SÉRIE: Estatística Básica Texto: Percentagens, Relativos e Índices SUMÁRIO 1. PERCENTAGENS RELATIVOS NÚMEROS ÍNDICES...

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2 SUMÁRO 1. PERCENTAGENS NTRODUÇÃO EQUVALÊNCAS ASSMETRA AUMENTOS E BAXAS SUCESSVAS RELATVOS TPOS DE RELATVOS Relaivo de preço ou preço relaivo Relaivo de quanidade ou volume relaivo Relaivo de valor ou valor relaivo PROPREDADES DOS RELATVOS denidade Reversibilidade no empo Transiividade ou propriedade circular (cíclica) APRESENTAÇÃO DOS RELATVOS Relaivos de base fixa Relaivos de Base Móvel MUDANÇAS DE BASE Mudança de relaivos de uma base fixa para oura base fixa Mudança de relaivos de base fixa para base móvel Mudança de relaivos de base móvel para base fixa NÚMEROS ÍNDCES NTRODUÇÃO NOTAÇÃO ÍNDCES (DE PREÇOS) SMPLES Índice ariméico Índice geomérico Índice harmônico Índice mediano Índice agregaivo simples (ou índice de Bradsree) ÍNDCES DE PREÇOS PONDERADOS Índice ariméico Ponderado Índice geomérico ponderado Índice harmônico ponderado índice agregaivo ponderado Exemplo Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 2

3 ÍNDCES ESPECAS (AGREGATVOS PONDERADOS) Índice de Laspeyres O índice de Paasche Relação enre os índices de Laspeyres e Paasche O índice de Fischer O índice de Marshall-Edgeworh Ouros índices Exemplo SÉRES DE ÍNDCES - BASE MÓVEL E BASE FXA Base fixa Base móvel Mudança de base na práica APLCAÇÕES DOS NÚMEROS ÍNDCES Deflação Correção moneária EXERCÍCOS RESPOSTAS DOS EXERCÍCOS REFERÊNCAS...36 Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 3

4 PERCENTAGENS, RELATVOS E ÍNDCES 1. PERCENTAGENS 1.1. NTRODUÇÃO Denominamos axa a uma fração posiiva cujo denominador é cem (1). Por exemplo: 5/1, 1/1 ou 5/1. As frações acima são lidas: cinco por ceno, um por ceno e cinqüena por ceno respecivamene. A fração 1/1 é lida por ceno e represenada pelo sinal %. Assim, as frações acima são escrias da seguine forma: 5%, 1% e 5%. Observa-se, porano, que o sinal % eqüivale à fração 1/1 ou ao decimal,1, pois 5% 5/1 5.1/1 5.,1,5. Normalmene a axa é um número enre zero e um, mas nada impede que ela seja superior a um, como por exemplo: 15/1 ou 15 por ceno, 2/1 ou duzenos por ceno. A axa aplicada a um valor dá origem a percenagem ou porcenagem. Assim 5% de 1 é igual a 5 (cinco), iso é, 5 é a percenagem. Observações: 1. Uma axa resria ao inervalo [; 1], denomina-se proporção; 2. A soma de duas axas é ainda uma axa, iso é: a% + b% (a/1) + (b/1) (a + b)/1 (a + b)%. Em paricular: a% + % a% % + a%, ou seja; zero é o elemeno neuro para a soma de axas. 3. A axa não é muliplicaiva, pois: a%.b% (a/1).(b/1) (a.b)/(1.1) [(a.b)%]%. Dese modo, por exemplo: 2%.5% (1%)%,1% e não como seria de supor 1%. Também: 1%.1% [(1.1)%]% 1% e não 1% como seria de esperar. A principal uilização das axas ou percenagens é nas comparações emporais, como, por exemplo, variações de preços de um arigo, variações nas quanidades produzidas de um bem, axas de juros, preços de ações, ec. Suponha-se que se deseja comparar a siuação a de chegada com a siuação b de parida. Pode-se escrever: Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 4

5 a - b, que é denominado desvio ou variação absolua ou enão (a - b)/b que seria o desvio relaivo uniário ou ainda [(a - b)/b].1 que é denominada variação relaiva EQUVALÊNCAS O desvio relaivo é mais cômodo, pois independe de unidade e, por isso, é mais uilizado. Tem-se: (a - b)/b a/b - 1 ou enão [(a - b)/b].1 1.(a/b) - 1 que são as axas uniária e percenual, ou enão, os muliplicadores: a/b ou (a/b).1 Diz-se que o muliplicador esá associado à axa. Se (a - b)/b i enão a/b 1 + i e a b(1 + i). i é a axa e 1 + i o muliplicador. Dizer que uma quanidade aumena de % é dizer que ela é muliplicados por: 1 + /1. A unidade que é somada a /1 é causa de enganos, principalmene em axas superiores a 1%. Se é evidene que: Um aumeno de 1% eqüivale a dobrar a quanidade, iso é, muliplicar por 1 + 1/1 2, já não é ão claro que; Um aumeno de 2% seja correspondene a muliplicar a quanidade por 3, iso é, 1 + 2/1 3 e muio menos que; 1. Um aumeno de 9% corresponda a muliplicar a quanidade por 1, iso é, 1+ 9/ ASSMETRA Se a é a siuação de chegada, b a de parida e i a axa enão: a b.(1 + i). Assim a/b 1 + i ou (a - b)/b i. No enano, b/a 1/(1 + i) que não é igual a 1- i. ceno. Desa forma, um aumeno de i por ceno não é eliminado por uma baixa dos mesmos i por Com efeio, para eliminar um aumeno de 25%, basa uma baixa de 2% e não de 25%. Se por exemplo: Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 5

6 a/b 1,25 1 +, / %, enão: b/a 1/1,25 1/125 4/5,8 1 -,2 1-2/1 1-2%. Assim, o efeio de um aumeno de % é eliminado por uma baixa menor do que %, ou ainda, dada a axa de aumeno, a axa de baixa que anula ese aumeno é dada pela axa /(1 + ) ou /(1 - ). Com efeio: a b.(1 + ) b.[1 + /(1 - )] b.[(1 - + )/(1 - )] b.[1/(1 - )]. Assim: b/a 1 - Analisando a relação acima, verifica-se que: lim ' lim 1 + ilimiada. Tem-se ambém: lim ' /(1 - ) 1 1%, iso é a baixa não ulrapassa aos 1%, mesmo quando a ala é Se ao conrário, verificar-se o que ocorre quando as axas se ornam cada vez menores podese ver que: ' lim lim /1, ou ainda ' ' 1 ' lim ' lim 1 + /1 Assim, pode-se concluir que a medida que a ala se orna cada vez menor a baixa que a anula ambém se orna cada vez menor. Em ouras palavras, para axas pequenas a diferença enre a ala e a baixa que a anula se orna cada vez menor. so é: ' lim ' lim 1 ' 1+ ' ' - Exemplos: 1. Se a é 5% superior a b, enão b é apenas,5/(1 +,5),5/1,5 5/15 1/3, , 33%, inferior a a. Também, como 1 +,5 3/2, o inverso será: 2/3 1-1/3 1 -,3333; Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 6

