ESTIMATIVA DO NÚMERO MÍNIMO DE PEÇAS DE REPOSIÇÃO REPARÁVEIS UTILIZANDO PROCESSOS ESTOCÁSTICOS MARCUS VINICIUS DA SILVA SALES

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1 ESTIMATIVA DO NÚMERO MÍNIMO DE EÇAS DE REOSIÇÃO REARÁVEIS UTILIZANDO ROCESSOS ESTOCÁSTICOS MARCUS VINICIUS DA SILVA SALES UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF CAMOS DOS GOYTACAZES - RJ MAIO - 2

2 2 ESTIMATIVA DO NÚMERO MÍNIMO DE EÇAS DE REOSIÇÃO REARÁVEIS UTILIZANDO ROCESSOS ESTOCÁSTICOS MARCUS VINICIUS DA SILVA SALES Disseração apresenada ao Cenro de Ciência e Tecnologia da Universidade Esadual do Nore Fluminense como pare das exigências para obenção de íulo de Mesre em Engenharia de produção". Orienador a: rofª Gudelia Guilermina Morales de Arica CAMOS DOS GOYTACAZES - RJ MAIO - 2

3 3 FICHA CATALOGRÁFICA reparada pela Biblioeca do CCT / UENF 29/2 Sales Marcus Vinicius da Silva Esimaiva do número mínimo de peças de reposição reparáveis uilizando processos esocásicos / Marcus Vinicius da Silva Sales. Campos dos Goyacazes 2. xiii 87 f. : il. Disseração Mesrado em Engenharia de rodução -- Universidade Esadual do Nore Fluminense Darcy Ribeiro. Cenro de Ciência e Tecnologia. Laboraório de Engenharia de rodução. Campos dos Goyacazes 2. Orienador: Gudélia Guilermina Morales de Arica. Área de concenração: esquisa operacional. Bibliografia: f Conrole de esoque 2. eças de reposição sobressalene 3. Aplicação de processos esocásicos I. Universidade Esadual do Nore Fluminense Darcy Ribeiro. Cenro de Ciência e Tecnologia. Laboraório de Engenharia de rodução li. Tíulo CDD iii

4 4 ESTIMATIVA DO NÚMERO MÍNIMO DE EÇAS DE REOSIÇÃO REARÁVEIS UTILIZANDO ROCESSOS ESTOCÁSTICOS MARCUS VINICIUS DA SILVA SALES "Tese apresenada ao Cenro de Ciência e Tecnologia da Universidade Esadual do Nore Fluminense como pare das exigências para obenção de íulo de mesre em Engenharia de rodução". Aprovada em 2 de Maio de 2. Comissão Examinadora: iv

5 5 Dedicaória Dedico esa disseração a minha família em especial a minha ia Maria das Graças Gonçalves da Silva In memorian que em vida me moivava com oda a sua sabedoria e dedicação ao esudo e ao rabalho. A odos o meu eerno agradecimeno. v

6 6 Agradecimenos A Deus sobre odas as coisas. Aos meus pais José Anônio e Nilça por serem formadores do meu caráer e que sempre me incenivaram aos esudos. As minhas irmãs e meus sobrinhos pela paciência e não paciência que iveram comigo durane odo o meu esudo. Aos meus ios e primos por compreenderem muias das minhas falas sei que vocês sempre acrediaram em meu poencial. A rofª. Gudelia Morales minha orienadora do mesrado pelos ensinamenos disponibilidade e orienações para que eu pudesse concluir esa disseração com o conhecimeno maior do que quando iniciei. Ao rofº. aulo Dias meu orienador na graduação por me incenivar na formulação do ema aqui apresenado. Ao rofº. José Arica pelos ensinamenos e por sempre esar de poras aberas para me receber e esclarecer minhas dúvidas. Aos professores do LEROD/CCT pelos ensinamenos e confiança deposiada em mim. A Káia Rosane e Rogério Casro Secreária do LEROD e Secreário Acadêmico por sempre esarem disposos a me audar orienando nos procedimenos a serem omados durane o mesrado. Ao grande amigo Fernando França que desde o inicio do mesrado mosra-se como um exemplo de amizade; por ser meu psicólogo me escuando em momenos de dificuldade e me audando a solucioná-los. Aos amigos do mesrado pelo companheirismo pelas dicas boas conversas e pelos bons momenos de desconração. André a paciência é a sua virude. A minha amiga Tamara que desde a graduação deposia ana confiança em mim. Aos meus amigos Anderson Felipe Maycon e aulo por me apoiar durane ese período respeiando os meus momenos de esudo e sempre esando presenes quando eu precisava. A CAES Coordenação de Aperfeiçoameno de essoal de Nível Superior por financiar meus esudos e sempre acrediar na poencialidade de seus alunos. vi

7 7 Sumário Lisa de Símbolos... ix Lisa de Figuras... x Lisa de Tabela... xi Resumo... xii Absrac... xiii Capíulo - Inrodução... 4 Capíulo 2 - Esoques: Meodologias e Modelos Modelos simples para o cálculo dos esoques Revisão de lieraura sobre esoque de peças de reposição Capíulo 3 - Conceios reliminares rocessos Esocásicos rocessos Markovianos Cadeia de Markov Equações de Chapmam-Kolmogorov Classes de esados em uma cadeia de Markov robabilidades de Esado Esável Cadeias de Markov em Tempo Conínuo rocesso de Nascimeno e More Disribuição ipo Fase H Capíulo 4 - Meodologia QBD e Aplicações rocesso de Quase Nascimeno e More QBD Represenação de linhas de rodução arâmeros de Confiabilidade Usando um rocesso QBD Esimaiva de peças de reposição reparáveis vii

8 8 Capíulo Conclusões Considerações Finais Trabalhos fuuros Referências ANEXO I Diferença enre Disribuição e rocesso de oisson ANEX II Exponencial de uma Mariz Quadrada ANEXO III Operações de Kronecker... 8 ANEXO IV Definições de Confiabilidade e Disponibilidade AÊNDICE A viii

9 9 Lisa de Símbolos EOQ Economic Order Quaniy Loe Econômico de Compras. QBD process Quasi-Birh- and-deah rocesso de Quase-Nascimeno-e-More. M/M/ Modelo de Fila com processo de chegada do ipo oisson empo de serviço exponencial e apenas um servidor. Disribuição H Disribuição ipo Fase. Q Mariz geradora infiniesimal formada por blocos ri-diagonais que indicam probabilidade de ransição enre esados e subesados. Operação produo de kronecker. Operação soma de kronecker. ix

