MÉTODOS OBSERVACIONAIS EM CLIMATOLOGIA E METEOROLOGIA DE MESOESCALA : NOTAS DE AULA. Prof. Resposável: Dra. Leila M. Véspoli de Carvalho IAG/USP

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1 MÉTODOS OBSERVACIONAIS EM CLIMATOLOGIA E METEOROLOGIA DE MESOESCALA : NOTAS DE AULA Prof. Resposável: Dra. Leila M. Véspoli de Carvalho IAG/USP ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS Referêcias Básicas : I) ALGORITMOS PARA A REMOÇÃO DO CICLO ANUAL, SEMI-ANUAL E TENDÊNCIAS Chafield C., 996: The Aalysis of Time Series: A iroducio. Chapma & Hall, fifh ediio, NY. 83 pp Jekis, G. M. ad D. G. Was, 968: Specral Aalysis ad is Applicaios. Holde-day, SF, 55pp. 3 Wilks, D. S., 995: Saisical mehods i he Amospheric Scieces. Academic Press, NY, 468 pp. ) A preseça de ciclos as séries emporais de dados meeorológicos e como raá-los Moivação: Uma série emporal pode ser defiida como um cojuo de observações feias seqüecialmee o empo. A forma de aalisá-la é o objeo de esudo desse curso. Assim, para que seja percebido o exao sigificado do que preedemos fazer daqui para free, vamos observar a imporâcia de ciclos as variáveis meeorológicas que esudamos. Ode coseguir dados meeorológicos: hp:// hp:// hp:// hp://wesley.wwb.oaa.gov/cep_daa/idex.hml DICAS DOS PROCEDIMENTOS PARA SE OBTER SERIES TEMPORAIS A PARTIR DE REANALYSIS- DO NCEP ENCONTRAM-SE AQUI (ARQUIVO.pdf): Termiologias e coceios imporaes:. Séries emporais e processos esocásicos:. Fuções deermiísicas e ão-deermiísicas (JW, CH) Uma série emporal pode ser uma fução x aleaória ou ão-deermiísica de uma variável idepedee. Na maioria das siuações, a fução x() será uma fução do empo, mas em ouras siuações pode ser uma fução de ouro parâmero físico, como por exemplo, do espaço. Uma caracerísica das séries emporais é que seu comporameo fuuro ão pode ser previso exaamee, como seria o caso de uma fução deermiísica do empo. Exercício -: Descreva um exemplo de uma fução deermiísica, edo como variável idepedee o empo ou o espaço ou ambos. Desafio-. Para acompahar esse exercício, você precisara ler as discussões de Tsois ad Elser(989). Cosidere o sisema de 3 equações difereciais que descrevem a covecção segudo o modelo de Lorez (Lorez 963). Discua o que são araores esrahos e sua implicação para a previsão de empo. Coudo, muios feômeos aurais, embora possuam oscilações o empo, ão podem ser descrios por fuções deermiísicas. Por exemplo, podemos medir a emperaura do ar em um abrigo meeorológico odos os dias e verificarmos a preseça de um ciclo diuro. Ereao, ão coseguimos sempre deermiar uma relação deermiísica que possa ser ajusada a cada iervalo dessa série de dados porque diversos faores podem esar causado variações essa medida (exemplo, ebulosidade, eradas de frees, aleração dos veos por circulações locais, ec.). Se

2 compararmos uma série emporal de emperaura em um deermiado síio em dois aos disios, podemos verificar visualmee que esses dois rechos da série ão se parecem um com ouro. Essa observação leva a oção de PROCESSO ESTOCÁSTICO.. Processos Esocásicos (JW, WI) Uma vez que diferees secções de uma série emporal se parecem uma com a oura apeas as suas propriedades médias, é ecessário descrever essas séries por leis de probabilidades ou modelos. Assim, os valores possíveis das séries emporais a um dado empo são descrios por uma VARIÁVEL ALEATÓRIA X() e sua associada DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES. O valor observado x() da série emporal o empo é eão cosiderado como um dos ifiios valores os quais a variável X() pode er o empo. Em ouras palavras, o comporameo da série emporal para odos os empos pode ser descrio por um cojuo de variáveis aleaórias {X()} ode pode er qualquer valor ere - a +. Assim, as propriedades esaísicas das séries são descrias por disribuições de probabilidade com qualquer cojuo de empos,,..., N. O cojuo ordeado de variáveis aleaórias {X()} em associação com sua disribuição de probabilidades é chamado de PROCESSO ESTOCÁSTICO. Exercício - Veja ouras ierpreações em: hp://pespmc.vub.ac.be/asc/stocha_proce.hml e hp:// Discua defiições e exemplos meeorológicos de: variável aleaória; fução disribuição de probabilidade; processos esocásicos. Usem as demais referêcias se ecessário. Desafio-. Cosidere as series emporais de emperaura forecidas o curso. Demosre, com argumeos baseados o que você apredeu o curso e leu os sies acima, se e porque a emperaura pode ser cosiderada uma variável aleaória e sua serie emporal um processo esocásico. Termiologias: Séries emporais coíuas: Medidas o empo coíuas (Ex: medidas de emperaura a parir de um ermógrafo) Séries emporais discreas: Observações omadas em iervalos de empo específicos, usualmee igualmee espaçados (Ex: emperaura média mesal).. Coceios imporaes em séries emporais: Vimos que os processos esocásicos, a parir dos quais cosidera-se que a série emporal observada foi gerada, podem ser descrios por disribuições de probabilidades associadas com odos os possíveis cojuos de poos o empo. Para iferir a aureza dessas disribuições de probabilidade a parir de uma úica ou pequeo úmero de séries é um exercício impossível ou de pouca sigificâcia práica. Vamos discuir algumas das