7 2. Se a é 1% superior a b, enão b é apenas 1/( 1 + 1) 1/2,5 5% inferior a a. Também, como , o inverso é 1/2 1-1/2 1 -,5 1-5%. 3. Se a é 9% superior a b enão b é 9/(1 + 9) 9/1 9% inferior a a. Também, como , o inverso será: 1/1 1-9/1 1 -,9 1-9%. 4. Se a é 2% superior a b enão b é,2/(1 +,2) 2/12 1/51,196 1,96% inferior a a. Também, como 1 +,2 1,2, o inverso será 1/1,2 1/12 5/51 1-1/51 1-1,96% AUMENTOS E BAXAS SUCESSVAS Quando é necessário acumular alas ou baixas sucessivas, ou mesmo, alernar alas e baixas, deve-se muliplicar os muliplicadores, para ober o muliplicador global. Assim, por exemplo: 1. Uma ala de 2%, seguida de oura de 3%, não dá um aumeno oal de 5% e sim de 1,3.1,2 1,56 ou 56%. Ou seja: (1 + i).(1 + i ) 1 + i + i + i.i ; 2. Uma ala de 1%, seguida de oura de 1% dão 21% e não 2% como se poderia pensar a princípio. Quando se raar de ala seguida de baixa ou vice-versa, ou ainda de baixa seguida de oura baixa, os muliplicadores das baixas devem ser inferiores a um e a regra anerior coninua valendo. Assim, por exemplo: 1. Uma baixa de 1% seguida de oura de 2% eqüivale a uma única de 28% e não de 3%, pois: (1 -,1).(1 -,2),9.,8,72 1 -,28; 2. Uma ala de 5%, seguida de uma baixa de 6%, eqüivale a uma baixa de 4%, pois: (1 +,5).(1 -,6) 1,5.,4,6 1 -,4; 3. Uma ala de 6% seguida de uma baixa de 5% eqüivale a uma baixa de 2%, pois: (1 +,6).(1 -,5) 1,6.,5,8 1 -,2. Observação: Em alguns casos, quando parece que se deve subrair os muliplicadores, deve-se, na realidade, dividi-los, que é a siuação recíproca de quando se acha que se deve somar os muliplicadores e, na verdade, deve-se muliplicá-los. so ocorre porque o quociene (1 + )/(1 - ) não é igual a Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 7

8 Assim se, por exemplo, se num deerminado período os salários aumenaram 5%, mas a inflação no mesmo período foi de 25% e se quer deerminar qual foi o aumeno real de salário, iso é, o aumeno desconada a inflação? Ou ainda, qual foi o ganho real ou aumeno do poder aquisiivo do salário? Tem-se: 1,5/1,25 15/125 6/5 1, %, ou seja, 2% e não, como pode parecer a princípio, 5% - 25% 25%. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 8

9 2. RELATVOS Dados dois números reais a e b, denomina-se números relaivos ou simplesmene relaivos aos números: a/a 1 e b/a se a for escolhido como unidade ou base. Da mesma forma, se b for escolhido como unidade ou base, se erá, enão, os relaivos: b/b 1 e a/b. A escolha da base não recai necessariamene sobre um dos dois valores envolvidos, mas pode envolver qualquer ouro valor, al como, por exemplo, a média enre os dois valores TPOS DE RELATVOS Pode-se er relaivos de vários ipos. Mas os mais comuns são os relaivos de preços e os relaivos de quanidade RELATVO DE PREÇO OU PREÇO RELATVO. Seja p o preço de um deerminado arigo no empo e p n o preço, dese mesmo arigo, no empo n. Define-se, preço relaivo do Arigo A no empo n, com base no empo, como sendo o quociene: p(, n) p n / p Exemplo: O liro de leie em 23 cusava Cr$,8 e em 24 Cr$ 1,. O relaivo do liro de leie em 24 com base em 23 é: p(3, 4) 1, /,8 1,25 ou 125%. Ou seja, o preço do liro de leie em 24 é 25% maior do que em 23. Também, se poderia calcular p(4, 3),8 / 1,,8 1 -,2. Ou seja, o leie em 23 cusava 2% menos do que em RELATVO DE QUANTDADE OU VOLUME RELATVO Seja q a quanidade produzida de um deerminado arigo A no empo e q n a quanidade produzida, dese mesmo arigo, no empo n. A quanidade relaiva produzida (ou vendida, consumida, exporada, ec.) do arigo A no empo n em relação ao empo é definida como sendo: q(, n) q n /q RELATVO DE VALOR OU VALOR RELATVO Seja p o preço de um arigo A e q a quanidade produzida dese mesmo arigo. Denomina-se valor oal ou simplesmene valor ao produo v p.q. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 9

10 Define-se valor relaivo de um arigo A no empo n, com base no empo, como sendo o quociene: v(, n) (p n q n ) / (p q ) v n / v, ou ambém: v(, n) v n / v (p n / p ) / (q n / q ) p(, n). q(, n). Desa forma, o relaivo de valor pode, ambém, ser caracerizado como sendo o produo do relaivo de preço pelo relaivo de quanidade PROPREDADES DOS RELATVOS DENTDADE Um relaivo de um deerminado período, com base no mesmo período é sempre igual a unidade ou 1%, iso é: p(, ) p(1, 1) REVERSBLDADE NO TEMPO Um relaivo é sempre reversível, iso é, quando inveremos a siuação correne (ou aual) com a siuação base o índice invere-se, ou seja: p(, n) 1 / p(n, ), ou ainda, pode-se escrever esa propriedade da seguine forma: p(, n).p(n, ) TRANSTVDADE OU PROPREDADE CRCULAR (CÍCLCA) Um relaivo é sempre ransiivo, ou seja: Se, 1 e 2 são 3 períodos de empo sucessivos, enão: p(, 1).p(1, 2) p(, 2) ou ambém: p(, 1).p(1, 2).p(2, ) APRESENTAÇÃO DOS RELATVOS Os relaivos de preços, quanidade ou valor são, normalmene, apresenados em seqüências que podem ser: (a) de base fixa; Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 1

