OBJETIVOS. Ao final desse grupo de slides os alunos deverão ser capazes de: Explicar a diferença entre regressão espúria e cointegração.

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1 Ao final desse grupo de slides os alunos deverão ser capazes de: OBJETIVOS Explicar a diferença enre regressão espúria e coinegração. Jusificar, por meio de ese de hipóeses, se um conjuno de séries emporais coinegra ou não. Esimar os parâmeros de um modelo de regressão com séries emporais não esacionárias mas coinegradas.

2 Coinegração e o Modelo de Correção de Erros Aula 10a Bueno, 2011 Capíulo 7 Enders, 2010 Capíulo 6 Heij e al., 2004 Seção 7.6 Hendry e Juselius (2000, 2001) Johansen, (1996) Juselius (2008) Lukepohl (1991, 2006) Morein, 2011 Capíulo 10

3 Inrodução Um dos objeivos da Economeria é avaliar empiricamene eorias econômicas que, em geral, pressupõem relações de equilíbrio de longo prazo enre variáveis econômicas. A averiguação das eorias econômicas pode ser feia com base em modelagem de séries emporais que, via de regra, apresenam algum ipo de endência.

4 CUIDADO!!!!! Modelos de regressão que envolvam dados de séries emporais apresenando endência podem levar a resulados espúrios.

5 Regressão Espúria Fenômeno que ocorre quando duas variáveis não são direamene correlacionadas, mas apresenam correlação com uma erceira variável, e a regressão enre as duas primeiras é significane, mas não quer dizer nada, porque cada uma delas é explicada por essa erceira variável. A esse fenômeno, Granger e Newbold (1974) deram o nome de problema de regressão espúria. Observação: Uma regressão espúria cosuma exibir valores baixos da esaísica de Durbin-Wason e um alo valor de R 2.

6 Regressão Espúria Ainda, Granger e Newbold (1974) mosraram, via simulações, que é basane ala a probabilidade de não rejeição esaísica da exisência de relação enre duas variáveis geradas por dois passeios aleaórios independenes. A priori, a solução que se recomendava, nesses casos, era esimar a regressão uilizando as variáveis na primeira diferença.

7 Coinegração Porém, essa não é a melhor das soluções (eliminar a endência aravés da omada de diferenças), pois acabamos por esconder as propriedades de longo prazo da relação enre as variáveis econômicas, o que é, em úlima insância, a razão da esimação efeuada. Além disso, se a endência esocásica for comum a odas as variáveis, diz-se que exise um equilíbrio de longo prazo.

8 Coinegração Phillips (1986) demonsrou que há uma siuação em que é possível rabalhar com o nível das séries, e não com as primeiras diferenças, sem correr o risco de regressões espúrias, desde que as séries uilizadas sejam coinegradas de uma paricular ordem.

9 Processos Coinegrados

10 Processos Coinegrados Uma combinação linear de processos I(1) será usualmene I(1). Em geral, se {x } e {y } forem ambos I(d), enão a combinação linear u = y β 1 x será usualmene I(d). Todavia, é possível que u seja inegrado de uma ordem menor, digamos I(d-b), b > 0.

11 Processos Coinegrados Coinegração, porano, implica que y e x comparilham endências esocásicas semelhanes e, de fao, como sua diferença u é esacionária, elas nunca divergem muio uma da oura. Ou seja, elas comovimenarão no longo prazo porque uma combinação linear delas é reversível à média (esacionária).

12 Processos Coinegrados Enreano, no curo prazo há desvios dessa endência comum, de modo que u é chamado de erro de equilíbrio, porque expressa os desvios emporários do equilíbrio de longo prazo. Do exposo, as variáveis coinegradas y e x exibem uma relação de equilíbrio de y β 1 x e o erro de equilíbrio, definido por u represena desvios de curo prazo a parir da relação de longo prazo.

13 Definição 1. (Engle e Granger) As componenes do veor X serão coinegradas de ordem (d, b), e escreveremos X C.I.(d, b), se: (a) odos as componenes de X são I(d); (b) exise um veor = ( 1,..., n ) T, não-nulo, al que Processos Coinegrados ' X 1X1 n I( d b), d b 0. (1) O veor, de ordem n x 1, é chamado veor de coinegração. X n

14 Processos Coinegrados Definição 2. (Campbell e Perron) As componenes do veor X, n x 1, serão dias coinegradas de ordem (d, b), denoada por X C.I. (d, b), se exisir pelo menos um veor não nulo al que: u X ' I( d b), d b 0. O veor, de ordem n x 1, é chamado veor de coinegração.

