Capítulo 5: Introdução às Séries Temporais e aos Modelos ARIMA

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1 0 Capíulo 5: Inrodução às Séries emporais e aos odelos ARIA Nese capíulo faremos uma inrodução às séries emporais. O nosso objeivo aqui é puramene operacional e esaremos mais preocupados com as definições básicas e alguns exemplos simples, já que o esudo de séries emporais é ão exenso que jusifica um curso em separado. Séries emporais não são comumene esudadas em cursos básicos de Esaísica. Por que? Pois no esudo de Séries emporais a noção de dependência enre as observações é crucial. Ao conrário, na maioria dos procedimenos esudados em cursos elemenares, supõe-se que as observações formam uma amosra aleaória, iso é, são independenes e idenicamene disribuídas. 5.. Inrodução - algumas considerações sobre séries emporais Definição 5... (Série emporal) Uma Série emporal é um conjuno de observações ordenadas no empo (não necessariamene igualmene espaçadas), e que apresenam dependência serial (iso é, dependência enre insanes de empo). A noação usada aqui para denoar uma Série emporal é,,...,, que indica uma série de amanho. O insane geralmene indica o úlimo insane disponível. De uma maneira um pouco mais formal, dizemos que uma série emporal é uma realização de um processo esocásico. Definição 5... (Processo ergódico) Um processo esocásico é dio ergódico se uma única realização do processo é o suficiene para caracerizá-lo. Na análise de séries emporais exise apenas uma realização do processo disponível e porano precisamos supor que o processo subjacene é ergódico, pois iremos usar apenas uma de suas realizações para caracerizá- lo. Em geral, ao esudarmos uma Série emporal esaremos ineressados em dois aspecos: a) Análise e odelagem da Série emporal - descrever a série, verificar suas caracerísicas mais relevanes e suas possíveis relações com ouras séries; b) Previsão da Série emporal - a parir de valores passados da série (e alvez de ouras séries ambém) enconrar boas previsões (de curo prazo) de valores fuuros da série. A previsão da série no insane k será denoada por $ k. O número de insanes à frene para o qual é feia a previsão (nese caso, k) é chamado de horizone de previsão. Por exemplo, a previsão de é denoada por $. A dependência serial enre os valores da série é um aspeco essencial, pois nos permie gerar previsões de valores fuuros da série. Esas previsões seriam puro chue se não houvesse dependência serial. ambém, diferenes séries possuem diferenes graus de previsibilidade; por exemplo, é freqüenemene mais fácil prever uma série de emperauras médias mensais do que a axa mensal de inflação. Logo, não se pode garanir que a previsão enconrada por ese ou aquele méodo será sempre boa, udo depende das caracerísicas da série que esá sendo esudada! No enano, um aspeco deve ser levado em cona ao fazermos previsões de séries emporais: o nível de incereza aumena com o horizone de previsão quano mais longe no fuuro, maior é a incereza associada à previsão. Iso é inuiivamene razoável, é sempre mais difícil prever o fuuro disane, e a nossa previsão esará cercada de incerezas!

2 0 Uma medida do acero das nossas previsões é o erro de previsão k-passos à frene, definido a seguir. Definição 5... (Erro de Previsão k passos à frene) O erro de previsão k passos à frene no insane (onde k é um ineiro maior ou igual a um) é definido como a diferença enre o valor real da série no insane e a previsão dese valor feia k insanes anes, iso é: e ˆ k k () ( ) k Um caso paricular imporane é o erro de previsão um passo à frene, dado por: e () () ˆ Um bom modelo de previsão produz previsões com erro pequeno, e assim é ineressane acompanhar quanidades como a soma dos quadrados dos erros de previsão, ou a soma dos valores absoluos dos erros de previsão. E como funcionam esas ferramenas quaniaivas que nos permiem prever o fuuro de uma série emporal? Vamos uilizar o passado (dados hisóricos) para descrever a rajeória mais provável da série no fuuro. Isso não é uma bola de crisal! Na maioria dos problemas o passado raz informações relevanes sobre o que irá ocorrer no fuuro, pois exise correlação enre as variáveis em diversos insanes. É claro que o conhecimeno do passado não nos diz exaamene como será o fuuro, e enão sempre exise incereza associada às nossas previsões! as, podemos er uma boa idéia de quais serão os valores mais prováveis no fuuro! Ou seja, podemos especificar previsões fuuras e limies de confiança. Por que usar previsões quaniaivas, baseadas em modelos esaísicos? As previsões quaniaivas, baseadas em modelos esaísicos, são imporanes pois podem ser reproduzidas, iso é: dois analisas diferenes chegam às mesmas conclusões se uilizarem o mesmo modelo. ambém, as previsões obidas por méodos esaísicos êm uma jusificaiva eórica - o resulado enconrado não é baseado apenas em argumenos do ipo : eu acho que..., baseado na minha experiência..., ec... Finalmene, as previsões são obidas a parir de um modelo, que é uma simplificação da realidade. O processo de modelagem nos leva nauralmene a considerar apenas os aspecos essenciais do nosso problema e por si só cosuma razer basane informação sobre o problema que esá sendo raado. Afinal, o que queremos ao modelar uma série emporal? Capurar oda a esruura de dependência exisene na série; Logo, nos resíduos não deve sobrar esruura, pois ela já foi capada pelo modelo. Noa: o resíduo é apenas a diferença enre o valor real e o ajusado por um modelo qualquer. Por exemplo, seja o valor real da série no insane, e Ẑ seu valor ajusado pelo modelo. Enão, o resíduo no insane é apenas - Ẑ.

3 04 Em paricular, se o modelo é bom, os resíduos não devem apresenar correlação serial (iso é, correlação enre os resíduos em diferenes insanes de empo); Explicar o comporameno da série com o menor número de parâmeros (parcimônia). Dica Práica... Por onde começar Em geral, a primeira coisa que fazemos ao esudar uma série emporal é consruir um gráfico para mosrar a sua evolução ao longo do empo. Ese procedimeno simples cosuma ser basane esclarecedor, e nos permie idenificar como evolui a endência da série, se exise ou não sazonalidade, se ocorrem observações aberranes, ec... Logo, a minha sugesão é: sempre comece a sua análise da maneira mais simples faça o gráfico da série de ineresse! Séries emporais ocorrem com enorme freqüência na práica. No quadro a seguir exibimos os gráficos de algumas séries emporais reais. Quadro algumas séries emporais Preços ensais Inernacionais de Celulose em US$ fixos Vendas ensais de Refrigeranes em embalagens de 90 ml VENDAS - EBALAGENS 90 ml gua90 lim90 laranj jan-78jan-79jan-80jan-8jan-8jan-8jan-84jan-85jan-86jan-87jan-88jan-89jan-90jan-9jan-9jan-9jan-94jan-95jan-96jan-97 mês e ano emperaura áxima ensal no Rio de Janeiro (média das máximas diárias) Preços de íulos da Dívida Exerna do Brasil, Argenina e éxico Legend BRPREC ARGPREC EXPREC

