Susan Schommer Risco de Crédito 1 RISCO DE CRÉDITO

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1 Susan Schommer Risco de Crédio 1 RISCO DE CRÉDITO Definição: Risco de crédio é o risco de defaul ou de reduções no valor de mercado causada por rocas na qualidade do crédio do emissor ou conrapare. Modelagem: Exisem duas principais linhas: a) Risco em careira de crédio: CrediMerics (JPMorgan), Modelo KMV (Moody s) e CrediRisk+ (CSFB) b) Risco para concessão de crédios no varejo: écnicas baseadas em Credi Scoring. Risco de defaul O risco de defaul ocupa uma pare cenral na precificação e hedging do risco de crédio. Na lieraura, em-se buscado diferenes méodos para modelar probabilidades de defaul e sua migração. Medida ingênua de probabilidade de defaul: frequência no qual o devedor da mesma classificação (raing) foi a defaul. Esa classificação em geral é dada por agências ais como Moody s ou Sandard & Poor s. O desenvolvimeno da classificação para uma empresa cosuma considerar os seguines faores na sua avaliação: arcabouço insiucional, condições macroeconômicas, risco políico, consisência macroeconômica, condições financeiras de curo prazo, perfil da dívida, conrole das finanças. Tabela: média de 1 ano das axas de defaul de empresas, por classificação, para o período de de acordo com a Moody s. Fone: Duffie and Singleon (2003)

2 Susan Schommer Risco de Crédio 2 Ese méodo é ingênuo no senido que não capa uma nova informação vinda do mercado e não disingue as empresas da mesma classificação, a não ser que ome os dados da própria empresa. Além disso alguns esudos comprovam que as classificações de crédio são mais esáveis via ciclos do negócios do que poderiam indicar o risco de defaul absoluo. Economericamene a variável explicada é a média da axa de defaul (gráfico abaixo) e as variáveis explicaivas são variáveis macroeconômicas, desvios da aual axa de defaul com grau especulaivo da axa de defaul esperada, variáveis de ofera (ex preços do peróleo). Gráfico: Média da axa anual de 1 ano de defauls grau especulaivo para Taxa de defaul Fone: Duffie and Singleon (2003) Medidas quaniaivas de probabilidade de defaul: Seja ) a probabilidade de sobreviver anos (não ir a defaul pelo menos em anos). A probabilidade de defaul enre qualquer período e s é )-s). A probabilidade de sobreviver no período s, dado que sobreviveu no período, considerando mais nenhuma oura informação sobre o emissor ou economia, é dada pela regra de Bayes: s) p ( s ) = ) pois, pela regra de Bayes para quaiquer evenos A e B emos: P ( A e B) = P( A B) P( B) aqui A é o eveno de sobreviver por s anos e B é o eveno de sobreviver por anos. O eveno que ambos A e B ocorrem é o eveno de sobreviver s anos.

3 Susan Schommer Risco de Crédio 3 Chamaremos de 1 s ) a probabilidade de defaul, enre os períodos e s, dado que sobreviveu em. Para calcular esa probabilidade de defaul vários modelos êm sido proposos. Aqui esudaremos os modelos esruurais que são baseados no modelo clássico de Black e Scholes (1973) e Meron (1974), sob o qual o defaul ocorre para a daa de mauridade da dívida no eveno que o valor do aivo é menor do que o da dívida. O segundo bloco de modelos de defaul que esudaremos são os modelos de inensidade, o qual são baseados na noção de inensidade de chegada do defaul. Modelos esruurais: Para o caso de um único íulo de valor de face D mauridade em T, nos modelos de Black e Scholes (1973) e Meron (1974) assumem defaul para o período T no eveno que A T =D. Graficamene emos: Gráfico: Modelo esruural de defaul de Black-Scholes-Meron Valor do aivo (A) Pono de Defaul (D) Aivo Disância para o Defaul (DD) Probabilidade de Defaul Hoje T Tempo Nesse modelo o valor das ações da empresa equivale a uma opção de compra sobre o valor dos aivos (A) com preço de exercício dado pelo valor da dívida e vencimeno T, denoado por C(A,T,D). O valor correne da dívida é simplemene obido pela diferença enre o valor correne do aivo e o valor da opção sobre os aivos: D =A C(A,T,D) Nese modelo o valor dos aivos é aproximado pela soma do valor de mercado das ações e das dívidas, baseado no processo do aivo log-normal sob o qual: da = ( µ γ) d + σ db A onde µ é a axa de reorno dos aivos, γ é a axa de pagameno de dividendos, σ é a volailidade dos aivos e B é um movimeno Brownian padrão.