15 Observações (i) Segundo Engle e Granger, odas as variáveis devem ser inegradas de mesma ordem. Todavia, raa-se de uma condição muio resriiva, pois há modelos em economia que relacionam variáveis com diversas ordens de inegração. (ii) Por ouro lado, eses sobre hipóeses econômicas poderão ser realizados, dado que houve um relaxameno sobre a condição imposa na definição dada por Engle e Granger, segundo a definição de Campbell e Perron.

16 Observações (iii) O veor de coinegração não é único, pois dado o escalar 0, enão é ambém um veor de coinegração. Tipicamene, uma das variáveis é usada para normalizar, fixando-se seu coeficiene igual a 1; usualmene omase = (1, - 2,..., - n ), de modo que ' X X 1 X 2 2 X n n.

17 (iv) Por exemplo, se X I(0), emos que com Noa: Em equilíbrio de longo prazo, u = 0 e a relação de equilíbrio de longo prazo é n n u X β X β X I u ) (0 Observações n n X β X β X

18 EXEMPLO 1 Suponha que X 1, = + 1,, X 2, = + 2,, = -1 +, em que os erros são i.i.d. (0, i2 ) e independenes enre si. Perguna: X 1, e X 2, são coinegradas? Jusifique. X 1, e X 2, são I(1), uma vez que é I(1). Ainda, represena a endência esocásica comum. Finalmene, X 1, X 2, = 1, 2, I(0). Ou seja, o veor de coinegração é = (1 1).

19 EXEMPLO 2 Considere as séries X 1, = 2 X 2, + 1,, X 2, = X 2,-1 + 2,, em que os erros são i.i.d. (0, i2 ) e independenes enre si. Perguna: X 1, e X 2, são coinegradas? Jusifique. Não é difícil perceber que X 2, é I(1) e represena a endência esocásica comum. Ainda, a primeira equação represena a relação de equilíbrio de longo prazo. O veor de coinegração é = (1 2 ).

20 Exercício 1 (ANPEC2004 QUESTÃO 09) Considere a seguine regressão enre y e z : y z em que u é o ermo de erro aleaório. u São correas as afirmaivas: (0) Se y for I(1) e z for I(0), enão y e z são coinegradas. (1) Se y for I(0) e z for I(1), enão y e z são coinegradas. (2) Se y for I(1) e z for I(1), enão y e z são coinegradas. (3) Se y for I(1), z for I(1) e u for I(0), enão y e z são coinegradas. (4) Se u for I(0) as séries y e z são necessariamene coinegradas. (0) F (1) F (2) F (3) V (4) F 20

21 Teorema da Represenação de Granger Se X CI(1,1), enão ele pode ser represenado por um Mecanismo/Modelo de Correção de Erros (MCE).

22 Modelo de Correção de Erros (MCE)

23 Volando ao Exemplo 2 Considerando as séries X 1, = 2 X 2, + 1,, X 2, = X 2,-1 + 2,, em que os erros são i.i.d. (0, i2 ) e independenes enre si. Vimos que X 2, é I(1) e represena a endência esocásica comum. Ainda, a primeira equação represena a relação de equilíbrio de longo prazo.

24 Volando ao Exemplo 2 Assim, a primeira perguna que se faz é: será que a relação de equilíbrio é obedecida em odos os períodos de empo? Ou seja, será que 1, = 0 em odos os períodos de empo? Aqui, 1, faz o papel do erro de equilíbrio e represena desvios de curo prazo a parir da relação de longo prazo.

25 Volando ao Exemplo 2 Assim, considerando que a resposa para a perguna anerior seja negaiva, enão os desvios de curo prazo, 1,, deverão ser corrigidos para que os desequilíbrios possam ser corrigidos para que a coinegração seja observada.

