2 Os métodos da família X Introdução

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1 2 Os méodos da família X 2. Inrodução O méodo X (Dagum, 980) emprega médias móveis (MM) para esimar as principais componenes de uma série (Sysem of Naional Accouns, 2003): a endência e a sazonalidade. A grosso modo, pode-se dizer que o que sobra é a componene irregular. Esa écnica não uiliza a priori conceios ou modelos sofisicados. As médias móveis empregadas nas esimaivas da endência e sazonalidade são consruídas de al modo que possuam propriedades de conservação da endência, da eliminação da sazonalidade e da redução do ruído. Em versões aneriores ao méodo X, o U.S. Census Bureau uilizava, para esimar a componene de endência, a média móvel formulada por Spencer (904). A parir da formulação do méodo X, Shiskin e ouros (967) adoaram, para esimar a endência, o filro de médias móveis proposo por Henderson (Kenny e Durbin, 982). As médias móveis de Henderson são uilizadas para exrair a endência de uma série já corrigida de sazonalidade, conforme descrio no capíulo 3. Os coeficienes desas médias móveis ou seja, os pesos são fornecidos, para as ordens usuais de médias móveis, pelo U.S. Census Bureau ou pelo Saisics Canada. Enreano, a dedução deses pesos não é enconrada nos manuais do X-ARIMA nem nos da sua versão mais aual, o X2-ARIMA. No esudo elaborado por Ladiray e Quenneville ( ), proposo como um esudo único e compleo sobre o méodo de ajuse X, há um capíulo dedicado a médias móveis, viso serem a base do méodo X. Nele é feia uma referência muio sucina aos fundamenos necessários para a dedução dos filros de Henderson, sendo um pouco obscura a obenção dos pesos, pois apenas são reproduzidas as equações que deerminam os coeficienes e as hipóeses que levam a ela, sem a dedução. Conudo, para as ordens mais uilizadas de médias móveis, é apresenada uma abela com esses coeficienes calculados.

2 3 A mais acessível referência da dedução dos filros de Henderson pode ser enconrada em Kenny e Durbin (982). No anexo desse rabalho são enconradas as hipóeses que levam à dedução dos coeficienes e condições para que seja possível chegar a equação geradora deses coeficienes, embora sem a dedução dealhada. A idéia de Kenny e Durbin não é a única maneira de ober ais coeficienes. Exisem pelo menos rês formas de deerminá-los, como mosrar-se-á no capíulo O méodo X 2.2. Um brevíssimo hisórico Macauley, em 930, inroduziu o méodo de médias móveis para ajusar sazonalmene uma série. Ese méodo consise em rês eapas:. Cálculo das componenes sazonais para cada mês da série emporal uilizando razões do valor de cada mês para uma média móvel cenrada de quaro meses (se a série é mensal), chegando assim aos 2 índices sazonais. 2. Esimação da endência usando um polinômio linear ou de grau mais elevado. 3. Divisão da média móvel pela esimaiva de endência, para ober a esimaiva da componene cíclica. Esa decomposição é conhecida como Decomposição Clássica e é o fundameno de muios méodos modernos de decomposição sazonal como o X ARIMA/88. O uso de médias móveis ornou-se difundido, pois percebeu-se que não seria possível definir uma equação maemáica que especificasse uma forma funcional para a endência por causa das fluuações sazonais e erráicas.

3 Um algorimo simples de ajuse sazonal Seja uma série mensal Y. Admia que esa série possa ser decomposa em uma componene de endência-ciclo, T, uma componene sazonal, S, e uma componene irregular, I segundo um esquema adiivo: Y T S I. Um algorimo de ajuse sazonal baseado nas idéias de Macauley seria:. Esimação da endência-ciclo por média móvel: M ( ) T 0 Y. A média móvel escolhida deverá reproduzir da melhor maneira possível a componene de endência-ciclo e, ao mesmo empo, eliminar a componene sazonal e reduzir ao máximo a componene irregular. 2. Esimação da componene sazonal-irregular: Y T S I mês: 3. Esimação da componene sazonal por meio de médias móveis sobre cada ( ) S M S I e ( S I ) S I Nesa esa eapa raa-se de amorecer a componene sazonal-irregular de cada mês para exrair o coeficiene sazonal mensal. A média móvel empregada nesa eapa deverá reproduzir o melhor possível a componene sazonal de cada mês reduzindo ao máximo a componene irregular. Nesa eapa ambém se impõe a normalização dos coeficienes sazonais esimados impondo que a soma deles seja nula. 4. Esimação da série ajusada sazonalmene. A Y S Uma das dificuldades dese algorimo é selecionar as médias móveis uilizadas nas eapas e 3, ou seja, M 0 ( Y ) e M ( S I ).

4 O algorimo de base do méodo X O algorimo X uiliza o algorimo descrio na seção anerior uilizando médias móveis cuidadosamene escolhidas e refinando pouco a pouco as esimaivas das componenes aravés das ierações do algorimo. Pode-se definir o algorimo de base do méodo X dizendo que ese corresponde ao duplo uso seqüencial do algorimo expliciado variando cada vez as médias móveis uilizadas. Para uma série mensal, as oio eapas do algorimo são esquemaizadas a seguir: Eapa. Esimação da endência-ciclo com uma média móvel: A média móvel uilizada nesa eapa é uma média móvel cenrada de 2 meses chamada de MM2X2, iso é uma dupla média de 2 ermos. Esa média móvel uiliza 3 meses e os coeficienes são: {, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, } 24 Por exemplo, a MM2x2 para o mês de julho de 99 é calculada da seguine maneira:. jan9 fev9 L dez9 fev9 mar9 L MM 2x jan 9 2( fev9 mar9 L dez9) jan92 24 jan92 Enão pode-se escrever: T Y 24 Y 2 6 Y 2 Y Y 2 Y Y 2 Y Y 2 Y Y 2 Y Y

5 34 Esa média móvel conserva as endências lineares, elimina a sazonalidade consane de ordem 2 e minimiza a variância da componene irregular, esas propriedades serão abordadas no próximo capíulo 5. Noe que já na primeira eapa perdemos os 6 primeiros e os 6 úlimos ermos da série. ( ) ' T M 2X2 Y Eapa 2. Esimação da componene sazonal-irregular: Y T ' S I Eapa 3. Esimação da componene sazonal com uma média móvel (MM3X3) sobre cada mês. Nesa eapa é uilizada uma ripla média móvel de rês ermos chamada de MM3x3, de coeficienes {, 2,3, 2, } 9 Essas médias móveis sazonais são calculadas sobre o mesmo mês em anos consecuivos. O méodo permie uilizar médias móveis de diferenes amanhos para esimar os faores sazonais; essas médias móveis sazonais podem er rês (MMS), cinco (MMS3x3), see (MMS3x5) ou doze ermos (MMS3x9). Por exemplo, para o mês de janeiro de 99 a média móvel sazonal de cinco ermos, que é o padrão, seria: jan89 jan90 jan9 jan90 jan9 jan92 jan9 MMS3x jan89 2( jan90) 3( jan9) 2( jan92) jan93 9 S ˆ jan 89 jan90 jan9 jan Enão pode-se escrever: jan93 SI 24 SI 2 SI SI 2 SI jan92 3 jan93

6 35 As esimaivas dos faores sazonais de séries com menos de 5 anos são obidas por meio de médias de apenas 3 anos. Um problema imporane é o da escolha do número de ermos desa MMS. Se usarmos poucos anos, o padrão de sazonalidade ficará muio sensível às variações conjunurais e irregulares; por ouro lado, se usarmos um número muio grande de anos, poderemos camuflar uma aleração de padrão sazonal. Noe que não será possível calcular os primeiros 24 e os úlimos 24 meses uilizando esa média móvel. Aqui, pela primeira vez no algorimo, enram as médias móveis assiméricas. ' 3X 3( S I ) ' S M Os coeficienes sazonais esimados são normalizados de modo que a soma dos coeficienes sazonais para odo período de 2 meses seja (caso muliplicaivo) ou zero (caso adiivo); a soma dos faores sazonais, no caso adiivo, é nula ou, o produo dos faores sazonais, no caso muliplicaivo, é ; iso orna a soma dos valores da série, ajusada sazonalmene durane o ano, igual a soma dos valores da série original. Para iso, calcula-se a média móvel cenrada de 2 ermos dos faores preliminares enconrados na eapa anerior. Para ober os ponos iniciais e finais da média, repia a primeira (úlima) média móvel enconrada e repia 6 vezes. Diminua os faores sazonais preliminares esimados no início dessa eapa pela média móvel cenrada de 2 ermos e obenha a primeira esimaiva da sazonalidade. ~ S ' S ' M 2X2 ' ( S ) Eapa 4. Esimação da série corrigida de variações sazonais. A primeira esimação da série corrigida de variações sazonais é obida fazendo: ' ~ A Y ' S O méodo X execua mais uma vez ese algorimo.

7 36 Eapa 5. Esimação da endência-ciclo com uma média móvel de Henderson de 3 ermos '' T H 3 ' ( A ) As médias móveis de Henderson aplicadas à série preliminarmene ajusada funciona muio bem já que na primeira esimação da série corrigida de sazonalidade espera-se que a componene sazonal não exisa ou seja muio pequena. Essas médias êm o poder de amorecer e conservar as endências localmene polinomiais de segundo grau 5. Eapa 6. Esimação da componene sazonal-irregular Y T '' ( S I ) '' Eapa 7. Esimação da componene sazonal com uma média móvel 3X5 sobre cada mês Geralmene a média móvel uilizada nesa eapa é de 7 ermos, chamada 5 MM3 X 5, de coeficienes {,2,3,3,3,2, } '' 3X 5 ( S I ) '' S M, que conserva as endências lineares. Os coeficienes são normalizados do mesmo modo que descrio na eapa 3. ~ '' S S '' M 2X2 ( S '' ) Eapa 8. Esimação da série corrigida de variações sazonais. '' ~ '' A Y S Apresena-se a seguir um exemplo uilizando uma série real da economia brasileira, a série do indicador de produção física da indúsria brasileira no período de janeiro de 985 a janeiro de Ese indicador em periodicidade 5 Mosra-se, a seguir, que a média móvel de Henderson é simérica e conserva as endências localmene polinomiais de erceiro grau.

8 37 mensal e é produzido pela COIND Coordenação da Indúsria do IBGE. Os Gráficos 2. a 2.5 ilusram a primeira passagem no algorimo descrio. Série Original jan/85 jan/86 jan/87 jan/88 jan/89 jan/90 jan/9 jan/92 jan/93 jan/94 jan/95 jan/96 jan/97 jan/98 jan/99 jan/00 jan/0 jan/02 jan/03 Gráfico 2. Série original indicador de produção física da indúsria brasileira 985 a Série Original e primeira esimaiva da endência jan/85 jan/86 jan/87 jan/88 jan/89 jan/90 jan/9 jan/92 jan/93 jan/94 jan/95 jan/96 jan/97 jan/98 jan/99 jan/00 jan/0 jan/02 jan/03 Gráfico 2.2 Série original e primeira esimaiva da endência indicador de produção física da indúsria brasileira 985 a 2003.

9 38 Primeira esimaiva da endência e da sazonalidade Gráfico 2.3 Primeira esimaiva da endência e da sazonalidade indicador de produção física da indúsria brasileira 985 a Tendência: as duas primeiras esimaivas Média móvel 2X2 Henderson Gráfico 2.4 As duas primeiras esimaivas da endência indicador de produção física da indúsria brasileira 985 a Sazonalidade: as duas primeiras esimaivas Média móvel 3X3 Média móvel 3X5 Gráfico 2.5 As duas primeiras esimaivas da sazonalidade indicador de produção física da indúsria brasileira 985 a 2003.