4 05 Consumo édio de Energia Elérica Consumo édio de Energia Elérica Inflação ensal do Rio de Janeiro Inflação ensal no Rio de Janeiro Jan-89 Jun-89 Nov-89 Apr-90 Sep-90 Feb-9 Jul-9 Dec-9 ay-9 Oc-9 ar-9 Aug-9 Jan-94 Jun-94 Nov-94 IPC-RJ (FGV) 00% 80% 60% 40% 0% 0% -0% Jan- 88 Jun- 89 Nov- 90 Apr- 9 Sep- 9 Feb- 95 Jul- 96 Podemos fazer uma disinção básica enre duas grandes classes de modelos: odelos Univariados: a série emporal é explicada (previsa) apenas pelos seus valores passados; odelos ulivariados ou Causais: a série emporal é explicada (previsa) pelos seus valores passados e ambém pelos valores passados de ouras variáveis. Nese capíulo consideraremos apenas modelos univariados. Exemplo 5... (Alguns odelos Univariados) i) Naive (ingênuo) A previsão de (valor da série no insane ) é apenas a úlima observação ( ). É claro que você não precisa de um sofware para ajusar isso e, em alguns casos, é o único méodo disponível. Um exemplo clássico é a previsão do preço de uma ação - geralmene a melhor previsão para o preço de amanhã é o preço de hoje, o que ceramene é frusrane! ii) édias móveis de amanho N A cada insane, a previsão é apenas a média das úlimas N observações. Um dos problemas com ese méodo é a escolha de N, o amanho da janela a ser uilizado. Quano maior o valor de N, mais suave é a previsão. Ao conrário, se N é pequeno, a previsão ende a ser meio nervosa, iso é, oscila muio. Uma caracerísica imporane do méodo de médias móveis é: odas as observações usadas para o cálculo êm o mesmo peso (que é /N). as, na práica é razoável supor que as observações mais recenes sejam mais relevanes para a previsão dos próximos valores da série, e porano deveriam receber um peso maior que as observações mais anigas. Esa idéia de pesar ou ponderar as observações de acordo com as suas idades leva aos diversos méodos de amorecimeno exponencial. iii) Amorecimeno Exponencial ( Exponencial Smoohing ) Exisem inúmeras variações deses méodos, para séries sazonais e não sazonais. A idéia geral é parecida com a do méodo de médias móveis, mas os pesos das observações decrescem à medida que as observações esão mais longe no passado. A axa de decréscimo do(s) peso(s) é

5 06 deerminada por uma ou mais consanes de amorecimeno. A maior dificuldade na aplicação é escolher a(s) consane(s) de amorecimeno, mas alguns sofwares já ajusam os modelos de amorecimeno auomaicamene com consanes de amorecimeno oimizadas. Na práica, os méodos de amorecimeno são os méodos de previsão mais usados no dia a dia das empresas, o que é em pare explicado pela sua facilidade de implemenação e capacidade em gerar boas previsões. iv) odelos ARIA de Box e Jenkins São modelos mais sofisicados, que usam as correlações enre as observações em diversos insanes. A idéia por rás dos modelos ARIA envolve filros lineares e algum conhecimeno de eoria de Sisemas é úil. A idenificação da esruura do modelo é um pouco complicada, mas alguns sofwares já idenificam auomaicamene a esruura do modelo ARIA, eviando o passo mais complicado da análise. Como casos pariculares dos modelos ARIA emos os processos AR (Auoregressivo) e A (édias móveis ou moving average ), já esudados brevemene no capíulo. Os modelos ARIA cosumam apresenar melhores resulados que os méodos de amorecimeno quando a série é relaivamene longa e bem comporada. Se a série é muio irregular, os resulados são, geralmene, inferiores aos obidos por méodos de amorecimeno. Exisem ambém modelos ARIA mulivariados, geralmene chamados de modelos de função de ransferência, mas eles não serão esudados aqui. Decomposição de uma série emporal A maneira radicional de analisar uma série emporal é aravés da sua decomposição nas componenes de endência, ciclo e sazonalidade. A endência de uma série indica o seu comporameno de longo prazo, iso é, se ela sobe, desce, ou permanece esável, e qual a velocidade desas mudanças. Nos casos mais comuns rabalhamos com endência consane, linear ou quadráica, como mosrado na próxima figura. Quadro 5... endência de uma série endência Consane endência Linear endência Quadráica A sazonalidade indica a repeição de um padrão na série denro do período de um ano. Por exemplo, vendas de sorvee são alas no verão e baixas no inverno. No quadro 5..., as séries de emperaura, consumo de energia elérica e vendas de refrigeranes são claramene sazonais, mas não se pode dizer o mesmo das ouras séries.

6 07 Os ciclos indicam padrões que se repeem na série em períodos superiores a um ano. Por exemplo, ciclos relacionados à aividade econômica ou ciclos meeorológicos. Caracerísicas de uma série emporal e esimadores Um processo esocásico esacionário de ª ordem pode ser descrio (no domínio do empo) por sua média, variância e função de auocovariância (ou de auocorrelação). Na práica não conhecemos oalmene o processo esocásico que gerou a série que esá sendo observada, e esas quanidades (média, variância, auocorrelação) devem ser esimadas a parir da série emporal, como indicado no capíulo. 5.. éodos de Amorecimeno Exponencial (séries não sazonais) Exisem inúmeras variações de méodos de amorecimeno exponencial. odas elas, na verdade, êm uma caracerísica comum: a informação aual (represenada pelo úlimo valor observado) é ponderada com a informação conida nos insanes aneriores. A exisência de uma ou mais consanes de amorecimeno irá deerminar como funciona ese mecanismo de ponderação ou, em ouras palavras, o quão rapidamene decai a influência das observações passadas. Os parâmeros do modelo sofrem uma aualização seqüencial, e a chegada de uma nova observação resula numa nova esimaiva dos parâmeros. Nesa seção esudamos diversos méodos de amorecimeno exponencial para séries não sazonais. A exensão deses méodos para séries sazonais é mosrada na próxima seção. Os méodos de amorecimeno exponencial são formas aé cero pono arbirárias de represenar uma série emporal, mas são muio imporanes na práica, pois geralmene produzem previsões razoáveis a parir de um esforço compuacional baixo. Na verdade, eses méodos são freqüenemene ciados como os favorios dos não especialisas em séries emporais, pela qualidade das previsões geradas e facilidade de implemenação. Os méodos de amorecimeno mais famosos são: Brown, Hol e Winers. Um pono poencialmene complicado em odos eses méodos é a escolha da(s) consane(s) de amorecimeno, mas na práica isso não é mais problema, já que a maioria dos sofwares de séries emporais ajusa modelos com a(s) consane(s) oimizadas. Seja ( ),,..., uma série emporal de amanho. Desejamos escrever um modelo geral para explicar o comporameno da série a cada insane e permiir a produção de previsões fuuras. Suponha que o modelo geral para uma observação qualquer no insane genérico é: μ( ) ε onde ε é um ruído aleaório com média zero e variância consane σ ε. O ermo μ() represena o nível médio da série, que é função apenas do insane de empo. Iremos esudar rês casos pariculares: μ() é consane, uma função linear e uma função quadráica do empo. A parir das propriedades da média e da variância podemos concluir que:

7 08 ( ) ( ) μ ( ) E para odo,,,... VAR consane σ ε (5..) A seguir derivamos esimadores para os parâmeros desconhecidos dos modelos de nível consane, linear e quadráico e enconramos as respecivas equações de previsões. Freqüenemene iremos supor que os erros ε, ε,..., ε são independenes com uma disribuição de probabilidade conhecida (por exemplo, a Normal) com média zero e variância consane. Das equações acima é fácil ver que a esimação da variância de (que é igual à variância de ε ) não apresena grandes dificuldades, basa uilizar os esimadores usuais da variância de uma amosra aleaória. Por isso, na discussão a seguir, nós nos concenraremos na esimação dos parâmeros que definem o nível médio da série odelo Consane (Horizonal) Ese é um modelo apropriado quando a série emporal apenas oscila em orno de um valor consane, sem exibir endência de crescimeno ou queda. A função nível médio é dada por: μ() a para odo insane,,,...,. Nese modelo é necessário esimar apenas parâmeros: a (o nível médio da série) e σ (a variância da série). A previsão k passos à frene obida no insane é: ˆ ( ) { } { } ˆ k E k E a ε k a ( ) (5..) Logo, se conhecermos um esimador do parâmero a poderemos enconrar as previsões ponuais para qualquer horizone de empo k. E como podemos esimar a consane a (nível médio da série)? Exisem diversas possibilidades, mosradas a seguir.

8 09 odelo Consane - Esimação do nível médio da série ) Esimador ingênuo ( naive ) ( ) a ˆ onde indica a úlima observação disponível. ) Esimador édias óveis de amanho N O nível médio da série num cero insane é esimado como a média móvel de amanho N usando as observações, -,..., -N, iso é: aˆ ( )... N N (5..) Uma quesão crucial nese caso é definir qual o amanho da janela a ser usada, iso é, quanas observações serão uilizadas no cálculo da média móvel. Noe que, se N, apenas a úlima observação é usada, e o méodo se reduz ao méodo ingênuo. Por ouro lado, se N (amanho da série), emos o chamado méodo conservador, em que odas as observações disponíveis são empregadas na esimação do nível médio da série, e a ˆ ( ), a média amosral da série. O amanho da janela uilizada (N) pode ser escolhido como aquele ineiro posiivo que minimiza a soma de quadrados dos erros de previsão passo à frene, iso é, escolhe-se N de forma a minimizar: S( N) e ( ) ) Esimador pelo éodo de Amorecimeno Exponencial Noe que o esimador do nível da série produzido pelo méodo de médias móveis pode ser escrio como: N... aˆ ( ) N N N (5..4) Onde - é a média móvel de amanho N calculada no insane anerior. Em ouras palavras, o esimador do nível envolve uma informação aual (represenada por, o úlimo valor observado da série) e uma informação passada ( - e -N ). O méodo de amorecimeno exponencial esende esa idéia de ponderação da informação presene e passada. Na equação (5..4) subsiua -N por -. Isso nos leva ao seguine esimador: aˆ ( ) N N N N Ou seja, ese novo esimador em a forma: (peso)*(informação aual) ( peso)*(informação passada). Noe que â () é a previsão do nível da série efeuada no insane aual e podemos reescrever esa úlima equação como: aˆ ( ) aˆ N N N N ( )

9 0 onde â ( ) é a média móvel de amanho N calculada aé (inclusive) a observação -, ou seja, é a esimaiva prévia do nível da série, Em ouras palavras: a previsão aual do nível (dada por â () ) é baseada na ponderação do valor mais recene da série ( ) e da úlima previsão para o nível (â ( )). Uma forma mais geral de definir um esimador com esa caracerísica de ponderação das informações passadas e presenes é: ( ) α ( α) α. ( α ) aˆ ( ) aˆ (5..5) onde α [0, ] é a consane de amorecimeno, que conrola a axa de decaimeno da informação. A equação (5..5) apresena algumas caracerísicas ineressanes: ) é basane econômica do pono de visa compuacional, pois é preciso guardar, a cada insane, apenas o úlimo valor observado e a esimaiva anerior do nível, iso é, não precisamos guardar odos os valores aneriores da série emporal para gerar a previsão do nível; ) o méodo funciona basane bem, desde que a série não apresene uma endência. Ao rearranjar os ermos da equação (5..5) e enconramos: ( ) α ( α) aˆ ( ) α( aˆ ( ) ) a ˆ (5..6) A expressão (5..6) é freqüenemene conhecida como forma de correção do erro. Nela, o mecanismo de aualização da previsão do nível fica explício: o nível esimado num insane é igual ao nível esimado no insane anerior mais um múliplo do erro de previsão um passo à frene comeido no insane anerior (que é â (-)). Seja e - o erro de previsão um passo à frene no insane -, iso é: e - â (-) e enão podemos rearranjar os ermos e escrever: e - â (-). Se aplicarmos a equação (5..6) à previsão do nível no insane enconramos: ( ) α ( α) aˆ ( ) α( aˆ ( )) aˆ ( ) e a ˆ α. Daí: ( e a ( )) ( e aˆ ( ) ) e e ( aˆ ( ) aˆ ( ) ) e e α. e e ( ). e ˆ α Esa expressão não é úil do pono de visa prediivo, pois o lado direio coném os oupus (erros de previsão um passo à frene) enquano o dado esquerdo coném os inpus (observações). as, esa expressão é imporane em ermos esruurais, pois se os e s (erros de previsão um passo à frene) são subsiuídos por choques aleaórios, o modelo resulane é um ARIA (0,,), que será esudado na próxima seção. Num modelo ARIA(0,,) o méodo de amorecimeno exponencial simples esudado aqui fornece previsões óimas. Por subsiuições sucessivas na equação (5..5) enconramos: α α(-α) - α(-α) -... α(-α) - (5..7) Esa úlima equação mosra claramene como funciona o méodo de amorecimeno exponencial: cada esimaiva do nível (dada por ) é uma soma ponderada da observação aual ( ) e das observações passadas. Os pesos decrescem exponencialmene, e a axa de decaimeno dos pesos depende da consane α.

