiidos uma sala de visoria e esera, ode aguardam a rearação da aeroave ara o embarque. a. Cosrua o diagrama de rasição de esados ara ese sisema. b. Usado o modelo adequado calcule o úmero eserado de essoas a sala de esera e o emo médio ere o isae que o assageiro era a sala de esera e o isae que o helicóero ousa a base de Urucu. ) Um rojeisa de laaforma de rodução de eróleo se dearou com a seguie siuação: A rodução de eróleo é esimada em 5. m/dia. Cada bomba de rasferêcia em caacidade ara rasferir 5. m/dia, e em média rabalha dias sem dar roblemas (exoecialmee disribuído). O cuso de aquisição de cada uma desas bombas de US$5.,. O rojeisa recisa decidir quaas bombas comrar. Os dados adicioais de que ele disõe são: o emo médio ara rearar uma desas bombas quado elas dão roblema é de dias (exoecialmee disribuídos); usualmee exise uma equie de maueção embarcada que ode rearar uma bomba de cada vez; se em um deermiado isae ão houver caacidade de rasferêcia suficiee ara escoar oda a rodução esa é resrigida e ocorre uma erda or lucros cessaes cujo valor uiário é esimado em US$,/m ; a vida úil do rojeo é de aos. A luz de seus cohecimeos de eoria das filas quaas bombas deverá o rojeisa esecificar? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 68

169 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 4) ara roduzir um deermiado io de ia colorida uma idúsria realiza em uma máquia 8 oerações de misura. As oerações são semelhaes, cosecuivas, e a duração de cada uma delas ode ser cosiderada exoecialmee disribuída com média miuo. A maéria rima da máquia em quesão, chamada ia básica, é roduzida segudo um rocesso oisso com axa liros/hora. Sabedo que esão em oeração simulâea máquias misuradoras deermie: a. Qual o esoque médio de ia o sisema (ia básica + ia em rocesso)? b. O iervalo de emo decorrido ere o isae que a ia básica é roduzida e o isae que a ia colorida é obida? c. ara roduzir um io esecial de ia são ecessárias 5 oerações da máquia misuradora. Faça uma esimaiva do emo ecessário ara ober esá ia esecial. 5) Dada a rede de filas M/M/ em série abaixo: a. Esabeleça as codições de esabilidade ara a rede. b. Esboce o diagrama de rasição de esados c. Calcule a robabilidade de que exisam mais de essoas a rede ara = c/h, = 5 c/h, = 8 c/h. (,, 5 ) 6) Num cero roblema de fila os cliees chegam seguido a disribuição de oisso com axa média de 4 c/h. Observou-se que o emo médio de aedimeo é de mi. com variâcia de 5 mi. Suodo que o modelo M/E k / é razoável ara ese roblema ecore o úmero eserado de cliees o sisema, e o emo que um cliee íico esera aguardar a fila. 7) A coordeação do cocurso vesibular de uma deermiada uiversidade deseja rever a quaidade de fiscais/salas ecessários ara o bom adameo do cocurso. Esão iscrios 5 (6) cadidaos que serão igualmee divididos elas diversas salas. Cada cadidao ao chegar deverá se dirigir a sua sala e ali deixar um documeo de ideidade com um fiscal. No ao de devolução da rova, o fiscal deverá coferir o ome ela escrio com o documeo, ideificar visualmee o cadidao e devolver-lhe o documeo; ese rocesso leva, em média, 5 segudos or cadidao. Ao laejar o rocesso, baseada em exeriêcia aerior, a coordeação coa com um rimo de devolução (cosiderado o uiverso de odos os 5 (6) cadidaos) de 8 () rovas or miuo, em média, os úlimos 5 miuos do razo de realização da rova. ara eviar umulo a devolução ela cosidera que a robabilidade de haver mais de um cadidao a esera ara eregar a rova ão deva exceder %. Nesas codições, qual o meor úmero de fiscais/salas deve ser uilizado? 