10 39 As médias móveis, por serem um operador linear, funcionam mal na presença de valores aípicos. O méodo X incorpora ao algorimo acima uma ferramena de deecção e correção de valores aípicos. Por ouro lado, além da sazonalidade, exisem ouros efeios que podem ocorrer denro do ano e que explicam ceras variações consanes em uma série. Os mais comuns deses efeios são ligados ao calendário: o efeio de dias úeis, o efeio da Páscoa e de ouros feriados móveis ec. Esas componenes são esimadas com a componene irregular por modelos de regressão linear (Findley, 998). Como descrio aneriormene, o algorimo produz rês esimaivas da componene irregular: - Na eapa 3, reira-se a esimação da componene sazonal da esimaiva da componene sazonal-irregular obida na eapa 2. O X uilizará esa esimaiva da componene irregular para deecar e corrigir os valores aípicos, a fim de ober uma esimaiva mais confiável da componene sazonal. - Na eapa 7, reira-se a esimação da componene sazonal da esimaiva da componene sazonal-irregular obida na eapa 6. O X uilizará novamene esa esimaiva da componene irregular para deecar e corrigir os valores aípicos a fim de ober uma esimaiva mais confiável da componene sazonal. - Na eapa 8, reirando da série corrigida de sazonalidade, a esimaiva da componene de endência-ciclo obida na eapa 5. O X uiliza esa esimaiva da componene irregular para calcular a componene de dias úeis, empregando um modelo de regressão linear, que esá descrio no anexo, deecar e corrigir os valores aípicos com a mesma finalidade anerior: ober uma esimaiva mais confiável da componene sazonal. O X procede de forma ieraiva à esimaiva dos diversos componenes da série, levando em consideração a presença evenual de ponos aípicos da seguine maneira: esima as componenes; procura os valores aípicos e/ou os efeios de calendário; esima os componenes desa série corrigida; busca os efeios na componene irregular e assim por diane. O aplicaivo X apresena see eapas de raameno nomeadas de A, B,..., F e G. O algorimo descrio aneriormene é empregado nas eapas B, C e D.

11 40 Eapa A Esa eapa permie que o usuário realize uma correção a priori, na série, inroduzindo os coeficienes do ajuse. O usuário pode inroduzir coeficienes de ajuse mensais ou rimesrais que permiam corrigir o efeio de ceros feriados ou, ainda, modificar o nível da série em função, por exemplo, de uma greve. Esa eapa não é obrigaória. Eapa B Primeira correção auomáica da série; esa eapa consise em uma primeira esimação e correção dos valores aípicos e dos efeios dos dias rabalhados. Esa esimação é realizada aplicando-se o algorimo descrio aneriormene. Nesa eapa, o aplicaivo produz cerca de 20 abelas, sendo que as duas úlimas represenam a esimaiva dos efeios dos dias rabalhados e os valores de correção dos ponos considerados aípicos que servem para corrigir a série original. Dese modo é iniciada a eapa C. Eapa C Segunda correção auomáica da série; aplica-se o mesmo algorimo da eapa B. Nesa eapa é produzida uma esimaiva mais consisene dos dias rabalhados e dos valores de correção dos possíveis valores aípicos. Do mesmo modo que na eapa anerior são produzidas cerca de 20 abelas. A série final é limpa dos efeios e a eapa seguine é iniciada. Eapa D Ajuse sazonal; nesa eapa é aplicado o ajuse sazonal propriamene dio. Pela úlima vez o algorimo básico é uilizado. A componene sazonal, a componene de endência, a componene irregular e a série ajusada sazonalmene são deerminadas nessa eapa. Eapas E, F e G - Esaísicas e gráficos. A qualidade do ajuse é verificada nesas eapas por meio de eses esaísicos, de medidas de qualidade e de gráficos. Mais adiane a eapa B será minuciosamene dealhada. A uilização de médias móveis causa alguns problemas no raameno dos dados no início e no fim da série. Para conornar ese problema, Dagum (975) propôs a uilização de modelos ARIMA para esender a série e, assim, ornar mais esáveis as esimaivas. O modelo desenvolvido recebeu o nome de X-ARIMA. Aconece

12 4 que, se a série possui valores aípicos, rupuras de níveis ou consideráveis efeios de calendário, a modelagem pode não ser ão robusa como a desejada. Para conornar ese problema, o aplicaivo X-ARIMA rabalha de maneira ieraiva. Primeiro a série passa por odo o algorimo para que seja deecado qualquer um dos efeios acima. Depois de a série ser corrigida deses efeios, ela é modelada por um modelo ARIMA, para que seja realizado um prolongameno na série (previsão). Com esa série esendida, é aplicado novamene o algorimo X. Na Figura 2. é mosrado o esquema simplificado do funcionameno do méodo. Figura 2. Esquema simplificado de funcionameno do méodo X.

13 42 O mais novo desenvolvimeno dese algorimo é o X2-ARIMA, ilusrado na Figura 2.2, que se baseia no mesmo princípio, mas possui um módulo chamado de Reg-ARIMA que permie corrigir a série inicial dos efeios indesejáveis anes do ajuse sazonal. Esa esimação é realizada aplicando-se modelos ARIMA de regressão de erros. Figura 2.2 Esquema de funcionameno do méodo X2-ARIMA adapado de Findley e ouros (998). A meodologia do procedimeno X2-ARIMA esá descria em Findley e ouros (998). Na caixa superior há uma sub-roina de modelagem Reg-ARIMA 6 6 O X2 ARIMA pode esimar modelos Reg-ARIMA de ordem (p,d,q) (P,D,Q)S para y. Tais modelos são da forma: s d s D s φ p ( B) Φ P (B )( B) ( B ) y τ βix i θq (B) Θ Q (B ) a i sendo By y ; s correspondendo ao período sazonal, s 4 ou s 2; os polinômios s s φ (z), Φ (z ), θ (z) e Θ (z ) com graus p, P, q e Q, respecivamene, e com ermos p P q Q consanes iguais a. Eses polinômios são consruídos de modo que as raízes de

14 43 (Findley, 998) que faz ajuses preliminares para vários efeios e previsões para frene e para rás. A caixa final do esquema acima represena um conjuno de roinas de diagnósicos pós-ajusameno que podem ser usados para ober indicadores de eficiência ano na modelagem quano no ajusameno sazonal escolhido por exemplo o diagnósico sliding spans para uma dada série é obido aravés do ajuse sazonal de vários painéis, seleciona-se um painel inicial e procede-se ao ajuse. Enão um segundo painel é obido suprimindo-se as informações do ano mais anigo que consa no primeiro painel e adicionando-se as informações do ano imediaamene seguine ao úlimo ano do primeiro painel e ajusa-se esa nova série. Um erceiro painel é obido da mesma maneira que o segundo painel, e, se os dados permiirem, ambém um quaro painel é consruído e os ajuses realizados são comparados. As chamadas esaísicas M são medidas que irão compor a esaísica Q (comparação global). Esas esaísicas já esavam implemenadas no procedimeno X-ARIMA e são medidas empíricas com valores enre 0 e 3. Elas são padronizadas de modo que sua região de aceiação varia enre 0 e e a região de rejeição varia enre e 3. s θq(z) e Θ Q (z ) enham módulos maiores que ou iguais a e que as raízes de s φ p (z) e Φ P (z ) enham módulos maiores do que. Supõe-se que a seja uma seqüência de 2 variáveis aleaórias independenes com média zero e variância σ a. d s D τ ( B) ( B ) (y βix i ) i s φ p B) Φ P (B )w w é uma série emporal esacionária que saisfaz a equação de diferença ( θq (B) Θ reescrever o modelo acima para y como d s D d s D ( B) ( B ) y τ βi{( B) ( B ) x i} i Q s (B ) a. Porano, pode-se Ese é um modelo de regressão com erros w esacionários, auo-regressivo e de médias móveis (ARMA) para y convenienemene diferenciado. Eses regressores resulam da aplicação dos mesmos operadores de diferenças a x i. O modelo acima, juno com a suposição de que as inovações a no modelo para w são independenes e idenicamene disribuídas N(0, σ ), deermina a função de verossimilhança que é maximizada para esimar os coeficienes de regressão 2 s s β i, σ, e os coeficienes de φ p (z), Φ P (z ), θq (z) e Θ Q (z ). O defaul da verossimilhança no X2 ARIMA é exaamene a verossimilhança gaussiana. Para eviar o problema de convergência na maximização numérica (que ocorre raramene), a aproximação da verossimilhança condicional gaussiana definida por Box e Jenkins (976) pode opcionalmene ser usada em vez da verossimilhança exaa. Exise ambém uma erceira opção na qual a verossimilhança é condicional para os parâmeros auo-regressivos e exaa para os parâmeros de média móvel. w 2

15 44 A meodologia de ajusameno sazonal sinalizado no bloco cenral é uma versão melhorada da meodologia do méodo X mas basicamene é a mesma. Desa forma, o procedimeno de ajuse sazonal X será dealhado na seção seguine O passo a passo do méodo X Nesa seção, como em Ladiray e Quenneville (2000/200), dealha-se a eapa B da aual versão do méodo X. Aborda-se apenas o méodo de ajuse sazonal e não se faz referência à modelagem ARIMA uilizada previamene. Esa eapa é desenvolvida no méodo X e os resulados são organizados em abelas, o compromisso aqui é o de mosrar o passo a passo do méodo e, para iso, uilizase um exemplo numérico para ilusrar odas as passagens do algorimo. As eapas C e D do algorimo são basane semelhanes a esa eapa. O programa abaixo permie produzir a maioria das abelas aqui comenadas e em (*) enconram-se as explicações para os principais comandos. * Leiura da série original nese caso é a série é mensal (period2) iniciada em janeiro de 985 (sar985.0) com rês decimais. Para que a série original não seja impressa (prinnone). series {daa(9,864 84, ,894} sar period2 prinnone decimals3 * Definição do modelo muliplicaivo (modemul) e impressão odos os resulados (prinall). X{modemul prin(all)} * Efeua um modelo de regressão linear para verificar a significância dos dias rabalhados (Xregerssion{variabled) e imprima os resulados (prinall) Xregression{variabled prin (all)}

16 45 Nese exemplo, o esquema de decomposição é muliplicaivo, X T S I, e a série ajusada sazonalmene pode ser escria como: X A T I. S Uilizou-se novamene a série do indicador de produção física da indúsria brasileira no período de janeiro de 985 a janeiro de 2003, 8 anos de série. Ese indicador em periodicidade mensal e é produzido pela Coordenação da Indúsria COIND do IBGE. O Gráfico 2. mosra a série original do indicador indusrial brasileiro. O objeivo principal da eapa B é uma primeira deerminação e correção dos ponos aípicos. Também se consrói um ese para verificar se a composição diária do mês é significaiva. Esa eapa compreende a consrução de 20 abelas, que, geralmene, são chamadas de Tabela B, Tabela B2 e assim sucessivamene fazendo alusão à eapa B. A primeira delas mosra a série original ou a série previamene ajusada pelo usuário, a penúlima apresena uma esimação dos dias rabalhados e a úlima apresena os valores de correção dos ponos aípicos (ouliers). A série corrigida deses ponos aípicos e dos efeios de dias rabalhados será rabalhada na eapa C e novamene o algorimo é uilizado. Se nenhum ajuse prévio foi feio, a Tabela B do méodo mosra a série original. Se a série foi ajusada previamene na eapa A, esa abela mosrará a série ajusada previamene. A série original uilizada como exemplo enconra-se na Tabela a seguir:

17 46 Tabela 2. Série original indicador de produção física da indúsria brasileira 985 a 2003 (Tabela B do méodo X). O primeiro passo é a esimaiva inicial da endência que é obida aplicando aos dados da Tabela B uma média móvel cenrada de ordem 2, MM2x2, (para séries rimesrais: ordem 4). Esa média móvel uiliza 2 meses; por exemplo, a MM2x2 (MM2x2; iso é, uma dupla média de 2 ermos) para o mês de julho de 985, é calculada da seguine forma: jan85 fev85 L dez85 fev85 mar85 L jan86 MM 22 x jan85 2( fev85 mar85 L nov85 dez85) jan86 24 Enão, pode-se escrever: { L } T jan fev mar nov dez jan 24 Repare que esa média móvel uiliza 3 ermos da série e os coeficienes são: {, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,}. Os seis primeiros e os seis úlimos ermos 24 não podem ser calculados e nesa eapa não há impuação deses ermos. No caso da série da produção indusrial, o primeiro pono que pode ser calculado é o mês de julho de 985 e o úlimo é o mês de julho de 2002.