10 Qual o efeio da consane de amorecimeno α? Noe que, da equação (5..7), o peso da observação -k é α(-α) k (para k 0,,,...). Logo, a razão enre os pesos da observação -k e da observação aual ( ) é (-α) k. Se α é grande (próximo de ) os pesos decaem rapidamene, e uma observação que esá longe no passado não em qualquer influência sobre a esimaiva aual do nível, que é esimado usando quase exclusivamene as observações mais recenes. Ao conrário, se α é pequeno (por exemplo, menor que 0.), uma observação longe no passado pode ainda er uma influência considerável na esimação do nível feia hoje. A abela a seguir apresena alguns valores de α e a meia vida das observações, iso é, quanas defasagens são necessárias aé que o peso da observação se reduza à meade. A meia vida das observações é enconrada resolvendo a seguine equação para k (o lag ): peso de peso de k α ( α ) α k k.log ( α ) log( ) log() k log ( α ) indica o logarimo naural. Como k indica uma defasagem, deve-se escolher o valor k ineiro não negaivo que saisfaz (aproximadamene) esa equação. onde log(.) abela 5... eia Vida das Observações como Função de α α número de "lags" aé o peso cair pela meade 0,99 0,5 0,95 0, 0,90 0,0 0,80 0,4 0,70 0,58 0,60 0,76 0,50,00 0,45,6 0,40,6 0,5,6 0,0,94 0,5,4 0,0, 0,5 4,7 0,0 6,58 0,05,5 0,0 4, 0,0 68,97 Por exemplo, se α 0,0, a observação siuada há 4 lags coném aproximadamene meade da informação do dado aual. Se α 0,05, são necessárias cerca de 4 defasagens aé que o peso da observação caia pela meade. Noa: reparamerização Em alguns livros enconra-se o méodo de amorecimeno escrio de maneira diferene. Seja θ - α na equação (5..7). Em ermos de θ esa equação orna-se:

11 (-θ) θ(-θ) - θ (-θ) -... θ (-θ) (5..8) Logo, o peso da observação aual é (-θ) e o da k-ésima observação no passado é θ k (-θ). Nesa paramerização, valores alos de θ indicam que a memória do processo é relaivamene longa, ou seja, a influência das observações passadas demora a decair. Exemplo 5... A abela a seguir exibe os primeiros valores da série emporal: e onde os e s são ruídos iid com disribuição Normal de média 0 e desvio padrão ½. Supomos que em 0, 0 0 (apenas para permiir a inicialização do processo), e o objeivo aqui é demonsrar a esimação seqüencial de a por amorecimeno exponencial e médias móveis (de amanho, e 4). Noe que, dependendo da escolha da consane de amorecimeno (ou da janela uilizada na média móvel), a esimaiva do nível é mais ou menos nervosa (e oscila mais ou menos à medida que recebemos cada valor da série). Verifique os valores esimados para o nível da série. Faça (em casa) o gráfico da evolução no nível esimado ao longo do empo para odos os méodos indicados. Insane Erros (e()) Série (()) Esimador () Esimador () Esimador (4) Esimador Amor. Expo. (Alfa 0.) Esimador Amor. Expo. (Alfa 0.) -,5 0,488 0,44 0,098 0,47 0,080,080,84 0,856 0,494 0,69-0,4,567,84,79,04 0,709 0,86 4 0,47,47,00,08,64,054,7 5 0,07,07,7,07,048,65,70 6-0,05,975,04,7,0,407, ,9,808,89,96,08,487,57 8 0,69,69,9,7,0,76,80 9 0,46,46,546,00,9,865, ,,,98,475,08,958,005-0,469,5,9,09,9,87,80 0,58,58,04,4,6,006,07 0,77,77,408,5,70,060, ,07,07,47,77,09,05, ,56,744,880,0,44,990, odelo Linear Esa esruura é adequada quando exise uma endência clara de crescimeno (ou queda) ao longo do empo, como indicado na próxima figura. A função nível médio é dada por: μ() a a. para odo insane,,,...,.

12 O modelo linear pode ser escrio como: a a. ε onde,,..., e os ε são os erros (choques) aleaórios, suposos independenes e idenicamene disribuídos com média zero e variância consane σ. Desa expressão (e usando as propriedades da média e variância) segue direo que: ( ) a a e VAR( ) σ VAR( ε ) E. (5..9) Nese modelo é necessário esimar rês parâmeros: a (coeficiene linear da série), a (coeficiene angular da rea, ou seja, a axa de crescimeno da série) e σ (a variância da série). A previsão k passos à frene obida no insane é: ( k) ε } aˆ ( ) aˆ ( ( k) ˆ ( k) E{ k } E{ a a τ ). (5..0) A previsão dada pela equação (5..0) pode ser escria de uma forma ligeiramene diferene, desde que façamos uma mudança da origem. odelo Linear - Esimação dos parâmeros a e a Analogamene ao que fizemos para o modelo consane, a seguir apresenaremos diversos esimadores para os parâmeros desconhecidos que descrevem a evolução do nível da série. A parir dos valores esimados de a e a podemos enconrar a previsão de uma observação fuura qualquer, apenas aplicando a equação (5..0). ) Esimadores de ínimos Quadrados Ordinários (QO) Nosso objeivo é enconrar a e a ais que a seguine soma seja minimizada: SSE [ ( a a) ] (5..) SSE é chamado de soma dos quadrados dos erros (ou soma do quadrado dos resíduos). O méodo de mínimos quadrados é basane geral, e se aplica à esimação de um número qualquer de parâmeros a, a,..., a k (supõe-se que k é menor que o amanho da série, para permiir a esimação).

13 4 Considere, de maneira mais geral, um modelo com a seguine esruura: f ( a, a,..., ak, ) ε onde f(.) é uma função (possivelmene não linear) do empo e dos parâmeros desconhecidos. Enão a soma dos quadrados dos erros é dada por: SSE ( f ( a a,..., ak, ) ), ε O méodo de mínimos quadrados procura enconrar esimadores dos parâmeros desconhecidos de forma a minimizar a soma do quadrado dos erros (SSE). Noe que os esimadores por mínimos quadrados enconrados pela minimização da soma do quadrado dos erros são calculados usando a série ineira, ou seja, usamos odos os dados disponíveis de uma só vez. Ao conrário, nos méodos médias móveis e de amorecimeno, a aualização dos parâmeros é seqüencial, e o recebimeno de uma nova observação resula em novos valores esimados para a e a. ) Esimadores pelo éodo de édias óveis Duplas Defina a média móvel dupla de amanho N como: []... N N (5..) Onde é a média móvel (simples) de amanho N calculada usando odas as observações aé o insane (inclusive). Por que usar médias móveis duplas? Se os dados exibem uma endência linear, o uso de médias móveis simples para a previsão dos valores da série induz a erros sisemáicos, pois a média móvel simples segue a endência com um cero araso, e ese efeio é amplificado quando enamos prever valores fuuros. O méodo de médias móveis duplas procura diminuir ese efeio sisemáico. Pode-se mosrar que: E{ E{ [] N } a( ). a ( ). a ( ) } a ( ). a ( ) ( N ) a ( ) Resolvendo o sisema anerior para a e a leva a: a ( ). E{ a ( ) ( N ) } E{ [] }-. a ( ) [] { E{ } E{ } (5..) [] Se subsiuirmos os valores esperados de e na expressão (5..) pelos valores [] efeivamene observados e enconramos os esimadores de a e a com base na série observada aé o insane, dados por:

14 5 â ( ) â ( ) ( N ) [ ] ( ) { [] } -.ˆ a ( ). [].ˆ a ( ) (5..4) O esimador â () é enconrado corrigindo-se a média móvel simples ( ) pela diferença enre ela e a média móvel dupla. Se, na verdade, não exisisse uma endência linear, o faor de correção seria pequeno. A previsão k passos à frene no insane é: ˆ aˆ ( ) aˆ ( ).( k). k. [] k.ˆ a ( ). [] [].ˆ a k. N ( ).ˆ a ( ) k.ˆ a [] { } ( ) Expressão alernaiva para as equações de aualização do méodo de médias móveis duplas DeLurgio (998) propõe o uso de uma versão modificada das equações de aualização (5..4). As novas (e mais simples) equações de aualização são: [ ( ] [] â( ) ). â( ) { [] } ( N ) (5..5) E a equação de previsão k passos à frene orna-se: ˆ k aˆ ( ) aˆ ( ).( k). [] k.ˆ a ( ). [] k. N [] { } Vanagens e Desvanagens dese méodo a implemenação é rivial; os esimadores obidos pelo méodo não são muio influenciados por ouliers; a escolha do número óimo de lags a serem usados nas médias móveis simples e duplas não é rivial. Exemplo 5... Um pono imporane a ser lembrado quando raamos de méodos de médias móveis é: eses procedimenos implicam num conjuno de pesos definidos para as observações passadas. Isso nos permie compará-los com os méodos de amorecimeno exponencial. Por exemplo, considere um modelo linear onde os parâmeros desconhecidos são esimados por médias móveis simples e duplas de amanho. Como podemos escrever os esimadores em ermos dos valores observados da série? Noe que, nese caso, para qualquer insane maior que :

15 6 ] [ E assim a previsão passo à frene no insane (com a origem ransladada) é: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 [] [] [] [] [] ˆ ˆ ˆ a a ) éodo de Amorecimeno Exponencial Duplo (éodo de Brown) Um méodo semelhane ao anerior é o méodo de amorecimeno exponencial duplo, ambém conhecido como méodo de Brown. Nele, uma única consane de amorecimeno é empregada no processo de aualização de ambos os parâmeros a e a. Analogamene ao méodo de médias móveis duplas, a componene de endência é esimada aravés da diferença enre um valor amorecido simples e um duplo. As equações de aualização no méodo de Brown são: [] [] ) ( ) ( α α α α (5..6) onde α é a consane de amorecimeno. Os esimadores de a e a enconrados pelo méodo de Brown são: [ ] ( ) ( ) { } [] [] ) ( â. ) ( â α α (5..7) Ou seja, eses esimadores êm a mesma forma que na equação (5..5). No enano, agora e [] não mais represenam as médias móveis descrias no íem 5..., e são calculados aravés das equações (5..6). A previsão k passos à frene no insane é: { }k k a a k.. ) ).( ( ˆ ) ( ˆ ˆ ] [ [] α α (5..8) Escolha dos valores iniciais Em odos os méodos de amorecimeno é necessário escolher valores iniciais dos parâmeros de forma a inicializar as equações de aualização. Algumas escolhas possíveis são:

16 7 â () â () ( ) ( ) 4 Vanagens e Desvanagens do méodo de Brown modela o nível e a endência da série; é mais eficiene em ermos compuacionais que as médias móveis duplas; é menos flexível que o modelo de Hol (a seguir), que usa duas consanes de amorecimeno. 4) éodo de Hol ( parâmeros) Ese méodo é basane parecido com o anerior, mas agora exisem duas consanes de amorecimeno diferenes, responsáveis pela velocidade de decaimeno da informação na esimação dos coeficienes linear e angular, respecivamene. O modelo de Hol é implemenado aravés das seguines equações: ( α ). ( aˆ ( ) ) α. ( ).( ) ( β ).ˆ a ( ) aˆ ( ) a ˆ β (5..9) onde α e β são as consanes de amorecimeno. Caracerísicas imporanes do méodo As consanes de amorecimeno usadas para cálculo do nível e endência são diferenes; Na equação de aualização do nível, o novo nível é função de variáveis: a observação mais recene ( ), a esimaiva anerior do nível ( - ) e a axa de crescimeno esimada no insane anerior (â (-)); A axa de crescimeno aualizada é função da axa de crescimeno no insane anerior e ambém depende da diferença enre os níveis nos insanes - e. Escolha dos valores iniciais Possíveis escolhas são: â () â () ( ) ( ) 4 Vanagens e Desvanagens do méodo de Hol modela o nível e a endência da série; é mais flexível que o méodo de Brown, pois usa consane de amorecimeno separadas para o nível e a endência; a conraparida dese ganho em flexibilidade é a exisência de um parâmero adicional a ser oimizado, o que dificula o processo de oimização.

17 8 Exemplo 5... Considere uma série emporal puramene deerminísica,.. A abela a seguir exibe alguns valores da série e as previsões um passo à frene de usando: ) uma média móvel simples de amanho, ) a média móvel simples e a média móvel dupla, como na equação (5..5). Verifique os valores enconrados na abela, e noe que o erro da previsão um passo à frene obida aravés da equação (5..5) é nulo em odos os insanes. Insane Série () (puramene deerminísica) Previsão passo à frene de () usando () Erro de Previsão passo à frene usando () Dupla () Diferença enre () e Dupla () Previsão passo à frene () (()- Dup()) endência Erro de Previsão passo à frene usando Dupla () 5,00 8,00,00 8,00 4 4,00,00 8,00 6,00 5 7,00 4,00,00 6,00,00,00 6 0,00 7,00 4,00 6,00 4,00,00 0,00 0,00 7,00 0,00 7,00 6,00 7,00,00,00 0,00 8 6,00,00 0,00 6,00 0,00,00 6,00 0,00 9 9,00 6,00,00 6,00,00,00 9,00 0,00 0,00 9,00 6,00 6,00 6,00,00,00 0,00 5,00,00 9,00 6,00 9,00,00 5,00 0,00 8,00 5,00,00 6,00,00,00 8,00 0,00 4,00 8,00 5,00 6,00 5,00,00 4,00 0, ,00 4,00 8,00 6,00 8,00,00 44,00 0, ,00 44,00 4,00 6,00 4,00,00 47,00 0,00 Exemplo Considere o exemplo anerior, mas agora adicione um erro aleaório à. O modelo gerador deses dados é:. e onde os e s são ruídos aleaórios independenes Normais, com média zero e variância ¼. Refaça o exemplo anerior e noe que os erros de previsão um passo à frene usando médias móveis simples são consideravelmene maiores que os erros enconrados quando usamos a equação (5..5) para prever. Calcule a soma do quadrado dos erros de previsão um passo à frene segundo os dois méodos. Insane Erros (e()) Série (()) -0,50 4,850-0,69 7,6 () 0,, 7,778 Previsão passo à frene de () usando () 4 0,68 4,68,04 7,778 6,86 Erro de Previsão passo à frene usando () Dupla () Diferença enre () e Dupla () 5 0,599 7,599 4,45,04 6,559,090,6 Previsão passo à frene () (()- Dup()) endência Erro de Previsão passo à frene usando Dupla 6 0,867 0,867 7,70 4,45 6,4 4,98,0,79-0, 7 -,09,908 0,5 7,70 4,07 7,46,698 4,07 -,40 8-0,7 5,88,886 0,5 5,758 0,7,649 5,5 0,6