8) Uma UTI esecializada em raslaes de medula recebe a visia de uma umerosa urma de esudaes de medicia, os quais, ara oderem erar, devem se submeer a um rocesso de assesia que evolve um baho e roca de roua, cada eaa dessas exigido em média (5) miuos. A urma chega oda de uma vez e aguarda a erada em uma sala de esera, cada esudae ido fazer a assesia o momeo exao em que o aerior a ermia e era a UTI. Há aeas aciees ierados e juo a cada um esá um rofessor que oriea os aluos o exame do seu aciee. Um aluo, ao erar a UTI, deve aguardar em uma sala de esera aé que algum aciee eseja disoível e, eão, se dirige ao mesmo, saido da UTI aós examiá-lo (com iso se evia que mais de uma essoa ere ao mesmo emo). A discussão do caso e o exame levam em média miuos ao odo. Cosidera-se que o regime de râsio dos esudaes dero da UTI seja esacioário. a. Desehe o diagrama de rasição de esados ara a siuação descria. b. Qual o emo médio de esera de um esudae a sala iera, aes da visia a um aciee? (use os gráficos forecidos, idicado eles as leiuras efeuadas.) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 69

170 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 9) Uma comeição de rialo é orgaizada da seguie forma: a rimeira eaa uma corrida em isa livre (com qualquer úmero de corredores) de km, a seguda eaa cosise de uma rova de aação a qual os adadores êm que aravessar (ida e vola) um lago;, devido as codições oeracioais aeas dois adadores odem esar a água simulaeamee, o emo da ravessia do lago (ida ou vola) ode ser cosiderado exoecial com média de mi. Fialmee a erceira eaa é uma corrida de biciclea, 5 volas em oro do lago (km de erímero), a orgaização da corrida disõe de aeas bicicleas ara uso dos comeidores. Sabe-se aida que a velocidade média de um comeidor a é é de 4km/h, e de biciclea é de 8 km/h, cosidere que o emo médio ere chegadas dos comeidores (aós a rova de corrida) é de 45 mi. ede-se: a. Modele o roblema como um sisema de filas. b. Qual o emo médio gaso elo corredor líder? c. Qual o emo médio gaso or um corredor médio? 4) Uma oficia de máquias coém um esmeril ara amolar os isrumeos de core das máquias. Tem que ser omada uma decisão agora quao a que velocidade ajusar o esmeril. O emo ecessário ara que um oerador de máquias amole seu isrumeo de core em uma disribuição exoecial, sedo que a média / ode ser ajusada a qualquer oo ere / e miuos, deededo da velocidade do esmeril. Os cusos de oeração e maueção aumeam raidamee de acordo com a velocidade do esmeril, de modo que o cuso esimado or miuo ara uma média de / é de $( ). Os oeradores de máquias chegam ara amolar seus isrumeos de acordo com um rocesso de oisso a uma axa média de um a cada miuos. O cuso esimado de um oerador esar afasado de sua máquia equao ocuado o esmeril é de $5,/miuo. Reresee um gráfico o cuso oal eserado or miuo E(CT) versus, e deermie o valor óimo de. 4) O rorieário de uma equea mas rocurada baca de jorais aede a cliees a uma média de um a cada segudos, sedo a disribuição exoecial. Os cliees chegam de acordo com um rocesso oisso, a uma axa média de rês or miuo, e odem ou ão eserar ara serem aedidos se o doo esiver ocuado com ouro cliee. Um úmero de cliees referem ão eserar e fazer suas comras em ouro lugar. A robabilidade de que um cliee desisa é /, ode é o úmero de cliees já a loja. Que lucro ode o rorieário eserar erder dos cliees que irão fazer suas comras em ouro lugar, se o lucro médio or cliee é de $,? 4) Um oso de lavagem de carros em esaço ara somee rês carros em esera e somee duas laaformas de lavagem. Cada laaforma ode acomodar somee um carro de cada vez. Os rorieários chegam de acordo com um rocesso oisso, a uma axa média de or hora, mas a erada é roibida semre que o oso esiver loado. A lavagem e a limeza são feias maualmee e o emo cosumido é exoecialmee disribuído. Sob codições ormais, cada laaforma esá ocuada com um carro durae uma média de 5 miuos. Ereao, quado dois ou mais carros esão eserado or aedimeo, o rocedimeo de lavagem é acelerado, reduzido o emo médio de aedimeo ara 4 miuos. Deermie: a. o úmero eserado de carros o oso de lavagem; b. o emo eserado que um carro ermaece o oso se ele ão é imedido de erar. 4) Esudos realizados elo essoal écico de um grade suermercado deermiaram que % da clieela adquire ies ou meos em uma comra. Se um(a) caixa ode regisrar 5 ies or miuo, em média, quaas caixas ara uma máximo de ies (caixas exressas) deverão ser isaladas, ara que o emo médio disedido or um cliee, desde a chegada à fila de caixa aé sua saída da mesma ão ulraasse miuos, a revisão de uma demada média de 75 cliees or hora elo suermercado? (Desreze o emo de agameo e cosidere que odos os cliees dessas caixas adquirem exaamee ies). 