18 47 Exemplificando: para o mês de julho de 985, uiliza-se os dados da Tabela B do méodo de janeiro de 985 a janeiro de 986, ou seja, precisa-se de seis ponos aneriores e seis ponos poseriores a julho de 985. A Tabela a seguir mosra a série de endência inicialmene esimada. Tabela 2.2 Tendência indicador de produção física da indúsria brasileira 985 a 2003 (Tabela B2 do méodo X). A parir da série de endência inicialmene esimada a componene de endência é reirada por subração, no caso adiivo, ou por divisão, no caso muliplicaivo para a esimação inicial da componene sazonal-irregular (Tabela B3). B De modo que: B3 B 2 Com os dados do índice de produção física brasileira, emos, para o mês de julho de 985: 09,85 jul ,5 0,57

19 48 Tabela 2.3 Componene sazonal-irregular indicador de produção física da indúsria brasileira 985 a 2003 (Tabela B3 do méodo X). O Gráfico 2.6 mosra a componene sazonal irregular obida na Tabela B3. Ese Gráfico mosra os movimenos de cada mês no período de julho de 985 a julho de A rea represena a média da componene sazonal-irregular em cada um dos meses do ano. Gráfico 2.6 Componene sazonal-irregular de cada mês indicador de produção física da indúsria brasileira 985 a 2003 (Tabela B3 do méodo X). Nesa eapa, realiza-se, com a série sazonal-irregular, um ese para deecar sazonalidade esável. Traa-se de um ese de análise da variância com um faor (Neer e al 985). A seguir, descreve-se a formulação dese ese.

20 49 Dispõe-se de k amosras que são as esimaivas da componene sazonalirregular de cada um dos 2 meses, cujos amanhos são respecivamene: n, n2, L, nk. Cada uma das amosras corresponde a um nível diferene do faor que é represenado pela sazonalidade. Supõe-se que ese faor influencie apenas as médias das disribuições e não as variâncias das mesmas. Traa-se enão de um ese de comparação das k médias x, x2, L, xk. Considerando-se cada amosra exraída de uma variável aleaória problema enão é esar as hipóeses: X j com média m j e desvio padrão σ, o H H 0 : m : m p m 2 m q L m k para pelo menos um par (p,q) A equação de análise de variância é: n 2 2 n 2 j k k j k ( xij x) nj ( x. j x.. ) ( xij x. j ) n i j n j n i j faores sazonais residual A variação oal se decompõe em: variação devida aos faores sazonais e variação residual S S A S B Admiindo-se H 0 como verdadeira: F calc 2 S A ( k ) ~ F, 2 S ( n k) B ( k n k) O criério de decisão é: rejeie H0 para valores de F calc grandes. Ou seja, para valores calculados de calc F maiores que F ( k, n k), deve-se rejeiar a hipóese de igualdade de médias. A rejeição da hipóese nula significa que exise evidência da presença de sazonalidade no modelo. A Tabela B3. do méodo apresena o resulado do ese, conforme Tabela 2.4 com o exemplo realizado a parir dos dados da indúsria.

21 50 Tabela 2.4 Tese da presença de sazonalidade esável (Tabela B3. do méodo X) O p-valor é muio pequeno (4,94E-54), o que leva à conclusão de que se deve rejeiar a hipóese de igualdade de médias. Ao mesmo empo, há evidência de que exisem diferenes padrões sazonais na série do índice de produção física. Noe que nem odas as hipóeses de um ese clássico de análise de variância (Neer, 985) são exigidas, como, por exemplo, a hipóese de inexisência de auocorrelação da componene irregular. O procedimeno seguine consise no cálculo dos valores de subsiuição dos ponos aípicos da componene sazonal irregular, para al, é execuado o procedimeno auomáico de deecção e correção dos ponos aípicos da componene sazonal-irregular. A Tabela B4 do méodo apresena os valores impuados para os casos em que foram deecados valores aípicos. Para se chegar aos valores que compõem esa abela, passa-se por muios procedimenos rabalhosos cujos resulados parciais não são disponíveis nas saídas dos aplicaivos, mas são úeis para o enendimeno da eapa B e são apresenados nas Tabelas 2.5 a 2.. Os passos que levam à série de valores impuados são seis e serão dealhados a seguir. Passo para obenção dos valores a serem implemenados: Esimação da componene sazonal. A componene sazonal é esimada mediane o amorecimeno da componene sazonal irregular. Os valores correspondenes aos meses de janeiro, fevereiro,... são amorecidos por uma MMS3X3. Por exemplo, para o mês de julho de 987, a média móvel sazonal é:

22 5 jul85 jul86 jul87 jul86 jul87 jul88 jul87 jul88 jul89 MMS33 x jul85 2 jul86 3 jul87 2 jul88 jul jul85 jul86 jul87 jul88 jul Os coeficienes dessa média móvel são: {, 2, 3, 2,} 9 Repare que esa média móvel simérica usa 5 meses de 5 anos consecuivos e disinos. Dese modo, não podem ser calculados os coeficienes sazonais para os dois primeiros e os dois úlimos anos. Na série da produção indusrial brasileira, pode-se observar que a primeira esimaiva do faor sazonal será para o mês de julho de 987 e a úlima esimaiva possível será para o mês de julho de Os meses dos anos iniciais e finais falanes são obidos uilizando médias móveis assiméricas. Para o mês de julho de 987, emos: jul 87 08,5 08,59 0,46 06,68, ,0 Para os meses falanes, é necessário uilizar as médias móveis sazonais assiméricas de Musgrave (Ladiray e Quenneville, 2000/200). O quadro a seguir apresena os pesos assiméricos uilizados nesa média móvel sazonal 3X3. Um exemplo da aplicação deses pesos assiméricos é feia a seguir.

23 52 Quadro 2. Coeficienes das médias móveis assiméricas 3X3. Foi o exo elaborado por Ladiray e Quenneville (2000/200) que originou odo esse capíulo. Como descrio inicialmene esse esudo eve a inenção de ser único e compleo sobre o méodo de ajuse X, porém na seção referene aos filros assiméricos é feia a seguine afirmação: "...Os filros assiméricos associados às médias 3X3, 3X5 e 3X9 são apresenados nas abelas...não sabemos como eses filros assiméricos foram calculados e não conhecemos nenhuma publicação cienífica que explique claramene o modo de seleção deses coeficienes...." Ladiray e Quenneville (2000/200), página 46 Eses filros assiméricos eram responsáveis por grande insabilidade no início e no fim da série. Com o aprimorameno do méodo X para o X- ARIMA, as séries são esendidas para a frene e para rás e o efeio deses filros assiméricos é minimizado. Dez anos anes, em Gouvêa (99), página 2, a explicação sobre a obenção deses pesos é parcialmene fornecida. Quando uiliza-se uma MMS3X3, como observado aneriormene, perdem-se os dois primeiros e os dois úlimos anos. Para o mês de julho de 986, eríamos: jul84 jul86 jul85 3 jul86 jul85 jul jul87 jul86 jul87 3 jul88 Como a série uilizada como exemplo começa em 985, é claro que não há o valor de julho de 984. O que se espera enão é que o peso da primeira observação

24 53 disponível (nese caso, julho de 985) enha mais peso ou ainda que as primeiras observações disponíveis enham peso maior. Como a média móvel é sobre rês meses aumena-se o peso deses rês meses mais próximos de julho de 984. jul86 jul85 jul86 3 jul87 3 jul85 jul86 jul85 3 jul86 3 jul87 jul86 jul87 3 jul88 jul86 4 jul85 4 jul86 9 jul87 jul85 jul jul87 jul86 jul87 3 jul88 jul86 7 jul85 7 jul86 4 jul jul86 jul87 3 jul88 7 jul85 0 jul86 7 jul87 3 jul88 jul86 27 Assim, enconram-se os coeficienes obidos no quadro 2.. Os coeficienes para o cálculo da média móvel sazonal do mês de julho de 985 são obidos fazendo: jul85 jul83 jul84 3 jul85 jul84 jul jul86 jul85 jul86 3 jul87 Para o mês de julho de 984 que aparece no cálculo da segunda média móvel, o argumeno é o mesmo uilizado no caso anerior. Faz-se: jul85 jul86 jul87 jul84. 3 Já para a primeira parcela da média móvel, em que dois dos rês ermos são falanes, repee-se o valor da segunda média móvel, e o cálculo fica:

25 54 jul85 jul86 jul87 jul85 jul86 3 jul jul85 jul86 jul87 jul85 jul jul 85 jul86 jul Dese modo, os pesos 5 27,, são enconrados Genericamene, em (Ladiray e Quenneville, ), para filros sazonais 3X3, seja um conjuno de valores de um deerminado mês do ano: Faça: { X, X, X, X X } X X X. n 2, n n n n 2, n 3 3 ( X X X ) n n n n 2 X n 2 n Para filros sazonais 3X5, seja um conjuno de valores de um deerminado mês do ano: Faça: { X, X, X, X, X X } X. X X X X n 3, n 2 n n n n 2, n 3 4 ( X X X X ) n n n n 2 n 3 4 ( X X X X ) n 2 n n n 2 n 3 4 ( X X X X ) n 3 n n n 2 n 3 X n 4 n 3 Ese méodo de cálculo enconra os coeficienes para filros de amanho, 3x3 e 3x5. Quando aplicado a, por exemplo, filro sazonal 3x9, não se conseguia chegar aos pesos de forma precisa.

26 55 Uma aproximação pode ser feia uilizando a formulação de Henderson. Por exemplo, para o mês de julho de 986, o cálculo é: jul 86 08,5 08,59 0, 46 06, 68 06, Para o mês de julho de 985, o cálculo é: 5 jul 85 08,5 08,59 0, 46 07, Dese modo, a Tabela 2.5 é consruída. Esa Tabela apresena um cálculo preliminar da componene sazonal. Tabela 2.5 Faores sazonais provisórios MM3X3. Passo 2 para obenção dos valores a serem implemenados: Normalização dos coeficienes sazonais. Os coeficienes sazonais provisórios são normalizados de al modo que a soma dos faores sazonais do ano seja igual a 0 (no caso do modelo adiivo) e 2 (no caso do modelo muliplicaivo). Para iso se calcula a média móvel cenrada de 2 ermos: M 2X 2. Os seis valores falanes no início e no fim da série são impuados. A impuação é realizada repeindo o primeiro e o úlimo valores

27 56 calculados com esa média móvel. Ou seja, o valor esimado para janeiro de 986 é repeido nos meses aneriores e o valor esimado para janeiro de 2002 é repeido nos meses poseriores. Por exemplo, para o mês de janeiro de 986, o cálculo é: 07,09 07,308,974,7702,9993,08 jan ,5590,7795,0794,4297,0802,04 06, ,55 A Tabela 2.6, a seguir, apresena os resulados da média móvel cenrada de 2 ermos. Tabela 2.6 Média móvel cenrada M 2X 2. Os coeficienes sazonais normalizados são obidos dividindo-se os valores da Tabela 2.5 (faores sazonais provisórios) pelos dados da Tabela 2.6 (média móvel cenrada de 2 ermos). Por exemplo, o mês de julho de 985 é obido: 07,09 jul ,5 00,55

28 57 Tabela 2.7 Faores sazonais preliminares normalizados. Passo 3 para obenção dos valores a serem implemenados: Esimação da componene irregular. Nesa eapa, reiram-se os faores sazonais provisórios (Tabela 2.7) da componene sazonal-irregular esimada na Tabela B3 do méodo. Para iso basa dividir os valores da Tabela B3 pelos valores da Tabela 2.6, por exemplo, com os dados do índice de produção física brasileira, emos, para o mês de julho de 985: 08,5 jul ,55 06,5 Tabela 2.8 Componene irregular esimada.