11 (b) de base móvel RELATVOS DE BASE FXA Considere-se os valores: X, X 1, X 2,..., X n como sendo os preços (ou quanidades) de um arigo A nas épocas, 1, 2,..., n. As razões (quocienes): X / X, X 1 / X, X 2 / X,..., X n / X são os relaivos de base fixa, em, do arigo A, nos empos, 1, 2,..., n. Tabela 1 - Relaivos de base fixa Anos Preços Relaivos (Base ) X X / X 1 X 1 X 1 /X n Xn Xn/X Exemplos: Seguem abaixo dois exemplos de seqüências de relaivos. Noe-se que na abela 2 (exemplo 1) os relaivos são uniários. Na abela 3 (exemplo 2) os relaivos são expressos em percenagem, o que é mais usual. Noe-se, ainda, que o símbolo % não foi uilizado. Quando os relaivos são apresenados em séries, por meio de abelas, o símbolo % não é uilizado. Pode-se perceber que os relaivos esão em percenual pelo seus valores. Exemplo 2.1 Relaivos de preços, de base fixa (base 21), expressos em valores uniários. Tabela 2 - Produção do arigo A - RS - 2/24 Anos Preços Relaivos (Base 91) 2, , 2 3 1, , ,2 Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 11

12 Exemplo 2.2 Relaivos de quanidade, de base fixa (base 2), expressos em percenagem Tabela 3 - Produção do arigo A - RS - 2/4 Anos Produção Relaivos (Base 9) Observando-se a abela do exemplo 1 (abela 2), pode-se consaar que: o preço do arigo A em 92 era 2% maior do que o de 21. O preço do mesmo arigo em 2 era 2% menor do em 21 (base), pois,8 1 -,2. Na abela do exemplo 2.2 (abela 3), desaca-se que em 21 a produção do arigo B foi 5% superior a de 2. A produção do arigo B em 24 foi 2% superior a de RELATVOS DE B ASE MÓVEL A seqüência dos relaivos de base móvel (ambém chamados de relaivos em cadeia ou números elo) é obida de modo semelhane aos relaivos de base fixa. Só que a base, nesse caso são sucessivamene os valores: X, X 1, X 2,..., X n-1, nos empos, 1, 2,..., n. Tabela 4 - Relaivos de base móvel Anos Preços Relaivos(Base Móvel) X 1 X 1 X 1 / X 2 X 2 X 2 / X n X n X n / X n-1 Abaixo, seguem, dois exemplos de relaivos de base móvel. O primeiro apresenado uma seqüência de relaivos de preços e o segundo uma seqüência de relaivos de quanidades. Exemplo 2.3 Relaivos de preços, de base móvel, expressos em valores uniários. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 12

13 Tabela 5 - Preços do arigo A - RS - 2/4 Anos Preços Relaivos (Base Móvel) , , , ,6 Exemplo 2.4 Relaivos de quanidade, de base móvel, expressos em percenagem. Tabela 6 - Produção do arigo B - RS - 2/4 Anos Produção Relaivos Observando-se o exemplo 2.3 (abela 5) pode-se ver que 21 apresenou um aumeno de 25% em relação a 2. Que 23 apresenou um aumeno de 25% em relação a 22, ec. De forma semelhane, pela observação da abela 6 (exemplo 2.4) pode-se verificar que o ano de 22 apresenou uma produção do arigo B 12% superior ao ano de 21 e que o ano de 24 apresenou uma produção 1% (1-,9,1) menor do que MUDANÇAS DE BASE Ao se considerar uma série de relaivos poderá ser necessário esabelecer comparações, que não esão disponíveis na série apresenada. Se os valores originais (preços, produção, ec.) esiverem disponíveis, iso não rará maiores problemas, pois basará calcular os novos valores necessários. Mas, normalmene, uma vez obida a série de relaivos os valores originais não mais esão disponíveis. Nese caso, poderá ser necessário realizar mudanças de base, iso é, mudar de uma base fixa para oura base fixa, de uma base móvel para uma fixa ou vice-versa. Por exemplo, dispondo dos relaivos de base fixa em um deerminado ano, pode-se esar ineressado em fazer comparações com valores que não os do ano omado como base. Nese caso será necessário fazer uma mudança para uma nova base. Também, poderá ser necessário fazer comparações Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 13

14 ano a ano a parir de relaivos de base fixa, caso em que se eria que fazer uma mudança de relaivos de base fixa para relaivos de base móvel. Por úlimo pode ocorrer a siuação em que se precise fazer comparações com um deerminado ano, mas não se dispõe dos valores dos relaivos de base fixa, siuação esá que ocasiona a necessidade de efeuar uma mudança de uma série de relaivos de base móvel para uma de base fixa MUDANÇA DE RELATVOS DE UMA BASE FXA PARA OUTRA BASE FXA. Dispondo-se de uma série de relaivos com base no período deseja-se ober uma nova série com base em. Para ano é suficiene apenas dividir oda a série de relaivos (com base em ) pelo relaivo da nova base ( ). A abela 7, abaixo, ilusra o procedimeno. Tendo os relaivos de base fixa em 21 (segunda coluna) quer-se mudar a base para o ano de 23. so pode ser feio, simplesmene, dividindo a coluna 2 (dos relaivos com base em 21) pelo valor 2,, que é o relaivo do ano de 23. Tabela 7 - Exemplo de mudança de uma série de base fixa para oura fixa Anos Relaivos (Base 1) Relaivos (Base 3),8,4 1 1,,5 2 1,2,6 3 2, 1, 4 2,8 1, MUDANÇA DE RELATVOS DE BASE FXA PARA BASE MÓVEL Dispondo de uma série de relaivos de base fixa (com base no período ) deseja-se ober a série de relaivos de base móvel. Para ano oma-se cada relaivo de base fixa e divide-se pelo anerior. Obviamene o primeiro relaivo de base móvel não poderá ser calculado, a menos que se disponha do valor original anerior. A abela oio ilusra o procedimeno. Nese caso os relaivos de base fixa (segunda coluna) esão com base no período 21. Para ober os relaivos encadeados (coluna 3) o procedimeno será o mesmo não impora qual enha sido o período omado como base na série de base fixa. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 14

15 Tabela 8 - Exemplo de mudança de uma série de base fixa para móvel Anos Relaivos (Base 1) Relaivos (Base 3) MUDANÇA DE RELATVOS DE BASE MÓVEL PARA BASE FXA. Dispondo de uma série de relaivos com base móvel deseja-se ober uma nova série com base em um período. Para ano é necessário fazer uso das propriedades circular e reversível. Na verdade, iso pode ser feio de duas maneiras. A mais simples é ober a série de relaivos com base no primeiro período da série e depois, enão, fazer a mudança para a base desejada. Nese caso, a única propriedade empregada seria a circular. A oura forma, um pouco mais elaborada, é ober os relaivos na base desejada direamene. Nesa siuação, será necessário o emprego das propriedades circular e reversível em conjuno. A abela 9 ilusra o procedimeno. Dispondo dos relaivos de base móvel (segunda coluna) quer-se ober a série de relaivos de base fixa no período 91. Tabela 9 - Mudanças de relaivos de base móvel para fixa Anos Relaivos (Base Móvel) Relaivos (Base 21) Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 15

