PREVISÃO DE DEMANDA: UMA APLICAÇÃO DOS MODELOS BOX- JENKINS NA ÁREA DE ASSISTÊNCIA TÉCNICA DE COMPUTADORES PESSOAIS

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1 PREVISÃO DE DEMANDA: UMA APLICAÇÃO DOS MODELOS BOX- JENKINS NA ÁREA DE ASSISTÊNCIA TÉCNICA DE COMPUTADORES PESSOAIS Liane Werner Deparameno de Esaísica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Rua Beno Gonçalves, 900, CEP , Poro Alegre, RS, José Luis Duare Ribeiro Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Praça Argenina, 9, o andar, sala LOPP, CEP , Poro Alegre, RS, ribeiro@ufrgs.br v.0, n., p.-, abr. 00 Resumo A previsão de demanda é uma aividade imporane para auxiliar na deerminação dos recursos necessários para a empresa. Nese arigo, a meodologia de Box-Jenkins foi uilizada para analisar dados hisóricos de uma empresa de assisência écnica de compuadores pessoais e ober previsões do número de aendimenos. A empresa esudada apresena rês ipos de clienes diferenciados: conraos, garania e avulsos. Como cada segmeno de clienes em suas peculiaridades, a previsão de demanda foi direcionada a cada ipo, buscando represenar o comporameno de endência e a sazonalidade por meio dos modelos de Box-Jenkins. A obenção dos modelos mais adequados foi baseada na análise de gráficos e em eses esaísicos próprios da meodologia, os quais subsidiaram a decisão de adoar o modelo AR() para prever o número de aendimenos dos clienes ipo conrao, o modelo ARIMA(,,0) para os clienes ipo garania e um modelo sazonal SARIMA(0,,0)(0,,) para os clienes ipo avulsos. Palavras-chave: previsão de demanda, modelos Box-Jenkins, modelos ARIMA, séries emporais, assisência écnica.

2 8 Werner & Ribeiro Previsão de Demanda: Uma Aplicação dos Modelos Box-Jenkins.... Inrodução Na úlima década, a globalização passou a ser a palavra-chave no mercado mundial. As empresas que desejam se maner nele, ou mesmo em seus mercados locais, precisam, anes de udo, analisar a siuação que as rodeiam e aenar aos rumos omados no âmbio da globalização. Segundo Makridakis e al. (998), realizar previsões de demanda é imporane para auxiliar na deerminação dos recursos necessários para a empresa. Em empos de aberura de mercados, essa aividade orna-se fundamenal. Os mercados que podem ser acessados pela empresa, assim como a concorrência que os dispua, mudam coninuamene, exigindo novas previsões de demanda em períodos mais curos. Na área de assisência écnica de compuadores, prever a demanda dos serviços esá inimamene ligado à disponibilização de recursos, ano humanos como de equipamenos, para um aendimeno eficaz aos clienes. As previsões de demanda são elaboradas uilizando écnicas quani e qualiaivas ou, ainda, uma misura de ambas. Segundo Pellegrini & Fogliao (000), méodos quaniaivos uilizam dados hisóricos para prever a demanda em períodos fuuros. Uma das écnicas quaniaivas mais difundida é a meodologia de Box-Jenkins, descria por esses auores na década de 0. Os modelos de Box- Jenkins parem da idéia de que cada valor da série (emporal) pode ser explicado por valores prévios, a parir do uso da esruura de correlação emporal que geralmene há enre os valores da série. Segundo Abdel-Aal & Al-Garni (99), os modelos Box-Jenkins êm sido largamene uilizados para modelagem e previsão em aplicações médicas, ambienais, financeiras e de engenharia. Os próprios auores aplicaram essa meodologia para prever o consumo mensal de energia elérica no lese da Arábia Saudia. Para Slini e al. (00), a modelagem de séries emporais é apropriada à previsão da qualidade do ar. Esses auores aplicaram a meodologia de Box-Jenkins para prever a qualidade do ar na cidade de Aenas, na Grécia. Além de aplicações nas áreas ciadas, Lim & McAleer (00) mencionam, com base em diferenes méodos de previsão de séries emporais, que a lieraura na área de previsão de demanda urísica é numerosa. Os referidos auores aplicaram a meodologia de Box-Jenkins e modelaram a demanda de urisas que chegam à Ausrália provenienes de rês países da Ásia. Nese arigo, a meodologia de Box-Jenkins é aplicada aos dados hisóricos de uma empresa que aua no seor de serviços, fornecendo assisência écnica para compuadores pessoais. A principal conribuição dese arigo pode ser resumida em rês aspecos:. apresenação passo a passo do emprego da meodologia;. uso seqüencial de gráficos e eses esaísicos para subsidiar a consrução e a escolha dos modelos mais adequados; e. ênfase na modelagem orienada a cada segmeno de cliene, uma vez que eles são influenciados por diferenes faores e, assim, apresenam comporameno disino no que se refere à endência e à sazonalidade.. Modelos Box-Jenkins Conforme Morrein & Toloi (98), uma série emporal é qualquer conjuno de observações ordenadas no empo. Séries emporais são composas por quaro elemenos:. Tendência: verifica o senido de deslocameno da série ao longo de vários anos.. Ciclo: movimeno ondulaório que ao longo de vários anos ende a ser periódico.. Sazonalidade: movimeno ondulaório de cura duração, em geral, inferior a um ano; associada, na maioria dos casos, a mudanças climáicas.. Ruído aleaório ou erro: compreende a variabilidade inrínseca aos dados e não pode ser modelado.