mais imporaes simplificações que podem ser feias. As suposições mais imporaes feias sobre uma série emporal são: a) o correspodee processo esocásico é ESTACIONÁRIO; b) um processo esocásico esacioário pode ser adequadamee descrio pelos mais BAIXOS MOMENTOS (ou momeos de baixa ordem) de suas disribuições de probabilidade. Esses momeos de baixa ordem icluem: MÉDIA, VARIÂNCIA, COVARIÂNCIA e a TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO DE COVARIÂNCIA, O ESPECTRO DE POTÊNCIA. Assim, uma aproximação aleraiva é supor que o processo esocásico pode ser adequadamee descrio por meio de um modelo coedo us poucos parâmeros os quais podem ser esimados a parir dos dados. Vamos discuir essas simplificações... Esacioaridade (CH; WI; JW): Supoha que você eseja examiado uma série emporal por um cero empo limiado, por exemplo, a saída obida de um gerador de ruídos. Supoha que a comparação de diferees rechos dessa série mosra que diferees secções são parecidas. Em corase, quado você observa a coceração de CO global os úlimos 00 aos ou a área de floresas desmaadas do plaea o mesmo período, vai oar que exise uma edêcia dessas séries emporais de crescerem com o empo. Assim, diferees secções dessas séries possuem caracerísicas disias. A saída do gerador de ruído é cosiderada um processo ESTACIONÁRIO equao as séries emporais do CO e de desmaameo são dias NÃO- ESTACIONÁRIAS. Qualiaivamee, uma série esacioária é aquela que esá em EQUILÍBRIO ESTATÍSTICO, o seido que coém NENHUMA TENDÊNCIA, equao que uma série ão-esacioária é aquela cujas propriedades mudam com o empo. Na práica, as séries são usualmee de 3 ipos: aquelas que exibem propriedades de esacioaridade em logo período, como, por exemplo, as saídas de geradores de ruído. Aquelas que possuem uma razoável esacioaridade em períodos curos, por exemplo, medidas de urbulêcia a amosfera; e séries que são obviamee ão esacioárias, o seido que suas propriedades esão coiuamee mudado com o empo. Exemplos óbvios de ãoesacioaridade: emperaura em alas e médias laiudes, veos (apreseam ciclos diuros e auais). Usualmee, o ermo esacioaridade é ierpreado como fraca esacioaridade ou esacioaridade da covariâcia. Nese seido, esacioaridade implica que a média e a fução de auo-correlação de uma série de dados ão muda com o empo. Diferees pedaços de uma série de dados esacioária (por exemplo, os dados observados hoje e o fuuro) podem ser cosiderados como TENDO UMA MESMA MÉDIA E VARIÂNCIA. Além disso, uma correlação ere variáveis em uma série esacioária é deermiada apeas pela sua separação o empo (ou seja, pelo seu lag k ) e ão pela sua absolua posição o empo. Isso sigifica que valores idividuais em disias porções da série podem ser diferees embora essas duas porções da série se pareçam. A ESTACIONARIDADE DE COVARIÂNCIA é uma suposição meos resriiva que esacioaridade resria, a qual implica que a disribuição oal das variáveis a serie ão muda com o empo. A maior pare dos méodos que raa com ão-esacioaridade de séries emporais esá baseada em écicas para remover ou filrar a pare ão-esacioária, deixado apeas a pare que pode ser raada como esacioária. Em climaologia, uilizamos esse ipo de écica quado

3 desejamos cohecer o comporameo das aomalias de uma deermiada variável. Exisem duas aproximações para raar-se com séries ãoesacioárias. Ambas objeivam processar os dados de forma que permiam que uma subseqüee esacioaridade seja assumida. Por exemplo: subração de uma fução periódica média a parir dos dados sujeios a um ciclo aual produziria uma ova série rasformada com média cosae igual a zero. A fim de produzir uma série com média e variâcia cosae, seria ecessário rasformar essas aomalias em aomalias ormalizadas: z x x s x = = (.) x s x Ode z é a aomalia padroizada, calculada simplesmee pela subração da média da amosra (que o caso seria igual a zero após remoção do ciclo aual) e dividido pelo respecivo desvio padrão Sx, o qual varia. Por exemplo, ão apeas as emperauras edem a ser mais frias durae o ivero, mas sua variabilidade ede a ser mais ala em regiões de laiudes médias. Uma aproximação possível para rasformar séries de emperauras mesais em uma série (aproximadamee) esacioária seria calcular as médias mesais e os desvios-padrão e eão aplicar a Eq. (.) usado diferees médias e desvios-padrão para o mês do caledário apropriado. Uma aleraiva seria a esraificação dos dados. Iso é, poder-se-ia coduzir aálises separadas de subcojuos dos dados que são curas o suficiee para serem cosideradas aproximadamee esacioárias. Por exemplo, poder-se-ia aalisar observações diárias para odas os dados dispoíveis de jaeiro para uma dada localização, assumido-se que cada cojuo de 3 dias de dados é uma amosra que sofreu os mesmos processos físicos. Não ecessariamee os processos seriam os mesmos para julho, ou fevereiro. Um exemplo sobre o uso da Eq.. para expressar dados climáicos em ermos de aomalias padroizadas é o cálculo do ídice do El-Niño- Oscilação Sul(ENSO). Os valores do ídice (veja figura abaixo) são derivados a parir de difereças mesais as aomalias padroizadas da pressão ao ível do mar em duas localizações: Tahii, o Pacifico ceral; e Darwi, o Nore da Ausrália. Assim, em ermos da Eq.. o