16 3. NÚMEROS ÍNDCES 3.1. NTRODUÇÃO Na práica, não exise muio ineresse na comparação de preços e quanidades de um único arigo, como é o caso dos relaivos, mas sim na comparação de conjunos de preços de arigos enre diferenes ponos no empo. Por exemplo, para se er uma idéia do cuso de vida não é suficiene saber a variação do preço da carne, mas é necessário ambém o do arroz, do leie, da baaa, ec. É claro que odos eses preços poderiam ser fornecidos em formas de abelas. Mas esa solução além de pouco práica seria basane falha em ermos informaivos. O que se objeiva é ober um único número que represene a variação de odo um conjuno de preços de bens e serviços em conjuno com as quanidades consumidas ou uilizadas em diferenes ponos no empo. Um número com esas caracerísicas é denominado de número índice. A dificuldade da consrução e obenção de um número índice vai além do que a simples escolha de uma fórmula maemáica para calculá-lo. Assim, por exemplo, deve-se deerminar que bens e serviços serão avaliados e em que quanidades. É claro que ese não é um problema de fácil solução, pois esa escolha não pode se dar de forma arbirária, sob pena do valor resulane ficar compleamene dissociado da realidade. Para avaliar os bens e serviços consumidos deve-se omar uma amosra aleaória de famílias ípicas que vão informar quais os produos e serviços mais consumidos e em que quanidade. Também o que vem a ser uma família ípica precisa ser bem caracerizado. O próprio processo de amosragem apresena dificuldades, pois é necessário delimiar o universo, i.é, a população objeivo. Assim é necessário decidir que ipo de família será amosrada, pois é noório, que a esruura de consumo varia com a renda. Desa forma, uma família com renda de 2 salários mínimos, invese mais em lazer, em ranspore (individual) do que uma família com renda de 5 salários mínimos. Uma vez equacionado o problema dos componenes e das quanidades do índice, deve-se escolher ainda o período base e a periodicidade do índice (semanal, mensal ou anual). Após resolvidas as quesões acima resaria, ainda, a escolha da expressão maemáica do índice, iso é, da fórmula. É claro que a escolha depende, em pare, dos objeivos do índice, mas é desejável do pono de visa eórico, que os números índices saisfaçam as mesmas propriedades dos relaivos (índices de uma única uilidade). Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 16

17 Nenhum índice proposo aé hoje saisfaz a odas as propriedades desejáveis. Por isso é que, na práica, a fórmula adoada, depende mais das facilidades que ela proporciona (em ermos de cálculo) do que das propriedades maemáicas que ela saisfaz. A seguir, serão apresenados os principais criérios uilizados, junamene, com algumas considerações acerca das propriedades de cada uma desas fórmulas uilizadas. Para simplificar a noação e faciliar a compreensão será suposo que odos os índices sejam de preços. No enano, facilmene pode-se esender esas mesmas expressões para se ober índices de quanidades, de valor, ec NOTAÇÃO Cada índice será represenado pela lera e erá como sub-índice a inicial do nome. Ese nome geralmene esá associado com a pessoa que propôs a fórmula ou, enão, com a maneira de obenção desa fórmula. Suponha-se que: p preço de um deerminado arigo na época base (época ). q quanidade de deerminado arigo na época base (época ). p preço de cero arigo numa época diferene da época base (época ). q quanidade de cero arigo numa época diferene da época base (época ). Observação: Na realidade as noações acima foram proposiadamene simplificadas, pois, por exemplo, na época onde se escreve p se deveria escrever i p, iso é, preço do arigo i na época base com i 1, 2,..., n. Mas é praxe eliminar ceros sub-índices, bem como, os indicaivos dos somaórios de forma a ornar a represenação menos confusa ÍNDCES (DE PREÇOS) SMPLES Os índices simples são caracerizados por envolverem apenas os preços e não as quanidades consumidas de cada produo levado em consideração ÍNDCE ARTMÉTCO É a média ariméica dos relaivos, de cada produo, calculados em relação à época base. A 1 p(, ) 1 (p / ) n n p Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 17

18 É um índice muio fácil de ser calculado, mas que apresena a desvanagem da média ariméica, que é a de sofrer a influência de valores exremos, iso é, grandes variações nos preços de um único produo. É um índice que não é reversível e nem ransiivo ÍNDCE GEOMÉTRCO É a média geomérica dos relaivos de cada produo, calculados em relação à época base. G n ( p / p ) n p(, ) O índice geomérico simples cosuma ambém ser definido aravés da média ariméica dos logarimos dos relaivos, i.é, o índice geomérico é um índice ariméico, só que dos logarimos dos relaivos ao invés dos relaivos. Ese índice é reversível e ransiivo ÍNDCE HARMÔNCO É a média harmônica dos relaivos, ou ainda, é o inverso da média ariméica dos inversos dos relaivos. H 1 n n 1 p(, ) ( p / ) (p / p ) n p O índice harmônico da mesma forma que o ariméico não é nem reversível e nem ransiivo ÍNDCE MEDANO O índice mediano é obido aravés da mediana dos relaivos. M me{ p /p } me{ p(, ) } A vanagem dese índice é a de não ser influenciado por variações exremas de preços de um único produo. Uma desvanagem é que é necessário ordenar os relaivos para obê-lo. Ese índice não é reversível e nem ransiivo ÍNDCE AGREGATVO SMPLES (OU ÍNDCE DE B RADSTREET) É o mais anigo dos números índices e é obido pela proporção enre a variação na época aual e a época base. AG Σp / Σp Ese índice é reversível e é ransiivo. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 18