29 58 Passo 4 para obenção dos valores a serem implemenados: Cálculo do desvio padrão móvel. Calcula-se o desvio padrão móvel da componene irregular a cada inervalo de 5 anos compleos. Cada desvio padrão é associado ao ano cenral do inervalo. Os valores da componene irregular que superam mais do que 2,5 vezes o desvio padrão (em valor absoluo do seu desvio em relação à média eórica 00 da componene irregular) são considerados aípicos e a eses valores são dados pesos nulos. n 2 ( I 00) n i σ 2 A uilização da média eórica 00, em vez da média das observações da componene irregular, jusifica-se por ser a média observada influenciada pelos valores aípicos, o que disorceria o desvio padrão. Quando valores aípicos são deecados, o desvio padrão móvel é calculado novamene, desconsiderando eses valores, o que permie uma esimação mais robusa deses desvios padrões. Para os dois primeiros anos, empregam-se nas comparações os desvios padrões associados ao erceiro ano. De forma análoga, para os dois úlimos anos, consideram-se os desvios padrões associados ao penúlimo ano. Se a série original começa em janeiro de 985 e ermina em janeiro de 2003 (como exemplo), a primeira esimaiva da componene sazonal-irregular começa em julho de 985 e a úlima em julho de Com o X ARIMA e o X2 ARIMA, o desvio padrão de 987 será calculado com as 6 observações de 985 e com os cinco primeiros anos compleos (nese caso de 986 a 990), ou seja, serão uilizadas 66 observações. Ese é o desvio padrão que será aribuído ambém aos anos de 985 e 986. O desvio padrão de 988 será calculado com um número menor de observações, ou seja, o desvio padrão será calculado com as 60 observações correspondene aos anos de 986 a anos. O procedimeno para os anos de 989 a 999 é análogo ao

30 59 de 988. Para o ano de 2000, o procedimeno é o mesmo que para o ano de 987: uilizam--se 5 anos compleos de dados (de janeiro de 997 a dezembro de 200) mais as 6 observações de Como observado aneriormene, os desvios padrões móveis para os anos de 985 e 986 serão iguais ao calculado para 987 e, para os anos 200 e 2002, será o mesmo calculado para Com os dados dos indicadores da produção indusrial brasileira, para o ano de 988 uilizam-se os dados de dois anos aneriores e de dois anos poseriores, ou seja, dados dos anos de 986 a 990. Logo: 2 dez90 2 ( I 00) 3,847 jan86 σ 60 O Quadro 2.2 fornece os desvios-padrão móveis da série exemplificada. Quadro 2.2 Desvios-padrão móveis 5 anos. Como dio aneriormene, serão considerados aípicos os valores que superem 2,5 vezes o desvio padrão móvel. O Gráfico 2.7 represena o desvio da componene irregular em relação a sua média eórica, bem como os limies de confiança.

31 60 Desvio da componene irregular em relação a sua média eórica e "limies de confiança" 20 OUT ABRIL 990 NOV 200 e JUN Inervalo de confiança sup,5*dp Inervalo de confiança sup 2,5*dp (Irreg-média eórica) Inervalo de confiança inf,5*dp Inervalo de confiança inf 2,5*dp Gráfico 2.7 Componene irregular e seus limies de confiança indicador de produção física da indúsria brasileira 985 a Observam-se quaro valores considerados aípicos. Eses valores da componene irregular serão eliminados e novo cálculo do desvio móvel será efeuado. Os novos valores esimados dos desvios móveis da componene irregular são apresenados na coluna 3 do quadro a seguir:

32 6 Quadro 2.3 Reesimação dos devios-padrão móveis 5 anos. O Gráfico a seguir represena o desvio da componene irregular em relação a sua média eórica, bem como os novos limies de confiança.

33 62 Desvio da componene irregular em relação a sua média eórica e "limies de confiança" Inervalo de confiança sup,5*dp Inervalo de confiança sup 2,5*dp (Irreg-média eórica) Inervalo de confiança inf,5*dp Inervalo de confiança inf 2,5*dp Gráfico 2.8 Componene irregular e seus novos limies de confiança indicador de produção física da indúsria brasileira 985 a Passo 5 para obenção dos valores a serem implemenados: Deecção dos valores aípicos e ponderação da componene irregular. Os valores da componene irregular que superam, em valor absoluo, 2,5 desvios padrões levam peso zero; os que, em valor absoluo, se siuam enre,5 desvio padrão e 2,5 desvios padrões são considerados moderadamene aípicos e devem ser amorecidos, levando um peso que varia linearmene enre 0 e, em função de suas posições; os que, em valor absoluo, são menores que,5 desvio padrão recebem peso. O Gráfico 2.9 ilusra a função de peso do X para subsiuição dos valores aípicos.

34 63 Valores moderadamene aípicos!! Valores moderadamene aípicos!! Valores aípicos!! Valores aípicos!! -2,5σ -,5σ,5σ 2,5σ Gráfico 2.9 Função de pesos. Por exemplo, para o mês de fevereiro de 99: fev , ,5 Como,5σ,5 3,2500 4,8749 2,5σ 2,5 3,2500 8,249 8,5 > 8,249, a observação de fevereiro de 99 é considerada aípica e levará peso zero, Para o mês de janeiro de 990: jan , ,27 Como,5σ,5 3,4366 5,550 2,5σ 2,5 3,4366 8,596 5,55 5,27 8,596 a observação de janeiro de 990 é considerada moderadamene aípica em relação às demais e deverá levar um peso proporcional. O cálculo do peso é feio da seguine forma:

35 64 peso ( ) 2,5σ irreg 00 2,5σ,5σ 8,596 5,268 peso ( jan90) 96,72% 8,596 5,550 A Tabela 2.9 a seguir mosra os pesos associados às componenes irregulares. Tabela 2.9 Pesos associados aos valores da componene irregular. Passo 6 para obenção dos valores a serem implemenados: Correção dos valores aípicos da componene sazonal-irregular. A correção e subsiuição de valores é realizada para odos os valores da componene sazonal-irregular cuja componene irregular não enha recebido peso no passo anerior. A impuação faz-se por uma média ponderada de cinco valores correspondenes ao mesmo mês (ou rimesre): o próprio valor ponderado pelo seu peso; dois valores aneriores a ele que enham recebido ponderação ; dois valores poseriores a ele que enham recebido ponderação.

36 65 Para os dois primeiros anos e para os dois úlimos anos, os valores impuados são calculados pela média ponderada do próprio valor ponderado pelo seu peso e os quaro valores mais próximos. Na versão original do X, uilizavam-se não os quaro valores mais próximos, mas apenas rês. Por exemplo, o valor da componene sazonal-irregular do mês de janeiro de 990 será subsiuído pela média do valor afeado pelo seu peso e os dois valores aneriores e os dois poseriores ao mesmo mês que receberam peso, ou seja, pelos valores que não foram considerados aípicos. jan90 jan88 jan89 jan90 peso 4 peso jan90 jan90 jan9 jan92 89,44 89,2 94,23 0, ,30 85,55 jan 90 88,49, subsiuindo 4 0,9672 o valor da componene sazonal-irregular que originalmene, na Tabela B3 do méodo, era igual a 94,23. Tabela 2.0 Valores subsiuos para os ponos aípicos da componene sazonalirregular indicador de produção física da indúsria brasileira 985 a 2003 (Tabela B4 do méodo X).

37 66 Nesa série foram deecados 3 ponos aípicos. A esimação da componene sazonal-irregular corrigida enconra-se na abela 2. a seguir. Eses valores são obidos com os dados da Tabela B3 do méodo subsiuídos pelos valores diferenes de zero da Tabela B4 do méodo. Tabela 2. Componene sazonal-irregular corrigida (Tabela B5 do méodo X). A esimação de componene sazonal, cujos resulados são apresenados na Tabela B5 do méodo, é obida com os dados da componene sazonal-irregular corrigida. É realizada em rês passos. Passo para a esimação da componene sazonal: Esimação da componene sazonal com uma MMS3x3. Os dados da componene sazonal irregular são amorecidos mês a mês (ou rimesre a rimesre) com uma média móvel 3x3. Já empregamos aneriormene esa média móvel cujos coeficienes são: {,2,3,2, } 9. Esa média móvel é o padrão do X, mas, o usuário pode especificar médias móveis de amanho 3x5, 3x9 ou 3x5 no aplicaivo X2 ARIMA. Da mesma forma descria aneriormene, faz-se necessário a aplicação dos filros assiméricos. Repare que esa segunda esimação da componene sazonal é mais refinada do que a primeira, pois a série já passou por uma correção dos

38 67 valores considerados aípicos. Assim, por exemplo, o faor sazonal esimado para o mês de julho de 987 é obido fazendo: jul87 08,5 08,59 0,46 06,68,03 06, Noe que o valor do faor sazonal esimado preliminarmene passo para a obenção dos valores a serem esimados é o mesmo enconrado na segunda esimaiva do faor sazonal. É claro que iso somene aconece quando a série sazonal-irregular não sofreu aleração. Por exemplo, para o mês de agoso de 987, o faor sazonal é obido fazendo: ago87 09,29 06,86 0,42 3,66 7,35 0, Nese caso houve aleração pois o valor na primeira esimaiva foi de 08,5. O Quadro 2.4 mosra as diferenças obidas nas duas esimaivas dos faores sazonais. Quadro 2.4 Diferenças enre as esimaivas dos faores sazonais obidos nas eapas B4a e B5a. As esimaivas dos faores sazonais obidos da componene sazonal-irregular corrigida na Tabela 2.2.

39 68 Tabela 2.2 Faores sazonais provisórios MM3X3. Passo 2 para a esimação da componene sazonal: Normalização dos coeficienes sazonais com um média cenrada 2x2 Do mesmo modo realizado na Tabela 2.6, calcula-se uma média móvel cenrada de 2 ermos com os dados da Tabela 2.2. Repare que o primeiro valor calculado é o do mês de janeiro de 986 e o úlimo valor calculado é janeiro de Os coeficienes desa média móvel são: {,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, } 24. As esimaivas desas médias móveis são apresenadas na Tabela 2.3 a seguir.

