6 Análise do processo de filtragem

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1 6 Análise do processo de filragem Ese capíulo analisa o processo de filragem para os filros de Kalman e de parículas. Esa análise envolve ão somene o processo de filragem, não levando em consideração o processo de oimização para esimação de parâmeros. Desa forma, preende-se analisar os resulados sem a inerferência de qualquer algorimo de oimização. Serão realizadas duas análises: a primeira considera os dados sob condições ideais e foi denominada análise com dados arificiais e a segunda uiliza os dados reais de mercado. O capíulo esá assim organizado: a primeira seção apresena os conceios gerais dos filros de Kalman e de parículas; a segunda seção raa da análise com os dados arificiais; a erceira seção apresena a análise com dados reais de mercado e a úlima seção apresena o conceio de amanho efeivo da amosra, uma propriedade específica do filro de parículas. 6.1 Os filros de Kalman e de parículas O filro de Kalman é um conjuno de equações maemáicas que consiui um processo recursivo eficiene de esimação uma vez que o erro quadráico é minimizado. Aravés da observação da variável denominada variável de observação oura variável, não observável, denominada variável de esado pode ser esimada eficienemene. Podem ser esimados os esados passados, o esado presene e mesmo previso os esados fuuros. Uma vez que o modelo esá escrio na forma espaço-esado, o filro de Kalman (FK) pode ser aplicado. O FK clássico é aplicável quando a equação de observação é linear em relação aos esados e quando os esados e observação são condicionalmene Gaussianos. A perda da linearidade da equação de observação pode ser conornada aravés do filro de Kalman esendido (FKE). O FKE raa a não linearidade da equação de observação linearizando-a aravés da expansão em série de Taylor. A não Gaussianidade implica que uma solução analíica fechada não pode ser obida,

2 Análise do processo de filragem 97 decorrendo enão soluções numéricas, compuacionalmene muio inensas e muias vezes inviáveis. Aplicando-se o filro de Kalman clássico ao caso não Gaussiano o valor esimado para as variáveis de esado não fornece a média condicional do veor de esado. Enreano, o valor esimado pelo filro de Kalman ainda é o esimador (da variável de esado) que minimiza o erro quadráico médio (veja em Harvey (1989) capíulo 3, seção 3..3). O filro de parículas (FP) é um procedimeno recursivo para inegração, perencendo a classe dos méodos seqüenciais de Mone-Carlo. Os méodos seqüenciais de Mone-Carlo são paricularmene ineressanes para o cálculo de disribuições a poseriori, iso é, das disribuições das variáveis de esado dada a ocorrência de y (variável de observação). Os méodos seqüenciais de Mone- Carlo dispensam as condições de Gaussianidade e linearidade do modelo, e ainda possuem adequadas condições de convergência. Eles abrangem os méodos que apareceram na lieraura sob as denominações de filros boosrap (FPB), filro de parículas (FP), filro de Mone-Carlo, denre ouros. O filro de parículas baseiase na disribuição por imporância a qual é definida como sendo a disribuição a priori. Infelizmene o processo degenera-se quando o empo cresce, e não se consegue a disribuição a poseriori. Uma eapa adicional é acrescida para viabilizar o procedimeno. Traa-se da amosragem com reposição repeidas vezes. As parículas amosradas que são pouco represenaivas denro da disribuição são reiradas do processo e as parículas sobrevivenes represenam a disribuição. Esa mesma disribuição é usada como base para o prosseguimeno do méodo em cada insane de empo. Os modelos desa pesquisa são odos lineares, iso é, a equação de observação é uma função afim das variáveis de esado. Com relação a Gaussianidade exisem resrições com relação ao uso do FK em odos os modelos. O Modelo Básico e o Modelo Primeira Exensão são condicionalmene Gaussianos em relação à observação e em relação aos esados. Os modelos Segunda Exensão e Terceira Exensão não são condicionalmene Gaussianos pois a inclusão do processo de Poisson, faz com que as disribuições das variáveis de esado sejam não Gaussianas.