19 Exemplo 3.1 Por meio dese exemplo, ilusra-se o cálculo e as propriedades dos cinco índices visos. Para ano, vai-se considerar um conjuno de quaro arigos com os respecivos preços obidos em 3 épocas diferenes, conforme abela 1 (dez). Tabela 1 - Preços de 4 arigos nas épocas 1 1, 2 2 e 3 3 Preço por kg ARTGOS p2 / p1 p3 / p2 p3 / p1 p1 / p2 p2 / p3 p1 / p3 A ,25,9 1,125,8 1,1111,8889 B 4 4,5 5 1,125 1,1111 1,25,8889,9,8 C ,8 1,375 1,1 1,25,7273,991 D 5 5,5 6 1,1 1,99 1,2,991,9197,8333 TOTAL ,275 4,477 4,675 3,848 3,6551 3,4313 A abela 11 (onze) apresena os resulados dos cálculos dos índices visos. Usando eses valores é possível conferir as propriedades mencionadas de cada um dos índices. Tabela 11 - Valores em diversos períodos dos índices visos Índices Ariméico Geomérico Harmônico Mediano Agregaivo Períodos 2/1 16,88 15,47 13,95 111,95 13,7 3/2 111,93 11,67 19,44 11,1 11,71 3/1 116,88 116,72 116,57 116,26 114,71 1/2 95,2 94,81 93,57 89,9 96,43 Pela abela pode-se observar ambém que: A G H, iso é, os índices conservam as propriedades das médias, onde, a maior é a média ariméica e a menor a média harmônica. Com os índices mediano e agregaivo não é possível esabelecer uma comparação dese ipo. (b) Quano as propriedades, a abela 12 (doze) fornece um resumo. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 19

20 Tabela 12 - Propriedades dos índices visos Índices Ariméico Geomérico Harmônico Mediano Agregaivo Propriedades Reversibilidade Não Sim Não Não Sim Transiividade Não Sim Não Não Sim 3.4. ÍNDCES DE PREÇOS PONDERADOS A principal desvanagem dos índices aneriores é a de considerar odos os arigos com a mesma imporância. Para que o índice se orne mais realisa, uma vez que é sabido que os produos não são odos consumidos em igual quanidade, é necessário ponderar cada arigo paricipane do índice. Essa ponderação, normalmene, é realizada pelas quanidades consumidas, obidas aravés de uma amosragem probabilísica. Esas quanidades podem ser uilizadas de forma absolua ou enão, como é mais comum, pela sua imporância relaiva no conjuno de quanidades. Desa forma, se q i é a quanidade consumida, produzida, vendida, ec. de deerminado arigo, pode-se uilizar no índice, o valor absoluo q i ou enão seu valor relaivo α i q i / Σq i, de al modo que, Σ α i 1 1%. Esa opção é a preferida pois dá condições de verificar a conribuição do arigo cuja ponderação é α i na variação final do índice. Sejam α as ponderações associadas aos arigos cujos preços são p e p nas épocas e respecivamene. Enão os índices aneriores ficam: ÍNDCE ARTMÉTCO P ONDERADO É a média ariméica dos relaivos, de cada produo, ponderado pela quanidade α. AP 1 p p α α α.p(, ) α p. p ÍNDCE GEOMÉTRCO PONDERADO É a média geomérica dos relaivos de cada produo, ponderados pela quanidade α. GP α α α p p ( p/ p ) ( / ), pois a soma dos valores de α é igual a um ÍNDCE HARMÔNCO PONDERADO É a média harmônica dos relaivos, ou ainda, é o inverso da média ariméica dos inversos dos relaivos, ponderada pelas quanidades α. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 2

21 H 1 α 1 α α ( p / p α. p (, ) 1 α. p (, ) ) ÍNDCE AGREGATVO PONDERADO É o quociene enre o produo das quanidades pelos preços da época aual e o produo das quanidades pelos preços da época base. AGP α. α. p p Exemplo 3.2 Suponhamos que no exemplo anerior os arigos A, B, C e D, ivessem, respecivamene, os seguines pesos: 2%, 3%, 1% e 4%. Enão os índices da época sobre a época seriam: Tabela 13 - Preços das uilidades A, B, C, D - Poro Alegre - 23 Arigos Pesos 1 2 Relaivos Relaivos Ponderados p p A,2 8 1, 1,25,25 1,6 2, B,3 4 4,5 1,125,3375 1,2 1,35 C,1 1 8,,8,8 1,,8 D,4 5 5,5 1,1,44 2, 2,2 Toal ,175 5,8 6,35 Índice ariméico ponderado AP p α 1,175 11,75% p Índice geomérico ponderado α GP ( p / p ) 1,456.1,36.,9779.1,389 1,15 11,5% Índice harmônico ponderado H 1 α. p (, ) 1/ (,16 +,2667 +,125 +,3636) 1/,9153 1,925 19,25% Índice agregaivo ponderado α. p AGP 6,35 / 5,8 1,948 19,48% α. p Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 21

22 Colocando os resulados numa abela, bem como os resulados dos índices aneriores, pode-se verificar a influência exercida pelas ponderações, bem como as diferenças enre os vários criérios no resulado final. Tabela 14 - Índices simples e ponderados Índices Ariméico Geomérico Harmônico Agregaivo Simples 16,88 15,47 13,95 13,7 Ponderado 11,75 11,5 19,25 19,48 Observando a abela verifica-se que odos os índices ponderados apresenaram valores superiores aos índices não ponderados. so ocorreu porque jusamene o arigo C que não aumenou, ao conrário diminuiu, recebeu a menor ponderação. No índice simples ele inha uma ponderação de 25% (pois odas são iguais), enquano que no índice ponderado o seu peso no conjuno de bens baixou para apenas 1% ÍNDCES ESPECAS (AGREGATVOS PONDERADOS) São índices do ipo agregaivo onde as ponderações são execuadas pelas quanidades da época base ou da época aual, ou ainda de ouras formas. Esses índices são conhecidos, normalmene, pelos nomes dos seus formuladores ÍNDCE DE LASPEYRES A fórmula de Laspeyres, ambém chamada de méodo ou processo do ano-base, propõe um índice agregaivo ponderado em relação as quanidades dos arigos no ano-base. L p q.. A expressão de Laspeyres ambém pode ser considerada como média ponderada dos relaivos, cujos pesos são represenados pelo valor oal (v p.q ) das mercadorias ou serviços consumidas no período-base. L p q.. p p p q p q p p. q.(. ). α, onde α. p p. q Nese caso α é a paricipação de cada produo na produção oal. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 22

23 Nesa expressão pode-se observar que se um produo em seu preço, por exemplo, dobrado em relação a média dos resanes, a quanidade cai pela meade, pois o valor oal (v p.q ) permanece consane. Propriedade do Índice de Laspeyres (a) O índice de Laspeyres não é reversível, pois:.. L(, ). L(, ). p. q p. q 1 (b) O índice de Laspeyres não saisfaz o criério da inversão dos faores, iso é, o produo do índice de preços pelo índice de quanidade deve ser igual ao índice de valor. Por índice de valor enende-se a quanidade: V p q.. No caso, se deveria er: qp P Q... L. L. p. q q. p p. q V (c) O índice de Laspeyres não é ransiivo, pois: L(, 1). L(1, 2). L(, 2) p. q pq 1. 1 p. q O ÍNDCE DE PAASCHE A expressão do índice de Paasche, fornece um índice do ipo agregaivo de preços, ponderado pelas quanidades consumidas na época aual (). P p q.. Da mesma forma que para o índice de Laspeyres, a expressão do índice de Paasche pode ser considerada como uma média ponderada de relaivos, cujos pesos são represenados pelo produo dos preços no ano base muliplicados pelas quanidades na época (p.q ) P p q.. p p p q p q p p. q.(. ). α, onde α. p p. q Propriedade do Índice de Paasche (a) O índice de Paasche não é reversível, pois: Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 23