3 GESTÃO & PRODUÇÃO, v.0, n., p.-, abr Como uma série emporal em os dados coleados seqüencialmene ao longo do empo, espera-se que ela apresene correlação seriada no empo. Os modelos de Box-Jenkins, genericamene conhecidos por ARIMA (Auo Regressive Inegraed Moving Averages) e na lieraura em poruguês por Auo-regressivos Inegrados de Médias Móveis, são modelos maemáicos que visam capar o comporameno da correlação seriada ou auocorrelação enre os valores da série emporal, e com base nesse comporameno realizar previsões fuuras. Se essa esruura de correlação for bem modelada, fornecerá boas previsões. Segundo Fava (000), os modelos ARIMA resulam da combinação de rês componenes denominados filros : o componene auo-regressivo (AR), o filro de inegração (I) e o componene de médias móveis (MA). Uma série pode ser modelada pelos rês filros ou apenas um subconjuno deles, resulando em vários modelos abordados a seguir.. Modelos esacionários Modelos esacionários são aqueles que assumem que o processo esá em equilíbrio. Um processo é considerado fracamene esacionário se suas média e variância se manêm consanes ao longo do empo e a função de auocovariância depende apenas da defasagem enre os insanes de empo. Um processo é foremene esacionário se odos os momenos conjunos são invarianes a ranslações no empo. Modelo auo-regressivo (AR) Em um modelo auo-regressivo, a série de dados hisóricos Z é descria por seus valores passados regredidos e pelo ruído aleaório. Assim, um modelo AR(p) é dado por: Z φz φz... φp Z p (.) em que: Z Z µ ; φ i é o parâmero que descreve como Z se relaciona com o valor para i,,..., p. Z i O modelo AR(p) dado pela equação. pode ser reescrio conforme apresenado na equação., uilizando o operador de defasagem L (aplicando o operador de defasagem em Z emos L Z ). p ( φ L φl... φpl ) Z φ( L) Z (.) O modelo auo-regressivo de ordem ou AR() é a versão mais simples dessa classe de modelos. Sua apresenação algébrica é dada pela equação.: Z φ Z (.) Para o modelo ser esacionário é necessário que φ < (condição de esacionariedade) e que as auocovariâncias (γ k ) sejam independenes. No caso do modelo AR(), as auocovariâncias são dadas por: γ k φ k γ (.) 0 e as auocorrelações ρ k são dadas pela equação.: γ k k ρ k φ γ k 0,,,... (.) 0 A função de auocorrelação decai exponencialmene quando φ é posiivo; quando φ é negaivo, a função de auocorrelação ambém decai exponencialmene, mas apresena alernância de sinais posiivos e negaivos. Modelos de médias móveis (MA) Em um modelo de médias móveis (do inglês moving average), a série Z resula da combinação dos ruídos brancos do período aual com aqueles ocorridos em períodos aneriores. Assim, um modelo de médias móveis de ordem q ou MA(q) é dado por: Z θ θ... θ (.) q q

4 0 Werner & Ribeiro Previsão de Demanda: Uma Aplicação dos Modelos Box-Jenkins... em que: Z Z µ ; θ i é o parâmero que descreve como Z se relaciona com o valor i para i,,..., q. O modelo MA(q) dado pela equação. pode ser reescrio, como em., uilizando o operador de defasagem L. ( θ θ θ q L L... ql ) θ( L) Z (.) O modelo MA() é a versão mais simples dessa classe de modelos. Sua apresenação algébrica é dada pela equação.8: Z θ (.8) As auocorrelações ρ k, que nada mais são do que as auocovariâncias dividas pela variância, são dadas por: γ θσ θ ρ e γ0 ( θ ) σ ( θ ) ρ k 0 k > (.9) A função de auocorrelação do modelo MA() apresena apenas a primeira auocorrelação nãonula e as demais iguais a zero. A primeira auocorrelação será posiiva se θ for menor que zero e negaiva se θ for maior que zero. Segundo Nelson (9), uma propriedade imporane da MA(), proveniene da função de auocorrelação, é que sua memória é de somene um período. Uma dada observação, por exemplo Z, esá correlacionada apenas a seu anecessor Z e a seu sucessor Z, mas não a qualquer ouro membro da série. Para ober a condição de inveribilidade, iso é, para ransformar um modelo MA() em um modelo AR( ), é preciso impor a resrição de que θ <. Segundo Abraham & Ledoler (98), para que um processo MA(q) se orne inversível, é necessário que as raízes da equação: q θ(l) ( θ L θl... θql ) 0 sejam maiores que um. Modelos auo-regressivos de médias móveis (ARMA) Em alguns casos, pode ser necessário uilizar um grande número de parâmeros em modelos puramene AR ou puramene MA. Nesses casos, é vanajoso misurar os componenes de um modelo AR como os componenes de um modelo MA, gerando, assim, um modelo ARMA. O modelo ARMA(p,q) exigirá um número menor de ermos e pode ser expresso conforme a equação.0: Z φz... φpz p... q q θ θ (.0) O modelo ARMA mais simples é o ARMA(,), dado pela equação.: Z φ Z θ (.) A função de auocorrelação do modelo ARMA(,) é dada por: ρ ( φ θ )( φ θ) θ φ θ ρ k φρk para k > (.) A função de auocorrelação do modelo ARMA(p,q) apresena caracerísicas da função MA(q) para as defasagens k < q, pelo fao de a memória do componene de médias móveis durar apenas q períodos. Para defasagens maiores que k as caracerísicas são iguais às de um modelo AR(p).. Modelos não-esacionários Quando uma série emporal apresena média e variância dependenes do empo, é porque ela não é esacionária. A não-esacionariedade de uma série implica que: a) há inclinação nos dados e eles não permanecem ao redor de uma linha horizonal ao longo do empo e/ou b) a variação dos dados não permanece essencialmene consane sobre o empo, iso é, as fluuações