10 Lisa de Figuras Figura Cadeia esocásica de parâmero discreo a: Fogliai e Maos Figura 2 Cadeia esocásica de parâmero coninuo b: Fogliai e Maos Figura 3 rocesso esocásico conínuo de parâmero discreo c: Fogliai e Maos Figura 4 rocesso esocásico conínuo de parâmero coninuo do iem d: Fogliai e Maos Figura 5 Diagrama de fluxo de uma cadeia de Markov de parâmero coninuo: Fogliae e Maos Figura 6 Tela de enrada para os esados 2 i de uma Cadeia de Markov do exemplo na página 77 em Hillier e Lieberman Figura 7 Mariz de ransição na 2ª eapa n Figura 8 Mariz de ransição na 5ª eapa n Figura 9 Represenação em diagrama de rede da mariz de ransição... 4 Figura Mariz de ransição na 8ª eapa apresenando as probabilidades de esado esável calculadas para n eapas Figura robabilidades de esado esável calculadas por meio das equações de esado esável...42 Figura 2 Modelo básico do rocesso nascimeno e more usando grafos: Fogliai e Maos Figura 3 Represenação de um processo QBD: Fadiloglu e Yeralan Figura 4 Servidor com buffer limiado e parâmeros relevanes: Fadiloglu e Yeralan Figura 5 Diagrama de ransição de Markov para o Modelo : Fadiloglu e Yeralan Figura 6 Servidor com avaria e reparo e seus parâmeros relevanes adapado de Fadiloglu e Yeralan x

11 Figura 7 Diagrama de ransição de Markov do Modelo 2: Fadiloglu e Yeralan Figura 8 Servidor com empo de serviço Erlang-2 buffer limiado e parâmeros relevanes: Fadiloglu e Yeralan Figura 9 Diagrama de ransição de Markov do Modelo 3: Fadiloglu e Yeralan Figura 2 Resulados obidos com o código do algorimo HUANG-LIANG-GUO rodado no Scilab Figura 2 Gráfico para a disribuição de oisson com diferenes Figura 22 Código que gera a mariz infiniesimal Q do exemplo numérico seção 4 em érez-ocón e Monoro-Cazorla Figura 23 Mariz Q do exemplo numérico seção 4 em érez-ocón e Monoro- Cazorla 24 com as primeiras e as 8 úlimas colunas na ela do aplicaivo Scilab Figura 24 Código implemenado a parir do código do algorimo de HUANG- LIANG-GUO Lisa de Tabela Tabela - Classificação de rocessos Esocásicos sob a naureza do Tempo e o Espaço de Esados diferenciados...3 Tabela 2 Valores de confiabilidade para que um sisema permaneça em funcionameno analisado por diferenes valores de...7 xi

12 2 Resumo Diferenes ferramenas auxiliam a omada de decisão do número esimado de peças de reposição garanindo a coninuidade de um processo produivo. As caracerísicas dessas peças fazem necessário o uso de modelos que incorporem a aleaoriedade na definição confiável no amanho dos esoques. Enão foi esudado à ferramena que modela esa omada de decisão usando processos markovianos de empo conínuo. ara a represenação desse ipo de problema foi necessário o esudo da exensão do processo de nascimeno e more chamado processo de quase nascimeno e more QBD Quasi-Brih-and-Deah process. É por meio dese que se consruiu um algorimo capaz de esimar a quanidade de peças de reposição com uma confiabilidade especificada. Nese rabalho consruiu-se um código para esar numericamene o algorimo em ambiene Scilab esado uilizando dados presenes na lieraura com um desempenho numérico saisfaório. alavras-chave: Conrole de Esoque eças de reposição sobressalene Aplicação de rocessos Esocásicos. xii

13 3 Absrac Differen ools help decision making in he esimaed number of spare pars ensuring coninuiy of a producion process. The characerisics of hese pieces are necessary o use models ha incorporae randomness in he reliable definiion of he size of invenories. So was sudied wih he ool ha shapes his decision-making processes using coninuous ime Markov. To represen his ype of problem i was necessary o sudy he exension of he birh and deah process called quasi birh and deah process QBD process. I is hrough his ha has buil an algorihm o esimae he amoun of spare pars wih a specified reliabiliy. In his work we consruced a numerical code o es he algorihm in an environmen Scilab esed using daa from he lieraure wih a saisfacory numerical performance. Keywords: Invenory Conrol Demand of Spare ars Applicaion of Sochasic rocesses. xiii

14 4 Capíulo Inrodução Os séculos XX e XXI caracerizam-se pelo crescimeno econômico pelo desenvolvimeno ecnológico da informação e o aumeno da paricipação dese na gesão de negócios. O desenvolvimeno se deu graças à globalização dos mercados que permie disponibilizar da informação em empo real as comunicações mais rápidas e a inegração dos mercados. Assim sendo sob auxilio desas ecnologias de informação e comunicação a logísica evolui garanindo às empresas acessibilidade aos mercados em diferenes locais no mundo de forma compeiiva. Aualmene uma das formas que as empresas enconram para ober vanagens compeiivas no mercado é por meio de uma gesão eficiene da cadeia de suprimenos. A relação do cliene-fornecedor esá cada vez mais evidene nese meio garanindo assim grandes oporunidades de negócios principalmene na redução de cusos BALLOU 26. Como pare da cadeia de suprimenos a Logísica é enendida como uma função empresarial que em por obeivo aender o cliene em um nível de serviço especificado. ara isso são necessárias omadas de decisão nos níveis esraégico áico e operacional nas rês áreas que compõe a Logísica: ranspores; esoques e localização BALLOU 26. Tais omadas de decisão influenciam direamene nos cusos gerais da empresa no aendimeno ao cliene nos problemas operacionais e na lucraividade da companhia. Além disso os esoques são de grande imporância para avaliação da liquidez da empresa por pare de invesidores e insiuições