4 Susan Schommer Risco de Crédio 4 A probabilidade de defaul é obida da disribuição de probabilidade do valor dos aivos em daa fuura T. A disância para o defaul medida em número de desvios é: log A log D X = σ onde D é o pono de defaul de empresa. Noe que X é um movimeno Browniano com variância uniária e um nível consane de m=(µ - γ - σ 2 /2)/σ a axa de roca da média da disância do defaul. Enão, o defaul ocorre para a mauridade T com probabilidade condicional: X + m( T ) P( X T 0 X ) = N T onde N(x) é a probabilidade que uma variável normal padrão é menor do que x Assim a disância para o defaul, DD, é uma medida ordinal do risco de defaul da empresa. Tal que, ela produz uma simples e robusa medida de risco de defaul. A fórmula é: 2 log A log D + ( µ γ σ 2) h DD( h) = σ h onde h=t- Exemplo 1: Seja uma empresa com uma dívida a vencer em dois anos com valor de final $400 e suas ações com valor de mercado oal de $100 perfazendo um valor oal para os aivos de $500. A axa de crescimeno dos aivos é de 15% a axa de pagamenos de dividendos de 14% e volailidade dos aivos de 10%. Qual é a probabilidade de defaul em 2 anos? Na práica, com base nos modelos eóricos de Black-Scholes-Meron, a KMV Corporaion desenvolveu um bom esimador empírico de probabilidades de defaul, chamado frequência de defaul esimada (EDF) e ambém a Moody s possui um esimador de probabilidades de defaul que é baseado nas informações do balanço e uiliza modelo economérico logi para ajusar os dados hisóricos com informações específicas da empresa. No modelo KMV, a idéia é esimar a fração de empresas que em anos aneriores deram defaul em 1 ano. A EDF é a área sob a frequência de disribuição abaixo do pono de defaul, no qual represena a probabilidade do valor de mercado dos aivos da empresa em 1 ano serem menores do que ganhos da empresa (ver figura abaixo). Enão, a probabilidade de defaul crescerá se o valor de mercado dos aivos da empresa decrescerem hoje, se o monane da dívida crescer ou se a volailidade do valor de mercado do aivo crescer. Esas rês variáveis são as principais deerminanes da probabilidade de defaul da empresa.

5 Susan Schommer Risco de Crédio 5 Figura: Modelo KMV de probabilidade de defaul Valor esperado do aivo Valor do aivo (A) Disância para o Defaul (DD) Pono de Defaul (D) EDF Fone: Kealhofer (2003) Hoje 1 ano Tempo Na compuação da disância do defaul (DD), KMV obem a volailidade do aivo esimada via hisórico dos preços das ações, omando em cona a dependência da volailidade das ações na volailidade dos aivos. O nível esimado dos aivos é baseado no raameno dos aivos correnes como soma da medida da dívida e valor de mercado correne da ação. O modelo KMV diferencia-se do modelo de Meron no senido que o de Meron o valor esimado da dívida da empresa baseia-se no valor do aivo da empresa e volailidade, enquano o foco do KMV são as relações enre as caracerísicas das ações das empresas e as caracerísicas de seus aivos. De um cero pono de visa eses modelos não são diferenemene significaivos, mas do pono de visa práico sim. Pesquisadores usando o modelo de Meron para invesigar a precificação da dívida da empresa êm obido resulados pobres, enquano, que os baseados na disância de defaul como medida de risco de defaul em apresenado resulados bons. Em paricular, o KMV usa medida ordinal e disribuição empírica. Modelos na forma reduzida: Enquano os modelos esruurais são baseados em argumenos econômicos, os modelos na forma reduzida são uma pouco ad-hoc. Aqui não argumenamos porque uma firma enra em defaul, mas modela o defaul como um eveno ipo Poisson no qual ocorre de forma não esperada. Eses modelos são chamados de inensidade do defaul, por que definem defaul como a primeira chegada no período τ do processo de Poisson com alguma axa média consane de chegada, chamada inesidade, frequenemene denoado por λ. A probabilidade de sobreviver em anos é: λ ) = e significando que o empo de defaul é disribuído exponencialmene. O empo esperado para o defaul é :