5 GESTÃO & PRODUÇÃO, v.0, n., p.-, abr. 00 aumenam ou diminuem com o passar do empo, indicando que a variância esá se alerando. Para deecar a não-esacionariedade de uma série, o comporameno emporal pode ser analisado graficamene, buscando padrões (a) e (b) ou, enão, aplicando os eses esaísicos de raiz uniária. O ese de raiz uniária mais usado é o de Dickey- Fuller. Ouros dealhes sobre esse ese podem ser visos em Makridakis e al. (998), Enders (99) e Hamilon (99). Modelos auo-regressivos inegrados de médias móveis (ARIMA) Como a maioria dos procedimenos de análise esaísica de séries emporais supõe que esas sejam esacionárias, será necessário ransformálas caso ainda não sejam. Segundo Morrein & Toloi (98), a ransformação mais comum consise em omar diferenças sucessivas da série original aé ober uma série esacionária. A primeira diferença de Z é definida por.: Z Z Z (.) a segunda é dada por.: DZ D [D Z ] D[Z Z ] Z Z Z (.) Em siuações normais, ainda segundo os auores ciados, será suficiene omar uma ou duas diferenças para que a série se orne esacionária. O número d de diferenças necessárias para ornar a série esacionária é denominado ordem de inegração. A inclusão do ermo de ordem de inegração permie que sejam uilizados os modelos ARIMA(p,d,q) dados pela equação.: w φ w... φpw p θ θ (.)... q q em que: w d Z. O modelo ARIMA(p,d,q) dado pela equação. pode ser reescrio, como em., uilizando o operador de defasagem L. ( φ p q L... φpl )w ( θl... θql ) com w ( L) d Z φ(l) ( L) d Z θ(l) (.). Modelos sazonais Os modelos ARIMA exploram a auocorrelação enre os valores da série em insanes sucessivos, mas quando os dados são observados em períodos inferiores a um ano, a série ambém pode apresenar auocorrelação para uma esação de sazonalidade s. Os modelos que conemplam as séries que apresenam auocorrelação sazonal são conhecidos como SARIMA. Os modelos SARIMA conêm uma pare não sazonal, com parâmeros (p,d,q), e uma sazonal, com parâmeros (P,D,Q) s. O modelo mais geral é dado pela equação.: ( φ Φ p s Ps L... φpl )( ΦL... PL ) d s D ( L) ( L ) Z ( θl... θq em que: s Qs L... ΘQL ) q L ) ( Θ (.) p ( φl... φ p L ) é a pare auo-regressiva não-sazonal de ordem p; s Ps ( ΦL... ΦPL ) é a pare auo-regressiva sazonal de ordem P e esação sazonal s; d ( L) é pare de inegração não-sazonal de ordem d; ( L s ) D é pare de inegração sazonal de ordem D e esação sazonal s; q ( θl... θ q L ) é a pare não-sazonal de médias móveis de ordem q; s Qs ( ΘL... ΘQL ) é a pare sazonal de médias móveis de ordem Q e esação sazonal s.

6 Werner & Ribeiro Previsão de Demanda: Uma Aplicação dos Modelos Box-Jenkins.... Eapas da meodologia Box-Jenkins Segundo Morrein & Toloi (98), a consrução dos modelos Box-Jenkins é baseada em um ciclo ieraivo, no qual a escolha do modelo é feia com base nos próprios dados. Segundo Box & Jenkins (9), são rês as eapas para consrução do modelo:. Idenificação: consise em descobrir qual denre as várias versões dos modelos de Box-Jenkins, sejam eles sazonais ou não, descreve o comporameno da série. A idenificação do modelo a ser esimado ocorre pelo comporameno das funções de auocorrelações (ACF) e das funções de auocorrelações parciais (PACF). Ouros dealhes referenes à obenção dessas funções e a quais comporamenos represenam os modelos aneriormene abordados podem ser pesquisados em Makridakis e al. (998).. Esimação: consise em esimar os parâmeros φ e Φ do componene auo-regressivo, os parâmeros θ e Θ do componene de médias móveis e a variância de.. Verificação: consise em avaliar se o modelo esimado é adequado para descrever o comporameno dos dados. Caso o modelo não seja adequado, o ciclo é repeido, volando-se à fase de idenificação. Um procedimeno muio uilizado é idenificar não só um único modelo, mas alguns modelos que serão enão esimados e verificados. Quando se obém um modelo saisfaório, passa-se para a úlima eapa da meodologia de Box-Jenkins, que consiui o objeivo principal da meodologia: realizar previsões. O dealhameno dessas eapas se dará com a aplicação no esudo de caso.. Esudo de caso Com o objeivo de realizar previsões de demanda, inicialmene, foram reunidos dados hisóricos de agoso de 99 a julho de 00 de uma empresa presadora de serviços de assisência écnica em equipamenos de informáica. Por moivos esraégicos, os dados mais auais não foram disponibilizados para publicação. No enano, isso não compromee a apresenação dese arigo, cujo propósio é esclarecer a uilização da meodologia e discuir a imporância da segmenação de clienes. Traa-se de uma empresa de pequeno pore que aualmene cona com duas lojas de aendimeno aos clienes na capial gaúcha, com aproximadamene 0 funcionários. Essa empresa em rês ipos diferenciados de clienes: os clienes que assinam conraos de manuenção, em geral pessoas jurídicas; os clienes que razem o equipameno para manuenção no período de garania; e os clienes avulsos, em geral pessoas físicas. A empresa realiza serviços de manuenção de hardware e/ ou sofware e, raramene, vende peças sem realizar algum ipo de serviço. A demanda da empresa não pode ser esabelecida sem uma análise segmenada dos ipos de clienes. Cada ipo de cliene aendido pela empresa em suas peculiaridades, por isso, a previsão de demanda oal deve ser a soma da previsão da demanda individual dos ipos de clienes. Assim, para realizar a previsão de demanda da empresa foi empregada a meodologia de Box-Jenkins para o número de aendimenos realizados em cada um dos rês ipos de clienes.. Meodologia Box-Jenkins para clienes ipo conrao.. Eapa de idenificação Para idenificar os modelos apropriados, inicialmene deve ser analisado o gráfico de empo da série em esudo. A análise desse gráfico pode indicar a presença de endência ou aleração na variância, o que revelaria se a série é ou não esacionária. Quano ao número de aendimenos de clienes ipo conrao, enconrado na Figura, observa-se fraca endência decrescene. Porano, como a série apresena inclinação muio pequena, ela será considerada esacionária. Essa