40 69 Tabela 2.3 Média móvel cenrada e 2 ermos. Aos seis primeiros valores de julho a dezembro de 985, que não podem ser calculados com esa média móvel, serão impuados valores iguais ao primeiro valor calculado 00,59, que é o valor do mês de janeiro de 986. O mesmo aconece com os valores de fevereiro a julho de 2002, que não podem ser calculados com esa média móvel: a eles, serão impuados valores iguais ao úlimo valor calculado, que é o do mês do janeiro de ,7. Passo 3 para a esimação da componene sazonal: Esimação dos coeficienes sazonais falanes. Os valores falanes desde janeiro de 985 a junho de 985 em razão do emprego da média móvel cenrada sobre 2 ermos, se obêm duplicando o primeiro valor calculado para o mês considerado. Da mesma maneira, para os valores falanes no fim da série de agoso de 2002 a janeiro de 2003, duplicase o úlimo valor calculado para o mês considerado. Os coeficienes sazonais normalizados são obidos dividindo-se os valores dos coeficienes sazonais (MM3x3) pelos valores obidos pela média móvel cenrada de 2 ermos. Ou seja, dividindo-se os valores da Tabela 2.2 pelos valores obidos na Tabela 2.3. O resulado é apresenado na Tabela 2.4.

41 70 Tabela 2.4 Coeficienes sazonais. Tabela B6: Esimação da série corrigida das variações sazonais. Para ober uma esimaiva da série ajusada das variações sazonais, basa dividir a série original Tabela B do méodo pelos faores sazonais esimados consanes na Tabela B5 do méodo (no presene exemplo, respecivamene, Tabelas 2. e 2.). A Tabela 2.5 mosra a esimaiva da série corrigida das variações sazonais. Tabela 2.5 Série corrigida das variações sazonais (Tabela B6 do méodo X)

42 7 A esimação da componene de endência-ciclo é realizada a parir da série ajusada sazonalmene obendo-se uma esimaiva mais refinada da endência. Traa-se, mais uma vez, de um problema de amorecimeno, e o programa uiliza uma média móvel de Henderson. Para consruir esa esimaiva emos dois passos disinos: Passo para a esimação da componene de endência-ciclo: Eleição do amanho da média móvel, cálculo da razão I. T O X emprega, no caso da série mensal, uma média móvel de Henderson de 9 ou 3 ermos. Se o usuário não especificar a média que preende uilizar, o programa escolhe auomaicamene. A escolha auomáica depende da razão I. T Ou seja, a escolha é deerminada pelo amanho da componene irregular na série: quano maior é o amanho da irregularidade da série, maior é o amanho da média móvel escolhida. Para calcular esa razão, que será responsável pela escolha do amanho da média móvel uilizada para esimar a endência, é necessário fazer uma primeira decomposição da série obida na eapa anerior a série corrigida de sazonalidade. A média móvel de Henderson de 3 ermos é uilizada para a esimaiva da endência. Nesa fase, não é necessária a preocupação com os seis ponos iniciais nem com os seis ponos finais. Dividindo-se a série ajusada sazonalmene Tabela B6 por esa esimaiva da endência, oberemos uma esimaiva da componene irregular. Dese modo, ano para a série esimada da endência (T) como para a série esimada da componene irregular(i), calcula-se a média do valor absoluo das axas de crescimeno mensais, T e I, respecivamene. T n n T T 2 I n n I I 2

43 72 Com eses dados é possível calcular a razão I e o criério de escolha é: T Se I Escolhe-se uma média móvel de Henderson de 9 ermos; T se < I 3, 49, escolhe-se uma média móvel de Henderson de 3 ermos; T nos demais casos, escolhe-se uma média móvel de Henderson de 23 ermos. Para o cálculo da esimaiva inicial da endência, precisa-se dos coeficienes de Henderson. Como, nesa eapa, não exise a preocupação com os seis ponos iniciais nem com os seis ponos finais, basa uilizar o filro simérico de Henderson. Eses coeficienes para o cálculo da média móvel de 3 ermos esão apresenados no Quadro 2.5 a explicação a respeio da obenção desses coeficienes enconra-se no Capíulo 3. Quadro 2.5 Coeficienes das médias móveis de Henderson sobre 3 ermos. As esimaivas da endência esão apresenadas na Tabela 2.6. O primeiro ermo que pode ser calculado é o correspondene a julho de 985:

44 73 jul85 98,775 (-0,0935) 95,83 (-0,02786) 99,88 (0,00000) 90,805 (0,06549) 99,769 (0,4736) 97,897 (0,2434) 03,82 (0,24006) 03,80 (0,2434) 0,680 (0,4736) 05,439 (0,06549) 06,297 (0,00000) 08,027 (-0,02786) 09,754 (-0,0935) 00,83 Tabela 2.6 Tendência (médias móveis de Henderson de 3 ermos). Dividindo-se os dados da Tabela B6 do méodo série ajusada sazonalmene pela esimaiva da endência apresenada na Tabela 2.6, obémse a esimaiva da componene irregular, por exemplo, conforme Tabela 2.7, para o mês de julho de 985, a esimaiva da componene irregular é: 03,82 jul ,338 00,825

45 74 Tabela 2.7 Componene irregular. jan fev mar abr mai jun jul ago se ou nov dez ,34 0,27 97,64 99,92 99,82 00, ,8 00,62 95,72 00,4 00,64 99,84 02,00 97,36 0,68 00,99 98,90 98, ,52 02,29 99,64 0,28 00,94 99,80 98,80 95,98 02,0 00,6 0,93 99, ,29 98,94 05,98 98,08 97,47 0,49 99,95 0,36 0,70 94,76 99,6 03, ,34 94,39 00,78 98,6 0,52 02,72 99,76 99,9 98,82 97,84 99,32 00, ,45 03,05 04,2 79,92 04,83 00,76 02,49 00,86 00,00 00,39 02,33 98, ,24 93,00 94,0 06,57 02,87 99,9 00,65 99,09 98,38 02,54 99,28 97, ,92 04,02 98,06 00,38 98,20 02,5 0,26 95,92 00,93 99,60 00,54 0, ,9 98,40 0,44 00, 99,94 99,83 0,08 98,82 00,2 98,87 99,95 0, ,52 98,00 02,06 97,94 0,06 99,85 98,23 0,8 0,23 97,62 97,63 02, ,50 99,83 03,64 99,40 94,78 02,2 99,69 00,52 98,83 00,39 00,69 99, ,06 0,54 98,88 00,09 0,4 95,83 03,09 00,26 98,69 00,53 99,62 00, ,98 99,07 98,39 02,7 99,25 00,03 99,9 98,66 0,54 03,55 98,0 98, ,57 99,52 0,59 99,42 00,0 00,03 0,06 99,35 00,0 99,46 00,8 99, ,23 97,5 0,56 00,90 00,2 99,78 98,9 00,05 00,7 99,42 00,23 00, ,65 04,62 98,44 98,00 99,92 00,82 99,94 00,96 99,09 99,69 98,82 00, ,37 99,85 0, 99,35 0,65 97,83 99,0 97,0 93,70 09,25 08,27 99, ,54 97,24 0,06 04,70 02,52 94,2 02, Com os valores esimados para a endência e para a componene irregular, calcula-se o valor absoluo das axas de crescimeno mensais. Por exemplo, para o mês agoso de 985, o valor absoluo do crescimeno da endência é: T ago T ago85 jul85 02,50 00,660 00,82 e o valor absoluo do crescimeno da componene irregular é: ago I ago85 I jul85 0,270 00,043 02,338 As Tabelas 2.8 e 2.9 apresenam os valores absoluos das axas de crescimeno mensais para a endência e componene irregular, respecivamene. Na úlima coluna de cada uma dessas abelas esão as somas de cada ano considerado e, ao final desa úlima coluna, esão calculados os valores de T e I, respecivamene.

46 75 Tabela 2.8 Taxas de crescimeno da endência (em %). Tabela 2.9 Taxas de crescimeno da componene irregular (em %). Com eses dados, emos que o valor de I 2,78 2, 87. Iso leva a T 0,970 considerar a média móvel de Henderson com 3 ermos.

47 76 Passo 2 para a esimação da componene de endência-ciclo: Amorecimeno da série ajusada sazonalmene com uma média móvel de Henderson. Uiliza-se nesa eapa a média móvel de Henderson de 3 ermos. Os valores esimados são os mesmos obidos no passo Tabela 2.6. Precisa-se apenas, complear a esimaiva da endência, para os seis valores iniciais e para os seis valores finais, com os filros assiméricos. O Quadro 2.6 apresena os coeficienes das médias móveis de Musgrave (Dohery, 200). Quadro 2.6 Coeficienes das médias móveis assiméricas de Musgrave associadas à média móvel de Henderson sobre 3 ermos. A Tabela B7 do méodo mosra a endência esimada, assim, por exemplo, a esimação da endência para o mês de janeiro de 985 faz-se com a série ajusada sazonalmene da Tabela B6 do méodo, uilizando o valor de janeiro de 985 e seis valores fuuros, aos quais se aplicam os coeficienes assiméricos. jan85 98,775 (0,423) 95,83 (0,3535) 99,88 (0,24390) 90,805 (0,977) 99,769 (0,0202) 97,897 (-0,058) 03,82 (-0,0986) 96,687

48 77 Tabela 2.20 Esimaiva da endência uilizando uma média de Henderson de 3 ermos (Tabela B7 do méodo X) O cálculo da componene sazonal-irregular sem modificações, Tabela B8 do méodo, é similar ao da Tabela B3 do méodo: nesa fase, reorna-se à série original e dela reiramos a endência esimada apresenada na Tabela B7 do méodo. Tabela 2.2 Esimaiva da componene sazonal-irregular indicador de produção física da indúsria brasileira 985 a 2003 (Tabela B8 do méodo X).

49 78 Para a obenção dos valores de subsiuição para os valores aípicos da componene sazonal-irregular é execuado, pela segunda vez nesa eapa B, o procedimeno auomáico de deecção e correção dos ponos aípicos da componene sazonal-irregular obida na eapa anerior Tabela B8. São execuados os seis passos descrios aneriormene Tabela B4 e os valores esimados nesa eapa são os valores de subsiuição para os valores considerados aípicos da componene sazonal-irregular. Eses passos, denominados nese exo de passos a 6, fornecem os valores que compõem as abelas 2.22 a 2.26 e Esas abelas não são disponíveis nas saídas dos aplicaivos. Para faciliar a compreensão de odos os dealhes dos cálculos realizados, os passos são dealhados novamene. Passo para o cálculo dos valores de subsiuição da Componene Sazonal Irregular: Esimação da componene sazonal. A componene sazonal é esimada mediane o amorecimeno da componene sazonal-irregular. Os valores correspondenes aos meses de janeiro, fevereiro, são amorecidos por uma média móvel sazonal 3 X 5, MMS3X5 e não 3 X 3 como na primeira correção. Esa média móvel sazonal precisa de 7 meses e não permie esimar os coeficienes sazonais dos rês primeiros e dos rês úlimos anos. Na série da produção indusrial brasileira, pode-se observar que a primeira esimaiva do faor sazonal será para o mês de janeiro de 988 e a úlima esimaiva possível será para o mês de janeiro de Para complear as esimaivas, uilizam-se, como descrio aneriormene, os filros assiméricos. Por exemplo, para o mês de janeiro de 988, a média móvel sazonal é: jan85 jan86 jan87 jan88 jan89 jan jan86 jan87 jan88 jan89 jan jan87 jan88 jan89 jan90 jan9 5 3

50 79 jan 85 2 jan86 3 jan87 3 jan88 3 jan89 2 jan90 jan9 5 Os coeficienes desa média móvel são: {,2,3,3,3,2, } 5 Para o mês de janeiro de 988, emos: jan88 95,0 95,02 9,62 88,07 9,4 9,4 88,23 93, Para os meses falanes, é necessário uilizar as médias móveis sazonais assiméricas de Musgrave. O Quadro 2.7 a seguir apresena os pesos assiméricos uilizados nesa média móvel sazonal 3 X 5. Quadro 2.7 Coeficienes das médias móveis assiméricas 3X5. Por exemplo, para o mês de janeiro de 987, o cálculo é: jan87 95,0 95,02 9,62 88,07 9,4 9,4 92, Para o mês de janeiro de 986: jan86 95,0 95,02 9,62 88,07 9,4 92, Para o mês de janeiro de 985:

51 jan85 95,0 95,02 9,62 88,07 93, Dese modo, a Tabela 2.22 é consruída. Esa Tabela apresena um cálculo preliminar da componene sazonal. Tabela 2.22 Faores sazonais provisórios média móvel 3X5. Passo 2 para o cálculo dos valores de subsiuição da Componene Sazonal Irregular: Normalização dos coeficienes sazonais. Os coeficienes sazonais provisórios são normalizados de al modo que a soma dos faores sazonais do ano seja igual a 0, no caso do modelo adiivo, ou, no caso do modelo muliplicaivo. O primeiro passo para esa normalização é o cálculo da média móvel cenrada de 2 ermos: M 2X 2. Os seis valores falanes no início e no fim da série são impuados. A impuação é realizada repeindo o primeiro e o úlimo valor calculado com esa média móvel. Ou seja, o valor esimado para julho de 985 é repeido nos meses aneriores e o valor esimado para julho de 2002 é repeido nos meses poseriores. Por exemplo, para o mês de janeiro de 986, o cálculo é: 07,0 08,22 09,56 3,05 02,48 92,42 jan ,65 88,5 95,33 9,74 97,7 02,32 07, 00,

52 8 O cálculo da média móvel cenrada enconra-se na Tabela Tabela 2.23 Média móvel cenrada 2 ermos. Os coeficienes sazonais normalizados são obidos dividindo-se os valores da Tabela 2.22 (faores sazonais provisórios) pelos dados da Tabela 2.23 (média móvel cenrada de 2 ermos). Por exemplo, para o mês de julho de 985 é obido: 07,0 jul ,93 00,07 Na Tabela 2.24 são apresenados os coeficienes sazonais normalizados para oda a série. Tabela 2.24 Faores sazonais preliminares normalizados.

53 82 Passo 3 para o cálculo dos valores de subsiuição da Componene Sazonal Irregular: Esimação da componene irregular. Nesa eapa, reiram-se os faores sazonais provisórios (da Tabela 2.24) da componene sazonal-irregular esimada na Tabela B8. Para iso basa dividir os valores da Tabela 2.2 pelos valores da Tabela Com os dados do índice de produção física brasileira, emos, para o mês de julho de 985: 08,95 jul ,89 06,93 Os valores obidos são os valores esimados da componene irregular. Eses valores enconram-se na Tabela Tabela 2.25 Componene irregular esimada. Passo 4 para o cálculo dos valores de subsiuição da Componene Sazonal Irregular: Cálculo do desvio padrão móvel. Os desvios padrões correspondenes ao ano de 987 serão calculados com os dados de 985 aé 989 dois anos anes e dois anos depois.

54 83 σ dez89 ( I jan85 00) ,2754 Os desvios padrões calculados para os anos de 988 a 2000 são calculados uilizando o mesmo princípio descrio acima. Para o anos de 985 e 986 uilizaremos os 5 anos de observações como em 987. Para o cálculo dos desvios padrões dos anos de 200, 2002 e 2003, emos 6 dados, correspondenes a janeiro de 998 e a janeiro de Ese primeiro cálculo serve para localizar os ponos aípicos, que são os ponos que superam em valor absoluo o desvio de sua média eórica em mais de 2,5 vezes o desvio padrão correspondene. O Gráfico 2.0 represena o desvio da componene irregular em relação a sua média eórica, bem como os limies de confiança. Observam-se rês valores considerados aípicos que serão eliminados e novo cálculo do desvio móvel será efeuado. Noe que eses ponos correspondem ao mês de abril. O efeio Páscoa deve esar perurbando a série da componene irregular. Desvio da componene irregular em relação a sua média eórica e "limies de confiança" 20 5 abr9 abr abr Inervalo de confiança sup,5*dp Inervalo de confiança sup 2,5*dp (Irreg-média eórica) Inervalo de confiança inf,5*dp Inervalo de confiança inf 2,5*dp Gráfico 2.0 Componene irregular e seus limies de confiança.

55 84 Os novos valores esimados dos desvios móveis da componene irregular são apresenados no Quadro 2.8. Quadro 2.8 Esimação dos desvios padrões móveis 5 anos. O Gráfico 2. a seguir represena o desvio da componene irregular em relação a sua média eórica, bem como os novos limies de confiança.

56 85 Desvio da componene irregular em relação a sua média eórica e os novos "limies de confiança" Inervalo de confiança sup,5*dp Inervalo de confiança sup 2,5*dp (Irreg-média eórica) Inervalo de confiança inf,5*dp Inervalo de confiança inf 2,5*dp Gráfico 2. Componene irregular e seus novos limies de confiança. Com os novos limies de confiança, mais esreios devido à eliminação dos rês valores aípicos aneriores, o valor de março de 99 ambém foi considerado aípico. Passo 5 para o cálculo dos valores de subsiuição da Componene Sazonal Irregular: Deecção dos valores aípicos e ponderação da componene irregular. Os valores da componene irregular que superam, em valor absoluo, 2,5 desvios padrões levam peso zero; os que, em valor absoluo, se siuam enre,5 desvio padrão e 2,5 desvios padrões são considerados moderadamene aípicos e devem ser amorecidos, levando um peso que varia linearmene enre 0 e, em função de suas posições; os que, em valor absoluo, são menores que,5 desvio padrão recebem peso.

57 86 Por exemplo, para o mês de abril de 990: abr ,6-00 8,388 Como,5σ,5 2,7050 4,058 2,5σ 2,5 2,7050 6,7626 8,388 > 6,7626, a observação de abril de 990 é considerada aípica e levará peso zero, Para o mês de fevereiro de 990: fev , ,62,5σ,5 2,7050 4,0576 2,5σ 2,5 2,7050 6,7626 Como 4,0576 4,62 6,7626 a observação de fevereiro de 990 é considerada moderadamene aípica em relação às demais e deverá levar um peso proporcional. O cálculo do peso é feio da seguine forma: peso ( ) 2,5σ irreg 00 2,5σ,5σ 6,7626 4,62 peso ( fev90) 79,80% 6,7626 4,0576 A Tabela 2.26 a seguir mosra os pesos associados às componenes irregulares.

58 87 Tabela 2.26 Pesos associados aos valores da componene irregular. Passo 6 para o cálculo dos valores de subsiuição da Componene Sazonal Irregular: Correção dos valores aípicos da componene sazonal-irregular. A correção e subsiuição de valores é realizada para odos os valores da componene sazonal-irregular cuja componene irregular não enha recebido peso no passo anerior. A impuação faz-se por uma média ponderada de cinco valores correspondenes ao mesmo mês (ou rimesre): o o próprio valor ponderado pelo seu peso; o dois valores aneriores a ele que enham recebido ponderação ; o dois valores poseriores a ele que enham recebido ponderação. Para os dois primeiros anos e para os dois úlimos anos, os valores impuados são calculados pela média ponderada do próprio valor ponderado pelo seu peso e os quaro valores mais próximos. Na versão original do X, uilizavam-se não os quaro valores mais próximos, mas apenas rês. Por exemplo, o valor da componene sazonal-irregular do mês de fevereiro de 990 será subsiuído pela média do valor afeado pelo seu peso e os dois valores aneriores e os dois poseriores ao mesmo mês que receberam peso, ou seja, pelos valores que não foram considerados aípicos.

59 88 fev90 fev87 fev88 fev90 peso 4 peso fev90 fev90 fev93 fev94 90,58 87,33 90,33 0, ,80 85,66 fev 90 87,83, subsiuindo 4 0,7908 o valor da componene sazonal-irregular que originalmene, na Tabela B8 do méodo, era igual a 90,33. Tabela 2.27 Valores subsiuos para os ponos aípicos da componene sazonalirregular (Tabela B9 do méodo X). Nesa série foram deecados 38 ponos aípicos. A esimação da componene sazonal-irregular corrigida enconra-se a seguir. Eses valores são obidos com os dados da Tabela B8 do méodo, subsiuídos pelos valores diferenes de zero da Tabela B9 do méodo.

60 89 Tabela 2.28 Componene sazonal-irregular corrigida (Tabela B9g do méodo X). A esimação da componene sazonal é obida da mesma maneira que obivemos as componenes sazonais esimadas na Tabela 2.22 e na Tabela É realizada em dois passos e pare da Tabela 2.28 componene sazonal-irregular corrigida. Passo da esimação da Componene Sazonal: Esimação da componene sazonal com uma média móvel sazonal 3x5. Os dados da componene sazonal-irregular esimados na eapa anerior, Tabela B9f do méodo, são amorecidos mês a mês (ou rimesre a rimesre) com uma média móvel 3X5 (na esimação anerior da componene sazonal uilizou-se uma média móvel sazonal 3X3). Os coeficienes sazonais já haviam sido deerminados aneriormene: {,2,3,3,3,2, }. 5 Esa média móvel é o padrão do X, mas, o usuário pode especificar médias móveis de amanho 3x3, 3x9 ou 3x5 no aplicaivo X2 ARIMA. Da mesma forma descria aneriormene, faz-se necessário a aplicação dos filros assiméricos. Repare que esa erceira esimação da componene sazonal é

61 90 mais refinada ainda, pois a série já passou por duas correções dos valores considerados aípicos. Por exemplo, para o mês de janeiro de 988, o cálculo é: jan88 95,0 95,02 9,62 88,07 9,4 9,4 88,23 9, Por exemplo, para o mês de janeiro de 987, o cálculo é: jan87 95,0 95,02 9,62 88,07 9,4 9,4 92, Para o mês de janeiro de 986 é: jan86 95,0 95,02 9,62 88,07 9,4 92, Para o mês de janeiro de 985: jan85 95,0 95,02 9,62 88,07 93, Dese modo, a Tabela 2.29 é consruída. Esa abela apresena nova esimaiva da componene sazonal. As esimaivas dos faores sazonais obidos da componene sazonal irregular, corrigida pela segunda vez, são apresenadas a seguir.

62 9 Tabela 2.29 Faores sazonais provisórios média móvel 3X5 (Tabela B5a do méodo X). Passo 2 da esimação da Componene Sazonal: Normalização dos coeficienes sazonais com um média cenrada 2x2. Do mesmo modo realizado em eapas aneriores, calcula-se uma média móvel cenrada de 2 ermos com os dados da Tabela B5a do méodo. Repare que o primeiro valor que podemos calcular é o do mês de janeiro de 986 e o úlimo valor que emos dados para calcular é janeiro de Os coeficienes desa média móvel são: {,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, } 24. As esimaivas desas médias móveis são apresenadas na Tabela 2.30 a seguir.

63 92 Tabela 2.30 Média móvel cenrada de 2 ermos. Aos seis primeiros valores de janeiro a julho de 985, que não podem ser calculados com esa média móvel, serão impuados valores iguais ao primeiro valor calculado 00,43, que é o valor do mês de julho de 985. O mesmo aconece com os valores de agoso de 2002 a janeiro de 2003, que não podem ser calculados com esa média móvel: a eles serão impuados valores iguais ao úlimo valor calculado, que é o do mês de julho de ,86. Os coeficienes sazonais normalizados são obidos dividindo-se os valores esimados da componene sazonal Tabela 2.29 pelos valores obidos pela média móvel cenrada sobre doze meses Tabela A Tabela 2.3 apresena os coeficienes normalizados. Tabela 2.3 Coeficienes sazonais (Tabela B0 do méodo X).