6 Susan Schommer Risco de Crédio 6 1/λ que é a média de um processo de poisson. A probabilidade de uma ocorrência de um eveno durane o período é de aproximadamene: λ λ, ie, λ 1 e para pequeno. Se T é o empo aé o defaul e esse saisfaz um processo de Poisson enão T em uma função densidade exponencial: f T ( ) = λe λ A função disribuição é: λ F ( ) =1 e T Exemplo 2: Tomando um íulo com probabilidade de defaul de 4,96% em dois anos (T), a probabilidade de defaul de um mês é: No caso acima assumimos que a inensidade de defaul λ é consane no empo, enreano, dificilmene isso ocorre. Uma exenção é considerar um modelo com a inensidade de defaul variando no empo de forma deerminísica ou ainda esocásica. No caso deerminísico, suponha que a inensidade de defaul é consane para a axa λ(1) durane o 1º ano e é uma consane conhecida λ(2) para o 2º ano. Enão pela regra de Bayes, a probabilidade de sobreviver para 2 anos é: λ (1) λ (2) [ λ(1) + λ(2)] p (2) = 1) 2 1) = e e = e Para o caso geral o cálculo para anos, recursivamene, a probabilidade de sobreviver por anos é: [ λ (1) + K+λ( )] ) = e onde λ(i) é a inensidade do defaul durane i anos. Sob condições écnicas, passamos para o caso de variação de inensidade conínua deerminísica: = λ ( ) d 0 ) e Temos que variação deerminísica da inensidade poderia enão implicar que a única informação relevane para o risco de defaul que chega sobre o empo é o mero fao de sobreviver ao período. Mas geralmene, no empo, podemos er uma nova informação, além de simplemene sobrevivência, que poderia ser a piora na qualidade do crédio do emissor, enão a inensidade do defaul poderia variar aleaoriamene com esa nova informação. Por exemplo, poderíamos supor que a inensidade varia com variáveis de esado, ais como classificação de crédio, disância do defaul, preço da ação de um emissor, ou com ciclo dos negócios. Ou ainda modelar o λ com um processo esocásico de reversão a média com salos, ou como um processo de Cox, Ingersoll e Ross (1985), ou ainda como um processo afim que veremos mais dealhadamene.