44) Um excelee resaurae de comida ordesia siuado em uma cidade róxima ao Rio de Jaeiro em, em sua coziha, uma coziheira e uma ajudae que rabalham em cojuo ara aeder a uma comada (uma comada é o edido de refeição ara uma essoa). O emo médio de aedimeo de uma comada é de miuos e segudos e os fregueses chegam ao resaurae à média de 5 or hora, o horário que os ieressa. Aesar da boa reuação da casa, a clieela ameaça rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

171 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) abadoá-la, or causa da demora o aedimeo. A gerêcia esa eão em amliar a coziha e colocar oura coziheira com oura ajudae. a. Qual o emo eserado gaso or um cliee o resaurae, as codições auais e com a amliação? b. Quaos cliees esarão eserado ser aedidos os dois casos? 45) Um caixa de baco rabalha uma agêcia a qual, frequeemee, 4 caixas esão em aividade ao mesmo emo ( a reseça de mais de deses fucioário é meos frequee). Ele foi acomeido de uma doeça cardíaca e o arecer do médico do baco idicou uma erda de roduividade de 4% (ou seja, ele eria que assar esa are do emo iaivo). As codições mais exigees do rabalho ocorrem exaamee quado há aeas 4 caixas a agêcia; eses horários, a exeriêcia idica uma demada média, elas caixas, de 9 cliees or hora. Cada caixa (iclusive o rório) ode aeder em média 6 cliees or hora. Se ele ão uder disor do reouso ecessário, durae o rabalho, erá que ser aoseado. Qual decisão você, que é o geree da agêcia, omará a reseio dese fucioário? 46) Há uma lei que deermia que essoas idosas devem er aedimeo rioriário as agêcias bacárias. O cumrimeo rigoroso desa lei obrigaria a ão aeder qualquer ão idoso equao houvesse elo meos um idoso a fila. No eao, raicamee odas as agêcias bacárias adoaram um rocedimeo modificado de aeder a lei, que cosise em reservar um ou mais caixas ara o aedimeo esecial dos idosos, deixado os demais caixas ara o aedimeo dos ouros cliees. a. Na sua oiião ese rocedimeo aede a lei? orque? Suoha que em cera agêcia chegam, em média, cliees or hora, dos quais % são idosos. Há rês caixas a agêcia, dos quais um é desiado exclusivamee ara o aedimeo de idosos. Os ouros dois rabalham o sisema de fila úica. O emo de aedimeo médio é de miuos or cliee, idoso ou ão. b. Qual é o emo médio de ermaêcia (esera + aedimeo) de um cliee idoso a agêcia? E de um cliee ão idoso? Qual o amaho médio de cada uma das filas? c. Qual seria o emo médio de ermaêcia de um cliee se odos os cliees fossem, idisiamee, aedidos or odos os caixas? E o amaho médio da fila? d. Que rocedimeo de aedimeo você recomedaria esa siuação? orque? e. Se a lei fosse cumrida rigorosamee qual seria o emo médio de ermaêcia (esera + aedimeo) de um cliee idoso a agêcia? E de um cliee ão idoso? 47) Uma loja em dois balcoisas, cada um caaz de aeder fregueses a uma axa média de 6 or hora; os emos de aedimeo são exoecialmee disribuídos. A caacidade da loja é de 4 fregueses, com esera do lado de fora roibida. Os fregueses chegam à loja de acordo com um rocesso do io oisso ode a axa média de chegadas deede do úmero de essoas a loja, da forma: Deermie: Cliees a loja 4 Taxa média de chegadas (cliees/hora) a. o úmero eserado de fregueses a loja; b. o valor eserado do emo que um freguês deve aguardar or aedimeo; c. a axa eserada de erda de fregueses devido à limiação de caacidade da loja 48) Cada assageiro de um vôo e sua bagagem deve ser checada ara verificar a exisêcia de armas e exlosivos. Suoha que o aerooro de olädia chegue em média assageiros or hora (com emos ere chegadas exoeciais). ara verificar os assageiros o aerooro deve er um oso de checagem cosiuído de deecor de meais e uma máquia de Raio X ara a verificação de bagagem. Quado um oso de checagem esá em oeração são ecessários dois fucioários. Um rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