primeiro passo para calcular os poos do gráfico é calcular a difereça Δ z = z Tahii z Darwi para cada mês durae o período de aos cosiderados. Na figura abaixo, esão mosrados o IOS desde 993 para uma ilusração mais clara. A aomalia padroizada ZTahii para jaeiro de 997, por exemplo, é calculada subraido-se a pressão média para odos os jaeiros em Taii da pressão observada em jaeiro de 997. Esa difereça é eão dividida pelo desvio-padrão, caracerizado uma variação ao-a-ao das pressões amosféricas em Taii. Na realidade, os valores do ídice mosrado a figura são, em geral, aomalias da difereça das aomalias. Assim, a Eq.. é aplicada vezes ao cojuo origial de dados. A primeira das duas padroizações é omada para miimizar a ifluêcia das mudaças sazoais a média mesal das pressões e a variabilidade ao-a-ao desas médias. A seguda padroização calcula a aomalia padroizada da difereça ztahii zdarwi e garae que o ídice resulae erá uidade de desvio-padrão. Obém-se essa padroização cosiderado-se uma ova variável Z Δz = série emporal de odos os Δz. Calcula-se a média dos Δz e seu desvio padrão. Exisem algumas variações o jeio de se calcular o IOS. No caso do exemplo, exraído de hp:// o IOS esá muliplicado por 0. A liha vermelha mosra a média móvel de 5 meses (COMO SE DEFINI UMA MÉDIA MÓVEL DE 5 MESES?) A ierpreação física do IOS é que durae eveos El Niño o cero da precipiação o Pacífico ropical muda do Pacífico Oese (próximo a Darwi) para lese ou o Pacífico Ceral (próximo a Taii). Esa mudaça esá associada com as pressões à superfície acima da média em Darwi e mais baixas que a média em Taii, o que juo produz um valor egaivo o ídice. Eveos excepcioalmee fores (como o 8/83 e 97/98) produziram valores bem baixos o ídice.. Aálise de séries que coém edêcia (CH) Tedêcia pode ser defiida grosseiramee como uma mudaça de logo-ermo o ível médio. As edêcias mais simples cohecida como TENDÊNCIA LINEAR MAIS RUÍDO, para qual a observação o empo é uma variável aleaória X dada por: 3

4 X=α+β + ε (.) Ode α, β são cosaes e ε represea o ermo de erro aleaório com média zero (cohecido ambém como ruído braco). O ível médio o empo é dado por m=(α+β), o que é algumas vezes chamado de TERMO DE TENDÊNCIA. Algus auores preferem descrever o coeficiee agular β como a edêcia. Em ouras palavras, a edêcia é a MUDANÇA NO NÍVEL MÉDIO por uidade de empo. A edêcia a Eq.. é uma fução deermiísica do empo e é algumas vezes chamada de TENDÊNCIA GLOBAL. É geralmee ão realísica, e por isso exise agora uma maior êfase em TENDÊNCIAS LOCAIS ode os parâmeros α e β variam o empo. As edêcias ambém podem ser NÃO-LINEARES. Um crescimeo expoecial, ou uma edêcia quadráica são algus exemplos. Assim, em-se que er em mee que a aálise de uma série emporal que exibe edêcia depede () se o pesquisador quer exaamee medir essa edêcia ou () se o pesquisador quer remover a edêcia de forma a aalisar fluuações locais. Iso ambém depede se o dado exibe SAZONALIDADE. Com dados coedo sazoalidade, é uma boa idéia começar calculado médias auais sucessivas porque esas podem forecer uma descrição simples das edêcias implícias... Ajusado uma curva (CH) Um méodo comum de se raar com dados ão-sazoais que coém uma edêcia, paricularmee em dados diários, é ajusar uma fução simples como uma curva poliomial (liear, quadráica, ec.), ou uma curva de Gomperz ou uma curva logísica. Esas úlimas êm sido empregadas em ecoomia e biologia (crescimeo de populações). A curva de Gomperz é dada por: log x = a + br (.3) ode a, b, r são parâmeros com 0 < r <, equao a curva logísica é dada por x=a/(+be -c ) (.4) Noem que, coforme vai para ifiio, x a curva logísica ede assioicamee para um deermiado valor. Para eeder mais sobre a cosrução de uma curva logísica e sua aplicação, você pode cosular o sie: hp://asro.emple.edu/~dhill00/logisic/logisic.hml o qual coém um demo explicaivo. Exercício -3 Tesado edêcias as séries emporais e cosruido uma série emporal com uma edêcia a) Nos sies de dados do CPC obeha uma série emporal mesal de dados de emperaura à superfície ou em 000 hpa em regiões coieais (ex: SE do Brasil, NE dos Esados Uidos, Europa ocideal) e oura em regiões ropicais (coieais ou oceâicas). Uilizado o Excel, ideifique os dados mesais a exisêcia de edêcias. Remova essa edêcia e mosre os resulados. Calcule as médias auais da emperaura e repia o procedimeo. Compare o que você obeve para as diferees séries e discua seus resulados. b) Usado a fução o Excel que gera dados aleaórios (*radom), cosrua uma série emporal que possua uma compoee aleaória mais uma edêcia. Faça esse procedimeo supodo edêcia: liear, quadráica, Gomperz e curva logísica. Ploe os resulados e discua as difereças. *Ere o Excel e clique em Tools, Daa Aalysis, Radom (escolha disribuição Gaussiaa, com média 0 e desvio-padrão ). Se ão aparecer Daa Aalysis quado clicar em Tools, eão clique em Tools, Add Is, e adicioe Aalysis ToolPak. Se o seu Excel for em Poruguês, eão ere em Ferrameas, Suplemeo e adicioe as aálises que aparecerem essa opção..3. Exisêcia de sazoalidade as séries emporais: A grade maioria das séries emporais de variáveis meeorológicas exibe variações com período aual. Por exemplo, a emperaura é usualmee maior o