MODELOS DE VOLATILIDADE: COMPARAÇÃO COM DADOS SIMULADOS

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1 MODELOS DE VOLATILIDADE: COMPARAÇÃO COM DADOS SIMULADOS Paulo Henrique Soo Cosa PUC-Rio / Dep. Engenharia Indusrial Rua M. S. Vicene 5 sala 950L CEP: Rio de Janeiro RJ UERJ / Fac. Ciências Econômicas R. S. Fco. Xavier 54 Bl.B sala 8003 CEP: Rio de Janeiro RJ pauloh@ind.puc-rio.br Erica Mouella PUC-Rio / Dep. Engenharia Indusrial Rua M. S. Vicene 5 sala 950L CEP: Rio de Janeiro RJ Erica@cr.com.br Resumo A comparação de modelos de volailidade é dificulada pelo fao de não ser possível uma análise direa dos erros de previsão (previso versus real), já que a volailidade não é observável. Por iso, muios auores usualmene comparam modelos aravés de propriedades dos seus resíduos, ou usam represenanes da volailidade observada para esimar erros de previsão. Nese rabalho são uilizadas, como dados para os modelos de previsão de volailidade, séries de reornos simulados a parir de processos esocásicos conhecidos, porano com volailidade conhecida em cada período. Iso permie a mensuração direa dos erros de previsão. São usados quaro modelos para gerar as séries que, poseriormene, êm suas volailidades esimadas por cada um dos quaro modelos. Os resulados indicam que, de maneira geral, a esimação é melhor quando o modelo esimador é o próprio modelo gerador, mas que alguns modelos esimadores êm bom desempenho mesmo quando são usados em séries geradas por modelos diferenes. Palavras-chave: séries emporais financeiras, volailidade, ARCH. Absrac Volailiy is no an observable variable and his fac is a problem when we wan o compare volailiy models hrough forecas errors (forecas versus acual). This is he reason why many auhors compare he performance of he models analyzing he saisical properies of he model s residuals, or use proxies of he volailiy o esimae forecas errors. In his paper, we simulae arificial reurn series, generaed by known sochasic processes and wih known volailiy in every period, and hese series are used as daa o he volailiy models. This makes i possible o measure forecas errors direcly. We use four models o generae he series, and each series volailiies are esimaed by each model. The resuls show ha when he esimaing model is he same as he generaing model, we have, in general, he bes esimaion, bu some esimaing models have a good performance even when hey esimae volailiies of series generaed by oher models. Keywords: financial ime series, volailiy, ARCH

2 1- INTRODUÇÃO A volailidade de um aivo financeiro é definida como o desvio padrão do seu reorno. Ela é uma medida do risco de mercado do aivo, e sua deerminação é imporane, não apenas para o gerenciameno do risco de careiras, como ambém para a precificação de derivaivos dese aivo. Sua deerminação depende de um modelo, viso que não é possível observar direamene o desvio padrão de uma variável aleaória. O modelo mais óbvio (que será aqui chamado de modelo ingênuo) consise em colear um cero número de dados passados e deerminar o desvio padrão amosral. Como a volailidade varia com o empo, muios modelos enam capurar a dinâmica desa variação emporal, de modo a ober previsões melhores que as do modelo ingênuo. A qualidade das previsões de volailidade obidas por diferenes modelos em sido esudada por vários auores, no Brasil e no exerior. Enre os rabalhos sobre previsão de volailidade em séries brasileiras, pode-se ciar: Herencia, Hoa e Pereira (1998), que comparam modelos GARCH e de volailidade esocásica. Morais e Porugal (1999) que, na mesma linha do arigo acima, comparam modelos GARCH e de volailidade esocásica. Ziegelman e Pereira (1997), que comparam 7 modelos de volailidade esocásica. Issler (1999), que compara modelos da família ARCH: o GARCH, o EGARCH, o TARCH e o SWARCH. Pereira, Hoa, Souza e Almeida (1999) que, num rabalho abrangene, comparam modelos da família GARCH (o GARCH comum e o EGARCH), volailidade esocásica (AR[1] VE) e o SWARCH. Cosa (001), que faz uma comparação de desempenho de dez modelos, de vários ipos, usando séries com e sem valores aberranes e lançando mão da Teoria de Valores Exremos. Calvano, Cosa e Baidya (00), que comparam modelos da família GARCH e de volailidade esocásica, com parâmeros varianes no empo. Todos eses rabalhos usam como dados séries de reornos de aivos financeiros, e o primeiro usa ambém séries simuladas. Um problema na avaliação do desempenho dos modelos, a parir de dados reais, é o fao de a volailidade não ser observável, que impede a comparação mais evidene, aravés de erros de previsão. Ese rabalho compara modelos de volailidade a parir de dados simulados. Desa forma, conhecido o modelo gerador dos reornos é ambém conhecida a volailidade em cada insane. São usados quaro modelos para gerar as séries e, a cada série gerada, são ajusados 5 modelos de previsão: os quaro geradores mais o modelo ingênuo, para servir de referência. Como criério de comparação são usados normalidade dos resíduos, correlação dos resíduos ao quadrado e, evidenemene, erros de previsão. 518