15 5 financeiras. orém não é fácil omar decisões adequadas viso que exisem muias fluuações dos produos que ornam os problemas mais complexos de serem resolvidos. Sendo assim os gesores de esoque sempre se deparam com problemas que podem ser conflianes: os esoques geram cusos por armazenagem empaam uma quania significaiva do capial conudo eles proporcionam cero nível de segurança nos ambienes onde a demanda é variada. Com esa visão um esudo sobre gesão de esoque em paricular sobre a gesão de peças de reposição ou peças sobressalenes é relevane. ois normalmene a gesão desses iens é complexa porque eses êm como caracerísicas demandas baixas e irregulares as resposas a pedidos de fornecimeno para reposição podem omar longos períodos de empo meses e o cuso de aquisição por unidade é alo. O que se percebe é que a omada de decisão sobre peças sobressalenes é feia de forma inuiiva iso é pela experiência adquirida na práica e/ou apenas aplicando princípios gerais da adminisração de esoque. Segundo Huiskonen 2 o principal obeivo do gerenciameno de esoques de sobressalenes é conseguir um paamar saisfaório de nível de serviço confiabilidade e disponibilidade com o mínimo cuso. O presene rabalho é desenvolvido omando como foco o amanho do esoque de peças de reposição reparáveis. Uilizar a opção de reparação nesas peças é mais viável do que se fazer a subsiuição das mesmas ano por quesões econômicas quano por quesões emporais e assim podem-se resgaar princípios ambienais. Abordagens para esimar o esoque desas peças de reposição é feia sobre a imporane hipóese: uma peça ao ser reparada vola ao funcionameno ão boa quano uma nova; iso faz com que o sisema operacional não fique compromeido. Enão ao se deparar com esas caracerísicas percebe-se que exise uma ampla oporunidade de áreas a serem pesquisadas. Como obeivos do rabalho preende-se idenificar modelos que uilizam ferramenas esocásicas para a definição do amanho do esoque de peças de reposição e; esimar o amanho óimo do esoque de peças de reposição reparáveis. ara eses propósios serão direcionados os esudos em processos esocásicos disribuição ipo Fase e o processo de quase nascimeno e more.

16 6 Focado nesa oporunidade é que se desenvolve o presene rabalho rabalhar com peças de reposição e que seam reparáveis. A seguir serão apresenados abordagens e modelos que solucionam al problemáica para a deerminação deses iens. Os rabalhos relacionados no próximo capíulo abordam diferenes meodologias para a idenificação da quanidade de peças de reposição que ainda esão em esoque o qual leve a fazer um novo pedido para garanir que o sisema produivo coninue em funcionameno. Esas meodologias são necessárias para que o sisema não enre em colapso o que permie abordar o problema de esoque em esudo como a deerminação do esoque de peças de reposição para eviar um próximo esado de falha. O esado de falha é enconrado normalmene em rabalhos que envolvem a manuenção de equipamenos onde as peças de reposição são fundamenais para dar coninuidade ao funcionameno deses. Ese rabalho esá esruurado em 5 capíulos. No Capíulo 2 inicia-se o esudo sobre os esoques esendendo ao esoque de peças de reposição reparáveis apresenando as meodologias uilizadas para o cálculo da esimaiva das mesmas; No Capíulo 3 enconra-se o embasameno eórico desa disseração; No Capíulo 4 são apresenadas aplicações do processo de Quase Nascimeno e More QBD para sisemas produivos e no úlimo capíulo são apresenadas as considerações finais da pesquisa.

17 7 Capíulo 2 Esoques: Meodologias e Modelos O esoque em um papel fundamenal nos processos produivos ano para geração de produos quano para a venda deles. Corrêa e al. 2 definem que os esoques são acúmulos de recursos maeriais enre fases específicas de processos de ransformação. Ese capíulo em por obeivo no primeiro ópico apresenar o modelo clássico para o conrole de esoque cálculo do EOQ Economic Order Quaniy que é a esimaiva da quanidade de maerial a ser comprado que minimiza os cusos de invesimenos de uma indúsria. Adicionalmene uma exensão dese modelo que considera pedidos de maeriais novos e maeriais obiidos da recuperação de produos que reornaram à indúsria. No segundo ópico apresena-se uma revisão bibliográfica de meodologias aplicadas nos esoques de peças de reposição. 2. Modelos simples para o cálculo dos esoques A modelagem de esoques é uma ferramena que se uiliza para deerminar o nível de mercadoria que uma empresa deve maner para assegurar uma operação ranquila de seu processo produivo. Um modelo de esoque auda na omada de decisão da quanidade de maeriais que é necessário para um sisema produivo levando em consideração o equilíbrio enre o cuso de capial devido ao armazenameno dese esoque com aquele ocasionado pela fala do mesmo TAHA 27. A complexidade do problema de esoque não permie o desenvolvimeno de

18 8 um modelo geral que abrana odas as siuações possíveis. É preciso fazer uma análise dos dados coleados e criar um modelo específico para o problema que esá sendo levado em quesão. O faor primordial que afea a deerminação do nível de esoque é a naureza da demanda que pode ser ano deerminísica quano probabilísica. É mais comum segundo Taha 27 a uilização de demanda probabilísica porém em alguns casos a aproximação deerminísica pode ser aceiável. Um ipo especial de mercadoria considerado muio críico para a maioria das empresas são as peças de reposição por exemplo para compressores os mancais; e para Cs Deskop uma placa mãe ou HD. O conrole de esoque dessas peças de acordo com Silva 29 é necessário devido ao alo cuso de cada iem para o esoque prazos longos de fornecimenos deses e a pouca frequência de demanda dos mesmos conhecida como de baixo giro. ara se modelar problemas que envolvam a deerminação de esoques de peças de reposição e/ou esimaiva de falhas são uilizados os processos esocásicos e a eoria de filas. E a solução desses modelos pode usar várias ferramenas de cálculo ais como a programação linear ou a não-linear ou a dinâmica. No enano a escolha de qualquer que sea a ferramena dependerá da naureza da demanda para a resolução do modelo. Os criérios que noreiam o esudo dos modelos de esoque êm de responder a rês quesões básicas quais seam: quano pedir quando fazer o pedido e qual o nível de serviço que se desea oferecer. De acordo com os ineresses da empresa e obviamene da quanidade de informações que forem disponibilizadas pela mesma maior será o apoio desas ferramenas no auxílio à esimaiva média de capacidades e cusos produivos em cada eapa do processo esudado BRANCO e COELHO 26. De modo similar quano mais informações forem disponibilizadas a respeio da demanda mais ausados serão os resulados obidos aravés dessas ferramenas porano uma decisão mais segura poderá ser omada. ara responder a eses quesionamenos de quano e quando pedir os maeriais insumos se formula uma função de cusos oal de esoque cua variável será a quanidade a ser soliciada e em seguida busca-se a minimização desa função:

19 9 Cuso Cuso Cuso Cuso Cuso oal de de de de de compra preparação esocagem fala esoque 2.- onde Cuso de compra - é o preço uniário de um iem para o esoque; Cuso de preparação - represena os encargos fixos incorridos para que o pedido de compra sea emiido; Cuso de esocagem - represena o cuso de maner a mercadoria em esoque; Cuso de fala - é a mula incorrida pela fala de unidades em esoque. A demanda em um papel imporaníssimo no desenvolvimeno dos modelos de esoque conforme foi mencionado aneriormene a demanda para um deerminado iem pode ser deerminísica ou probabilísica e denro de qualquer caegoria a demanda pode variar ou não ao longo do empo. De acordo com Taha 27 em siuações práicas o padrão de demanda em um modelo de esoque pode assumir um dos quaro ipos a seguir:. Deerminísico e consane esáico ao longo do empo. 2. Deerminísico e variável dinâmico ao longo do empo. 3. robabilísico e esacionário ao longo do empo. 4. robabilísico e não esacionário ao longo do empo. Denre eses padrões considera-se a disponibilidade de dados da demanda fuura que seam represenaivos. Conhecer ese parâmero é essencial para a resolução de muios modelos de esoque. O modelo mais conhecido e uilizado para fazer cálculo da quanidade de esoque é o EOQ - Economic Order Quaniy conhecido ambém como Loe Econômico de Compras. Ese modelo calcula a quanidade a ser comprada de um insumo que vai minimizar os cusos de esocagem e de aquisição que maném um sisema produivo em funcionameno garanindo a saisfação do cliene. Realizar ese cálculo é imporane para as empresas pois a esimaiva enconrada irá funcionar como apoio a omada de decisão para os gesores na

20 2 cadeia de produção. A seguir é apresenado o desenvolvimeno para o cálculo do EOQ. ara alguns auores como Hiller & Lieberman 26 e Taha 27 o modelo de loe econômico de compra EOQ mais simples considera as seguines hipóeses: demanda consane; reabasecimeno insanâneo; e não aceia nenhuma fala do insumo. Assim se definem: y quanidade de pedido em unidades; d axa de demanda unidades por unidade de empo; comprimeno do ciclo do pedido em unidade de empo se calcula como y d ; K cuso de preparação associado com a emissão de um pedido por pedido; h cuso de esocagem por unidade de esoque e por unidade de empo; Assim considerando um nível de esoque igual ao valor médio do pedido y o cuso oal por unidade de empo TCU oal cos per uni ime será calculado 2 pela seguine função: K y TCU y h y 2 d Enão para enconrar a quanidade óima do pedido y* se minimizar a função TCU em relação à y. Como a função TCU é conínua para y > e sendo TCU diferenciável só deve-se resolver a equação y para enconrar os ponos críicos condição necessária da solução óima. Sendo a função TCU convexa a solução da equação anerior é um pono de mínimo pois nese caso a equação é uma condição suficiene. Assim o amanho óimo do pedido EOQ é 2Kd y* h Noar que ese primeiro modelo de loe econômico raa somene da elaboração de produos com maeriais novos virgens. orém nos úlimos 3 anos

21 2 por causa de faores ambienais e esgoameno de recursos naurais a ecnologia de produção se desenvolve e incorpora maeriais pós-consumo a parir de componenes recuperados de produos descarados da própria indúsria. Descobrindo-se assim um nicho de negócios que saisfaz a legislação ambienal presene em alguns países. Denro desa ideia é preciso formular modelos que incluam axas de recuperação de produos ao final da vida úil e de axas de recuperação de componenes maeriais necessários para nova produção. Esas novas abordagens só podem ser possíveis após a implanação de uma logísica reversa nas indúsrias manufaureiras ROGERS e TIBBEN-LEMBKE 2. Sob hipóeses de recuperação de iens no final de sua vida úil enconra-se uma das exensões do cálculo do loe econômico óimo. O modelo EOQ apresenado a seguir foi proposo por El Saadany e Jaber 28 modelado para dois armazéns um específico para a produção de novos e reparados e ouro somene para as armazenagens de produos recolhidos em que os parâmeros são: T - comprimeno do inervalo de empo da produção de iens novos e reparados unidades de empo onde T > ; T - comprimeno do primeiro inervalo de empo para produção unidades de empo em que T <T e T > ; n - número de loes de produção com insumos novos durane um inervalo de duração T; m - número de loes de produção com insumos reparados durane um inervalo de duração T; d - axa de demanda unidades por unidade de empo; h - cuso de manuenção por unidade por unidade de empo no º armazém; u - cuso de manuenção por unidade por unidade de empo no 2º armazém; α - axa de eliminação de resíduos onde < α < ; β - axa de iens coleados reparados onde α β e < β <; y - amanho de loe para inervalo T que inclui n loes recém-fabricados e m loes reparados; r - cuso de preparação para a reparação por loe;

22 22 s - cuso de preparação para a produção de novos por loe; 28. A seguir é apresenada a função cuso proposa por El Saadany e Jaber 2 2 K 2 d y α β 2 m K y m n α mr ns h 2 uβ uβ 2.-4 T y n m m onde h y y 2 α β uβy m K mr ns 2 T d n m β e 2 2d m y d. Noar que a função de cuso da relação 2.-4 em uma configuração análoga da função de cuso da relação O primeiro ermo esa relacionado aos cusos de preparação ou de pedido e o segundo ermo esá relacionado ao cuso de manuenção do esoque médio. O cuso de manuenção compreende o cuso de armazenagem de maeriais virgens mais o cuso de armazenagem de produos após consumo fone dos maeriais recuperados. Na relação 2.-4 defini-se a função K que é convexa e diferenciável em relação à variável y para cada valor de m n e α fixos iso é K / y > para odo y >. or esa razão e para valores de m n e α fixados esa relação em um único mínimo: 2d mr ns y m n α α β β h uβ β n m m O desenvolvimeno dese novo modelo esá relacionado com a necessidade de resulados que incorporem a remanufaura proposa inicialmene por RICHTER 996. Como puderam ser observadas as relações 2.-4 e 2.-5 foram adapados por El Saadany e Jaber 28 para esimar o EOQ uilizando iens que podem ser recuperados. É imporane desacar que o modelo adapado ausa-se bem a quanidade de pedido óimo viso que a função de cuso se maném ainda convexa e diferenciável assim como no modelo da relação Diane das caracerísicas de peças de reposição: alos cusos pouca roaividade e empos longos de fornecimeno exise o caso de peças que podem ser reparadas na própria indúsria as quais são chamadas de peças de reposição reparáveis. ode-se observar que a possibilidade de reparação não esá 2 2