3 Análise do processo de filragem Análise com dados arificiais Como foi dio aneriormene, a análise do processo de filragem foi realizada em dois eságios disinos. O primeiro eságio raou o problema como um caso ideal. A variável de observação foi criada arificialmene. Desa forma foi amplamene aendida a condição de Gaussianidade do modelo para o uso do FK, inclusive o ermo referene ao ruído das observações. No segundo eságio da análise, os dados observados são os preços reais de mercado. O modelo usado para fazer a análise do processo de filragem foi o Modelo Básico (Schwarz e Smih (000)). Reescrevemos o modelo abaixo. ln( S ) = + ξ (87) Nesa equação o logarimo do preço à visa é a soma dos desvios de curo prazo ( ) com os preços de equilíbrio ( ξ ). Esas duas variáveis são os esados não observáveis, por conseguine S é não observável. A primeira variável de esado possui a seguine equação de ransição: d = k d + σ dw (88) A segunda variável de esado é descria pela equação de ransição: dξ = µ d + dw (89) ξ σ ξ ξ Ainda emos que dz dz ξ = ρd, onde ρ represena a correlação enre as variáveis de esado. A equação de observação é dada por: k ( τ ) ln( Fτ, ) = e + ξ + A( τ ) (90) onde: A( τ ) = µ ( τ ) * ξ k ( τ ) ( 1 e ) λ k k σ ( τ ) k ( τ ) ( 1 e ) + σ ( τ ) + ( 1 e ) ρσ σ 1 ξ + ξ k k Considerando os parâmeros do modelo como aqueles em Schwarz e Smih (000), os preços fuuros (variável de observação) foram gerados arificialmene. Os parâmeros uilizados são: k = 1, 49 ao ano, σ = 8,6% ao ano, λ = 15,7% ao ano, µ ξ = 1,15% ao ano, σ ξ = 14,5% ao ano e ρ = 0, 30 ao ano. Primeiramene as equações (88) e (89) serão discreizadas abaixo:

4 Análise do processo de filragem 99 = 1 k ) ( + ε (91) 1 ξ = µ υ ξ + ξ 1 + (9) onde ε ~ N(0, σ ) e υ ~ N(0, σ ) sendo ρ a correlação enre as duas disribuições padronizadas e ε semana ou 1/5 anos). Ainda pode-se escrever 1 que σ k ( 1 e ) ε = Var( ) = υ o inervalo de empo usado na discreização (uma σ k A equação das observações é dada por τ, k ( τ ) e σ υ = Var( ξ ) = σ ξ y = ln(f ) = e + ξ + A( τ ) + u (93) onde u ~ N(0, σ u ) represena os erros nas observações que são descorrelacionados dos erros das equações de ransição (91) e (9). Esa parcela esá relacionada ao erro oriundo do regisro das observações, provavelmene devido à fala de sincronismo das coações. Foram gerados simulaneamene T ( T = 000 ) ruídos Gaussianos para ε, υ e u, de al modo que os dois primeiros ruídos são correlacionados, conforme mencionado acima, e descorrelacionados do erceiro ruído. Em cada uma das rês séries geradas foram realizados os eses esaísicos para verificação da adequabilidade dos dados gerados. Foram realizados os eses de normalidade de Jarque-Bera e Anderson-Darling, aceiando-se a hipóese nula de normalidade. O correlograma com a FAC (Função de Auo-Correlação), FACP (Função de Auo-Correlação Parcial) e com a esaísica Ljung-Box (esaísica Q) indicam que os dados são não correlacionados. O ese de independência BDS (Brock-Decher-Sheinkman), realizado em espaço de dimensão oio, indica aceiação da hipóese nula de independência dos ermos da série. Além disso, as séries dos resíduos das variáveis de esado esão correlacionadas, enquano a correlação desas mesmas séries com a série dos ruídos da variável de observação é baixíssima. Foram realizados os eses de igualdade da média com o valor zero para as rês séries, e em odos os casos foi aceia a hipóese nula de igualdade. 1 Veja em Øksendal (000) ou Mikosch (000), denre ouros, a solução de equações diferenciais esocásicas como é o caso da equação de Ornsein-Uhlenbeck (equação de Langevin).