26 Volando ao Exemplo 2 Do exposo, suponha que, por exemplo, variações em X 1, dependam de desvios dese equilíbrio no insane -1, ou seja, X 1, = 1 (X 1,-1 2 X 2,-1 ) + a 1,. Ainda, variações em X 1,, além de depender dos desvios de equilíbrio no insane -1, ambém podem depender das variações em X 1, e X 2, no insane -1, assim: X 1, = 1 (X 1,-1 2 X 2,-1 ) + a 11,1 X 1,-1 + a 12,1 X 2,-1 + a 1,

27 OBSERVAÇÃO Relação similar poderia ser pensada para a variável X 2,. Assim, por exemplo X 2, = 2 (X 1,-1 2 X 2,-1 ) + a 2, ou, por exemplo X 2, = 2 (X 1,-1 2 X 2,-1 ) + a 21,1 X 1,-1 + a 22,1 X 2,-1 + a 2,

28 Tese de Coinegração de Engle-Granger

29 INTRODUÇÃO Além de muio inuiivo, o ese de coinegração de Engle e Granger (1987) é indicado para ser feio sobre uma única equação. Todavia, num sisema com várias variáveis (n > 2), pode exisir mais de um veor de coinegração e usando o procedimeno de Engle-Granger, que será descrio em breve, só é esimado 1 veor de coinegração, o que pode não ser muio razoável, a menos que se especifique muio bem qual equação se quer esar. Assim, a solução da escolha da equação esará na especificação das relações econômicas enre essas variáveis.

30 Tese de Coinegração de EngleGranger Considere o veor X = (y z ), de dimensão 2 x 1, inegrado de ordem 1, por exemplo. Aqui, suponha que a forma funcional que será uilizada para conduzir o do ese de ineresse seja dada por: y z u 0 1 (EC) Cuidado: é imporane raar adequadamene a enrada dos ermos deerminísicos na forma funcional.

31 Tese de Coinegração de EngleGranger Após esimar os parâmeros da equação (EC), por MQO, forme os resíduos da mesma e, com base na seguine especificação para a forma funcional auxiliar, uˆ uˆ m iuˆ 1 i i1 conduza um ese de hipóeses adequado, sobre o parâmero, para verificar se os resíduos da (EC) são I(1) ou I(0).

32 Tese de Coinegração de EngleGranger As hipóeses de ineresse são dadas por: H 0 : = 0 (série apresena raiz uniária). H A : < 0 (série não apresena raiz uniária). Caso a hipóese nula não seja rejeiada, enão y e z não são coinegradas (regressão espúria). Caso a hipóese nula seja rejeiada, enão y e z são coinegradas (valor de 1 ende a er significado econômico)

33 OBSERVAÇÃO Nesse procedimeno há uma diferença imporane no que diz respeio aos valores críicos do ese CRADF (coinegraed residuals ADF) a serem omados como referência, uma vez que os resíduos da coinegração, esimados por MQO, provavelmene serão esacionários, já que o criério de minimização da soma dos quadrados dos resíduos impõe que a soma dos resíduos seja igual a zero.

34 OBSERVAÇÃO Assim, as abelas uilizadas nos eses ADF são inadequadas, pois levam à rejeição da hipóese nula com uma frequência maior do que a realmene devida. Porano, para eviar al problema, é necessário fazer uma correção nos valores críicos dessas abelas. Engle e Granger (1987), MacKinnon (1991, 2010) e Enders (2004) apresenam abelas adequadas para ais eses.

35 OBSERVAÇÃO Em especial, o procedimeno de MacKinnon (2010) é basane ineressane para ober os valores críicos associados ao ese CRADF (n = 1, 2,..., 12), uma vez que leva em consideração não só odos os possíveis amanhos amosrais como ambém a presença ou não de ermos deerminísicos (consane, endência linear e endência quadráica). Para mais dealhes, vide o Apêndice de MacKinnon (2010), páginas 11 e 12.

36 Tese de Coinegração de EngleGranger Valores Críicos para o ese de Coinegração sugerido por Engle-Granger T 1% 5% 10% 50-4,123-3,461-3, ,008-3,398-3, ,954-3,368-3, ,921-3,350-3,054 Fone: Engle e Granger (1987).

37 Problemas no Procedimeno de EngleGranger 1. Só em dinâmica na segunda eapa (implica em redução de poência do ese) 1o. Passo Esima modelo esáico 2o. Passo Tese CRADF gera dinâmica. 2. Requer a classificação das variáveis em endógena e exógena. Só quero esudar se há comporameno de equilíbrio; não esou, sempre, ineressado em relações de causa-efeio; só quero saber se as séries caminham esavelmene. 3. Se n > 2, pode exisir mais de um veor de coinegração. Usando modelos de regressão só esimo 1 veor, o que pode não ser razoável.