23 23 considerada nas relações 2.-2 e 2.-4 que esima o loe econômico de esoque. Mesmo sendo muio eficiene para os iens comuns há uma necessidade maior de consruir ouros modelos para o esoque de ais peças de reposição Revisão de lieraura sobre esoque de peças de reposição A seguir apresena-se uma revisão bibliográfica das abordagens feias no raameno de esoques de peças de reposição recuperáveis e não recuperáveis de onde se afirma que ainda esá em desenvolvimeno um méodo geral para a deerminação do amanho dos mesmos. Iens reparáveis formam pare das peças de reposição as quais são écnica e economicamene recuperáveis. Em caso de falha a peça que causou a falha é subsiuída por uma de reserva e é enviada para um cenro de reparo inerno sendo poseriormene uma vez recuperada disponibilizada em esoque. Já os iens não reparáveis descaráveis correspondem às peças que não são nem écnica nem economicamene recuperáveis. Assim para eses iens em caso de falha a peça é simplesmene descarada GOMES e WANKE 28. Considerando eses dois ipos de peças de reposição é que se desenvolve esa revisão bibliográfica. Serão abordados aqui os méodos que foram uilizados para solucionar o problema de esocagem de ais peças. Koçağa 24 esudou um sisema de serviço de peças de reposição de um grande fabricane de equipamenos para semiconduores. De acordo com o auor a empresa em por obeivo fornecer peças de reposição e serviços aos clienes que a procuram ano por falhas de seus equipamenos quano para manuenções á programadas. Fazendo um levanameno hisórico das demandas foi percebido que as mesmas não são regulares e poderiam ser reclassificadas para melhorar a análise do aendimeno ao cliene. O auor propôs enão incorporar na empresa uma políica de racionameno com duas classes de demandas diferenciadas uilizando somene denro do empo de reabasecimeno seu lead-ime. Nese rabalho é consruído um modelo que assume que as demandas seguem uma disribuição de oisson e que o invenário é preenchido de acordo com a políica de esoques S S onde S indica o nível máximo de esoque iso é ão logo o nível de

24 24 esoque baixe em uma unidade é soliciado o ressuprimeno. Já no rabalho de Wanke 25 foram apresenadas considerações meodológicas sobre como segmenar a gesão de peças de reposição do ipo consumíveis em ermos de suas caracerísicas principais consumo médio e coeficiene de variação do consumo assumindo como base para a deerminação do nível de esoque a disribuição Gama. Segundo o auor os esoques na empresa são reposos com base em previsões de consumo para os próximos meses sendo que odas as peças de reposição são fabricadas inernamene e os ciclos de produção observam o horizone de um mês. ara ese propósio formulou o modelo de segmenação para ais peças implemenado em planilhas MS-Excel uilizando o aplicaivo esaísico SSS. O auor Kayano 25 desenvolveu um rabalho que consise na elaboração de uma nova gesão de esoques nos cenros de manuenção da Direoria do Maerial da Sociéé Naionale des Chemins de Fer Français SNCF. O foco do rabalho foi à deerminação da quanidade de peças de reposição que devem ser esocadas para garanir um nível de serviço deseado nos cenros de manuenção da SNCF. ara isso o auor desenvolveu um aplicaivo uilizando MS Access capaz de calcular novos parâmeros ponos de pedido quanidades de abasecimeno esoques de segurança para a gesão de esoque ou sea o dimensionameno do esoque. E para esimar eses novos parâmeros foi uilizada a disribuição de oisson e a disribuição normal. No enano com a uilização desse aplicaivo percebeu-se que a fórmula que calcula o loe econômico de compras LEC ou EOQ era inadequada para o caso específico da manuenção na SNCF pois os fluxos além de não serem consanes durane o ano eram basane fracos implicando loes muio grandes e pouco frequenes de abasecimeno. Oliveira e al. 27 apresenaram um modelo de simulação para analisar o comporameno de diversos cenários ou esraégias de políicas de esoque de iens sobressalenes de baixo consumo. Assim conribuíram para o aprimorameno do processo de omada de decisão e na consrução de políicas de esoques que visem aperfeiçoar a disponibilidade de sisemas baseados na ecnologia COTS Commercial Off-The-Shelf. A disponibilidade de um sisema é enendida como a fração do empo em que o sisema permanece em bom funcionameno. Os cenários uilizados foram definidos por diferenes políicas de decisão como a políica s S

25 25 onde a demanda é esocásica e esá associada com os iens de movimenação lena com a finalidade de faciliar a análise de sensibilidade dos parâmeros e/ou faores de enrada do problema. Uma vez obidos os resulados da disponibilidade das peças de reposição realizada uilizando um planeameno de experimeno de simulação com enfoque na meodologia Faorial os auores uilizaram o programa MINITAB para calcular o efeio de cada faor e a ineração dos faores sobre as resposas enconradas. Kochi 28 eve como obeivo de rabalho melhorar a políica de esoque do seor de serviços pós venda de relógios de uma empresa que comercializa arigos de luxo de oalheria e relooaria. O auor comparou o méodo de cálculo de esoque média ponderada que era uilizado na empresa durane o esudo e propôs dois ouros méodos: o de suavização exponencial e o Boosrap. O resulado indicou que os méodos proposos aravés do cálculo de necessidades foram melhores do que o uilizado pela empresa e com melhores níveis de serviço e menores cusos de esocagem. Gomes e Wanke 28 apresenaram uma pesquisa que aborda a gesão de esoques de peças de reposição descaráveis. Nese rabalho foi feio uma comparação enre um modelo de simulação compuacional convencional e um modelo por cadeias de Markov cuo obeivo foi de deerminar qual políica represenará o melhor momeno de fazer um pedido para complear o esoque. ropôs uma heurísica para deerminação dos parâmeros nível de esoque máximo e o pono de pedido para a melhor políica de gesão de esoques. Iso é uma políica ipo S s em função dos iens: demanda com disribuição oisson e cusos pela fala pelo excesso e do ressuprimeno; assumindo o lead ime consane equivalene a um período. A heurísica desenvolvida a parir desses resulados mosrou que a aproximação da políica S s pela S S mesma políica uilizada por Koçağa 24 é saisfaória em ermos dos cusos oais sobreudo quando as peças de reposição apresenam elevado cuso da fala chamado pelos auores de exrema criicidade. Freias 28 obeivou por fazer um levanameno de um modelo da gesão de esoque á legiimado pela lieraura para aplicá-lo a realidade da refinaria esudada nas peças sobressalenes de manuenção. O modelo proposo pelo auor foi um modelo de conrole de esoque baseado no sisema r q onde r é o pono de