5 Análise do processo de filragem 100 Porano, os valores gerados arificialmene para os ruídos são adequados às premissas requeridas. A eapa seguine foi calcular para cada insane de empo as variáveis de esado a parir de valores inicias ( ξ0 ) (0, 3,). Para al, foram usadas as 0 = equações discreizadas (91) e (9), bem como os ruídos gerados acima. Foi calculado o ermo A( τ ). Enão, de posse dos valores calculados para as variáveis de esado e do ruído das observações, foi calculado, em cada insane de empo, o valor da variável de observação para o primeiro conrao fuuro. A Figura 1 mosra uma das possíveis rajeórias para o primeiro conrao fuuro. Os dados arificiais, assim gerados, serão os dados de enrada para o processo de filragem. Eles serão uilizados nos FK e FP. Será feia somene a filragem dos dados pelas duas meodologias. Por enquano não haverá esimação de parâmeros por nenhum algorimo. O objeivo, aé o momeno, é ão somene de analisar os dois processos de filragem das observações. A Figura mosra o preço do primeiro conrao fuuro (F1), gerado arificialmene, que serviu como dado de enrada para os dois filros. Esa é a variável de observação que será filrada. A filragem esimará a duas variáveis de esados e ξ, por cada meodologia. Também será obido o sinal de observação filrado. Serão avaliados os erros enre o sinal observado e aquele gerado em cada meodologia de filragem. A variável de observação mosrada na Figura foi inroduzida no filro de Kalman e, junamene com os mesmos parâmeros uilizados na sua geração, foi rodado o filro. A saída fornece as variáveis de esado esimadas junamene com a variável de observação filrada. A Figura 3 mosra os preços do primeiro conrao fuuro para a variável de observação e para a variável filrada. As duas curvas esão praicamene sobreposas. A correlação medida enre as duas variáveis é 0,9915. Qualiaivamene o resulado é basane saisfaório, pois a variável resulane do filro esá bem aderene aos movimenos da variável observada. Foram realizados eses esaísicos nos resulados produzidos pelo FK.

6 Análise do processo de filragem 101 Figura 1 Uma das possíveis rajeórias de preços gerada arificialmene Figura Variável de observação uilizada nos filros de Kalman e de parículas

7 Análise do processo de filragem 10 Figura 3 Variável de observação e a variável de observação pelo FK O erro (ruído) da variável de observação foi analisado para a verificação das propriedades de sua disribuição. Foram realizados os eses de normalidade Jarque-Bera e Anderson-Darling e em ambos aceia-se a hipóese nula de normalidade. A FAC e a FACP, juno com a esaísica Q, mosram que os dados são não correlacionados. O ese BDS, realizado em espaço de dimensão seis, mosra foremene a aceiação da hipóese nula de independência. O mesmo procedimeno foi realizado em relação ao filro de parículas. Ou seja, usando a mesma variável de observação anerior e os mesmos parâmeros, fez-se a filragem com o FP, obendo-se a resposa que esá na Figura 4. A análise qualiaiva mosra uma grande aderência enre as duas séries. A correlação medida enre as duas variáveis é de 0,9909. Os mesmos eses esaísicos foram conduzidos na série do ruído da variável de observação. Os resulados foram os mesmos.

8 Análise do processo de filragem 103 Figura 4 Variável de observação e a variável de observação filrada pelo FP Foram realizadas análises quaniaivas usando rês diferenes medidas de erro: RMSE, MAE e MAPE. onde T (Fo Ff ) = 1 RMSE = T (94) T Fo Ff MAE = (95) T = 1 T 1 Fo Ff MAPE = (96) T F = 1 o F o significa o valor da variável de observação no insane e F f o valor da variável de observação filrada no mesmo insane. A primeira medida RMSE é a raiz do erro quadráico médio, a segunda medida, MAE, é o erro absoluo médio e a erceira medida, MAPE, é o erro absoluo percenual médio. Foi verificado o erro enre a variável observada e a variável filrada por cada uma das meodologias - FP e FK. Nos dois casos mosrados nas curvas das Figuras 3 e 4 os valores iniciais para as disribuições das variáveis de esados foram os mesmos, iso é

9 Análise do processo de filragem 104 ˆ 0 x 0 = ( 0, ξ ) e P 0, com 0 = 0, e ξ 0 = 3,. O FK é a solução exaa onde odas as disribuições são Gaussianas. A média e variância iniciais definem a disribuição normal inicial uilizada no algorimo do FK. No FP ambém foi uilizada uma disribuição normal como disribuição inicial. A média e a variância foram as mesmas do FK. Foram realizadas simulações com amosras reiradas desa disribuição inicial. Cada amosra reirada é um experimeno que represena a disribuição inicial. Porano, para o FP foram realizados diversos experimenos. No primeiro caso foram exraídas 100 amosras para represenar a disribuição inicial e cada uma delas gerou uma simulação com uma filragem. Cada um deses experimenos origina um resulado como o apresenado na Figura 4. No segundo caso foram realizados 500 experimenos. Foram calculados os erros em cada caso, ou seja, foram calculadas as médias dos 100 e dos 500 experimenos. Os resulados obidos esão mosrados na Tabela 1. RMSE MAE MAPE (US$/bbl) (US$/bbl) (%) Filro de Kalman 0,9954 0,7639,5849 Filro de parículas (100) 1,0406 0,7917,6803 Filro de parículas (500) 1,040 0,791,6780 Tabela 1 Erros na variável de observação com as duas meodologias de filragem Na Tabela 1 o FK mosra o erro comeido na solução exaa. O algorimo do FP de parículas fornece a solução numérica e cada número da abela represena a média do erro para o caso de 100 experimenos e 500 experimenos. Os resulados mosram que a solução numérica esá bem próxima da solução exaa. O empo compuacional requerido para cada experimeno da solução numérica (FP) é de aproximadamene 6 segundos, com a uilização de 00 parículas. Na solução exaa (FK) os resulados são imediaos. A Figura 5 mosra a evolução dos erros (RMSE), usando o FP, para o caso de 100 experimenos. Uma linha azul é a referência para o erro comeido usando o FK.