18 9 9 0,548 9,548 5,780,886 6,66,90,850 8,8,6 0-0,54,457 8,96 5,780 5,677 5,876,086,479-0,0-0,45 4,655,886 8,96 5,69 8,876,00 5,5-0,48-0,845 7,55 4,4,886 5,68,757,665 7,907-0,75-0,9 40,077 7,95 4,4 5,654 4,55,76 9,75 0, 4-0,489 4,5 40,48 7,95 6,6 7,,96 4,87 0,69 5-0,87 46,6 4,400 40,48 6,66 40,4,086 46,099 0,5 Exemplo No gráfico a seguir mosramos o consumo comercial de energia elérica anual no Brasil no período 96 a 998, e os resulados do ajuse de um modelo de Hol à série. Consumo Comercial (GWh) 45,000 40,000 5,000 0,000 5,000 0,000 5,000 0,000 5, Componene Consane de Amorecimeno Valor Final Nível endência As previsões geradas pelo modelo para o período são indicadas a seguir, assim como os respecivos erros de previsão em 999 e 000. Ano Limie Inferior Previsâo (.5%) Previsão Limie Superior Previsão (97.5%) Valor Real Erro Percenual Absoluo de Previsão 999 4,949 45,074 47,99 4,58.4% ,570 48,60 5,650 47,65.6% 00 46,84 5,45 57, ,6 55,68 6,000

19 odelo Quadráico A função nível médio é dada por μ() a a a para,,... Agora exisem rês parâmeros a serem esimados para o nível, a, a e a. Supondo que o modelo em a forma: a a. a. ε onde,,..., e E( ε ) 0, VAR( ε ) σ segue que: E( ) μ() a a a e VAR( ) σ consane. O modelo quadráico se aplica a séries que êm o comporameno indicado na figura a seguir. A previsão k passos à frene no insane é dada por: ˆ ( k) E{ k, E{a a. k a k,...,, â () k.â () k.â } (),..., }(com a origem ransladada, iso é, fazendo 0) Analogamene aos modelos consane e linear, exisem diversos méodos para a esimação dos parâmeros que especificam o nível da série. Aqui, ao conrário dos casos aneriores, não iremos exibir em dealhes as equações de aualização. ) Esimadores de ínimos Quadrados Ordinários (QO) Devemos enconrar os esimadores de a, a e a que minimizem: SSE [ ( a a a. )] ) édias óveis riplas Defina a média móvel ripla de amanho N avaliada no insane como: [] [] [] []... N N (5..0) [] Onde é a média móvel dupla de amanho N avaliada no insane.

20 Os esimadores dos parâmeros do modelo são obidos como funções das médias móveis simples, dupla e ripla. [] [] ˆ i f i [,, a ( ) ] ; i,, ) Amorecimeno Exponencial [] [] α α α ( α) [] ( α) ( α) [] [] Onde α [0,] é a única consane de amorecimeno usada para aualizar odas as médias móveis. Os esimadores dos parâmeros a, a e a (correspondenes à origem ransladada para o insane ) no insane são obidos aravés das equações: [] [] ( α )( α ) α aˆ ( ) ˆ ( ) ˆ a a ( ) α. α α ( ) aˆ ( ) α ( α )( α ) aˆ α. ( ) aˆ ( ) α. α ( α )( 4 α ) aˆ. α aˆ ( ) aˆ ( ) 5.. éodos de Amorecimeno Exponencial (séries sazonais) Séries sazonais ocorrem com enorme freqüência na práica. Por exemplo, séries de emperaura média mensal e séries de consumo de energia elérica são claramene sazonais, e exibem caracerísicas que se repeem ano a ano sempre no mesmo mês (ou semana, ou rimesre,...). No caso de séries de consumo de energia no Brasil, exise um níido aumeno de consumo nos meses de verão, devido às elevadas emperauras e ao uso de ar refrigerado. Enender a sazonalidade de uma série é fundamenal não apenas para gerar previsões consisenes, mas ambém para propor políicas governamenais ou empresariais. Por exemplo, o horário de verão no Brasil é conseqüência direa do aumeno de consumo observado nese período, e em o objeivo de reduzir o consumo e eviar black-ous cujas conseqüências em ermos econômicos poderiam ser dramáicas. A sazonalidade pode ser modelada de duas formas: aravés de faores sazonais ou aravés de funções rigonoméricas. Aqui esaremos ineressados apenas na modelagem aravés de faores sazonais. As écnicas já esudadas de amorecimeno exponencial podem ser esendidas para modelar séries que apresenam endência e sazonalidade.

21 Um dos modelos mais uilizados na práica (especialmene em empresas) é o modelo de amorecimeno exponencial de Hol e Winers. Ese procedimeno é capaz de modelar séries sazonais e gera, na maioria dos casos, boas previsões, a um cuso compuacional basane baixo. O modelo de Hol e Winers uiliza a idéia de amorecimeno das informações passadas rês vezes para: esimar o nível da série; esimar a axa de crescimeno da série; esimar os faores sazonais. Em cada um dos passos indicados emprega-se uma consane de amorecimeno diferene. Seja S o período sazonal, por exemplo, S no caso de dados mensais, S 4 no caso de observações rimesrais. Na discussão a seguir iremos nos referir, com freqüência, ao mês, mas odos os resulados se aplicam a períodos arbirários, e não se referem exclusivamene a dados mensais. Denoe por ρ o faor sazonal correspondene ao mês, onde,,...s. Exisem dois ipos de modelos para a sazonalidade: modelos adiivos e muliplicaivos. Nos modelos adiivos, o padrão sazonal não se alera à medida que o nível da série muda. Ao conrário, nos modelos muliplicaivos, a sazonalidade da série é afeada pelo nível da mesma, como indicado nos gráficos a seguir. ODELO ADIIVO μ() ρ ODELO ULIPLICAIVO μ(). ρ. ou μ(). ρ 5... odelo Horizonal (consane) Sazonal uliplicaivo Nese caso o nível da série (μ()) é uma consane, e a esruura do modelo é: a. ρ e (5..) Nese caso precisamos esimar o nível da série (a ) e os faores sazonais ρ para odos os meses. Noe que, no caso de dados mensais, precisamos esimar faores sazonais e o nível, ou seja, exisem parâmeros a serem esimados. No caso de dados rimesrais, exisem 4 faores sazonais (e ambém o nível), o que resula na esimação de 5 parâmeros. Na verdade, se S é o período sazonal, exisem S faores sazonais a serem esimados, mas a soma deses faores esá sujeia a uma resrição, e na práica o número de faores sazonais a serem esimados é S. Logo, na práica, no modelo mensal devemos esimar faores sazonais (pois o remanescene é obido a parir da resrição). A previsão k passos à frene feia no insane é dada por:

22 ˆ ( k) E{ } aˆ ρ ( ). ˆ ( ) k k (5..) É imporane conhecer o significado dos esimadores de a e ρ na equação (5..). a ( ) ˆ indica o esimador do nível da série usando odas as observações aé o insane (inclusive), ou seja, é a esimaiva mais aualizada do nível da série. k ( ) odas as observações aé o insane (inclusive). Ou seja, ( ) ρˆ é o esimador do faor sazonal correspondene ao mês k no fuuro efeuado usando do faor sazonal que corresponde ao mês k. ρˆ é a esimaiva mais aualizada k Os parâmeros do modelo são aualizados seqüencialmene da forma indicada a seguir. Suponha que, para um insane genérico, as esimaivas de a e do faor sazonal para o insane anerior esão disponíveis (iso é, são conhecidas), ou seja, a ˆ ( ) e ˆ ρ m( ) ( ) são dados, onde m() é o mês correspondene ao insane. Enão, os parâmeros aualizados no insane são enconrados a parir das seguines fórmulas: ˆ ( ) a α ( α).ˆ a( ) ˆ ( ) ( ) (5..) ρ m ˆ ρ ( ) ( ). ˆ m( ) γ ( ) ( ) ˆ γ ρ m (5..4) a( ) Noe que, nas equações (5..) e (5..4) são usadas duas consanes de amorecimeno diferenes, uma para o nível e oura para o faor sazonal. Além disso, uma caracerísica imporane da aualização do faor sazonal é: ele só muda quando recebemos uma informação referene ao mês m(). Por exemplo, o faor sazonal referene ao mês de maio só é aualizado quando recebemos uma informação relaiva a ese mês. Ou seja: ˆ ρ ( ) ˆ ρ ( ) para j,,..., S e j m( ) j j Em seguida, os faores sazonais esimados são normalizados, de al forma que a sua soma seja igual ao período sazonal (S). Esa condição de normalização é válida para faores sazonais muliplicaivos. No caso de faores adiivos, sua soma (para odos os meses) é zero. S j ˆρ ( ) S j (5..5) É necessário fornecer esimaivas iniciais do nível e dos faores sazonais. O procedimeno de inicialização é descrio brevemene a seguir. º PASSO: Cálculo das édias Anuais Ano... S édia do Ano () Ano S S... S édia do Ano ( ) J /S Ano J JS -(S-) JS -(S-)... JS édia do Ano J (J )

23 4 º PASSO: Cálculo dos faores sazonais grosseiros C i C ( )... C C JS ( S ) JS ( S ) ( J ) C S JS S () JS ( J ) O faor sazonal grosseiro para o mês i é apenas a observação i dividida pela média do ano correspondene. Ese procedimeno simples funciona bem desde que a série não apresene componene de endência, Do conrário, se exise endência, as esimaivas dos faores sazonais enconradas por ese méodo irão coner componenes de endência, e as previsões resulanes serão prejudicadas. Noe que, nese passo, enconramos J (um para cada ano em que exisem dados) faores sazonais para cada mês. No passo seguine omamos a média deses J faores para ober um único faor sazonal para o mês i. º PASSO: Cálculo dos faores sazonais "suaves" Os faores sazonais para cada um dos meses são enconrados aravés da média dos faores enconrados no passo anerior, iso é: * C [ C C... C ] / J S JS( S)..... * C [ C C... C ]/ J S S S JS Por exemplo, o faor sazonal correspondene ao mês é a média dos faores sazonais previamene esimados para os meses,, 5, 7,... 4º PASSO: Normalização dos faores sazonais "suaves" A parir dos faores sazonais suaves enconrados no passo anerior, calcula-se os faores sazonais normalizados simplesmene aplicando a resrição de que a soma dos faores sazonais deve ser igual a S (período sazonal). Ou seja, o faor sazonal normalizado correspondene ao mês i é apenas: S * * ˆ ρ i ( 0). C S i onde C i é o faor sazonal suave calculado no passo anerior. * C i i 5º PASSO: Obenção da esimaiva inicial do nível A parir dos faores sazonais normalizados ( 0) ˆ i ρ enconrados no passo anerior, e supondo que o nível inicial esimado seja igual à média do primeiro ano de dados, a ˆ (0 (), pode-se inicializar o processo de esimação. Em seguida usa-se as equações (5..) e (5..4) para ober as esimaivas do nível e faores sazonais em cada insane. )

24 odelo Linear Sazonal uliplicaivo Nese caso o nível da série (μ()) é uma função linear, e a esruura do modelo é: (a a. ).ρ e (5..6) Nese caso precisamos esimar o nível da série (a ), sua axa de crescimeno (a ) e os faores sazonais ρ para odos os meses. A aualização de parâmeros é feia seqüencialmene, pelo méodo de Hol-Winers descrio a seguir. Suponha que no insane - conhecemos as esimaivas do nível, axa de crescimeno e faores sazonais dadas por: aˆ ˆ ( ) e ˆ ( ), a ρ j ( ). O procedimeno de aualização é bem semelhane ao apresenado anes (modelo com nível consane e sazonalidade muliplicaiva). A grande diferença em relação ao modelo da seção 5... é que agora emos mais uma quanidade a ser aualizada seqüencialmene, a axa de crescimeno a. Aualização do nível (a ) aˆ ( ) ( )[ ˆ ( ) ˆ α α a a ( )] (5..7) ˆ ρ m( ) ( ) Noe que, do lado direio da equação (5..7), o ermo insane dessazonalizada. ˆ m( ) ρ ( ) represena a observação do Aualização da endência aˆ ( ) β.[ aˆ ( ) aˆ ( )] ( β ).ˆ a ( ) (5..8) A equação de aualização da endência é exaamene igual à do méodo de Hol (usado para séries com endência linear e sem sazonalidade), como indicado na expressão (5..9). Noe que o ermo a ( ) aˆ ( ) é a diferença enre os níveis esimados nos insanes e -. ˆ Aualização dos faores sazonais ˆ ρ j () * ˆ ρ ( ) ˆ m( ) γ ( ) ( ) ˆ γ ρ m (5..9) a( ) ˆ ρ *( ) ˆ ρ ( ); j,,..., S; j m( ) (5..0) j j A aualização dos faores sazonais é feia apenas no mês correspondene ao faor sazonal que se procura esimar. Logo, pela equação (5..0) segue que o faor sazonal permanece fixo aé recebermos a informação relaiva ao mês aual. Quando esa informação é recebida (iso é, quando o insane corresponde ao mês m()), o faor sazonal é esimado aravés da expressão (5..9). Nesa equação noa-se que o faor sazonal correspondene ao mês m() aualizado no insane é uma