172 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) oso ode verificar em média assageiros or hora (emos de verificação exoeciais). Se o aerooro em aeas um oso resoda: a) qual a robabilidade que um assageiro eha de eserar ela verificação? b) em média quaos assageiros esarão eserado ela verificação? c) em média quao emo o assageiro gasará o rocesso de verificação? d) Suoha agora que a admiisração do aerooro queira deermiar quaos osos deve oerar de modo a miimizar cusos oeracioais e de araso or um eríodo de aos. Assuma que o cuso de hora de araso de um assageiro é $, e que o aerooro fucioa 6 h or dia. O cuso de aquisição, oeração e maueção de um oso ode ser esimado em $ milhão em um eríodo de aos. Fialmee assuma que cada assageiro escolhe ere os osos com igual robabilidade. 49) Duas barbearias esão siuadas lado a lado em um shoig. Cada uma delas comora aé 4 cliees ( corado o cabelo e os demais eserado), e qualquer cliee oecial que ecore a barbearia cheia ão esera e desise de corar o cabelo ali. A barbearia cobra $ or um core de cabelo, que demora em média miuos. A barbearia cobra $5 or core, que dura, em média, 6 miuos. Os cliees oeciais rocuram cada uma das barbearias a uma axa média de cliees/hora. Assumido emos ere chegadas e de core como exoeciais, qual barbearia erá maior receia? 5) A arir da moderização dos oos de veda a oeração de efeuar o agameo com carão de crédio, que era uma oeração realizada seqüecialmee a assagem das mercadorias or um caixa de suermercado assou a ser realizada o rório caixa. Suodo emos ere chegadas e emos de serviço exoeciais, e que o emo de efeuar o agameo do carão em duração equivalee ao emo de assagem das mercadorias elo caixa, aalise as duas siuações, sob o oo de visa do cliee e do suermercado. Cosrua os modelos rereseaivos das duas siuações e a arir deles faça suas aálises. 5) O rocesso de rodução de um roduo é cosiuído de eságios. Em média um ovo roduo é começado o eságio a cada 6 miuos. O emo médio de rocessameo em cada eságio é dado resecivamee or miuos, miuos e miuo. Aós assar elo o eságio o roduo é isecioado (assuma que iso ão oma emo); % dos roduos são ieiramee rerovados e volam ao eságio ara um comleo rerocessameo, % são arcialmee rerovados e volam ara o eságio ara sofrerem rerocessameo dos eságios e. Em média, quaas uidades do roduo esão o sisema? Assuma que odos os emos ere chegadas e de serviço em disribuição exoecial, e que cada eságio seja cosiuído de um úico servidor. 5) A rede de osos rodóleo combia esações de abasecimeo e de lavagem de auomóveis em odo o Grade Rio. A rodóleo dá uma lavagem gráis ara cada cliee que comlear o aque de combusível e, ara cliees que busca aeas o serviço de lavagem, cobra uma axa de $5,. Exeriêcias aeriores mosram que o úmero de cliees que lavam o carro, aós realizar o abasecimeo, é aroximadamee igual ao úmero de cliees que lavam aeas o carro. O lucro bruo médio ara os abasecimeos é de $7,, e o cuso da lavagem ara a rodóleo é de $,. Os osos rodóleo ermaecem aberos 4 horas or dia. A rodóleo ossui rês ios de uidades de lavagem auomáica e os osos devem selecioar a uidade referida. A uidade I ode lavar carros a uma axa de um carro a cada 5 miuos e é alugada or $ or dia. A uidade II ode lavar carros a uma axa de um carro a cada 4 miuos e é alugada or $6 or dia. A uidade III ode lavar carros a uma axa de um carro a cada miuos e é alugada or $ or dia. Os osos esimam que os cliees ão irão eserar a fila mais do que 5 miuos ara lavar seus carros. Um emo de esera maior irá causar erdas ara a rodóleo, ao em veda de combusível quao em lavages. Se a esimaiva de chegadas de cliees que resulam em lavagem é de or hora, qual uidade de lavagem deve ser selecioada? 