64 93 A esimação da série corrigida das variações sazonais é basane simples. Para ober uma esimaiva da série ajusada das variações sazonais, basa dividir a série original Tabela B do méodo pelos faores sazonais esimados na Tabela B0 do méodo (Tabela 2.3). A Tabela B do méodo (Tabela 2.32) mosra a esimaiva da série corrigida das variações sazonais. Para o mês de janeiro de 985, o cálculo é: 9,86 jan ,9 92,6 Tabela 2.32 Série corrigida das variações sazonais (Tabela B do méodo X). É imporane regisrar que, apesar da Tabela B2 do méodo não ser exibida nas saídas do aplicaivo, o número 2 é reservado nas demais eapas para a série de endência. A esimação de componene irregular é obida reirando-se da série corrigida de variações sazonais Tabela B do méodo a esimação da endência obida pela Tabela B7 do méodo. Para o mês de janeiro de 985, o cálculo é:

65 94 99,9 jan ,59 9,86 A Tabela 2.33 (Tabela B do méodo) apresena a esimaiva da componene irregular. Tabela 2.33 Componene irregular (Tabela B do méodo X). Séries econômicas são consanemene influenciadas pela composição dos dias da semana e pelo número de dias úeis no mês. O número de segundas, erças, quaras, ec. pode influenciar o resulado de algumas séries ano quano o número de dias no mês; podem mascarar a realidade assim como a sazonalidade. Comparar, por exemplo, dados de fevereiro de um ano que não é bissexo com um fevereiro de um ano bissexo pode acarrear algumas divergências. Ouro exemplo é comparar um mês com o mês anerior, ou um mês com o mesmo mês do ano anerior, sendo diferenes os números de dias ou as composições dos meses. Quando eses efeios são esaisicamene significaivos, são reirados da série durane o procedimeno de ajuse sazonal. Mas, por consrução, eses efeios não esão nem na componene de endência esimada nem na componene sazonal. As caracerísicas especrais dos efeios dos dias rabalhados são ais que são eliminadas da componene de endência devido ao filro de Henderson e são eliminadas da componene sazonal devido à aplicação da média móvel sazonal, ou seja, os efeios de dias rabalhados, quando exisem, esão incorporados ao que

66 95 sobra, que é a componene irregular obida na Tabela B3 do méodo. No processo de obenção da esimaiva da componene irregular, foram reiradas a endência esimada na Tabela B7 do méodo e a componene sazonal, esimada na Tabela B0 do méodo. Desa forma, a série esimada da componene irregular é uilizada para exrair os efeios da composição diária do mês: iso é realizado empregando um modelo de regressão linear. Os procedimenos a seguir servem para esimar o efeio devido à composição diária do mês. O programa esima o efeio devido à composição diária do mês. Ese efeio de calendário será reirado da componene irregular e esimado por um modelo de regressão linear. Anes diso, o X localiza os valores aípicos da componene irregular e os exclui dos cálculos para que os resulados da regressão sejam mais robusos. A exclusão dos valores aípicos é realizada em rês eapas. Eapa para a exclusão dos valores aípicos: Cálculo da média da componene irregular por ipo de mês. Exisem quinze grupos disinos de meses: a) Os meses de 3 dias que começam na segunda, erça,...; ou seja, 7 caegorias. b) Os meses de 30 dias que começam na segunda, erça,...; ou seja, 7 caegorias. c) Os meses de fevereiro de 28 dias (não se consideram o mês de fevereiro de 29 dias), ou seja, caegoria. Agrupam-se neses 5 grupos os valores da componene irregular e calculam-se as médias m i, i, L,5,de cada grupo. m i n i j n i I ij sendo ni o número de meses por grupo.

67 96 A Tabela 2.34 apresena o calendário de janeiro de 985 a janeiro de 2002, com o dia da semana em que começa cada um dos 23 meses (excluídos os 4 meses de fevereiro de ano bissexo) considerados na série de produção indusrial. Por exemplo, para o grupo que corresponde aos meses de fevereiro com 28 dias, emos: m fev 99,395 00,986 02,826 94,884 03,978 93,962 98, ,63 00,69 98,866 98,870 97,042 99,220 02,87 99,364 4 Tabela 2.34 Reparição dos meses pelos 5 grupos.

68 97 O Gráfico 2.2 a seguir apresena a disribuição da componene irregular por grupo bem como a média de cada grupo Gráfico 2.2 Disribuição da componene irregular por grupo de meses e sua média. Eapa 2 para a exclusão dos valores aípicos: Primeiro cálculo de um desvio padrão global e localização dos valores aípicos Primeiro, calcula-se o valor absoluo dos desvios de cada valor da componene irregular em relação à média do grupo a que perence. Eses valores esão apresenados na Tabela 2.35 a seguir. Por exemplo, para o mês de janeiro de 985, emos: jan 85 02,59 0,48,

69 98 Tabela 2.35 Desvio da média em valores absoluos. A média dos quadrados deses valores, exceo aqueles correspondenes aos meses de fevereiro de um ano bissexo, esão apresenados na Tabela Tabela 2.36 Quadrado dos desvios em relação a média. Calcula-se a primeira esimaiva do desvio global, que é obido pela média dos quadrados dos desvios em relação à média da classe. 2 σ 5 n i i j ( I m ) ij n * i 2

70 99 sendo * n o número de meses, exceo os meses de fevereiro com 29 dias. σ 5 n i i j ( I n ij * m ) i 2 / 2 2,5635 * Na série analisada: n Ese desvio padrão serve para deerminar o limie a parir do qual a componene irregular é considerada oulier. O criério de decisão é: considere aípico se I m 2,5σ. ij i Nese caso o limie é 2,5 2,5635 6,409. Os ponos considerados aípicos são quaro: abril de 985 (mês de 30 dias cujo primeiro dia é segunda), abril de 990 (mês de 30 dias cujo primeiro dia é domingo), março de 99 (mês de 3 dias cujo primeiro dia é sexa), e, abril de 2002 (mês de 30 dias cujo primeiro dia é segunda). Eses valores são excluídos. Eapa 3 para a exclusão dos valores aípicos: Cálculo final do desvio padrão global e localização dos valores aípicos. Inicia-se o procedimeno excluindo os valores considerados aípicos. Calculam-se as novas médias para os grupos em que houve exclusão. A Tabela 2.37 apresena esses valores. Apenas para os rês grupos dos quais os quaro valores aípicos fazem pare é que houve aleração na média. Os meses de abril de 985 e de abril de 2002 fazem pare do grupo de 30 dias começados por uma segunda, a média dese grupo passou de 0,93 para 0,63. O mês de abril de 990 perence ao grupo de 30 dias iniciados em um domingo, a média dese grupo passou de 97,56 para

71 00 99,33. Finalmene o mês de março de 99 perence ao grupo de 3 dias começados por uma sexa, a média dese grupo passou de 98,84 para 99,20. Tabela 2.37 Reparição dos meses pelos 5 grupos, excluindo os valores aípicos. Os valores dos desvios absoluos em relação a média esão apresenados na Tabela Para os meses considerados aípicos uilizou-se a média eórica da componene irregular, igual a 00.

72 0 Tabela 2.38 Desvios em relação à média, excluindo os valores aípicos. A Tabela 2.39 apresena o quadrado dos desvios em relação a média. Tabela 2.39 Quadrado dos desvios em relação a média, excluindo os valores aípicos. A esimaiva do novo desvio padrão é: * σ 5 n i i j ( I Na série analisada: n n ij * m ) i 2 / 2 2,047

73 02 Ese desvio padrão serve para deerminar o limie em que a parir daí a componene irregular é considerada oulier. O criério de decisão é: considere aípico se: I m 2,5σ. ij i Nese caso o limie é 2,5 2,5635 6, 409. Finalmene, a Tabela B4 do méodo (Tabela 2.40) apresena os valores aípicos que foram excluídos da regressão para dias rabalhados. Tabela 2.40 Valores da componene irregular que são excluídos da regressão para os dias rabalhados (Tabela B4 do méodo X). A base eórica dese procedimeno é um modelo de análise de variância de um faor e o que se deseja é esimar o efeio dos dias rabalhados em cada um dos 5 grupos de meses. Admie-se que, em cada grupo, a componene irregular segue uma disribuição normal com média m i e desvio padrão consane σ. Nese caso, a esimação do desvio padrão realizada na eapa 2 é uma esimação viciada do desvio padrão. Para ober um esimador não-viciado do desvio padrão, seria

74 03 necessário uilizar o denominador * n 5. Para os meses de fevereiro de um ano bissexo, não se calcula a média do grupo. Com as esimaivas da componene irregular que não foram consideradas aípicas, efeua-se uma regressão preliminar de dias rabalhados. Uilizando a noação proposa por Findley (998) e seguida por ouros auores, suponha que o j-ésimo dia da semana produza o efeio α, j correspondendo ao número de segundas-feiras, j 2 ao número de erças-feiras..., j 7 ao número de domingos. Seja D j o número de ocorrências do dia j no mês. j 7 α D 7 7 [ ( α j α ) D j αd j ] ( α j α ) j j j j j j j 4243 efeio acumulado para o mês D 7 αd j 7 αn j [( α α)( D D ) ( α α) D ] j j 6 7 α N ( α j α )( D j D7 ) D7 ( α j α ) j 6 N ( )( ) { α j α D j D7 reflee o efeio do amanho do mês j reflee os efeios dos dias da semana j j α ( 2.) Sendo: N 7 D j j Pode-se decompor o efeio acumulado do mês em duas componenes: um efeio direamene ligado ao amanho do mês e um efeio devido à composição dos dias da semana no mês. Cabe ressalar que, na realidade, a segunda parcela será significaiva somene para os dias da semana que aparecem 5 vezes, pois odo mês em 4 semanas compleas mais, 2 ou 3 dias que influenciam no número de dias úeis no mês. A equação (2.) deve ser corrigida dos efeios de sazonalidade e de endência, já que a componene irregular, por consrução, não possui ais efeios.

75 04 O ermo α N desa equação coném sazonalidade, já que ele corresponde ao amanho do mês. O número de dias no mês, período 48 meses (4 anos). Podem-se decompor eses efeios em: ( ) * * N, é uma variável periódica de αn αn α N N ( 2.2) sendo N o amanho médio do mês em um período de 4 anos. O que * significa que: N é igual a 30 ou 3, se o mês considerado não é o mês de * fevereiro e igual a 28,25 caso conrário. Nesa expressão o segundo ermo se anula, com exceção do mês de fevereiro. O segundo ermo da equação (2.) apresena o efeio de cada dia da semana j denro do mês. Esas variáveis são periódicas de período 336 meses (28 anos) 7 e de médias iguais para um mês dado. Para um mês de 3 dias, esa média é igual a 4,428574; para um mês de 30 dias é igual a 4,28574 e para o mês de fevereiro é igual a 4, Nese ermo da equação surge a diferença Dj D7 e, como odas esas variáveis êm odas o mesmo comporameno, nesa diferença não há nem sazonalidade nem endência. A maneira de se corrigir a equação (2.2) deses efeios depende do esquema de composição adoado: Para um esquema muliplicaivo: Eliminam-se os efeios sazonais e a endência dividindo-se a equação (2.) por α N *. 7 6 α jd j αn j j * αn ( α α )( D D ) j αn * j 7 * N 7 j α j D α j N N * 6 ( α j α )( D j D7 ) j αn * 7 Para uma daa fixada, o dia da semana correspondene sofre uma defasagem emporal: se o primeiro de janeiro de um ano não bissexo é um domingo, no ano seguine será segunda e se o ano for bissexo, o primeiro de janeiro corresponderá a uma erça. Para enconrar o mesmo ipo de esruura em um calendário deve-se esperar ( 4 7) 28 anos.