7 GESTÃO & PRODUÇÃO, v.0, n., p.-, abr. 00 suposição coincide com a expecaiva da equipe écnica da empresa, que não acredia que possa ocorrer diminuição do número de conraos nos próximos meses. O próximo passo é analisar as funções de auocorrelações (ACF) e de auocorrelações parciais (PACF). O comporameno dessas funções indica qual o modelo a ser uilizado, bem como auxilia no uso dos eses de raízes uniárias para confirmar a esacionariedade. A Figura a apresena a ACF do número de aendimenos de clienes ipo conrao. Podese observar que a ACF decai exponencialmene rápido, chegando a zero nas primeiras defasagens, indicação de um modelo AR(). A PACF apresena as auocorrelações parciais, as quais medem a correlação enre o valor de Z e Z k, desconadas a influência dos valores de Z aé Z k, e são obidas pelas equações de Yule-Walker (Figura b). Observa-se que apenas a auocorrelação de defasagem é significaiva, reforçando a indicação de um modelo AR(). Como as ACF e PACF fornecem a indicação de um modelo auo-regressivo de ordem um, esouse a esacionariedade da série por inermédio do ese Dickey-Fuller, o mais conhecido ese de raízes uniárias. Para al, uilizou-se o pacoe economérico EViews (versão.0), em que a hipóese de não-esacionariedade foi rejeiada em nível de % de significância. Viso que a série pode ser considerada esacionária, a ordem de inegração é zero, iso é, d 0... Eapa de esimaiva Uma vez indicados os valores de p, d e q, passa-se para a esimaiva dos parâmeros do modelo proposo, da variância do resíduo σ e da consane do modelo que, nese caso, é o nível médio do processo. Para esimar os parâmeros do modelo foi usado o pacoe esaísico SPSS (versão 8.0), opando-se pelo méodo de forecasing de mínimos quadrados incondicional. As esimaivas para o modelo em esudo foram: φ 0,9 e µ 9,9. Reescrevendo o modelo dado pela equação. e subsiuindo os valores dos coeficienes, emos: Z Z 0,9Z 9,9 0,9(Z 9,9) Z 0,9Z 9, 0 (.) 00 0 Número de aendimenos Ago/9 Fev/9 Ago/9 Fev/98 Ago/98 Fev/99 Ago/99 Fev/00 Ago/00 Fev/0 Mês Figura Número de aendimenos de clienes ipo conrao e sua endência.

8 Werner & Ribeiro Previsão de Demanda: Uma Aplicação dos Modelos Box-Jenkins...,0 (a),0 (b) Auocorrelações 0, 0, Auocorrelações parciais 0, 0,, , Figura a) Função de auocorrelação e b) função de auocorrelação parcial para o número de aendimenos de clienes ipo conrao... Eapa de verificação Essa eapa consise em verificar se o modelo idenificado e esimado é adequado. Em caso posiivo, ele pode ser uilizado para fazer previsões. Em caso negaivo, será necessário idenificar ouro modelo e repeir as eapas de esimaiva e verificação. Segundo Fava (000), as formas de verificação comumene uilizadas são: análise de resíduos e avaliação da ordem do modelo. Avaliação por meio da análise de resíduos Os resíduos do modelo esimado ˆ são esimaivas do ruído branco, sendo assim, devem apresenar esse comporameno se o modelo esiver adequadamene especificado, iso é, suas auocorrelações devem ser não-significanes. Para esar essa suposição, verificou-se o comporameno da ACF para os resíduos esimados. A análise da Figura revela que os resíduos apresenam comporameno aleaório, ou seja, não revelam padrão específico. Assim, a análise dos resíduos confirma a adequação do modelo. O uso do ese de Ljung-Box Q* reforça essa afirmaiva. Esse ese compara o valor da esaísica de ese com os valores abelados da disribuição Qui-quadrado com k-p-q graus de liberdade. Aplicando o ese para k sobre os erros esimados pela aplicação do modelo AR(), obém-se uma esaísica de ese Q*,0, que não é significaiva quando comparada ao valor da disribuição Quiquadrado com k p graus de liberdade. Assim, pela análise do ese de Ljung-Box, os resíduos podem ser considerados ruído branco. Avaliação da ordem do modelo O objeivo é verificar se o modelo é parcimonioso, iso é, se não em parâmeros em excesso. Essa verificação é realizada com base no erropadrão dos coeficienes. Se o valor do coeficiene esimado for pequeno em relação a seu erropadrão, conclui-se que ele não é significaivo, ou seja, não há evidências esaísicas para suporar a inclusão do coeficiene no modelo. Além disso, a análise do desvio-padrão residual é ouro indicador para verificar se a ordem do modelo esá adequada. Quano menor o erro-padrão, melhores serão as previsões. Os criérios de AIC (Akaike Informaion Crieria) e SBC (Schwarz Bayesian Crieria), uilizados para comparação de modelos e que levam em cona a variância do erro, o amanho da amosra T e os valores de p, q, P e Q, ambém são uilizados. Makridakis e al. (998) indicam que alguns programas compuacionais uilizam para o cálculo aproximado de AIC a expressão: T( ln(p)) T lns (p q P Q)

9 GESTÃO & PRODUÇÃO, v.0, n., p.-, abr. 00,0 0, Auocorrelações 0,, Figura Função de auocorrelação para os resíduos do modelo AR(). A Tabela apresena uma comparação do modelo escolhido com ouros dois modelos proposos para o número de aendimenos de clienes ipo conrao. Para o modelo AR() observa-se que o coeficiene φ não é significaivo (p-value igual a 0,), logo, a variável no empo não deve ser incluída no modelo. Para confirmar a esacionariedade da série, omou-se uma diferença e foi esimado o modelo ARIMA(,,0) que apresena desvio-padrão residual maior que o modelo indicado. Essas comparações levaram à escolha do modelo AR(), apresenado na equação.... Eapa de previsão Segundo Box & Jenkins (9), para um modelo auo-regressivo de primeira ordem, o previsor h passo a frene é dado por: (h) φ Z µ µφ (.) h em que: (h) é a previsão h passos a frene com base no empo ; φ é o coeficiene da variável em esudo defasada um período; e µ, a média do processo. h Tabela Criérios de comparação para verificação do melhor modelo. Modelo p-value dos coeficienes Criério AIC Criério SBC Desvio-padrão residual Variância residual AR() φ : 00 nível do processo: 00, (T ), (T ) 8,9., AR() φ : 00 φ : 0, nível do processo: 00,9 (T ) 8, (T ) 8,.8,8 ARIMA(,,0) φ : nível do processo: 0,8 9,,,., Fone: Análise no pacoe SPSS, versão 8.0.