3 - OS MODELOS Os quaro modelos em análise são: (a) Amorecimeno exponencial do reorno ao quadrado: Nese modelo, a variância do período é dada por: b g $ σ = 1 θ x + θσ$ 1 1 onde: $σ = volailidade esimada para o período x 1 = reorno do período -1 θ = parâmero, 0< θ < 1 (b) GARCH (1,1) A formulação para a variância é: ˆ σ ˆ ω α x β σ = onde: α, β, ω são parâmeros não negaivos (c) EGARCH (1,1) Aqui, a variância é dada por: ln x 1 x 1 ( ˆ σ ) ω + α + γ + β ln( ˆ σ ) = 1 ˆ σ ˆ 1 σ 1 onde: α, β, γ, ω são parâmeros (d) AR(1) VE Volailidade esocásica Nese modelo, a volailidade é uma variável esocásica cujo logarimo segue um processo linear auorregressivo de primeira ordem: ln ( σ ) = φ0 + φ1 ln( σ 1 ) + ν onde: ν N( 0, σ ) ~ ν é a inovação φ φ σ são parâmeros 0, 1, ν No modelo ingênuo a volailidade foi esimada aravés do desvio padrão amosral da série complea que, a rigor, só é conhecido depois da observação do úlimo reorno. 519

4 3 AS SÉRIES DE DADOS Para cada modelo foram geradas nove séries de reornos diários : foram usados rês amanhos de séries (T1=50, T=500 e T3=1000 dias ) e rês conjunos de parâmeros. Os valores dos parâmeros usados nas simulações foram baseados em valores obidos na esimação dos modelos com dados reais de ações brasileiras, e esão nas abelas 1,, 3 e 4. θ P1 0,84 P 0,94 P3 0,90 Tabela 1: parâmeros do modelo de amorecimeno exponencial ω α β P1 0,030 0,13 0,850 P 0,05 0,14 0,85 P3 0,00 0,14 0,830 Tabela : parâmeros do modelo GARCH ω α β γ P1-0,50 0,50 0,90-0,080 P -0,144 0,165 0,978-0,048 P3-0,50 0,548 0,843-0,06 Tabela 3: parâmeros do modelo EGARCH φ0 φ 1 σ ν P1-0,10 0,60 0,10 P -0,30 0,50 0,80 P3-0,50 0,40 1,50 Tabela 4: parâmeros do modelo de volailidade esocásica Para os quaro modelos de volailidade, o modelo para o reorno é volailidade é feia pelo modelo correspondene, e ε ~ N( 0,1) x = σˆ ε, onde a previsão de, é a inovação do reorno. Em odos os casos foi assumida uma volailidade inicial uniária, e as 100 primeiras simulações foram desprezadas, para não haver influência dese valor inicial. As séries foram simuladas no programa Excel. 50