verão que o ivero, e, em algumas localidades, a precipiação possui um ciclo sazoal bem defiido. O efeio sazoal pode ser adiivo ou muliplicaivo. Um efeio sazoal adiivo é do ipo: X = m + S + ε (.5) Ode m é o ível médio dessazoalizado o empo, S é o efeio sazoal o empo e ε é o erro aleaório. Evideemee, a aálise de séries emporais que exibem uma variação sazoal depede se se deseja medir esse efeio ou elimiá-lo. Por exemplo, supoha que o objeivo seja aalisar as aomalias diárias a emperaura em um deermiado poo o globo durae um cero período (por exemplo, juho a agoso). A ossa premissa é que, a cada dia, a emperaura de uma localidade é deermiada pelo ciclo solar aliado a variabilidades em ouras escalas emporais. Se quisermos eeder o papel dessas ouras escalas emporais a modulação da emperaura ao logo da esação, devemos primeiro remover o 4

5 efeio do ciclo sazoal causado por efeio de raslação da erra em oro do sol. Assim, removido esse efeio, podemos aalisar a emperaura a cada dia, comparado um dia com o ouro. Veja que em algumas localidades, como veremos ao logo do curso, o ciclo aual da emperaura pode ser o ciclo de maior imporâcia em ermos de especro, porém é, em geral, o mais bem cohecido e de pouco ieresse. Um procedimeo muio comum em meeorologia para se remover o ciclo aual é o seguie (Harma ad Michelse, 989, J. Amospheric Scieces, 8, ): ) Supoha uma série emporal X,y, ode =[,365] dias e y=[, oal], oal = úmero de aos que correspode à série, por exemplo, 0 aos. No caso do exemplo, o fao de cosiderarmos variado de a 365 dias, sigifica que esamos desprezado aos bissexos. Essa suposição pode ser feia usado como aproximação que em aos bissexos o valor da variável o dia 8 de fevereiro é uma média ere 8 e 9 de fevereiro. Oura aleraiva é simplesmee elimiar o dia 9 (depede muio do que se esá esudado). ) Uma possibilidade de remoção do ciclo aual é primeiro calcular uma média diária obida os 0 aos de dados: oal X = x, y, a barra idica a média, x é a observação o dia e y represea o ao. y= Em geral, quado fazemos esse procedimeo, devido ao reduzido úmero de aos, a série emporal média apresea pequeas oscilações que são o resulado de variabilidades ierauais as quais ão são alisadas quado procedemos à operação de média descria acima. Assim, um procedimeo sugerido em Harma e Michelse (989): 3) O ciclo aual resulae X deve ser alisado usado um filro com pesos do ipo --, passado 300 vezes. O Número de vezes que se passa um filro pode ser decidido ivesigado-se o comporameo fial da série. O que é e como cosruir um filro --? (CH) A idéia é usar um FILTRO LINEAR o qual covere uma série emporal {x} em oura {y} por uma operação liear: ode { } r + s r r= q y = a x (.6) a é o cojuo de pesos. Para alisar fluuações locais e esimar a média local, devemos escolher pesos ais que a =. Essa operação é freqüeemee chamada de MÉDIA MÓVEL (MOVING AVERAGE). As médias móveis são freqüeemee siméricas com s=q e aj=aj. O exemplo mais simples de um filro simérico é do ipo: a r = /(q + ) para r=-q,...,+q. O valor alisado de x é dado por: + r Sm( x (.7) + q ) = x + r q + r= q r Noe que esse caso, o peso em cada elemeo é igual a. O filro cohecido como -- cosidera uma média móvel de rês elemeos, porém com pesos { a r } a Eq..6 iguais a 0.5, 0.5 e 0.5. Em ambas as bordas, o procedimeo é calcular a média ere o e o+ (borda iferior) e ere f e f- (borda superior). Ese procedimeo é basae úil quado se deseja deermiar as aomalias em relação ao ciclo sazoal e deve ser aplicado mesmo se cosiderarmos pêadas. Exercício -4 Deermiado o ciclo sazoal as séries emporais e calculado aomalias. Nos sies de dados do CPC obeha uma série emporal de dados diários de emperaura à superfície ou em 000 hpa em regiões coieais subropicais ou exraropicais, e em regiões ropicais sobre o coiee ou oceâicas. As séries emporais devem er pelo meos 0 aos. Descosidere aos bissexos (ou seja, elimiem o dia 9 de fevereiro, quado exisir, calculado a média ere 8 e 9). a) Uilizado o Excel ou programado a liguagem de sua escolha, calcule a média diária dos dados e ploe as séries emporais médias. Discua as eveuais difereças observadas ere as duas séries. b) Aplique o filro -- coforme descrio acima as suas séries emporais e ploe ovamee a série resulae. c) Deermie agora uma ova série emporal de aomalias, iso é, o valor observado meos o valor médio. Ploe essa série emporal para os 3 primeiros aos. Discua os resulados..4 DOMÍNIO DE TEMPO E DE FREQUÊNCIA (WI) 5