25 6 média ponderada da esimaiva feia no ano passado para o faor dese mês e ambém da observação sem o nível (dada por a ˆ ( ) ). Normalização (padronização) dos faores sazonais * ˆ ρ j ( ) ˆ ρ j ( ). S S * ˆ ρ j ( ) j O objeivo desa normalização é fazer com que os faores sazonais enconrados pela equação (5..9) enham soma igual a S (período sazonal). A previsão k passos à frene no insane é obida subsiuindo-se os parâmeros desconhecidos a, a e ρ por suas esimaivas, iso é: ˆ ( ) [ aˆ ( ) k.ˆ a ( )] ˆ ρ ( ) (5..) k m( k ) Inicialização do éodo A exemplo do que fizemos na seção anerior, aqui enconramos esimaivas iniciais para o nível, axa de crescimeno e faores sazonais. Sejam ( ), (),..., ( J ) as médias anuais, onde J é o úlimo ano disponível. A esimaiva inicial da axa de crescimeno é: ( J ) () aˆ ( 0) ( J )S A esimaiva inicial do nível é: ˆ ( ) ( S ) a 0 () aˆ ( 0) A esimaiva inicial dos faores sazonais é: C onde,,..., JS e i é o ano correspondene ao insane. S ().ˆ ( 0) ( i) m a Em seguida o procedimeno é igual ao da seção anerior odelo Linear Sazonal Adiivo A esruura do modelo é: a a ρ e. A aualização seqüencial dos parâmeros é análoga às equações (5..7) a (5..0), com pequenas modificações, mosradas abaixo.

26 7 Aualização do nível (a ) [ ˆ ρ ( ) ] ( α)[ aˆ ( ) aˆ ( )] aˆ ( ) m( ) α (5..) ˆ m( ) Noe que, do lado direio da equação (5..), o ermo ( ) do insane dessazonalizada. ρ represena a observação Aualização da endência aˆ ( ) β.[ aˆ ( ) aˆ ( )] ( β ).ˆ a ( ) (5..) A equação de aualização da endência é exaamene igual à do modelo muliplicaivo e à do méodo de Hol (expressões (5..8) e (5..9)). Aualização dos faores sazonais ˆ ρ j () [ aˆ ( )] ( γ ) ˆ ρ ( ) * ˆ m( ) γ m( ) ρ (5..4) ˆ ρ *( ) ˆ ρ ( ); j,,..., S; j m( ) (5..5) j j Noe que, em (5..4), o ermo [ aˆ ( )] é uma medida da variação sazonal dos dados, obida pela diferença enre a observação aual e a esimaiva mais recene do nível. Da equação (5..5) conclui-se que as esimaivas de cada faor sazonal só são aualizadas uma vez a cada ano, quando observamos o dado correspondene àquele mês. A previsão passo à frene no insane é obida subsiuindo-se os parâmeros desconhecidos a, a e ρ por suas esimaivas, iso é: ˆ ( ) [ aˆ ( ) aˆ ( )] ˆ ρ ( ) (5..6) m( ) É imporane lembrar que os faores sazonais adiivos sofrem uma resrição diferene dos faores muliplicaivos. No caso dos faores adiivos, a sua soma (para odos os meses) é zero. Inicialização do méodo ongomery e Johnson sugerem ober as esimaivas iniciais dos parâmeros aravés de um procedimeno de mínimos quadrados ordinários, que permie a esimação simulânea dos S parâmeros desconhecidos. Requisios mínimos para usar o méodo de Hol e Winers Para modelar adequadamene a sazonalidade, é necessário pelo menos anos de dados mensais e 4 anos de dados rimesrais.

27 8 Exemplo 5... O próximo gráfico exibe o nível dos reservaórios (iso é, a combinação das usinas hidroeléricas) na região Sudese do Brasil enre Janeiro de 989 e Agoso de 00. Nível dos Reservaórios - Sudese jan/89 jul/89 jan/90 jul/90 jan/9 jul/9 jan/9 jul/9 jan/9 jul/9 jan/94 jul/94 jan/95 jul/95 jan/96 jul/96 jan/97 jul/97 jan/98 jul/98 jan/99 jul/99 jan/00 jul/00 jan/0 jul/0 Os resulados de um modelo Hol-Winers ajusado a esa série são: Consane Valor Componene Amorec. Final Nível endência Sazonalidade 0.59 Os faores sazonais muliplicaivos esimados são: Faores Sazonais Jan.08 Fev.8 ar.8 Abr.4 ai.76 Jun.6 Jul.05 Ago 0.96 Se Ou 0.75 Nov 0.77 Dez 0.89

28 9 Ese modelo foi enão ajusado aé Dezembro de 000 e as previsões obidas para o período enre Janeiro e Agoso de 00 para esar sua capacidade prediiva. A próxima abela apresena os valores reais e ajusados no período, além dos erros percenuais de previsão. Daa Limie Inferior do IC 95% Limie Superior Previsão do IC 95% Valor Real Erro de previsão (em %) jan/ fev/ mar/ abr/ mai/ jun/ jul/ ago/ Os erros são basane grandes, o que ceramene é conseqüência de uma mudança no padrão de evolução dos reservaórios, que se orna níida a parir de 00. Noe que, nese úlimo ano, a ampliude no nível de reservaórios é bem menor que nos anos aneriores, indicando que não foi possível recuperar o nível dos reservaórios com as chuvas de verão. Porano, (pelo menos a poseriori) é clara a necessidade de impor o racionameno de energia (iniciado em Junho de 00). Se agora consideramos apenas as previsões um passo à frene, a capcidade prediiva do modelo é sensivelmene melhor, como indicado na próxima abela. Os erros, especialmene nos meses de inverno, são sensilvelmene reduzidos. Previsões um passo à frene Limie Inferior do IC 95% Limie Superior do IC 95% Erro de previsão (em %) Daa Previsão Valor Real jan/ fev/ mar/ abr/ mai/ jun/ jul/ ago/