38 EXERCÍCIO O arquivo vendas.wf1 apresena as séries anuais, enre os anos de 1937 e 1990, de vendas (em milhares de unidades) e de gaso com propaganda (em milhares de dólares), de uma deerminada empresa nore americana. Verifique a veracidade das seguines afirmações: (a) A série de log(vendas) é esacionária. (b) A série de log(gaso com propaganda) é esacionária. (c) A regressão é espúria. ven 0 log prop u log 1

39 EXERCÍCIO Considere o arquivo vendas.wf1, que apresena as séries anuais, enre os anos de 1937 e 1990, de vendas (em milhares de unidades) e de gaso com propaganda (em milhares de dólares), de uma deerminada empresa nore americana. Com base nos resulados do ese CRADF, aneriormene aplicado, exise um MCE? Em caso negaivo, explique. Em caso afirmaivo, esime.

40 Mecanismo/Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC)

41 Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC) Para compreender facilmene o MCE, considere o exemplo envolvendo os preços de um mesmo produo em diferenes mercados. Para faciliar, imagine apenas dois mercados. Imagine, por exemplo, que P 1 e P 2 sejam as séries de preços do produo nos mercados 1 e 2, respecivamene. Ainda, é razoável admiir que as duas variáveis econômicas exibam uma relação de equilíbrio de longo prazo.

42 Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC) Ainda, considere que a relação (normalizada) de equilíbrio de longo prazo enre as séries de preços seja dada por P 1 P 2. A primeira perguna que se faz é: será que essa relação é obedecida em odos os períodos de empo?

43 Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC) Em caso afirmaivo, P 1 P 2 = 0, ou seja, emos uma relação maemáica. Em caso negaivo, P 1 P 2 =. Aqui, faz o papel do erro de equilíbrio e represena desvios de curo prazo a parir da relação de longo prazo.

44 Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC) Assim, considerando o segundo caso, os desvios de curo prazo deverão ser corrigidos para que os desequilíbrios possam ser corrigidos para que a coinegração seja observada.

45 Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC) Do exposo, suponha que, por exemplo, variações em P 1 dependam de desvios dese equilíbrio no insane -1, ou seja, P 1 = 1 (P 1,-1 P 2,-1 ) + a 1. Ainda, uma relação similar pode ser pensada para P 2 : P 2 = 2 (P 1,-1 P 2,-1 ) + a 2.

46 Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC) O mesmo vale para um mecanismo de correção de erro mais geral. Ou seja, suponha que P 1 e P 2 sejam duas séries I(1) e que P 1 P 2 seja a relação de equilíbrio. Assim, P 1 = 1 (P 1,-1 P 2,-1 ) + a 11,1 P 1,-1 + a 12,1 P 2,-1 + a 1 e P 2 = 2 (P 1,-1 P 2,-1 ) + a 21,1 P 1,-1 + a 22,1 P 2,-1 + a 2.

47 Das equações aneriores, defina o veor X como X = (P 1 P 2 ) assim, podemos escrever o modelo anerior da seguine forma: (1) 1 1 ' ε X A X α β X com 22,1 21,1 12,1 11,1 a a a a A 1 β 2 1 α Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC)

48 Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC) Supondo que P 1 e P 2 sejam I(1), enão P 1 e P 2 serão ambas I(0). Ainda, os membros do lado direio das igualdades deverão ser I(0). Supondo os erros a 1 e a 2 ruídos brancos esacionários, segue-se que i (P 1,-1 P 2,-1 ) I(0), i = 1, 2. Logo, se 1 0 ou 2 0, segue que P 1 P 2 I(0) e represena uma relação de coinegração enre P 1 e P 2.

49 OBSERVAÇÕES (i) É fácil perceber que (1) é um modelo VAR(1) nas primeiras diferenças, com um ermo de correção de erro adicionado. (ii) Os parâmeros 1 e 2 são relacionados à velocidade de ajusameno. Se ambos forem nulos não há relação de longo prazo.

50 Ainda, (1) pode ser escrio como ' ε X X A X α β X X ou 2 1 ' n ε A X X A α β I X Ou seja, (1) pode ser viso aravés de um VAR(2), em nível. Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC)

51 Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC) Não é difícil mosrar que para um VAR(2) n-dimensional, X Φ 1 X 1 Φ 2 X 2 ε (2) eremos X F 1 X 1 Π X 1 ε (3) com F Φ 1 2 e Π I n Φ 1 Φ 2

52 OBSERVAÇÃO Já foi esudado, aneriormene, que o sisema descrio em (2) será esável se odas as soluções de de I 2 Φ L Φ2 L n 1 esiverem fora do círculo uniário. 0 Todavia, aqui, suponha que o veor seja não-esacionário, com um ou mais auovalores sobre o círculo uniário e os demais denro do círculo.