24 .. P(, ). P(, ). p. q p. q 1 (b) O índice de Paasche não saisfaz o criério da inversão dos faores, pois: qp P P Q.... P. p. q q. p p. q V (c) O índice de Paasche não é ransiivo, pois: P(, 1). P(1, 2). P(, 2) p. q1 pq 1. 2 p. q RELAÇÃO ENTRE OS ÍNDCES DE LASPEYRES E PAASCHE Os resulados obidos aplicando-se os índices de Laspeyres e Paasche a um mesmo conjuno de preços e quanidades são, em geral, diferenes, pois, normalmene, as quanidades da época base e da época aual não são as mesmas. Paasche e Laspeyres forneceriam os mesmos resulados se as quanidades da época e da época fossem proporcionais, iso é, se q / q k (consane), ou seja, q kq, enão se eria: P p q.. k. p. q p. kq p. q L Na práica, as quanidades não variam na mesma proporção e a relação enre os índices de Laspeyres e Paasche vai depender da correlação enre esas variações O ÍNDCE DE F SCHER Como nem o índice de Laspeyres e nem o de Paasche saisfazem as propriedades da inversão, reversão e circularidade, rving Fisher propôs a seguine fórmula: Paasche. F... p. q p. q L. P, que é a média geomérica enre os índices de Laspeyres e Propriedades do índice de Fischer (a) O índice de Fischer é invisível, pois:.... F (, ). F (, )... p. q p. q pq. pq p. q pq.... pq. 1 1 Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 24

25 (b) O índice de Fischer saisfaz o criério da reversão dos faores, pois: F P (, ). F Q... (, ).. p. q p. q q p... q p p. q.. V q p q p q p.... q p. q p (c) O índice de Fischer não é ransiivo, pois: q p 2 pq. p. q F(, 1). F(1, 2)... p q pq pq p. q pq pq p q p q F (, 2) Comprova-se, desa forma, que o índice de Fischer saisfaz as propriedades de nversão e de Reversão, moivo pelo qual é denominado de fórmula ideal O ÍNDCE DE MARSHALL-EDGEWORTH O índice de Marshall-Edgeworh é um índice do ipo agregaivo, onde as ponderações são dadas pela média enre as quanidades da época base e da época aual, ou seja, a ponderação é execuada pela quanidade (q + q ) / 2. ME p p ( q + q) ( q + q ). / 2. / 2 p. p. ( q + q) ( q + q ) p. q + p. q p. q + p. q O que mosra que o índice de Marshall-Edgeworh é o quociene enre a soma dos numeradores de Laspeyres e Paasche e a soma dos denominadores deses mesmos índices. Propriedades do índice de Marshall-Edgeworh (a) O índice de Marshall-Edgeworh é inversível, pois: ME(, ). ME(, ) ( q + q).( + ) ( q + q) ( + ) p. p.. p q q p. q q (b) O índice de Marshall-Edgeworh não saisfaz o criério da reversão dos faores, pois: ME P Q. ME p. ( q + q).( + ) q.( + p).( + ) q p. q p p. p. q 1 V Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 25

26 (c) O índice de Marshall-Edgeworh não saisfaz a propriedade circular, pois: ME(, 1). ME(1, 2) p 2. ( q q + 2).( + ) q 2 ME(, 2) ( q q + 1).( + ).( q q 1 + 2).( + ) p1. p2. p q q1 p1 q1 q OUTROS ÍNDCES (1) Índice de Drobish Drobish propõe um índice baseado na média ariméica enre os índices de Laspeyres e Paasche. ( ) D L+ P /2 (2) Índice de Yong Yong propõe um índice baseado em quanidades fixas, que podem ser as da época base (Laspeyres) ou de oura época qualquer. Y. c p. qc (3) Índice de Keynes É um índice do ipo agregaivo ponderado onde as ponderações são execuadas pelas menores quanidades enre q e q. K p p ( q q ) ( q q ).min{, }.min{, } EXEMPLO 3.3 Tabela 15 - Preços das uilidades A, B, C e D - Poro Alegre - 23 Arigos Quanidade (kg) Preço por kg p q p q p q p q A , 2, 16 3, 24 B ,5 13,5 12 9, 8 C , 8, 1 16, 2 D ,5 22, 2 16,5 15 Toal 63, , Índice de Laspeyres Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 26

27 L. p. q 63, ,48% - Índice de Paasche P. p. q 71, ,72% - Índice de Fischer F(1, 2) L. P 1,948.1,672 18,9% - Índice de Marshall-Edgeworh ME(1, 2) 63,5 + 71, Índice de Drobish ,% ( ) 1948, , D L+ P / 2 181%, 2 - Índice de Yong Y. c p. qc O valor dese índice dependerá das quanidades escolhidas como base. Ele poderá ser igual ao de Laspeyres, Paasche, Marshall-Edgeworh, ec. - Índice de Keynes K , , , 53, 5 19, 18% SÉRES DE ÍNDCES - BASE MÓVEL E BASE FXA Uma série de números índices, da mesma forma que os relaivos, poderá ser consruída de duas maneiras: base móvel e base fixa B ASE FXA Nese caso escolhe-se um período deerminado (normalmene uma média de dois ou rês períodos) e oda a série é consruída endo como comparação ese período fixado. Assim se o período fixado for o a série de índices será: (, 1), (, 2), (, 3),..., (, n) Qualquer comparação para ser válida só poderá ser feia com o período base, a menos que o índice uilizado enha as propriedades de inversão e circularidade. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 27