7 Susan Schommer Risco de Crédio 7 A grande classe de modelos de inensidade com fórmulas explícias para probabilidades de defaul é baseada na idéia de um processo X de Markov. Em ermos práicos poderíamos modelar a inesidade de defaul como: λ = a + bx onde a e b são consanes não negaivas e X=(X (1),, X (n) ) é um veor com n processos independenes. Por exemplo, a variável X (1) poderia ser a classificação de crédio com menor risco (Aaa na Moody s) e a variável X (n-1) a de maior risco, anes do defaul e a X (n) o defaul. A passagem de um esado para ouro poderia ser modelada como um processo de rocas de regime markoviano, o qual obemos a mariz com as probabilidades de ransição. Previsão esaísica de defaul: Nós já emos viso vários modelos de séries de empo para descrever frequencias agregadas de defaul. Agora, volamos dando maior dealhameno i na esimaiva de probabilidade que a empresa irá a defaul ( D = 1) ou não i ( D = 0) no período. As probabilidades são condicionais a informação sobre a performance passada da empresa e condições auais do mercado, X i. Uma classe de modelos em geral uilizada são os modelos binários Probi e Logi. No caso do modelo Logi a probabilidade condicional de defaul é da forma: α+ βxi i i e P( D = 1 X i, D 1 = 0) = α+ βxi 1+ e Lennox (1999) ciado por Duffie e Singleon(2003) aplicou eses méodos para prever defaul com uma amosra de 949 empresas de UK para O veor X i para cada empresa inclui indicadores de ciclo dos negócios, dummies da indúsria e várias variáveis do balanço da empresa. Lennox avaliou que os mais imporanes deerminanes de defaul foi o amanho da empresa e seor e ciclo econômico. Transição nas classificações de crédio A possibilidade das agências de classificação rocarem a classificação de crédio dos íulos emiidos é uma fone imporane de risco de crédio, pelos seguines faores: a) Ceros íulos corporaivos possuem axas coupon arelada expliciamene á classificação de crédio; b) No acordo da Basiléia proposo os requerimenos de capial de bancos regulados serão em pare baseados nas classificações de crédio; c) Derivaivos de crédios e ouros conraos algumas vezes em provisões para pagamenos coningenes baseado nas rocas de classificação de crédio. Por eses moivos um modelo de risco de rocas de classificação é um imporane para adminisração de risco de crédio e para o valor esperado de muios insrumenos de mercado que são sensíveis ao crédio.

8 Susan Schommer Risco de Crédio 8 Medida ingênua de ransição de classificação de crédio: A maioria das agências de classificação publicam a média hisórica de ransições das classificações de crédio na forma de uma mariz de médias de frequência de ransição. Tabela: Frequencia de ransição das classicações para média do período para odas as empresas de acordo com Moody s Classificação Classificação para final do período (%) Inicial Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C Defaul Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C Fone: Duffie e Singleon (2003) Ese modelo é chamado ingênuo pelos seguines moivos: a) é uma média de ransição sobre um longo período, no qual condições ecônomicas oscilam; b) mesmo ignorando as considerações cíclicas, axas de ransição de 1 ano não podem ser fixadas sobre a idade do íulo, idade da empresa, classificações aneriores. Assim como no risco de defaul, exise dependência das probabilidades de ransição para duração nas caegorias ou idade de classificação; c) Diferenes empresas da mesma classificação em diferenes qualidades de crédio e uma dada firma de classificação fixada em uma qualidade de crédio que muda com o empo. Modelos de classificação como cadeias de Markov: Esa modelagem usa o méodo de inensidade viso aneriormene, sendo que nese caso as ransições de classificação podem ocorrer em qualquer período. Seja K classificações que não esão em defaul e K+1 a classificação de defaul. Para qualquer classificação correne i, exise uma inesidade de ransição de um salo para qualquer oura classificação j dado um período, o qual denoaremos por ij (). Por exemplo, qualquer empresa classificada por I em uma inensidade de defaul de i,k+1 (). Supomos que não há ransição depois do defaul K+1,i ()=0 para odo I < K+1. A inensidade de ransição pode a seguine forma: 1) Transição deerminísica e consane:

9 Susan Schommer Risco de Crédio 9 Por exemplo, omando K=6 classificação sem defaul, Aaa, Aa, A, Baa, Ba, B e seja a classificação com defaul nº 7, chamada D. A inesidade oal de roca na classificação para o emissor classificação-b é: B, Aaa B, Aa B, A B, Baa B, Ba B, D O gerador para a cadeia de Markov é a mariz que para o exemplo é 7 7: L 16 1D L 26 2D = M M M O M M L 66 6D L 0 0 Assim como aneriormene ínhamos definido o λ como o processo de inensidade para o caso de defaul, o equivalene nese caso é o. Do mesmo modo que aneriormene, obemos que a probabilidade de começar em com uma classificação e rocar em s>, definida por: ( s ) Π (, s) = e 2)Transição deerminísica e variando no empo: Nese caso a mariz não será mais consane e poderá ser escria como para a ij-ésima enrada: ( ) = exp[ η + γ X ( )] ij onde η e γ são consanes que podem ser esimadas usando informações hisóricas e X() é um veor de variáveis que pode incluir íulos, ações e variáveis do mercado de crédio. ij ij