53 Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC) Do slide anerior, logo, a mariz de I Φ Φ2 0 n 1 = I n 1 2 é singular. Ainda, suponha que o poso de seja igual a r. Ou seja, () = r (< n).

54 OBSERVAÇÃO 1 De acordo com um eorema proposo por Granger (vide, por exemplo, Bueno, 2008, página 213), se uma mariz não iver poso compleo ela poderá ser decomposa em duas marizes muliplicaivas. Ou seja, em nosso caso, eremos Π α β' Essa será uma propriedade basane adequada para dar uma inerpreação econômica a séries emporais e é a base para desenvolver o ese de coinegração mulivariado de Johansen, que será viso em breve.

55 OBSERVAÇÃO 2 Se poso de for igual a zero, não exise coinegração, pois não exise veor de correção de erros. Logo, X em represenação VAR(p-1) esacionária. Se poso de for igual a n, enão o veor X I(0). Logo, não faz senido falar em coinegração. Ou seja, X em uma represenação VAR(p) esacionária.

56 Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC) Da Observação 1, pode ser decomposa como em que =, e apresenam ordem n x r e poso igual a r. Dessa forma, não é difícil ver que (3) fica escrio como X F 1 X αβ' X ε 1 1 (4) que é análoga a (1).

57 OBSERVAÇÃO Ainda, de (4), não é difícil observar que é I(0). αβ' X F X X ε Assim, o lado esquerdo da igualdade coninuará sendo I(0) se o pré-muliplicarmos por 1 αα' α'

58 OBSERVAÇÃO Ou seja, e, finalmene, β' X 1 I(0) β' X I(0). Segue-se que cada linha do resulado anerior represenará uma relação de coinegração. Conclui-se, ainda, que a parir de um VAR(2) n-dimensional, obemos um modelo nas primeiras diferenças com variáveis coinegradas.

59 Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC) A forma descria em (4) é chamada de forma de correção de equilíbrio ou de correção de erros. Segundo Hendry e Juselius (2001), a forma (4) é mais apropriada se quisermos discriminar enre efeios de ajusameno de curo prazo a relações de longo prazo e os efeios de variações nas diferenças defasadas. Em (4), a mariz de níveis defasados,, esá no insane -1, mas pode ser escolhida esar em qualquer defasagem.

60 Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC) O modelo de correção de erros é assim chamado porque explica X por dois componenes: o faor de curo prazo, represenado por 1 1 e a relação de longo prazo dada enre as coordenadas do veor de variáveis endógenas Π X considerando que haja coinegração. F X αβ' X 1 1

61 Modelo de Correção de Erros Veorial (VEC) Em (4), e são duas marizes de ordem n x r e poso r. Dizemos que é a mariz de coinegração ou de veores coinegrados e é a mariz de cargas ou mariz de coeficienes de ajusameno.

62 Vale a pena observar que I(0) e β' X 1 I(0) X OBSERVAÇÃO Assim, esses ermos apresenam médias consanes, ou seja: E X c represenando axas de crescimeno; e Eβ' X 1 μ represenando os inercepos nas relações de coinegração.

63 OBSERVAÇÃO Assim, do slide anerior e parindo de (4), um resulado mais abrangene, dado por X c p1 F X i i i1 c αβ' X 1 μ ε (5) pode ser facilmene obido. Em (5), vemos que há duas formas de correção de equilíbrio: uma do crescimeno dos dados à sua média e, oura, dos veores de coinegração em relação à sua média. Em análises de séries reais, emos que verificar se c e são diferenes de zero ou não.

64 Tese de Coinegração de Johansen

65 Inrodução Johansen propõe um ese para definir o poso da mariz e, por consequência, o espaço de coinegração. Com base nisso, podemos esimar os veores de coinegração conidos em. A meodologia proposa pelo auor é ineressane porque é empreendida simulaneamene à esimação do modelo de correção de erros veorial (VEC).

66 Inrodução Ou seja, a meodologia proposa por Johansen permie a esimação do VEC simulaneamene aos veores de coinegração. Para idenificar o poso, Johansen propõe dois eses, baseados em uma esimação por máxima verossimilhança resria.

67 Inrodução A ideia de Johansen é usar a configuração VAR e procurar o poso da mariz de uma forma basane ineligene. De forma inuiiva, caso haja coinegração, o poso da mariz, que apresena dimensão n x n, será menor que n, digamos igual a r.