5 4 ESTIMAÇÃO DOS MODELOS E RESULTADOS Os parâmeros dos modelos foram esimados com o auxílio do programa Eviews 4.0. Os resulados da esimação (os valores obidos para os parâmeros) não esão apresenados aqui, pois se preferiu analisar os resulados obidos aravés das propriedades dos resíduos dos modelos e dos erros de previsão. 4.1 NORMALIDADE DOS RESÍDUOS De maneira geral, as séries de reornos financeiros não êm disribuição normal, porque o processo auocorrelacionado da variância condicional faz com que elas apresenem caudas pesadas (excesso de curose). No enano, uma vez modelado o processo da variância, os resíduos padronizados do modelo devem ser normais, de acordo com a eoria de Finanças. As séries simuladas apresenaram, via de regra, não normalidade; se os modelos capuram o processo da variância condicional, os resíduos padronizados devem ser normais, pois os reornos foram gerados a parir de disribuições normais. A abela 5 mosra os resulados obidos no ese de normalidade dos resíduos dos modelos. Esa abela esá dividida em quaro sub-abelas, uma para cada modelo gerador dos dados. O número que esá abelado é o valor p para o ese Jarque-Bera, cuja hipóese nula é a normalidade das séries. Os valores menores que 0,05 esão em iálico-negrio, e correspondem à rejeição da hipóese de normalidade, num nível de significância de 5%. Para cada modelo gerador esão mosrados os valores p correspondenes a cada um dos modelos esimadores, e mosrados ambém os valores p para a série original de reornos simulados, que serve como referência. No pé de cada sub-abela esá a média dos valores p que, embora não enha um significado esaísico, serve para dar uma idéia de quano os resíduos (em média) se aproximaram da normalidade. Ainda no pé da sub-abela esá o número de rejeições de normalidade em cada coluna. Observando-se, por exemplo, a primeira sub-abela (modelo gerador GARCH) observa-se que 4 das 9 séries originais não eram normais (com valor p médio 0,31). Para os modelos esimadores GARCH e AM.EXPO odos os resíduos foram normais, indicando um bom desempenho para os modelos; o modelo de volailidade esocásica (VE) apresenou uma série de resíduos não normal, e o EGARCH, rês (curiosamene, 3 séries de reornos normais, que ficaram com resíduos não normais). Um pono a ressalar, nesa abela 5, é que as séries geradas por modelos de VE não eram normais e não iveram resíduos normais quando esimadas pelo próprio modelo de VE, mas a maioria das séries de resíduos dos ouros modelos esimadores aplicados às séries geradas por VE foi normal. Ressale-se ambém que, à exceção do modelo de VE, odos os ouros modelos geradores iveram resíduos normais em odas as séries, quando modelo gerador e esimador eram o mesmo. No geral, não se noa uma grande diferença, quano à normalidade dos resíduos, enre os modelos esimadores GARCH, AM.EXPO e EGARCH; no enano a esimação por VE desaca-se negaivamene, por er resíduos não normais quando a geração ambém foi por VE. 4. AUTOCORRELAÇÃO DOS RESÍDUOS AO QUADRADO Normalmene as séries de reorno não apresenam auocorrelação ou, quando apresenam, ela é pequena. Por iso não é possível prever reornos a parir de reornos passados, com modelos de séries emporais. No enano, as séries de reornos ao quadrado usualmene apresenam fore auocorrelação: iso caraceriza uma dependência não linear enre reornos consecuivos, e esa dependência é causada pela esruura da variância condicional. Assim, modelada correamene a variância condicional, os resíduos padronizados dos modelos, elevados ao quadrado, não podem apresenar auocorrelação. 51

6 MODELO GERADOR: GARCH P1, T P1, T P1, T P, T P, T P, T P3, T P3, T P3, T MÉDIA NUM. REJEIÇ MODELO GERADOR: AMORT. EXPONENCIAL P1, T P1, T P1, T P, T P, T P, T P3, T P3, T P3, T MÉDIA NUM. REJEIÇ MODELO GERADOR: EGARCH P1, T P1, T P1, T P, T P, T P, T P3, T P3, T P3, T MÉDIA NUM. REJEIÇ MODELO GERADOR: ESTOCÁSTICO P1, T P1, T P1, T P, T P, T P, T P3, T P3, T P3, T MÉDIA NUM. REJEIÇ Tabela 5: ese de normalidade dos resíduos 5