6 Exisem duas aproximações fudameais para a aálise de séries emporais: aálise o DOMÍNIO DO TEMPO e aálise o DOMÍNIO DE FREQUÊNCIA. Esas duas aproximações são processadas de forma bem diferee e podem ser visas como basae disias. Coudo, ão são idepedees! Ao corário, são méodos complemeares que são ligados maemaicamee. Os méodos de domíio emporal procuram caracerizar as séries de dados os mesmos ermos em que são observados e reporados. A ferramea primária para a caracerização de relações ere valores de dados a aproximação do domíio emporal é a FUNÇÃO DE AUTO- CORRELAÇÃO. Maemaicamee, as aálises do domíio emporal operam o mesmo espaço dos valores dos dados. As aálises o domíio de freqüêcia represeam as séries de dados em ermos de coribuições ocorredo em diferees escalas emporais, ou freqüêcias caracerísicas. Cada escala emporal é represeada por um par de fuções seo e co-seo. A série complea é cosiderada como resulae de efeios combiados de uma coleção de odas seoidais e co-seoidais oscilado em diferees axas. A soma desas odas reproduz os dados origiais, mas comumee é a iesidade relaiva das compoees idividuais das odas que são de ieresse primário. Aálises o domíio de freqüêcia ocorrem o espaço maemáico defiido por esa coleção de seos e co-seos. Iso é, as aálises o domíio de freqüêcia evolvem rasformação dos valores de dados origiais em coeficiees que muliplicam um igual úmero de fuções periódicas (os seos e co-seos). Eses méodos são comumee aplicados em séries emporais amosféricas e são de grade valia para vários propósios..4. Fução de auo-correlação (JW) Em esaísica clássica as observações x (=,,...,N) de algus parâmeros físicos podem ser cosideradas idepedees desde que os experimeos que geraram essas observações sejam fisicamee idepedees. Se a disribuição de probabilidade fx(x) associada com as observações é NORMAL ou GAUSSIANA, a mesma pode ser compleamee caracerizada pela sua média: e sua variâcia: μ=e[x]= xf x ( x) dx (.8) [( X μ) ] = ( x ) f ( x dx σ = E μ x ) (.9) A média mede a localização ou cero de gravidade da disribuição e a variâcia a sua variabilidade em oro da média. Se as observações x formam pare da série emporal, eão apeas se o processo que gerou os dados for puramee aleaório os valores vizihos serão idepedees. Em geral, os valores vizihos de uma série emporal são CORRELACIONADOS. Assim, além de se especificar a média μ e a variâcia σ, é ecessário o caso de uma série Normal esacioária que se especifique a fução de auo-covariâcia: γ ( k ) = E X ( ) μ X ( + k) μ (.0) Na práica, a fução de auo-covariâcia pode ser esimada por : ode, c k) [( )( )] N N k = + k = ( x x)( x x) ( (.) x = N N x = é a média da série observada. O plo de c(k) versus k (cohecido como lag ou iervalo o empo) é chamado de FUNÇÃO DE AUTOCOVARIÂNCIA AMOSTRAL da série emporal. Algumas vezes, é coveiee quado comparamos séries com diferees escalas de medida, ormalizarmos a Eq. (.) dividido pela variâcia c(0), de forma a obermos a FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO AMOSTRAL: c( k) o que é equivalee a: N k (.) r ( k) = (.3) c(0) ( x x)( x+ k x) = r( k) = (.3b) N ( x x) = O plo de r(k) versus k é ambém cohecido como Correlograma. A fução de auo-correlação é úil em algumas siuações porque forece uma visão do jeio como depedêcia da série cai com o lag ou separação k ere poos da série. Ereao, a fução de auo-correlação é as vezes muio difícil de ierprear como veremos a seguir. OBSERVAÇÕES. NOTEM QUE EXISTE POUCO SIGNIFICADO EM SE CALCULAR rk PARA VALORES DE k MAIORES QUE N/4. QUANDO N NÃO É MUITO GRANDE, É PREFERÍVEL CALCULAR A AUTO-COVARIÂNCIA COMO: 6

7 c k = N k N k = ( x x)( x + k x) Exemplos de correlogramas podem ser visos em CH. Algumas recomedações e observações de CH: a) Séries aleaórias: Se uma série é compleamee aleaória, eão para grade N, r(k) 0 para odos os valores diferees de zero de k. b) Correlação de curo-ermo. Séries esacioárias freqüeemee exibem correlação de curo-ermo caracerizada por um valor de r() razoavelmee alo, seguido por us poucos coeficiees os quais, embora maiores que zero, edem a ficar sucessivamee meores. Valores de r(k) para lags maiores (iervalos de empo maior) edem a ser aproximadamee iguais a zero. Séries que produzem esse ipo de correlograma são aquelas que uma observação acima da média ede a ser seguida por uma ou mais observações acima da média, e aalogamee para observações abaixo da média. c) Séries com alerâcias: Se uma série emporal em edêcia a alerar, com sucessivas observações em diferees lados da média geral, eão o correlograma ambém ede a alerar. O valor de r() será egaivo. Coudo, o valor de r() será posiivo uma vez que as observações o lag ederão a esar do mesmo lado da média. d) Séries ão-esacioárias: Se a série coém uma edêcia, eão os valores de r(k) ão caem para zero exceo para valores de lag (iervalo de empo) muio alos. Iso ocorre porque uma observação de um lado da média geral ede a ser seguida por um grade úmero de observações do mesmo lado da média por causa da edêcia. Noe que pouco pode ser iferido por um correlograma desse ipo porque a edêcia domia odas as ouras caracerísicas. Por essa razão, oe que a fução de auo-correlação só é úil para séries emporais ESTACIONÁRIAS. Por isso as edêcias as séries emporais devem ser removidas aes de proceder à aálise de auocorrelação. e) Fluuações sazoais: Se a série emporal coém uma fluuação sazoal, eão o correlograma ambém exibirá uma oscilação a mesma freqüêcia. Por exemplo, com observações mesais, r(6) será grade e egaivo equao r() será grade e posiivo. Em paricular, se x segue um padrão seoidal eão r(k) ambém seguirá o mesmo padrão. Por exemplo, se: x = a cosω (.4) ode a é uma cosae e a freqüêcia ω é al que 0< ω < π. Pode ser demosrado que (Exercício.3 CH): r( k) = coskω para N grade geralmee, um correlograma desse ipo em pouca uilidade práica. Se a variação sazoal for removida, eão o correlograma pode forecer alguma