68 Inrodução Vale observar que, aqui, a ideia de poso nulo é análoga à ideia de raiz uniária no modelo univariado. Naquele caso, o coeficiene que muliplicava a variável original defasada em um passo era nulo ane a presença de raiz uniária. No caso mulivariado, poso nulo significa que a mariz = 0. Dessa forma, raa-se de uma raiz uniária mulivariada.

69 O procedimeno de Johansen é uma generalização mulivariada do ese ADF. Considere o seguine modelo: 1) ( ' p p ε X F X F X α β D Φ X (6) em que 1 Φ p I n Φ Π D Coném ermos deerminísicos (consanes, endências, ec.). Tese de Coinegração de Johansen

70 Tese de Coinegração de Johansen O procedimeno sugerido por Johansen (1988, 1995), para esar a exisência de coinegração, é baseado nos seguines passos: i. Verificar a ordem de inegração das séries envolvidas; ii. iii. iv. Especificar e esimar os parâmeros de um modelo VAR(p) para o veor X, que supomos I(d); Verificar a exisência de ermos deerminísicos (denro e fora do veor de coinegração); Consruir eses RV para se deerminar o número de veores de coinegração, que sabemos ser igual ao poso da mariz ; v. Dados os veores de coinegração (normalizados apropriadamene), esimar o MCE (via EMV).

71 Tese de Coinegração de Johansen É sabido que o poso de fornece ambém o número de auovalores não-nulos de. Suponha a seguine ordem para ais auovalores normalizados: 1 > 2 >... > n. Se as séries não forem coinegradas, enão () = 0 e odos os auovalores serão nulos. Ou, ainda, log e (1- i ) = 0, para odo i. Um ese de RV para esar o poso de é baseado na esaísica raço raço r T log 1 ˆ. 0 n ir 0 1 e i (7)

72 Tese de Coinegração de Johansen A esaísica (7) esa H 0 : r r 0 H A : r r 0 (8) Se () = r 0, enão ˆ,, 0 ˆ r 1 n são aproximadamene nulas e (7) será pequena; caso conrário, será grande. Ainda, a disribuição assinóica de (7) é uma generalização mulivariada da disribuição ADF e depende da dimensão n r 0 e da especificação dos ermos deerminísicos.

73 Tese de Coinegração de Johansen Os valores críicos podem ser enconrados em Oserwald- Lenum (1992) para os casos 1 a 5 e n r 0 = 1, 2,..., 10. Ainda, Johansen ambém uiliza a esaísica do máximo auovalor r T log 1 ˆ max 0 e r0 1 (9) para esar H 0 : r r 0 H A : r r 0 1. (10)

74 Tese de Coinegração de Johansen A disribuição assinóica de (9) ambém depende da dimensão n r 0 e da especificação dos ermos deerminísicos. Valores críicos podem ser enconrados na referência aneriormene ciada. Supondo-se que o poso de é igual a r, Johansen (1988) prova que o esimador de máxima verossimilhança de é dado por ˆ ˆ ˆ ˆ MV 1 2 r (11)

75 Tese de Coinegração de Johansen em que ˆi é o auoveor associado ao auovalor ˆ i Ainda, os EMV dos parâmeros resanes são obidos por meio de uma regressão mulivariada com subsiuído pelo seu respecivo EMV. Johansen (1995) mosra a normalidade assinóica dos esimadores de.

76 EXERCÍCIO Considere o arquivo vendas.wf1, que apresena as séries anuais, enre os anos de 1937 e 1990, de vendas (em milhares de unidades) e de gaso com propaganda (em milhares de dólares), de uma deerminada empresa nore americana. a) Conduza o ese de coinegração proposo por Johansen. Inerpree os resulados. b) Com base nos resulados do iem anerior, esime um modelo adequado para o veor de variáveis resposa de ineresse, escreva os resulados na forma usual e inerpree-os.

77 Leiura Complemenar I (Resrições na Mariz de Cargas e nos Veores de Coinegração)

78 Inrodução Um aspeco basane ineressane do procedimeno de Johansen é poder esar formas resrias do veor de coinegração. Isso é possível porque, se há r veores de coinegração, apenas essas r combinações lineares de variáveis são esacionárias. Assim, posso reesimar os modelos impondo as resrições desejadas e, se elas forem adequadas, enão o número de veores de coinegração não deve diminuir. Assim, esime os modelos resrio e irresrio. Obenha os auovalores de cada modelo, respecivamene ordenados como ˆ ˆ... ˆ e ˆ * ˆ*... ˆ*. 1 2 n 1 2 n

79 Tese de Hipóeses A esaísica do ese será dada por: LR T n ir1 ˆ * ˆ d 2 ln 1 ln 1 i i A inuição é que os auovalores de cada uma das regressões devem ser próximos, caso a resrição imposa seja válida.