10 Werner & Ribeiro Previsão de Demanda: Uma Aplicação dos Modelos Box-Jenkins... Para o esudo do número de aendimenos de clienes ipo conrao, a previsão com base no período de julho de 00 que corresponde a, é dada pela equação.: h (h) 0,9 9, 9 h 9,9* 0,9 (.) A Tabela apresena as previsões para a demanda do número de aendimenos de clienes ipo conrao, de agoso de 00 a fevereiro de 00, obidas com base no período de julho de 00. O gráfico com as previsões e o inervalo de 9% de confiança para as previsões enconrase na Figura. Tabela Previsões da demanda do número de aendimenos de clienes ipo conrao. Mês T h (h) Agoso/00 () 0,9 * 9,9 9,9* 0,9,9 Seembro/00 () 0,9 * 9,9 9,9*0,9,9 Ouubro/00 () 0,9 * 9,9 9,9*0,9 8,9 8 Novembro/00 () 0,9 * 9,9 9,9* 0,9 89,0 89 Dezembro/00 () 0,9 * 9,9 9,9* 0,9 9, 9 Janeiro/00 () 0,9 * 9,9 9,9*0,9 9, 9 Fevereiro/00 () 0,9 * 9,9 9,9*0,9 9, 9 00 Número de aendimenos Ago/9 Ago/9 Ago/98 Ago/99 Ago/00 Ago/0 Mês Valor observado Previsão Limie inferior a 9% Limie superior a 9% Figura Previsão da demanda do número de aendimenos de clienes ipo conrao.

11 GESTÃO & PRODUÇÃO, v.0, n., p.-, abr. 00. Meodologia Box-Jenkins para clienes ipo garania.. Eapa de idenificação Para idenificar os modelos apropriados, inicialmene, foi analisada a Figura, que apresena o gráfico de empo do número de aendimenos de clienes ipo garania. A análise dessa figura indica a presença de endência (crescimeno), o que revela uma série nãoesacionária. Além disso, a série apresena um nível médio que deve ser considerado no modelo a ser proposo. O próximo passo é analisar as funções de auocorrelações (ACF) e auocorrelações parciais (PACF) que podem auxiliar na verificação da esacionariedade e na definição do modelo mais apropriado. A Figura a apresena a ACF do número de aendimenos de clienes ipo garania e revela um comporameno senoidal, ípico do processo auo-regressivo. Já a PACF mosrada na Figura b apresena as rês primeiras defasagens significaivas, reforçando a indicação de um modelo auoregressivo, no caso, um AR(). As ACF e PACF indicam um modelo auoregressivo de ordem rês, conudo, é preciso verificar a esacionariedade da série. A verificação foi realizada por meio do ese Dickey- Fuller. Para al, uilizou-se o pacoe EViews (versão.0), em que a hipóese de não-esacionariedade não foi rejeiada em nível de % de significância. Assim, em virude da evidência de nãoesacionariedade da série, é necessário omar a diferença. Uilizando a primeira diferença e reaplicando o ese Dickey-Fuller verifica-se que a série é esacionária. Assim, em-se indicações de que a ordem de inegração deve ser um, iso é, d. Para ober a esacionariedade da série é preciso rabalhar com a diferença, porano, o modelo a ser indicado é um ARIMA(,,0) Número de aendimenos Ago/9 Fev/9 Ago/9 Fev/98 Ago/98 Fev/99 Ago/99 Fev/00 Ago/00 Fev/0 Mês Figura Número de aendimenos de clienes ipo garania e sua endência.

12 8 Werner & Ribeiro Previsão de Demanda: Uma Aplicação dos Modelos Box-Jenkins...,0 (a),0 (b) Auocorrelações 0, 0, Auocorrelações parciais 0, 0,, , Figura a) Função de auocorrelação e b) função de auocorrelação parcial para o número de aendimenos de clienes ipo garania... Eapa de esimaiva Uma vez indicados os valores de p, d e q, passa-se para a esimaiva dos parâmeros do modelo proposo e da variância do resíduo σ. Para esimar os parâmeros do modelo foi uilizado o pacoe esaísico SPSS (versão 8.0), opando-se pelo méodo de forecasing de mínimos quadrados incondicional. Conforme será viso na próxima seção, o modelo ARIMA(,,0) indicado aneriormene não é o mais adequado. O modelo que melhor represena a série do número de aendimenos de clienes ipo garania é o modelo ARIMA (,,0). As esimaivas dos coeficienes para esse modelo foram: φ 0,8; φ 0,9. Reescrevendo o modelo dado pela equação. (sem o ermo consane), com p, d e q 0, e subsiuindo os valores dos coeficienes, em-se: ( φ L φl )( L)Z Z 0,Z Z 0,9Z (.).. Eapa de verificação Avaliação por meio da análise de resíduos Se o modelo esiver adequadamene especificado, os resíduos do modelo esimado serão esimaivas de ruído branco e, assim, os coeficienes de auocorrelação dos resíduos devem ser esaisicamene iguais a zero. A Figura revela que os resíduos efeivamene apresenam comporameno aleaório (ruído branco), logo, o modelo é adequado no que se refere à análise dos resíduos. Essa conclusão é reforçada após a uilização do ese de Ljung-Box Q*, que não rejeia, para qualquer defasagem k, a hipóese de erros não correlacionados. Assim, podemos considerar que os resíduos se comporam como ruído branco. Avaliação da ordem do modelo A Tabela apresena uma comparação do modelo proposo ARIMA(,,0) com ouros rês modelos para o número de aendimenos dos clienes ipo garania. A análise do modelo ARIMA(,,0) revela que o coeficiene φ não é significaivo (p-value igual a 0,8). Como o

13 GESTÃO & PRODUÇÃO, v.0, n., p.-, abr erceiro componene não é significaivo, verificouse o modelo ARIMA(,,0). Esse modelo, por sua vez, apresenou o menor desvio-padrão residual, assim como os menores valores dos criérios AIC e SBC, quando comparado a modelos menos parcimoniosos que consam na abela. Essas comparações levaram à escolha do modelo ARIMA(,,0) apresenado na equação..,0 0, Auocorrelações 0,, Figura Função de auocorrelação para os resíduos do modelo ARIMA(,,0). Tabela Criérios de comparação para verificação do melhor modelo. Modelo p-value dos coeficienes Criério AIC Criério SBC Desvio-padrão residual Variância residual ARIMA(,,0) φ : 00 φ : 9 φ : 0,8,8 9, 0,.9,9 ARIMA(,,0) φ : 00 φ : 0,8,.99,9 ARIMA(,,) φ : θ : 8,8 80,,0.,8 ARIMA(,,) φ : 00 φ : 0 θ :, 9,80 0,.99,00 Fone: Análise no pacoe SPSS, versão 8.0.

