Capítulo 3 Processos de Renovamento

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1 Licenciaura em Maemáica Aplicada e Compuação PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 22/3 Soluções da Colecânea de Exercícios Capíulo 3 Processos de Renovameno Exercício 31 Usando a definição de empo de paragem para uma sucessão de variáveis aleaórias independenes, conclui-se que só N 1 e N 2 são empos de paragem para a sucessão {X i, i IN} Exercício 32 Definindo I n = 1({N > n 1}), n IN, em-se N X n = + I n X n Uma vez que N é um empo de paragem para a sucessão {X i, i IN} e I n = 1({N > n 1}) = 1 1({N n 1}), conclui-se que I n é independene de {X n, X n+1, } e, por maioria de razão, que I n e X n são independenes, para odo o n IN Dese modo, se X for uma variável aleaória não-negaiva e usando o eorema da convergência monóona: [ + E X n = E I n X n = + + E[I n E[X n = E[X P (N n) = E[N E[X O caso geral resula do anerior fazendo X n = X + n X n, n IN, e X = X + X, já que: Exercício 33 E X n [ N = E [X n + Xn = E X + n E X n = E[N E[X + E[N E[X = E[N { E[X + E[X } = E[N E[X (b) Na siuação em que o empo enre renovamenos sucessivos em disribuição Uniforme(, 1) M() = F () + M( x) df (x) = + M( x) dx = e 1, [, 1 1

2 (c) Se M() = /2,, {N(), } PP (1/2) e P (N(5) = ) = e 5/ Exercício 36 Seja N() o número de subsiuições de pilhas efecuadas pelo Evariso no inervalo de empo [, (em horas) (a) lim + N() = 1 45 = (2) (b) lim + N() = Exercício 37 Seja ρ = λ/µ a inensidade de ráfego A longo prazo: (a) A axa a que enram clienes no banco é λ/(1 + ρ) (b) A fracção de poenciais clienes que enram no banco é (1 + ρ) 1 (c) A fracção de empo que o servidor esá ocupado é ρ/(1 + ρ) (d) A axa a que são efecuados depósios efecivos no banco é λ H()/(1 + ρ) (e) A axa de depósios no banco (em unidades moneárias/unidade de empo) é λα/(1 + ρ) Exercício 38 Sejam, para i = 1, 2,, n e m IN, N i (m) o número de vezes que o resulado i é declarado vencedor (ie, i é observado consecuivamene k vezes) nas primeiras m provas e X i uma variável aleaória idenicamene disribuída ao número de provas efecuadas enre declarações consecuivas do número i como vencedor A longo-prazo: (a) A probabilidade do número i ser declarado como vencedor é: lim P (N i(m) N i (m 1) = 1) = lim E[N i(m) N i (m 1) = 1 m + m + E[X i = P i k (b) A axa a que ocorrem declarações de vencedores é: lim m + 1 m n N i (m) = i=1 n i=1 lim m + N i (m) n m = i=1 P k i Exercício 31 (a) K Poisson (T/5) e E[K = Var[K = T/5 (b) A densidade do empo de vida residual limie do processo de colocação de caixa de charuos na passadeira é: Exercício 311 f() = [ 1 2 λe λ λ2 e λ I [,+ ) () (b) A longo prazo, a proporção de empo que é desinado à subsiuição de componenes do ipo referido é λ/b (c) O cuso limie por unidade de empo de uilização da políica referida é: 5λ + R() R(A)[1 F (A) B 2

3 (d) Sendo B() o empo de uso residual da componene em uso no insane, a disribuição limie do empo de uso residual das componenes do ipo referido é: lim P (B() x) = + [ 1 e αx 1 e αa I [,A) (x) + I [A,+ ) (x) Exercício 312 (a) O empo esperado que decorre enre subsiuições consecuivas dos disposiivos referidos é T (1 T/2) (b) O valor ópimo da idade de subsiuição de um disposiivo não avariado é a solução posiiva de T 2 + 6T 6 =, que é aproximadamene 873 (c) O valor esperado limie da idade do disposiivo em uso é T 2 (1 2T/3) Exercício 313 (a) A longo-prazo, o gaso por unidade de empo do Evariso em carros é /{ T } [C 1 + C 2 H(T ) xh(x) dx + T [1 F (T ) (b) Se a disribuição da duração dos carros é Uniforme(, 1), o gaso por unidade de empo do Evariso em carros [2C 1 + 2C 2 T /[T (2 T ) (c) Se C 1 = 3 e C 2 = 5, o valor de T que minimiza o gaso anerior é 9282 (d) Se a duração dos carros é Uniforme(2, 8), C 1 = 1, C 2 = 2 e R(T ) = 4 T/2, o gaso por unidade de empo do Evariso em carros é; T 2 + 2T + 48 T T 4 o qual é minimizado para um valor de 6519 (e) Se a duração dos carros é H() = (1 e /5 ) I (,+ ) (), C 1 = 3, C 2 = 5 e R(T ) =, o gaso por unidade de empo do Evariso em carros é: (1 e T/5 ) 1 e T/5 o qual é minimizado para T = + ; iso quer dizer que nesa siuação o Evariso só deve rocar de carro quando o carro em uso avaria Exercício 314 (a) A longo-prazo, o prejuízo da esação por unidade de empo é c(n 1)/2 O prejuízo por unidade de empo é: direcamene proporcional à axa de cuso de espera de cada cliene (c) e ao número de passageiros que é necessário haver na esação para o comboio parir (N), e não depende da axa de chegadas de passageiros à esação (µ 1 ) 3