80 Observação Para se impor resrições no veor de coinegração, devemos observar, primeiro que o elemeno (i, j) se refere à ransposa da mariz. Ou seja, a i-ésima relação de coinegração em a seguine represenação: B i, 1 y1 Bi,2 y2... Bi, k yk em que, y 1, y 2,..., y k são as variáveis do veor resposa.

81 EXERCÍCIO Com base nos resulados obidos no exercício anerior: a) Conduza um ese de hipóeses adequado, sobre os parâmeros do veor de coinegração, que verifique se a elasicidade é uniária. b) Conduza um ese de hipóeses adequado, sobre os parâmeros da mariz de cargas, que verifique se a relação de coinegração só enra na equação ligada à propaganda. c) Repia (a) e (b) conjunamene.

82 Leiura Complemenar II (Inclusão dos ermos deerminísicos)

83 Escolha dos Termos Deerminísicos Segundo Johansen (1994, 1995), os ermos deerminísicos em (6) são resrios à forma D μ μ 0 μ 1. (12) Para verificarmos o efeio dos ermos deerminísicos no modelo VAR, vamos considerar o seguine caso especial: X (13) μ0 μ α β' X 1 1 ε

84 Escolha dos Termos Deerminísicos A ideia, aqui, é decompor os veores 0 e 1 em relação à média das relações de coinegração e em relação à média das axas de crescimeno, ou seja, μ 0 α ρ 0 c 0 μ α ρ c1 1 1 (14) Dessa forma, podemos escrever X α ρ 0 c 0 α ρ 1 c 1 α β' X 1 ε (15)

85 com 1 * 1 1 X X Ou, ainda, ' ε c c X β ρ ρ α X 0 0 (16) Escolha dos Termos Deerminísicos

86 Escolha dos Termos Deerminísicos Podemos sempre escolher 0 e 1 ais que o erro de equilíbrio enha média zero, logo X ν * * ' E X c 0 c1 Vale a pena observar que se c 0 0 emos um crescimeno consane nos dados e se c 1 0 emos uma endência linear nas diferenças ou endência quadráica nos níveis das variáveis. Aqui, exisem 5 casos a considerar:

87 Escolha dos Termos Deerminísicos Caso 1. Consane nula, = 0; nese caso, 0 = 1 = 0 e o modelo não possui qualquer componene deerminísica, com X I(1) sem drif (não há crescimeno dos dados) e as relações de coinegração apresenam média igual a zero. Esse caso é úil quando as variáveis são expressas na mesma unidade. Por exemplo, números índices na mesma base.

88 Escolha dos Termos Deerminísicos Caso 2. Consane resria, = 0 = 0 ; nese caso, 1 = 0, c 0 = 0, mas 0 0 e, porano, não há endência linear nos dados e as relações de coinegração êm média 0. Esse caso é úil quando as variáveis não exibem endência linear e exise uma diferença de paamar enre as variáveis. Caso 3. Consane irresria, = 0 ; nese caso, 1 = 0 e as séries do veor X são I(1) sem drif e as relações de coinegração podem er médias diferenes de zero. Esse caso é úil quando emos a presença de uma endência linear na variável original (equivalene a uma consane na X ).

89 Escolha dos Termos Deerminísicos Caso 4. Tendência resria, = ; nese caso, c 1 = 0, mas c 0, 0 e 1 são irresrios. As séries são I(1) com drif e as relações de coinegração êm uma endência linear. Esse caso só é úil quando as variáveis exibem endência linear. Aqui, as endências se anulam denro do veor. Ainda, esse caso consegue capar crescimeno de ouras variáveis que não esão conempladas no modelo (por exemplo, variáveis difíceis de mensurar).

90 Escolha dos Termos Deerminísicos Caso 5. Tendência irresria, = ; aqui, não exise nenhuma resrição sobre 0 e 1. Ainda, séries são I(1) com endência linear (logo, endência quadráica nos níveis) e as relações de coinegração apresenam endência linear. Aqui, previsões podem ser ruins. Ou seja, cuidado ao adoar essa opção.