7 As séries de reornos simulados não apresenaram auocorrelação (resulados não apresenados aqui) mas, à exceção das séries geradas pelo modelo de VE, elas apresenaram fore auocorrelação, quando elevadas ao quadrado. A abela 6 mosra os resulados obidos no ese de auocorrelação dos quadrados dos resíduos. Ela foi monada da mesma forma que a abela 5, e os números apresenados ambém são valores p: agora raa-se do ese de Ljung-Box, que em como hipóese nula e ausência (conjuna) de correlação enre cada resíduo (ao quadrado) e os dez que o anecedem, ou seja ausência de auocorrelação do lag 1 aé o lag 10. Observando-se, por exemplo, a primeira sub-abela da abela 6, noa-se que as 9 séries originais (de reornos ao quadrado) geradas pelo GARCH eram foremene auocorrelacionadas, com odos os valores p iguais a zero. Já os resíduos ao quadrado do modelo esimador GARCH não apresenaram auocorrelação em nenhuma das séries, mosrando que o modelo esimador capurou bem a esruura na variância condicional. Os modelos esimadores AM.EXPO e EGARCH apresenaram auocorrelação em apenas uma série de resíduos ao quadrado, enquano que o de VE apresenou em oio. Um pono a ressalar nesa abela 6 é que as séries geradas por modelos de VE não iveram reornos ao quadrado auocorrelacionados, o que vem a prejudicar a análise da auocorrelação nos quadrados dos resíduos dos modelos esimadores aplicados a ese modelo gerador. Ressale-se ambém que, à exceção do modelo de AM.EXPO, odos os modelos esimadores iveram resíduos ao quadrado descorrelacionados, em odas as séries, quando modelo gerador e esimador eram o mesmo. No geral, não se noa uma grande diferença, quano à ausência de auocorrelação dos resíduos ao quadrado, enre os modelos esimadores GARCH e EGARCH ; o modelo de AM.EXPO apresenou resulados um pouco piores que eses dois. No enano, ao esimação por VE vola a se desacar negaivamene. 4.3 ERROS DE PREVISÃO As análises das propriedades dos resíduos são imporanes sempre que se quer verificar a aderência de um modelo aos dados; no caso dos modelos de volailidade, esa imporância cresce porque não é possível analisar erros de previsão. No enano, quando são usadas séries simuladas, o valor da volailidade em cada período é conhecido, possibiliando a mensuração deses erros. O erro aqui considerado é a raiz quadrada do erro quadráico médio da variância condicional, ou seja: n ( σ ˆ σ ) = 1 ε = n onde: σ = variância real do período ˆ σ = variância previsa para o período n = número de períodos na série Na abela 7 esão apresenados os resulados da análise de erros de previsão; esa abela difere ligeiramene das duas aneriores. No lugar da coluna SÉRIE ORIGINAL foi colocada uma coluna INGÊNUO; esa coluna raz os erros de previsão do modelo ingênuo, ou seja, aquele em que previsão para cada período é o desvio padrão amosral observado para a série (que não depende do empo). 53

8 MODELO GERADOR: GARCH P1, T P1, T P1, T P, T P, T P, T P3, T P3, T P3, T MÉDIA NUM. REJEIÇ MODELO GERADOR: AMORT. EXPONENCIAL P1, T P1, T P1, T P, T P, T P, T P3, T P3, T P3, T MÉDIA NUM. REJEIÇ MODELO GERADOR: EGARCH P1, T P1, T P1, T P, T P, T P, T P3, T P3, T P3, T MÉDIA NUM. REJEIÇ MODELO GERADOR: ESTOCÁSTICO P1, T P1, T P1, T P, T P, T P, T P3, T P3, T P3, T MÉDIA NUM. REJEIÇ Tabela 6: ese de auocorrelação dos resíduos ao quadrado 54