iformação úil. f) Poos Aberraes ( ouliers ): Se a série coém um ou mais poos aberraes, o correlograma pode ser seriamee afeado. Nese caso, é recomedável que os poos aberraes sejam ajusados de alguma forma aes de começar uma aálise formal. Por exemplo, se exise um poo aberrae a série emporal e ese ão é ajusado, eão o plo de x cora x+k coerá dois poos exremos os quais irão fazer com que os coeficiees de correlação amosral caiam para zero. Se exisirem dois poos aberraes ese efeio é aida mais oável, exceo quado o lag iguala-se à disâcia ere os poos aberraes. Quado isso acoece, para esse lag pode ocorrer um alo coeficiee de auo-correlação. Exercício-5: Deermiado a fução de auo-correlação para diferees séries emporais. Acoselha-se que os dados sejam gerados dero do Excel (por exemplo), mas que o esudae se eusiasme a fazer um programa simples, em qualquer liguagem, para o cálculo da fução de auo-correlação. a) Uilizado a fução radômica do Excel, gere uma série emporal com 365 poos aleaórios e faça o correlograma dessa série. b) Adicioe uma edêcia liear a série radômica e recalcule o correlograma. Compare com o observado o iem aerior e discua os resulados c) Adicioe uma oscilação do ipo cosseoidal a série do iem (a) e recalcule o correlograma. Compare com o observado o iem (a) e o iem (b) d) Adicioe poos aberraes aleaoriamee (algus valores com +3 desvios-padrão em relação à média) e recalcule o correlograma. Mosre difereças com respeio ao obido os ies aeriores..5 DOMÍNIO DE FREQUÊNCIA: ANÁLISE HARMÔNICA (WI) Aálises o domíio de freqüêcia evolvem a represeacao das séries emporais em ermos de coribuições feias em diferees escalas de empo. Por exemplo, uma série emporal de dados de emperaura horária de uma localização em laiudes médias irá, em geral, exibir fores variações ao a escala de empo diária (correspodedo ao ciclo aual de aquecimeo solar) e a escala de empo aual (refleido a marcha das esacdoes). No domíio do empo, eses ciclos apareceriam como valores posiivos alos a fução de auo-correlação para lags em (ou aproximadamee em) 4 h para o ciclo diuro e 4x365 = 8760h para o ciclo aual. Quado pesamos as séries o domíio de freqüêcia, esamos falado de coribuições para o oal da variabilidade das séries emporais em períodos de 4 e 8760h, ou em freqüêcias de /4 = h - e /8760 = h -. A aálise harmôica cosise da represeação de fluuações ou variações em uma série emporal que se origiou da adição de uma série de fuções seo e co-seo. Esas fuções rigooméricas são harmôicos quee são escolhidos como edo freqüêcias que são múliplas da freqüêcia fudameal deermiada pelo amaho amosral da série de dados. 7

8 .5. Fuções seo e co-seo (WI) Vamos aqui rever brevemee a aureza das fuções cos(α) e si(α). O argumeo de ambas é a quaidade α, medida em uidades de âgulo. Esas uidades podem ser ao em graus ou radiaos. A figura. mosra porções de um cos (liha sólida) e seo (liha racejada), o iervalo agular que varia de 0 a 5π/ (0-450º). As fuções seo e co-seo esedem-se aé âgulos idefiidamee grades posiivos ou egaivos. O mesmo padrão de oda se repee a cada π radiaos ou 360º, al que: cos(πk + α)=cos(α) (.5) Ode k é um ieiro qualquer. Uma equação aáloga vale para a fução seo. Iso é, ambos seo e co-seo são periódicos. Ambas fuções oscilam em oro de seu valor médio igual a zero e em valor máximo de + e míimo de -. A fução co-seo é maximizada a 0 o, 360º, e assim por diae, equao a fução seo é maximizada a 90º, 450º, e assim por diae. Esas duas fuções êm exaamee a mesma forma, mas esão deslocadas uma em relação a oura por 90º. Em ouras palavras, se você deslocar a fução co-seo para a direia em 90º, produz a fução seo e deslocado o seo para esquerda em 90º produz a fução co-seo: π cos( α ) = si( α) (.6) e π si( α + ) = cos( α) (.7) cos si Figure. Trechos da fução seo (liha racejada) e co-seo (liha sólida) para iervalols ere 0 o e 450 o, ou 0 a 5π/ radiaos. Cada curva execua um ciclo compleo a cada π radiaos e se esede de - a Represeação de uma série emporal simples com uma Fução Harmôica. (WI) Mesmo a siuação mais simples de uma série emporal que possui um caráer seoidal e execua um úico ciclo sobre o curso de observações, exsisem rês pequeas dificuldades a serem superadas a fim de se usar um seo ou co-seo para represeá-la: ) O argumeo de uma fução rigoomérica é um âgulo, equao os dados da série são fução do empo. ) As fuções co-seo e seo fluuam ere + e -, equao os dados geralmee fluuam ere diferees limies. 3) A fução co-seo em máximo valor para α=0 e α=π. Ambos seo e co-seo podem assim esar posicioados arbirariamee a horizoal com respeio aos dados. A solução para o primeiro problema aparece quado cosideramos o comprimeo dos dados () como cosiuido um ciclo compleo, ou período fudameal. Uma vez que o período fudameal correspode a 360º ou π radiaos em medida agular, é fácil re-escalar proporcioalmee o empo à medida agular usado: 360 = ciclo uidade de empo = uidades de empo / ciclo o o α 360 (.8) ou 8