14 Werner & Ribeiro Previsão de Demanda: Uma Aplicação dos Modelos Box-Jenkins..... Eapa de previsão Para o modelo ARIMA(,,0) esimado, o valor ( h) é dado por: Z h 0,Z h Z h 0,9Z h h (.) Assim, o previsor h passos a frene para o esudo do número de aendimenos de clienes ipo conrao, é dado pelo seguine conjuno de equações: () () 0,Z Z 0,9Z 0,Z Z 0,9Z 0, () Z 0,9Z () 0,Z Z 0,9Z 0, () () 0,9Z (h) 0, (h ) (h ) 0,9 (h ) h (.) A Tabela apresena as previsões para a demanda do número de aendimenos de clienes ipo garania, de agoso de 00 a fevereiro de 00, com base no período de julho de 00, que corresponde a. O gráfico com as previsões e o inervalo de 9% de confiança para as previsões enconra-se na Figura 8.. Meodologia Box-Jenkins para clienes ipo avulsos.. Eapa de idenificação A análise da Figura 9 auxilia a idenificar os possíveis modelos a serem uilizados. Essa figura revela a presença de endência crescene, o que indica que a série não é esacionária. Além disso, a série apresena valor médio a ser considerado no modelo a ser proposo (consane). A seguir, é realizada a análise das funções de auocorrelações (ACF) e auocorrelações parciais (PACF), que auxiliam na verificação da esacionariedade e na proposição de um modelo. Tabela Previsões da demanda do número de aendimenos de clienes ipo garania. Mês h (h) Agoso/00 Seembro/00 Ouubro/00 Novembro/00 Dezembro/00 Janeiro/00 Fevereiro/00 () 0, * Z * Z 9 0,9 * Z 8 () 0, * * 0,9 * () 0,*() * Z 0,9* Z9 () 0,*,8 * 0,9* () 0, * () * () 0,9Z () 0,*,8 *,8 0,9* 9 () 0, * () * () 0,9 * () () 0, * 9,98 *,8 0,9 *,8 () 0, * () * () 0,9 * () () 0,*, *9,98 0,9*,8 8 () 0, * () * () 0,9 * () () 0, * 8, *, 0,9 * 9,98 8 () 0, * () * () 0,9 * () () 0,* 8,89 * 8, 0,9*, 9

15 GESTÃO & PRODUÇÃO, v.0, n., p.-, abr. 00 Número de aendimenos Ago/9 Fev/9 Ago/9 Fev/98 Ago/98 Fev/99 Ago/99 Fev/00 Ago/00 Fev/0 Ago/0 Fev/0 Mês Valor observado Previsão Limie inferior a 9% Limie superior a 9% Figura 8 Previsões da demanda do número de aendimenos de clienes ipo garania. A Figura 0a, conendo a ACF do número de aendimenos de clienes ipo avulsos, revela que as auocorrelações apresenam decaimeno exponencial, ípico do processo auo-regressivo. A Figura 0b coném a PACF, a qual apresena apenas a auocorrelação parcial de ordem um significaiva. Assim, há indicação de que a ordem do modelo auo-regressivo é um, reforçando a indicação de um modelo auo-regressivo, no caso, um modelo AR(). É preciso verificar a esacionariedade da série, realizada por meio do ese Dickey-Fuller, uilizando o pacoe economérico EViews (versão.0). A hipóese de não-esacionariedade não foi rejeiada em nível de % de significância. Isso indica que, em virude da evidência de não-esacionariedade da série, é necessário uilizar a diferença. Uilizando a primeira diferença e reaplicando o ese Dickey- Fuller verifica-se que a série é esacionária em nível de %. Assim, em-se a indicação de que a ordem de inegração deva ser um, iso é, d. Com base nas análises das ACF, PACF e dos eses para verificar a esacionariedade da série, o modelo indicado é µm ARIMA(,,0)... Eapa de esimaiva Para esimar os parâmeros do modelo foi uilizado o pacoe esaísico SPSS (versão 8.0). Além dos parâmeros do modelo, foi esimada a variância dos resíduos σ. O modelo ARIMA(,,0) indicado não foi o mais adequado, como será viso na próxima seção. O modelo que melhor represena a série do número de aendimenos para clienes ipo avulsos é o modelo SARIMA (0,,0) (0,,), pois a influência da sazonalidade eve de ser considerada. A esimaiva do coeficiene de média móvel sazonal obida para esse modelo foi: Θ 0,. Reescrevendo o modelo dado pela equação., com D e Q, e subsiuindo o valor do coeficiene, em-se: ( L) ( L ) Z ( ΘL ) Z Z Z Z (.) 0,.. Eapa de verificação Avaliação por meio da análise de resíduos O modelo proposo pela análise da ACF, PACF e esacionariedade foi o ARIMA(,,0); conudo, como pode ser verificado na Figura, os resíduos não se comporam como ruído branco, pois a PACF revela a defasagem significaiva, o que indica a presença de sazonalidade, já referida na Figura 0a.

16 Werner & Ribeiro Previsão de Demanda: Uma Aplicação dos Modelos Box-Jenkins Número de aendimenos Ago/9 Fev/9 Ago/9 Fev/98 Ago/98 Fev/99 Ago/99 Fev/00 Ago/00 Fev/0 Mês Figura 9 Número de aendimenos de clienes ipo avulsos e sua endência.,0 (a),0 (b) Auocorrelações 0, 0, Auocorrelações parciais 0, 0,, , Figura 0 a) Função de auocorrelação e b) função de auocorrelação parcial para o número de aendimenos de clienes ipo avulsos.,0 (a),0 (b) Auocorrelações 0, 0, Auocorrelações parciais 0, 0,, , Figura a) Função de auocorrelação e b) função de auocorrelação parcial para os resíduos do modelo ARIMA(,,0).