28 B ASE MÓVEL Nese caso a base é alerada de período para período, iso é, a base é sempre o período anerior. Assim se os períodos considerados forem de,..., n, a série de índices será: (, 1), (1, 2), (2, 3),..., (n-1, n) A comparação somene poderá ser efeuada com o período imediaamene anerior. Qualquer ouro ipo de comparação exigiria a consrução de um índice encadeado. (, 1) (, 1) (, 2) (, 1). (1, 2)... (, n) (, 1). (1, 2)... (n-1, n) Os índices obidos desa forma somene serão iguais aos obidos aravés de uma base fixa, quando a fórmula do índice iver a propriedade circular, que é o caso dos índices geomérico e ariméico de ponderação fixa MUDANÇA DE BASE NA PRÁTCA Na práica a mudança de base para números índices é execuada da mesma forma que para relaivos, ou seja, aravés de uma simples proporção. Ese criério será válido se o índice sendo uilizado for circular, o que não aconece em geral. No enano, os resulados, na maioria das siuações, são saisfaórios APLCAÇÕES DOS NÚMEROS ÍNDCES Os números índices são imporanes para assinalar a velocidade com os preços mudam e desa forma para indicar as axas de inflação, desemprego, exporação, ec. No enano, as duas principais aplicações dos números índices são a deflação e a correção moneária DEFLAÇÃO Em Esaísica, enende-se por deflação o processo que visa corrigir a perda do poder aquisiivo da moeda, ocasionado pela elevação dos preços dos bens ou serviços. Já foi viso como acompanhar a aleração dos preços ou quanidades aravés de um conjuno de fórmulas. Assim, escolhendo-se uma fórmula como Índice Geral de Preços (GP), pode-se definir o valor real da moeda (VR) como sendo o quociene: VR 1 / GP Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 28

29 Da mesma forma, pode-se agir com relação a vendas, salários, ec. Assim por exemplo, omando-se como referência um Índice de Preços ao Consumidor (GP), as vendas reais (VR) seriam: Vendas reais Vendas Nominais / GP ou VR VN / GP Para os salários er-se-ia: Salário real Salário nominal / PC Exemplo 3.4: Tabela 16 - Salário nominal, PC e salário real no período 1999/23 Anos Salário Nominal PC Salário Real , , , , , Embora o salário nominal enha aumenado de 14 para 4 (2%), o salário real decresceu de 14 para 24 (4%), iso é, o salário de 23 é apenas 6% do salário de A operação de divisão que leva aos valores nominais ou correnes aos valores reais ou consanes é denominada de deflação e o índice de preços uilizado de deflaor. Os valores não deflacionados (nominais) não são comparáveis, pois são expressos em unidades moneárias de valores diferenes, já que a inflação faz variar o valor real da moeda. Os valores deflacionados são expressos em valores moneários de uma mesma época (base do índice) e são, porano, comparáveis CORREÇÃO MONETÁRA A correção moneária (CM) é a operação oposa à deflação, pois ao invés de expressar os valores em relação ao valor da moeda da época base do índice uilizado como deflaor ela raz os valores para a época aual, ou seja, é feia a aualização dos valores aravés de um coeficiene de correção moneária (CCM). Em resumo, a deflação orna comparáveis os valores em relação a uma época passada (base do índice uilizado), enquano que a correção moneária, orna homogêneos os valores em relação a época presene (a correção moneária inflaciona os valores). O coeficiene de correção moneária para o período 1 é obido aravés da relação: CCM Índice do período / Índice do período 1, para 1, 1, 2,...,. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 29

30 Exemplo 3.5: Tabela 17 - Índice da consrução imobiliária e CCM Anos Índices (Base 95/97) CCM Cálculos ,76 92/ ,26 92/ ,78 92/ ,34 92/ ,8 92/ ,44 92/ , 92/92 Assim, por exemplo, um apo. que foi consruído em 1996 por 147 u.m. valeria em 2: 2, u.m u.m. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 3

31 4. EXERCÍCOS 1.1. Um produo sofre um aumeno 3% em janeiro e mais 7% em fevereiro. Qual é o valor do aumeno acumulado? 1.2. Um produo enra em ofera com uma baixa de 5% sobre o preço original parocinada pelo fabricane, mas em função dos concorrenes o supermercadisa oferece um descono adicional, sobre o preço rebaixado, de 4%. Qual o valor oal da baixa? 1.3. Um arigo sofreu um aumeno de 25% numa deerminada época. Depois de um cero empo como não esivesse vendendo bem os fabricanes resolveram dar um descono de 2%. Qual a variação oal no preço do produo? 1.4. Se os salários aumenam 2% e o Índice do Cuso de Vida 1% num mesmo período. Qual é o aumeno real de salário? 1.5 A inflação acumulada num cero período foi de 25%. Os salários foram aumenados em 2%. Qual a perda real do poder aquisiivo no período? 2.1. A indúsria de camisas GOLA S.A. faurou no mês anerior cerca de R$14, endo vendido cada unidade, em média, por R$ 14,. Nese mês ela deseja aumenar o faurameno em R$28, sem, no enano, aumenar o preço médio uniário. Qual deve ser o aumeno médio na quanidade produzida? 2.2. Os relaivos de preço (base fixa em 2) de cero arigo no período 2/4, esão na abela abaixo: Anos Relaivos Sabendo que em 22 ese arigo cusava 249,6 u.m., calcular os preços nos demais períodos A quanidade relaiva de cero produo no ano de 4 omada com base em 2 é de 115. A de 2 omada em relação a base de é de 14. Deerminar a quanidade relaiva de 4 com base em Uma empresa preende aumenar a quanidade de suas vendas em 6%. Qual deve ser o aumeno percenual no preço de seus produos para que o faurameno duplique? 2.5. Os preços de um arigo iveram o comporameno da abela abaixo no período 99/4. Anos Preços (i) Deermine os relaivos de preço com base fixa em 21. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 31

32 (ii) Deermine os relaivos de preço com base móvel Abaixo esão os relaivos de base fixa da produção de um deerminado arigo. (i) Deermine os relaivos de base móvel para ese arigo. (ii) Deermine a produção de cada ano sabendo que, no ano base, ela foi de 3 oneladas. Anos Relaivos Os relaivos de base móvel da produção anual de um bem são: Anos Relaivos 12, 111,1 15, 14,8 19,1 14,2 Deermine: (i) Os relaivos de produção com base fixa em 2. (ii) A produção de cada ano sabendo que em 2 ela foi de 5 oneladas. (iii) Mediane a mudança de base operada em (i), deermine os relaivos de base fixa Abaixo são enconrados os relaivos de base fixa correspondenes aos preços de uma deerminada uilidade. (i) Deermine os relaivos de base móvel. (ii) Efeue uma mudança de base para o ano de 22. Anos Relaivos Abaixo são enconrados os relaivos em cadeia das quanidades produzidas de um deerminado arigo. Anos Relaivos (i) Deermine os relaivos de base fixa em 21. (ii) nerpree o relaivo de base móvel em 22. (iii) nerpree o relaivo de base fixa de 23 que foi calculado em (i). (iv) Sabendo que em 21 foram produzidas 5 milhões de oneladas do arigo em quesão, deermine o número de oneladas produzidas no ano de Considere 3 épocas, 1 e 2. Na época o preço de um arigo era 25% menor do que o preço na época 1 e na época 2 o preço dese mesmo arigo é 2% maior do que na época 1. Qual é o aumeno do preço na época 2 endo como base a época. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 32