76 05 ( ) ( ) 6 * 7 * 7 * j j j j j j N D D N N D N α α α α α ( ) ( ) 6 * 7 * 7 * j j j j j j N D D N N D N β β ) 2.3 ( sendo: ( ) α α α β j j Como a esimaiva da componene irregular denominamos de I. ( ) 6 * 7 * j j j N D D N N I β, e enão: ( ) 6 * 7 j j j NI N D D e β Ese modelo é o modelo proposo por Young (967) Para o esquema adiivo, o modelo é obido subraindo N * α da equação (2.3). O modelo de regressão pode ser escrio como: ( ) 6 7 * j j j Y e D D N I N β 4243 ( ) 6 7 j Z j j j e D D Y 4243 β 6 j j j e Z Y β Desa forma, uilizando o méodo dos mínimos quadrados:

77 06 ˆ β Var ' ' ( Z Z ) Z Y 2 ' ( ˆ β ) ˆ σ ( Z Z ) jj O coeficiene ˆβ 7 é esimado fazendo-se: Var j ' ( ˆ7 β ) ˆ σ ( Z Z ) i j 6 ˆ β j j ˆ β e, 7 ij ' 2 eˆ eˆ sendo: ˆ σ e, ê os resíduos da regressão. n 6 ( ) Cabe ressalar que, embora o X uilize um modelo de regressão linear para esimar os dias rabalhados, esa esimação é feia sem validar as hipóeses do modelo, como por exemplo, a hipóese de independência da variável dependene. No caso do indicador indusrial, uilizou-se o aplicaivo Excel para esimar os coeficienes de dias rabalhados. A Tabela a seguir mosra os resulados obidos com o Tese F. Tabela 2.4 Tabela da ANOVA. A probabilidade de ober-se um valor da esaísica de Fisher maior que o valor calculado 0,360, é quase nula enão, nese caso, rejeia-se a hipóese de igualdade de médias.

78 07 A seguir, apresenam-se os coeficienes esimados pelo modelo de regressão linear bem como os erros padrões dos coeficienes, o valor da esaísica calculada e o p valor. Tabela 2.42 Coeficienes esimados pelo modelo de regressão linear. O ese realizado é: H H Sob a veracidade de H 0, 0 : βi 0 : β 0 i β i calc ~ n ( p ) gl Var( βi ) Pode-se observar que os coeficienes de erça e sábado são significaivos, para α 5%. Conforme observado aneriormene, a esimaiva do coeficiene de domingo é derivado dos demais. O coeficiene ˆβ 7 é esimado fazendo-se: Var 6 ˆ β j j ˆ β e, ' ( ˆ7 β ) ˆ σ ( Z Z ) i j ij

79 08 O que acarrea em: ˆ7 β (-0,346 0,2793 0,0727 0,82 0,455-0,323) -0,689 e, Var ' ( ˆ7 β ) ˆ σ ( Z Z ) ij i j 0,036-0, ,000 0,346 i j 0,002 0,000 0,002-0,020 0,036-0,020 0,000 0,003 0,000 0,000-0,020 0,038-0,02-0,00 0,003 0,002 0,000-0,02 0,037-0,09 0,000 0,000 0,003-0,00-0,09 0,036-0,020 0,002 0,000 0,003 0,03 0,000-0,020 0,036 A seguir, apresena-se os coeficienes esimados, incluindo o coeficiene de domingo. Tabela 2.43 Coeficienes esimados, incluindo o domingo, pelo modelo de regressão linear. A conclusão é a mesma feia aneriormene. Apenas os coeficienes de erça e sábado são significaivos uilizando um nível de significância de 5%.

80 09 Os coeficiene mensais M de ajuse de dias rabalhados se deduzem direamene das esimações da regressão, uilizando a equação ( 2.3). 7 ( j ) M β D * j ( 2.3) N j Lembrando que raa do mês de fevereiro, respecivamene. * N é igual a 3, 30 ou 28,25, se o mês iver 3, 30 ou se No caso muliplicaivo, como pode ser observado, agrega-se às esimaivas obidas pela regressão e dividi-se ese resulado por * N. Caso haja pesos diários indicados a priori, na eapa A, eles ambém são empregados. A seguir apresena-se os coeficienes de cada dia da semana e um exemplo para janeiro de 985. Tabela 2.44 Coeficienes combinados e o número de dias em janeiro de 985. O coeficiene de ajuse para o mês de janeiro de 985 será: M jan85 fazendo: 4 0, ,2793 5,0727 5,82 4, , , ,470 0,57 ; é claro que eses coeficienes podem ser obidos 3 M 28,2793,0727, jan85 0,57 Os coeficienes de ajuse para dias rabalhados exraídos da regressão são apresenados na abela a seguir.

81 0 Tabela 2.45 Coeficienes de ajuse para os dias rabalhados exraídos da regressão (Tabela B6 do méodo X). A componene irregular é enão corrigida deses efeios de calendário, esa correção é feia simplesmene dividindo-se os valores da Tabela B3 do méodo pelos coeficienes fornecidos pela Tabela B6 do méodo. Os programas não permiem ediar esa abela. Tabela 2.46 Componene irregular corrigida dos efeios de dias rabalhados. Pela erceira vez nesa eapa se procura idenificar e corrigir os valores dos ponos aípicos. Para iso empregam-se os algorimos de deecção e correção de ponos aípicos já dealhados no cálculo dos valores das Tabelas B4 e B9 do

82 méodo. Como a esimação da componene irregular esá disponível só é necessário efeuar os passos 4 e 5 do algorimo. Passo 4: Cálculo do desvio padrão móvel. Os desvios padrões correspondenes ao ano de 987 serão calculados com os dados de 985 aé 989 dois anos anes e dois anos depois. σ dez89 ( I jan85 00) ,0993 Os desvios padrões calculados para os anos de 988 a 2000 são calculados uilizando o mesmo princípio descrio acima. Para o anos de 985 e 986 uilizase os 5 anos de observações como em 987. Para o cálculo dos desvios padrões dos anos de 200, 2002 e 2003, em-se 6 dados, correspondenes a janeiro de 998 e a janeiro de Ese primeiro cálculo serve para localizar os ponos aípicos, que são os ponos que superam em valor absoluo o desvio de sua média eórica em mais de 2,5 vezes o desvio padrão correspondene. O Gráfico 2.3 represena o desvio da componene irregular em relação a sua média eórica, bem como os limies de confiança.

83 2 5 Abril de Maio de 995 Ouubro de Abril de Limie sup 2,5*dp (Irreg-média eórica) Limie inf 2,5*dp Gráfico 2.3 Componene irregular e seus limies de confiança. Observam-se quaro valores considerados aípicos. Eses valores da componene irregular serão eliminados e novo cálculo do desvio móvel será efeuado. Os novos valores esimados dos desvios móveis da componene irregular são apresenados no Quadro 2.9: Quadro 2.9 Esimação dos desvios padrões móveis 5 anos.

84 Inervalo de confiança sup,5*dp Inervalo de confiança sup 2,5*dp (Irreg-média eórica) Inervalo de confiança inf,5*dp Inervalo de confiança inf 2,5*dp Gráfico 2.4 Componene irregular e seus novos limies de confiança. O Gráfico 2.4 represena o desvio da componene irregular em relação a sua média eórica, bem como os novos limies de confiança. Os novos limies de confiança são mais esreios devido à eliminação dos quaro valores aípicos deecados aneriormene. Passo 5: Deecção dos valores aípicos e ponderação da componene irregular. Os valores da componene irregular que superam, em valor absoluo, 2,5 desvios padrões levam peso zero; os que, em valor absoluo, se siuam enre,5 desvio padrão e 2,5 desvios padrões são considerados moderadamene aípicos e devem ser amorecidos, levando um peso que varia linearmene enre 0 e, em função de suas posições; os que, em valor absoluo, são menores que,5 desvio padrão recebem peso. Por exemplo, para o mês de abril de 990: abr , , 39

85 4 2,5σ 2,5 2,5600 6,400 Como 9,39 > 6, 400, a observação de abril de 990 é considerada aípica e levará peso zero. Para o mês de março de 985, em-se: mar , ,025,5σ,5 2,0993 3,48 2,5σ 2,5 2,0993 5,248 Como: 3,48 4,025 5, 248 a observação de março de 985 é considerada moderadamene aípica em relação às demais e deverá levar um peso proporcional. O cálculo do peso é feio da seguine forma: 2,5σ irreg 00 peso ( ) 2,5σ,5σ 5,248 4,025 peso ( mar85) 58,29% 5,248 3,48 A Tabela B7 do méodo mosra os pesos associados às componenes irregulares.

86 5 Tabela 2.47 Pesos associados aos valores da componene irregular (Tabela B7 do méodo X). Tabela B8: Coeficienes para dias rabalhados combinados. Os coeficienes para dias rabalhados são combinados devidos a ajuses a priori e à regressão de dias rabalhados. Se for feia a opção de correção de coeficienes diários a priori que correspondem ao conjuno de passos inseridos na eapa A dos efeios de dias rabalhados com a opção de regressão de dias rabalhados, a Tabela B8 do méodo apresena o resulado combinado desas correções, por adição deses efeios. Eses pesos diários combinados permiem esimar os coeficienes de correção para cada mês, do mesmo modo que a Tabela B6 do méodo. No caso adiivo esa abela não é ediada pois não se pode empregar a correção a priori. No caso muliplicaivo, calcula-se M 7 j α D N j * j,sendo conidos no mês;, (, α, α ) D j é o número de dias j (segundas, erças,...,domingos) α L são os pesos combinados de cada dia (coluna 2, pesos combinados ) da Tabela 2.43; e 7 * N é igual ao número de dias do mês se os coeficienes de ajuse a priori forem dados ou em caso conrário é igual a 3, 30 ou 28,55, se o mês iver 3 ou 30 dias ou ainda se o mês for fevereiro. No exemplo a Tabela B8 do méodo é idênica à abela B6 do méodo.

87 6 Tabela 2.48 Coeficienes para esimação dos dias rabalhados combinados (Tabela B8 do méodo X). A série original é corrigida dos efeios de dias rabalhados esimados aneriormene na Tabela B8 do méodo. O cálculo é feio fazendo: B 9 B B 8 A Tabela 2.49 apresena a série brua corrigida das variações de dias rabalhados.

88 7 Tabela 2.49 Série brua corrigida dos efeios de dias rabalhados (Tabela B9 do méodo X). Calcula-se o peso da correção dos valores da componene irregular (Tabela 2.46) que foram considerados aípicos durane o cálculo dos valores da Tabela B7 do méodo. Esses valores são corrigidos da seguine maneira: Esquema adiivo: B B a ( ) Esquema muliplicaivo: 20 6 B7 B 20 B 6a [ B ( B ) ] 7 6a Nessa eapa esima-se os valores que irão corrigir a série original. Ese é o objeivo de oda a eapa B. Um pono considerado aípico recebe peso zero e o valor da correção igual ao valor da componene irregular corrigida. O valor para o mês de março de 985, que foi considerado aípico e que aribuiu-se um peso de 0,58288, será corrigido da seguine maneira:,04025 mar ,64 [ 0,58288 (,04025 ) ] A Tabela B20 do méodo apresena os valores de correção dos ponos aípicos.

89 8 Tabela 2.50 Valores de correção dos ponos aípicos. A Figura 2.3 mosra esquemaicamene o desenvolvimeno da eapa B do algorimo X.

90 Figura 2.3 Esquema eapa B do algorimo X. 9