91 Escolha dos Termos Deerminísicos DICA O gráfico das variáveis nos auxilia num possível descare dos modelos 1 e 5. 1: Via de regra, variáveis são medidas de forma disina; 5: Muio difícil séries econômicas apresenarem endência quadráica. Para mais dealhes, vide, por exemplo, Hendry e Juselius (2001).

92 Escolha dos Termos Deerminísicos OBSERVAÇÃO Os casos 1 a 5 são usualmene referidos como H 2 (r), H 1 *(r), H 1 (r), H*(r) e H(r), respecivamene. O MCE irresrio é denoado por H(r), significando que () r. Obemos, enão, uma seqüência de modelos hierárquicos H(0)... H(r)... H(n), em que H(0) indica o modelo VAR não coinegrado; e H(n) indica o modelo VAR(p) irresrio esacionário.

93 Leiura Complemenar III (Exogeneidade) Engle, Hendry e Richard (1983) Arigo Básico

94 Exogeneidade Economeria Clássica Exogeneidade Esria: uma variável y é esriamene exógena se ela é independene de odos os ermos aleaórios do modelo em odos os insanes de empo.

95 Exogeneidade Objeivos 1. Inferência (esimar parâmeros e realizar eses de hipóeses): Exogeneidade Fraca. 2. Previsão: Exogeneidade Fore. 3. Análise de Políica Econômica: Superexogeneidade.

96 Exogeneidade Fraca Definição. uma variável z é fracamene exógena (ou exógena fraca), em relação aos parâmeros de ineresse,, se, e somene se, exisir uma reparamerização de, dada por = [ 1 2 ] al que 1. é função apenas de 1 ; 2. a faoração da densidade conjuna realiza um core seqüencial, ou seja, F X (x ; ) = F Y Z (y z ; 1 ).F Z (z ; 2 )

97 Exogeneidade Fraca Definição (con.). em que 1 e 2 1 x 2, ou seja, 1 e 2 são parâmeros de variação livre. Coinegração e Exogeneidade Fraca (Parâmeros de Ineresse: veores de coinegração) Quando os coeficienes da mariz são zeros, a variável explicada é dia fracamene exógena.

98 Exogeneidade Fore Definição. z é foremene exógena, em relação aos parâmeros de ineresse,, se 1. z é fracamene exógena em relação a ; 2. z não é Granger causada por y. Observação A ideia associada à exogeneidade fore é querer descarar o modelo marginal, pois, caso conrário, na hora da previsão eríamos problemas, uma vez que precisaríamos do modelo marginal para re-alimenar a equação condicional.

99 Coinegração e Exogeneidade Fore Quando os coeficienes da mariz são zeros, a variável explicada é dia fracamene exógena. Para verificar se essa mesma variável, que esá sendo explicada, é foremene exógena, basa verificar se na equação de ineresse as variações defasadas das demais variáveis não são relevanes para explicar al variável esudada.

100 Superexogeneidade A ideia, aqui, esá associada ao fao de querer verificar, por exemplo, se uma deerminada políica econômica foi efeiva. Ou seja, o governo oma ceras medidas e se os agenes, que não são insensíveis, ficarem conhecendo ais medidas, eles reagirão a elas e essas medidas não erão servido para nada. O agene mudar de comporameno significa que no modelo de ineresse os parâmeros associados aos agenes mudarão de valor.

101 Superexogeneidade Definição. z é superexógena, em relação aos parâmeros de ineresse,, se 1. z é fracamene exógena em relação a ; 2. 1 é invariane em relação a mudanças em 2, provocadas pelas inervenções (por exemplo, medidas governamenais) no modelo marginal. Observação Se houver mudanças nos parâmeros (devido às políicas), enão os agenes reagiram e os s não são invarianes.

102 Superexogeneidade Teses 1. Compare os resíduos recursivos dos modelos marginal e condicional. Veja, por exemplo, se houve quebra no comporameno das esimaivas dos parâmeros dos modelos marginal e condicional. Em caso afirmaivo, não exise, enão, a superexogeneidade. 2. Trabalhe com dummies no modelo marginal para enar capurar o efeio da inervenção. Ainda, uilize as mesmas dummies no modelo condicional para verificar se inervenções afeam al modelo. Em caso afirmaivo, descare a superexogeneidade.

103 Volando ao Exercício Com base nos resulados aneriores: a) Alguma variável do sisema pode ser considerada fracamene exógena? Jusifique a sua resposa aravés de uma análise inferencial adequada. b) Alguma variável do sisema pode ser considerada foremene exógena? Jusifique a sua resposa aravés de uma análise inferencial adequada.