10 Análise do processo de filragem 105 Figura 5 Erros (RMSE) da simulação com 100 experimenos usando o FP Se ao invés de 00, fossem usadas 1000 parículas, os erros seriam menores. A Tabela mosra a média dos erros para o caso de 100 experimenos, usando 1000 parículas. Nese caso, cada experimeno consumiu 13 segundos de empo compuacional, aproximadamene. RMSE MAE MAPE (US$/bbl) (US$/bbl) (%) Filro de Kalman 0,9954 0,7639,5849 Filro de parículas (100) 1,0133 0,776,665 Tabela Erros na variável de observação usando 1000 parículas no FP A Tabela 3 resume os erros medidos pelo RMSE e os empos compuacionais despendidos à medida que o número de parículas é variado, para simulações com 100 experimenos.

11 Análise do processo de filragem 106 Número de parículas RMSE Tempo/experimeno (US$/bbl) (segundos) 50 1,140 6, , , ,0489 0, ,0406 6, , ,56 Tabela 3 Erro RMSE e empo em função do número de parículas A Figura 6 mosra a evolução do erro (RMSE) para os diversos experimenos com 1000 parículas. É níida a redução do erro quando se aumena o número de parículas. Não exise um criério definiivo para o número ideal de parículas a ser uilizado. Um procedimeno empírico é conduzir experimenos e observar o nível nos quais os resulados esabilizam-se. Figura 6 Erros (RMSE) para o caso de 100 experimenos usando 1000 parículas A Figura 7 mosra os resulados da Tabela 3 em forma gráfica, evidenciando o comporameno assinóico do erro com o aumeno do número de parículas.

12 Análise do processo de filragem 107 Figura 7 Comporameno assinóico do erro no FP em função do número de parículas Como se raa da análise com dados arificiais, odas as variáveis do modelo foram consruídas sineicamene. Assim, a variável de esado S, preço à visa, pode ser comparada com a respeciva variável filrada. Nesa simulação foram usadas 00 parículas. A Tabela 4 mosra os resulados. RMSE MAE MAPE (US$/bbl) (US$/bbl) (%) Filro de Kalman 1,6 0,9507 3,1735 Filro de parículas (100) 1,395 0,9619 3,115 Filro de parículas (500) 1,413 0,9631 3,149 Tabela 4 Erro na variável de esado S com as duas meodologias Novamene noa-se que o erro obido aravés do FP é basane próximo do erro obido com o FK.

13 Análise do processo de filragem Análise com dados de mercado Nesa seção será mosrada a análise realizada enre as meodologias do FK e FP considerando os dados reais de mercado. A variável de observação é o primeiro conrao fuuro (F1) de peróleo. Desa forma, o modelo é univariado nas observações, pois coném apenas uma variável de observação. Os dados abrangem o período de janeiro de 1985 a abril de 004, omados com freqüência semanal. O amanho da amosra é de 1007 dados. O modelo considerado é o Modelo Básico (Schwarz e Smih (000)), o mesmo da seção anerior. Os parâmeros foram manidos os mesmos e a análise dar-se-á ão somene sob o aspeco da filragem. Adoou-se o mesmo procedimeno anerior. Foram calculadas as rês medidas de erros, al qual descrio nas equações (94), (95) e (96). Ainda da mesma forma, foram realizadas comparações dos erros comeidos. Para o FP foram simulados casos com 100 e 500 experimenos com 00 parículas. A Tabela 5 mosra os resulados. RMSE MAE MAPE (US$/bbl) (US$/bbl) (%) Filro de Kalman 0,54 0,3675 1,6970 Filro de parículas (100) 0,5810 0,3965 1,88 Filro de parículas (500) 0,581 0,3963 1,879 Tabela 5 Erros na variável de observação preços do conrao F1 Foram realizados os eses de Jarque-Bera e Anderson-Darling na série de resíduos das observações. Em ambos rejeia-se a hipóese nula de normalidade dos dados. Iso significa que o uso de observações reais de mercado produziu resíduos não Gaussianos. Embora não se enha o objeivo de comparar os resulados dos dados arificiais com os dados de mercado, cumpre ressalvar um aspeco com relação à magniude dos erros obidos nos dois casos. Observa-se que com dados arificiais o erro foi superior do que com dados de mercado. Deve-se iso simplesmene ao fao de que o desvio padrão do ruídos das observações que foi uilizado é superior àquele dos dados de mercado. Esas variáveis fazem pare da mariz H conforme descrio na eq. (44) da seção 4.. Ouros experimenos foram realizados em que o