9 π uidade de empo α = = π (.9) ciclo uidades de empo/ ciclo Em ouras palavras, se cosiderarmos um ciclo compleo o úmero oal de poos de uma série emporal, eão coforme adamos em, as equações.8 e.9 idicam em que proporção ecora-se desse ciclo compleo. Assim, a quaidade: π ω = (.0) é chamada de FREQUÊNCIA FUNDAMENTAL. Esa quaidade é uma freqüêcia agular e em dimesões físicas de radiaos por uidade de empo. A freqüêcia fudameal correspode ao período igual ao comprimeo dos dados. O subscrio idica que ω perece a oda que execua um CICLO COMPLETO sobre a série de dados ieira. O problema () acima é raado fazedo-se um deslocameo da fução seo ou co-seo para cima ou para baixo do ível geral dos dados, e eão esicado ou comprimido vericalmee aé que seu iervalo correspoda ao dos dados. Como isso pode ser feio? Uma vez que a média de uma oda pura co-seo ou seo é zero, simplesmee adicioar o valor médio da série de dados ao co-seo assegura que o mesmo irá fluuar em oro do valor médio. O esicameo ou a compressão pode ser obido pela muliplicação de uma fução seo ou co-seo por uma cosae C que é cohecida como AMPLITUDE. Novamee, oe que o subscrio sigifica que raa-se da ampliude do HARMÔNICO FUNDAMENTAL. Uma vez que as fuções seo e co-seo possuem máximo e míimo ere ±, é basae óbvio mosrar que o máximo/míimo dessas fuções quado muliplicadas pela ampliude C é igual a ± C. Assim, se combiarmos as soluções dos problemas () e () emos para a série emporal: cos( π y = y + C ) (.) Normalmee, há siuações em que é ecessário rasladar uma fução harmôica laeralmee a fim de er um casameo de crisas e cavados a série de dados. Ese ipo de desevolvimeo é mais coveiee quado a fução co-seo é uilizada, porque esa fução possui máximo valor quado o âgulo a qual ela opera é zero. Mudar a fução co-seo para a direia por um âgulo φ resula em uma ova fução que é maximizada em ω=π/=φ, π y = y + C cos( φ) (.) O âgulo φ é chamado de âgulo de fase ou fase. Mudar a fução co-seo para a direia desa quaidade requer subrair a fase φ, de modo que o argumeo da fução co-seo é zero quado (π/)=φ, o que equivale a dizer que a y em. é maximizada para =φ/π. Para compreeder a aplicação das eqs..0 a., faça o exercício proposo 6. Exercício-6. Cosidere os dados a seguir, correspodees à emperaura média obida em em Ihaca (NY): Table - Temperaura média mesal =mês Temperaura o C a) Ploe a curva em quesão o Excel. Deermie ω e calcule a fução co-seo para odos os meses da abela ploado o mesmo gráfico. b) Deermie a média e a fução y como em., iso é, re-escaloe a fução co-seo cosiderado a ampliude C como meade do iervalo ere o máximo e o míimo da série. Ploe os resulados o mesmo gráfico. c) Deermie a fução y como em., iso é, ajuse a fase φ. Discua como isso foi feio. 9

10 Desafio-6a. Uilize uma série emporal de dados em que você eseja rabalhado (mesal, diária ou peadal), ou use uma das séries emporais que foram forecidas o curso. Calcule a média mesal dos dados, obedo uma abela semelhae à Tabela-. Faça os ies (a) a (c), coforme idicado acima. Noe que, ão ecessariamee, você irá observar uma série com um ciclo aual semelhae ao que foi observado o exercício. Você ambém pode efeuar seu rabalho uilizado dados que ão são auais e ierprear o que sigifica o primeiro harmôico esse caso Esimaiva de Ampliude e fase de um úico harmôico (WI) No exercício aerior, esimou-se C e φ de uma forma mais grosseira. Exisem formas mais adequadas de se fazer o mesmo procedimeo. O méodo mais simples é usar a ideidade rigoomérica: cos( α φ) = cos( φ)cos( α) + si( φ)si( α) (.3) Subsiuido α=π/ (Eq..9) e muliplicado-se ambos os lados pelas ampliudes C, obém-se: π π π π π C cos( φ) = C cos( φ)cos( ) + C si( φ)si( ) = A cos( ) + B si( ) (.4) ode, A = C cos( φ ) (.5) e B = C si( φ ) (.6) A Equação.4 idica, porao, que um harmôico que possui ampliude C e fase φ é equivalee a soma de um seo com um coseo, ambos sem deslocameo de fase. Noe que o seo aparece jusamee como uma expasão de um co-seo de α meos a fase. São jusamee B e A os coeficiees que irão modular a ampliude do harmôico com o empo. Noe que ambos coeficiees B e A são deermiados pelo seo e co-seo da fase, respecivamee. Fazedo a rasformação de variáveis da Eq..4 al que x=cos(π/) e x=si(π/), emos uma equação resulae que é uma equação de regressão com dois prediores. Desa forma, dada a série de dados y, podese aplicar a essa rasformação qualquer sofware que ache uma esimaiva de regressão com o méodo de míimos quadrados para ecorar os coeficiees A e B, edo y como prediado. O mesmo pacoe de regressão irá produzir a média dos valores do prediado como o iercepo bo. Pode-se eão ecorar C resolvedo o sisema das equações.5 e.6, ou seja: A + B = C (si ( φ ) + cos ( φ)) C [ ] / = A + B (.7) Para se ecorar a fução de fase φ, são resolvidas as seguies equações: B a A > 0 A B o φ = a ± π, ou ± 80 A < 0 A (.8) π o, or 90 A = 0 Noa: uma vez que as fuções rigooméricas são periódicas, o mesmo âgulo de fase é produzido se adicioarmos ou subrairmos 80º (meio círculo) se A<0. Decidimos se somamos ou subraímos 80º depededo da relação 0 < φ π Para ecorarmos os parâmeros A e B podemos usar o méodo de míimos quadrados. Para casos especiais em que os valores dos dados esão igualmee espaçados o empo com ehum dado falae (missig values) as propriedades do seo e co-seo permiem que os parâmeros de míimos quadrados sejam obidos mais facilmee usado: A = y π cos (.9) = π B = y si = e Exercício-7: Para os dados do Exercício 6, obeha os coeficiees do harmôico aual da emperaura em Ihaca: A, B, C e a fase φ. Use o Excel para fazer seus cálculos e compare com a fase (em graus) e o coeficiee C obidos pelo méodo do olhômero do exercício aerior. Comee o que essas difereças podem sigificar a ierpreação dos resulados. Desafio-7b. Se você uilizou uma serie emporal disia da forecida, ecore os coeficiees para esa série..5.4 Harmôicos de ordem mais elevada: (WI) Nos cálculos efeuados os exercícios 7 e 8 produziu-se uma úica fução dcosseo passado próxima aos meses de emperauras médias. Ese ajuse bom ocorreu porque a forma do ciclo aual de emperaura a localidade em quesão é aproximadamee seoidal, com um ciclo compleo execuado os poos da série emporal. Em geral, ão se espera que um úico harmôico irá represear odas as demais séries emporais de emperaura em diferees localidades. Ereao, se adicioarmos mais prediores a uma regressão múlipla poderá melhor o ajuse de um cojuo de dados, adicioado mais odas do ipo co-seo a uma aálise harmôica irá melhorar o ajuse a uma série emporal. (.30) 0

11 Assim, dada uma série emporal cosisido de poos, a mesma pode ser exaamee reproduzida. Iso sigifica que é possível ecorar uma fução harmôica que passa aravés de cada um dos poos e isso é feio adicioado uma série de / fucoes harmôicas: y = y + / / Ck cos φk = y + Ak cos + Bk si = = k k πk πk πk (.3) Noe que o ídice k a equação acima idica que a Eq..4 vale para qualquer co-seo, idepedeemee de sua freqüêcia. A oda de coseo obida para k= a Eq..3 é, porao, o primeiro harmôico deermiado aeriormee. Os ouros / - ermos da somaória da Eq..3 são harmôicos de ordem mais ala, ou odas co-seo com freqüêcias: πk ωk = (.3) que são múliplos ieiros da freqüêcia fudameal ω. Noe aida que cada oda represeada pelo co-seo possui sua própria fase φ e sua própria ampliude C. Porao, k dero da equação é de suma imporâcia. Primeiro harmôico: k=, α=πk/, fase φ e ampliude C um ciclo compleo (0 a π rad) para =0 a = Segudo harmôico: k=, α=πk/, fase φ e ampliude C um ciclo compleo (0 a π rad) para =0 a =/ um ciclo compleo para =/ e = Terceiro harmôico: k=3, α=πk/, fase φ3 e ampliude C3 rês ciclos compleos ere =0 e = Os coeficiees Ak e Bk podem ser ecorados, NO CASO MAIS GERAL, (Eq..3) usado-se méodo de regressão liear múlipla, após as rasfomações de dados x=cos(π/), x=si(π/), x3= cos(π/), x4= si(π/), x5= cos(π3/), x6= si(π/) e assim por diae. PARA SÉRIES TEMPORAIS IGUALMENTE ESPAÇADAS NO TEMPO (SEM VALORES FALTANTES (MISSING VALUES): Podemos geeralizar as equações.9 e.30 para: πk A k = y cos (.33) = e πk B k = y si (.34) = Como deermiar os coeficiees Ak e Bk? Fica evidee pelas Eqs..33 e.34 que a deermiação desses coeficiees é viável usado-se um programa de compuador. Nesse caso, o algorimo uilizaria um coador para o k (iso é, fixa-se k) e faz-se a somaória do cosseo (ou seo de α) de = a = (ou seja, é um ouro coador que deverá fazer o loopig ou somaória que será iero ao loopig do coador k). Esse raciocíio pode ser ambém aplicado para uso dero do Excel, por exemplo. No eao, para séries muio grades, usa-se um méodo mais eficiee que será comeado adiae. Uma vez calculados eses coeficiees, emos eão que ober a fase e a ampliude do harmôico. a) Ampliude: [ ] C k A k + B k / = (.35a) O algorimo para ecorar Ck é, porao, muio simples, uma vez achados Ak e Bk e deve ser feio após o loopig da somaória. Quao à fase, deve-se primeiro esar o coeficiee Ak e resolver: a Bk A > 0 A k φ = k a π, ou B k Ak ± π, 90 o ou ± 80 o A < 0 A = 0 (.35b) Quaos harmôicos podem ser deermiados? Noem que uma fução de regressão múlipla irá passar por odos os poos de dados e irá exibir R =00% se o úmero de prediores é o mesmo que úmero de dados. A série de cosseos da Eq..3 é um exemplo. Quer dizer, os / harmôicos que aparecem a somaória da Eq..3 implica a exisêcia de variáveis prediores. Uma vez que a média amosral da Eq..3 é efeivamee um dos parâmeros esimados, correspodees ao iercepo bo, um ajuse para a Eq..3 é ecessário quado é ÍMPAR. Nese

12 caso, uma soma sobre apeas (-)/ harmôicos é requerida para represear compleamee a fução. Iso é, (-)/ harmôicos é requerido para compleamee represear a fução. Iso é, para ÍMPAR: (-)/ ampliudes + (-)/ âgulos de fase + a média amosral = Para PAR: A somaória da Eq..3 coiua sedo aé /. Ereao, emos ()/ ampliudes + [()/ ] âgulos de fase + a média amosral = Nese caso, o âgulo de fase para o harmôico fial e mais alo φ/ = 0 Quaos harmôicos podemos usar? Essa pergua depede das fialidades. Podemos usar odos os / harmôicos se queremos uma fução que represee exaamee aravés de odos os poos da série. Coudo, se o objeivo é represear o ciclo aual de uma quaidade climaológica, os primeiros poucos harmôicos podem forecer uma represeação adequada. É isso que se faz a práica. Exercício-8a: Para os dados do Exercício 7, obeha os coeficiees do segudo e erceiro harmôicos da emperaura em Ihaca. Use o Excel para fazer seus cálculos compare com o exercício aerior e comee os resulados. Exercício 8b: (Tarefa de casa): Uilize dados paleoclimáicos da radiação solar (ecoram-se o lik 'dados') e calcule a ampliude do harmôico correspodee a e aos. Discua seus resulados