9 MODELO GERADOR: GARCH GARCH AM.EXPO EGARCH ESTOCÁSTICO INGÊNUO P1, T P1, T P1, T P, T P, T P, T P3, T P3, T P3, T MÉDIA MODELO GERADOR: AMORT. EXPONENCIAL GARCH AM.EXPO EGARCH ESTOCÁSTICO INGÊNUO P1, T P1, T P1, T P, T P, T P, T P3, T P3, T P3, T MÉDIA MODELO GERADOR: EGARCH GARCH AM.EXPO EGARCH ESTOCÁSTICO INGÊNUO P1, T P1, T P1, T P, T P, T P, T P3, T P3, T P3, T MÉDIA MODELO GERADOR: ESTOCÁSTICO GARCH AM.EXPO EGARCH ESTOCÁSTICO INGÊNUO P1, T P1, T P1, T P, T P, T P, T P3, T P3, T P3, T MÉDIA Tabela 7: erros de previsão 55

10 Os erros dese modelo serviram como referência em cada série: assim odos os erros de previsão de uma dada série (por exemplo, da série P1,T1 gerada pelo modelo GARCH) foram divididos pelo erro de previsão do modelo ingênuo aplicado a esa série (na série P1,T1 ese quociene foi 0,5). Enão, a média 0,19 dos erros do modelo de previsão GARCH aplicado às séries do modelo gerador GARCH significa que a previsão de variância pelo modelo GARCH, nesas séries, apresenou (em média) um erro equivalene a 19% do erro do modelo ingênuo, ou seja, houve uma redução média de 81% do erro, em relação ao modelo ingênuo. Observe-se, na abela 7, que somene o GARCH e o EGARCH apresenaram erro de previsão médio mínimo, quando modelo gerador e esimador eram o mesmo, ou seja as séries geradas por AM.EXPO e por VE foram, em média, melhor esimadas por ouros modelos que não o gerador. Noe-se ambém que as séries geradas por VE iveram erros de previsão relaivamene alos, para odos os modelos esimadores, o que significa que nenhum deses modelos conseguiu capurar a dinâmica da variância condicional desa séries. No geral, noa-se o bom desempenho dos modelos esimadores GARCH e EGARCH, com erros baixos nas suas séries e ambém nas dos ouros modelos. O modelo de AM.EXPO ficou um pouco pior, nese criério, e o de VE novamene desacou-se negaivamene. 5 COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS Na apresenação dos resulados, na seção 4, já foi comenado que os modelos esimadores GARCH e EGARCH iveram um melhor desempenho que o de AM.EXPO, especialmene quano à ausência de auocorrelação nos resíduos ao quadrado e quano aos erros de previsão. O modelo de VE eseve sempre pior que os demais. As abelas a seguir mosram um resumo dos resulados, separando os casos em que há coincidência de modelo gerador e esimador dos casos em que não há. Na abela 8 esão os casos em que há coincidência, ou seja onde cada modelo esimador enconra a siuação mais favorável. Para normalidade e auocorrelação dos resíduos ao quadrado esão apresenados os valores p, enquano que para erro de previsão apresenam-se os erros relaivos ao modelo ingênuo. Os valores são as médias para as nove séries. GARCH AM.EXPO EGARCH ESTOCÁSTICO NORMALIDADE SÉRIE ORIGINAL CORRELAÇÃO SÉRIE ORIGINAL ERRO DE PREVISÃO MOD.INGÊNUO Tabela 8: resulados dos modelos esimadores aplicados às séries geradas por eles mesmos Pode-se noar na abela que o maior valor p (o melhor resulado de cada linha esá em negrio) para o ese de normalidade ficou com o modelo de AM.EXPO, para correlação ficou com o modelo VE e o GARCH apresenou erro de previsão de apenas 19% do modelo ingênuo. A baixa auocorrelação do modelo VE é conseqüência de as séries originais VE não apresenarem auocorrelação; assim, pode-se considerar que o GARCH eve o melhor resulado (0,55) nese quesio. 56