26 26 ressuprimeno equivale ao s na políica ipo S s e q é a quanidade de iens para o ressuprimeno. Ese modelo foi uilizado pelo auor para raar de problemas de oimização de esoques de sobressalenes com as premissas: possuir demandas com disribuição de oisson e empo de ressuprimeno consane. Silva 29 desenvolveu em sua disseração um esudo sobre peças de reposição de uma grande empresa mulinacional do seor de siderurgia. O rabalho do auor consisiu em desenvolver uma meodologia que classifique e conrole esas peças considerando demanda e lead-ime esocásicos. Foram uilizados como premissas nos modelos de esoques as disribuições esaísicas de oisson Laplace Gama e Normal em combinação com a oimização do cuso oal para a modelagem da demanda durane o lead-ime e deerminação do pono de ressuprimeno quanidade de pedido e esoque de segurança. ara a geração dos valores de previsão foi implanado o méodo Boosrap indicado para iens de baixa roaividade com demanda inermiene WILLEMAIN e. al 24. Drohomereski e al. 29 propuseram um modelo de gesão de esoque de peças de reposição não reparáveis para uma empresa que produz equipamenos de refrigeração para odo o país. O modelo esá baseado no méodo de revisão periódica e classificação ABC abordando a dependência enre a demanda das peças sobressalenes e a dos produos acabados com garania de assisência pós venda. ara criar o modelo apropriado no esudo de caso em quesão os auores uilizaram hisóricos de consumo das peças de reposição dos equipamenos que ainda esão em garania. Usou como premissa a revisão deses iens feia mensalmene e a parir de dados hisóricos foi possível esimar a disribuição normal da demanda. O modelo apresenou boa capacidade para adapar-se a mudanças de demanda de produos acabados e do consumo de peças de reposição. Nos rabalhos acima se ressala a imporância da uilização de méodos adequados que se mosraram eficienes para a resolução do problema em esudo esoques de peças de reposição. Os méodos uilizados foram uma combinação de classificação simulação com funções de disribuição diferenes à exponencial decididas por cada auor como consequência da especificidade do problema abordado garanindo bom desempenho denro da pesquisa desenvolvida. As funções de disribuição uilizadas foram a de oisson Gama Normal Erlang e Laplace como relaado pelos auores Koçağa 24 Wanke 25 Kochi

27 27 28 Freias 28 e Silva 29. No enano pesquisadores como Gomes e Wanke 28 apresenam uma meodologia baseada em processos markovianos uilizando as cadeias de Markov mosrando que há necessidades de novos direcionamenos e uso de ferramenas diferenes das clássicas para ausar melhor os resulados. No arigo de Sales e Morales 2 foi apresenada uma revisão dos rabalhos apresenados aé o momeno onde se uilizam as meodologias clássicas conhecidas aplicadas para esoque de peças de reposição. Seguindo o desenvolvimeno desse rabalho serão referidos os arigos sobre a meodologia chamada processos de Quase Nascimeno e More Quasi-Birh-and-Deah process QBD que consegue represenar melhor os eságios inermediários para o esudo das peças de reposição reparáveis por exemplo. Esa meodologia ambém é uilizada para a modelagem do gerenciameno de esoques e é enendida como uma exensão dos processos de Nascimeno e More usada no esudo de peças de reposição que seam reparáveis. Esa abordagem será apresenada no capíulo 3. Fadiloglu e Yeralan 22 apresenam exemplos que uilizam a meodologia processo QBD aplicados a modelagem de processos de linha de produção. Os processos em linha apresenados são modelados como se fosse um sisema de fila que apresenam um grau de complexibidade maior a cada modelo desenvolvido. O mais simples dos modelos é represenado pelo modelo de fila M/M/ definida por uma disribuição exponencial represenado por M de parâmero serviço de aendimeno definido por uma disribuição exponencial M com um único serviço de aendimeno e a disciplina de aendimeno o primeiro que chega é o primeiro a ser aendido. Esendendo o modelo pode-se incluir dois servidores com chegadas exponenciais buffer inermediário avaria e reparação enre ouros. Enende-se por buffer odo local que serve de armazém emporário menor do que o abiual para ser uilizado como amorecedor na linha de produção. Cada modelo em Fadiloglu e Yeralan 22 foi primeiramene apresenado usando um diagrama de rede e após a visualização da rede são incluídas equações de balanço que definem o processo. A parir das equações de balanço é possível idenificar cada sub-mariz dos esados de ransição do sisema. A definição das equações de balanço enconra-se no ópico rocessos de Nascimeno e More.

28 28 No rabalho de érez-ocón e Monoo-Cazorla 24 considera-se que um sisema opera com n unidades e que desas apenas uma é suficiene para maner o sisema em funcionameno casos as ouras eseam no reparo ou na fila para a reparação. Sendo assim uma vez que esa unidade sofre uma avaria e não se em mais nenhuma oura para a subsiuição pelos moivos aneriores o sisema ineiro enra no esado de falha. ara que ese esado sea minimizado os auores realizam cálculos para a deerminação dos veores de probabilidade esacionária e as medidas de desempenho considerando ermos de confiabilidade. Os cálculos envolvidos omam em consideração que o empo operacional e o empo de reparo das unidades seguem uma disribuição ipo Fase conínua e que o sisema é governado por um processo QBD. As medidas de desempenho que os auores deerminam são a disponibilidade e a axa de ocorrência de falhas. Lembrando que a disponibilidade e axa de falha são assunos ambém abordados em Oliveira e al. 27 e Koçağa 24 respecivamene. Definições sobre a confiabilidade e disponibilidade de um sisema enconram-se no Anexo IV. Huang e al. 26 desenvolvem um modelo geral para demanda de peças de reposição reparáveis baseados em um processo QBD. No modelo é assumido que ano o empo operacional quano o empo de reparação ambém seguem uma disribuição ipo Fase de empo conínuo assim como em érez-ocón e Monoo- Cazorla 24. A parir do modelo desenvolvido os auores consroem um algorimo que deermina a quanidade mínima necessária de peças de reposição a serem adquirida ou que deve se maner para que o sisema não fique inoperane. Eses rês úlimos rabalhos descrios acima formam a base do esudo dessa disseração. A uilização do processo QBD na deerminação da quanidade de peças de reposição orna-se a nova meodologia que é eficiene na forma de visualização de resulados. Nese capíulo foram enumerados capíulos de livros e arigos que esudam o cálculo do amanho do loe econômico EOQ para esoques. Além de uma exensão ao méodo de Nascimeno e More para quando se quer predizer o amanho de esoque caso de peças sobressalenes com a capacidade de serem recuperáveis. Esa revisão garane a necessidade de um maior esudo de ópicos relacionados a processos esocásicos para uma modelagem mais acurada de problemas reais.