33 3.1. A abela abaixo regisra os preços e as quanidades consumidas de um conjuno de rês arigos. Uilizando 3 como base, deermine para 4: (i). O índice de preços do conjuno segundo Laspeyres. (ii). O índice de preços do conjuno segundo Paasche. (iii). O índice de preços do conjuno segundo Fischer. Preço Quanidade Arigo Unidade Leie Liro,4, Pão Quilo 1,2 1, Ovos Dúzia,6 1, Deermine a variação dos preços para o conjuno de bens abaixo de acordo com o criério de Marshall-Edgeworh. Preço Quanidade Arigo Unidade Carne Quilo 2,45 3, Leie Liro,4, Massa Quilo 1,5 2, Considerando os valores da abela 3.1, deermine os mesmos índices só que para quanidades Considerando os valores da abela 3.2, deermine: (i) A variação dos preços de acordo com o criério de Laspeyres omando como base 23. (ii) Após mude a base para 24 e deermine o mesmo índice. (iii) Verifique ainda que o índice não saisfaz o criério da reversibilidade Considerando os valores da abela do exercício 3.2, verifique que a fórmula de Paasche não saisfaz o criério da reversão dos faores Considerando a abela abaixo, verifique que o índice de preços de Laspeyres, não saisfaz ao criério circular. Preço por unidade Quanidade consumida Arigo Unidade Carne Quilo 2,45 3,5 4, Leie Liro,4,55, Massa Quilo 1,5 2,8 3, Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 33

34 5. RESPOSTAS DOS EXERCÍCOS 1.1. O aumeno acumulado será: 1,3.1,7 1,121 ou 1,21% 1.2. A baixa acumulada será:,95.,96,912; 1 -,912,88. A baixa é de 8,8% 1.3. A variação oal será: 1,25.,8 1 ou Zero por ceno É um caso de divisão de axas. Temos 1,2 / 1,1 1,99. ou aumeno de 9,9% É um caso de divisão de axas: Tem-se: 1,2 / 1,25,96 ou perda de 4% 2.1 Tem-se que: v p.q q 2.2. v 1 p 1.q 1 ( ) 14.q 1, enão: v 1 / v p 1.q 1 / p.q 14q 1 / 14q 168 / 14 q 1 / q 1, 2 ou 2% Anos Relaivos 192, 23,4 249,6 288, 37, Tem-se q(2, 4) 1,15 e q(, 2) 1,4. Aplicando a propriedade circular vem: q(, 4) q(, 2).q(2, 4) 1,4 1,15 1,61 u 161% 2.4. Tem-se que v 1 p 1.q 1 e v p.q e que q 1 1,6.q e v 1 2v. Enão v 1 / v p 1.q 1 / p.q 2v / v 1,6q.p 1./ p.q 2 1,6p 1./ p. p 1./ p 2/1,6 1,25, ou seja, os preços devem ser aumenados em 25% Anos (i) (ii) Anos (i) (ii) Anos (i) 75, 9, 1, 15, 11,4 12,5 125,1 (ii) 375,4 45,5 5, 525, 55,2 6,27 625,48 (iii) 68,16 81,79 9,89 95,42 1, 19,1 113,69 Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 34

35 2.9. Anos (i) , 14,55 11,74 17,69 14,76 (ii) 85,47 94,2 98,29 1, 17,69 112,82 Anos (i) 76,92 1, 15, 187,5 3, (ii) Em 22 foram produzidos 5% a mais do arigo do que em 21. (iii) Em 23 foram produzidos 87,5% a mais do arigo do que em 21. (iv) q p(, 2) 1,2 /,75 1,6 ou 6% 3.1. (i) 155,79% (ii) 155,19% (iii) 155,49% ,73% 3.3. (i) 93,9% (ii) 93,54% (iii) 93,72% 3.4. (i) 148,77% (ii) 67,6% (iii) Não é reversível, pois: 1,4877.,676,9566 e não um como deveria ser Índice de preços de Paasche 149,13% Índice de quanidade de Paasche 93,92% Índice de valor 139,72% Como 1,4913., ,6% 139,72% iso mosra que o índice não saisfaz a propriedade L (2, 3) 149,13% L (3, 4) 117,44% L (2, 4) 174,92% Como L (2, 3). L (3, 4) 1,4913.1, ,14% L (2, 4) 174,92%, iso mosra que o índice não é reversível. Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 35

36 6. REFERÊNCAS ALLEN, R. G. D. Esaísica para economisas. Rio de Janeiro: Zahar Ediores, ALMODOVA, José. Ensaio de Esaísica Econômica. São Paulo, CASTRO, Lauro Sodré Viveiros de. Ponos de Esaísica. Rio de Janeiro: Livraria e Ediora Cienífica, 196. COSTA, J. J. da Serra Cosa. Elemenos de Esaísica. Rio de Janeiro: Ediora Campus, FSHER, Franklin M., SHELL, Karl. The Economic Theory of Price ndices. New York: Academic Press, FSHER, rwing. The Making of ndex Numbers. New York: Augusus M. Kelley Publishers, FONSECA, Jairo Sinom da e all. Esaísica Aplicada. São Paulo: Ediora Alas, FOX, Karl. Manual de Economeria. Buenos Aires: Cenro de Ayuda Técnica (Agência para el Desarrollo nernaional - AD), ORO, Oswaldo. Esaísica Econômica: Número Índices. Revisa Brasileira de Esaísica. Rio de Janeiro, v. 26, n. 11/12, p , jan/jun LÉVY, Michel Louis. nrodução à Esaísica. São Paulo: Publicações Europa-América - Coleção Saber, MELO, Francisco de Assis Moura. Padrão de Vida, Cuso de Vida e Índice de Preços ao Consumidor. Revisa Brasileira de Esaísica. Rio de Janeiro, v. 37, n. 138, p , ou/dez MORERA, Délio. Méodos esaísicos para economisas e adminisradores. São Paulo, Edições Loyola, ROCHA, Marcos da. Curso de Esaísica. Rio de Janeiro, BGE, ROSSET, José Paschoal. nrodução à Economia. São Paulo, Ediora Alas, SOUZA, Jorge de. Esaísica Econômica e Social. Rio de Janeiro, Ediora Campus, WONNACOT, Thomas h., WONNACOTT, Ronald J. Esaísica aplicada à Economia e à Adminisração. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Cieníficos, YA-LUN CHOU, Ya-Lun. Saisical Analysis wih Businnes and Economic Applicaions. New York, Hol Renehar and Wison inc., Prof. Lorí Viali, Dr. - vialli@ma.ufrgs.br - hp:// 36