11 Resumindo, o GARCH foi o melhor modelo esimador, quando havia coincidência de modelo gerador e esimador. Os resulados médios dos modelos esimadores quando aplicados a cada um dos rês modelos geradores diferenes esão apresenados na abela 9. GARCH AM.EXPO EGARCH ESTOCÁSTICO NORMALIDADE SÉRIE ORIGINAL CORRELAÇÃO SÉRIE ORIGINAL ERRO DE PREVISÃO MOD.INGÊNUO Tabela 9: resulados médios dos modelos esimadores aplicados a séries geradas por modelos diferenes. Noa-se que o modelo VE eve a melhor média de valor p para o ese de normalidade, mas apresenou resulados muio ruins nos ouros dois quesios. O EGARCH apresenou melhor média de valor p para auocorrelação, seguido de pero pelo GARCH; esa siuação se repee para erros de previsão, inverendose a ordem de classificação. Resumindo, pode-se considerar que o GARCH e EGARCH foram mais robusos, quando esimaram séries geradas por ouros modelos. Usando os erros de previsão como criério de desempae, o GARCH eve aqui ambém, em média, os melhores resulados. Assim, o GARCH e pode ser considerado como o modelo esimador que melhor se saiu, nos dois casos, nas análises aqui feias. Cabe um comenário quano ao modelo de volailidade esocásica. As séries geradas por VE não foram bem modeladas por nenhum dos modelos (inclusive VE) e inham caracerísicas um pouco diferenes das usuais em séries de reornos. Iso se deve, possivelmene, ao baixo coeficiene (da ordem de 0,5) do ermo auorregressivo do modelo gerador que, na lieraura, cosuma ser da ordem de 0,9 ou mais. O número usado nas simulações foi obido aravés da aplicação, pelos auores, de modelo VE a séries de reornos de ações brasileiras. 6 - CONCLUSÕES Embora as análises realizadas não enham o rigor de um experimeno esaísico, elas dão algumas boas indicações sobre o desempenho dos modelos considerados. Os modelos GARCH e EGARCH, especialmene o primeiro, mosraram uma boa capacidade para modelar a volailidade das séries geradas pelos próprios modelos e mosraram-se robusos, com resulados razoáveis quando o modelo gerador era ouro. O modelo de AM.EXPO ficou num paamar inferior, e o de VE não eve bons resulados. O uso das séries simuladas permiiu uma análise de erros de previsão, que ressalou as vanagens dos modelos da família ARCH. Ese rabalho preendeu mosrar que os modelos (à exceção do de VE) reconhecem as séries geradas por eles mesmos e que, mesmo nas séries geradas por ouros modelos, conseguem reduzir erros de previsão e apresenar resíduos com caracerísicas melhores que as das séries originais. 57

12 Como coninuação desa pesquisa, seria ineressane esar formalmene os ganhos de cada modelo em ermos de resíduos e previsões. Seria ineressane ambém melhorar o ajuse dos modelos de VE: como o programa uilizado na esimação emprega filro de Kalman baseado em resíduos normais, ceramene haveria uma melhora usando função de verossimilhança baseada na verdadeira disribuição dos resíduos. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: Calvano, J. A., Cosa, P. H. S. e Baidya, T. K. N., Modelos de volailidade: esimação com parâmeros variáveis no empo, anais do II Enconro Brasileiro de Finanças, Rio de Janeiro (00) Cosa, P. H. S., Séries de reornos de ações brasileiras: volailidade e valor em risco, ese de douorado, PUC-Rio, Dep.Engenharia Indusrial (001) Herencia, M. Z., Hoa, L. K., e Pereira, P. L. V., Filragem e previsão com modelos de volailidade esocásica versus GARCH, Revisa Brasileira de Economia, 5(), (1998) Issler, J. V., Esimaing and forecasing he volailiy of Brazilian finance series using ARCH models, Revisa de Economeria, 19(1), 5-56 (1999) Morais, I. A. C. e Porugal, M. S., Modelagem e previsão de volailidade deerminísica e esocásica para a série de IBOVESPA, Esudos Econômicos IPE/USP, 9, (1999) Pereira, P. L. V., Hoa, L. K.,Souza, L. A. R. e Almeida, N. M. C. G., Alernaive models o exrac asse volailiy: a comparaive sudy, Revisa de Economeria, 19(1), (1999) Ziegelman, F. A. e Pereira, P. L. V., Modelos de volailidade esocásica com deformação emporal: um esudo empírico para o IBOVESPA, Pesquisa e Planejameno Econômico (IPEA), 7, (1997) 58