5) O geree de um baco deve deermiar quaos caixas devem rabalhar as sexas feiras. ara cada miuo que um cliee assa a fila o geree imagia que um cuso devido ao araso de $,5 é icorrido. Uma média de dois cliees or miuo chega ao baco. O emo que um caixa demora ara aeder a um cliee é em média miuos. Cada caixa cusa ao baco $9,/hora. Temos ere chegadas e de aedimeo odem ser cosiderados exoeciais. ara miimizar a soma dos cusos de serviço e de araso, quaos caixas devem rabalhar? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

173 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 54) Uma equie de rojeo disões de esações de rabalho, cada uma delas com um emo ere falhas exoecialmee disribuído com média de 4 dias. O rojeo em um corao de maueção com o forecedor, que ermie que aé as duas esações sejam rearadas simulaeamee, quado da ocorrêcia de defeios. O rearo de cada esação evolve duas eaas: uma visia écica, seguida elo rearo roriamee dio. Os emos de cada eaa odem ode ser cosiderados exoecialmee disribuídos com duração média de dias. Desevolva um modelo de filas ara reresear o roblema e obeha: a) diagrama de rasição de esados b) as equações de equilíbrio e de recorrêcia c) úmero médio de esações em oeração ormal d) erceagem do emo em que odas as esações esão aradas 55) O rograma de Egeharia de rodução esá rocurado deermiar se deve arredar uma coiadora ráida ou lea. O valor da hora de rabalho dos fucioários, que dere ouras arefas irão fazer as cóias é de $5. A coiadora lea é alugada or $4/hora e oma em média miuos do fucioário ara efeuar as cóias (exoecialmee disribuídos). A coiadora ráida cusa $5/hora e ocua o fucioário or 6 miuos em média (ambém exoecialmee disribuídos). Uma média de 4 fucioários or hora ecessiam usar a coiadora (emos ere chegadas exoecialmee disribuídos). Qual coiadora deve o rograma alugar? 56) Saduíches Bioca esá queredo deermiar quaos aedees deve disoibilizar durae o horário do almoço. Durae ese eríodo uma média de cliees or hora chega ao resaurae. Cada aedee ode servir uma média de 5 cliees or hora. Um aedee cusa $5/hora e o cuso de um cliee eserado ode ser avaliado em $/hora. Assumido que um modelo M/M/S é alicável, qual o úmero de aedees miimiza a soma dos cusos de aedee e de arasos? 57) Um emreieiro esá defiido sua equie de rabalho. Ele em alocado diheiro suficiee ara coraar ou dois edreiros "Tio A" ou rês edreiros "Tio B". A classificação e o agameo dos edreiros é feia de acordo com sua eficiêcia o rabalho. Um mesmo rabalho é realizado or um edreiro "Tio A" em / do emo gaso or um edreiro "Tio B". Assim em uma rimeira imressão as duas aleraivas arecem iguais. Desevolva um modelo de filas (Markoviaas, ode os edreiros são os servidores e os rabalhos a efeuar formam uma fila úica, com uma discilia FCFS) ara avaliar qual, se for o caso, das aleraivas é referível de forma a maer a fila de arefas a realizar o míimo. 58) Um oso de serviço esá aalisado duas formas de rocessameo de edidos de cliees. Oção : Três aedees em aralelo aededo a uma úica fila. Cada aedee reeche comleamee odos os formulários, a reseça do soliciae. O emo de rocessameo é exoecial com média de 5 miuos. Oção : Cada soliciae rimeiramee reeche um formulário sem a ajuda do aedee. O emo ara ese reechimeo é exoecialmee disribuído com média de 65 miuos. Quado o soliciae comlea o reechimeo ele se dirige a uma fila úica ode aguardará que um dos rês aedees cofira o formulário. Iso demora em média 4 miuos, exoecialmee disribuído. Os emos ere chegadas são exoecialmee disribuídos e em média 4,8 cliees chegam a cada hora. Qual das oções ermiirá que o soliciae saia mais raidamee do oso de serviço? 