4 (b) Nas condições descrias, o prejuízo a longo-prazo da esação por unidade de empo é: [ ( ) c N (N 1)µ 2 + K + K2 2µ Nµ + K µ Exercício 315 (a) A longo-prazo, a proporção de arigos inspeccionados é: [ α 1 (1 q)k α (b) A longo-prazo, a proporção de arigos defeiuosos que não são inspeccionados é: [ 1 + α 1 (1 q) k 1 α Exercício 316 Com < x, s + x/2, u < + x e y > : (a) A() > x evenos no inervalo [ x, B() > y evenos no inervalo (, + y P (B() > y) = P (A( + y) y) (b) Para um processo de PP (λ): P (A() x, B() y) = [ (1 e λx )I [,) (x) + I [,+ ) (x) (1 e λy )I [,+ ) (y) (c) P (B() > y A() = x) = F (x + y)/ F (x) (d) P (B() > y A( + x/2) = s) é igual a: s < x/2 y x/2 s F (s + y x/2)/ F (s) s x/2 y > x/2 P (N( + y) N() = N( + x 2 s) N(( + x 2 s) ) > ) s < x/2 y < x/2 s 1 s x/2 y x/2 (e) Para um processo de processo de Poisson de axa λ: e λy u < x y x u P (B() > y A( + x) > u) = e λ(x u) e λ(y u) u < x x u < y x u < x y > x 1 u x y x e λ(y x) u x y > x (f) P (A() > x, B() > y) = P (N( + y) N(( x) ) = ) 4

5 (g) Para derivar o resulado, noe-se que: A() = S N() = 1 N() S N() N() (h) A() + B() é o empo que decorre enre o úlimo renovameno que ocorre aé ao insane e o primeiro renovameno que ocorre após o insane Exercício 317 Seja {B(), } o empo de vida residual do processo de renovameno com empo enre chegadas igual à convolução de duas exponenciais com parâmeros µ 1 e µ 2 (a) Para : (b) Para : E[B() = 1 µ µ 2 1 e (µ 1+µ 2 ) µ 1 + µ 2 M() = E[N() = µ 1µ 2 µ 1 + µ 2 µ 1µ 2 (µ 1 + µ 2 ) 2 [ 1 e (µ 1+µ 2 ) Exercício 319 (a) O processo de enrada de clienes na agência bancária é um processo de renovameno arasado (b) O processo de saídas de clienes da agência bancária não é (em geral) um processo de renovameno (c) Se a disribuição do empo enre chegadas é exponencial: o processo de enrada de clienes na agência bancária é um processo de renovameno (que não é arasado se no insane inicial o servidor esá ocupado e a disribuição da duração do serviço de um cliene é exponencial) e o processo de saídas de clienes da agência bancária é um processo de renovameno (que não é arasado se no insane inicial o servidor esiver livre) Exercício 321 (a) {X(), } é um processo regeneraivo (associado ao processo de renovameno de chegadas de camiões) com espaço de esados IN (b) Para i IN : lim P (X() = i) = j=i+1 e λx (λx) j λ + x df (x) j! df (x) Exercício 322 A longo-prazo, a proporção de empo que o servidor esá ocupado é λ/µ Exercício 323 (a) 75 (b) 1 e Exercício 324 (a) {C(), } possui incremenos independenes e esacionários, mas é um Processo de Poisson se o só se c(x) assumir apenas os valores e 1 (b) O insane de produção do primeiro arigo desruído é uma variável aleaória com disribuição Exponencial (λḡ(i)) 5