29 29 Capíulo 3 Conceios reliminares Nese capíulo serão abordados os conceios preliminares que formam a base essencial para o esudo relacionado ao esoque de peças de reposição reparáveis. 3.. rocessos Esocásicos Os processos esocásicos foram inicialmene esudados nos anos de9 uilizados em esudos da física para descrever o movimeno de parículas em um insane de empo Movimeno Browniano e a Teoria do Caos GLATTFELDER 2. Ese esudo serviu e serve como base para o desenvolvimeno de pesquisas nas áreas de meeorologia finanças e engenharia. Os processos esocásicos podem-se classificar: Quano ao comporameno dos parâmeros das variáveis aleaórias na evolução do empo: rocessos Esacionários: onde a média e variância são consanes no empo; e rocessos Não-esacionários: onde o valor esperado a média da variável aleaória pode crescer sem limie e sua variância aumena com o empo.

30 3 Quano à naureza da variável empo e dos esados pode-se visualizar a seguine abela: Tabela - Classificação de rocessos Esocásicos sob a naureza do Tempo e o Espaço de Esados diferenciados. A seguir alguns exemplos enconrados em Bha 97 ilusram a classificação visualizada na Tabela. rocessos esocásicos com parâmeros empo discreo e espaço de esado discreo: O número de iens defeiuosos em um esquema de amosragem. O número de iens inspecionados é o parâmero de indexação. 2 rocessos esocásicos com parâmeros empo conínuo e espaço de esado discreo: Número de alunos esperando o ônibus a qualquer hora do dia. 3 rocessos esocásicos com parâmeros empo discreo e espaço de esado conínuo: Suponha que o produo não é enumerável ais como ecido gasolina ec e o invenário esá sendo observado apenas em épocas disinas de empo. 4 rocessos esocásicos com parâmeros empo e espaço de esado conínuo:

31 3 falha. O empo de funcionameno de uma máquina aé que ocorra a primeira Uma formulação maemáica descreve os processos esocásicos como processos que evoluem ao longo do empo e podem ser definidos como um conuno indexado de variáveis aleaórias { X } em que o índice percorre um dado conuno T que represena o empo de observação da variável. O conuno T é normalmene um conuno de números ineiros não negaivos e mensurável de ineresse no insane. X represena uma caracerísica De acordo com Hillier e Lieberman 26 um processo esocásico é normalmene esruurado da seguine maneira: O esado aual pode cair em qualquer uma das M caegorias muuamene exclusivas denominadas de esados. Onde os esados do sisema no insane são represenados pela variável aleaória como X e podem ser idenificados... M os quais são os únicos valores possíveis. O sisema é observado em ponos deerminados do empo idenificados por orano a sequência X } { X X...} fornece uma represenação de como o esado do { X 2 sisema físico em esudo evolui ao longo do empo. Ese ipo de processo é conhecido como um processo esocásico em empo discreo em um espaço de esados finio. A seguir será apresenado um exemplo disponível em Fogliai e Maos 27 adapado para ese rabalho de modo que ilusre os diferenes ipos de processos esocásicos segundo os espaços de esados e de parâmeros. Exemplo Considere um cenro de manuenção no qual máquinas chegam para serem reparadas enram numa fila na qual permanecem aé ingressarem no serviço e são liberadas imediaamene após o serviço esar concluído. Logo diferenes processos podem ser definidos: a Sea N k a variável aleaória que represena o número de máquinas na fila no insane em que a k-ésima máquina começa a ser aendida. Nesse caso o processo esocásico { : k 23...} represenado na Figura é um processo esocásico N k

32 32 de parâmero discreo com espaço de esados E { } e empo T { }. Figura Cadeia esocásica de parâmero discreo do iem a: Fogliai e Maos 27. b Sea X a variável aleaória que represena o número de máquinas que chegam ao sisema aé o empo. Nesse caso o processo esocásico { X : T} represenado na Figura 2 é uma cadeia esocásica de parâmero coninuo com E { 2...} e T [. Figura 2 Cadeia esocásica de parâmero coninuo do iem b: Fogliai e Maos 27. c Sea W k a variável aleaória que represena o empo de permanência no sisema da k-ésima máquina. O processo { : k T} represenado na Figura 3 é um processo esocásico coninuo de parâmero discreo com E [ e T { }. W k Figura 3 rocesso esocásico conínuo de parâmero discreo do iem c: Fogliai e Maos 27.

33 33 d Sea Y a variável aleaória que represena o empo acumulado de aendimeno de odas as máquinas aé o empo. O processo esocásico { Y : T} represenado na Figura 4 é um processo esocásico coninuo de parâmero coninuo com E [ e T [. Figura 4 rocesso esocásico conínuo de parâmero coninuo do iem d: Fogliai e Maos rocessos Markovianos Um processo esocásico { X / T} é denominado processo markoviano se dada uma sequência de empo < <... < < 2 n a disribuição de probabilidade condicional de X para dados valores de X X... X n depende unicamene de X ou sea: n n [ X [ X n n x x n n / X / X n n x x n n X ] n x n... X x ] 3.2- Em ouras palavras dado o esado presene o comporameno fuuro do processo é independene da sua hisória passada. Essa propriedade é denominada ausência de memória. Um processo markoviano que possui o espaço de esados discreo é denominado cadeia de Markov.

34 Cadeia de Markov Uma cadeia de Markov é um caso paricular de processo esocásico. É um processo de espaço de esados discreos e parâmero de empo de valores discreos com a condição de que os esados aneriores não são relevanes para a predição dos esados fuuros iso desde que o esado aual sea conhecido. Aplicações do modelo de Markov enconram-se em abordagens de análise de desempenho de sisemas de informação insalações de serviços e sisemas de manufaura OSOGAMI 25 Em linguagem maemáica emos que uma cadeia de Markov é uma família de variáveis aleaórias X que caracerizam o esado de um sisema em ponos discreos do empo Esa família X } por sua vez forma um processo esocásico que possui a propriedade: { { X / X k X k... X k X i} { X / X i para odo... e oda sequência i k k... k. } 3.3- As probabilidades condicionais { X / X i} em uma cadeia de Markov são chamadas probabilidades de ransição em uma eapa. Se para cada esado i e se verifica X / X i} { X / X i} { enão as probabilidades de ransição em uma eapa ou passo são dias esacionárias o que implica que esas probabilidades não mudam ao longo do empo. A exisência desas probabilidades esacionárias de um passo pode ser esendida para cada i e n n 2... onde { X n / X i} { X n / X i} assim esas probabilidades condicionais são chamadas de probabilidade de ransição em n passos.