59) A Saaaria Carolie fucioa com um úico emregado. A saaaria recebe ormalmee ares de saaos ara serem rearados, (em uma base rimeiro a chegar é o rimeiro a ser aedido), que chegam segudo um rocesso oisso com uma axa média de ar or hora. O emo ara rearar cada é de saao idividualmee em uma disribuição exoecial com média de 5 miuos. a) Cosidere a formulação dese roblema de filas ode cada saao idividualmee (ão o ar de saaos) é cosiderado o cliee. ara esa formulação cosrua o diagrama de rasição de esados e desevolva as equações de balaço (sem recisar resolver). b) Cosidere agora que o ar de saaos é o cliee. ara esa formulação cosrua o diagrama de rasição de esados, desevolva as equações de balaço e obeha o emo médio aé que um ar de saaos eseja rearado. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

174 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 6) Um oso de gasolia em um local de grade cocorrêcia laçou a seguie camaha: Se o cliee iver de eserar ara abasecer o reço da gasolia é de $, or liro. O reço ormal da gasolia é de $,/liro. Com esá romoção os cliees chegam ao oso segudo um rocesso oisso com axa média d 5 or hora. O emo de serviço a bomba (ara faciliar cosidere uma úica bomba) é exoecialmee disribuído com média de miuos. Em visa do reço araivo odos os cliees que chegam eseram elo aedimeo. Deermie o reço eserado da gasolia que é vedida. 6) Na rodovia do Vai-e-Vem, que dá acesso ao arque Ecológico do Lobo Guará, foi isalada uma úica cabie de edágio. Na éoca da isalação foi imagiado que ão haveria ráfego suficiee ara jusificar mais que uma cabie, mas o urismo ecológico em aumeado muio receemee. Aualmee, ( os eríodos de ico, que são os que os ieressam) há um fluxo de assagem de carros/hora, equao o emo médio de serviço é de 5 segudos. De forma a dimiuir os iermiáveis egarrafameos que assaram a ocorrer, duas roosas foram feias. A rimeira cosise em isalar uma ova cabie idêica a rimeira (assuma que o ráfego irá se dividir igualmee, orém de forma aleaória ere as duas cabies). A seguda é isalar uma cabie auomáica, que oera com carão ré-ago. Nesa cabie o emo médio de serviço será de somee 5 segudos, mas aeas um erço das chegadas (selecioadas aleaoriamee) erão o carão ré-ago. A medida de erformace é o emo médio que as essoas disedem ara assar elas cabies. a) Usado o(s) modelo(s) aroriado de filas, esime os emos médios ara as duas roosas. b) Recohecedo que os emos de serviço rovavelmee ão são exoeciais, mas que ceramee ambém ão são cosaes, avalie se e como os resulados de (a) devem ser modificados. c) Levado em coa ouros faores que odem er sido egligeciados, qual usa recomedação? 6) Cosidere dois servidores. Uma média de 8 cliees or hora chegam do exerior ara o servidor e uma média de 7 cliees or hora chegam do exerior ara o servidor. Temos ere chegadas são exoeciais. O servidor ode servir, com uma axa exoecial, cliees or hora, equao o servidor ode servir, ambém com uma axa exoecial, cliees or hora. Aós comlear o serviço o servidor meade dos cliees deixa o sisema equao a oura meade vai ara o servidor. Aós comlear o serviço o servidor, /4 dos cliees deixa o sisema e /4 reora ao servidor. a) Qual a fração do emo o servidor esá ocioso? b) Qual o úmero médio de cliees em cada servidor? c) Qual o emo médio que um cliee gasa o sisema? d) Como se aleram as resosas (a) aé (c) se o servidor uder aeder, em média, a aeas cliees or hora. 6) Meu escriório usa lâmadas. Em média, uma lâmada dura dias (exoecialmee disribuído). Quado uma lâmada se queima em demoro em média dias (exoecialmee disribuído) ara subsiuí-las. a) Cosrua o diagrama de rasição de esados ara o roblema. b) Deermie qual a fração do emo o escriório esá com lumiosidade máxima, média e míima. 64) O rograma de egeharia de rodução aceia a cada ao ovos aluos de douorado. Se um aluo de douorado gasa em média 5 aos ara cocluir seu curso, qual o úmero eserado de aluos de douorado o rograma. Use o modelo de filas adequado ara jusificar sua resosa. 