14 Análise do processo de filragem 109 desvio padrão do ruído das observações era menor que àquele com dados reais. Nesa siuação, o erro apresenado pelos dados arificiais foi menor que os de mercado. Também foi realizada a análise do modelo mulivariado, iso é, para mais de uma variável de observação. O modelo foi manido o mesmo. Os parâmeros foram admiidos sem aleração em relação aos casos aneriores. A base de dados de mercado ambém abrange o mesmo período, com a mesma freqüência de amosragem. No enano, a cada leiura são omados os conraos de um a quaro meses à frene. Eses conraos foram denominados F1, F, F3 e F4, respecivamene. Adoou-se o mesmo criério de comparação enre as meodologias. Foram calculados para cada conrao as rês medidas de erro. Também foram realizados experimenos omando-se diferenes amosras para simular a disribuição inicial dos esados no FP. Os resulados permaneceram idênicos aos mosrados acima. Ou seja, o erro comeido na variável de observação usando o FP foi próximo (embora um pouco maior) àquele do FK. Foram realizados os eses de Jarque-Bera e Anderson-Darling nas séries de resíduos das quaro variáveis de observação. Em odos os casos rejeia-se a hipóese nula de normalidade dos dados. Iso significa que o uso de dados reais de mercado gerou resíduos não Gaussianos. 6.4 Tamanho efeivo da amosra e a eficiência do FP Conforme foi explicado aneriormene a implemenação do FP requer que haja uma operação de reamosragem para eviar que haja degeneração do filro. Inuiivamene esa eapa pode ser enendida mediane dois casos disinos. Primeiramene suponha que os pesos das parículas esejam muio dispersos, ou com grande variância, enão deve-se proceder a reamosragem. Oura possibilidade é a ausência de dispersão ou pequena variância. Nese caso não há necessidade de realizar a reamosragem. Esa operação de reamosragem pode enão ser conrolada aravés do cálculo do amanho efeivo da amosra ( N ) ). Ese amanho efeivo é dado pela eq. (86). Deve-se comparar o amanho efeivo com uma fração do valor da amosra. Esa fração do valor da amosra é dada por eff coef N, onde coef 1. Reamosra-se sempre que Nˆ eff coef N. Quando

15 Análise do processo de filragem 110 coef = 1, sempre ocorrerá a reamosragem. Nese caso o filro esará em sua maior adapaividade ou eficiência. Quando coef é baixo o número de reamosragens é reduzido e a eficiência do filro é baixa. Nese caso, o erro enre a variável observada e filrada ende a aumenar. Foram realizadas simulações onde se variou o valor da eficiência (valor de coef) exercendo, desa forma, um conrole sobre a operação de reamosragem. O objeivo é mosrar o quano afea no erro as variações aribuídas a coef. A Tabela 6 mosra os resulados dos erros das observações (usando os dados arificiais) fazendo a simulação para o caso de 100 experimenos. Cada número da abela represena a média de odos dos experimenos para cada valor de coef. coef RMSE MAE MAPE (US$/bbl) (US$/bbl) (%) 1 1,0406 0,7917,6803 0,6 1,1338 0,947 3,189 0,5 1,3159 1,0896 3,6808 0,4 1,580 1,877 4,3364 Tabela 6 Variação do erro da variável de observação em função do valor de coef Esa propriedade ambém em implicações para o valor da função de verossimilhança. Ese aspeco será raado no próximo capíulo.