35 35 Simplificando a noação das probabilidades de ransição esacionárias: p { X / X i} para um passo i n p { X / X i} para n passos i n Desa maneira a probabilidade de ransição em n passos é simplesmene a probabilidade condicional de que o sisema chegue ao esado após exaamene n passos dado que ele no insane de empo se enconre no esado i HILLIER e LIEBERMAN 26. Como as probabilidades n p i represenam ransições de um esado para ouro elas devem saisfazer as seguines propriedades: p n i i e e ; n 2... M p n i i; n 2...; M o número de esados Uma maneira de armazenar ais probabilidades de ransição em n eapas é usando um arrano maricial conhecido como mariz de ransição: n Esado M M p p M p n n n M p p n L L n M L L L L L M p p p n M n im M n MM n 2... Na mariz de ransição é válido observar que a enrada na célula i indica a ransição do esado i para o esado. Observar que uma consequência das propriedades acima mencionadas leva a esabelecer que I. M Segundo Fogliai e Maos 27 as cadeias de Markov podem ser represenadas esquemaicamene por diagramas de fluxo como o da Figura 5. No diagrama os nós represenam os esados e os arcos as ransições enre esses esados no empo represenados pelos.

36 36 Figura 5 Diagrama de fluxo de uma cadeia de Markov de parâmero coninuo: Fogliae e Maos 27. O comporameno da cadeia de Markov { X T} de parâmero conínuo com espaço de esados E { 2... } é caracerizado pela disribuição inicial [ X i] i 2... onde é o insane inicial de observação e as probabilidades condicionais de ransição enre os esados i e p i u v são definidos como: p i u v [ X v / X u i] u v ; uv T; i E com p i se i v v caso conrário Equações de Chapmam-Kolmogorov Um méodo para calcular as probabilidades de ransição em n passos é aravés das Equações de Chapmam-Kolmogorov onde M n m nm pi p p i M ; n m m 2... e m n k ik k Esas equações implicam que as probabilidades de ransição em n passos podem ser obidas recursivamene a parir das probabilidades de ransição de um passo. Se denoarmos n n como a mariz de probabilidades de ransição [ i ] p enão a equação 3.4- pode ser escria como

37 37 n m nm m n represenado por uma muliplicação de marizes. orano n n n n n n dessa maneira a mariz de ransição em n eapas n-ésima poência da mariz de ransição em uma eapa. n pode ser obida calculando a ara exemplificar as relações apresenadas acima foi uilizado o Ineracive Operaions Research Tuorial IOR disponível no livro de HILLIER e LIEBERMAN 26 nese uorial se calculam as marizes de ransição n para qualquer ineiro posiivo 2 n 99. Nele foi possível consruir a mariz de ransição do exemplo de esoque de câmeras foográficas página 77. Figura 6 Tela de enrada de dados para os esados de uma Cadeia de Markov com 2 i. A seguir são apresenadas duas elas que mosram as marizes de ransição em n eapas uilizando o uorial IOR para o exemplo referido onde são uilizadas as Equações de Chapman-Kolmogorov.

38 38 Figura 7 Mariz de ransição na 2ª eapa n2. Figura 8 Mariz de ransição na 5ª eapa n5. Noar nas marizes da Figura 7 e da Figura 8 que a soma das enradas de odas as linhas é exaamene igual a e na Figura 8 após 5 passos a mariz 5 mosra que as probabilidades nas colunas se aproximam ransformando as linhas em veores iguais. Iso se inerprea como que as probabilidades de ransição enre esados esão se ornando sem variação fixando o esado de chegada Classes de esados em uma cadeia de Markov Os esados de uma cadeia de Markov podem ser classificados com base nas probabilidades de ransição associadas aos esados. ara descrever mais propriedades das cadeias de Markov é necessário apresenar alguns conceios e definições imporanes a esses esados. De acordo com Hillier e Lieberman 26: O esado é dio acessível a parir do esado i se p > para algum n. Se o esado for acessível a parir do esado i e o esado i for acessível a parir do esado enão se pode dizer que os esados i e se comunicam. n i

39 39 Em geral em-se: Qualquer esado se comunica consigo mesmo; Se o esado i se comunica com o esado enão o esado se comunica com o esado i ; Se o esado i se comunica com o esado e o esado se comunica com o esado k enão o esado i se comunica com o esado k ; Em uma cadeia de Markov de parâmeros discreos uma classe de comunicação fechada é um subconuno seguines propriedades:. - Se para cada i C C E de espaço de esados com as p n i C; n> 2 ara cada par de esados i C p n i > n> Se CE enão a cadeia é dia ser irreduível CLARKE e DISNEY 979. Como consequência das propriedades de comunicação os esados podem ser subdivididos em uma ou mais classes ais que aqueles esados que se comunicam enre si se enconram na mesma classe. E se em uma mariz de ransição exisir apenas uma classe iso é odos os esados se comunicarem a cadeia de Markov é dia irreduível. A seguir apresenam-se as definições das classes dos esados de uma cadeia de Markov.. Um esado é absorvene se reorna com cereza para ele mesmo em uma ransição iso é p. 2. Um esado é ransiene se puder alcançar ouro esado e não reorna vola a ese esado novamene. Um resulado imporane é se for um esado ransiene enão aconecerá o < p para odo i lim n n p.

40 4 3. Um esado é recorrene se a probabilidade no limie de volar ao esado anerior com base em ouros esados for igual a. Nese caso o esado pode ser recorrene se e somene se o esado não for ransiene. A recorrência é uma propriedade de classe iso é odos os esados em uma classe são recorrenes ou enão ransienes HILLIER e LIEBERMAN 26. Segundo Taha 27 de acordo com as definições descrias uma cadeia de Markov finia não pode consisir em esados que seam odos ransienes porque por definição a propriedade ransiene requer enrar em ouros esados. Iso é oda cadeia com número finio de esados em pelo menos um esado recorrene. ara melhor serem enendidos os esados de uma mariz de ransição se fornece um exemplo numérico enconrado em Nogueira 2 que ambém podem ser visualizado no diagrama da Figura 9. Sea a seguine mariz de ransição : Esados Figura 9 Represenação em diagrama de rede da mariz de ransição. Os esados e são recorrenes e represenam uma classe de comunicação fechada. Se o processo começar por um desses dois esados ese nunca sairá deses dois esados. Além disso sempre que o processo inicia-se a parir de um desses esados irá volar ao esado de parida. O esado 2 é um esado absorvene ou sea uma vez que o processo enre nese esado nunca mais o deixará. Os esados 3 e 4 são esados ransienes. No esado 3 percebe-se que há uma probabilidade posiiva do processo sair dese esado para o esado 2 e nunca mais reorná-lo. E o esado 4 ambém é ransiene pois uma vez que o processo se