17 GESTÃO & PRODUÇÃO, v.0, n., p.-, abr. 00 Avaliação da ordem do modelo Uma vez que os resíduos do modelo proposo indicaram a presença de sazonalidade, foram analisadas as ACF e PACF da primeira diferença em busca de ouro modelo. A Figura apresena as ACF e PACF da primeira diferença, que indicam um modelo auo-regressivo sazonal. A indicação de ermos auo-regressivos sazonais vem da significância das auocorrelações parciais de defasagens e. Assim, foi proposo um modelo SARIMA(0,,0)(,). Conudo, esse modelo apresenou coeficiene não-significaivo para o ermo auo-regressivo sazonal. Visando remover a influência do componene de sazonalidade, uilizou-se ambém a diferença sazonal de amanho s. Enão, foi verificado o comporameno do modelo SARIMA(0,,0) (,,0), que ambém apresenou coeficiene nãosignificaivo, parecendo não ser o modelo mais adequado para ese esudo. A Tabela apresena alguns dos modelos analisados e os criérios que levaram à escolha do modelo SARIMA(0,,0)(0,,). Denre os modelos sazonais abordados, odos apresenam coeficienes não-significaivos. Os demais modelos não relacionados aqui ou apresenavam coeficiene não-significaivo ou inham desvio-padrão residual maior que o modelo SARIMA(0,,0)(0,,) escolhido. As auocorrelações residuais do modelo SARIMA (0,,0)(0,,) são esaisicamene não-significaivas. Isso pode ser afirmado com base na conclusão obida pelo ese de Ljung-Box, que não rejeia, para qualquer defasagem k, a hipóese de erros não correlacionados. Assim, pode-se considerar, com base no ese Ljung-Box, que os resíduos comporam-se como ruído branco, sendo ese modelo adequado para realizar previsões... Eapa de previsão Para o modelo SARIMA(0,,0)(0,,) esimado, o valor ( h) é dado por: Z h Z h Z h Z h h (.8) 0,. h Assim, o previsor h passos a frene para o esudo do número de aendimenos de clienes ipo conrao é dado pela equação.9. O valor de h, que ainda não ocorreu, é esimado por sua média, ou seja, o valor zero: () Z Z Z h h h 0,. h (.9) (h) (h ) Z sendo: h. 0,. h Z h h (.0),0 (a),0 (b) Auocorrelações 0, 0, Auocorrelações parciais 0, 0,,0 Transformação: primeira diferença 8 9 0,0 Transformação: primeira diferença Figura a) Função de auocorrelação e b) função de auocorrelação parcial para a primeira diferença da série do número de aendimenos de clienes ipo avulsos.

18 Werner & Ribeiro Previsão de Demanda: Uma Aplicação dos Modelos Box-Jenkins... Tabela Criérios de comparação para verificar o melhor modelo. Modelo ARIMA(,,0) p-value dos coeficienes SARIMA(0,,0)(,) Φ : 0 SARIMA(0,,0)(,,0) Φ : SARIMA(,,0)(,,0) φ : 0,9 Φ : SARIMA(0,,0)(,) Θ : 0, SARIMA(0,,0)(0,,) Θ : φ SARIMA(,,0)(,) : Φ : 0,8 Fone: Análise no pacoe SPSS, versão 8.0. Criério AIC φ :, 9,90,9 (T ),8 (T ), (T ), Criério SBC 8,8,99, (T ) 0, (T ),8,9 (T ) 9,80 Desvio-padrão residual Variância residual,8.88,,9.90,,08.9,,8.999,8,9.9,9 8,0.,,9.80, A Tabela apresena as previsões para a demanda do número de aendimenos de clienes ipo avulsos, de agoso de 00 a fevereiro de 00. Essas previsões foram obidas aplicandose as equações.9 e.0 e endo por base o período de julho de 00, que corresponde a. O gráfico com as previsões e o inervalo de 9% de confiança para as previsões enconra-se na Figura.. Previsão da demanda fuura da empresa A previsão de demanda oal da empresa, apresenada na Tabela, é a soma da previsão da demanda individual dos rês ipos de clienes. As previsões apresenadas referem-se ao período de agoso de 00 a fevereiro de 00. É imporane observar que a previsão da demanda nese esudo de caso deve ser feia individualmene para cada segmeno. A modelagem individual é essencial, na medida em que os diferenes segmenos apresenam suas especificidades referenes à endência, à sazonalidade e à ordem dos modelos. Vale mencionar que séries simples (conendo apenas endência, por exemplo) podem ser modeladas com um número relaivamene pequeno de observações, mas séries complexas (conendo ermos de sazonalidade com múliplos períodos, por exemplo) podem exigir 80 ou mais observações para ober boa modelagem. No caso em esudo, foram uilizadas observações, pois represenam a oalidade dos dados disponibilizados pela empresa. Também vale mencionar que, na fase de verificação da meodologia Box-Jenkins, é comum reservar uma pare final dos dados disponíveis para verificar o desempenho do modelo, comparando as previsões com os valores observados. Nese esudo, isso não foi feio por duas razões: a amosra disponível ( observações) era relaivamene pequena e, por moivos esraégicos, a empresa não auorizou a divulgação de dados mais auais.

19 GESTÃO & PRODUÇÃO, v.0, n., p.-, abr. 00 Tabela Previsões da demanda do número de aendimenos de clienes ipo avulsos. Mês T h Zˆ (h) Agoso/00 Seembro/00 Ouubro/00 Novembro/00 Dezembro/00 Janeiro/00 Fevereiro/00 () Z Z Z 0,. () 8 0 0, *, 8 () ( ) Z Z 0,. () 80, 0 0, *,9 () ( ) Z Z 0,. (),0 89 0, *,8 0 () () ( ) Z Z 0,. 0,9 89 0, * (,0 ) 88 () ( ) Z Z 0,. () , *,8 () ( ) Z Z 0,. (), 00 0,* 9, 0 () ( ) Z Z 0,. () 0, 0, *( 8,) 0 00 Número de aendimenos Ago/9 Fev/9 Ago/9 Fev/98 Ago/98 Fev/99 Ago/99 Fev/00 Ago/00 Fev/0 Ago/0 Fev/0 Mês Valor observado Previsão Limie inferior a 9% Limie superior a 9% Figura Previsões da demanda do número de aendimenos de clienes ipo avulsos.