65) Cosidere um sisema de filas que eha duas classes de cliees, dois caixas rovedo serviço e ão admia filas. Cliees oeciais de cada classe chegam segudo rocessos oisso, com axa média de chegada de cliees or hora ara a classe e 5 cliees or hora ara a classe, mas esas chegadas são erdidas ara o sisema se ão uderem erar imediaamee em serviço. Cada cliee da classe que era o sisema oderá receber serviço de qualquer um dos servidores que esiver desocuado, os quais em emo de serviço com disribuição exoecial com média de 5 miuos. Cada cliee da classe que era o sisema requer o uso simulâeo dos dois caixas (os rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 74

175 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) dois caixas juos agem como se fossem um úico servidor) e o emo de serviço em disribuição exoecial com média de 5 miuos. Assim, um cliee desa classe que chega será erdido ara o sisema a meos que ambos os caixas esejam desocuados ara começar o serviço imediaamee. a. Formule um modelo de filas, como um rocesso de Markov de emo coíuo, defiido os esados e cosruido o diagrama de rasição de esados. b. Descreva como a formulação obida em (a) ode ser ajusada ao formao de um rocesso ascimeo e more. c. Use o modelo ascimeo e more ara calcular a disribuição de regime ermaee do úmero de cliees de cada classe o sisema. d. ara cada uma das classes de cliees qual é a fração do úmero eserado de cliees que ão são admiidos o serviço? 66) Uma farmácia ossui caixas. O geree usa a seguie esraégia de oeração ra a aberura das caixas: se o úmero de cliees a farmácia for meor ou igual a, a farmácia oera com aeas um caixa; se o úmero de cliees for igual a ou 4, a farmácia oera com dois caixas; se o úmero de cliees for maior ou igual a 5, a farmácia oera com rês caixas. Os cliees chegam a farmácia de acordo com uma disribuição de oisso, com axa de cliees or hora. O emo de aedimeo de um cliee em um caixa segue uma disribuição exoecial, com emo médio de miuos or cliee. a) Qual a robabilidade de aeas um caixa se abero? b) Quaos caixas ficam em média fechados? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 75

176 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Exercícios de filas - resosas ) V F V F F V F V V F V F V ) ) 4) 5) 6) 7) A - B- Não se aleram 8) 9) ) ) ) ) = , Exoecial 4) 5) a e b), mi. 6) a) 4h4mi. b) 49 mi c) h4mi. 7) a) 4,% b),5 e 4,6 carros c) h 5mi. 8) a),98 cesos b) 9,4 carroças c) 7 escravos d) 7,44 cesos e 9,4 carroças 9) a) h4' b) 7.5% c),7 aciees ) a) 6, essoas b) 4,45 essoas c),5 essoas d) 4'4'' e) 7'56'' f) 4% ),5 horas ) Maeria a equie ialerada ) 7,5 cliees/hora 4) W = 4 horas 5) a) mi. b) essoas 6) 5,9% 7), frascos 8) = (- - 9),8 dias ) a) 6,7% b) 8% c),4mi. ) b) ' c) ifiio c) rocesso oisso ) a) 8 essoas b) h 4 mi. ) 4 bombas C() = $ C(4) = $ ) 5) 6),5 cliees,,5 mi. 7) 64 fiscais 8) 4 mi. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 76

177 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 9) b) h 45 c) h 5 4) 4) $ 5.58 /h 4) a),96 carros b) 5,86 4) caixas 44) a),4h e,4 h b) 6,5 cliees e,5 cliees 45) Aosear o caixa ois um caixa assa ociosa % do emo (, 4%) 46) 47) a),5 cliees, b) 97,45 cliees, c) 65 cl./h. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 77

178 COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) FORMULÁRIO DE TEORIA DE FILAS Fórmulas Gerais L = W = L q = W q = (-s) W = W q +() - = = = /s Fórmulas M/M/ = (-) L = /(-) W = ( - ) - Fórmulas M/G/ = (-) Fórmula Erlag L q = ( + ) / (-) L q = (k+) /k / (-) Fórmula M/M/S Ode (j s) é dado ela abela abaixo: ( j s) W q s S= S= S =4 S=5 S=6 S=7,,,,,,,,,7,,,,,,,4,7,4,,,,4,,4,9,6,4,,5,,4,7,,,8,55,9,9,,8,4,,6,45,5,9,4,,7,65,5,4,5,,6,,7,57,5,4,8,4,,75,64,57,5,46,4,9,8,7,65,6,55,5,49,85,78,7,69,65,6,6,9,85,8,79,76,74,7,95,9,9,89,88,87,85 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 78