6 (c) lim u + E[A 2 (u) = 2/λ 2 Exercício 325 Sejam s e d os valores esperados do empo que demora uma subida e uma descida, respecivamene (a) lim + N() = n/(s + d) (b) lim + P (U() = k) = ( ) ( ) k ( n k n s d k s+d s+d) I{,1,,n} (k) (c) A longo-prazo, o gaso da esquiadora em aluguer de skis por unidade de empo seria C H(T )/(s + d) (d) Se as durações das descidas da al esquiadora se disribuem uniformemene no inervalo (5m, 7m), o valor de T que minimiza o gaso calculado em (c) é T = 7m Iso corresponde à esquiadora nunca rocar de skis, que é nauralmene a decisão mais económica Exercício 326 (a) As disribuições do empo que decorre enre a chegada do Evariso à esação e a parida do próximo comboio normal e do próximo comboio expresso são Exponencial (2) e Uniforme([, 15)), respecivamene (b) Caso o Evariso decida viajar sempre em comboios expresso, o valor aproximado da probabilidade de num ano (365 dias) ele gasar mais de 45 horas à espera do comboio expresso para Paraíso é 1 Φ( 45) 6736 (c) O Evariso deve preferir a plaaforma dos comboios expresso A probabilidade de chegar primeiro a Paraíso escolhendo a plaaforma dos comboios expresso do que se escolhesse a plaaforma dos comboios normais é (12 5e 16 )/ Adicionalmene, desde a sua chegada à esação, o empo esperado que o Evariso demora a chegar a Paraíso é 25m se ele viajar em comboio normal e 25m se ele viajar em comboio expresso (d) O cuso médio diário incorrido pela empresa com as viagens efecuadas por comboios normais é $ (e) Cov [N(s), N() = 2s, s O movimeno browniano com coeficiene de difusão 2 possui a mesma função de covariância (f) De enre os comboios que parem para Paraíso, a fracção de comboios expresso é 1/4 (g) O Evariso deve esperar pelo próximo comboio expresso pois com probabilidade 7/11 chegará primeiro a Paraíso do que se viajasse no comboio normal (h) Se o Evariso preender chegar a Paraíso o mais cedo possível viajará em comboio expresso sempre que, após chegar à esação, o primeiro comboio a parir for um expresso e sempre que for um normal mas a sua parida ocorra apenas passado mais de um minuo, o que aconece com probabilidade (5 + 9e 2 )/ Dese modo, se preender chegar a Paraíso o mais cedo possível, o Evariso viajará mais vezes em comboio expresso 6

7 Exercício 327 Seja µ D a duração esperada (em dias) dos períodos de desinfesação (a) A disribuição Normal (5/λ, 5/λ 2 ) é, pelo eorema do limie cenral, adequada para o insane em que os Serviços Públicos de Saúde são chamados pela primeira vez (b) A longo-prazo, a percenagem de empo em que o resaurane esá fechado para desinfesação é µ D /(µ D + 5/λ) (c) Sendo F D a função de disribuição da duração de um período de desinfesação do resaurane e F a convolução de F D com a disribuição Erlang (5, λ), F () = + k=5 [, E[N() = F () + λ( x) [λ( x)k e df D (x) I[, + )(), k! [, E[N( x) df (x), (d) A longo-prazo, a penalização em escudos por unidade de empo que o resaurane incorre devido a desinfesações é 86 λ/(5 + 35λ) Exercício 328 (a) O número esperado de dias aé um bombeiro receber o bónus é 7/3 dias (b) A probabilidade de ocorrerem 2 falsos alarmes em duas semanas é 18 e (c) A longo prazo, a opção mais proveiosa para os bombeiros é a do sindicao Exercício 329 (a) Dado que chegaram à biblioeca 5 clienes nos primeiros 1m de funcionameno, a probabilidade de erem chegado pelo menos dois uilizadores nos primeiros 3m é: P (N(3) 2 N(1 = 5) = = (b) O número esperado de livros requisiados por uilizadores que parem da biblioeca no inervalo de empo (, 1) é 2 3 (1 + e 2 ) (c) {R(), } é um processo de Poisson se e só cada uilizador requisia no máximo um livro Nas condições enunciadas, {R(), } é um processo de Poisson se e só o número de livros requisiados por uilizador é Bernoulli (2/3) (e) O processo {W (), } não possui incremenos independenes; eg, para > : P (W (2) W () =, W () = ) P (W (2) W () = ) P (W () = ) (h) Usando o eorema fundamenal do renovamenoda a parir da equação de ipo renovameno E[Q() = 1 9 ( e 2 e 2) + 2 e 2u E[Q( u) du conclui-se que lim + E[Q() = 1 7