20 Werner & Ribeiro Previsão de Demanda: Uma Aplicação dos Modelos Box-Jenkins... Tabela Previsão da demanda oal da empresa e por ipo de cliene. Mês Previsão de demanda Conrao Garania Avulsos Toal Agoso/ Seembro/00 0 Ouubro/ Novembro/ Dezembro/ Janeiro/ Fevereiro/ Conclusões Realizar previsão de demanda é uma aividade imporane, pois pode revelar as endências de mercado e conribuir no planejameno esraégico da empresa. As previsões de demanda ambém auxiliam na solução de problemas mais imediaos, como a definição do número de écnicos necessários para aender o cliene final. Visando alcançar esses objeivos, ese rabalho uilizou a meodologia de Box-Jenkins e discuiu sua aplicação por meio de um esudo de caso dirigido ao seor de assisência écnica em compuadores pessoais. No esudo de caso desenvolvido, a demanda da empresa foi segmenada pelo ipo de clienes: conrao, garania e avulsos. Verificou-se que cada um desses segmenos apresena caracerísicas próprias. Como cada cliene em suas peculiaridades, o comporameno de cada um é disino no que se refere à endência e à sazonalidade, exigindo um modelo diferene em sua represenação. A aplicação da meodologia de Box-Jenkins requer do pesquisador aenção e práica para escolher o modelo que melhor define o comporameno emporal dos dados. Com a aplicação dessa meodologia, apoiada em eses esaísicos para subsidiar a modelagem, foi possível definir modelos apropriados para os rês segmenos de clienes. Para modelar o número de aendimeno de clienes ipo conrao foi uilizado modelo auoregressivo de primeira ordem, AR(), um modelo simples e amplamene esudado na lieraura. Para modelar o número de aendimeno de clienes ipo garania foi necessário um modelo com mais parâmeros, conando com ermos diferenciais e auo-regressivo de segunda ordem, ARIMA(,,0). Por fim, o número de aendimeno de clienes ipo avulsos revelou um comporameno mais complexo, com sazonalidade mensal. Nesse caso, foi necessário uilizar um modelo conendo ermos diferenciais e sazonais, SARIMA(0,,0)(0,,). A modelagem uilizada capou as diferenças exisenes enre os segmenos de clienes. Essas diferenças podem ser jusificadas ecnicamene. Para os clienes ipo conrao a influência emporal é reduzida, pois a demanda e a concorrência parecem crescer na mesma axa. O resulado é que o número de conraos da empresa varia pouco ao longo do ano. Já os clienes ipo garania revelam maior dependência emporal, pois as alerações no mercado e os acordos de assisência écnica se refleem gradaivamene nos negócios da empresa, ou seja, as mudanças demoram algum empo para surirem efeio em campo. Os clienes ipo avulsos, por sua vez, apresenam sazonalidade anual em função dos hábios de aquisição (presenes de naal e reorno às aulas, por exemplo), os quais esão inimamene relacionados aos períodos do ano. Por fim, vale mencionar que o rabalho realizado foi de grande uilidade para a empresa, principalmene por dois moivos: a modelagem

21 GESTÃO & PRODUÇÃO, v.0, n., p.-, abr. 00 permiiu maior enendimeno do comporameno dos diversos clienes; e os resulados foram imediaamene assimilados pela empresa, consiuindo fone adicional de informação no supore às decisões referenes a invesimenos e dimensionameno da equipe écnica. Referências Bibliográficas ABDEL-AAL, R. E.; AL-GARNI, Z. Forecasing monhly elecric energy consumpion in easern Saudi Arabia using univariae ime-series analysis. Energy, v., n., p , nov. 99. ABRAHAM, B.; LEDOLTER, J. Saisical mehods for forecasing. New York: John Wiley & Sons, 98. BOX, G. E. P.; JENKINS, G. M. Time series analysis forecasing and conrol. San Francisco: Holden- Day, 9. Edição revisada. ENDERS, W. Applied economeric ime series. New York: John Wiley & Sons, 99. FAVA, V. L. Manual de economeria. In: VASCONCELOS, M. A. S.; ALVES, D. São Paulo: Ediora Alas, 000. HAMILTON, J. D. Time series analysis. New Jersey: Princeon Universiy Press, 99. LIM, C.; McALEER, M. Time series forecass of inernaional ravel demand for ausralia. Tourism Managemen. (Arigo aceio em julho de 00, aguarda impressão.) MAKRIDAKIS, S.; WHEELWRIGHT, S.; HYNDMAN, R. J. Forecasing mehods and applicaions.. ed. New York: John Wiley & Sons, 998. MORRETIN, P. A.; TOLOI, C. M. C. Previsão de séries emporais.. ed. São Paulo: Aual Ediora, 98. NELSON, C. R. Applied ime series analysis for managerial forecasing. San Francisco: Holden- Day, 9. PELLEGRINI, F. R.; FOGLIATTO, F. Esudo comparaivo enre modelos de Winers e de Box- Jenkins para a previsão de demanda sazonal. Revisa Produo & Produção, v., número especial, p. -8, abr SLINI, L.; KARATZAS, K.; MOUSSIOPOULOS, N. Saisical analysis of environmenal daa as he basis of forecasing: an air qualiy applicaion. The Science of he Toal Environmen, v. 88, p. -, 00. DEMAND FORECASTING: AN APPLICATION OF THE BOX-JENKINS MODELS IN THE TECHNICAL ASSISTANCE OF PERSONAL COMPUTER Absrac Demand forecasing is an imporan ool o aid on he deerminaion of necessary resources of a given company. In his paper, he Box-Jenkins mehodology was applied o analyze hisorical daa of a personal compuer repair company and provide a forecas for he number of service calls. The company sudied presens hree segmens of cliens: conracs, warrany, and on-call. As each clien has i own characerisics, in order o beer represen endency and seasonaliy behavior hrough he Box-Jenkins models, a specific forecasing model was developed for each segmen. The choice of he opimum models were based ino graphic analysis and saisical ess, which lead o he decision of adoping he AR() model o foresee he number of conrac cliens, he ARIMA(,,0) model for warrany cliens and he SARIMA(0,,0)(0,,) seasonal model for on-call cliens. Key words: forecasing, Box-Jenkins models, ARIMA models, ime series, echnical assisance.